- 1 –

- 2 –

PREFACE Ayant acquis une certaine expérience de l’enseignement au cours de ma carrière dans la Recherche au Commissariat à l’Energie Atomique, j’ai pu aider de nombreux jeunes dans le domaine scientifique, et tout naturellement, j’ai prolongé cette activité durant mes années de retraite. Mon attention a été attirée par des élèves, en majorité du Secondaire, quelque peu rebutés par l’enseignement trop formel de la Physique, mais néanmoins toujours passionnés par l’Espace, le Ciel, l’Univers…sujet d’intérêt qui a incontestablement la primeur, ce qui paraît tout à fait compréhensible à l’aube d’un siècle qui nous réserve certainement de grandes découvertes dans ce domaine. J’ai rencontré également des personnes de tous âges, sans grande formation scientifique mais passionnées par ces mêmes sujets, qui demandent des explications, posent des questions sur des émissions scientifiques vues à la télévision, entendues à la radio, ou sur des articles de revues de vulgarisation. Cela m’a donné l’idée d’écrire pour ces étudiants et ces néophytes passionnés un livre qui se situerait entre le livre de vulgarisation et le manuel pourrait-on dire « pré-scolaire ». Toute personne qui s’intéresse à l’infiniment grand se doute bien que la gravitation joue un rôle essentiel dans l’évolution de l’Univers, depuis sa naissance jusqu’à nos jours, ainsi que dans la formation et l’évolution des corps célestes qui le constituent depuis les amas de galaxies jusqu’à notre propre planète. La théorie de la gravitation universelle établie par Newton, a apporté une vision cohérente du monde. Bien que cette théorie soit dépassée actuellement par la Relativité Générale d’Einstein, elle est toujours largement utilisée et ses résultats restent encore d’une grande précision. Pour notre propos, elle est tout à fait suffisante. Il est essentiel de la connaître. Du reste, elle figure à juste raison dans les programmes du Secondaire. La pierre angulaire de la théorie de Newton est la force de gravitation universelle. Cette force de Newton a l’avantage d’être simple et peut être abordée facilement. Elle sera par conséquent l’élément important de la ligne « pré-scolaire » de ce livre. Nous avons baptisé cette ligne « fil d’Ariane ». Aussi, en nous plaçant au niveau d’un collégien et d’un lycéen et en suivant ce fil, nous amenons le lecteur à découvrir cette force de Newton à travers la notion de champ de gravitation, à écrire ensuite la force centrifuge, enfin à établir la troisième loi de Kepler dans le cas simple d’orbites circulaires ; nous terminons ce fil d’Ariane par les notions importantes d’énergie et de vitesse de libération. Le lecteur assidu qui ne se sera pas enfui à la première formule rencontrée, s’étonnera sans doute d’être capable de calculer des rayons d’orbites, des périodes de révolution pour n’importe quelle planète ou satellite, y compris ceux des nouvelles exo-planètes que l’on découvre actuellement. Peut-être même arrivera-t-il à calculer cette vitesse de libération qu’il faut acquérir pour échapper à l’attraction d’un astre à moins que ce ne soit, je souhaite que non, à celle de ce livre… Parallèlement pour ne pas oublier les néophytes ou autres astronomes amateurs, dans de nombreux autres chapitres qui s’écartent un peu du fil d’Ariane, nous essayons d’expliquer quelques rudiments d’astronomie ou de décrire des phénomènes dont on parle souvent où la gravitation est omniprésente mais où son rôle n’apparaît pas toujours de manière évidente. Enfin dans les derniers chapitres, nous parlons brièvement du monde de l’atome et des forces de la nature autres que la gravitation. Le bagage ainsi acquis le long de ce livre peut nous aider alors à mieux comprendre la formation d’une étoile et de son cortège de planètes, sujet qui clôt ce livre.

- 3 –

Informations et notation. Ce livre est écrit la plupart du temps sous la forme d’un dialogue entre ma petite fille Joséphine (JO) au langage plutôt brut d’école et moi-même son papy (PA). Je fais endosser à JO qui passe dans ce livre du statut de jeune collégienne à celui de lycéenne, les interrogations, les questions parfois pertinentes, parfois farfelues, accumulées durant mon enseignement par mes élèves, y compris les erreurs conséquences parfois de mes explications brouillonnes. Le lecteur ne doit pas s’attendre non plus à trouver les très belles photos de planètes ou de galaxies que l’on peut trouver maintenant facilement sur Internet ou des revues spécialisées ; nous avons plutôt insisté sur l’aspect pédagogique en essayant de donner des explications simples avec des figures claires. Les quelques passages en italique d’environ une page de certains chapitres sont là pour détendre ; ils sont totalement fantaisistes non sans avoir cependant un certain rapport avec le thème du chapitre. Beaucoup de chapitres sont accessibles au lecteur sans grande formation scientifique. Lorsque les difficultés commencent certains passages sont encadrés par les sigles : * >>>>> (début) et * <<<<< (fin). Si le texte demande un niveau plus élevé (Première et Terminale), les sigles précédents deviennent : * * >>>>> et * * <<<<< . Les chapitres 11 et 21 qui font entièrement partie de cette catégorie, sont notés * * >>>>> dès le début du texte. Les chapitres 3-4-5-6-7-9-10-17-18-19-22 constituant le fil d’Ariane comprennent une courte introduction intitulée « Fil d’Ariane » en tête de chacun de ces chapitres. La liste de leurs numéros, qui s’allonge au fur et à mesure de la progression, accompagne cette mention. Ces chapitres 3-4-5-6-7-9-10-17-18-19-22 du fil d’Ariane sont référencés dans la Table des matières. Les chapitres (ch.) sont notés ainsi : (ch.8-2) pour chapitre 8, section 2. Quand il y a deux nombres en référence, le premier est toujours le numéro de chapitre, en caractère gras. Ainsi la référence des figures, tableaux, formules, exercices(Ex), s’écrit : (fig.8–3) et signifie figure 3 du chapitre 8. De même : (ch.19-(3)) veut dire formule (3) du chapitre 19, (ch 19 - 2) section 2 du chapitre 19 , etc… Pour les étudiants, on propose en fin de certains chapitres dans « Entraînement » des exercices que l’on rencontre fréquemment dans les classes de Seconde à Terminale. Les calculs sont détaillés et ne font intervenir la plupart du temps que des opérations élémentaires. Les exercices sont récapitulés dans la Table des matières.

- 4 –

REMERCIEMENTS Je tiens à remercier Myhà Vuong, Carlos De Breuck astrophysiciens à l’E.S.O. (Munich) et Danièle Alloin astrophysicienne au S.A.P. (Saclay) pour leurs commentaires, critiques et suggestions à la lecture de ce manuscrit, ainsi que Michel Renard Professeur de Physique des classes préparatoires au lycée Blaise Pascal de Clermont-Fd pour les discussions approfondies dans le prolongement de plusieurs points traités dans ce livre, en particulier sur le champ de gravitation.

- 5 –

Table des matières

1 - PETITS PAS DANS L’ESPACE ..................................................................................... 11

1 - Etat des lieux du ciel. ...................................................................................................... 11

2 - Une nouvelle unité pour mesurer les distances : l’année-lumière (al). ........................... 14

3 - Dimensions du système solaire et de la Voie Lactée. ..................................................... 15

Ex 1-1 - Temps mis par la lumière pour parcourir 1 ua. ................................................................................... 17

Ex 1-2 - Calcul de vitesses. .............................................................................................................................. 17

Ex 1-3 - Vitesse de révolution du Soleil autour du centre galactique. .............................................................. 17

2 - RONDE OU PLATE ? CENTRE DE L’UNIVERS OU NON ? ..................................... 20

1 - La Terre était-elle ronde ou plate ? ................................................................................. 20

2 - La Terre était-elle ou non le centre de l’Univers ? ......................................................... 24

Ex 2-1 - Calcul d’Eratosthène du rayon de la Terre. ........................................................................................ 27

Ex 2-2 - Disparition d’un voilier à l’horizon. ................................................................................................... 28

3 - LE POIDS DE MES KILOS ............................................................................................... 31

Fil d’Ariane : 3 ..................................................................................................................... 31

1 - Une confusion fréquente. ................................................................................................ 31

2 - Qu’est-ce que le poids au juste ? ..................................................................................... 31

3 - Le poids sur d’autres planètes. ........................................................................................ 33

4 - LA POMME DE NEWTON ............................................................................................ 34

Fil d’Ariane : 3-4 .................................................................................................................. 34

1 - Newton découvre les lois de la gravitation. .................................................................... 34

2 - La prison terrestre. .......................................................................................................... 37

3 - Poids et force de gravitation. .......................................................................................... 38

4 - Champ de pesanteur et champ de gravitation. ................................................................ 39

Ex 1-1 - Variation de l’attraction gravitationnelle de la Terre avec la distance. .............................................. 42

5 - ON CULTIVE LE CHAMP ............................................................................................. 43

Fil d’Ariane : 3-4-5 .............................................................................................................. 43

1 - Le champ de gravitation d’une planète. .......................................................................... 43

2 - Un moyen d’obtenir g0 . Le pendule simple. .................................................................. 44

3 - Le pendule de Foucault. .................................................................................................. 46

Ex 5-1 - Masse de la Terre connaissant son rayon et le champ de gravité. ...................................................... 48

Ex 5-2 - Champ de gravité de Mars. ................................................................................................................. 48

Ex 5-3 - Champ de gravité de la Lune. ............................................................................................................. 48

Ex 5-4 - Calcul du champ de pesanteur. ........................................................................................................... 49

Ex 5-5 - Calcul de la période du pendule de Foucault. ..................................................................................... 49

- 6 –

6 - LA LUNE REFUSE DE TOMBER ................................................................................ 50

Fil d’Ariane : 3-4-5-6 ........................................................................................................... 50

1 - Inquiétude. ...................................................................................................................... 50

2 - La Lune ne tombe plus mais les astéroïdes…… ............................................................. 55

3 - Les Météorites. ................................................................................................................ 56

4 - Tout tourne. ..................................................................................................................... 57

7 - LE BOURRELET EQUATORIAL .................................................................................. 58

Fil d’Ariane : 3-4-5-6-7 ........................................................................................................ 58

1 - L’intérieur de la Terre. .................................................................................................... 58

2 - La naissance du bourrelet. ............................................................................................... 61

3 - Pesée au pôle et à l’équateur. .......................................................................................... 62

Ex 7-1 - Ralentissement de la rotation de la Terre. .......................................................................................... 64

Ex 7-2 - Variation du champ de gravitation due à la forme ellipsoïdale de la Terre. ....................................... 65

8 - LES QUATRE SAISONS ................................................................................................. 67

1 - Le mouvement de la Terre autour du Soleil. ................................................................... 67

2 - Une hypothèse simpliste. ................................................................................................ 70

3 - Une situation plus réaliste. .............................................................................................. 70

4 - Un paradoxe. ................................................................................................................... 74

5 - La précession de la toupie-Terre. .................................................................................... 75

6 - De plus en plus complexe : la nutation. .......................................................................... 77

7 - Le zodiaque. .................................................................................................................... 78

8 - Conclusion. ..................................................................................................................... 80

9 - LA FORCE DE NEWTON .............................................................................................. 81

Fil d’Ariane : 3-4-5-6-7-9 .................................................................................................... 81

1 - La force de gravitation universelle. Cas d’une planète. .................................................. 81

2 - La force de gravitation. Cas général. .............................................................................. 81

3 - Le champ de gravitation en général. ............................................................................... 83

Ex 9-1 - Attraction gravitationnelle entre deux masses de 50 kg. ................................................................... 85

Ex 9-2 - Attraction entre une masse de 50 kg et la Terre. ................................................................................ 85

Ex 9-3 - Attraction entre la Terre et la Lune. ................................................................................................... 85

Ex 9-4 - Variation du champ de gravitation de la Terre avec l’altitude h......................................................... 86

Ex 9-5 - JO veut faire de la lévitation. ............................................................................................................. 86

Ex 9-6 - A l’intérieur de la Terre. ..................................................................................................................... 88

Ex 9-7 L’expérience de Cavendish. ................................................................................................................. 90

10 - LA CHUTE LIBRE DE LA POMME ......................................................................... 93

Fil d’Ariane : 3-4-5-6-7-9-10 ............................................................................................... 93

1 - La chute libre. ................................................................................................................. 93

2 - Une salade au milieu du champ. ..................................................................................... 95

- 7 –

3 - Pas de jaloux dans la chute libre. .................................................................................... 96

4 - Les équations de la chute libre. ....................................................................................... 96

5 - La résistance de l’air. ...................................................................................................... 98

6 - La vitesse limite. ............................................................................................................. 98

Ex 10-1 – Temps de chute et vitesse à l’arrivée. .............................................................................................. 99

Ex 10-2 – Champ de gravitation de la Lune à une altitude h. ........................................................................... 99

11 - UN PEU DE BALISTIQUE ....................................................................................... 101

1 - Mouvement d’un mobile lancé dans une direction quelconque. ................................... 101

2 - Equations générales. ..................................................................................................... 101

3 - Cas particulier : la vitesse v0 est dirigée selon Oy . ...................................................... 102

4 - Cas général : équation de la trajectoire y (x). ............................................................... 103

5 - La parabole de sûreté. ................................................................................................... 104

Ex 11-1 - Le joueur de tennis. ....................................................................................................................... 106

Ex 11-2 – Trajectoire et parabole de sûreté dans un cas plus général. ........................................................... 106

12 - LES JEUX DE LA TERRE ET DE LA LUNE ....................................................... 108

1 - L’année bissextile. ........................................................................................................ 108

2 - Le jour sidéral et le jour solaire moyen. ....................................................................... 110

3 - La Lune tourne-t-elle sur elle-même ? .......................................................................... 112

4 - De révolution en révolution. ......................................................................................... 116

5 - Eclipses. Eclipse de Soleil. ........................................................................................... 118

6 - Eclipse de Lune. ............................................................................................................ 119

7 - Eclipse de Soleil annulaire. ........................................................................................... 120

8 - Le cycle de Saros. ......................................................................................................... 120

Ex 12-1 - Eclipse impossible. ..................................................................................................... 123

13 - D’ETRANGES MOUVEMENTS ................................................................................ 124

1 - Le mouvement apparent rétrograde. ............................................................................. 124

2 - Les ellipses des étoiles proches. .................................................................................... 125

3 - Le Parsec. ...................................................................................................................... 128

4 - Les deux chances d’Einstein : ....................................................................................... 128

5 - La déviation de la lumière par le Soleil. ....................................................................... 130

14 - LA TERRE ET LA LUNE FESTONNENT .............................................................. 132

1 - Le centre de gravité, d’inertie, de masse ou le barycentre. ........................................... 132

2 - Position du centre de gravité. ........................................................................................ 132

3 - Mouvement du centre de gravité. .................................................................................. 134

4 - Centre de gravité du système Terre- Lune. ................................................................... 134

5 - Les festons de la Terre et de la Lune. ........................................................................... 135

6 - La découverte de Sirius B. ............................................................................................ 136

Ex 14-1 – Position du centre de gravité du système Terre-Lune. ................................................................... 137

- 8 –

Ex 14-2 - Centre de gravité de deux ou plusieurs masses . ............................................................................ 138

15 - LA FORCE DE DISLOCATION. ............................................................................... 139

1 - L’étrange pouvoir d’une planète. .................................................................................. 139

2 - Les anneaux de Saturne................................................................................................. 142

3 - Impossibilité de s’agglomérer en deçà d’une distance limite. ...................................... 144

4 - La limite de Roche. ....................................................................................................... 146

Ex 15-1 - Agglomération de deux blocs de glace autour de Saturne ? ................................................. 147

16 - LA MAREE ................................................................................................................... 149

1 - Un phénomène dû à la Lune et au Soleil. ..................................................................... 149

2 - Tentative d’explication. ................................................................................................ 149

3 - Un phénomène qui n’est pas simple. ............................................................................ 152

4 - L’explication de Laplace et de Poincaré. ...................................................................... 154

5 - Et la terre de la Terre ? .................................................................................................. 156

17 - TOURNE LE MANEGE .............................................................................................. 157

Fil d’Ariane : 3-4-5-6-7-9-10-17 ........................................................................................ 157

1 - La fête foraine. .............................................................................................................. 157

2 - La vitesse angulaire. ...................................................................................................... 158

3 - La vitesse tangentielle. .................................................................................................. 159

4 - Angle parcouru en fonction du temps dans le mouvement circulaire uniforme. .......... 161

5 - Accélération dans le mouvement circulaire uniforme. ................................................. 161

18 - LE VRAI CHAMP DE PESANTEUR ................................................................... 165

Fil d’Ariane : 3-4-5-6-7-9-10-17-18 .................................................................................. 165

1 - Le poids et la force de gravitation. ................................................................................ 165

2 - La force centrifuge dans le mouvement circulaire uniforme. ....................................... 165

3 - Le champ de pesanteur à l’équateur. ............................................................................. 165

4 - Variation du champ de pesanteur gop avec la latitude λ............................................... 167

5 - Les Equatoriens peuvent-ils ne plus toucher terre ? ..................................................... 169

Ex 18-1 - Correction R ω² au champ de gravitation à l’équateur. ................................................................. 170

Ex 18-2 - Calcul de la variation du champ de pesanteur avec la latitude λ. ................................................... 171

19 - LES LOIS DE KEPLER .............................................................................................. 172

Fil d’Ariane : 3-4-5-6-7-9-17-18-19 .................................................................................. 172

1 - L’équation du satellite. .................................................................................................. 172

2 - Les trois lois de Kepler. ................................................................................................ 173

3 - Modifier la force de Newton ? ...................................................................................... 175

Ex 19-1 - Période de révolution d’un satellite à l’altitude z = 400 km. .......................................................... 175

Ex 19-2 - Période de révolution à la surface de la Terre et masse volumique de la Terre. ............................. 176

Ex 19-3 - Période de révolution et vitesse de la Lune sur son orbite. ............................................................. 176

Ex 19-4 - Masse du Soleil à partir des caractéristiques de l’orbite terrestre. ................................................. 176

- 9 –

Ex 19-5 - Rayon de l’orbite de Neptune connaissant la période de révolution. ............................................. 177

Ex 19-6 - Période de révolution du satellite Titan de Saturne. ....................................................................... 177

Ex 19-7 – Satellite géostationnaire. ................................................................................................................ 177

Ex 19-8 - Période de révolution de Sirius A et B. .......................................................................................... 179

20 - DES OASIS DANS L’ESPACE. ................................................................................ 181

1 - De quel côté pencher : la Terre ou la Lune ? ................................................................ 181

2 - Point de Lagrange du système Terre-Lune. .................................................................. 182

3 - Point de Lagrange du système Soleil -Terre. ................................................................ 183

4 - Des Troyens s’installent dans deux oasis de l’espace. .................................................. 183

Ex 20-1 - Point E d’équigravité du système Terre-Lune. .............................................................................. 185

Ex 20-2 - Point de Lagrange L du système Terre-Lune. .............................................................................. 185

Ex 20-3 - Point de Lagrange du système Soleil -Terre. .................................................................................. 186

21 - A CHEVAL SUR LES GRANDS PRINCIPES .................................................... 187

1 - Introduction. .................................................................................................................. 187

2 - Dans quel référentiel sommes-nous ? ........................................................................... 187

3 - Principe de l’action et de la réaction. ............................................................................ 187

4 - Les référentiels galiléens. .............................................................................................. 189

5 - Le principe d’inertie. ..................................................................................................... 190

6 - Le principe fondamental de la dynamique. ................................................................... 191

7 - La force d’inertie. .......................................................................................................... 193

8 - L’équilibre relatif. ......................................................................................................... 196

9 - Application au mouvement circulaire uniforme. .......................................................... 198

22 - UN PEU D’ENERGIE ................................................................................................ 200

Fil d’Ariane : 3-4-5-6-7-9-10-17-18-19-22 ........................................................................ 200

1 - L’énergie potentielle de pesanteur. ............................................................................... 201

2 - L’énergie cinétique. ...................................................................................................... 203

3 - Transformation de l’énergie potentielle en énergie cinétique ou l’inverse. .................. 203

4 - L’énergie mécanique. .................................................................................................... 205

5 - Une expression plus générale de l’énergie potentielle de gravitation. .......................... 205

6 - La vitesse de libération. ................................................................................................ 206

Ex 22-1 - Calcul de quelques vitesses de libération. ...................................................................................... 207

Ex 22-2 – Approximation : Ep = m.g0.h ......................................................................................................... 207

Ex 22-3 – Vitesse de libération du système solaire. ....................................................................................... 208

23 - L’ATOME SEUL ET SOUS PRESSION .................................................................... 211

1 - Constitution de l’atome. ................................................................................................ 211

2 - L’intérieur de l’atome. .................................................................................................. 212

3 - Les liaisons entre atomes. ............................................................................................. 213

4 - La « solidité » de l’atome. ............................................................................................. 215

- 10 –

5 - L’atome écrasé. ............................................................................................................. 216

6 - A propos de E = mc². .................................................................................................... 217

24 - QUI EST LA CHAMPIONNE ? .................................................................................. 223

1 - La force électromagnétique. .......................................................................................... 223

2 - La force électrofaible. ................................................................................................... 224

3 - L’interaction forte. ........................................................................................................ 226

4 - Résumé. ......................................................................................................................... 227

5 - Un peu d’histoire de la Physique. ................................................................................. 228

Ex 24-1 - Comparaison de la force électrique et de la force de gravitation. .......................................... 229

25 - FABRIQUE D’ETOILES ET DE PLANETES ...................................................... 230

1 - A partir d’un gros nuage… ........................................................................................... 230

2 - Une proto-étoile se forme. ............................................................................................ 230

3 - Et une étoile se forme. .................................................................................................. 232

4 - Naines blanches et étoiles à neutrons. ........................................................................... 233

5 - Des étoiles avortées. ...................................................................................................... 235

6 - Des planètes se forment. ............................................................................................... 235

ANNEXE I ............................................................................................................................ 238

1 - Le radian. ...................................................................................................................... 238

2 - Période et fréquence. ..................................................................................................... 241

4 - Masse volumique et densité. ......................................................................................... 242

5 - La pression atmosphérique............................................................................................ 242

ANNEXE II ........................................................................................................................... 244

1 -Vecteurs. ........................................................................................................................ 244

2 - Repère ou référentiel. .................................................................................................... 245

BIBLIOGRAPHIE ................................................................................................................. 246

- 11 –

1 - PETITS PAS DANS L’ESPACE 1 - Etat des lieux du ciel. PA - Bonjour JO ! Puisque la Physique semble t’intéresser, je commence ce livre sur la force de gravitation de Newton avec je n’en doute pas, ton aide précieuse. Il devrait contenir ce que l’on doit savoir sur le sujet à la sortie du lycée. Nous discuterons souvent ensemble ; alors n’hésite pas à poser des questions. Lorsqu’on parle de gravitation à l’homme de la rue, il lui vient immanquablement à l’esprit mais pas toujours très clairement, que c’est elle qui contrôle le mouvement des planètes, des étoiles,….et de tous les corps célestes ; si nous revenons sur Terre, mais là c’est encore moins clair, de la chute des objets, du mouvement de projectiles, etc… En abordant la gravitation, nous aurons donc affaire à la planète Terre, à la Lune, au système solaire, aux étoiles, aux galaxies etc….. Pour évaluer le niveau à partir duquel nous devons partir, il est important de faire un rapide tour d’horizon sur tes connaissances en Astronomie et d’en profiter pour rappeler certaines données de base et ordres de grandeur. Il y a parfois des surprises dans les deux sens ! JO - Cette demande ressemble à une interrogation surprise ! Si ce livre commence de cette façon, nous sommes mal partis ! PA - Déjà une protestation ! Nous n’allons pas abandonner dès la première page ! Allez en route pour ce rapide tour d’horizon ! Que connais-tu sur les astres que je viens de citer ? JO - Bon. J’ai un peu peur mais je me lance….La Terre est une planète qui tourne sur elle-même en 24 heures, fait le tour du Soleil en une année en décrivant un grand cercle, l’orbite terrestre. La Lune fait le tour de la Terre en un peu moins d’un mois et présente toujours la même face à la Terre ; elle se trouve à environ 400000 km de la Terre. PA - Je t’interromps question de langage : on appelle le tour de la Terre autour du Soleil, de la Lune autour de la Terre, etc… une « révolution ». Quand on dit que la Terre tourne sur elle même, on parle plutôt de « rotation ». Tout ce que tu as dit est juste. On continue. Connais-tu la distance Terre-Soleil ? JO - Euh, je sais qu’on l’appelle l’unité astronomique (ua) mais je ne me souviens plus du nombre de millions ou de milliards de km. PA - L’unité astronomique (ua) vaut : 150 106 km (150 millions). L’ua est donc le rayon de l’orbite terrestre. Connais-tu encore le rayon de la Terre, celui du Soleil ? JO - Pour la Terre c’est 6400 km, je me souviens d’un exercice que nous venons de faire, sur les sphères. Pour le Soleil … mystère….. Enfin le Soleil est bien plus gros que la Terre. PA - Le Soleil a un rayon de 700 000 km soit environ 100 fois plus grand que le rayon de la Terre. Alors combien de fois son volume est-il supérieur à celui de la Terre ? JO - J’ai bien envie de dire que le Soleil est 100 fois plus « gros » que la Terre.

- 12 –

PA - Grave erreur ! Attends ! Je cherche un objet…Regarde, prenons ce Rubik’s cube dont l’arête est trois fois plus grande que celle des petits cubes élémentaires ; son volume n’est pas 3 fois plus grand que celui d’un petit cube mais 33 = 3.3.3 = 27 fois plus grand : il peut donc contenir 27 de ces petits cubes élémentaires. Pour cette raison on dit que les volumes varient comme le cube des longueurs et non comme les longueurs parce que dans la formule d’un volume il y a toujours le produit de 3 longueurs. Alors corrige ton erreur. JO - Ce qui signifie que le Soleil a un volume 100 . 100 . 100 = 1003 = 1 000 000 = 106 c’est à dire 1 million de fois plus grand que celui de la Terre ? PA – Bien sûr. Que sais-tu encore sur le Soleil et de ses planètes ? JO - Le Soleil est une étoile donc il est brillant et très chaud. PA - Oui, la température en surface est 6000 degrés. Au cœur du Soleil, elle atteint la dizaine de millions de degrés (107 ° C). Passons aux planètes. JO - Autour du Soleil tournent maintenant 8 planètes depuis que Pluton a été sortie de la liste électorale. Je connaissais une phrase pour me souvenir de l’ordre des planètes : Mon Vieux Théâtre M ’ A Joué Samedi Une Nouvelle Pièce ; pour Mercure, Vénus, Terre, Mars, Astéroïdes, Jupiter, Saturne, Uranus, Neptune, Pluton. PA - C’est un bon moyen mnémotechnique parmi beaucoup d’autres qui a l’avantage de faire apparaître la ceinture d’astéroïdes entre Mars et Jupiter. Remarque que tous ces astres tournent autour du Soleil approximativement dans un même plan ou disque planétaire. Le Soleil fait partie d’un immense essaim d’environ 300 milliards d’étoiles qui a la forme d’une galette bretonne avec un œuf en son centre ; cet essaim est notre galaxie : la Voie Lactée. Elle est esquissée figure (1-1). Elle a la forme d’une spirale avec plusieurs bras, autour d’un bulbe (l’œuf au centre) légèrement allongé. Pour cette raison on dit que notre galaxie est une spirale barrée. Le Soleil et son cortège de planètes, le système solaire, ne sont qu’un point dans cette immensité ; ils se trouvent dans le bras d’Orion à mi-distance entre le centre et le bord de la galette. On peut observer facilement la Voie Lactée les belles nuits d’été à la campagne comme une longue bande légèrement lumineuse, une traînée laiteuse qui traverse le ciel de part en part. Dans certains contes asiatiques on l’appelle le fleuve d’argent. On la voit ainsi parce que nous sommes à l’intérieur de l’essaim, dans l’épaisseur de la galette : on l’observe donc par la tranche. Il faudrait être à l’extérieur de la galaxie, au dessus de la galette, pour contempler ce très bel et immense disque spiralé. JO - Autrement dit, il faut être un extra-terrestre ! PA - Si tu veux ! Puisqu’il y a tant d’étoiles dans la Voie lactée, à quelle distance se trouvent les étoiles les plus proches du Soleil ? JO - Je crois que la plus proche est à 4 années-lumière du Soleil. Mais je ne sais pas si une année-lumière représente exactement un temps ou une distance. Peux-tu éclairer ma lanterne ?

- 13 –

- 14 –

PA - Ta lanterne n’est pas si pâle. Je t’explique. 2 - Une nouvelle unité pour mesurer les distances : l’année-lumière (al). La minute-voiture. PA - Supposons un pays idéal où toutes les voitures roulent toujours à une vitesse de 60 km à l’heure, soit 1 km/min (puisqu’il y a 60 minutes dans une heure). Retenons cette vitesse. Supposons encore que pour aller de la Porte du Soleil à la Porte de l’Est d’une grande ville une telle voiture met 20 minutes. Sur les panneaux lumineux de la Porte du Soleil est donc affiché « Porte de l’Est - 20 min. ». Tout les conducteurs passant par la Porte du Soleil qui roulent depuis des lustres à 1km/min traduisent immédiatement dans leur cerveau l’affichage par « Porte de l’Est - 20 km ». Leur cerveau convertit ainsi directement le temps en km. L’affichage des panneaux de la Porte du Soleil n’est en fait pas rigoureux : ils devraient afficher non pas : « Porte de l’Est 20 min. » mais : « Porte de l’Est - 20 min-voiture », et même ajouter que ceci n’est vrai que pour des voitures qui roulent à 1 km/min. Ainsi les min-voiture représentent une distance et non un temps. Et c’est bien la distance qui nous intéresse en premier lieu….ne serait-ce que pour la consommation de carburant ! L’année-lumière (al) Dans l’espace les distances sont tellement énormes qu’on utilise comme véhicule la lumière. Par conséquent il suffit de regarder combien de km parcourt le lumière pendant un certain temps, une minute ou une année par exemple, pour obtenir la distance en km que représente une min-lumière ou une année-lumière (al) . Mais au juste, connais-tu la vitesse de la lumière ? On l’écrit en général c comme « célérité ». J’ai vu un lycéen de Terminale m’affirmer sans sourciller qu’elle était de 330 m/s ! JO - La honte ! Heureusement moi, je la connais ! Le prof de Physique l’a suffisamment répété : c = 300 000 km/s. C’est d’ailleurs comme ça que je me rappelle que la distance Terre-Lune est de 400 000 km car je sais aussi que la lumière met un peu plus d’une seconde pour la parcourir. PA - Bien. Nous allons calculer combien de km parcourt la lumière en une année. Je rappelle que la distance d parcourue pendant le temps t par un véhicule dont la vitesse est v est :

d = v . t (1)

Pour connaître la distance correspondant à 1 al, il suffit de calculer le nombre t de secondes contenues dans une année et de multiplier par la vitesse c de la lumière : c = 3 105 km/s Dans un jour il y a : 24 . 3600 = 86400 s (valeur utile à retenir) , Dans une année, il y a donc : t = 86400 . 365 = 3.154 107 s. Nous multiplions par : c = 3 105 km/s et nous obtenons : d = 9.46 1012 km 1 année-lumière (1 al) vaut donc : 9.46 1012 km = 9460 milliards de km . (1 milliard = 109) JO - Ainsi 1 al vaut à peu près 10 000 milliards de km ( 1013 km ).

- 15 –

3 - Dimensions du système solaire et de la Voie Lactée. PA - Revenons à nos étoiles. Regarde le Soleil à 1 ua (150 106 km ) de la Terre ; sa lumière met environ 8 min. pour nous parvenir ( Ex 1 ). JO - On peut donc dire que le Soleil est à 8 min-lumière de la Terre. PA - Oui. Ainsi si le Soleil s’éteignait subitement, nous ne nous en apercevrions que 8 min. plus tard. La planète Jupiter est à 43 min-lumière du Soleil. Lorsqu’un satellite est au voisinage de cette planète, puisque les ondes radio voyagent aussi à la vitesse de la lumière, il faut donc attendre sur Terre (attention nous ne sommes pas le Soleil) une quarantaine de minutes pour recevoir une communication de ce satellite ! Pluton est à environ un peu moins de 6 heures-lumière (6 milliards de km). Cela donne l’ordre de grandeur du système solaire et encore sans tenir compte d’objets plus lointains toujours situés dans le plan des planètes ; ce sont des astéroïdes plus ou moins gros, certains même de la taille de Pluton, dans ce qu’on appelle « la ceinture de Kuiper ». Encore plus loin tout autour du Soleil, dans une couronne sphérique à environ 1 al, se trouve « le nuage de Oort » constitué de milliards de petits corps célestes glacés ne dépassant pas la dizaine de km. Des interactions et des chocs dans la ceinture de Kuiper expulsent parfois un astéroïde ou un fragment d’astéroïde qui peut devenir une comète. Il en est de même dans le nuage de Oort, mais les comètes qui en proviennent ont des périodes de passages autour du Soleil bien plus longues que celles provenant de la ceinture de Kuiper. Dans la figure (1-2) et les tableaux 1-1, on donne les distances en km et en temps-lumière ainsi que d’autres informations sur toutes les planètes, la Lune et le Soleil. Comme tu le disais tout à l’heure, l’étoile la plus proche du Soleil qui est Proxima du Centaure, est à 4.3 al. JO - Si je comprends bien cela veut dire que nous voyons Proxima du Centaure comme elle était il y a 4.3 années ? PA - Parfaitement. Le diamètre du disque de la Voie Lactée mesure 100 000 al. ; là on ne parle plus en min-lumière ou heures-lumière comme pour le système solaire mais en al ; c’est dire la petitesse du système solaire perdu dans la Voie Lactée, encore une fois ce n’est qu’un point ! Tu peux vérifier toi-même que 100 000 al représente à peu près 1 milliard de milliards de km, alors que la distance Soleil-Pluton n’est que d’environ 6 milliards de km. La galaxie d’Andromède est une sœur jumelle de la Voie Lactée située à un peu plus de 2 millions d’al. Comme la Voie Lactée, elle fait partie d’un groupe d’une quarantaine de galaxies appelé l’Amas local. Les deux nuages de Magellan encore plus proches en font également partie. Nous voyons ainsi Andromède comme elle était il y a 2 millions d’années. L’homme était tout juste en train d’apparaître sur Terre ! Nous observons des galaxies situées à dix milliards d’al. ! L’Univers était dans sa jeunesse et ces galaxies ont peut être déjà disparu. JO - Ah ! Autre chose : je viens de voir sur mon livre que dans une année il y a 365.25 jours et non 365, nombre que nous avons pris pour calculer une al. PA - C’est juste, l’année a bien 365.25 jours. Ce 0.25 de plus, soit 1/4 de jour, est responsable des années bissextiles. On regardera ce point (ch.12).

- 16 –

- 17 –

Pour le moment, il n’est pas nécessaire de faire des calculs très précis ; il suffit de connaître les bons ordres de grandeur ; aussi nous utilisons comme données des nombres faciles à retenir : la vitesse de la lumière n’est pas en réalité 300 000 km/s mais vaut un peu moins ; de même l’ua vaut un peu moins que 150 millions de km, etc…Nous corrigerons quand il faudra être plus précis. Pour bien assimiler les choses rien de tel que de faire des petits exercices. JO - Voilà qu’il y a maintenant des exercices à faire ! Je n’en peux plus ! Entraînement. Ex 1-1 - Temps mis par la lumière pour parcourir 1 ua. Nous avons vu que la Terre est à 1 ua du Soleil soit : 150 106 km . ……..Attention ne confonds pas l’ua et l’al……… Il suffit d’appliquer (1) avec v = c , et d’en tirer le temps : t = d / c. Ce qui donne : t = 150 106 / 300000 = 500 s , soit : 8 min et 20 s…. Mettons 8 min. Ex 1-2 - Calcul de vitesses. Nous allons calculer deux vitesses intéressantes : celle de la Terre sur son orbite et celle du Soleil, et donc de son cortège planétaire, autour du centre de la Voie Lactée. Nous admettons que les orbites sont circulaires. Les longueurs seront exprimées en km, le temps en s, et les vitesses en km/s. Nous calculerons la longueur L de l’orbite. Pour un cercle, on rappelle : L = 2 π R où R est le rayon du cercle. Et si T est le temps mis pour parcourir l’orbite de longueur L (période de révolution), d’après (1) la vitesse est : v = L / T

<<<>>>

Vitesse de la Terre sur son orbite (vitesse de révolution). Puisque le rayon R de l’orbite terrestre est : 1 ua soit : 150 106 km La longueur L de l’orbite terrestre est : L = 2 . π . 150 106 km Cette orbite est parcourue en 1 année. Nous venons de voir plus haut (calcul de l’al) que 1 année = 3.154 107 s La vitesse de la Terre est donc : v = 2 . π . 150 106 / 3.154 107 = 29.89 km /s

v ≈ 30 km/s (à retenir) Ex 1-3 - Vitesse de révolution du Soleil autour du centre galactique. Données : le Soleil est situé à une distance R = 26000 al du centre de la Voie Lactée. Il en fait le tour en 250 millions d’années. Puisque 1 al = 9.46 1012 km , le rayon de l’orbite du Soleil en km dans la Voie Lactée est : R= 26000 . 9.46 1012 km , et la longueur de l’orbite : L = 2 π . R Le temps d’une révolution est : T = 250 millions d’années et 1 année vaut 3.154 107 s. Ce qui donne pour la vitesse : v = 2 π . (26000 . 9.46 1012) / (250 106 . 3.154 107) = 196 km/s

v ≈ 200 km/s JO – Puisque nous sommes entraînés avec le Soleil, les deux résultats signifient que nous tournons à : 200 + 30 = 230 km/s autour du centre de la Voie lactée ?

- 18 –

PA - Non, parce que les 2 vitesses ne sont pas dans la même direction et ne s’ajoutent donc pas directement. Attention pour plus tard : les vitesses sont des vecteurs ! JO - Horreur ! Voilà les vecteurs !

- 19 –

Tableaux 1-1 Planète

Distance au Soleil en millions de km

Distance au Soleil en temps_lumière

Masse/Terre ……… M T =5.977 10 24 kg

Temps de révolution

Rayon équatorial en km

Mercure 57.9 * 3m 13s 0.056 87.97 j 2 440 Vénus 108.2 6m 01s 0.817 224.7 j 6 052 Terre 149.6 8m 19s 1 365.25 j 6 378 Mars 227.9 12m 40s 0.108 686.93 j 3 397 Jupiter 778.3 43m 13s 317.8 11.86 a 71 492 Saturne 1429 1h 19m 95.2 29.46 a 60 268 Uranus 2871 2h 39m 14.58 84.1 a 25 559 Neptune 4498 4h 10m 17.0 164.8 a 24 764 Pluton 5913 * 5h 29m 0.002 247.7 a 1123 Planète

Distance au Soleil en ua

Rotation sur elle-même

Masse volumique g/cm3

Nb de Satellites

Mercure 0.39 * 58.65 j 5.48 0 Vénus 0.72 243.0 j 5.24 0 Terre 1. Sidéral 23h 56m 4s

Solaire 24h 5.52 1

Mars 1.52 24.62 h 3.94 2 Jupiter 5.20 9.93 h 1.34 ≥ 63 Saturne 9.55 10.66 h 0.7 ≥ 56 Uranus 19.20 17.23 h 1.47 ≥ 27 Neptune 30.06 16.1 h 1.73 ≥ 13 Pluton 39.53 * 153.3 h 2.0 1 Masse Distance à la Terre Rayon Tps de révolution Lune 7,35 1022 kg 384400 km * 1738 km Sid. 27j 7h 43m

Syn. 29j 12h 44m Soleil 2,00 1030 kg 149.6 106 km 696 000 km NOTE : - Les astérisques signifient que l’orbite est une ellipse prononcée.

- Pour les temps sidéral, solaire et synodique voir ch.12 .

<<<<<<<<<<>>>>>>>>>> BIB : (3-6-14-17-20)

- 20 –

2 - RONDE OU PLATE ? CENTRE DE L’UNIVERS OU NON ?

1 - La Terre était-elle ronde ou plate ? JO - Lorsqu’on regarde la météo à la télé, on voit de très belles photos de la Terre prises de satellites ; on ne peut que constater que la Terre est bien une grosse boule ronde ; dans les photos plus détaillées on reconnaît non seulement les continents mais aussi les pays. Parfois même on distingue nettement un cyclone et son œil. Pourtant il y a très longtemps on ne savait pas que la Terre était ronde, on la croyait plate n’est-ce pas ? PA - Oui. Dans l’Antiquité, beaucoup de gens en étaient persuadés. Il faut se mettre un peu à leur place. Est-il si facile quand on te place au milieu d’un paysage, sans aucun instrument, de te rendre compte que la Terre est ronde (il serait préférable de dire sphérique) ? Est-ce que tu connais un moyen simple de voir que la Terre est ronde ? JO - Oui, mais il me faut des jumelles. Je regarde par exemple un voilier partir au loin comme le faisaient avec de longues-vues les corsaires au temps de Louis XIV. A l’horizon, la coque disparaît peu à peu, puis les voiles, enfin le bateau tout entier disparaît. PA - Dans la Grèce antique, certains pensaient que la Terre était un immense disque plat qui s’étendait encore « bien au delà des pays barbares » (fig.2-1a).

- 21 –

L’historien Hérodote jugeait même qu’il était dangereux de s’aventurer trop près des bords du disque. Mais la Terre avait-elle des bords ? Et en dessous du sol, la Terre continuait-elle en profondeur indéfiniment ou non ? Ces interrogations restaient sans réponse. Pour prouver que la Terre n’était pas ronde, d’autres invoquaient des arguments naïfs que l’on peut entendre encore de nos jours dans les petites classes des premières années d’école ; par exemple (fig.2-1b), le bonhomme au bas de la Terre devait forcément tomber dans l’abîme et les océans devaient forcément s’écouler vers le bas… le bas du dessin.

Cependant quelques bons observateurs commençaient à se douter que la Terre était ronde. Ceux qui avaient une bonne vue avaient bien remarqué qu’on n’apercevait plus que le haut des voiles des navires avant qu’ils ne disparaissent complètement à l’horizon. D’autres lors

- 22 –

des éclipses de Lune, notaient le cercle d’ombre de la Terre qui mangeait peu à peu la pleine Lune ; mais cette ombre était-elle due à la Terre ? Vers les années 200 av.JC., un grand mathématicien et astronome grec Eratosthène, qui dirigeait la bibliothèque d’Alexandrie, la grande ville de l’ancienne Egypte, va donner la preuve par une très belle démonstration que la Terre est bien ronde. Il va le faire à partir de simples observations, sans utiliser de jumelles ou d’instruments perfectionnés comme nous en avons maintenant. Eratosthène se rendait à Syène (Assouan) ville située à 800 km pratiquement au sud d’Alexandrie. Il avait remarqué que le 21 juin, à midi, le soleil éclairait le fonds d’un puits de Syène tout simplement parce qu’il était juste au-dessus. Pour la même raison, il notait que l’obélisque de Syène, ou un piquet planté verticalement ne donnaient pas d’ombre (fig.2-2). Pendant ce temps, un collègue resté à Alexandrie constatait qu’à ce même moment le 21 juin à midi, le soleil n’arrivait pas jusqu’au fond d’un puits analogue à celui de Syène ? De plus, l’obélisque d’Alexandrie ou un simple piquet donnaient bel et bien une ombre. Eratosthène se disait que si la Terre était plate, puisque les rayons du soleil sont tous parallèles, ce qui est vrai car le soleil est très loin de la Terre, les puits de Syène et d’Alexandrie devraient être éclairés de la même manière. Et s’il n’y avait pas d’ombre de l’obélisque de Syène, il ne devait pas y en avoir non plus pour celui d’Alexandrie. Ce n’était pas le cas. Il avait beau imaginer toutes les situations possibles, la seule explication plausible était que la Terre devait être ronde. Ce fut sa conclusion. Le plus remarquable est qu’il réussit à calculer le rayon et donc la longueur de la circonférence de la Terre… sans faire beaucoup d’erreur. Il trouva : 39 690 km. JO - Chapeau Eratosthène! Parce que je sais que le tour de la Terre mesure 40 000 km. PA - Ce n’est pas parce qu’Eratosthène était arrivé à la bonne conclusion que tout le monde le crût. Néanmoins, l’idée que la Terre était ronde commença à faire son chemin. Des marins de l’époque pensèrent par conséquent que l’on pouvait en faire le tour. Ils tentèrent des expéditions sans trop s’éloigner des côtes, mais en vain. Il fallut attendre encore très longtemps pour qu’un grand navigateur comme Magellan, prouve en 1520 que la Terre était effectivement bien ronde en en faisant le tour. A propos de navigateurs, l’anecdote suivante relie Christophe Colomb à Eratosthène. Des géographes du 15ième siècle étaient persuadés que les calculs d’Eratosthène étaient erronés ; ils trouvaient eux, que la circonférence de la Terre ne devait pas dépasser 29000 km. Pour les navigateurs ce nombre avait de l’importance. Pour rejoindre l’Asie par l’ouest en partant de l’Europe, il fallait en effet de toute façon traverser un immense océan. L’Amérique n’était pas encore connue ! Avec les navires de l’époque, il était périlleux de se lancer dans l’aventure si la circonférence de la Terre était de 40000 km comme le prédisait Eratosthène, mais le voyage devenait envisageable si cette longueur était ramenée en dessous de 29000 km. Paradoxalement cette erreur des géographes décida Christophe Colomb à tenter l’expédition. Ce fut sans doute pour lui une grande surprise d’atteindre si vite les « Indes » puisqu’il dénomma « les Indes » les premières îles comme San Salvador où il débarqua le 12 octobre 1492. Il avait évidemment découvert l’Amérique ! JO - Comme quoi ça vaut le coup de faire des erreurs dans ses calculs.

- 23 –

- 24 –

PA - Ne joue tout de même pas trop sur là dessus. L’histoire d’Eratosthène est instructive, parce qu’avec de la géométrie simple tu es maintenant capable de faire le même calcul qu’Eratosthène. Et si le cœur t’en dit, tu peux également connaissant la hauteur d’un navire, calculer à quelle distance il disparaît à l’horizon. Ces exercices sont faits à la fin de ce chapitre : Ex 2-1 et Ex 2-2. JO - Question ? Au moment de sa formation, la Terre aurait-elle pu ne pas être ronde ? PA - Si elle avait eu une masse beaucoup plus petite, oui. Les satellites de Mars : Phobos et Deimos (de dimension typique 20 km et 13 km respectivement) ne sont pas du tout sphériques et les plus gros astéroïdes comme Cérès (environ 700 km) ne le sont pas vraiment. C’est en effet la gravitation qui a façonné les planètes au moment de leur formation quand elles étaient encore chaudes et malléables suite aux collisions entre « embryons » planétaires (ch.25) ; une certaine masse est nécessaire pour que la gravitation devienne assez puissante pour modeler et compacter les planètes en sphères. Ce fut le cas de la Terre. JO - Donc la gravitation est responsable également de la forme sphérique de la Terre. PA - Oui. La forme sphérique est le forme géométrique pour laquelle le volume est maximum pour une surface donnée, on peut donc y mettre le maximum de masse. Mais avant d’aborder la gravitation, il est instructif de suivre l’évolution de l’Astronomie depuis la brillante époque de la Grèce et de voir en même temps comment beaucoup plus tard, les savants vont être conduits à imaginer cette force mystérieuse qu’est la gravitation. 2 - La Terre était-elle ou non le centre de l’Univers ? JO - C’est vrai ! Nous n’avons parlé que de la Terre jusqu’ici, mais comment les Anciens voyaient-ils les astres qui se promènent dans le ciel ? PA - Bien que les Babyloniens, les Egyptiens les Chinois aient commencé à étudier l’Astronomie plusieurs millénaires av.JC. , on peut dire que les grands progrès en Astronomie ont commencé avec les Grecs. Les premières théories apparaissent entre les années 400 av.JC et 200 de notre ère. Pour Aristote et Eudoxe, la Terre était au centre de l’Univers. Lorsqu’on prend la Terre comme centre de l’Univers, on dit que l’on fait du « géocentrisme » (du grec « gê » , la Terre). Pour les Grecs, les astres et le ciel appartenaient aux Dieux ; leur domaine était ainsi celui de la perfection par opposition au domaine imparfait des pauvres Terriens : la Terre. Comme le cercle était la figure géométrique la plus parfaite, les astres ne devaient donc décrire dans le ciel que des cercles. Ainsi Eudoxe et Aristote fixent tous les astres sur des sphères plus ou moins concentriques emboîtées comme des poupées russes, la dernière supportant les étoiles. Toutes ces sphères tournent autour de la Terre et les astres accrochés à ces sphères décrivent des cercles ; attention il faut que ces sphères soient « cristallines » pour que l’on puisse voir à travers elles les étoiles sur la dernière sphère. Cette dernière sphère contenant les étoiles était un monde parfait, immuable et figé dans l’éternité. Aristote pensait même que toutes ces sphères avaient une existence réelle et pouvaient être matérialisées. Ce système de sphères s’est cependant vite montré insuffisant : déjà il a fallu introduire un grand nombre de sphères, une bonne cinquantaine ; on avait de plus des difficultés à décrire le mouvement de certaines planètes qui se permettaient des caprices dans leur mouvement circulaire en faisant des retours en arrière avant de récupérer leur bon sens (ch.13-1). Mais les enfants du ciel les plus terribles étaient les comètes qui n’avaient pas du tout une trajectoire

- 25 –

circulaire et par conséquent devaient traverser de nombreuses sphères, ce qui était assez incompréhensible. Pour améliorer les choses, Hipparque puis plus tard Ptolémée, inventèrent un système plus compliqué pour retrouver les trajectoires des planètes : celles-ci tournaient sur de petits cercles qui, pour faire simple, roulaient sur de grands cercles centrés sur la Terre ou parfois même excentrés. Ces trajectoires s’appelaient des épicycles ou de manière équivalente des excentriques. Ils purent ainsi décrire à peu près correctement les trajectoires de la Lune, du Soleil et des planètes connues à cette époque qui allaient de Mercure à Saturne. On se satisfera de cette description pendant très longtemps sans trop se soucier des forces qui pouvaient faire tourner cette belle horlogerie réservée au domaine des Dieux ! JO - Personne n’avait pensé que les planètes pouvaient tourner autour du Soleil ? PA - Prendre le Soleil comme référence fait passer du géocentrisme à « l’héliocentrisme » (le préfixe « hélio » vient du grec « hélios » le Soleil. Le gaz rare hélium s’appelle ainsi car il a été découvert dans le Soleil en analysant la lumière solaire, avant de l’être sur Terre). Pour répondre à ta question, curieusement Aristarque de Samos environ 300 ans av.JC., y avait bien pensé mais ne fut pas du tout écouté et ses idées furent rejetées. Il avait pourtant bien compris que le Soleil était bien plus gros que la Terre et que par conséquent la Terre devait tourner autour du Soleil et non l’inverse. Il essaya de mesurer la distance Terre-Soleil et la trouva seulement vingt fois plus grande que la distance Terre-Lune au lieu de quatre cents fois. Cette erreur empêcha certainement pendant longtemps de prendre en considération son idée de l’héliocentrisme. Bien plus tard au 14ième siècle, un évêque de Normandie dénommé Oresme, émettait presque pour s’amuser, l’hypothèse suivante : si on faisait tourner la Terre sur elle-même et non le Ciel , le mouvement apparent des astres ne changeait pas! Le Centre de l’Univers allait-il quitter la Terre ? Il faut attendre les 15, 16 et 17ième siècle pour voir naître l’Astronomie moderne avec Copernic, Tycho Brahé, Kepler, Galilée. L’astronome polonais Copernic (1473-1543) probablement influencé par Aristarque et Oresme, franchit le pas : les planètes, Terre comprise, tournaient maintenant autour du Soleil et la Terre tournait sur elle-même. Malheureusement les trajectoires étaient toujours décrites avec la théorie des épicycles où le Soleil jouait maintenant le rôle de la Terre ; ce système restait toujours trop compliqué. L’excellent observateur danois qu’était Tycho Brahé (1546-1601) n’était pas totalement en accord avec Copernic ; il inventa malheureusement un nouveau système de sphères célestes encore plus compliqué qui sera vite abandonné. Toutefois il porta un coup fatal au monde immuable et réservé aux Dieux des dernières sphères d’Aristote puisqu’il vit apparaître en 1572 dans la constellation de Cassiopée une nouvelle étoile très éloignée mais aussi très brillante qu’il put observer de jour pendant un mois. Les cieux d’Aristote n’étaient donc plus immuables. On sait maintenant qu’il s’agissait d’une supernova, c’est à dire de la mort en feu d’artifice d’une grosse étoile. Cette observation eut un grand retentissement au point que le roi du Danemark Frédéric II mit à la disposition du jeune astronome l’île de Hveen pour y construire un observatoire. Tycho Brahé y fit d’excellentes observations sur les étoiles, les comètes et les planètes, en particulier sur la planète Mars. Le célèbre astronome allemand Kepler (1571-1630) fut dès 1600 l’assistant de Tycho Brahé qui mourut brusquement l’année suivante. Kepler profita alors des riches observations accumulées par son prédécesseur. Il travailla longtemps sur elles se conformant à l’opinion générale jamais remise en question jusqu’ici, que les orbites étaient circulaires. Puis il eut l’idée de génie d’introduire l’ellipse et non le cercle pour décrire les trajectoires des planètes

- 26 –

autour du Soleil ; les enfants terribles qu’étaient les comètes trouvèrent chaussures à leurs pieds dans ces trajectoires elliptiques. Il n’était plus question non plus de cercles qui roulaient les uns sur les autres ; épicycles et autres excentriques partaient en fumée. Ainsi Kepler non seulement raya beaucoup de difficultés mais établit trois lois restées célèbres en Astronomie. Nous découvrirons bientôt ces lois, au moins dans le cas d’orbites circulaires. Ce cas particulier est évidemment plus simple, mais il nous intéresse grandement car la majorité des planètes ont des orbites à peu près circulaires et un cercle n’est au fond qu’une ellipse particulière. JO - Une ellipse est un cercle aplati n’est-ce pas ? PA - C’est une façon de voir les choses. Tu peux observer une ellipse en regardant l’ombre d’une pièce de monnaie inclinée par rapport à l’horizontale lorsque le Soleil est au dessus de ta tête ou par exemple lorsque tu scies en biais par rapport à son axe un tuyau en plastique. Nous reparlerons de l’ellipse lorsque nous nous intéresserons de plus près à l’orbite terrestre (ch.8-4). JO - S’il te plait, donne-moi une pièce ; il me faut au moins 2 euros pour vérifier. PA - Je pense qu’il est préférable de revenir à Kepler. Il se posait une question très importante : pourquoi les planètes restent-elles sur leurs orbites et ne s’échappent-elles pas en « prenant la tangente » emportées par leur élan ? Quelle force subissent-elles pour être ramenées sans cesse sur leur orbite ? Il pensa à tort que s’il y en avait une, elle pouvait être une force de type magnétique. Enfin, le grand physicien italien Galilée (1564-1642) fit de remarquables travaux en Mécanique, et particulièrement en ce qui nous concerne, sur la chute des corps ; il construisit puis améliora une lunette astronomique qui porte son nom et lui permit d’observer les montagnes lunaires, les quatre gros satellites de Jupiter, les phases de Vénus semblables à celles de la Lune (nouvelle Lune, premier quartier, etc…). Il défendit la thèse héliocentrique de Copernic, ce qui lui causa beaucoup d’ennuis : l’Eglise ne pouvait admettre que la Terre n’était plus le centre du monde. Il fut prié d’abjurer et fut mis en quelque sorte en résidence surveillée, pratique encore couramment utilisée de nos jours par de nombreux dirigeants. Parlant de la Terre, il lui est resté cette phrase célèbre qu’il prononça après son jugement : « Et pourtant, elle tourne ! ». Galilée devait sans aucun doute se poser la même question que Kepler ; lorsque l’on fait tourner un caillou au bout d’une fronde, il y a bien une ficelle pour l’empêcher de s’en aller. Quelle force étrange maintient donc les planètes sur leurs orbites ? Coïncidence ou pas, il meurt l’année de la naissance d’un des plus grands génies de la Physique qui va apporter la solution : Isaac Newton. JO - Ah ! Voici donc Newton. Je suppose que c’est lui le père de la gravitation ? PA - Bonne déduction. Nous parlerons de lui incessamment. Pour lui rendre hommage, on a choisi le Newton (N) comme unité de force. JO - En attendant je vais essayer de résoudre le problème d’Eratosthène et celui du vaisseau fantôme. Ensuite j’irai dormir avant que mon lit-bateau ne disparaisse à l’horizon.

- 27 –

Entraînement. Nous ferons dans les deux exercices suivants cette approximation : les arcs de cercle très inférieurs à la longueur de la circonférence de la Terre, peuvent être remplacés par des segments de droite, leurs cordes. Ex 2-1 - Calcul d’Eratosthène du rayon de la Terre. Eratosthène supposait à juste raison que la Terre était sphérique. Il a probablement fait un schéma analogue à celui de la figure (2-3) . Elle représente les obélisques d’Alexandrie (A) et de Syène (S) le 21 juin à midi. L’obélisque d’Alexandrie donne une ombre AB, celui de Syène n’en donne pas.

- 28 –

L’arc BA est remplacé par le segment BA . Le triangle BAL est rectangle. L’angle α se retrouve en plusieurs endroits de la figure puisque les droites LB, Ax, CS sont parallèles. Eratosthène a mesuré une valeur de l’angle α de l’ordre de 7 degrés. D’autre part lors de ses voyages, il a mesuré la distance entre les deux villes d’Alexandrie et de Syène et trouvé une valeur proche de 800 km..

Sur le cercle de rayon R, l’arc AS intercepté par l’angle α a pour longueur : AS = R . α (1)

Attention, l’angle α doit être exprimé en radians (A.I -1). Rappel : α rad = α deg . π / 180 La relation (1) donne :

R = AS / α rad = AS . 180 / (α deg . π) Avec nos données : AS = 800 km et α = 7° on trouve : R = 800 . 180 / ( 7 . π) = 6548 km ( Rayon moyen réel : 6370 km ) Et la longueur L du tour de la Terre : L = 2 . π . R = 41142 km ( L moyen : 40 000 km = 40 000 000 m ) On rappelle qu’avec ses propres données, Eratosthène a obtenu : 39690 km. NOTE : La valeur du mètre a été prise pendant longtemps comme la dix millionième partie du quart du méridien terrestre : ( 40 000 000 / 4 ) / 10 000 000 = 1 Ex 2-2 - Disparition d’un voilier à l’horizon. Un observateur A est posté sur la côte au niveau de la mer et regarde avec des jumelles un voilier s’éloigner (fig.2-4a).

Le voilier est à la distance AV du port ; VH est la hauteur de son mât par rapport au niveau de la mer. AB est le diamètre de la Terre : 12800 km. Si le mât est vertical malgré la houle, la droite HV passe par le centre C de la Terre. VM est la partie de la coque et du mât cachée à cause de la rotondité de la mer. (fig. 2-4b)

- 29 –

Pour résoudre facilement le problème géométrique, on considère la droite BV où B est le point diamétralement opposé à A, et le point d’intersection M’ de la ligne de visée avec cette droite BV. La distance AV parcourue tant que le voilier reste visible, est très inférieure à la circonférence de la Terre. L’angle ε = (ABV) que l’on retrouve en (VAM) puisque ces deux angles ont leurs côtés perpendiculaires, est par conséquent très petit. Ceci permet de confondre l’arc AV avec le segment AV et de prendre égales les distances : AV, AM, AM’ ainsi que : VM et VM’ car on ne désire qu’une estimation de la partie du voilier qui disparaît et non une valeur très précise. Il reste à calculer la partie cachée du voilier : VM ≈ VM’ La similitude des triangles rectangles ABV et AVM’ permet d’écrire :

AB

AV

AM

VM ='

' que l’on peut écrire :

AB

AV

AV

VM = et donc :

- 30 –

VM = AV² / AB (1)

Le tableau 2-1 ci-dessous donne la hauteur VM cachée en fonction de la distance : x = AV parcourue par le voilier, calculée par la formule (1). Un voilier dont la hauteur de mât est VH = 20 m disparaîtra donc à une distance comprise entre 15 et 20 km aux yeux de l’observateur A posté sur la côte, au niveau de la mer. Attention, si l’observateur est posté en haut d’une falaise, le bateau disparaîtra évidemment plus loin.

Tableau 2 -1

Distance x en km

Hauteur de mât cachée en m

1 0,08 5 2 10 8 15 18 20 31 30 70 40 125

<<<<<<<<<<>>>>>>>>>>

BIB : (1-3-6-18-19-20)

- 31 –

3 - LE POIDS DE MES KILOS Fil d’Ariane : 3 Avec ce chapitre nous commençons le fil d’Ariane et faisons un premier pas vers la force de Newton, en introduisant la notion de « champ de pesanteur ». Malgré ce nom barbare, vous vous apercevrez que vous utilisez souvent cette notion sans le savoir quand vous parlez de votre poids. 1 - Une confusion fréquente. JO - Aujourd’hui, nous avons eu visite médicale à l’école. Une dame nous a pesés : moi, je pèse 40 kg, ma copine Juliane (JU) : 39 kg, Hugo le grand dadais avec des lunettes qui se fait toujours remarquer : 46 kg. Eh bien, tu ne sais pas ce qu’il m’a dit ? « tu ne dois pas dire: je pèse 40 kg, mais je pèse 400 j’sais pas quoi-tonnes. » ou quelque chose comme ça. PA - Je pense qu’il voulait dire Newton. JO - Newton ! Celui qui a découvert la gravitation ? Ah ben d’accord ! Mais tout le monde dit : « je pèse 40 kg, 46 kg, etc…. » y compris la dame qui nous a pesés. PA - Eh bien, tout le monde a tort et c’est ton copain Hugo qui a raison ! JO - D’abord, ce n’est pas mon copain ! Mais nom d’une pipe à quoi ça sert de multiplier ses kilos par 10 pour le plaisir d’avoir des Newton ? Ca ne change absolument rien. Si je pèse 400 Newton, Hugo avec ses 460 Newton est toujours plus lourd que moi, et Juliane avec ses 390 Newton plus légère ! PA - Tant que les gens habitent sur Terre, ils peuvent penser effectivement qu’il est inutile de faire cette multiplication par 10 de ses kilos pour avoir son poids en Newton. Mais si un jour ils partent sur une autre planète, ils vont avoir des problèmes. JO - Ah bon, pourquoi? De toute façon, ce n’est pas demain qu’ils vont aller sur Uranus. PA - Ecoute donc ceci au lieu de contester et essaye de bien retenir. 2 - Qu’est-ce que le poids au juste ? Le poids P d’un objet (ou d’une personne) se compose de deux parties :

- 1) La masse de l’objet m. La masse est une caractéristique propre de l’objet. Que l’objet soit sur Terre ou ailleurs, la masse ne change jamais (à condition évidemment de ne pas le détériorer !). Même chose pour toi : ta masse est une caractéristique propre à toi comme la couleur de tes yeux. Que tu sois sur Terre, sur la Lune ou sur Jupiter, ta masse ne change pas (à condition évidemment de ne pas faire un gros festin entre deux voyages !). - 2) Le champ de pesanteur qu’on écrit habituellement g0. C’est ce g0 qui vaut justement pour la planète Terre ce nombre 10 qui te tracasse (en réalité il vaut exactement 9.81).

- 32 –

Ce champ de pesanteur g0 ne dépend que de la planète sur laquelle se trouve l’objet ou toi-même. Il change donc si tu changes de planète.

Maintenant pour obtenir le poids P, il suffit de faire cette simple multiplication :

P = m . g0 (1) ↓ ↓ ↓ Unités: Newton = kg . Newton/kg Le poids P est une force : toute force doit s’exprimer en Newton (N) ; tu dois donc exprimer le poids en Newton. La masse m s’exprime en kg et le champ de pesanteur en Newton/kg . Ainsi le poids et la masse sont deux choses bien différentes. C’est le poids que tu ressens, et non la masse. La masse n’est pas une force et le poids ne s’exprime pas en kg ! Remarques : - Concernant les unités : à droite du signe « = » , on voit que la multiplication : kg . N/kg redonne effectivement les Newton que l’on a à gauche. On dit que l’on vérifie de cette façon « l’homogénéité » de l’équation (1). - Dans l’équation (1), rien n’indique que le poids P et le champ de pesanteur g0 sont dirigés vers le centre de la Terre, si nous ne précisons pas que ce sont des vecteurs, donc des grandeurs qui ont une direction et un sens, ici la direction « vers le centre de la Terre ». Pour le moment j’évite de parler de vecteurs car si j’effleure ce mot devant une classe de collégiens ou un groupe d’adultes, ils poussent de grands cris et s’enfuient en courant dans toutes les directions. JO - C’est bien aussi mon cas. Mais dis donc, c’est vraiment compliqué ce nom : « champ de pesanteur » ! PA - Tu vas vite t’y habituer.

JO - Si j’ai bien compris, puisque ma masse est de 40 kg, mon poids est bien: P = 40 . 10 = 400 N ? PA - Oui. Mais nous sommes bien d’accord, uniquement sur la Terre où g0 ≈ 10 N/kg . Peux-tu me dire alors quel sera ton poids sur la Lune où : g0 = 1.6 N/kg ? JO - Parce que tu veux m’envoyer sur la Lune ? Eh bien il sera …calculette….euh ! :

P = 40 . 1.6 = 64 N Oh là là ! 64 N au lieu de 400 N ! Je deviens beaucoup plus légère. C’est pour ça que je peux faire de grands sauts comme les cosmonautes américains ? PA - Bien sûr. Tu vois que sur la Terre ou sur la Lune, ta masse 40 kg est toujours la même, mais ton poids est très différent. Et comme je le disais c’est le poids que tu ressens. Tu te sens plus légère sur la Lune ! JO - Ca y est, je vois. Et sur Jupiter, g0 vaut combien ? PA - 25 N/kg. JO - Donc, sur Jupiter, je pèserai : 40. 25 = 1000 N. Qu’est ce que je deviens lourde! Je ne pourrai jamais tenir debout longtemps.

- 33 –

PA - Effectivement. Encore faudrait-il pouvoir te poser à la surface de cette planète. Sur Mars, où des cosmonautes risquent d’aller bientôt, g0 vaut environ 3.72 N/kg. Ils se sentiront presque trois fois plus légers que sur Terre. Tu verras que si dans l’avenir, les Terriens commencent à partir sur d’autres planètes, on commencera à parler partout du poids en Newton. JO - Avant de parler du poids en Newton, ce serait bien de parler de Newton tout court ! PA - Patience ! 3 - Le poids sur d’autres planètes. A l’aide du tableau ci-dessous, tu peux t’amuser à comparer le poids d’une personne sur diverses planètes, la Lune ou le Soleil.

Tableau 3-1

Astre

Champ de pesanteur g0 N/kg

Mercure 3.71

Vénus 8.78

Terre 9.81

Mars 3.72

Jupiter 24.9

Saturne 10.5

Uranus 7.86

Neptune 11.8

Lune 1.62

Soleil 274.

<<<<<<<<<<>>>>>>>>>

BIB : ( 3-6-8 )

- 34 –

4 - LA POMME DE NEWTON Fil d’Ariane : 3-4 Nous imaginons dans ce ch.4, de manière peut-être un peu prétentieuse, le genre de réflexions qui ont pu conduire Newton à sa célèbre force de gravitation universelle. Lorsque nous nous plaçons à la surface de la Terre, nous nous rendons compte que cette force est finalement identique au poids. Elle est donc proportionnelle comme le poids, au champ de pesanteur que nous venons de découvrir chapitre précédent. Nous ne pouvons pas encore l’écrire explicitement parce que nous n’avons pas détaillé ce champ de pesanteur g0. Cela sera fait chapitre suivant (ch.5). Nous pourrons alors établir un peu plus loin l’expression de la force de Newton (ch.9). Nous signalons enfin une petite différence entre champ de pesanteur et champ de gravitation due à la rotation de la Terre. Nous n’en tiendrons pas compte et prendrons égaux ces deux champs tant que nous ne savons pas évaluer l’effet de cette rotation. Il faudra pour cela patienter longtemps jusqu’au ch.18. 1 - Newton découvre les lois de la gravitation. PA - Comme promis, nous allons maintenant parler de Newton. Isaac Newton est un très grand génie qui a fortement marqué l’histoire de la Physique. Il a vécu en Angleterre de 1642 à 1727 et a découvert en 1687 les lois de la gravitation universelle d’une très grande importance puisqu’elles vont établir un système clair et cohérent du monde. Il l’écrit lui-même dans les Principia : « Je démontre maintenant la structure du système du monde ». Sa théorie va être à l’origine de très nombreux travaux et aura une influence considérable jusqu’à notre époque. Dès que l’on évoque son nom, on parle presque toujours de sa célèbre pomme dont la chute aurait été l’événement insolite point de départ de ses réflexions. JO - Alors, raconte-moi l’histoire de la pomme. PA - Est-ce une légende ou non ? Toujours est-il que Newton se promenant dans la campagne, vit tomber une pomme sur le sol. Ou peut-être pour rajouter à la légende, faisait-il la sieste sous un pommier et l’a-t-il reçue sur la tête? Au lieu de pester contre la nature, il réfléchit et se posa cette question pour le moins surprenante : pourquoi cette pomme est-elle tombée sur le sol, pourquoi ne reste-t-elle pas en l’air, là où elle était après s’être décrochée du pommier ? JO - Effectivement ce serait chouette si les objets ne tombaient plus et restaient en l’air. Quand on fait la vaisselle ou qu’on débarrasse la table, il y aurait moins de casse à la maison. PA - Pour les gens de l’époque comme pour beaucoup d’entre nous encore, la question que se posait Newton peut sembler farfelue. Nous sommes tellement habitués à voir les choses tomber à terre, que nous n’avons même pas l’idée de nous poser une telle question. Nous sommes conditionnés par notre environnement au point que nous trouvons tout à fait normal tout ce qui se passe autour de nous et nous ne voyons pas plus loin que le bout de notre nez. JO - Alors toi Pa, tu dois voir loin avec ton grand nez ! PA - Ecoute donc et regarde les pommiers que j’ai dessinés tout autour de la Terre (fig.4-1).

- 35 –

- 36 –

Il y a un pommier en France, un à l’équateur, un en Nouvelle-Zélande. Sur le globe terrestre ce dernier pays est à peu près diamétralement opposé à la France. J’en ai mis enfin un au pôle Nord et un au pôle Sud. JO - Moi, j’ai mis ces deux derniers dans des serres pour qu’ils puissent donner des pommes ! PA - Merci pour eux. Mais revenons maintenant à Newton en train d’observer la chute des pommes. Nous nous permettons d’imaginer qu’il devait penser ce genre de choses : - Toutes les pommes tombent sur le sol verticalement, c’est à dire vers le centre de la Terre quel que soit l’endroit où elles se trouvent. - Une telle chute ne peut avoir lieu que si la Terre les attire sur elle-même, sur sa surface, plus exactement vers son centre… Si ce n’était pas le cas les pommes en Nouvelle-Zélande, à l’équateur ou au pôle Sud tomberaient dans l’abîme en dessous de la Terre. Arrêtons-nous une seconde sur ce point : puisque les pommes tombent toutes selon une verticale de haut en bas cela veut dire qu’il y a un haut et un bas en chaque point de la surface de la Terre. Et comme toutes les verticales se rejoignent au centre de la Terre, c’est le centre de la Terre qui devient le centre d’intérêt et non l’abîme « en bas de la Terre » . JO - C’est vrai que lorsqu’on représente la Terre, on a tendance à dire que le pôle Nord est le haut de la Terre et le pôle Sud le bas. PA - Dans l’espace il n’y a ni haut ni bas pour la Terre prise globalement ; seul le centre est important. Continuons les réflexions de Newton : - Donc la Terre attire vers son centre la pomme, ou le pot de fleurs qui tombe d’une fenêtre…. ou elle s’oppose au saut du champion qui essaie de franchir la barre des 2.30m en le faisant retomber aussitôt. - Qu’il y a-t-il de commun entre la Terre et une pomme ? Ou la Terre et une personne pour qu’elles s’attirent de cette sorte ? La Terre est bien un gros aimant mais une pomme ne s’aimante pas, une personne non plus. Donc la force qui les attirent n’est pas magnétique… ni électrique ; une pomme n’a aucune raison d’être chargée électriquement. - Ah ! la Terre et la pomme ont toutes les deux une masse. Peut-être que ces deux objets s’attirent tout simplement parce qu’ils ont une masse ? - Peut-être est-ce encore vrai pour un pommier sur une autre planète ou quand je mets dans l’espace deux masses quelconques en présence, par exemple : deux pierres, deux cosmonautes, un cosmonaute et une planète, une planète et son satellite, une planète et son étoile, etc… chaque fois les deux masses vont s’attirer irrésistiblement……J’ai bien l’impression que tout semble fonctionner si je décrète que deux masses quelconques mises en présence et soumises à aucune autre influence, s’attirent irrésistiblement….. …… Réflexions…Gros calculs…. Mais oui ça marche ! Newton venait de découvrir la force d’attraction entre deux masses qu’il appela force de gravitation universelle…universelle parce qu’elle est vraie pour deux masses quelconques. Ainsi la question soi-disant farfelue qu’il se posait, va déboucher sur quelque chose d’extraordinaire : il va établir la théorie de l’attraction gravitationnelle universelle. Cette théorie permettra d’expliquer parfaitement non seulement la chute des pommes ou de tout objet sur Terre ou sur une autre planète, mais aussi le mouvement des planètes autour du Soleil, des satellites naturels comme la Lune autour de la Terre, des étoiles autour du centre de la Voie Lactée, etc…. Newton montre également que les lois de Kepler découlent tout naturellement de sa théorie. Ainsi la théorie de l’attraction gravitationnelle universelle permettra de faire un grand pas dans la compréhension de l’Univers.

- 37 –

JO - Génial ce Newton ! Est-ce que sa théorie est toujours utilisée de nos jours ? PA - Elle s’imposera jusqu’au début du 20ième siècle mais sera dépassée par une nouvelle théorie dont on parle souvent qui est la « Relativité Générale » d’un autre très grand génie Albert Einstein. JO - Ah oui ! Celui qui tire la langue sur une photo ! PA - Il est vrai que l’on montre souvent cette photo. Contrairement à ce que pensent beaucoup de gens, la théorie de Newton n’en est pas supprimée pour autant ; elle est en fait englobée dans la Relativité Générale comme un cas très particulier, celui où tous les objets ou corps célestes ont des vitesses petites par rapport à la vitesse de la lumière c = 300000 km/s. JO - Et du temps de Newton une vitesse de 300000 km/s était inimaginable pour tout objet sur Terre ….. PA - …Ou même une planète. Nous avons vu que la Terre se déplace à 30 km/s sur son orbite (Ex 1-2). La Lune parcourt son orbite à 1 km/s (Ex 19-3). Ces vitesses comme celles d’autres planètes sont effectivement bien inférieures à c. De même sur Terre la vitesse d’un avion qui vole à deux fois la vitesse du son (≈ 330 m/s ) ou celle d’une balle de fusil ne dépasse guère quelques km/s. Pour cette raison on peut étudier le ciel avec la théorie de Newton qui reste encore d’une grande précision. C’est ce que nous faisons dans ce livre. Il faut observer de façon extrêmement fine certains phénomènes pour s’apercevoir que la théorie de Newton ne marche plus et dont par contre la Relativité Générale d’Einstein rend parfaitement compte. JO - Tu en as trop dit, lesquels par exemple ? PA - Les plus célèbres sont l’anomalie du lent pivotement de l’orbite de Mercure et la déviation de la lumière lorsqu’elle passe près d’une masse énorme comme le Soleil. Nous les décrivons (ch.13-4). 2 - La prison terrestre. JO - Pour résumer : puisque moi , je possède une petite masse, je suis irrésistiblement attirée par l’énorme masse de la Terre. Je subis donc la force de gravitation de Newton qui me scotche sur la surface de la Terre et m’empêche de m’évader dans l’espace. C’est bien ça ? PA - Exactement. La Terre t’attire vers son centre parce que tu as une masse et évidemment tu es arrêtée par sa surface. Ce serait la même chose si tu atterrissais sur une autre planète, la Lune ou Mars….. Si je te déposais et t’abandonnais immobile à par exemple 100000 km de la Terre, tu subirais toujours son attraction bien qu’elle soit plus faible. Puis tu tomberais sur elle, d’abord lentement, puis de plus en plus vite parce que la force d’attraction augmente lorsqu’on se rapproche de sa surface, plus précisément de son centre.. JO - Si je comprends bien, la force de gravitation entre moi et la Terre est maximum lorsque je suis sur sa surface puis elle diminue lorsqu’on s’éloigne d’elle. PA - Bien sûr.

- 38 –

JO - Si tu me déposes infiniment loin de la Terre, je suppose qu’elle ne m’attire plus et que je fais du surplace. PA - Evidemment à l’infini la Terre ne t’attire plus ; tu fais comme tu le dis du surplace, à condition de ne pas te trouver à proximité d’un autre corps céleste qui t’attirerait à son tour. Et si je vous déposais encore toi et ta copine JU dans l’espace à 10 m par exemple l’une de l’autre, dans un endroit où il n’y a absolument rien, pas un astre, pas une galaxie, etc… vous vous attireriez et vous finiriez au bout d’un temps certes très long, par entrer en collision. JO - Trop drôle. PA - Plus les deux masses en présence sont grandes, plus la force de gravitation qui les attire irrésistiblement est grande. Note que la force de gravitation entre toi et JU même à 10 m l’une de l’autre, toujours dans cet endroit perdu, est beaucoup plus faible qu’entre toi et la Terre même à 100000 km de sa surface, parce que la masse de la Terre ( 6 1024 kg ) est incomparablement supérieure à celle de ta copine. JO - Finalement Newton nous à tous emprisonnés sur Terre. Je ne le lui dis pas car il avait paraît-il assez mauvais caractère ! PA - Surtout qu’il n’y est pour rien. Le coupable c’est la force de gravitation. 3 - Poids et force de gravitation. JO - Au fait si la force de gravitation nous retient sur Terre, j’ai bien l’impression que c’est la même chose que le poids dont tu ne parles absolument pas, et je me demande si tu ne le fais pas exprès pour embrouiller mes petits neurones. PA - Loin de moi cette intention. Mais tu as fait le bon rapprochement. La force de gravitation F est bien la même chose que le poids P. Ainsi puisqu’on a écrit (ch.3) :

P = m . g0 (1)

Où g0 est le champ de pesanteur. Euh….on peut aussi bien écrire :

F = m . g0 (2) JO - P ou F sont pareils ! Pourquoi écrire deux fois la même chose ? PA - Tout d’abord, lorsqu’on parle du poids P d’une personne, cette personne se trouve en principe à la surface de la Terre puisque c’est le seul endroit où elle peut être pesée. Au sens commun du terme, le poids n’est défini qu’à la surface de la Terre (noté par l’indice 0 dans le champ de pesanteur g0 ). Lorsqu’on parle de la force de gravitation F, la distance entre les deux masses en présence peut être aussi grande que l’on veut. Ainsi une personne peut être très loin de la Terre, l’attraction gravitationnelle F entre elle et la Terre existe toujours. En ce sens la force de gravitation F est plus générale que le poids P.

- 39 –

JO - Si j’ai bien compris, le poids peut donc être considéré comme un cas particulier de la force de gravitation lorsque la personne ou l’objet se trouve à la surface de la Terre. Ces deux forces F et P sont alors égales et proportionnelles au champ de pesanteur g0, le coefficient de proportionnalité étant la masse m. PA - Nous sommes d’accord. JO - Si j’ai bien compris encore, puisque grâce à ma masse, je suis capable d’attirer JU dans l’espace où il n’y a rien, ça signifie également que je crée autour de moi un champ de pesanteur comme le fait la Terre. Même chose pour ma copine quand elle m’attire.. PA - Nous sommes toujours d’accord. 4 - Champ de pesanteur et champ de gravitation. JO - Cependant…Ah! Ah! Ah !…. J’ai décelé tout à l’heure une hésitation parce que tu as prononcé involontairement pour g0 « champ de gravitation » au lieu de « champ de pesanteur », quand tu as écrit (2). PA - Oui. J’ai effectivement hésité et tu as bien remarqué le grain de sable qui soulève un point délicat. En fait j’ai menti ; champ de pesanteur et champ de gravitation ne sont pas tout à fait identiques. La différence vient de la rotation de la Terre sur elle-même. Le champ de gravitation n’en tient pas compte. Le champ de pesanteur en tient compte et de ce fait est un peu plus faible. Il faudrait par conséquent écrire deux g0 pour les différencier que l’on appellerait champ de pesanteur dans (1) et champ de gravitation dans (2). JO - Donc en résumé, à la surface de la Terre, le poids P et la force de gravitation F ne sont pas tout à fait égaux, puisque les deux champs g0 dans (1) et (2) ne le sont pas. PA - Pour le moment, la différence entre les deux champs à la surface d’une planète étant minime si elle ne tourne pas trop vite sur elle-même, ce qui est le cas de la Terre, nous parlerons indifféremment de champ de gravitation ou de champ de pesanteur. Je ne voulais pas parler de ce problème avant d’avoir progressé un peu plus. Mais il est bien de l’avoir en tête. Il faudra attendre le chapitre 18, pour évaluer la petite différence entre les deux champs.

- 40 –

Une excursion dans l’espace ……..(dessin 4-2).

JO se retrouva soudain avec sa copine JU dans le superbe vaisseau tout neuf de PA ; c’était une Karapass 525, un vaisseau spatial de la 108ième génération. Le nom du vaisseau écrit à l’anglo-saxonne pour des raisons publicitaires, passait bien dans l’opinion publique au regard des innombrables catastrophes qui avaient eu lieu dans les voyages intersidéraux : manque de protection contre les rayons cosmiques, collisions au démarrage dans la nuée trop dense de satellites artificiels autour de la Terre, etc…. PA prit les commandes en maugréant contre le concessionnaire car il venait de payer un prix exorbitant deux pièces qu’il avait fallu déjà changer, deux pièces exclues comme d’habitude du contrat de vente. La Karapass de PA entra à une vitesse bien supérieure à celle de la lumière, n’en déplaise à M.Einstein, dans le réseau suédois de chemins de l’espace ; chaque pays avait en effet son propre réseau de chemins de l’espace ; on n’avait pas été fichu de s’entendre sur le plan international ; l’établissement de tous ces réseaux n’avait pas été sans provoquer de multiples conflits en général pour des peccadilles comme par exemple un réseau qui empiétait de trois années-lumière sur un autre. Bref celui de la France était géré par la Société Nationale des Chemins de l’Espace. Mais PA se garda bien de l’emprunter car le personnel était toujours en grève. Il faut dire que deux relais étaient installés dans les banlieues de deux géantes rouges Bételgeuse et Aldébaran. La Karapass arriva au péage où beaucoup de monde s’agglutinait car c’était la veille du week-end. Il fallait entrer le code de l’univers parallèle où l’on désirait se rendre. On y accédait par des trous de vers qui permettaient de sortir quasi instantanément de la galaxie. PA demanda à JU de taper 1687 ; les deux filles remarquèrent tout de suite qu’il

- 41 –

correspondait à l’année de la découverte de la loi de gravitation universelle et elles pensèrent qu’une rencontre imminente avec Newton aurait probablement lieu. La Karapass arriva en moins d’une zeptoseconde dans un endroit à vrai dire assez étrange, plus noir que noir , où il n’y avait effectivement absolument rien. PA déposa d’abord JO en scaphandre évidemment, puis JU, 1km plus loin.

PA – Je vous laisse ici. Je reviens vous chercher dans un petit moment. Le vaisseau spatial fit demi-tour et disparut brusquement. On pouvait voir les deux scaphandres auto-luminescents de JO et JU flotter dans l’espace à 1km l’un de l’autre. JO – Allo JU ? Dis donc on ne va pas moisir dans ce trou ! PA nous laisse en plan, il aurait pu au moins nous dire où il allait ! En tous cas ce n’est pas dans ce coin qu’il va trouver un café du commerce. JU - Je suis bien d’accord. Rien ne se passe. Nous n’avons même pas de propulseurs dans le dos pour nous déplacer. C’est alors que la voix de Newton retentit dans les écouteurs : « Ne vous inquiétez pas les filles. PA vous a placé beaucoup trop loin l’une de l’autre. Attendez une seconde, j’augmente ma constante gravitationnelle G ». JO – Dis donc JU, qu’est-ce qu’il nous raconte avec son truc gravitationnel. Il ferait mieux de nous aider à nous déplacer. Au début, JO et JU ne s’aperçurent en effet de rien. Puis, peu à peu, sans rien faire, elles eurent l’impression qu’elles se dirigeaient l’une vers l’autre, tout d’abord très lentement, puis de plus en plus vite. JO – Allo ! JU…je te vois bien maintenant. Je vais vers toi de plus en plus vite. JU – Allo ! JO. Moi aussi, c’est pareil, mais c’est moi qui fonce vers toi. Il me semble aussi que l’on accélère et si ça continue on va se tamponner violemment ! La collision semblait effectivement inévitable. Mais la voix de Newton reprit : « Mesdemoiselles vous avez l’honneur d’expérimenter ma belle force, une force admirable. Au fait de quelle force s’agit-il ? » JO impressionnée et prise un peu de panique répondit n’importe quoi, que c’était une force magnétique et demanda à Newton de faire rapidement quelque chose. Newton s’irrita : « Mesdemoiselles, heureusement que PA est un de mes grands amis. Il est grand temps que vous retourniez à l’école ». Elles se retrouvèrent instantanément au péage dans la Karapass avec PA. Celui-ci n’était pas content, il venait de recevoir un message de Newton incendiaire à l’égard des deux filles. PA s’adressa à elles : « Newton a raison, après tout ce que je vous ai appris, il est temps d’aller à l’école….Il est temps d’aller à l’école….Il est temps d’aller à l’école…. » La maman de JO avait du mal à réveiller sa fille…et il était vraiment l’heure d’aller au collège.

- 42 –

Entraînement. Ex 1-1 - Variation de l’attraction gravitationnelle de la Terre avec la distance. PA - Etant donné que la force de gravitation varie comme l’inverse du carré de la distance entre toi et le centre de la Terre, calcule la force de gravitation que tu ressens lorsque tu es à une distance du centre de la Terre égale à : 2, 10, 100 fois le rayon R de la Terre. Tu prendras ta masse égale à 40 kg et g0 = 10 N/kg. JO - Holà ! Trop dur ce problème. PA - Quand tu es à la surface de la Terre, quel est ton poids et à quelle distance es-tu du centre de la Terre ? JO - Je suis évidemment à la distance R = 6400 km du centre de la Terre. Ouf ! Déjà un bon point pour moi ! Mon poids est 40 kg …Oh erreur ! Pardon : comme ma masse est 40kg mon poids est 400 N. ………J’ai compris ! Puisque la force de gravitation est égale au poids, elle vaut aussi 400 N. Bon la suite !... Mais qu’est-ce que c’est ce charabia « …varie comme l’inverse du carré… » ? PA - Tu t’affoles pour peu de chose : cela veut dire que la force de gravitation diminue quand le carré de la distance au centre de la Terre augmente ; si la distance double, la force de gravitation diminue d’un facteur 2 au carré et 22 = 4, si elle est triple elle diminue de 3² = 9 etc… JO - Compris. Donc si je suis à la distance : 2 fois le rayon R, la distance au centre a doublé ; la force de gravitation F qui vaut 400 N à la distance R, est alors divisée par 2² = 4.

Réponse : F = 100 N PA - Bien, la suite ? JO - Fastoche. A la distance 10 R, F est divisée par 102 donc F = 400 / 100 :

Réponse : F = 4 N Enfin à 100 R , F = 400 / 1002 :

Réponse : F = 0.04 N PA - Exact. Et que dire si on s’éloigne de la Terre à l’infini ? JO - On divise 400 N par un nombre très grand, qui de plus est au carré, on obtient donc zéro. La force de gravitation s’annule ce qui me semble logique comme nous l’avons déjà dit. On pourrait s’arrêter là puisque tout s’annule !

<<<<<<<<<<>>>>>>>>>> BIB : (10-18-19-20)

- 43 –

5 - ON CULTIVE LE CHAMP Fil d’Ariane : 3-4-5 Nous étudions ici plus en détail le champ de pesanteur ou de gravitation g0 d’une planète et donnons son expression très simple qui permet de le calculer à partir de la masse et du rayon de cette planète. Nous donnons également un moyen de l’obtenir expérimentalement à partir de l’oscillation d’un pendule. Nous en profitons pour dire deux mots sur le pendule de Foucault grâce auquel nous pouvons mettre en évidence la rotation de la Terre. 1 - Le champ de gravitation d’une planète. PA - Puisque nous avons fait connaissance avec le champ de pesanteur ou de gravitation g0 , nous allons maintenant essayer de calculer sa valeur à la surface d’une planète. NOTE - Je rappelle tout d’abord que nous sommes à la surface de la planète comme l’indique l’indice 0 et que de plus, nous ne faisons pas intervenir la rotation de la planète : les deux champs de gravitation et de pesanteur sont dans ce cas identiques comme cela a été signalé (ch.4-4).

Le champ de gravitation à la surface d’une planète est parfois appelé « gravité de surface ». JO - J’ai bien retenu que la valeur de g0 , ne dépend que de la planète sur laquelle on se trouve ; il vaut exactement 9.81 N/kg pour la Terre. Puisqu’il va falloir retrouver cette valeur, je voudrais savoir si elle est donnée par une horrible formule ? Si c’est le cas, je rends mon tablier tout de suite. PA - Pas de crainte ! Déjà tu peux penser que plus la masse de la planète est grande, plus l’attraction de la planète est forte. Contrairement à ce que tu crois, l’expression du champ de gravitation est très simple. La voici :

g0 = G . M / R² (1)

G est la constante de gravitation universelle et vaut : 6.67 10-11 S.I. (Système International) M est la masse en kg. Pour la Terre : M = 5.977 1024 kg. R est le rayon en m. Pour la Terre : R = 6370 km = 6.370 106 m. Tu constates que g0 est proportionnel à M, et que plus R est grand, plus tu es éloignée du centre de la planète et plus le champ g0 est faible. Voilà, tu connais tout pour calculer g0. JO - C’est tout ? En effet la formule n’est pas trop compliquée.

PA - Cette simplicité vient de la forme sphérique de la Terre. Lorsqu’on cherche le champ de gravitation à la surface d’une sphère homogène (c’est à dire dont la masse volumique est la même en tous les points à l’intérieur, comme une boule de pétanque pleine par exemple), on peut remplacer cette sphère par un seul point, son centre où l’on met toute sa masse M. Le calcul du champ de gravitation est alors grandement simplifié comme tu peux le constater. Attention, puisque nous voulons le champ à la surface de la sphère nous sommes à une distance du centre égale au rayon R. Nous ne calculons pas le champ au centre ! JO - J’ai bien le sentiment que la Terre n’est pas une sphère homogène parce qu’on a vu en classe que lorsqu’on s’enfonce vers le centre, on rencontre du solide, du liquide et à nouveau peut être du solide.

- 44 –

PA - Tu as parfaitement raison : la Terre n’est pas une sphère homogène (ch.7-1). Elle est constituée un peu comme un bel oignon tout rond, d’un noyau sphérique entouré de couches concentriques de différentes masses volumiques ; néanmoins pour calculer le champ de gravitation à sa surface, les couches concentriques étant des couronnes sphériques à peu près homogènes, nous avons toujours le droit de la considérer comme un point, son centre, où nous mettons toute sa masse. Donc (1) est toujours valable. JO - Bon tant mieux. Je regarde maintenant attentivement la formule (1) et spécialement G. Attends deux minutes. Tu veux dire que G est une constante universelle comme l’est la vitesse de la lumière : c = 300000 km/s ? PA - Absolument. Tu retrouveras cette constante pratiquement dans tous les problèmes de gravitation. Elle est là pour calibrer et pouvoir comparer la force de gravitation avec les autres forces de la nature. JO - Que vient faire là dedans le Système International S.I. ? PA - Tu connais les unités de base du S.I. : le mètre, le kilogramme et la seconde. L’unité de G est compliquée en fonction de ces 3 unités de base (unité de G = kg-1 . m3 . s-2 ) . Aussi pour aller plus vite ou parce qu’on est un peu flemmard, on écrit simplement S.I. Fais attention, chaque fois que tu utilises G dans une formule, les autres grandeurs doivent être exprimées en m, kg et s. Attention encore : ne confonds pas G avec g0 (ou g que nous rencontrerons plus loin). JO - C’est enregistré. Tu vas voir, je te calcule g0 avec (1) en deux temps trois mouvements. JO s’énervait parce qu’elle trouvait un nombre bien trop fort et jurait qu’elle ne se trompait pas dans ses calculs. PA jeta discrètement un œil par dessus son épaule sur sa feuille. PA - Si tu exprimais le rayon de la Terre en m et non en km, tu ne penses pas que ça irait mieux ? JO - Ah ouais c’est vrai ! Les distances doivent être en m ! R = 6370 km et vaut donc en m : 6.370 106 m . Je trouve : g0 = 9.825 N/kg PA - C’est bon. Ne t’inquiète pas si tu ne trouves pas exactement 9.81 N/kg. Souviens-toi pour plus tard que nous ne prenons pas en compte la rotation de la Terre. As-tu remarqué que si tu connais g0 et le rayon R d’une planète, tu peux calculer sa masse M en utilisant la formule (1). Nous l’avons fait pour la Terre ( Ex 5-1 ). 2 - Un moyen d’obtenir g0 . Le pendule simple. Il existe quelques expériences simples qui permettent d’obtenir la valeur de g0 ; par exemple en analysant la chute d’un objet sur le sol, ce que nous verrons ultérieurement (ch.10), ou à l’aide d’un simple pendule ce que nous allons voir maintenant. PA - Un pendule est tout bêtement un poids suspendu à un fil, l’autre extrémité étant accroché à un point fixe. Le fil à plomb du maçon en est un. Tu peux en fabriquer un

- 45 –

facilement. Sais-tu que tu peux obtenir g0 en mesurant le temps d’une oscillation d’un pendule c’est à dire le temps T d’un aller retour que l’on appelle période (A.I -2 )? Regarde le pendule de la figure (5-1). Nous le lâchons à partir de la position A.

La boule soumise à l’attraction gravitationnelle de la Terre voudrait bien tomber verticalement vers le centre de la Terre mais elle en est empêchée par le fil. Elle tombe alors vers le point le plus bas B mais avec son élan remonte vers le point A’ ; freinée pendant la remontée par l’attraction terrestre, elle s’arrête en A’ , puis reprend le chemin en sens inverse.

Tu démontreras en Terminale que la période T du pendule ne dépend que de la longueur l du fil et du champ de pesanteur g0 . La formule est la suivante :

T = 2 π . √ ( l / g0 ) (2)

Ou bien en élevant au carré et en interchangeant T et g0 :

g0 = 4 π ². l / T 2 (2bis) Tu vois que connaissant l , la mesure de T avec un chronomètre donnera g0 . JO - Comme tu le dis si bien, rien de telle qu’une expérience. Elle prit une ficelle de presque 1m de long, accrocha à une extrémité un bibelot, un petit éléphant en fer et fixa l’autre extrémité à une étagère. Elle compta un peu à vue de nez la durée d’une oscillation en s’aidant de la trotteuse de sa montre et trouva quelque chose comme 2s ; elle pensait qu’en écartant au départ davantage le pendule de la verticale, sans toutefois exagérer comme le lui avait recommandé PA, il oscillerait plus vite mais elle trouvait toujours à peu près 2s. La période semble bien être 2s. Je vais maintenant la calculer avec la formule (2) pour voir si tu me donnes de bonnes formules. Je suis quand même très fortiche parce que je connais déjà une formule de Terminale ! En prenant g0 = 9.81 N/kg et l = 1m, je trouve effectivement : T = 2 s. Tu as de la chance, ta formule marche !

- 46 –

3 - Le pendule de Foucault. PA - Tu peux calculer également la période d’oscillation du pendule du physicien Léon Foucault (1819-1868) inventeur entre autre du gyroscope. Ce pendule est suspendu au Panthéon à Paris à l’aide d’une corde à piano de 67 m donnée par M. Pleyel compositeur autrichien et célèbre fabriquant de pianos à Paris. Le pendule est installé là pour prouver que la Terre tourne sur elle-même. JO - Quoi ! Comment ? J’espère que tu vas m’expliquer comment on peut voir que la Terre tourne en le regardant. J’ai lu sur un de mes journaux qu’à chaque oscillation, il laisse sur le sable du sol de petites éraflures qui finissent par former une sorte d’étoile mais je n’ai rien compris. PA - L’explication est plus simple si on place ce pendule au pôle Nord. JO - D’accord. Je prends ma polaire et j’installe le pendule de Foucault au pôle Nord. Qu’est-ce qu’il peut faire froid dans ce pays. Ça y est ! On peut démarrer. PA - Quand on lance le pendule, il oscille dans un plan vertical (fig.5-2 gche) et trace une éraflure dans la neige dans ce plan (une oscillation dure environ 16s - Ex 5-5 ); nous l’appelons plan de la première oscillation. Puisque nous sommes au pôle Nord, ce plan contient l’axe de rotation de la Terre (axe passant par le pôle Sud et le pôle Nord) et coupe aussi la Terre selon un méridien dessiné en rouge à gauche ; on note que la première éraflure est tracée sur ce méridien. Nous plaçons un Esquimau à cheval sur ce méridien et il y restera immobile et solidaire de ce méridien toute la journée.

Prolongeons ce plan de la première oscillation à l’infini dans le ciel ; étant donné la quantité innombrable de galaxies dans l’espace, ce plan tombera forcément sur au moins une galaxie très éloignée qui est un point fixe sur le fond du ciel ou la voûte céleste. Le plan de la première oscillation contient cette galaxie très éloignée et reste fixe dans l’espace. Retiens ceci qui nous servira dans la suite : si un objet céleste est très éloigné de la Terre, pratiquement à l’infini, il est un point fixe sur la voûte céleste et la droite Terre-objet pointe toujours dans la même direction même si la Terre se déplace sur son orbite. Passons aux oscillations suivantes du pendule ; on montre que, un peu comme un gyroscope, le pendule continue ses oscillations toujours dans le plan fixe de la première oscillation qui contient la galaxie très éloignée. Par contre, le méridien rouge attaché à la Terre qui était dans ce plan au départ, ne l’est plus comme le montre l’Esquimau toujours positionné à cheval sur ce méridien, puisque la Terre a tourné pendant les oscillations suivantes (fig.5-2 drte). Puisque la Terre fait un tour sur elle-même en 24h , le plan d’oscillation du pendule fixe dans l’espace, paraît pour l’Esquimau lié à la Terre tourner dans le même temps en sens inverse en traçant les éraflures dans la neige du pôle. C’est la même situation que celle où étant dans un manège (la Terre) tu as l’impression que ce sont les arbres autour du manège (la galaxie lointaine) qui tournent en sens inverse par rapport à toi.

- 47 –

- 48 –

Ainsi au pôle Nord le pendule qui tourne de 15° chaque heure, tracera une étoile complète d’éraflures en 24h (15 . 24 = 360° ). A une latitude quelconque, la situation se complique mais le principe reste le même. A Paris le plan d’oscillation du pendule au lieu de tourner chaque heure de 15° ne tourne plus que d’environ 11°. A l’équateur il ne tourne plus. JO - On ne peut donc pas voir la rotation de la Terre à l’équateur avec le pendule de Foucault. PA - C’est clair ! Une petite remarque troublante : retournons au pôle Nord ; nous aurions pu faire jouer au Soleil le rôle de la galaxie lointaine, et lancer le pendule dans la direction du Soleil en pensant que le plan de la première oscillation resterait attaché au Soleil. Alors l’Esquimau durant les belles journées du soleil de minuit en été, verrait le plan du pendule suivre la course du Soleil sur 360°. En réalité il s’apercevrait au bout de plusieurs jours que le pendule décroche peu à peu du Soleil comme s’il préférait accrocher un astre beaucoup plus éloigné que le Soleil, comme notre galaxie très éloignée…. mais même avec notre galaxie très éloignée, il ne sera jamais totalement satisfait : il finira par dévier très très lentement en cherchant un corps céleste encore plus loin !…Toujours plus loin ! Cette étrange histoire est liée à un principe appelé « principe de Mach », le physicien allemand des vitesses supersoniques ! Entraînement. Ex 5-1 - Masse de la Terre connaissant son rayon et le champ de gravité. Nous inversons l’expression (1) :

M = g0 . R² / G (3)

Nous prenons : g0 = 9.825 N/kg, R = 6370 km, G = 6.67 10-11 SI La formule (3) donne : M = 9.825 . (6.371 106)² / 6.67 10-11 = 5.977 1024 kg

M ≈ 6.00 1024 kg

Ex 5-2 - Champ de gravité de Mars. Nous prendrons pour rayon moyen de Mars R la moyenne arithmétique des rayons équatorial Ré et polaire Rp. On donne : Ré = 3397 km et Rp = 3380 km. R = ( Ré + Rp ) / 2 = 3388 km. La masse de Mars est : M = 0.108 . MT avec : MT = 5.977 1024 kg ( masse de la Terre ) La formule (1) donne : g0 = 6.67 10-11 . ( 0.108 . 5.977 1024 ) / ( 3.388 106 )2 = 3.75 N/kg

g0 = 3.75 N/kg ( cf .tableau 3-1) Ex 5-3 - Champ de gravité de la Lune. On donne le rapport des masses de la Terre et de la Lune : MT / ML = 81.3 On prend le champ de gravité de la Terre : g0T = 9.825 N/kg Les rayons de la Terre RT = 6370 km et de la Lune RL = 1738 km Nous faisons le rapport des champs de gravité de la Lune et de la Terre :

g0L / g0T = ( ML / MT ) . ( RT / RL )²

L’avantage d’écrire des rapports tels que : RT / RL est qu’ils ne dépendent pas des unités : m, km, etc …. Finalement :

g0L = g0T . ( ML / MT ) . (RT / RL )²

- 49 –

soit: g0L = 9.825 . ( 1 / 81.3 ) . ( 6370 / 1738 )² = 1.62 N/kg Calcul de pendules. Ex 5-4 - Calcul du champ de pesanteur. Nous prenons un pendule de longueur 99.4 cm. Une mesure précise de la période du pendule a donné : T = 2.00 s. L’expression (2bis) donne :

g0 = 4 π ². 0.994 / 4 et :

g0 = 9.81 N/kg Ex 5-5 - Calcul de la période du pendule de Foucault. Données : l = 67 m , g0 = 9.81 N/kg. Nous appliquons (2bis) :

T² = 4 π ². 67 / 9.81 = 269.63 s² Donc :

T = 16.42 s

C’est pratiquement la période observée.

<<<<<<<<<>>>>>>>> BIB : (2-3-8-14)

- 50 –

6 - LA LUNE REFUSE DE TOMBER

Fil d’Ariane : 3-4-5-6 On m’a souvent demandé pourquoi la Terre et la Lune ne finissent pas par entrer en collision puisqu’elles s’attirent sans cesse l’une l’autre par la force de gravitation. Cette interrogation est l’occasion de parler de la force centrifuge, une force finalement assez familière à tout le monde que nous expliciterons seulement à partir du ch.17. Puisque la Lune tourne autour de la Terre, elle est soumise à une force centrifuge qui s’oppose exactement à la force d’attraction de la Terre ; c’est la condition d’équilibre qui maintient la Lune sur son orbite et répond ainsi à notre interrogation. Cela nous conduit à parler également des astéroïdes et des météorites. 1 - Inquiétude. JO - J’aimerais revenir sur la force de Newton entre la Terre et la Lune. Comme elles ont des masses énormes, elles vont donc s’attirer « irrésistiblement » l’une l’autre comme moi et ma copine JU lorsque nous étions perdues dans l’espace intergalactique (ch.4-2). C’est pourquoi….. PA - Je te coupe la parole. Tu n’es pas obligée de me servir des « irrésistiblement » à chaque fois…. Réponds plutôt à cette question : est-ce la Terre qui attire la Lune ou le contraire ? JO - Je pense que c’est la Terre. Elle est plus grosse que la Lune. PA - Si deux masses m et m’ comme par exemple la Terre et la Lune s’attirent, on peut aussi bien dire que la Terre attire la Lune, la force de gravitation étant dirigée vers le centre de la Terre, que l’inverse : la Lune attire la Terre avec la même force mais dirigée vers la Lune. On appelle cela le principe des actions réciproques ou de l’action et de la réaction (ch.21). JO - Donc la Lune attire également la Terre…Ah ! je comprends pourquoi dans l’espace intergalactique, j’étais pourtant sûre que c’était moi qui attirait JU, mais elle me soutenait le contraire. En fait je voulais revenir sur la force de Newton entre la Terre et la Lune avant que tu me coupes intempestivement la parole parce que je suis très inquiète. Puisque la Terre et la Lune s’attirent, elles vont se rapprocher puis finir par entrer en collision. La Lune va tomber sur la Terre ! Il est grand temps que je prépare mes valises. PA - Tu oublies une chose essentielle : la Lune tourne autour de la Terre ; j’en profite pour te donner sa période de révolution est de 27 jours et 1/3 de jour. JO - Oui, je sais bien que la Lune tourne autour de la Terre en un petit mois. Mais en quoi le fait de tourner va l’empêcher de nous tomber sur la tête, si elles s’attirent tout le temps ? PA - Tu es vraiment comme les Gaulois. Je t’explique :

- 51 –

PA se lança dans des explications brumeuses qui auraient vite endormi toute une classe de collégiens excités; il était plus ennuyeux qu’un robinet d’eau tiède et l’esprit de JO accrocha au passage des mots comme rotation, centripète, inertie, réaction, corde, centrifuge, manège… puis se mit à vaquer de ci, de là, dans l’air passant à travers les murs, vagabonda ensuite pas très loin du manège du parc urbain où PA l’attendait. Il s’adressait à elle. Je t’emmène faire un tour de manège sur un manège un peu spécial. Le manège se trouvait au milieu d’une prairie du parc urbain. Il était effectivement un peu curieux : il n’y avait pas de chevaux de bois, rien… juste un plancher nu en forme de grand disque. JO se mit près du bord du manège pendant que PA le faisait démarrer. Tant que le manège tournait très lentement, JO pouvait tenir debout sur le bord. Mais quand il commença à accélérer, JO eut de plus en plus de mal à se tenir, elle finit par être éjectée et se retrouva le derrière dans l’herbe. PA – Tu as vu JO quand le manège tournait rapidement, tu as été éjectée à l’extérieur par une force que l’on appelle la force centrifuge. JO – Force centrifuge ou pas, ce n’est pas toi qui nettoieras mon pantalon !

- 52 –

PA – Puisque tu parles de nettoyage, il se passe la même chose dans une essoreuse ; le linge mouillé est plaqué, pressé contre le tambour de la machine par la force centrifuge ; mais la solidité du tambour lui permet de contenir et de résister à cette force. On dit que la paroi du tambour exerce une réaction sur le linge analogue à la tension de la corde. JO – Quelle corde ! Tu aurais pu au moins m’en donner une pour me retenir ou mettre à la rigueur un poteau pour que je m’y tienne ! PA – Ah c’est vrai ! Excuse-moi ! J’ai complètement oublié la corde. Nous allons recommencer. JO – C’est toujours la même chose. Pas question que je recommence avec une tête en l’air comme toi ! Il fallut beaucoup de persuasion pour faire remonter JO au bord du manège. PA le remit doucement en route. JO tenait bon le bout de la corde. Plus le manège accélérait plus la corde se tendait. Mais cette fois JO tenait bon. PA – Tu constates JO que la corde te retient. Si je la coupais brutalement tu serais éjectée par la force centrifuge. La corde tendue, plus exactement la tension de la corde, joue le même rôle que la force de gravitation, c’est elle qui te retient et t’empêche de t’éloigner. Alors as-tu compris pour la Lune ? Il répéta : Alors as-tu compris pour la Lune ? Ces répétitions martelées firent retrouver à JO ses esprits ; elle répondit immédiatement à la grande stupéfaction de PA qui avait bien vu qu’elle ne suivait plus du tout. Il pensa alors qu’il aurait mieux fait de raccourcir son discours, se souvenant d’un de ses vieux professeurs d’histoire qui prenait toujours un malin plaisir à rallonger des cours soporifiques quand l’heure sonnait. JO - Ben oui : la force d’attraction tire la Lune vers la Terre, mais la force centrifuge a l’effet contraire : elle tire la Lune vers l’extérieur. Pas besoin d’être Nostradamus pour le voir tout de suite sur le dessin sous ton nez (fig.6-2)

- 53 –

- 54 –

PA - Euh…Bon… Oui….Euh…Je vois que tu as très bien compris…Euh…Où en suis-je ?… Revenons à la Lune en notant que parmi les planètes du système solaire, la Terre a la particularité d’être la planète qui par rapport à sa taille, a le plus gros satellite. JO - A part ça, comment notre satellite est-il apparu dans la banlieue de la Terre ? PA - Les astronomes ont imaginé plusieurs scénarios possibles, mais celui qui a la faveur de nos jours est celui-ci : il y a environ 4.5 milliards d’années, un énorme astéroïde plutôt rocheux de la taille de Mars a percuté la Terre ; il semble que cet astéroïde ait pénétré jusqu’au noyau de la Terre en se brisant complètement et qu’il ait éjecté hors de la Terre une bonne partie du manteau terrestre (voir ch.7-1) et également de ses propres fragments. La partie éjectée a essayé de continuer son chemin mais trop tard, elle était prisonnière du champ de gravitation de la Terre, a été satellisée, puis s’est condensée pour former la future Lune. La trajectoire de la Lune toute nouvellement formée s’est par la suite peu à peu rapprochée d’une forme elliptique et finalement s’est stabilisée sur une ellipse à une distance moyenne de 384400 km du centre de la Terre. NOTE - Lorsque la Lune est au plus prés de la Terre (périgée) la distance est de 356410 km ; lorsqu’elle est au plus loin (apogée) la distance est de 406740 km. (Pour des satellites naturels ou artificiels on emploie plutôt les termes « périgée, apogée » que « périhélie, aphélie » réservés aux planètes autour du Soleil). On imagine que cette collision avec l’astéroïde a fortement ébranlé la Terre, donc en a certainement modifié la rotation et a peut-être provoqué l’inclinaison de son axe de rotation (ch.8-3) à moins que cette inclinaison ne soit due à une collision antérieure. Toujours est-il que la satellisation de la Lune a stabilisé l’orientation de cet axe de rotation. Heureusement pour nous ! Grâce à cette collision fortuite, la Terre ne tourne pas dans tous les sens ! JO - Ouf ! Tu as bien dit plusieurs fois « stabiliser ». Me voilà rassurée ! Seulement tu oublies que sur mon manège extraordinaire j’avais une corde pour me retenir. Apparemment il n’y a pas de corde entre la Terre et la Lune ? Alors comment fait la force de gravitation pour retenir la Lune et l’empêcher de s’éloigner ? Avoue que tu ne sais plus quoi me répondre cette fois ! PA - A l’époque de Newton, toute personne sensée pouvait se poser cette question. Bien que les gens aient déjà constaté qu’une « pierre magnétique » attirait une épingle sans même la toucher, ils ne pouvaient concevoir que deux astres s’attiraient sans aucun lien matériel entre eux. Avant que Newton décrète sa loi de gravitation universelle et affirme que deux masses quelconques s’attirent même s’il n’y a rien entre elles, il était en réalité très ennuyé par ce « même s’il n’y a rien entre elles ». Ecoute ce qu’il disait : « Que la gravité puisse être telle qu’un corps agisse sur un autre à distance, à travers le vide, sans la médiation de quoi que ce soit entre les deux corps, cela me paraît être une absurdité si grande que je ne saurais croire qu’un homme puisse jamais y tomber » Cet aveu voulait dire qu’il était lui-même « tombé dans l’absurdité ». Mais les résultats que donnait la théorie de la gravitation universelle étaient tellement remarquables qu’il était impossible qu’elle soit fausse et heureusement Newton ne l’a pas remise en question. JO - C’est vraiment étonnant, Newton se croyait stupide mais il était prodigieusement intelligent. Je connais beaucoup de gens pour qui c’est le contraire. PA - Tu énonces là une grande vérité. Mais revenons encore à la Lune.

- 55 –

2 - La Lune ne tombe plus mais les astéroïdes…… JO - Attends un peu. Si un petit lutin arrêtait d’un seul coup la Lune dans sa course autour de la Terre, elle tomberait sur la Terre puisqu’il n’y aurait plus de force centrifuge. PA - Ce serait effectivement le moment de faire tes valises. Mais sois sans crainte, ce n’est pas possible car l’orbite de la Lune est bien stable. Des élèves m’ont parfois demandé si la Lune à force de tourner, ne pouvait pas être freinée peu à peu par de l’air, ralentir et finir par tomber sur la Terre. Ils oublient que la Lune se déplace non pas dans l’air mais dans la vide et rien ne la freine. Ils pensent sans aucun doute à l’atmosphère de la Terre qui s’étendrait jusqu'à la Lune ? Qu’ils se rassurent, ils ne sont pas les premiers à avoir cette idée. Au 2ième siècle un auteur satirique grec Lucien de Samosate raconte dans l’Histoire véridique l’aventure d’un vaisseau qui se trouve emporté par une tempête et qui atteint la Lune en une semaine ; c’est dire toute la valeur que l’on peut accorder au qualificatif véridique ! Mais l’auteur était un humoriste ! Même encore au 17ième siècle, Francis Godwin dans l’Homme dans la Lune, fait voyager son héros grâce à de grands cygnes qui migrent régulièrement vers la Lune ! C’est en 1643, Newton venait de naître, que le physicien italien Evangelista Torricelli (1608-1647), élève de Galilée, donne un coup de semonce à toutes ces fantaisies. Il démontre que la masse de l’air, donc le poids de l’air au dessus de nos têtes, celui qui donne la pression atmosphérique n’est pas infini. Cela signifie que l’épaisseur de l’air n’est pas non plus infinie. Les expériences de Torricelli permettent de déterminer cette épaisseur, c’est à dire celle de l’atmosphère. On s’accorde maintenant à dire qu’elle est d’environ 100 km (A.I -5). L’atmosphère est donc une très fine pellicule collée à la surface de la Terre par la gravitation, dont l’épaisseur est très inférieure au rayon de la Terre (6370 km) et à la distance Terre-Lune (384400 km) ! On comprend que cette fine pellicule doit être surveillée et protégée ! JO - Alors au delà de 100 km il n’y a plus d’air ? PA - Au sommet de l’Everest, à presque 9 km d’altitude seulement, les hommes ont déjà beaucoup de mal à respirer, l’air est raréfié. La situation empire rapidement si on monte davantage, en ballon par exemple. Pour être plus précis, l’atmosphère est constituée de couches d’air concentriques de masse volumique de plus en plus faible lorsqu’on monte en altitude. Les couches d’air près de la surface de la Terre sont en effet les couches les plus tassées par le poids des couches supérieures, toujours à cause de la gravitation. C’est pourquoi la pression de l’air diminue rapidement avec l’altitude. A l’altitude 100 km l’air est devenu tellement ténu qu’on limite l’atmosphère à cette épaisseur. Mais elle s’étend en réalité au delà en une couche de particules électriquement chargées appelée ionosphère (de 100 à 300 km) qui a un rôle important pour les communications radio. On trouve encore des particules mais de plus en plus rarement dans des couches supérieures jusqu’à l’exosphère qui se termine seulement à 2000 km. L’ISS, la Station Spatiale Internationale, qui tourne autour de la Terre à environ 400 km est tout de même légèrement freinée par le résidu d’atmosphère présent à cette altitude, ce qui la rapproche de la Terre. Il est donc nécessaire de lui donner de temps en temps une petite impulsion pour lui permettre de récupérer son orbite initiale. JO - Revenons à mon petit lutin distrait par les cygnes qui volaient vers la Lune, et qui du coup, a laissé filer entre ses doigts un astéroïde qui se dirigeait vers la Terre ; il y aura-t-il collision ?

- 56 –

PA - S’il arrive pratiquement en direction du centre de la Terre, on dit alors que la collision est « frontale », le choc sera inévitable (fig.6-2). S’il passe assez loin du centre, sa trajectoire serait simplement déviée ; à son passage au voisinage de la Terre où sa trajectoire est un peu courbée par l’attraction de la Terre, la force centrifuge qui se manifeste alors, est plus importante que l’attraction de la Terre ; il peut ainsi lui échapper et continuer son chemin. Entre ces deux situations mais à condition de perdre beaucoup d’énergie, il peut tomber en spirale sur la Terre et même se satelliser. Je profite de cet exemple pour faire remarquer une façon parmi d’autres de créer un mouvement de rotation (ici lorsqu’un astéroïde est capturé et satellisé par le champ de la planète), alors qu’il n’y en avait pas initialement (lorsque l’astéroïde était très éloigné et se dirigeait en ligne droite vers la planète). Plus tard tu apprendras que cela concerne particulièrement une grandeur physique qui a une grande importance et que l’on appelle le moment cinétique. Cet exemple permet de répondre seulement en partie, à une question souvent posée : « Mais pourquoi tout tourne » ? 3 - Les Météorites. PA - Il tombe chaque jour un très grand nombre de météorites sur la Terre dont la plupart sont microscopiques. Les plus grosses sont de petits astéroïdes. Une assez grande partie provient de la ceinture d’astéroïdes entre Mars et Jupiter. D’autres sont des morceaux d’astéroïdes ou de comètes vraisemblablement fracturées par l’attraction gravitationnelle de planètes dont elles se sont trop approchées dans leur périple autour du Soleil ou évaporées partiellement par le Soleil lui-même. Les météorites arrivent vers la Terre avec des vitesses de plusieurs dizaines de km/s ; la très grande majorité sont désagrégées dans la haute atmosphère, certaines donnent des étoiles filantes si elles ont au moins la taille d’un grain de sable ou une masse de quelques grammes. Il y a parfois des pluies de météorites spectaculaires. Le 26 avril 1803, il est tombé en France à Laigle (Orne) une pluie d’environ 3000 météorites sur une surface restreinte de 4 km de rayon, certaines avaient quand même une masse de10 kg ! Les grosses météorites sont beaucoup plus rares. Certaines atteignent parfois le sol en produisant de fortes explosions et en creusant de gros cratères. L’exemple célèbre est le « Meteor Crater » en Arizona d’un diamètre de 1.2 km et de 200 m de profondeur provoqué par une météorite d’une taille de l’ordre 30 m de diamètre et d’environ 100000 tonnes. Un autre exemple célèbre est le cataclysme de la Toungouska (Sibérie) survenu le 30 juin 1908. La forêt a été brûlée dans un rayon de 10 km et les arbres déracinés sur 100 km ; l’explosion s’est entendue jusqu’à plus de 1000 km. Curieusement il n’y a pas eu de débris météoriques ni de cratère, aussi on pense maintenant que c’est un morceau de la comète de Encke composée de glaces et de poussières qui aurait explosé à environ 10 km du sol. Il tombe en moyenne une météorite ou un petit astéroïde de 10 à 100 m de diamètre tous les 100 à 10000 ans pouvant provoquer des dégâts à l’échelle d’une région ou d’un pays. Le 14 juin 2002, un astéroïde d’une centaine de mètres de long a frôlé la Terre en passant seulement au tiers de la distance Terre-Lune et nous ne l’avons su que trois jours plus tard ! Un astéroïde de 100 m à 1 km de diamètre tombe en moyenne tous les 10000 à 100000 ans ; il provoquerait des dégâts à l’échelle d’un pays ou d’un continent ! On attribue la disparition des dinosaures il y a 65 millions d’années, à la chute d’un astéroïde d’une dizaine de kilomètres de diamètre ! Celui qui serait tombé pense-t-on, au large du Mexique près de la presqu’île du Yucatan serait le bon candidat pour cette apocalypse qui a bouleversé le climat de toute la Terre. JO - J’espère que mon petit lutin arriverait à détourner un tel astéroïde.

- 57 –

PA - As-tu réfléchi que ton petit lutin pouvait aussi bien arrêter la Terre dans sa course autour du Soleil ? JO - C’est vrai ! je n’y avais même pas pensé. Mais je suis encore rassurée car la Terre tourne autour du Soleil : la force centrifuge est là… Heureusement ! Je n’ai aucune envie de devenir un rôti. 4 - Tout tourne. JO - Et le Soleil tourne-t-il autour d’autre chose ? PA - Oui, rappelle-toi. Le Soleil est une des 300 milliards d’étoiles qui forment la Voie Lactée. Situé à 26000 al du centre de la galaxie, il tourne comme toutes les étoiles avec son cortège de planètes autour du centre de la Voie Lactée (centre galactique) en 250 millions d’années environ (Ex 1-3). Et ce n’est pas fini, la Voie Lactée tourne avec la quarantaine des autres galaxies voisines autour du centre de l’Amas local….. qui lui-même fait partie d’un super-Amas, le super-Amas de la Vierge qui …. JO - Au fond tous les astres tournent autour d’autres astres… qui eux-mêmes tournent autour d’autres astres… qui eux-mêmes tournent autour de…etc…Et pour couronner le tout, la Terre tourne sur elle-même ! Tout cela ne te donne-t-il pas le tournis ? Moi, je vais me coucher en espérant que mon lit ne soit pas fixé sur le manège du parc urbain.

<<<<<<<<<<>>>>>>>>>> BIB : (2-3-6-11-20)

- 58 –

7 - LE BOURRELET EQUATORIAL

Fil d’Ariane : 3-4-5-6-7 Nous allons nous intéresser dans ce chapitre d’un peu plus près à notre chère planète et étudier la légère variation de son champ de gravitation lorsqu’on passe de l’équateur au pôle, variation due à ce que la forme de la Terre n’est en réalité pas tout à fait sphérique. 1 - L’intérieur de la Terre. PA - Si par hasard tu tombes sur une grande photographie de la planète Jupiter, tu peux t’apercevoir qu’elle n’est pas tout à fait sphérique. Il semblerait que Zeus se soit assis sur sa planète, et l’ait un peu aplatie. La situation est pire pour Saturne. Dans une moindre mesure, la Terre elle aussi n’est pas tout à fait sphérique. Elle est légèrement renflée à l’équateur. C’est ce renflement que l’on appelle le bourrelet équatorial. JO - J’te fais pas dire PA, mais je pense qu’il n’y a pas que la Terre qui a un bourrelet équatorial. PA - Serais-tu quelque peu insolente ? Je te signale tout de même que je fais un régime. Mais revenons plutôt à notre planète. Quand la Terre s’est formée il y a environ 4.5 milliards d’années, elle était plus chaude et plus fluide qu’actuellement ; on pense qu’elle tournait sur elle-même au moins deux fois plus vite que maintenant (Ex 7-1). La gravitation lui a donné non seulement une forme pratiquement sphérique mais l’a structurée en couches concentriques, un peu comme l’est un oignon pour reprendre cette image classique. La densité des couches est de plus en plus élevée au fur et à mesure qu’on se dirige vers le centre. La Terre s’est ensuite refroidie, s’est davantage solidifiée et sa rotation s’est ralentie jusqu’à faire actuellement un tour sur elle même en 24 heures. Le refroidissement s’est fait très lentement car de la chaleur est sans cesse produite à l’intérieur de la Terre par la radioactivité de certains éléments. Il est clair que la pression et la température ont un rôle important dans la constitution solide ou liquide de l’intérieur de la planète. Pour se faire une idée rapide de la structure interne de la Terre, consultons le schéma qui en représente une coupe simplifiée (fig.7-1) Sous nos pieds, nous avons la fine croûte terrestre rigide d’une trentaine de km d’épaisseur en moyenne ; puis nous entrons à proprement parler dans le manteau constitué d’une succession de couches concentriques de composition différente jusqu’à une profondeur de 2900 km, pour pénétrer enfin dans le noyau jusqu’au centre de la Terre. Plus en détail, nous avons sous la croûte terrestre solide, une couche également solide jusqu’à environ 100 km appartenant plus au début du manteau externe par la composition de ses roches qu’à la croûte terrestre ; toute la partie solide est appelée « lithosphère » (du grec : lithos, la pierre), car composée essentiellement de roches. La lithosphère repose sur une couche à l’état plastique, un état semblable à de la pâte à modeler chaude mais pratiquement rigide, appelée « asthénosphère », allant de 100 à environ 800 km appartenant au manteau externe.

- 59 –

- 60 –

La lithosphère n’est pas immobile sur cette couche plastique ; elle est plus ou moins fragmentée en plaques « tectoniques », plaques qui se déplacent très lentement et dont les mouvements provoquent en général de faibles vibrations et micro-secousses ; ce sont les « tremblements de terre » ; il s’en produit en moyenne un million de fois par an ; la plupart du temps ils nous sont imperceptibles ; mais une centaine de fois, ils sont assez sérieux, et une dizaine de fois ce sont de violents séismes provoquant d’importants dégâts. Lorsqu’on pénètre dans la partie interne du manteau, l’état plastique et presque solide, se rigidifie encore plus jusqu’à la frontière du noyau externe car la pression augmente. A la frontière du noyau se trouve une couche fine très chaude qui chauffe et dilate les roches du bas du manteau : étant dilatées, ces roches soumises à la poussée d’Archimède, remontent lentement jusqu’à l’asthénosphère et la lithosphère où elles se liquéfient parfois partiellement en magma car la pression y est plus faible ; elles finissent par se refroidir et se contracter, reprennent du poids et redescendent très lentement vers le bas du manteau. Il s’établit ainsi une sorte de lent courant de roches que l’on appelle courant de convection. Mais quelquefois par endroit sous la lithosphère, des fissures permettent au magma très chaud qui a pu se former localement, de remonter jusqu’à la surface provoquant des éruptions volcaniques : la Terre évacue ainsi un peu de son trop plein de chaleur interne. A 2900 km de profondeur, on rencontre le noyau, d’abord le noyau externe, liquide, fait de métal fondu (fer et nickel principalement) donc très chaud ; puis le noyau interne encore plus chaud à une profondeur d’environ 5100 km dont la température est de l’ordre de 5000 degrés et qui a la particularité d’être solide tant la pression au centre de la Terre est élevée. Deux courbes (fig.7-1) donnent la variation de la masse volumique (A.I -4) et de la pression en Megabars (million de bars) en fonction de la profondeur. La pression atmosphérique à la surface de la Terre vaut en moyenne 1015 hectoPascal (A.I -5) soit environ 1 bar. Dans les plus grandes profondeurs océaniques la pression est déjà de l’ordre de 1000 fois la pression atmosphérique, environ 1000 bars ; au centre de la Terre elle est de 3 à 4 Megabars! On observe que dans le noyau, la masse volumique du milieu fer-nickel dépasse 10 g/cm3 alors qu’à la surface de la Terre le fer a une masse volumique de 7.88 g/cm3 et le nickel de 8.92 g/cm3 . La raison en est que les atomes de fer et de nickel sont soumis à d’énormes pressions ; leur volume se rétrécit et quand le volume des atomes diminue la masse volumique augmente car l’on peut mettre alors plus d’atomes dans 1 cm3 (A.I -4). Mais il faut aussi souligner que même sous de telles pressions leur taille n’est réduite que d’environ 15% . Si le diamètre des atomes est ramené à 85% de sa valeur, cela veut dire que leur volume est rétréci de (0.85)3 de sa valeur initiale, soit 0.61 ou 61%. La masse des atomes étant dans un volume plus petit, la masse volumique augmente alors dans le rapport inverse, soit : 1.64. La masse volumique du fer passe ainsi de 7.88 g/cm3 à 12.92 g/cm3, soit 13 g/cm3 au centre de la Terre, comme on peut le constater (fig.7-1). La résistance de l’atome face à l’écrasement gravitationnel est due à une autre force de la nature bien plus intense que la force de gravitation : il s’agit de la force électromagnétique qui n’intervient qu’au niveau de l’atome et qui gère sa structure (ch.23-4). JO - Pourquoi le fer et le nickel se sont-ils réfugiés dans le noyau au centre de la Terre ? PA - Le fer et le nickel sont des métaux, leur masse volumique est élevée de l’ordre de 8g/cm3. Elle est supérieure à celle des roches de l’ordre de 3 g/cm3. Au moment de la formation d’une planète, on a vu que la gravitation privilégie les masses les plus fortes au

- 61 –

centre de la planète, donc le fer et le nickel, et les plus légères loin du centre ; ce qui explique l’augmentation de la masse volumique et en conséquence de la pression quand on se rapproche du centre. Note que la masse volumique de la Terre a une valeur moyenne de 5.51 g/cm3, valeur que l’on utilise dans les problèmes où l’on suppose la Terre homogène. D’après cette constitution interne, on peut considérer la Terre comme pratiquement une sphère faite de couches concentriques sphériques de masses volumiques différentes. Remarque - Cela permet de dire qu’elle a une répartition de masse à symétrie sphérique, bien qu’elle ne soit pas homogène. Cette propriété est moins restrictive que celle d’une sphère homogène et permet néanmoins de remplacer la Terre par son centre où l’on concentre toute sa masse, comme nous l’avons vu dans le calcul du champ de gravitation (ch.5-1). 2 - La naissance du bourrelet. PA - Mais la Terre tourne sur elle-même comme un manège autour d’un axe la traversant du pôle Sud au pôle Nord ; lors de sa formation particulièrement, la force centrifuge a essayé de pousser les couches intérieures de la Terre vers l’extérieur mais la force de gravitation était là pour empêcher son éclatement. C’est évidemment à l’équateur que cette poussée était et reste la plus forte. C’est là en effet que nous sommes les plus éloignés de l’axe de rotation et par conséquent là où la vitesse de rotation est la plus grande, comme si nous nous mettions sur le bord du manège ; aux pôles la poussée est nulle puisque la vitesse de rotation s’annule au centre du manège. C’est donc la force centrifuge due à la rotation de la Terre qui explique la formation du bourrelet équatorial. JO - A quelle vitesse tourne un petit bonhomme qui fait la sieste à l’équateur ? PA - Fais travailler tes méninges! Tu peux facilement calculer la vitesse de rotation de la Terre à l’équateur, donc de ton petit bonhomme : puisqu’il parcourra dans l’espace 40000 km en 24h ou 86400 s, cela fait presque 500 m/s soit 1800 km/h. JO - Mon pauvre bonhomme à l’équateur va être soufflé par un vent terrible à 1800 km/h ! PA - Pas du tout. Il ne sent rien, en tous cas pas de tels vents. Tu oublies que l’atmosphère qui est une masse d’air, est collée par la gravitation à la surface de la Terre et tourne donc avec elle. Ton bonhomme ne ressentira que les mouvements d’air locaux dus aux dépressions et anticyclones au voisinage comme tout un chacun. Ces vents locaux ont des vitesses très inférieures à 1800 km/h ; dans les cyclones les vents les plus violents ne dépassent guère 400 km/h. Cela dit, la rotation de la Terre a tout de même une petite influence sur les courants atmosphériques. Mais revenons à notre bourrelet équatorial. Des mesures par satellites montrent que le rayon allant du centre au pôle Nord de la Terre est de 6357 km, celui allant du centre à l’équateur est de 6378 km. Il y a donc 21 km de différence soit environ 20/6000 ≈ 0.3%. C’est peu par rapport au rayon moyen de la Terre qui est de 6370 km. C’est pourquoi il est difficile d’observer sur une photographie le bourrelet équatorial. La figure (7-2) représente ces rayons en exagérant volontairement la déformation.

- 62 –

JO - En somme la Terre ressemble à une toupie géante qui n’est ni une boule de bois rigide ni une boule parfaitement sphérique. PA - Si on veut être précis, la forme géométrique régulière qui épouse le mieux la forme de la Terre est un ellipsoïde de révolution autour de l’axe de rotation pôle Sud - pôle Nord, axe de la toupie-Terre. Tu obtiens un ellipsoïde de révolution aplati, en faisant tourner une ellipse autour de son petit axe (fig.7-3). On obtient alors une forme de soucoupe volante ou de citrouille d’Etampes ; c’est le cas de la Terre. Une rotation autour du grand axe, donne un ellipsoïde de révolution allongé comme un ballon de rugby. 3 - Pesée au pôle et à l’équateur. PA - Maintenant supposons que la Terre ne tourne pas, ce qui veut dire que nous nous intéressons en réalité au seul champ de gravitation ; le champ de pesanteur lui serait égal dans ce cas. JO - A force de le répéter, c’est bien enregistré.

- 63 –

PA - Que penses-tu des champs de gravitation au pôle Nord et à l’équateur ou si tu veux du poids d’un Equatorien habitant de l’Equateur (pays évidemment traversé par l’équateur), et d’un Esquimau au voisinage du pôle Nord ? Le champ de gravitation en un point de la surface d’une planète presque sphérique dépend essentiellement de la distance de ce point au centre de la planète. JO - Puisque à cause de sa forme un peu aplatie, les Equatoriens sont plus éloignés du centre de la Terre que les Esquimaux du pôle Nord, ils devraient donc être plus légers. PA - Bonne réponse. En réalité je te pose un problème que tu ne peux résoudre car le calcul du champ de gravitation au pôle ou à l’équateur pour une forme géométrique aussi simple qu’un ellipsoïde de révolution est extrêmement difficile. JO - Toi au moins tu n’es pas comme tous les prof. de math qui disent tout le temps : il est évident que…il est facile de voir que.... patati patata…. en fait ce n’est jamais évident. PA - N’exagérons rien. Essayons tout de même de calculer la différence de poids due à la forme ellipsoïdale de la Terre, au pôle Nord et à l’équateur, d’une personne dont la masse est de 100 kg. Nous ne pouvons effectuer ce calcul qu’en faisant une approximation grossière : nous supposons pour obtenir le champ de gravitation au pôle, que la Terre est une sphère de rayon 6357 km (rayon polaire) contenant toute la masse de la Terre. Ensuite nous effectuons exactement le même calcul que celui fait (ch.5-1). Nous recommençons à l’équateur ; nous mettons toute la masse de la Terre dans une sphère de rayon 6378 km (rayon équatorial). Je te laisse le soin de faire ces deux calculs (Ex 7-2)…

- 64 –

* >>>>> Remarque - On peut comprendre que lorsque l’on met toute la masse de la Terre dans une sphère plus petite de 6357 km de rayon pour calculer le champ de gravitation au pôle, on exagère sa valeur puisque dans la réalité une partie de la masse sort de cette sphère surtout au voisinage de l’équateur. La contribution de la masse qui déborde au champ de gravitation au pôle est alors plus faible car elle est plus éloignée du pôle que si elle est placée à l’intérieur de la sphère utilisée pour notre calcul. Le raisonnement est analogue pour le champ à l’équateur, où maintenant on étale la masse de la Terre dans une sphère trop grande. * <<<<< JO - Je trouve une différence de poids pour une personne de 100 kg de 6.5 N. Dans le langage populaire cela fait environ 0.65 kg = 650 g de moins à l’équateur qu’au pôle. Je crois que tu iras faire ta prochaine pesée à Quito capitale de l’Equateur, n’est-ce pas ? PA - Tu ne t’es pas trompée, je parle du calcul seulement… En fait ce calcul approximatif donne une différence de poids 3 à 4 fois trop forte. Un calcul plus précis ne donnerait qu’une différence d’au maximum 0.02 N/kg entre le champ de gravitation au pôle et à l’équateur ; cela correspond à une différence de poids d’au maximum 2 N, soit comme tu le dis si bien, 200 g maximum dans le langage populaire. JO - Bon. Quand même la conclusion reste bonne : les Equatoriens se sentent plus légers. Moi, je pensais que c’était à cause de la force centrifuge puisque ce sont eux qui tournent les plus vite : ils doivent donc être éjectés en priorité si je puis dire, à l’extérieur de la Terre. PA - Mais qu’a-t-on dit au début de cette section, sabre de bois ! Nous ne faisons pas tourner la Terre ! Donc ce calcul n’incorpore pas du tout la force centrifuge… Nous ne tenons compte que de la forme ellipsoïdale de la Terre…. Mais tu as quand même un peu raison. JO - Je savais bien que je n’avais pas complètement tort. PA - La force centrifuge due à la rotation de la Terre, nulle aux pôles et maximum à l’équateur, entraîne elle aussi une différence de poids. Elle est même plus importante que celle due seulement à la forme ellipsoïdale que nous venons de calculer ; elle varie dans le même sens que cette dernière ; elle est donc une cause supplémentaire qui allège encore davantage les gens qui habitent prés de l’équateur. Son effet est étudié (ch.18). Si l’on inclut et l’on additionne les deux effets : allégement du poids dû à la forme ellipsoïdale de la Terre et à la force centrifuge, deux effets dus finalement à la rotation de la Terre, on observe que le champ de pesanteur (attention, ce n’est plus le champ de gravitation), vaut : 9.83 N/kg au pôle et 9.78 N/kg à l’équateur. Ainsi une personne de masse 100 kg, qui pèse donc 1000 N, constatera une différence de poids de 5 N, soit dans le langage populaire 0.5 kg = 500 g. Entraînement. Ex 7-1 - Ralentissement de la rotation de la Terre. On pense que le ralentissement de la rotation de la Terre provoqué essentiellement par le frottement des marées sur les fonds océaniques est de l’ordre de 1 à 2 millièmes de seconde par siècle. Admettons la valeur de 10-3s / siècle. Si on suppose que ce ralentissement a toujours été le même depuis la formation de la Terre, il est facile d’évaluer l’augmentation de la journée

- 65 –

depuis cette époque. L’âge de la Terre est d’environ 4.5 milliards d’années, soit 4.5 109 années, soit 4.5 107 siècles. Le ralentissement r de la journée a donc été :

r = 4.5 107 . 10-3 = 4.5 104 = 45000 s Puisque actuellement une journée dure 24h soit 86400s, on voit que dans ces conditions de ralentissement, la journée durait à peu près deux fois moins de temps au début de la formation de la Terre, donc la Terre tournait deux fois plus vite sur elle-même. Et évidemment si le ralentissement est supérieur à 10-3s / siècle, la Terre tournait encore plus vite. Ex 7-2 - Variation du champ de gravitation due à la forme ellipsoïdale de la Terre. Nous calculons comme au (ch.5-1), directement le champ de pesanteur en supposant comme dit dans le texte, que la Terre est une sphère de masse M avec les rayons successifs : pour les pôles Rp = 6357 km, pour le rayon moyen R = 6370 km, pour l’équateur Ré = 6378 km. Nous appliquons (1) en prenant M = 5.977 1024 kg et G = 6.67 10-11 SI.

g0 = G . M / R² (1) Nous trouvons : Au pôle avec Rp = 6357 km gop = 9.865 N/kg En moyenne avec R = 6370 km go = 9.825 N/kg A l’équateur avec Ré = 6378 km goé = 9.800 N/kg Cela donne pour g0 une différence de 0.065 N /kg entre le pôle et l’équateur. * >>>>> Autre façon : cet exercice est une occasion d’utiliser une formule mathématique d’approximation très utile en physique. Cette formule nous dit la chose suivante : (1 + x )p ≈ 1 + p.x à condition que x soit très petit devant 1. De même : (1 - x )p ≈ 1 - p.x Pour nos problèmes, l’exposant p sera en général un entier positif ou négatif ou une fraction : 1 /2, 1/3….positive ou négative.

Apprenons ou rappelons que : xx1/2 = , 3 1/3 xx =

Et que : 2

2-

x

1x = et :

x

1x 1/2- =

Exemples : (1 + 0.03)2 ≈ 1 + 2 . 0.03 = 1.0600 La vraie valeur est : 1.060900 (1 + 0.03)1/2 ≈ 1 + (1/2) . 0.03 = 1.0150 La vraie valeur est : 1.014889 (1 + 0.03)-1/2 ≈ 1 - (1/2) . 0.03 = 0.98500 La vraie valeur est : 0.985329 (1 - 0.03)-1/2 ≈ 1 - (-1/2) . 0.03 = 1.0150 La vraie valeur est : 1.015346 Revenons maintenant au champ de pesanteur goé. Supposons que nous connaissons go moyen, soit : 9.825 N/kg. Faisons alors le rapport : goé / go . L’expression (1) donne : goé / go = R² / Ré² = (R / Ré)² = (6370 / 6378)² = ( (6378-8 ) / 6378)² = ( 1 – 8 / 6378 )² puisque 8 / 6378 << 1, on peut utiliser l’approximation ci-dessus. goé / go = 1 – 16 / 6378 = 0.9975 goé = go . 0.9975 ce qui redonne également : goé = 9.825 . 0.9975 = 9.800 N/kg Nous vous laissons le soin de refaire le même calcul au pôle en calculant le rapport :

- 66 –

gop / g0 = (6370 / 6357)² = [(6357 + 13) / 6357 ]² * <<<<<

<<<<<<<<<<>>>>>>>>>> BIB : (2-3-6-8)

- 67 –

8 - LES QUATRE SAISONS 1 - Le mouvement de la Terre autour du Soleil. PA - Nous allons nous intéresser au mouvement de la Terre autour du Soleil et essayer d’expliquer pourquoi il y a quatre saisons sur Terre. JO - Très bien, ce sera cool aujourd’hui car qui peut ignorer qu’il y a quatre saisons sur notre planète ? PA - Bien sûr, ce sont des choses que tout le monde connaît mais les raisons pour lesquelles il en est ainsi ne sont pas toujours très bien comprises. Fais le test autour de toi, demande à quelqu’un pourquoi il y a quatre saisons, les réponses sont variées, quelquefois exactes, assez souvent étranges. Et toi, tu vas vite te rendre compte que le mouvement de la Terre autour du Soleil n’est pas aussi simple que ce que tu penses. Imaginons que l’orbite de la Terre soit un grand cercle centré sur le Soleil dessiné sur un immense parquet. On appellera ce parquet le plan de l’écliptique. Plaçons un axe perpendiculaire au parquet donc à l’orbite terrestre passant par le centre du Soleil. Regarde cet axe sur la figure (8-1).

- 68 –

La Terre accomplit donc en un an une révolution autour de cet axe, en tournant de plus sur elle-même. Nous le baptisons pour la suite : axe de l’écliptique. Note au passage que les autres planètes du système solaire accomplissent leur révolution pratiquement dans ce même plan de l’écliptique. JO - J’ai bien repéré l’axe de machin…de l’éclip….. Avec un nom pareil je sens que les embrouilles vont commencer ! PA - Vous êtes tous pareils ! Dès qu’un nom sort de l’ordinaire, vous l’associez à quelque chose de compliqué…. Le plan de l’écliptique, le parquet de tout à l’heure, est le plan de l’orbite terrestre. Il n’y a rien de compliqué là dedans! JO - Tu viens de dire que l’orbite de la Terre est un grand cercle ; or je regarde la figure (8-1) et je vois écrit : ellipse. Alors c’est un cercle ou une ellipse ? PA - Pour le moment tu peux considérer que l’orbite de la Terre est un cercle. Mais ne m’interromps pas toutes les cinq minutes sinon nous serons là encore demain matin et j’ai un bon Pauillac qui m’attend. Lorsque nous avons étudié le bourrelet équatorial (ch.7) nous avons assimilé la Terre à une toupie géante. On peut imaginer l’axe de cette toupie comme une immense aiguille à tricoter traversant la Terre du pôle Sud au pôle Nord. La toupie-Terre tourne évidemment autour de cet axe en une journée, sa rotation se faisant vers l’Est. Reprenons : la toupie-Terre en tournant sur elle même en 24h autour de l’aiguille à tricoter parcourt en même temps en un an son orbite autour du Soleil, c’est à dire le grand cercle dessiné sur le parquet ou plan de l’écliptique. JO - D’accord pour l’axe de la Terre, si ce n’est qu’on ne sait plus ce qu’est une aiguille à tricoter de nos jours ! Heureusement que j’ai vu mamie s’en servir pour réparer tes chaussettes. …..Et que veulent expliquer les deux figures (8-2) ? PA - Elles expliquent le mouvement apparent du Soleil dans la journée, mouvement dû évidemment à la rotation de la Terre sur elle-même. Voyons les choses de plus près. Sur la figure (8-2haut) : Terre vue du pôle Nord . On a représenté un pêcheur à l’équateur. Il est parti sur le lac voisin à l’aube et a installé sa pirogue l’avant vers l’Est, l’arrière vers l’Ouest ; la pirogue restera immobile toute la journée dans cette orientation. Avec son bras il indique la direction du Soleil : il voit que le matin, le Soleil est dans la direction de l’avant de la pirogue, par conséquent vers l’Est. A midi le Soleil est au dessus de sa tête, et le soir dans la direction de l’arrière du bateau, par conséquent vers l’Ouest. Vu de la pirogue immobile, le bras du pêcheur décrit donc pendant la journée le mouvement du Soleil dans le ciel : il se lève à l’Est, passe au dessus de sa tête à midi et se couche à l’Ouest. C’est un geste que toute personne fait quand on lui demande de décrire le parcours du Soleil dans la journée. Ainsi dans son mouvement apparent le Soleil va d’Est en Ouest pour un observateur n’importe où sur la Terre parce que la Terre tourne dans l’autre sens d’Ouest en Est.

- 69 –

Sur la figure (8-2bas) : Terre vue de « profil » Elle représente un Equatorien (toujours notre habitant du pays l’Equateur), un Français et un Esquimau à midi. Ils pointent tous avec leur bras la direction du Soleil ; on observe que pour l’Equatorien le Soleil est au dessus de sa tête, pour l’Esquimau à la latitude 90°, il est à ras l’horizon et pour le Français à la latitude 45°, il est de biais. Donc à midi selon la latitude de l’observateur, le Soleil de midi est d’autant plus haut dans le ciel que l’on se rapproche de l’équateur. NOTE - La latitude varie le long d’un méridien de 0° à l’équateur, à 90° au pôle Nord ( et à – 90° au pôle Sud).

JO - Il y a quelque chose qui me chiffonne pour les observateurs de midi de la fig. (8-2bas) . J’ai bien l’impression qu’en été le Soleil est presque au dessus de ma tête à midi, en tous cas beaucoup plus haut que ne l’indique le petit Français.

- 70 –

PA - Tu as raison ces figures sont tracées pour comprendre facilement le trajet journalier du Soleil dans le ciel mais elles supposent aussi que l’axe de rotation de la Terre, l’aiguille à tricoter, est parallèle à l’axe de l’écliptique ou si tu préfères perpendiculaire au plan de l’écliptique. Le paragraphe suivant va nous montrer que si c’est le cas, il ne peut pas y avoir quatre saisons. JO - Et Vivaldi va se sentir mal. PA - C’est une façon de voir les choses…Examinons cette situation. 2 - Une hypothèse simpliste. PA - Supposons que l’aiguille à tricoter soit parallèle à l’axe de l’écliptique (fig.8-3haut). Nous avons dessiné quatre positions A,B,C,D de la Terre sur son orbite et sur la Terre nous avons tracé l’équateur en noir et un cercle rouge correspondant grossièrement à la latitude de la France. En une journée un Equatorien décrit le cercle noir de l’équateur, et un petit Français le cercle rouge. Il est évident que le Soleil éclaire la moitié de chaque cercle : la partie éclairée est le jour ; la partie non éclairée est la nuit. On le voit mieux sur les vues annexes « vues du pôle Nord » juste en dessous de A et C. L’Equatorien ou le Français passent chacun 12 heures sur chaque moitié. Cette situation a lieu quelque soit la position A,B,C ou D de la Terre ou sur n’importe quel autre point de son orbite. Ainsi tout le long de l’année les jours et les nuits sont égaux et durent chacun 12 heures. Conclusion : il n’y a plus de saisons. JO - J’ai déjà entendu cette lamentation à la campagne après un mois de pluie, mais je suppose que cela n’a rien à voir avec l’aiguille à tricoter. PA - On peut remarquer également qu’un Esquimau au pôle Nord ou au pôle Sud peut voir toute la journée le Soleil à ras l’horizon.

3 - Une situation plus réaliste.

PA - En réalité l’axe de la toupie-Terre, l’aiguille à tricoter, n’est pas « vertical » sur le parquet comme l’est l’axe de l’écliptique, mais fait un angle de 23.5° (° = degrés) avec cet axe [ou 23° 30’ en notation degré-minute-seconde, plus exactement 23° 27’ 8’’ (voir A.I -3)]. L’axe de la toupie-Terre est donc incliné de : 90°- 23.5° = 66.5° par rapport au plan de l’écliptique, plan de l’orbite terrestre (fig. 8-3bas). Il en résulte que l’aiguille à tricoter pointe maintenant en direction de l’étoile polaire, étoile très éloignée du Soleil, on peut dire à l’infini. L’aiguille à tricoter se déplace donc parallèlement à elle-même. En d’autres termes, si nous prolongeons par la pensée notre aiguille à tricoter, elle va percer la voûte céleste (pratiquement) à l’endroit de l’étoile polaire qui représente ainsi le Nord céleste. Tu dois savoir en effet que par les belles nuits étoilées, l’étoile polaire située au bout du timon du chariot de la petite Ourse, sert de repère au Nord céleste. Toutes les étoiles tournent lentement autour d’elle pendant la nuit. C’est naturellement un mouvement apparent car comme pour celui du Soleil, c’est nous qui tournons avec la Terre.

- 71 –

- 72 –

Récapitulons: l’axe de la toupie-Terre, se déplace sur l’orbite de la Terre en restant parallèle à lui-même, faisant toujours un angle de 23.5° avec l’axe de l’écliptique, et pointant vers l’étoile polaire. Nous regardons maintenant le cercle noir de l’équateur, et le rouge du Français dans les positions A, B, C, et D. Dans la position A appelée solstice d’été, puisque l’hémisphère Nord de la Terre est penché vers le Soleil, on constate que le cercle rouge du Français est éclairé par le Soleil plus de la moitié de la journée et la nuit il est dans l’obscurité moins de 12 heures. C’est par conséquent le début de l’été en France ; il y a beaucoup d’ensoleillement. Par contre à l’équateur, rien ne change vraiment. Simplement à midi le Soleil n’est plus exactement au dessus de la tête comme il l’était dans le paragraphe précédent. La région du pôle Nord est éclairée par le Soleil toute la journée, même à minuit ! Mais c’est l’hiver dans l’hémisphère Sud et la nuit en permanence au pôle Sud. Cette situation où dans l’hémisphère Nord le jour l’emporte sur la nuit, commence en fait en crescendo dès que la Terre entame le parcours DA et se termine en decrescendo sur le parcours AB ; elle dure par conséquent environ six mois. Petit problème intéressant : dans la position A, début de l’été dans l’hémisphère Nord, nous venons de constater qu’à midi le Soleil n’est plus tout à fait à la verticale de l’équateur. A quelle latitude le Soleil se trouve-t-il maintenant exactement à la verticale ? JO - Attends deux minutes….Puisque l’axe de la Terre est incliné de 23.5°, le Soleil doit être à midi à la verticale à la latitude 23.5° (fig. 8-4). PA - Exact. Le cercle parallèle à l’équateur tracé à cette latitude est le tropique du Cancer. On dit que le Soleil passe à midi au zénith du tropique du Cancer. As-tu remarqué que le tropique du Cancer passe par l’ancienne ville de Syène ? JO - Ah ! Je me souviens : le puits de Syène éclairé à midi jusqu’au fond…Eratosthène…J’ai compris !...Et au pôle Nord un Esquimau verra à midi le Soleil à 23.5° au dessus de l’horizon. PA - Oui. Le Français à la latitude λ = 45° le verra à midi à 68.5° donc effectivement plus haut que représenté sur la figure (8-2bas). Regarde la figure (8-4) : la direction du Soleil au dessus de l’horizon du lieu est donnée par l’angle : 90° - λ + α . Pour λ = 45°, cet angle vaut : 68.5°. Toujours dans la position A, tout lieu situé à une altitude λ supérieure à : 90° - α = 66.5°, verra le soleil 24 heures sur 24. Le cercle parallèle à l’équateur à cette latitude (dessiné en A et C sur la figure 8-3 bas) est le « cercle polaire arctique ». Il existe naturellement le cercle symétrique dans l’hémisphère Sud, le « cercle polaire antarctique ». Un norvégien habitant sur le cercle polaire arctique verra le soleil à midi incliné de 2 α = 47° au dessus de l’horizon et à minuit le fameux « Soleil de minuit » à ras l’horizon. Dans la position C appelée solstice d’hiver, tout est inversé. Le cercle rouge du Français est éclairé moins de 12 heures : le jour est court et la nuit dure plus de 12 heures : c’est le début de l’hiver. A l’équateur rien ne change vraiment. C’est le tropique du Capricorne dans l’hémisphère Sud qui joue maintenant le rôle du tropique du Cancer. Tout lieu situé à une latitude supérieure à celle du cercle polaire arctique est plongé dans l’obscurité.

- 73 –

Cette situation où dans l’hémisphère Nord la nuit l’emporte maintenant sur le jour, commence en fait en B, culmine en C et se termine en D. Enfin il est facile de constater que dans les positions précises B et D, le jour et la nuit durent chacun 12h. Pour cette raison, on nomme ces positions les « équinoxes ». Aux deux pôles le Soleil dont le disque est en partie caché, fait le tour de l’horizon à ras de celui-ci, comme si la journée était faite de12h d’aurore suivies de 12h de crépuscule. Pour l’hémisphère Nord, la position B est l’équinoxe d’automne, et la position D l’équinoxe de printemps. Dans l’hémisphère Sud la situation est inversée. L’égalité entre le jour et la nuit provient de ce que l’intersection du plan de l’équateur avec le plan de l’écliptique est alors la droite DB des équinoxes qui passe par le centre du Soleil. Si un jour tu entends parler du « point vernal » pense au point D, l’équinoxe de printemps.

- 74 –

4 - Un paradoxe. PA - Cernons encore davantage le mouvement de la Terre : en fait la Terre ne décrit pas un cercle autour du Soleil mais une ellipse. La théorie de Newton explique parfaitement cette caractéristique des orbites planétaires qui n’est autre que la première loi de Kepler. NOTE - La figure (8-5) montre bien la différence entre une ellipse et un cercle. Dans la figure du haut un jardinier pour dessiner sa pelouse, veut tracer un cercle avec une ficelle à laquelle ont été attachés deux petits piquets aux deux extrémités. Il replie la ficelle en deux, et plante les deux piquets au même endroit, point qui sera le centre du cercle. Il trace alors son cercle. Il faut évidemment qu’au cours du tracé la ficelle soit tendue. Pour tracer une ellipse, il utilise la même ficelle et sépare maintenant les deux piquets, puis les plante en deux points différents que l’on appelle les foyers de l’ellipse. Plus les piquets sont éloignés l’un de l’autre, plus l’ellipse est allongée. Par contre si le jardinier les rapproche, l’ellipse ressemblera de plus en plus au cercle précédent.

- 75 –

L’orbite de la Terre est une ellipse peu allongée ou au choix, un cercle peu aplati ; on dit que l’ excentricité est faible (fig.8-1). Le Soleil occupe un des foyers. L’autre est vide. La distance Terre-Soleil va donc varier au cours de l’année. Rappelons que la distance moyenne est l’ua et vaut : 149.6 millions de km. La distance Terre-Soleil la plus courte correspond à la Terre au point appelé périhélie : elle est de 147.1 millions de km ; la plus longue correspond à l’aphélie : elle est de 152.1 millions de km. La variation entre les distances du Soleil au périhélie et à l’aphélie n’est que de 5 /150 soit environ 3% , ce qui est peu. La droite qui joint l’aphélie et le périhélie est appelée ligne des apsides, c’est le grand axe de l’ellipse. Le 2 ou 3 juillet, pratiquement la position A de la figure (8-3bas), la Terre est à l’aphélie ; rappelons que nous sommes en été dans l’hémisphère Nord ; de même le 2 ou 3 janvier, pratiquement la position C, la Terre est au périhélie ; c’est l’hiver dans l’hémisphère Nord. Par conséquent dans l’hémisphère Nord, l’hiver est la période où la Terre est la plus proche du Soleil et l’été la période où elle en est le plus loin. JO - Si je dis à mes copains que l’hiver est la période où la Terre est la plus proche du Soleil, je vais me faire assassiner ! PA - Défends toi avec l’aiguille à tricoter. JO - Si j’ai bien compris, la ligne des apsides est aussi la ligne qui joint les positions A et C de la figure (8-3bas), c’est à dire la ligne des solstices d’été A et d’hiver C ? PA - Attention ! J’ai dit « le 2 ou 3 juillet, pratiquement la position A… ». En fait le solstice d’été A est le 21 juin : c’est le début de l’été (voir aussi : sect.7) ; il y a disons 12 jours de décalage avec l’aphélie. De même pour le solstice d’hiver avec le périhélie. La ligne des apsides n’est donc pas celle des solstices. En fait nous venons de voir que la ligne des solstices AC correspond au passage du Soleil à midi au zénith des tropiques du Cancer et du Capricorne ; ces positions de la Terre sur son orbite ne sont liées à aucun point particulier de l’ellipse comme le sont l’aphélie et le périhélie liés aux distances extrêmes Soleil-Terre. Pour résumer cette discussion sur les saisons, on peut dire que l’inclinaison de l’axe de la toupie-Terre de 23.5° par rapport à l’axe de l’écliptique pendant tout le parcours de l’orbite terrestre, a beaucoup plus d’influence sur les saisons que le fait que l’orbite soit une ellipse. JO - Je suis prête à parier 100 euros : comme d’habitude, tu vas me dire que l’inclinaison de 23.5° de l’axe de la toupie-Terre pointant toujours vers l’étoile polaire pendant sa révolution autour du Soleil n’est pas tout à fait exacte. 5 - La précession de la toupie-Terre. PA - Quelle intuition ! Effectivement les choses se compliquent. Lorsque tu fais tourner une toupie sur du parquet, as-tu déjà remarqué que l’axe de la toupie ne reste pas toujours dans une direction fixe proche de la verticale : si sa pointe ne bouge pas trop sur le parquet, on peut voir l’autre extrémité de l’axe décrire assez lentement de petits cercles et donne l’impression que la toupie est un peu ivre. Ce mouvement est appelé mouvement de précession.

- 76 –

JO - Attention de ne pas être animé d’un mouvement de précession après le Pauillac ! PA - Quand je disais plus haut que l’axe de la toupie-Terre, l’aiguille à tricoter, dont l’angle avec l’axe de l’écliptique est de 23.5°, gardait toujours cette même direction en pointant vers l’étoile polaire, ce n’était effectivement pas tout à fait exact. Donc lorsque nous avons décrété que l’axe de la toupie-Terre reste parallèle à lui-même, ceci n’est vrai que sur un nombre d’années pas trop élevé. Il ne l’est plus sur 1000 ans. La raison provient de ce que la toupie-Terre a aussi un mouvement de précession. Bien que faisant toujours un angle de 23.5° avec l’axe de l’écliptique, l’axe de la toupie-Terre tourne extrêmement lentement autour de cet axe de l’écliptique : il effectue un tour complet en 26000 ans environ. Par conséquent chaque année, l’axe de la toupie-Terre dévie très très légèrement, c’est à dire d’un angle de : 360° / 26000 ≈ 0.014° ≈ 50’’( « ’’ » = seconde d’arc - voir. A.I -3) et donc il ne se déplace plus rigoureusement parallèlement à lui-même. Tout se passe comme si l’on avait un parapluie ouvert à l’envers, les baleines faisant un angle de 23.5° avec le manche. Le manche est l’axe de l’écliptique et une baleine quelconque est l’aiguille à tricoter, l’axe de la toupie-Terre (fig.8-6 ) .

JO - Voilà que l’aiguille à tricoter devient une baleine ! PA - Maintenant faisons tourner extrêmement lentement, un tour en 26000 ans, le parapluie et l’axe de la Terre, la baleine, tournent en même temps. L’axe de la toupie-Terre décrit ainsi en

- 77 –

26000 ans un cercle dit de précession sur la voûte céleste autour de l’axe de l’écliptique. Un mathématicien dirait qu’il balaie un cône dont l’axe, le manche du parapluie, est l’axe de l’écliptique et l’angle au sommet 23.5°. En une année on n’a pas le temps de s’apercevoir que l’axe de la Terre a un peu dévié de sa direction vers l’étoile polaire. Mais en un millénaire on peut très bien s’en rendre compte... Ainsi à cause du mouvement de précession de la Terre, l’étoile Polaire n’a pas toujours représenté le pôle Nord céleste. Vers l’an 800 les Vikings utilisaient une étoile de la constellation de la Girafe pour repérer le Nord céleste. Dans 4000 ans l’axe de la Terre pointera dans la constellation de Céphée, dans 13000 ans il pointera tout près de la brillante étoile Véga dans la constellation de la Lyre. Regardons une toupie en train de tourner avec un mouvement de précession. Observons le cercle imaginaire décrit par l’extrémité de l’axe de la toupie qui « précesse »…. Transposons à la Terre ; on comprend alors que le mouvement de précession de l’axe de la Terre se répercute également sur l’orientation de la ligne des équinoxes : celle-ci va par conséquent tourner dans le plan de l’écliptique au même rythme que cet axe. Ce mouvement provoque en fait une rétrogradation de la ligne des équinoxes qui retrouvera son orientation initiale au bout des 26000 ans de la période de précession.. JO - Mais au fond qu’est-ce qui provoque ce mouvement de précession de la Terre ? PA - La force de gravitation, encore elle ! Et le bourrelet équatorial ! Les attractions gravitationnelles de la Lune et du Soleil agissent sur le bourrelet équatorial ; elles essaient de ramener ce bourrelet équatorial dans le plan de l’écliptique puisqu’il fait lui aussi un angle de 23.5° avec ce plan. Ce sont ces attractions qui provoquent le mouvement de précession. Si la Terre était une toupie parfaitement sphérique, il n’existerait pas. JO - Je veux bien mais à ton regard je m’attends au pire. Ne me dis pas que ça se complique encore ! 6 - De plus en plus complexe : la nutation. PA - Encore un dernier degré dans la complexité ! Résumons le mouvement de précession : l’axe de la Terre transformé en baleine de parapluie, décrit en 26000 ans un cercle de précession autour de l’axe de l’écliptique en faisant un angle de 23.5° avec cet axe. En fait la force de gravitation exercée par la Lune et le Soleil sur le bourrelet équatorial n’est pas constante surtout par la faute de la Lune ; elle varie selon l’angle entre l’orbite de la Lune et le plan de l’équateur. Ces variations de la force de la Lune sur le bourrelet équatorial sont cycliques avec une période de 18.6 ans et provoquent une très légère oscillation périodique de l’axe de la toupie-Terre lorsqu’il décrit le cercle de précession ; l’axe de la toupie-Terre fait un tour du cercle de précession en faisant ainsi environ 1400 petites ondulations de part et d’autre de ce cercle en 26000 ans (18.6 . 1400 ≈ 26000). On appelle ce phénomène : la nutation (fig.8-7). Et estime-toi heureuse, car je ne parlerai pas de l’influence encore plus fine des autres planètes du système solaire qui agissent également légèrement sur le mouvement de la Terre en faisant par exemple osciller l’inclinaison du plan de l’équateur par rapport à l’écliptique de plus ou moins 1° environ autour des fameux 23.5°, avec une période de 40000 ans.

- 78 –

JO - Heureusement ! J’ai l’impression qu’on finirait par empiéter sur l’Astrologie. PA - Aucun risque ! Si les Astrologues se mettaient à utiliser d’authentiques arguments scientifiques, par définition ils ne seraient plus des Astrologues.

JO - Puisque tu veux visiblement faire plaisir aux Astrologues, peux-tu m’expliquer pourquoi une personne née au printemps est du signe du Bélier, du Taureau ou des Gémeaux ? Rassure-toi, je sais déjà que ces signes représentent des constellations que l’on identifie souvent avec beaucoup d’imagination à des animaux ou autres curieux objets. 7 - Le zodiaque. PA - Ta question est intéressante car elle permet de mieux situer le minuscule système solaire par rapport aux quelques centaines de milliards d’étoiles de la Voie Lactée. Suppose que le Soleil soit un personnage de théâtre immobile au centre d’une scène et la Terre un autre acteur qui tourne autour de lui en une année. Tout autour de la scène, y compris au dessus et au dessous, le décor est constitué de papier étoilé. Attention, dans ce qui suit nous ne nous occupons pas de la rotation de la Terre sur elle-même. Dans sa révolution autour du Soleil, la Terre regarde le Soleil immobile et en même temps le décor d’étoiles derrière lui. Elle voit alors le Soleil se déplacer par rapport au décor pendant qu’elle en fait le tour : le Soleil lui semble parcourir un grand cercle sur le décor. En fait ce n’est qu’un mouvement apparent du Soleil dû à la révolution de la Terre ; ce grand cercle qu’il parcourt est ce qu’on appelle le zodiaque.

- 79 –

- 80 –

Evidemment la partie du décor parcourue par le Soleil n’est constituée que des étoiles à peu près dans le plan de la scène. Ce plan est justement celui de l’écliptique puisque le Soleil et la Terre y sont déjà. Donc seules les étoiles au voisinage de l’écliptique (disons à plus ou moins 8° de ce plan pour englober également les planètes) participent au zodiaque ; les étoiles au dessus ou en dessous de la scène ne sont pas concernées. Néanmoins il n’est pas question de dessiner le nombre astronomique d’étoiles de la voûte céleste dans cette bande de + 8° au voisinage de l’écliptique. Au temps de Hipparque, les Grecs n’ont retenu que des groupes d’étoiles choisies parmi les plus visibles ; ils sont au nombre de douze comme les mois de l’année. Ces groupes appelés constellations forment des figures schématisant des animaux, des personnages mythiques ou autres, représentées par des signes, les signes du zodiaque. NOTE - Les étoiles d’une constellation ne sont pas forcément proches les unes des autres : une étoile très brillante mais éloignée peut être aussi lumineuse qu’une étoile moins brillante mais proche. Le zodiaque est dessiné (fig.8-8). La scène de théâtre occupe le centre avec le Soleil et l’orbite terrestre. Le décor étoilé est le disque rose extérieur. Le disque bleu intérieur écrit dans l’autre sens, sert uniquement de repère des jours de l’année et des saisons. Peux-tu trouver le signe d’un de nos aïeuls né le10 décembre ? JO - Je me place avec la Terre en face du 10 décembre. Je trace la droite Terre-Soleil que je prolonge jusqu’au cercle rose des signes ; je tombe sur le Sagittaire. Le Soleil traverse donc le Sagittaire à cette date. Notre aïeul est donc un Sagittaire. PA – C’est juste. Plaçons nous maintenant à l’entrée de l’Hiver, le 21 ou 22 décembre, nous voyons que nous sommes à un changement de signe, nous passons du Sagittaire au Capricorne. Cela se produit à chaque changement de saison : 21 mars, 21 juin…. On notera le décalage d’environ une dizaine de jours entre les mois et les signes du zodiaque. NOTE - Du temps des Grecs il y a un peu plus de 2000 ans soit environ le dixième de 26000 ans, le Soleil entrait effectivement dans la constellation du Bélier le 21 mars. Ce n’est plus le cas maintenant car depuis les signes se sont décalés d’un cran à cause de la rétrogradation des équinoxes (ch.8-5). Durant un peu plus de 2000 ans cette rétrogradation correspond en effet à environ un dixième de tour, environ 30°, ce qui correspond au cran c’est à dire à l’angle d’un signe du zodiaque. 8 - Conclusion. PA - On peut conclure que le mouvement de la Terre autour du Soleil est extrêmement complexe lorsqu’on le regarde à la loupe. Toutes ces influences gravitationnelles des astres autour de la Terre provoquent des variations périodiques lentes non seulement de l’axe de rotation de la Terre et mais aussi des modifications périodiques, lentes et faibles de l’orbite terrestre elle-même. Il est clair que ces divers mouvements ont une influence sur l’ensoleillement de la Terre, donc sur le climat. On peut observer effectivement ces variations périodiques dont les périodes vont de quelques dizaines de milliers à quelques centaines de milliers d’années, en remontant dans le passé par l’analyse par exemple des carottes glacières recueillies aux pôles.

<<<<<<<<<<>>>>>>>>>> BIB : (3)

- 81 –

9 - LA FORCE DE NEWTON

Fil d’Ariane : 3-4-5-6-7-9 Nous reprenons le fil d’Ariane pour arriver enfin à l’expression de la force de gravitation de Newton que nous pouvons écrire maintenant très facilement. Nous sommes à la moitié du chemin qui nous conduit aux lois de Kepler (ch.19). Nous devrons patienter jusqu’au ch.17 pour obtenir l’expression de la force centrifuge dont nous avons besoin pour écrire l’équilibre d’un satellite autour d’une planète, ou d’une planète autour du Soleil, etc…. c’est à dire la troisième loi de Kepler. En attendant, nous pouvons nous familiariser avec la force de Newton en regardant les exercices à la fin de ce chapitre. 1 - La force de gravitation universelle. Cas d’une planète. Information. A partir de ce chapitre, nous faisons un peu plus attention aux grandeurs physiques comme les forces, les champs, les vitesses etc…qui sont des vecteurs. Il est conseillé de consulter l’Annexe II pour se familiariser avec la notion de vecteurs et leur notation. La plupart du temps nous n’utiliserons que la « norme » du vecteur qui représente la valeur de la grandeur physique ; on connaît mieux la « norme » sous le nom de « valeur » plus simple mais moins précis. Nous rappelons qu’un vecteur sera écrit en gras et sa norme en caractères ordinaires. PA - Nous avons tout sous la main pour écrire la force de gravitation de Newton. Reprenons le cas d’une planète qui ne tourne pas sur elle-même et d’un objet de masse m à sa surface. Nous connaissons déjà le champ de gravitation g0 d’une planète de masse M et de rayon R à sa surface (ch.5-(1)). Sa norme vaut : g0 = G . M / R². Peux-tu écrire la force de gravitation F exercée sur un objet de masse m ? JO - g0 est le champ de gravitation dirigé vers le centre de la planète : F est dirigée vers le centre ; sa norme (ch.4-(1)) vaut :

F = m . g0 (1)

PA - Tout cela me paraît bien acquis. Remplaçons g0 par sa valeur (norme): g0 = G . M / R²

F = G . M . m / R² (2) Généralisons en plaçant maintenant l’objet de masse m à la distance d quelconque du centre de la planète (d ≥ R). Attention à cette erreur fréquente chez les têtes en l’air : si l’objet se trouve à l’altitude h, il est à la distance d = R + h et non h du centre de la planète. La force d’attraction entre l’objet de masse m à la distance d du centre de la planète devient :

F = G . M . m / d² (3)

2 - La force de gravitation. Cas général. PA - Généralisons encore un peu au cas de deux masses quelconques m et m’. Le couple M et m dans (3) n’est pas forcément une planète et un objet, il sera en général deux masses quelconques séparées d’une distance d. Notons-les m et m’ ; ainsi F devient :

- 82 –

F = G . m . m’ / d² (4)

Voici l’expression de (la norme de) la force de gravitation universelle de Newton. JO - Finalement elle n’est pas si compliquée ! PA - Peut-être, encore fallait-il l’imaginer ! Il n’est pas inutile de faire quelques remarques déjà effleurées dans les chapitres précédents : Remarques - - F est proportionnelle au produit des masses ( m . m’ ) car si une masse est nulle, il n’y a pas

d’attraction gravitationnelle. - m et m’ peuvent être deux masses quelconques. Si m et m’ sont deux objets, d est la distance

entre leurs centres de masse ou de gravité. S’ils sont très petits par rapport à leur distance, d est tout simplement leur distance. Si m est une planète et m’ un petit objet par rapport à elle, d est la distance de l’objet au centre de la planète. Si m et m’ sont deux astres sphériques d est la distance entre leurs centres.

- On remarque dans (4) que F diminue comme 1/d² où d est la distance entre les deux masses qui vient d’être définie ; F s’annule à l’infini.

- Dans l’expression (3) rien n’indique que la planète M attire l’objet m vers elle, est-ce la planète qui attire l’objet ou l’inverse ? De même dans (4) est-ce m qui attire m’ ou l’inverse ? D’après le principe des actions réciproques, nous pouvons aussi bien considérer que l’objet m attire m’ dans ce cas F est dirigée vers m, que la situation inverse : m’ attire m alors F est dirigée vers m’.

JO - Comment représenter que c’est m qui attire m’ par exemple ? * >>>>> PA - Il faut alors passer à l’écriture correcte de (4) avec des vecteurs :

F = [G . m . m’ / d²] . u (4 bis) JO - Mais que vient faire le vecteur u là dedans ? PA - Pas d’affolement. Tout d’abord, si nous avons un vecteur comme F à gauche de l’équation, nous sommes obligés d’en avoir un à droite : u , de même direction et sens que F , question d’homogénéité, sinon il ne peut y avoir d’égalité. Le vecteur u est une simple pancarte qui indique : vers le centre de m ; sa norme u = 1 ; on dit que c’est un vecteur unitaire, (comme les vecteurs i et j d’un système de deux axes orthonormés). Il ne joue aucun rôle quand nous prenons les normes dans (4 bis) ; en effet nous obtenons alors à gauche : F, et à droite juste ce qu’il y a dans le crochet puisque u = 1. Nous retrouvons bien (4). Et si tu considères la situation inverse, à savoir que c’est m’ qui attire m, F est dirigée vers le centre de m’ et donc la pancarte u doit être aussi changée de sens. * <<<<< JO - Je ne suis pas bien d’accord avec le principe des actions réciproques. Quand un objet m se trouve à une grande distance d’une planète M et qu’il tombe sur elle, c’est quand même bien la planète qui l’attire et non le contraire ! PA - Transporte toi dans un vaisseau spatial qui tombe en chute libre vers le centre de la Terre. Un observateur sur Terre voit effectivement le vaisseau attiré par la Terre. Maintenant tu es, toi, dans le poste de pilotage du vaisseau et tu regardes par le hublot la Terre devant toi qui grossit de plus en plus au fur et à mesure que tu t’en rapproches. Tu as le droit de te

- 83 –

considérer immobile et tu constates alors que c’est la Terre qui s’approche du vaisseau, donc que ton vaisseau attire la Terre. 3 - Le champ de gravitation en général. PA - Reprenons notre planète M et notre objet m. Isolons dans (3) la masse de l’objet m :

F = [ G . M / d² ] . m (3 bis) Nous pouvons définir un champ de gravitation plus général : g sans l’indice 0, que nous continuons d’appeler champ de gravitation :

g = G . M / d² (5) Le champ de gravitation g obéit aux mêmes lois que F puisqu’ils sont proportionnels. Mais g ne dépend que de la planète et ne dépend plus de l’objet. Nous avons dans (3 bis) une formule analogue au poids :

F = m . g (6) Si d = R, le champ de gravitation g dans (5) redevient évidemment le champ de gravitation en surface g0 (et non le champ de pesanteur puisque la planète ne tourne pas). * >>>>> Le vecteur g est dirigé comme F vers le centre de la planète. Nous pouvons l’écrire avec un vecteur unitaire u dirigé comme g vers le centre de la planète :

g = [G . M / d²] . u (5bis) Nous écrivons alors F :

F = m . g (6bis)

Les normes des équations (5bis) et (6bis) redonnent (5) et (6). * <<<<< Pour terminer, peux-tu écrire g en fonction de g0 en effectuant le rapport : g / g0 ? JO - D’après (1) et (5) ce rapport est : g / g0 = ( R / d )² . D’où g :

g = g0 . ( R / d )² (7) PA - Bien. Ainsi nous retrouvons que lorsque d = 2R , le champ g diminue d’un facteur 4 ; lorsque d = 3R, g est divisé par 9 , etc…. il en va de même pour F, ce que nous savons déjà puisque F et g sont proportionnels (Ex 4-1). Figure (9-1) nous avons dessiné le champ de gravitation g de la Terre à différentes distance du centre. Il a évidemment une répartition sphérique et diminue rapidement quand on s’éloigne du centre. Le graphique du bas montre la diminution de g lorsqu’on s’éloigne du centre de la planète à partir de sa surface, selon un axe radial c’est à dire un axe qui part du centre.

- 84 –

- 85 –

Le champ de gravitation est une notion abstraite commode. Si nous prenons celui de la Terre représenté (fig.9-1), nous voyons qu’il suffit de mettre une masse m dans ce champ pour qu’elle soit attirée selon les flèches d’autant plus fortement qu’elles sont longues, vers le centre de la Terre par la force de gravitation F bien réelle et égale à m fois ce champ. Si la masse m de l’objet est de 1 kg, dans (6) ou (6bis) : F = g. Le champ de gravitation g représente ainsi la force de gravitation sur la masse unité. JO - Je me demande si moi avec ma masse ridicule m, je crée autour de moi un champ de flèches, un champ de gravitation sphérique comme celui-ci ? PA - Bien sûr. Il suffit de remplacer dans (5) la masse de la planète M par la tienne m. Si tu es dans l’espace complètement vide et que tu places ta copine JU de masse m’ dans ton champ de gravitation, tu vas l’attirer toujours irrésistiblement. La situation inverse est tout aussi valable. Mais si tu es sur Terre, les flèches de ton champ de gravitation seront ridicules par rapport au champ de gravitation de la Terre ; elles seront totalement insignifiantes et noyées par ce champ. Entraînement. Quelques applications. Nous allons calculer la force de Newton dans des cas très variés où l’on utilise deux objets, ou un objet et un astre ou deux astres… Ces exercices simples sont une application directe de la force gravitationnelle donnée par (3) ou (4). Nous ne les faisons pas en détail. On rappelle : G = 6.67 10-11 SI Attention : quand G apparaît dans une formule, on doit utiliser des m, kg, s. Ex 9-1 - Attraction gravitationnelle entre deux masses de 50 kg. Nous supposons d’abord les deux masses m et m’ distantes de 1m. La formule (4) donne :

F = 1.67 10-7 N Ces forces sont très faibles. Cependant des forces aussi faibles que 10-7 N sont mesurables avec beaucoup de précaution ; nous le verrons ci dessous avec l’expérience de Cavendish. Maintenant si les deux objets sont séparés de 1 km = 103 m, alors d² est multiplié par (103)2 soit 106 et F devient :

F = 1.67 10-13 N Ex 9-2 - Attraction entre une masse de 50 kg et la Terre. Rien de plus simple puisque c’est le poids de l’objet :

F = P = m . g0 Puisque g0 déjà calculé (chap.5-1), vaut à peu près 10 N/kg , on a immédiatement :

F = 500 N La force F a considérablement augmenté à cause de la masse énorme de la Terre (6 1024 kg) Ex 9-3 - Attraction entre la Terre et la Lune. Nous avons affaire ici à la force de gravitation entre deux astres : la Terre et la Lune. La distance moyenne d entre les centres de la Terre et de la Lune est : d = 384400 km = 3.844 108 m. La masse de la Lune est 81.3 plus faible que celle de la Terre : ML = MT / 81.3 On prend : MT = 6 1024 kg.

- 86 –

Le calcul donne : F = 2.1020 N.

Avec des masses énormes la force de gravitation prend de l’importance. Que dire alors si nous prenons la masse d’une étoile comme le soleil ( Ms = 2 1030 kg ) 330000 fois plus grande que celle de la Terre ou de la masse de certains corps célestes un million de fois plus grande que celle du Soleil ! * >>>>> Ex 9-4 - Variation du champ de gravitation de la Terre avec l’altitude h. Cet exercice va nous permettre de réutiliser la formule mathématique d’approximation vue dans (Ex 7-2) à savoir : ( 1 + x )p ≈ 1 + px à condition que : x << 1 . Montons à une altitude h égale au centième du rayon de la Terre, soit 64 km. Nous sommes encore dans l’atmosphère. Le champ g à cette altitude est obtenue en remplaçant d par : R + h dans la formule (7) :

g = g0 . [ R / ( R + h ) ] ²

Nous devons nous débrouiller pour faire apparaître ( 1 + x )p. Pour cela nous mettons R en facteur dans R + h au dénominateur. R + h devient : R . (1 + h / R ) puis R se simplifie avec le numérateur. D’où :

g = g0 . [1 / (1 + h /R) ] ²

Puisque 1+ h / R est en dénominateur, nous utilisons : 1 / x2 = x -2 ce qui donne :

g = g0 . [ 1 + h / R ] –2

Nous avons bien trouvé une forme : ( 1 + x )p où x = h / R et vaut 1/100 , donc est très inférieur à 1 , et où p vaut -2 . Donc finalement :

g ≈ g0 . ( 1 - 2 h / R )

La parenthèse ( 1 - 2 h / R ) vaut : 1 – 0.02 . La variation de g0 pour 64 km est donc une diminution de 2%. Sur 32 km elle sera de 1% , et sur 100 km d’environ 3%. Conclusion : le champ de gravitation diminue de 3% à 100 km d’altitude, sommet de l’atmosphère. Au sommet d’une montagne de 4000 m le champ de gravitation a diminué de 1.25 0/00 par rapport au niveau de la mer. Ex 9-5 - JO veut faire de la lévitation. JO - Quand je suis à la surface de la Terre mon poids est de 400 N , OK d’accord ? Je suis loin du centre de la Terre puisque j’en suis séparée de 6370 km (rayon moyen de la Terre). D’après l’expression (3) plus d est grand, plus la force de Newton est faible ; alors j’ai comme toujours une excellente idée. La voici : Je me place dans un tunnel sous une montagne (fig.9-2). La masse de la montagne au dessus de ma tête est évidemment bien plus faible que celle de la Terre sous mes pieds, mais en contrepartie je suis de toute façon bien plus proche de la montagne que du centre de la Terre, plus exactement du point G où je suppose avoir le droit de concentrer toute la masse de la montagne comme on en a le droit pour la Terre, et même si je n’en ai pas le droit, je le prends. La force de gravitation que va exercer la montagne sur moi me tire vers le haut ; cette force a alors toutes les chances d’être supérieure à mon poids puisque je suis bien plus proche du

- 87 –

« centre » G de la montagne que de celui de la Terre ; elle va par conséquent me hisser vers le haut. Je vais donc léviter et me retrouver collée au plafond du tunnel !

PA - Ton raisonnement est juste, le terme léviter plus douteux. Mais si tu fais un petit calcul tu pourras constater que la force d’attraction qu’exerce la montagne sur toi reste encore bien faible par rapport à ton poids, donc tu ne risques pas de te cogner la tête au plafond du tunnel. Un petit calcul va te le prouver. Supposons par exemple que la montagne au dessus de ta tête, de forme imprécise, constituée surtout de roches, ait par exemple un volume de 8 km3, une masse volumique de 3 g/cm3 , et que le point G où tu te donnes le droit de mettre toute la masse soit à 700 m au dessus du tunnel. * * >>>>> NOTE - Même si tu donnes une forme simple à la montagne, un cône par exemple, le point G où tu mets toute la masse de la montagne, n’est pas le centre de masse ou de gravité, cela ne marche que pour une sphère ! De plus la position du point G dépend de l’endroit où tu veux calculer le champ de gravitation. * * <<<<< Pour avoir la masse de la montagne M, nous devons multiplier son volume V par la masse volumique ρ . Donc : M = ρ . V = 24 1012 kg ( ρ = 3000 kg/m3 et V = 8.109 m3 ) Nous concentrons cette masse M au point G à 700m au dessus de toi. La force d’attraction de la montagne sur toi est donc :

F = 6.67 10-11 . 24.1012 . 40 / ( 700 )2 = 0.13 N F est donc très inférieur à ton poids de 400 N.

- 88 –

JO - Dommage. J’aurais amené toute ma classe dans le tunnel pour « léviter ». Quelle rigolade collective en perspective ! PA - Si tu te promènes dans une plaine avec sur ta droite une grande montagne, tu sais bien que tu ne vas pas basculer à droite. Ton poids est bien supérieur à l’attraction gravitationnelle de la montagne , ce qui t’oblige du reste, à te tenir verticalement . Ex 9-6 - A l’intérieur de la Terre. JO - Puisqu’il en est ainsi, je vais creuser un puits jusqu’au centre de la Terre. Là, il n’y a rien à dire, question de chaleur et de pression mise à part ; de cette façon je me rapproche du centre C de la Terre (fig.9-3 gche) ; puisqu’elle est sphérique j’ai le droit de mettre toute sa masse M en son centre.

La distance d dans (5) est inférieure à R et va devenir très petite donc la force d’attraction gravitationnelle que j’appelle « mon poids à l’intérieur de la Terre », va grandir énormément voire même tendre vers l’infini car le dénominateur d² tend vers 0. Question poids je vais être comme la grenouille devant le bœuf qui n’a qu’à bien se tenir. PA - Sûr que dans ces conditions tu finiras comme elle. Si tu pénètres à l’intérieur de la Terre, tu peux effectivement dire que la force d’attraction de la Terre est « ton poids à l’intérieur ». Tu l’exprimes par (5) et (6) que nous récrivons :

F = P = ( G M / d² ) . m = m . g

La distance d au centre C de la Terre étant maintenant plus petite que R, le poids P devrait effectivement augmenter voire même tendre vers l’infini. Note que nous pouvons raisonner uniquement sur le champ de gravitation g puisque le poids P lui est proportionnel, et simplifier par m. Ceci pour ne pas trimballer inutilement ta masse m.

- 89 –

JO - Trimballer ma masse ! Un peu de respect pour ma petite masse. PA - Regarde la figure (9-3 gche). Je suppose que tu es arrivée à une distance d du centre C. Par la pensée tu peux diviser la Terre en deux régions. En dessous de toi, il te reste à creuser ton puits jusqu’au centre dans une sphère de rayon d et au dessus de toi tu te trouves à l’intérieur d’une couronne sphérique d’épaisseur R-d . Eh bien tu vas être étonnée mais la couronne sphérique au dessus de toi n’exerce aucune attraction gravitationnelle sur toi ! Seule compte la sphère de rayon d en dessous de toi dont la masse est évidemment plus petite que la masse M de la Terre et qui s’annulera quand tu atteindras le centre C. Donc dans (5), M n’est plus la masse de la Terre. Tu dois par conséquent raisonner comme si tu te trouvais à la surface d’une Terre dont le rayon d est de plus en plus petit et la masse M de plus en plus petite ; le champ de gravitation créé par cette Terre qui se rétrécit, démarre ainsi de g0 à la surface (Terre normale), diminue puis s’annule au centre de la Terre. NOTE - L’annulation s’explique car la masse M au numérateur étant proportionnelle au volume et donc à d3, décroît plus vite et l’emporte par conséquent sur le carré d2 de la distance au dénominateur. En conclusion le champ de gravitation, comme ton poids, diminue régulièrement au fur et à mesure que tu te rapproches du centre et devient nul au centre de la Terre au lieu de devenir infini. JO - Quelle déception pour ma petite grenouille. Attends une minute, je ne comprends pas pourquoi la couronne sphérique d’épaisseur R-d ne contribue plus à la force d’attraction de la Terre (ou au champ de gravitation). PA – Imagine une Terre un peu spéciale, creuse à l’intérieur et qui a donc la forme de cette couronne sphérique (fig.9-3 drte). Tu te places au point A n’importe où à l’intérieur dans l’espace creux. Un morceau n°1 de cette couronne exerce bien une attraction sur toi, mais le morceau n°2 de la couronne disons pour être simple, diamétralement opposé au morceau n°1 , exerce une attraction en sens opposé qui contrebalance exactement l’attraction du n°1 car il a une masse plus grande mais il est plus éloigné du point A . Ainsi dans tout l’intérieur de la Terre creuse où que tu sois, il n’y a pas de champ de gravitation, donc pas de force : tu es partout en apesanteur. Par contre quand tu es à l’extérieur de la Terre, un « morceau de Terre » exerce bien une attraction sur toi, et il n’y a pas de « morceau de Terre » diamétralement opposé pour le contrer. JO - Bizarre ce truc. Cela me rappelle une histoire de science fiction où une civilisation vivait à l’intérieur d’une planète creuse éclairée par une lumière étrange en son centre; les gens se tenaient debout plaqués contre la face intérieure par l’attraction gravitationnelle de la couronne sphérique. L’auteur ne s’embêtait pas avec la physique ; en tous cas il s’était complètement planté puisque il n’y a aucune attraction dans tout l’espace creux ; les gens auraient du voleter partout dans tout l’espace creux comme une volée de moineaux. PA - Oui, mais tu sais ce que je pense de la science fiction. Je reviens un peu sur le poids ou ce qui revient au même sur le champ de gravitation à l’intérieur de la Terre. Nous avons dit qu’il diminue régulièrement à partir de la surface pour s’annuler au centre de la Terre. Ceci n’est vrai en réalité que si la Terre est une sphère homogène ; nous avons vu (ch.7) que ce n’était pas le cas. Nous savons que la Terre est constituée d’une succession de couronnes

- 90 –

concentriques sphériques de différentes masses volumiques, les plus fortes étant proches du centre. Il s’ensuit que le champ de gravitation ne diminue pas régulièrement avec la profondeur : il augmente même un peu jusqu’à une certaine profondeur mais finit tout de même par s’annuler au centre, comme le poids. Ex 9-7 L’expérience de Cavendish. PA - Avec les exemples que nous venons de voir, nous nous rendons compte qu’il va être très difficile de mesurer la force de gravitation entre deux objets sur Terre même proches car elle est très faible et nous serons toujours ennuyés par l’attraction de la Terre bien plus forte que ce que nous voulons mesurer. Comment peut-on s’en débarrasser. As-tu une idée ? JO - Oui. Je prends deux de tes boules de pétanque et les pose sur une table bien horizontale presque en contact. C’est la table qui supporte le poids des deux boules. Les poids sont verticaux puisque dirigés vers le centre de la Terre. Le poids de chaque boule ne doit pas intervenir puisqu’il est vertical et toujours compensé par la table. Voilà je m’en suis débarrassé. Les deux boules sont au départ immobiles. S’il y a une force de gravitation entre elles, cette force est horizontale ; elles doivent s’attirer l’une vers l’autre jusqu’au contact . PA - Ton raisonnement est presque parfait. JO - Je n’aime pas beaucoup le « presque ». Cela dit je n’ai jamais vu deux boules entrer en collision spontanément dans ces conditions. PA - Il est exact que le poids d’une boule dirigé verticalement ne doit pas intervenir. Il est compensé par la « réaction » de la table (ch.21-3). JO - Donc les deux boules s’attirent bien horizontalement. PA – Oui mais, pour que cette collision des deux boules ait lieu, il faudrait que la force d’attraction gravitationnelle horizontale soit supérieure aux forces de frottement des boules contre la table, et ne soit pas contrebalancée par d’autres masses aux alentours ou même d’éventuels courants d’air ! On ne le voit pas mais lorsqu’on pose une boule sur une table que l’on suppose déjà parfaitement horizontale, il n’y a pas un seul point de contact mais une petite zone de contact qui provient des déformations de la table et de la boule selon leur dureté. Il y aura donc toujours du frottement. Même en faisant attention à l’isolement du système des deux boules et en soignant la qualité des boules et de la table, les forces de frottement ou celles dues à d’éventuelles masses parasites restent bien supérieures à la force de Newton entre les deux boules ; elles restent donc immobiles. JO - Alors on ne pourra jamais mesurer la force de gravitation entre deux masses dans un laboratoire ? PA - Mais si ! On peut le faire avec d’infinies précautions. En 1798, un physicien et chimiste anglais Henry Cavendish (1731-1810) fit une expérience célèbre qui lui permit d’évaluer la constante G de la gravitation. Pour cela il utilisa une balance à fil de torsion imaginée peu de temps auparavant par le physicien français Charles Coulomb (1736-1806). Avec une telle balance, il est possible de mesurer des forces extrêmement faibles. Le dispositif est assez simple, il est représenté sur la figure (9-4). Un haltère comprend une tige de 1.80 m portant à ses extrémités deux petites boules de plomb de diamètre 5 cm. Il est

- 91 –

suspendu en son milieu par un fil de torsion très fin. Si l’on tourne la tige métallique, le fil de torsion analogue à une barre de torsion ramène l’haltère à sa position initiale, après en général un grand nombre d’oscillations.

On approche maintenant des deux petites boules de la tige, deux grosses boules de plomb identiques d’environ 30cm de diamètre de part et d’autre de la tige. Tout se passe dans un plan horizontal ; les centres des boules et la tige sont dans ce plan. Les poids n’interviennent pas : ils sont compensés par les « réactions » des supports (fil de torsion, support des grosses boules). Les forces F de gravitation qui apparaissent entre la grosse boule et la petite sont égales et opposées comme le montre la figure. Elles forment un couple qui va faire tourner la tige jusqu’à ce que la force de rappel du fil qui augmente avec la torsion, compense l’effet des forces de gravitation. La tige s’arrête de tourner quand il y a compensation exacte. Pour faire simple (l’expérience étant un peu plus compliquée), il suffit alors de mesurer l’angle dont la tige a tourné ; ainsi quand l’équilibre est atteint, l’angle de torsion permet de remonter directement à la force de rappel de torsion, elle-même reliée directement aux deux forces F de gravitation. Ayant ainsi la force F et connaissant les masses M et m des grosses et petites boules, leur distance d, l’expression (4) donne la valeur de la constante G :

G = F . d² / (M . m)

- 92 –

Inutile de dire que l’expérience était très délicate ; il fallait enfermer le dispositif dans une sorte de vitrine fermée pour éviter le moindre courant d’air et répéter l’expérience un grand nombre de fois. La valeur de G trouvée était pratiquement la valeur adoptée actuellement de 6.67 10-11 S. I . Pour avoir une idée de la grandeur de la force F, tu peux la calculer lorsque les deux boules m et M sont par exemple séparées de 2.5 cm, soit une distance entre leurs centres de 20 cm (fig.9-4). Les masses de m et M sont respectivement 0.742 et 160.32 kg (voir figure). On rappelle ce que tout collégien sait, a su ou devrait savoir, que le volume d’une sphère de rayon R est : V = ( 4/3 ) . π . R3 La valeur de F est de : 1.98 10-7 N soit : ≈ 2.0 10-7 N * <<<<<

<<<<<<<<<<>>>>>>>>>> BIB : (2-3-8)

- 93 –

10 - LA CHUTE LIBRE DE LA POMME Fil d’Ariane : 3-4-5-6-7-9-10 Nous étudions ici la chute libre d’un objet sur Terre. C’est un moyen d’obtenir le champ de pesanteur autre que l’oscillation d’un pendule (ch.5). Son intérêt est d’apporter une nouvelle interprétation du champ de pesanteur. Nous faisons ainsi nos premiers pas dans l’étude des mouvements de points matériels que l’on appelle la cinématique. Ensuite nous quitterons le fil d’Ariane jusqu’au ch.17 pour regarder un certain nombre de phénomènes dont quelques uns comme les marées sont bien connus, phénomènes où intervient toujours la force de gravitation. 1 - La chute libre. PA - Nous avons vu que le champ de pesanteur g0 peut être obtenu à partir des oscillations d’un pendule (ch.5-2). Il existe un autre moyen de l’obtenir ; il s’agit de l’étude de la chute libre. Nous savons que le poids P d’un objet de masse m est proportionnel au champ de pesanteur g0, le coefficient de proportionnalité est la masse de l’objet . En norme, cela s’écrit :

P = m . g0 (1)

Lorsqu’un objet tombe à terre, la force de gravitation l’entraîne vers le centre de la Terre. Il est évidemment arrêté par le sol. Si nous n’intervenons pas sur l’objet pendant la chute, on dit que la chute est « libre ». La seule action vient de la Terre. Nous allons donc laisser tomber un objet, une pomme par exemple, pour faire plaisir à Newton, d’une hauteur de…. mettons : 100 m (fig.10-1 haut).

Au point de départ (ou point origine O) la pomme est immobile ; nous la lâchons sans lui communiquer de vitesse. Nous devons nous débrouiller pour mesurer toutes les secondes la vitesse et la distance à l’origine O, c’est à dire la hauteur dont la pomme est tombée. Nous pouvons le faire avec des photos ultra-rapides de la chute. As-tu une autre idée ? JO - Nous pouvons demander à un gendarme de nous prêter ses jumelles-radar en lui promettant de mettre une contravention à la pomme si elle dépasse la vitesse autorisée. PA - Tu penses que cela peut marcher ? Admettons. Pour calculer facilement, prenons la valeur du champ de pesanteur g0 égale à 10 N/kg au lieu de la valeur plus correcte 9.81 N/kg . JO - Ce qui revient à prendre une Terre un tout petit peu plus massique que la vraie. PA - C’est juste. Ensuite nous enregistrons la distance à l’origine y et la vitesse v de la pomme toutes les secondes. La chute de la pomme se passe de cette manière : Au départ, au temps : t = 0 , la pomme est à l’origine O ( y = 0 ) avec une vitesse nulle : v = 0 Au bout d’une seconde : t = 1, elle est tombée de 5 m et sa vitesse est déjà de 10 m/s ;

- 94 –

- 95 –

Au temps : t = 2s, elle est tombée de 20 m et sa vitesse est de 20 m/s, etc… Le tableau 10-1 donne les valeurs pour les secondes suivantes. 2 - Une salade au milieu du champ. PA - Analysons les enregistrements du tableau. Que remarques-tu pour les vitesses ? JO - Les vitesses augmentent de 10 m/s chaque seconde. Par conséquent la pomme accélère dans sa chute, tout ça me semble normal. Mais pourquoi 10 ? Est-ce par hasard parce que l’on a pris g0 égal à 10 N/kg ?

Tableau 10-1

Temps t s

Distance à l’origine y m

Vitesse v m/s

0 0 0 1 5 10 2 20 20 3 45 30 4 80 40

PA - Oui. Si tu avais pris la valeur 9.81 N/kg , les vitesses augmenteraient de 9.81 m/s à chaque seconde ? Tu comprends bien qu’une augmentation de la vitesse correspond à une accélération , et inversement une diminution correspondrait à une décélération. Donc tu vois que le champ de pesanteur g0 en N/kg représente aussi l’accélération de la pomme, c’est à dire la variation de la vitesse en mètre par seconde … à chaque seconde ; cela fait des mètres par seconde par seconde c’est à dire des m/s² (= m s-2). Ainsi le champ de pesanteur g0 peut être interprété comme une accélération que l’on dénomme « accélération de la pesanteur » et s’exprime en m.s-2. JO - En m.s-2 ! Quelle salade ! Voilà des N/kg qui se transforment par un coup de baguette magique en m.s-2 ! Je ne comprends plus rien. PA - Du calme. Ceci provient de ce que le Newton n’est pas une unité simple. Il n’est pas une unité de base du S.I. Ces unités sont, je le rappelle : m, kg, s. Le Newton s’exprime en fonction de ces trois unités de cette manière :

[N] = [ kg . m . s-2 ] Si on se permet de diviser de chaque côté cette relation entre les dimensions par les [kg], on obtient :

[N/kg] = [ m . s-2 ] JO - Vu ! Donc les N/kg sont la même chose que des m . s-2. Fallait le dire plus tôt ! PA - Tu as tout compris.

- 96 –

3 - Pas de jaloux dans la chute libre. JO - Si à la place de la pomme je laisse tomber une sphère en plomb comme une des grosses boules utilisées dans l’expérience de Cavendish, elle tombera à coup sûr plus vite. PA – Les détracteurs de Galilée affirmaient la même chose. Profonde erreur ! Si nous changeons la pomme en un autre objet, quelle que soit sa masse, le tableau 10-1 serait inchangé. Un objet de masse bien plus élevée ne tomberait pas plus vite. La force de gravitation (1) serait plus grande mais comme il est plus difficile à mettre en mouvement (on dit qu’il a une plus grande inertie), la chute serait identique. C’est l’inverse pour un objet de masse plus petite, la force serait plus faible mais l’inertie aussi, et la chute serait toujours la même. Cela provient de la chose suivante : la masse m d’un objet qui intervient dans la force de gravitation ou le poids, s’appelle la « masse gravitationnelle ». Lorsqu’on applique une force sur le même objet de masse m pour l’accélérer, il n’a pas envie de se déplacer, on dit qu’il présente de l’inertie, sa masse s’appelle alors la « masse inertielle » (ch.21-6.). Pour tout élève du secondaire, il est clair que ces deux masses sont identiques ; or en réalité il n’y a aucune justification pour que ces deux masses le soient. Mais pour une fois le bon sens des élèves paraît avoir raison. On observe jusqu’à maintenant expérimentalement aucune différence entre les deux masses. Il semble donc que l’on parle pour ne rien dire ! Pourtant cette remarque est très importante. Admettre l’égalité comme l’a décrété Einstein, lui a permis de mettre sur pieds sa célèbre théorie de la Relativité Générale. Rappelons que cette théorie dépasse celle de la Gravitation Universelle de Newton ! JO - Euh ! Bon ! Revenons sur Terre ! Je veux bien admettre que tous les objets tombent à la même vitesse, mais il ne faut pas me faire rigoler : tu ne vas quand même pas me dire qu’une plume de mon oreiller tombe aussi vite que mon petit éléphant en fer ! PA - Tu mélanges les problèmes et en soulèves un autre qui n’a pas grand’chose à voir avec la gravitation. Il est vrai que la plume tombe moins vite mais c’est à cause du frottement sur l’air qu’on appelle la résistance de l’air (voir ci-dessous). Ce que nous avons dit jusqu’ici suppose que la résistance de l’air est négligeable ; nous n’en avons pas du tout tenu compte. Pour une plume, il faudrait évidemment le faire. Par contre, si nous nous mettions à la surface de la Lune où il n’y a pas d’atmosphère, tu serais étonnée de voir une plume tomber sur le sol aussi vite que ton éléphant. En posant le pied sur la Lune en juillet 1969, les cosmonautes américains avaient fait une telle expérience devant la télévision mondiale. Dans le vide la chute libre d’objets de masses différentes est la même. Dans le prolongement de ce qui a été dit plus haut, on cherche encore à vérifier cette affirmation dans des expériences d’une extrême précision. Jusqu’à ce jour elle n’a pas été mise en défaut. Si un jour on découvrait que deux masses différentes ne tombaient pas à la même vitesse, la théorie d’Einstein serait très mal en point. 4 - Les équations de la chute libre. JO - J’ai très peur des équations. PA - Rassure-toi. Nous avons choisi le cas le plus simple de la chute libre où la pomme tombe verticalement sans vitesse initiale d’un point O à 100 m de haut. Les équations du mouvement sont très simples et faciles à comprendre.

- 97 –

La vitesse v de la pomme est donnée par cette relation :

v = g0 . t (2) Et la distance à l’origine y par :

y = ( 1 / 2 ) . g0 . t² (3)

L’équation (3) qui donne y en fonction du temps t s’appelle l’équation horaire. Fais défiler les valeurs du temps t : 1s, 2s etc….Tu peux ainsi retrouver les valeurs du tableau 10-1. JO - J’admets que ce n’est pas trop compliqué ! Effectivement, pour t = 1s, on voit que : v = 10 m/s et : y = 5 m. PA - En raisonnant en sens inverse, les valeurs mesurées du tableau permettent d’obtenir g0. Connaissant ainsi au temps t la vitesse v , l’expression (2) donne immédiatement g0. De même connaissant la hauteur y dont est tombée la pomme, (3) donne immédiatement g0. Exemple : Au bout de t = 3s la pomme est tombée de y = 45m , et sa vitesse est v = 30 m/s. Par conséquent avec (2) : g0 = v / t = 30 / 3 = 10 m/s². Ou avec (3) : g0 = 2 y / t² = 2 . 45 / 3² = 10 m/s². Ecrire l’équation (3) suppose que l’on repère les distances, plus exactement les ordonnées y sur un axe vertical Oy dont l’origine est le point O et qui est orienté vers le centre de la Terre. Tout est logique : quand le temps s’écoule la distance y augmente. Sans le dire, nous avons implicitement choisi comme repère cet axe Oy. Le choix d’un repère, en général un système d’axes, est l’une des premières choses à faire dans tout problème de physique si on veut savoir où l’on met les pieds (A.II -2). Nous serions libres de choisir un axe Oy orienté vers le haut. Dans ce cas doit-on toujours utiliser (3) par exemple ? JO - Trop dure cette question. Je n’en sais rien. PA - Non ce n’est pas difficile ! Le champ de pesanteur est toujours dirigé vers le centre de la Terre. Si l’axe Oy que nous choisissons est dans le sens opposé, la chute se passe alors dans la région où les y sont négatifs. C’est pourquoi nous devons dans (2) et (3) changer le signe de g0 . Attention à cette source d’erreur pour les étourdis ! JO - Pour le moment je ne me casse pas la tête, j’oriente mon axe Oy vers le bas, comme g0 . PA - Si je te demande de me dire où se trouve la pomme au temps : t = 2.6 s en regardant la figure (10-1 haut), tu vois que ce n’est pas très commode. Il est bien plus pratique de reporter les résultats du tableau 10.1 dans un système à deux axes où l’on garde toujours verticalement l’axe Oy pour les distances y, mais où l’on porte le temps t sur un axe horizontal. JO - C’est le même principe que lorsque je cherche le nom d’une rue sur le plan d’une ville. PA – Si tu veux. Mais tu vois que sur les graphiques à deux axes (fig.10-1 Bas), il est beaucoup plus facile de lire où se trouve la pomme au temps t = 2.6 s. On trouve y = 34 m. Le

- 98 –

calcul exact avec (3) donne : 33.8 m . Il en est de même pour le graphique des vitesses à droite. La courbe des distances y en fonction du temps t est une parabole parce que y dans (3) varie comme le carré de t . Attention ! Ce n’est pas la trajectoire de la pomme ; sa trajectoire est l’axe Oy puisqu’elle tombe verticalement ! JO - J’ai appris par tes soins, que l’indice 0 de g0 veut dire que nous sommes à la surface de la Terre. Ce n’est pas le cas pour une pomme à 100 m d’altitude ! PA - C’est bien d’être pointilleuse, ta remarque est justifiée. Mais rappelle-toi tout de même que le champ de pesanteur ne change pratiquement pas tant que l’on reste à une altitude petite devant le rayon de la Terre ( 6400 km ). Au sommet de l’atmosphère, à une altitude de 100km la valeur de g0 n’a diminué que de 3% (Ex 9-4). La diminution que l’on peut donc négliger, est due simplement à ce que la distance au centre de la Terre augmente quand on s’élève….et non à la présence de l’atmosphère comme cela m’a été quelquefois répondu. 5 - La résistance de l’air. PA - Puisque nous parlons d’atmosphère, il nous faut dire deux mots de la résistance de l’air. Dans la chute de notre pomme nous voyons qu’au temps t = 2s la vitesse v est de 20 m/s soit 72 km/h , qu’au temps t = 3s la vitesse v est de 30 m/s soit 108 km/h etc…. (Entre parenthèses, si tu sais qu’un champion olympique court le 100 m en 10 s, ce qui fait une vitesse de 10 m/s soit 36 km/h, cela te permet de convertir rapidement les m/s en km/h) Continuons. Lorsque dans une voiture qui roule à 108 km/h, tu mets imprudemment la main dehors, tu sens clairement la résistance de l’air. Donc notre pomme qui tombe de 100 m sent très vite cette résistance, ce qui va par conséquent freiner son mouvement. Les lois (2) et (3) et donc les valeurs du tableau (10-1), sont simples parce qu’elles ne tiennent pas compte de la résistance de l’air. Dans la réalité au bout de 4s la pomme sera tombée de moins de 80 m et sa vitesse sera inférieure à 40 m/s. La force de frottement associée à la résistance de l’air est complexe. En gros, elle dépend évidemment de l’objet, surtout de sa forme plus précisément de la section qu’il présente au « vent ». On montre que la force de frottement augmente d’abord comme la vitesse, puis comme la vitesse au carré, ensuite de manière encore plus compliquée au fur et à mesure que la vitesse augmente. Pour cette raison on la néglige très souvent dans les problèmes quand les vitesses ne sont pas trop élevées. 6 - La vitesse limite. JO - Mais en supposant que l’on est toujours dans l’atmosphère et que l’on tombe de bien plus haut que la pomme, que se passe-t-il finalement pour la vitesse de chute si on tient compte de cette résistance de l’air ? La pomme ne va pas s’arrêter en cours de chute ! PA - Puisque la résistance de l’air augmente rapidement avec la vitesse de chute, à un moment donné la résistance de l’air est si forte qu’elle devient égale à la force de gravitation. L’objet qui tombe a alors atteint sa vitesse limite ; la vitesse n’augmentera plus. C’est le cas d’un parachutiste, amateur de chute libre, qui saute d’un avion au dessus du terrain d’aviation d’où il s’est envolé. Il atteint cette vitesse limite lorsque sa vitesse atteint une valeur de l’ordre de la centaine de m/s.

- 99 –

Par contre le parachutiste qui ouvrirait tout de suite son parachute en sautant d’un avion, atteint presque immédiatement sa vitesse limite car la résistance de l’air sur le parachute est tout de suite très forte ; il tombe alors sur terre à vitesse constante. Cela est important, il faudra s’en souvenir (ch.21-5). JO - Bon, revenons à notre exemple de la pomme, au commencement de sa chute, sa vitesse n’est pas constante puisqu’elle accélère. Comment appelle-t-on son mouvement ? PA - Comme la pomme tombe selon une verticale, le mouvement est déjà rectiligne. Comme elle accélère (l’accélération est constante et vaut 10 m.s-2, la vitesse bien sûr n’est pas constante ), on dit que le mouvement est rectiligne uniformément accéléré). Lorsque la vitesse est constante, le mouvement devient rectiligne uniforme. Notons que tous les mouvements accélérés n’ont pas forcément une accélération constante. Entraînement. Ex 10-1 – Temps de chute et vitesse à l’arrivée. Calculer le temps mis par la pomme dont la chute est décrite dans le texte ( tableau 10-1 ), pour atteindre le sol 100 m plus bas, ainsi que sa vitesse à l’arrivée. La formule (3) donne : t² = 2 . y / g0 Pour y = 100 m , en prenant : g0 = 10 m s-2 , on obtient : t² = 20 , et donc : t = 4.47 s En reportant ce temps dans (2) on obtient : v = 44.7 m s-1

Ex 10-2 – Champ de gravitation de la Lune à une altitude h. D’une hypothétique station spatiale lunaire, on observe la chute d’une météorite qui tombe verticalement sur la Lune. A une certaine altitude h, on constate que la vitesse de la météorite augmente de 3 m/s sur un intervalle de temps de 2s. Calculer le champ de gravitation g de la Lune à l’altitude h. On suppose que pendant 2s ce champ g n’a pas notablement changé. La gravité de surface de la Lune de rayon R = 1738 km, est : g0 = 1.62 m/s². La chute de la météorite est une chute libre verticale dans le champ de gravité de la Lune. Si on appelle t1 et t2 les deux instants, nous avons d’après (2) : v1 = g . t1 et : v2 = g . t2 et donc :

g = (v2 - v1 ) / (t2- t1) AN : g = 3/2 = 1.50 m/s² A l’altitude h le champ de gravitation g a donc varié de : δg0 = 1.62 – 1.50 = 0.12 m/s² , ce qui représente une variation de : δg0 / g0 = 0.074 = 7.4%. Puisque cette variation est faible, on peut considérer valable l’expression suivante de la variation du champ de gravitation avec l’altitude vue dans Ex 9-4, qui signifie également que h/R est petit devant 1 :

g ≈ g0 . ( 1 - 2 h / R ) Nous avons donc : δg0 = g0 - g = g0 .(2h/R) et : h = R . δg0 /(2g0) soit : h = 1738 . 0.074 /2 Ce qui donne : h = 64.3 km Cette altitude est bien inférieure à R, par conséquent notre approximation est justifiée.

- 100 –

NOTE - Mais il ne faut pas oublier que la météorite s’approche de la surface lunaire à des vitesses de quelques km/s. Prenons 10 km/s. En 2s, elle parcourt déjà 20 km, son altitude a donc changée de ± 10 km autour de la valeur moyenne 64 km, et donc le champ de gravitation n’est pas tout à fait constant sur un intervalle de 2s.

<<<<<<<<<<>>>>>>>>>>

- 101 –

11 - UN PEU DE BALISTIQUE * * >>>>> 1 - Mouvement d’un mobile lancé dans une direction quelconque. Ce chapitre réservé aux élèves de Première et Terminale, fait suite au chapitre 10 dont il est une généralisation. Il s’agit d’étudier le mouvement d’un mobile lancé maintenant avec une vitesse initiale dans une direction quelconque, comme une balle de tennis, l’obus d’un canon, l’étage largué d’une fusée etc… et de déterminer sa trajectoire ou sa position en fonction du temps. Ce sujet est évidemment un peu plus difficile que l’étude de la chute libre selon une verticale. Il nous fait entrer dans le domaine de la « balistique » et donne lieu à de nombreux exercices au lycée. Excepté le poids du mobile, aucune autre force n’intervient dans le mouvement qui est donc encore de la chute libre. Nous négligerons à nouveau la résistance de l’air. 2 - Equations générales. La position du mobile dans ce plan sera repérée dans un système d’axes orthonormés (Ox,Oy) attaché à la surface de la Terre (ch.21-2). Nous avons un mobile M de masse m lancé d’un point A, avec une vitesse initiale v0 faisant un angle α avec l’axe Ox (fig.11-1).

- 102 –

L’axe Oy est dirigé vers le haut. Le mouvement a lieu dans un plan contenant la verticale du point A et le vecteur vitesse v0. Le point de départ A a pour coordonnées x0 et y0. Le vecteur vitesse v0 a pour composantes (ou coordonnées) : v0 (v0.cosα , v0.sinα ). La seule force qui agit est le poids P. Puisque P est dirigé verticalement vers le centre de la Terre, l’accélération a l’est également (ch.21-6) Sa composante ay = - g0 car l’axe Oy est dirigé dans le sens opposé au poids. Sa composante ax = 0 puisqu’il n’y a pas de force selon la direction Ox. Par conséquent la composante vx de la vitesse est constante et garde celle qu’il avait au départ, soit : vx = v0.cosα. NOTE - Certains élèves pensent souvent qu’une force supplémentaire entre dans le mouvement du mobile parce qu’il a une vitesse initiale v0 au point de départ A. Il est vrai qu’il a fallu à un moment donné exercer une force sur le mobile pour qu’il acquiert cette vitesse v0. Mais notre étude commence quand cette force n’existe plus, elle a pu même être supprimée depuis longtemps, ce qui empêche nullement le mobile d’arriver en A avec la vitesse v0. M est la position du mobile ; nous écrivons les équations du mouvement, c’est à dire les composantes x et y du vecteur OM donnant la position du mobile, celles vx et vy de sa vitesse v, et enfin celles ax et ay de l’accélération a, en fonction du temps t . On les appelle aussi équations horaires : OM x(t) = v0. cosα .t + x0 (1) y(t) = - (1/2).g0.t² + v0.sinα .t + y0 v = dOM /dt vx (t) = v0.cosα (2) vy (t) = - g0.t + v0.sinα a = d²OM /dt² ax = 0 (3) ay = - g0 Attention au signe « - » devant g0 . N’oublions pas que g0 est dirigé dans le sens contraire de l’axe Oy. Notons que l’on passe de (1) à (3) par deux dérivations successives par rapport au temps t. L’opération se fait en général en sens inverse : on part de l’accélération a et par deux intégrations successives, compte tenu des conditions initiales, à savoir qu’au temps t = 0 le mobile est en A avec la vitesse v0, et on remonte de (3) à (1). A ce propos on peut sans nuire à la généralité, placer l’axe Oy à l’abscisse x0. Ce qui annule x0 dans (1) et donne la relation simple entre l’abscisse x du mobile et le temps t :

x(t) = v0. cosα . t (1 bis) 3 - Cas particulier : la vitesse v0 est dirigée selon Oy . Pour nous familiariser avec les équations, commençons par regarder le cas où le mobile part vers le haut ou vers le bas. a) Prenons le cas où v0 est dirigée vers le haut comme l’axe Oy ; donc (α = π /2 ; sinα = 1) ; il n’y a plus de composantes selon Ox . Les équations (1) à (3) deviennent : (4) � y(t) = - (1/2).g0.t² + v0 .t + y0 (4)

- 103 –

(5) � vy (t) = - g0.t + v0 (5) (6) � ay = - g0 (6) L’ordonnée y du mobile suit une loi parabolique en fonction du temps, car y varie comme le carré du temps t. Attention ! La parabole y(t) n’est pas la trajectoire du mobile ; il ne fait qu’une montée suivie d’une descente sur l’axe Oy. Il est intéressant de savoir à quel hauteur : h = y – y0 montera la mobile avant de retomber. A la hauteur h, sa vitesse vy s’annule ; (5) donne alors : t = v0/g0. Au temps t = v0/g0, le mobile se trouve donc à la hauteur maximum. En reportant t dans (5), on obtient : y – y0 = - (1/2).g0.( v0/g0)² + (v0/g0)² soit : h = y – y0 = (1/2) v0²/g0 ou encore : g0.h = (1/2) v0² (7) NOTE - Multiplions les deux membres de (7) par m. La relation (7) n’est autre que la transformation de l’énergie cinétique au départ : Ec = (1/2) m.v0² , en énergie potentielle acquise par M à la hauteur h : Ep = m.g0.h , équivalente à la conservation de l’énergie mécanique pour un système isolé (ch.22-4). b) Si v0 était dirigée vers le bas (α = - π /2 ; sinα = -1), le signe de v0 dans (4) et (5) doit être changé. Le reste est identique. L’ordonnée y du mobile ne passe plus par un maximum et ne fait que décroître. 4 - Cas général : équation de la trajectoire y (x). Revenons au cas général et cherchons maintenant l’équation de la trajectoire. Nous devons trouver la relation entre y et x dans (1), c’est à dire la fonction y(x) . C’est le temps t qui fait la liaison entre y et x ; nous devons l’éliminer. On suppose toujours x0 = 0.(Exemple fig.11-1). Nous remplaçons la variable t par la variable x en utilisant (1) :

t = x / v0.cosα (8)

que nous reportons dans y en utilisant la relation : 1 + tan²α = 1 / cos²α où : tanα = sinα /cosα

0

2

00 y x

cos

sin

cos.v

xg

2

1- y(x) ++

=

αα

α

022

20

0 y x tanx)tan1(2v

g- y(x) +⋅+⋅+= αα (9)

L’équation (9) est de la forme : y = A x² + B x + C. C’est donc une parabole qui représente la trajectoire du mobile M. A chaque instant t , la position du mobile M(x,y) est obtenue par (8) qui donne l’abscisse x que l’on reporte ensuite dans (9) pour avoir y. Lorsque α ≥ 0 , la parabole possède un maximum à l’abscisse xm = - B/2A . Calculons xm :

- 104 –

xm = (v0² /g0).[ tanα /(1 + tan²α)] Lorsque v0 est dirigé selon Ox (lancer horizontal), xm = 0 (sinα = 0, tanα = 0, cosα =1) . Le maximum de la parabole est à l’abscisse 0, donc au point de départ A. NOTE - En reportant xm dans (9) on trouve que le mobile M est monté au maximum, d’une hauteur h :

h = y – y0 = ( v0²/ 2g0) . [ tan²α /(1 + tan²α )] (10) ou :

g0.h = (1/2). v0² . [ tan²α /(1 + tan²α )] (10 bis) Nous devons retrouver dans (10 bis) en multipliant des deux côtés par m, la transformation de l’énergie cinétique Ec en énergie potentielle Ep. L’énergie cinétique en A est EcA = (1/2) m. v0² Au maximum de la trajectoire, contrairement au cas précédent, la vitesse n’est pas nulle : vy = 0, mais la composante de la vitesse selon Ox existe toujours : vx = v0.cosα . L’énergie cinétique Em vaut donc : Em = (1/2) m. (v0.cosα)². Entre le départ A et le maximum, l’énergie cinétique a ainsi variée de : EcA – Em = (1/2) m.v0² - (1/2) m.(v0.cosα)² = (1/2) m.v0². ( 1 – cos²α) Soit, puisque: ( 1 – cos²α) = 1 – [ 1 / (1+ tan²α) ] EcA – Em = (1/2) m.v0² . [ tan² α /(1 + tan²α )] Cette variation d’énergie cinétique a été transformée en énergie potentielle : Ep = m.g0.h qui ne dépend elle, que de la différence de hauteur : h = y – y0, puisque la force de gravitation est verticale. Nous retrouvons cette égalité dans la relation (10 bis). NOTE – Nous avons supposé que g0 reste constant avec l’altitude h . Si nous tenions compte de la variation de g0 en négligeant toujours la résistance de l’air, la trajectoire du mobile serait un arc d’ellipse dont le centre de la Terre serait un foyer et non un arc de parabole. 5 - La parabole de sûreté. Nous nous intéressons au problème suivant , bien connu des artilleurs : supposons que nous tirions des projectiles de A, avec toujours une vitesse v0 de norme v0 constante mais de direction initiale α variable. L’expression (9) montre que nous allons avoir tout un ensemble de trajectoires paraboliques associées aux différentes valeurs de α. Existe-t-il une région du plan (Ox,Oy) où un point M(x ,y) ne peut être atteint par un projectile ? Reprenons l’équation de la trajectoire (9) et pour simplifier, plaçons le point A à l’origine O, soit A(0,0), ce qui revient à annuler y0 .

x tanx)tan1(2v

g- y(x) 22

20

0 ⋅+⋅+= αα (9)

Nous posons : u = tanα , ce sera notre nouvelle variable qui ne dépend que de la direction d’émission du mobile. L’équation (9) devient : y(x) = - (g0 / 2v0²).(1 + u²). x² + u . x

- 105 –

Nous l’ordonnons en u après avoir multiplié cette équation par : 2 v0²/ (g0.x²)

0xg

y2v 1 u

xg

v2u

20

20

0

202 =++⋅− (11)

Nous obtenons encore un trinôme du second degré en u. Discutons l’équation (11). Attention ! x et y sont considérés maintenant comme des données. Si les coordonnées de M(x ,y) satisfont (11), le point M sera évidemment sur une des trajectoires paraboliques et peut donc être atteint. Il y aura 1 ou 2 solutions possibles pour u c’est à dire pour α , si : b² - 4ac ≥ 0, c’est à dire :

(v0²/ g0.x)² - 1 - (2 v0².y / g0.x²) ≥ 0 soit :

0

202

20

0

g2

vx

2v

g -y +⋅≤ (12)

Si x et y ne satisfont pas (12), le point M(x,y) donné ne peut être atteint par le projectile quel que soit l’angle α initial. Pour cette raison la courbe représentative de l’équation :

0

202

20

0

2g

vx

2v

g - y +⋅= (13)

est appelée parabole de sûreté . NOTE – Si l’ordonnée y0 de A n’est pas nulle, il suffit de remplacer y par y - y0 dans (13). Pour une abscisse x et une ordonnée y d’un point M donné, nous reportons x dans (13) pour obtenir l’ordonnée Y de la parabole de sûreté. - Si y est supérieure à la valeur Y donnée en (13), c’est à dire si le point M est au dessus de

la parabole de sûreté, on ne peut pas l’atteindre. - Si y est inférieure à Y, le point M est sous la parabole de sûreté : il y a alors deux valeurs

de u , c’est à dire de α , donc deux trajectoires paraboliques qui passent par le point M donné.

- Si l’égalité (13) est satisfaite (y =Y), il y a une seule solution u donc α . La trajectoire parabolique est tangente la parabole de sûreté en un point P(xP,yP) dont on peut calculer l’abscisse facilement :

En effet, dans (11) puisque b²- 4ac = 0, la solution est : u = v0² / (g0.xP) ce qui donne : xP = v0² / (g0.u) En reportant dans (13) : yP = (v0²/2g0) . [( u² - 1) / u² ] Attention, le point de contact n’est pas généralement au maximum de la trajectoire du mobile.

- 106 –

La parabole de sûreté est par conséquent l’enveloppe de toutes les trajectoires paraboliques correspondant aux différentes directions de la vitesse initiale v0 . Notons enfin que pour x = 0, la parabole de sûreté qui est symétrique par rapport à l’axe Oy, est maximum ; y vaut alors : v0²/2g0 . Nous retrouvons le cas particulier où la vitesse est dirigée vers le haut selon l’axe Oy ainsi que la conservation de l’énergie mécanique écrite en (7) avec y0 = 0 et y identique à h . Entraînement. Ex 11-1 - Le joueur de tennis. C’est une application simple des formules (1, 2, et 9). Les distances sont en mètres. On utilise un système d’axes orthonormés (Ox,Oy). L’axe Oy est orienté vers le haut. On prendra : g0 = 9.81m/s² Un joueur de tennis frappe une balle de service au point A(0,2) avec une vitesse initiale horizontale de 30m/s. Le filet est situé à l’abscisse 12m de A. On suppose que la trajectoire de la balle est dans le plan vertical passant par A et perpendiculaire au filet. La hauteur du filet dans ce plan est de 0.92m. La balle touche le sol au point C situé à la distance d du milieu du terrain (filet). Vérifier que la balle passe au dessus du filet et indiquer si le service est validé ou non, sachant qu’un service l’est si la distance d est inférieure ou égale à 6.40m. Quelle est la vitesse de la balle au point d’impact C ? Puisque α = 0, cosα = 1, les équations horaires sont : x(t) = v0.t vx (t) = v0 y(t) = - (1/2).g0.t² + y0 vy (t) = - g0.t L’équation de la trajectoire est : y(x) = - (g0 / 2v0²). x² + y0 A.N. A l’abscisse du filet : x = 12m , y vaut : 1.22 m. Le point d’impact C (au tps t = 0.639s) a pour abscisse : x = 19.16 m. Le service n’est pas valable. La vitesse de la balle au point d’impact est : 30.65 m/s Ex 11-2 – Trajectoire et parabole de sûreté dans un cas plus général. Nous nous plaçons dans un autre cas où α = 60° , v0 = 20m/s et le point de départ A est à l’origine : A(0,0) ; les distances sont exprimées en m. g0 = 9.81 m/s² tanα = √3 Nous appliquons les diverses formules avec ces données. Nous avons tracé la trajectoire parabolique (9) et la parabole de sûreté (13) (fig.11-2). La trajectoire a pour équation : y = x . ( - 0.04905 x + √3 ) La parabole de sûreté : y = - 0.0123 x² + 20.39 La trajectoire parabolique est maximum au point B(17.66, 15.29) ; elle retombe à 0 au point C(35.31, 0). La parabole de sûreté retombe à 0 au point D(40.72, 0). Le point de contact avec la parabole de sûreté est P(23.54, 13.59)

- 107 –

* * <<<<< <<<<<<<<<<>>>>>>>>>>

- 108 –

12 - LES JEUX DE LA TERRE ET DE LA LUNE

1 - L’année bissextile. PA - Tout le monde sait qu’un année ordinaire dure 365 jours et que tous les 4 ans nous avons une année bissextile qui dure un jour de plus, le 29 février, donc 366 jours. Les années 2000, 2004, 2008 etc… sont des années bissextiles. JO – Méfiance ! Je connais un papy né le 29 février qui affirme avoir 16 ans et se plaint de n’avoir fêté que 16 anniversaires durant sa vie. En réalité il se garde bien de dire qu’à chacun d’eux, il a dû souffler quatre fois plus de bougies et a reçu quatre fois plus de cadeaux que la normale. PA - Pourquoi il y a-t-il des années bissextiles ?

Nous avons représenté l’orbite de la Terre sur la figure (12-1) et nous allons suivre notre planète pendant quatre révolutions. Nous partons de la fin de l’année bissextile 2000. Le 31 décembre 2000 à minuit, la Terre a traîné sur son orbite un jour de plus, se trouve en A, point où l’année 2001 va commencer immédiatement.

- 109 –

Nous sommes maintenant le 1er janvier à 0h de l’année 2001. L’année 2001 est une année ordinaire de 365 jours. Il se trouve que 365 jours ne sont pas suffisants pour que la Terre fasse un tour complet de son orbite : il lui manque ¼ de jour pour accomplir son devoir. C’est pourquoi le 31 déc. 2001 à minuit la Terre n’est plus en A mais en B ; elle a pris ce retard de ¼ de jour en faisant du shopping, flânant tout le long de son orbite devant les luxueux magasins aux enseignes lumineuses à l’effigie des douze signes du zodiaque. JO - PA tombe dans le délire des fêtes de fin d’année ; ce n’est pas grave. PA - Par conséquent le 1er janv. 2002 la Terre part de B et puisque l’année est ordinaire, elle se retrouve en C le 31 déc. avec 2/4 ou une demi journée de retard ….On comprend qu’en continuant de cette façon, la Terre se retrouvera à la fin de l’année 2004 en E avec 4/4 de jour, c’est à dire 1 jour de retard. La Terre pense que si cette habitude tenace du shopping continue, l’hiver finira par se retrouver en automne. Pour ne pas fâcher les Terriens, elle réfléchit : remettons les pendules non pas à l’heure, mais au jour. Je me rajoute en douce un jour, le 29 février, et fais ainsi de 2004 une année bissextile. Ainsi le 31 déc. 2004 à minuit, je me retrouverai non pas en E mais en A. J’aurai ainsi récupéré tout le retard des 4 années c’est à dire une journée, et également la case départ de 2000 au nez et à la barbe des Terriens qui de toute façon n’ont rien vu car ils fêtent la St Sylvestre dans les vapeurs de champagne. Je pourrai maintenant reprendre la conscience tranquille le même circuit en A le 1er janvier 2005. JO - Il est temps que je prenne la parole. En conclusion les années bissextiles ont été introduites par Jules César dans le calendrier, appelé pour cette raison calendrier « julien », pour que la Terre dans sa révolution autour du Soleil récupère son retard d’une journée tous les 4 ans. Si donc on prend 4 années successives en commençant par une année bissextile, leur nombre de jours sera : 366, 365, 365, 365 ; ce qui fait une année moyenne de 365.25 jours. Pour cette raison, dans des calculs plus précis, on prend la durée d’une année égale à 365.25 jours au lieu de 365 jours. PA - Je vois JO que tu es maintenant capable de me remplacer et même d’ajouter des commentaires historiques ; je vais pouvoir prendre un repos bien mérité et fêter dignement Noël et le Nouvel An. Quant aux années bissextiles, la Terre a récupéré son retard, Jules César est satisfait, le rattrapage est presque parfait. JO - Oh ! attention encore une fois au « presque parfait » ! PA - Attention effectivement. Tous les quatre ans la Terre ne se retrouve pas malgré tout très exactement à la case départ et au bout d’un nombre assez grand d’années, il apparaît tout de même un pernicieux décalage, résultat de tous petits décalages accumulés de quatre ans en quatre ans. L’année julienne est un petit peu trop longue ! On y remédie de la façon suivante : il ne faut retenir que les années de fin de siècle . Prenons comme exemple : 1800, 1900, 2000, 2100 etc…et regardons uniquement le nombre de siècles : 18, 19, 20, 21 etc…. Si ce nombre est divisible par 4, alors l’année est bissextile. Ainsi sur les 4 années seule 2000 est bissextile. Cette correction est intervenue lorsqu’on est passé au 16ième siècle du calendrier « julien » au calendrier « grégorien » (du nom du pape Grégoire XIII ), calendrier que nous utilisons actuellement. JO - Est-on maintenant arrivé à un rattrapage parfait ? J’ai des doutes comme d’habitude….

- 110 –

PA - Il s’est naturellement amélioré mais n’est encore malheureusement pas tout à fait parfait bien que le décalage devienne vraiment minime. L’année grégorienne maintenant est encore trop longue mais de très peu : 0.0003 jour ! Il faut enlever 1 jour tous les 3333 ans ! Ce qui laisse quand même le temps de voir si dans l’avenir il n’y aura pas une fois de plus un mini-rattrapage à faire encore plus fin qu’un cheveu de la Chevelure de Bérénice. 2 - Le jour sidéral et le jour solaire moyen. JO - Quelle n’a pas été ma surprise de voir dans mon bouquin de Physique que le jour durait non pas 24h soit : 86400s mais : 23h 56m 04s soit : 86164s. Si la durée du jour change toutes les cinq minutes, on ne sait plus à quoi s’en tenir ! Mais où va donc la Physique ? PA - Avant de faire la révolution, permets moi de te parler du temps sidéral et synodique. Regarde la figure (12-2). Elle représente encore la Terre sur son orbite, le Soleil et une étoile (ou une galaxie) très éloignée. Puisque cette étoile est très éloignée, elle est vue du centre de la Terre toujours dans la même direction lorsque notre planète parcourt son orbite ; ce qui n’est pas le cas du Soleil. Regardons la Terre à midi dans la position A. Le bonhomme a le Soleil au dessus de sa tête (au zénith). Une flèche rouge indique la direction du Soleil., une verte celle de l’étoile. En A ces deux directions sont supposées être les mêmes à un certain moment de l’année. Ces deux flèches sont solidaires de la Terre dans sa rotation sur elle-même ; elles vont tourner en même temps qu’elle avec toutefois certaines contraintes : la verte s’arrête de tourner dès qu’elle pointe à nouveau vers l’étoile, et la rouge dès qu’elle pointe à nouveau vers le Soleil. Supposons que la Terre soit arrêtée sur son orbite. Le lendemain à midi les deux flèches vont donc se retrouver exactement au même endroit. Elles auront mis toutes les deux le même temps que la Terre pour faire un tour. Mais la Terre se déplace sur son orbite si bien que le lendemain elle se trouve en B à midi. Il est clair que la flèche verte s’arrêtera de tourner avant la rouge, car elle rencontre la direction de l’étoile avant que la rouge ne trouve celle du Soleil. Le temps mis par la flèche verte est le jour sidéral : il vaut 23h 56m 04s ou 86164s. Il correspond à une rotation de 360° de la Terre. Celui mis par la flèche rouge est le jour synodique ; pour la Terre on l’appelle plutôt le jour solaire vrai. Il correspond à une rotation d’environ 1° de plus que 360° et à 3m 56s ( = 236s ) de plus que le jour sidéral. Cet angle est fortement exagéré sur la figure. JO - Donc c’est le jour synodique ou plutôt le jour solaire vrai qui vaut 24h ? PA - Pour faire simple, disons oui. En réalité les différences que je viens de donner entre le jour sidéral et le jour solaire vrai ne sont que des valeurs moyennes sur l’année car le jour solaire vrai n’est malheureusement pas tout à fait constant au cours de l’année à cause du mouvement compliqué de la Terre autour du Soleil (ch.8). C’est pour cela qu’il a fallu faire des moyennes du jour solaire vrai (ou synodique) et introduire un jour solaire moyen de 24h. Donc ce temps de 24h est le temps moyen que doit attendre un Terrien pour retrouver le Soleil au dessus de sa tête d’un jour à l’autre. Conclusion : 23h 56m 04s correspondent au jour sidéral et à une rotation de 360°. et 24h correspondent au jour solaire moyen.

- 111 –

- 112 –

* >>>>> PA - Essayons de comprendre la valeur de ce décalage de 3m 56s soit : 236s entre le jour solaire moyen et le jour sidéral. (Nous ne nous occupons pas des années bissextiles). JO - Je sens que ça va être très difficile. PA - Partons à nouveau du point A de la figure (12-2). Chaque jour de l’année le temps sidéral prend 236s de retard sur le jour solaire moyen. Au bout d’une année la Terre aura accomplit une révolution et doit se retrouver en A dans la même disposition Terre-Soleil-Etoile. La flèche verte aura alors pris un tour de retard sur la rouge. Cela ne se produit que lorsque le retard cumulé sur toute l’année atteint un jour sidéral ou 86164s. En d’autres termes, il faut compter dans une révolution, un jour sidéral de plus que de jours solaires moyens (voir aussi ch.12-3). Une révolution dure par conséquent 365 jours solaires moyens ou 366 jours sidéraux. (On note que 1 jour de décalage sur une année correspond à 360°/365 soit environ 1° de décalage par jour entre les flèches rouge et verte, et que le retard moyen de 236s pendant 365 jours, soit 86140s, correspond à peu prés à un jour sidéral). Cette question est étroitement liée avec ce dont nous avons discuté à propos du zodiaque (ch.8-7). Nous avons vu que le zodiaque est pour un Terrien, le grand cercle parcouru par le Soleil sur la voûte céleste tout au long de l’année ; il n’est en fait qu’un mouvement apparent dû à la révolution de la Terre et résulte de ce que la direction Terre-Soleil par rapport à la direction Terre-Etoile-fixe change chaque jour de l’année. Mais puisque le Soleil dans son mouvement apparent accomplit un tour en une année, le décalage entre la direction Terre-Soleil et Terre-Etoile-fixe correspond aussi à environ 1° par jour. C’est toujours le décalage entre les flèches rouge et verte. JO - Il me faudra au moins un week-end sidéral pour que je comprenne ! * <<<<< 3 - La Lune tourne-t-elle sur elle-même ? JO - Voilà le problème : depuis ma lointaine jeunesse on m’a appris que la Lune présentait toujours la même face à la Terre. D’ailleurs avant l’envoi de satellites artificiels, personne n’avait vu sa face cachée, c’est bien la preuve qu’elle ne tourne pas. Mais Hugo en classe n’a pas hésité devant tout le monde à dire qu’elle tournait sur elle-même ; heureusement c’était la fin de la journée ; avec ma copine JU on a bien rigolé et le prof. a dit que l’on verrait ça une autre fois. Il s’est complètement planté Hugo, n’est-ce pas ? PA - Désolé pour toi, ton cher copain ne s’est pas « planté » ; mais il faut préciser les choses. JO - Encore une fois ce n’est pas mon cher copain….Décidément rien ne va plus ! Le monde est à l’envers, pourtant je ne suis pas dans la Lune et JU non plus ! PA - Regarde la figure (12-3) représentant l’orbite lunaire avec au passage les différentes phases de la Lune : nouvelle Lune, premier quartier, pleine Lune, dernier quartier, notées respectivement A,B,C,D.

- 113 –

- 114 –

Partons de la nouvelle Lune en A et plantons un piquet rouge au milieu de la face qui regarde la Terre et également une étoile lointaine située par exemple derrière la Terre. Suivons le piquet rouge dans la révolution de la Lune aux positions B,C,D et à nouveau A. Dès que la lune quitte la position A, le piquet rouge regarde toujours la Terre mais n’est plus dans la direction de l’étoile. Dans la position C il lui tourne même le dos. Il ne retrouve la direction de l’étoile que dans la position A, au bout d’une révolution. Si tu empiles par la pensée les quatre positions de la Lune en commençant par le dernier quartier, dans l’ordre D,C,B,A, tu vois clairement que le piquet rouge fais un tour pendant que la Lune a accompli une révolution. Par conséquent la Lune a bien fait un tour A,B,C,D sur elle-même par rapport à l’étoile pendant sa révolution mais n’a pas tourné par rapport à la Terre. Donc ton copain Hugo a raison mais il aurait dû préciser que la Lune faisait un tour sur elle-même par rapport aux étoiles pendant une révolution. JO - C’est bien lui ça ! Il s’est bien gardé de le dire. PA - Ne sois pas mauvaise joueuse. Le temps mis par le piquet rouge pour retrouver en A la direction de l’étoile est le temps de révolution sidéral. Il vaut : 27.3 jours ou 27j 7h 43m. JO - Je ne le sens pas très bien mais il y a des ressemblances avec le jour sidéral et le jour solaire moyen, que l’on vient de voir. PA - Très bien. On serait effectivement dans la même situation si la Terre présentait toujours la même face au Soleil. JO - Je suppose que ce serait catastrophique aussi bien pour les Terriens de la face éclairée que pour ceux de la face plongée dans la nuit éternelle. PA - Evidemment… S’il en était ainsi, alors la Terre ne tournerait pas par rapport au Soleil mais en une année ferait bien un tour sur elle-même par rapport aux étoiles. C’est ce tour que l’on retrouve dans la différence entre le nombre de jours solaires moyens et jours sidéraux pendant une année. JO - Attends un peu. Ici on a supposé que pendant la révolution de la Lune, la Terre ne s’était pas déplacée sur son orbite. PA - Exact. Mais cette fois c’est toi qui compliques à raison la situation. Si on prend en compte ce mouvement, le piquet rouge reverra la direction de l’étoile au bout de 27.3 jours, mais la Lune ne sera pas encore vis à vis de la Terre dans la phase « nouvelle Lune » (fig.12-4) ; il faudra que s’écoulent encore environ 2 jours. Ainsi entre deux nouvelles Lunes, il s’écoule : 29.53 jours (29j 12h 44m). On appelle ce temps de révolution, temps de révolution synodique ou « lunaison », temps où le système Terre-Lune retrouve le même aspect, de façon similaire au système Soleil-Terre vu plus haut. Et comme pour le système Soleil-Terre avec le jour solaire, la lunaison n’est en fait qu’une valeur moyenne.

- 115 –

- 116 –

4 - De révolution en révolution. * >>>>> PA - Nous avons décrit jusqu’ici l’essentiel du mouvement de la Lune. Mais dans le détail, le mouvement de la Lune est encore plus complexe. Notre satellite parcourt une ellipse qui tourne globalement et très lentement sur elle-même dans le même sens que celui de sa révolution autour de la Terre : le périgée point le plus proche de la Terre met presque 9 ans pour se retrouver au même point . Aussi dans une révolution, la Lune doit mettre un peu plus de temps que le temps normal (sidéral), pour rattraper son périgée au tour suivant puisque celui-ci a pris un peu d’avance sur elle. On appelle cette période « la révolution anomalistique » ; elle est de 27j 13h 18m. Il faut savoir encore que le plan de l’orbite lunaire fait un angle de 5° 9’ par rapport au plan de l’orbite terrestre (écliptique) ; les deux points d’intersection de l’orbite lunaire avec le plan de l’orbite terrestre sont appelés les « nœuds ascendant A et descendant D » ; le nœud ascendant A correspond au passage de la Lune d’en dessous du plan de l’orbite terrestre à au dessus, et inversement pour le nœud descendant D. La droite AD est « la ligne des nœuds » (fig.12-5). Eh bien, le plan de l’ellipse lunaire tourne autour d’un axe perpendiculaire au plan de l’orbite terrestre, disons autour de l’axe de l’écliptique, et effectue un tour extrêmement lentement en 18.6 ans dans le sens rétrograde, c’est à dire opposé au sens de révolution de la Lune. Ainsi la ligne des nœuds AD fait également un tour autour de cet axe en 18.6 ans dans le même sens; on appelle aussi ce mouvement « la rétrogradation de la ligne des nœuds ». Aussi dans une révolution, la Lune passant par le nœud ascendant A par exemple, doit mettre un peu moins de temps que le temps sidéral pour retrouver à nouveau ce nœud ascendant A, puisqu’il vient en quelque sorte au devant d’elle. On appelle cette période « la révolution draconitique » ( le mot vient de : dragon). Elle est de : 27j 5h 6m. Cette période a son importance dans le problème des éclipses. JO - Si j’ai bonne mémoire cette période de 18.6 ans me rappelle quelque chose lié au mouvement de précession de la Terre…. PA - Tu as bonne mémoire : il s’agit non pas de la période de précession mais de celle de nutation (ch.8-6). La rétrogradation de la ligne des nœuds signifie que le plan de l’orbite lunaire incliné de 5° 9’ sur le plan de l’écliptique, tourne autour de l’axe de l’écliptique avec cette période de 18.6 ans. Il tourne donc par rapport au plan du bourrelet équatorial ; (on peut dire en effet que ce plan, celui de l’équateur, reste bien parallèle à lui-même durant cette courte période de 18.6 ans). La rétrogradation de la ligne des nœuds apporte ainsi une variation supplémentaire et cyclique avec cette période de 18.6 ans, de la distance Lune-bourrelet. Or nous avons vu que la force de gravitation de la Lune sur le bourrelet équatorial qui dépend de cette distance Lune-bourrelet, provoque le mouvement de précession de la Terre et le déplacement de l’axe de la Terre sur le cercle de précession en 26000 ans ; comme cette distance n’est pas constante mais varie légèrement de manière cyclique avec cette période de 18.6 ans, cela provoque alors cette oscillation de l’axe de la Terre autour du cercle de précession que l’on appelle la nutation

- 117 –

JO - Je crois que mes neurones se font plus de nœuds que l’orbite lunaire. PA - Attends ! Je t’ai fait grâce de multiples autres petites fluctuations de l’orbite lunaire comme ces petites oscillations du plan de l’orbite lunaire autour de l’angle de 5° 9’ avec le plan de l’orbite terrestre. De plus, nous venons de voir que la Lune fait un tour sur elle-même pendant qu’elle accomplit une révolution autour de la Terre, ce qui lui permet de présenter toujours la même face à la Terre : on ne voit donc que 50% de la surface de la Lune. Je pense que tu es d’accord ? JO - Je ne vois pas pourquoi il pourrait en être autrement ! PA - Eh bien on en aperçoit presque 10% de plus ! Du fait que, premièrement la Lune parcourt son orbite elliptique à vitesse variable (en moyenne 1 km/s), que deuxièmement, l’équateur lunaire fait un angle de 6° 40’ avec le plan de l’orbite lunaire, et que troisièmement elle fait un tour sur elle-même régulièrement pendant une révolution, notre satellite présente un léger balancement horizontal et vertical. On appelle cela le phénomène de libration . Il permet à un observateur terrestre de resquiller sur la surface bien visible de la Lune, les 50%, et comme un gamin qui essaye de regarder par dessus un mur trop haut pour sa taille, notre observateur peut observer 59% de la surface de la Lune. De par sa proximité, les mouvements de la Lune ont été analysés en détail et montrent une grande complexité bien loin du mouvement circulaire tout simple que l’on apprend lorsqu’on rencontre le système Terre-Lune pour la première fois. A priori ces mouvements n’ont aucune raison de ne pas se retrouver pour les satellites des autres planètes dont l’éloignement rend l’étude détaillée beaucoup plus difficile.

- 118 –

JO - Je suis abasourdie! Ces révolutions sidérale, synodique, anomalistique, draconitique …. Tous ces « iques » me donnent le vertige et le hoquet ! PA - Si tu as bien compris les révolutions sidérale et synodique, c’est déjà un excellent point ! * <<<<< 5 - Eclipses. Eclipse de Soleil. PA - Une éclipse est un phénomène connu de tous, facile à observer et à comprendre. Ce phénomène assez impressionnant, parfois redouté depuis l’Antiquité jusqu’au Moyen Age, n’est qu’une question d’ombre de la Lune ou de la Terre sur respectivement, la Terre ou la Lune. L’éclipse de Soleil se produit quand la Lune passe entre la Terre et le Soleil (fig.12-6). La Lune est pratiquement à la Nouvelle Lune. Elle projette sur la Terre son ombre. Il se trouve que vu de la Terre, le disque du Soleil semble avoir pratiquement le même diamètre que celui de la Lune : on dit que le Soleil et la Lune ont presque le même « diamètre apparent ». Si un Terrien se trouve dans la tâche d’ombre, le Soleil disparaît à ses yeux, il « s’éclipse » et la lumière du jour décroît fortement. On dit que l’éclipse est totale. Regardons de façon plus détaillée. Derrière la Lune, il y a en fait un cône d’ombre, et non un cylindre d’ombre.

- 119 –

JO - Un cône est un chapeau de clown, n’est-ce pas ? PA - Si tu veux. La pointe du cône pénètre presque toujours à l’intérieur de la Terre. L’intersection du cône avec la surface de la Terre donne alors la tâche d’ombre ovale de diamètre d’au maximum 300 km. Puisque la Terre tourne sur elle-même, la tâche d’ombre balaie une bande d’ombre à la surface de la Terre que l’on appelle la « bande de totalité », si bien qu’en un lieu donné l’éclipse totale ne dure pas plus de 6 à 7 min. Notons aussi que la Lune se déplace aussi un tout petit peu sur son orbite pendant l’éclipse. Du fait que le Soleil n’est pas un point mais une large sphère, il y a autour de cône d’ombre une zone de pénombre, une sorte de couronne de pénombre qui entoure le cône. Cette zone de pénombre est beaucoup plus large que la tâche d’ombre. La lumière décroît peu dans cette zone. En effet un Terrien en A dans la zone de pénombre voit toujours une partie du Soleil, celle qui est au dessus du pointillé rouge (fig.12-6). (C’est en réalité un croissant brillant de Soleil et non pas la seule partie au dessus du pointillé rouge, car la section de la Lune est un cercle). On dit que l’éclipse est partielle. L’observateur voit le disque noir de la Lune cacher partiellement le Soleil en passant devant. Comme précédemment la zone de pénombre balaie deux bandes de pénombre qui encadrent la bande de totalité, tandis que la Terre tourne. 6 - Eclipse de Lune. PA - Elle a lieu quand la Terre se trouve entre le Soleil est la Lune. JO - La Lune est donc dans la phase Pleine Lune. PA - Oui. Elle entre d’abord dans la zone de pénombre de la Terre mais son éclat est peu diminué. Puis elle traverse le cône d’ombre de la Terre. Elle ne s’obscurcit pas complètement car des rayons solaires sont réfractés vers le cône d’ombre par l’atmosphère de la Terre, et donnent à la Lune sombre une coloration rougeâtre (fig.12-6 ) Comme pour les éclipses de Soleil, on définit des éclipses totales et partielles de Lune selon qu’elle rentre partiellement ou non dans le cône d’ombre de la Terre. Notons que tous les Terriens situés sur la moitié de la Terre tournée vers la Lune (il fait nuit pour eux), peuvent voir l’éclipse totale de Lune, et l’on comprend qu’une éclipse de Lune puisse durer jusqu’à environ 6 heures. Par contre lorsqu’une éclipse totale de Soleil (dont la durée est courte), se produit, la tâche d’ombre étant restreinte, peu de Terriens assistent à cette éclipse. C’est pourquoi on a l’impression que le nombre d’éclipses totales de Soleil est inférieur à celui des éclipses totales de Lune. En fait il n’en n’est rien. Il suffit de regarder d’une part les deux rayons extrêmes du Soleil tangents à la Terre, ceux qui définissent le cône d’ombre de la Terre, et d’autre part l’orbite lunaire. La portion d’orbite lunaire entre les deux rayons est plus longue entre le Soleil et la Terre qu’au delà de la Terre. Dans une année, il y a en moyenne 2.3 éclipses de Soleil et 1.5 éclipses de Lune. Toujours dans une année pour les cas extrêmes, il y a au maximum 7 éclipses dont 5 sont solaires et 2 lunaires, ou 4 solaires et 3 lunaires, et au minimum 2 éclipses, toutes deux étant solaires.

- 120 –

7 - Eclipse de Soleil annulaire. Plus rarement, du fait que la distance Terre-Lune varie ainsi que la distance Terre-Soleil, il arrive que le sommet du cône d’ombre de la Lune n’atteigne pas la Terre (fig.12-7 ). Un observateur dans la tâche d’ombre en A, voit les parties du Soleil au dessus et en dessous des deux pointillés rouges. Il voit donc un très bel anneau lumineux autour du disque noir de la Lune. C’est un spectacle magnifique ! 8 - Le cycle de Saros. * >>>>> PA - Les Chaldéens avaient déjà remarqué une répétition des cycles d’éclipses tous les 18 ans environ. Ils appelèrent cette période le « cycle de Saros ». Il n’y a rien d’étonnant que le phénomène d’éclipse soit périodique car les mouvements des astres sont périodiques. Il est intéressant de comprendre pourquoi à certaines périodes il ne peut pas y avoir d’éclipse et dans quelles conditions elles apparaissent. Tout d’abord, il faut à nouveau rappeler que l’orbite lunaire est inclinée de 5° 9’ par rapport à l’orbite terrestre, donc au plan de l’écliptique et l’intersection de l’orbite lunaire avec ce plan définit la ligne des nœuds AD que nous avons rencontrée à propos de la révolution draconitique (ch.12-4). Rappelons encore que la ligne des nœuds AD effectue un tour dans le sens rétrograde en 18.6 ans, ce qui fait une rotation d’environ 20° chaque année (18 . 20 = 360° ) et donc d’un peu moins de 2° par mois.

- 121 –

On peut comprendre que, puisque le plan de l’orbite lunaire est incliné par rapport à l’écliptique, les trois astres Soleil, Terre et Lune ne seront que rarement alignés, disposition pourtant obligatoire pour qu’il y ait éclipse ! Il est donc nécessaire que la Lune se trouve au voisinage d’un des nœuds pour que les trois astres se trouvent déjà dans le même plan, c’est la première condition, mais il faut également que le Soleil se trouve sur la ligne des nœuds AD, deuxième condition. Nous avons dessiné (fig.12-8a) la Terre et l’orbite lunaire dans le cas où la ligne des nœuds AD passe par le Soleil, et (fig.12-8b) la Terre ¼ de période draconitique auparavant (soit 4.65 années) ; la ligne des nœuds AD est alors perpendiculaire à la ligne Soleil-Terre. Il est clair (fig.12-8b) que lorsque la Lune passe par les nœuds A ou D au cours d’une lunaison, il n’y a pas d’éclipse (voir Ex 12-1). Cela ne veut pas dire qu’il n’y aura pas d’éclipses dans l’année. Remarque – En effet l’orientation de la ligne des nœuds AD change peu pendant une année dans le plan de l’écliptique (seulement d’environ 20°). Par conséquent la figure (12-8b) ne signifie pas que la ligne des nœuds reste tangente à l’orbite terrestre toute l’année, elle ne se retrouvera dans cette situation qu’environ six mois plus tard. Il en est de même pour la figure (12-8a) qui ne signifie pas que la ligne des nœuds passe par le Soleil toute l’année. Par contre, dans le cas où le Soleil se trouve sur la ligne des nœuds (fig.12-8a), lorsque la Lune passera au voisinage de A ou D au cours d’une lunaison, il y aura éclipse. La situation se reproduira quand la Terre aura fait environ une demi-révolution, c’est à dire six mois après. Il y a donc une périodicité de six mois environ des éclipses. Mais attention ! En six mois la ligne des nœuds aura tourné d’environ 10°, cela est suffisant pour que le phénomène d’éclipse observée six mois plus tôt ne puisse plus se reproduire. JO - Alors quand retrouvera t-on exactement les mêmes suites d’éclipses ? PA - Le phénomène se répétera à nouveau à l’identique, quand il y aura une certaine compatibilité entre les lunaisons où l’on retrouve la Lune dans la même phase (nouvelle lune par exemple correspondant aux éclipses solaires), et les révolutions draconitiques associées à la rétrogradation de la ligne des nœuds. On peut comprendre que la période de ce cycle est un temps qui doit correspondre à la fois à un nombre entier de lunaisons (29j 12h 44m) et de révolutions draconitiques (27j 5h 6m) ; on peut vérifier facilement qu’il faut 223 lunaisons et 242 révolutions draconitiques pour obtenir ce même temps: il est de 6585 jours, soit 18a et 11j. C’est cette période que les Chaldéens ont appelé le cycle de Saros.

- 122 –

- 123 –

Entraînement. Ex 12-1 - Eclipse impossible. Cet exercice simple a pour but de montrer que pour qu’une éclipse puisse avoir lieu, la Lune doit se trouver au voisinage de l’écliptique. On se place dans le cas de la figure (12–8b), lorsque la Lune est au point H le plus élevé au dessus de l’écliptique. Le Soleil, la Terre et la Lune sont dans un même plan mais pas sur une même droite. On suppose que les rayons de Soleil tangents à la Lune et à la Terre sont pratiquement parallèles à l’axe Soleil-Terre. On prend la distance Terre-Lune égale à 400000km. Montrons que la distance h du point H au plan de l’écliptique est de l’ordre de 36000 km. En effet l’inclinaison : α = 5° 9’ correspond à environ : α = 0.09 rad. Dans les triangles rectangles HIT ou HJT , la hauteur : h = HI = d . sin α ≈ d . α (A.I - 1) D’où : h ≈ 0.09 . 400000 = 36000 km, soit presque 6 fois le rayon de la Terre (6400 km). On comprend que la Lune est bien au dessus ou au dessous de l’axe Soleil-Terre et que le cône d’ombre de la Lune est loin de pouvoir intercepter la Terre (position I) ; de même le cône d’ombre de la Terre, de pouvoir intercepter la Lune (position J). * <<<<<

<<<<<<<<<<>>>>>>>>>> BIB : (3-8-20)

- 124 –

13 - D’ETRANGES MOUVEMENTS 1 - Le mouvement apparent rétrograde. PA - Les Anciens qui étudiaient le ciel, étaient intrigués par le mouvement de certaines planètes comme la planète Mars. On sait que les planètes ne sont pas fixes dans le ciel, elles se déplacent par rapport aux étoiles. (Nous excluons évidemment dans ce chapitre le mouvement apparent journalier de l’ensemble des étoiles et des planètes dû à la rotation de la Terre sur elle-même). Au lieu de se déplacer régulièrement dans le ciel par rapport aux étoiles, certaines planètes semblaient s’arrêter puis rebrousser chemin en décrivant parfois de petites boucles, pour repartir enfin dans le bon sens. Ces bizarreries demandaient aux sphères célestes de faire de curieux mouvements ou alors il fallait perfectionner les trajectoires circulaires avec des systèmes compliqués comme les épicycles (ch.2-2). Ces mouvements étranges étaient difficiles à comprendre tant que l’on croyait la Terre immobile au centre de l’Univers. Mais si nous avons en tête que nous sommes sur un observatoire mobile, une planète qui se déplace à 30 km/s sur son orbite, toutes ces bizarreries deviennent des évidences : elles ne sont que des mouvements apparents tout à fait normaux. Le schéma (fig.13-1) nous fait comprendre le mouvement apparent rétrograde.

Nous avons représenté en rouge l’orbite terrestre et différentes positions de la Terre numérotées de 1 à 8. Puis une orbite d’une planète extérieure en noir qui entoure celle de la

- 125 –

Terre et qui est supposée également dans le plan de l’écliptique. Quand la Terre est en 1, on note aussi 1 la position de la planète extérieure au même moment, et ainsi de suite pour les autres positions 2, 3 …. de la Terre. D’une part la planète extérieure doit parcourir une orbite plus longue, d’autre part comme nous le verrons bientôt (ch.19-1), étant extérieure sa vitesse est plus faible que celle de la Terre. Ainsi la distance 1-2 pour la Terre sur le cercle rouge est supérieure à la distance 1-2 pour la planète extérieure sur le cercle noir. La Terre rattrape sans cesse la planète extérieure dans leurs révolutions respectives. De la Terre où voit-on la planète extérieure sur la voûte céleste ? Si nous sommes sur Terre en 2, la planète extérieure est aussi en 2, il suffit donc de joindre la ligne 2-2 en partant de la Terre, de la prolonger jusqu’à la voûte céleste et nous avons ainsi la direction 2-2 dans laquelle nous voyons en réalité la planète extérieure…Ensuite…. JO - ….Ensuite il suffit de joindre les positions 3-3, 4-4, 5-5 etc….Nous observons effectivement le mouvement rétrograde de la planète extérieure des positions 2 à 7. PA - Ce n’est pas plus difficile que cela. On peut imaginer facilement que ces mouvements bizarres puissent également exister pour les planètes intérieures c’est à dire plus proches du Soleil que la Terre. Pour s’en rendre compte, il suffit d’inverser les rôles en remplaçant la planète extérieure par la Terre et le cercle rouge de la Terre par la planète intérieure. Notons aussi que la présence du Soleil rend l’observation des planètes intérieures, en particulier Mercure, plus difficile. 2 - Les ellipses des étoiles proches. PA - Voici encore une histoire de mouvement apparent des étoiles dû à ce que la Terre tourne autour du Soleil. Commençons par éliminer un point qui pourrait embrouiller notre histoire : dans la Voie Lactée toutes les étoiles ont un mouvement propre ; elles tournent autour du centre galactique et se déplacent aussi les unes par rapport aux autres. A cause de ce mouvement la position des étoiles sur la voûte céleste ne sont pas immuables ; les constellations se déforment avec le temps mais excessivement lentement à l’échelle humaine ; le chariot de la grande Ourse dans un million d’années ne ressemblera plus du tout à un chariot. Comme il faudrait au moins des milliers d’années pour pouvoir observer ces lents changements, nous n’en tenons pas compte dans ce qui suit. Lorsqu’on suit au télescope pendant toute une année une étoile comme l’étoile 61 du Cygne située à seulement 11 al. du Soleil, on la voit décrire sur la voûte céleste une petite ellipse. Encore une fois ce mouvement est décrit par rapport aux étoiles très éloignées fixes sur la voûte céleste. Plus l’étoile que l’on observe est éloignée plus l’ellipse est petite. Elle finit par devenir un point si elle est trop loin et devient alors « fixe » pour nous. Ce mouvement de l’étoile est en fait un mouvement apparent dû à ce que l’observateur sur Terre décrit en un an l’orbite terrestre (fig.13-2 bas). On dit que c’est un effet de parallaxe qui ne peut être observé que pour les étoiles pas trop éloignées du Soleil. La parallaxe est l’angle ε représenté sur la figure.

- 126 –

- 127 –

JO - Stop ! Je ne comprends vraiment rien à la parallaxe et à l’ellipse de ton étoile du Cygne ! PA - L’exemple suivant va t’aider à comprendre. Prenons un terrain de football avec au loin une grande montagne (la voûte céleste) ; à la place d’un des buts tu mets un peuplier (l’étoile du Cygne) (fig.13-2 haut). En face il n’y a plus de buts mais toi (la Terre) ; tu es donc sur l’autre ligne de but et tu n’as le droit de te déplacer que sur la largeur du terrain. Lorsque tu vas d’un poteau de corner à l’autre, tu vois le peuplier se déplacer contre le fond de la montagne. Tu peux alors photographier le peuplier dans les positions extrêmes, aux poteaux de corner droite et gauche ; on voit que sa position sur le fond de la montagne n’est pas la même dans les deux photos. On peut maintenant superposer les deux photos pour en faire une photo panoramique. Sur la photo prise à droite, le peuplier est en A à gauche sur la photo panoramique ; et sur la photo prise à gauche, il est en B à droite sur la photo panoramique. Au cours de ton déplacement d’un poteau de corner à l’autre le peuplier se déplace sur le segment AB contre le fond de la montagne. Pour l’étoile, c’est la même situation sauf que la Terre ne décrit pas une largeur de stade, mais pratiquement un cercle, l’orbite terrestre ; il s’ensuit que l’étoile décrit une ellipse au cours d’une année. Note que l’étoile n’est pas nécessairement dans l’axe de l’orbite terrestre comme cela est représenté sur la figure (13-2 bas). Le principe reste le même. JO - Tout cela est bien beau, mais comment calcule-t-on l’angle ε , la parallaxe ? PA - Lorsqu’on regarde la figure (13-2 bas), il est clair que plus l’étoile est proche du Soleil, plus la parallaxe ε est grande et plus l’ellipse apparente parcourue sur la voûte céleste est grande. Ainsi l’angle ε est directement corrélé à la distance Etoile-Soleil que nous notons : l. Même pour l’étoile la plus proche l’angle ε est très petit . Ceci provient évidemment de ce que la distance Terre-Soleil : R = 1 ua = 149.6 106 km, est très inférieure aux distances Soleil-étoile l qui s’expriment en al (1 al = 9.46 1012 km), et valent au minimum 4 al. En conséquence la parallaxe exprimée en radians est facile à évaluer (A.I -1) :

ε = R / l (1) ε en radians.

La distance Soleil-étoile connaissant ε en radians, est donnée en inversant (1) :

l = R / ε (2) Mais la parallaxe est en général donnée en secondes d’arc notée : ’’ ( ’’ = seconde d’arc) Il reste donc à convertir les angles exprimés en secondes d’arc, en radians par cette simple règle de trois : π radians correspondent à 180°, ils correspondent donc à 180.60.60 sec.d’arc. Donc:

1 sec.d’arc = π / (180.60.60) = 4.848 10-6 rad. (3) Ainsi connaissant la parallaxe ε on peut obtenir la distance de l’étoile au Soleil donnée en (2). Exemple : calculons les distances de Proxima Centauri et de l’étoile 61 du Cygne. Pour Proxima Centauri ε vaut : 0.765’’, et pour l’étoile 61 du Cygne : 0.292’’. Proxima Centauri : l = 149.6 106 / (0.765 . 4.848 10-6 ) = 40.302 1012 km = 4.26 al.

- 128 –

Etoile 61 du Cygne : l = 149.6 106 / (0.292 . 4.848 10-6 ) = 105.67 1012 km = 11.2 al. Comme nous l’avons dit, il devient très difficile de calculer par cette méthode de la parallaxe la distance des étoiles dès qu’elle dépasse la centaine d’al. NOTE - A partir de deux observatoires terrestres suffisamment éloignés l’un de l’autre, on peut avec cette méthode de la parallaxe déterminer la distance de planètes comme Vénus, Mars…ou même d’astéroïde comme Eros appelé aussi « petite planète », un astéroïde qui peut s’approcher à environ 18 millions de km de la Terre. 3 - Le Parsec. Le parsec est une unité de longueur fréquemment employée en Astronomie et Astrophysique. PARSEC est une contraction de « PARallaxe SEConde » ou simplement « PAR SEConde ». Il est très simple de le définir maintenant : 1 parsec correspond à la distance l pour laquelle la parallaxe ε est exactement 1 sec.d’arc soit : 4.848 10-6 rad. Par conséquent :

1 parsec = 149.6 106 / 4.848 10-6 = 30.857 1012 km Le tableau 12-1 suivant donne la correspondance entre 1 ua., 1 al et 1 parsec (pc).

Tableau 12-1

ua al parsec km 149.6 106 9.4605 1012 30.857 1012 ua 1 63240 206265 al 1.581 10-5 1 3.262

parsec 4.848 10-6 0.3066 1 Sachant que 1 pc = 3.262 al ou 1 ua = 4.848 10-6 pc, cela permet de lire le tableau dans le bon sens. Il faut toujours partir de la ligne du haut. Ex : al � pc , � 1 al = 0.3066 pc 4 - Les deux chances d’Einstein : Nous allons parler de deux phénomènes qui ont assuré le triomphe de la Relativité Générale d’Einstein : le premier concerne un mouvement bien réel dont les causes étaient apparemment comprises mais qui était néanmoins trop rapide pour les astronomes de l’époque : il s’agit du pivotement de l’orbite de Mercure. Le deuxième est un déplacement apparent d’une étoile lorsque la lumière qu’elle nous envoie rase une grande masse comme le Soleil. Le périhélie de Mercure. PA - L’orbite de Mercure est une ellipse prononcée dont le Soleil occupe un des foyers. Mercure en fait le tour en 88 jours. Prenons Mercure à son passage au périhélie (fig.13-3a). La planète doit par conséquent se retrouver au même point 88 jours plus tard. On dit que l’ellipse se referme sur elle-même. Ce retour à la case départ n’a lieu en réalité qu’à la condition que le Soleil et Mercure soient seuls dans l’espace. L’influence des autres planètes, certes très faible, est néanmoins suffisante pour que pendant les 88 jours, l’ellipse pivote très légèrement comme cela est montré sur la fig.13-3b (où la rotation de l’ellipse est évidemment exagérée), et par conséquent ne se referme pas. Ainsi au deuxième tour, Mercure emprunte l’ellipse numéro 2, puis la 3, etc…..En fait chaque tour ne

- 129 –

se fait pas en toute rigueur sur une ellipse mais sur une courbe continue qui passe lentement d’une pseudo-ellipse à une autre en dessinant une belle rosace. Il en résulte que le périhélie tourne très lentement autour du Soleil ; il tourne de 360° en 23143 années terrestres.

On s’est empressé de calculer ce nombre d’années pour vérifier sa conformité avec la mécanique de Newton ; résultat : 23321 années. La différence était bien supérieure à l’erreur expérimentale (traduite en écart angulaire, elle était de 43 secondes d’arc (43’’) par siècle). L’ellipse de Mercure tournait donc plus vite que prévu... Cherchez l’erreur ! La solution paraissait facile. On se rappela que les perturbations de l’orbite d’Uranus furent expliquées par la présence d’une planète voisine, inconnue jusqu’alors, ce qui conduisit à la découverte de Neptune (ch.14-6). On soupçonna pour la même raison, la présence d’une planète inconnue entre le Soleil et Mercure que l’on appela Vulcain, planète difficile à observer à côté du Soleil éblouissant. Cependant malgré les progrès de la technologie, les astronomes avaient beau scruter le ciel, point de Vulcain à l’horizon. Le temps passait….. Il fallut se rendre à l’évidence, il n’y avait rien. En 1915, cet écart restait la seule faille de la théorie de Newton ; le désaccord en prenait d’autant plus d’importance dans le milieu scientifique. Mais l’année 1915 était l’année de la publication de la Relativité Générale. Einstein se lance alors dans le calcul et tombe pile sur la bonne valeur. Ce fut le premier succès de sa théorie, un succès retentissant.

- 130 –

NOTE - L’écart entre les nombres d’années peut être traduit en écart angulaire par siècle, car la rotation de l’ellipse est très lente. Puisque 360° correspondent à 360 . 3600 = 1 296 000’’, l’écart angulaire δ par siècle entre la valeur expérimentale (231.43 siècles) et celle de la théorie de Newton (233.21 siècles) est :

δ = 1 296 000 . [ 1 / 231.43 - 1 / 233.21 ] = 43’’

Cette écart expérience-théorie de 43 secondes d’arc par siècle, est plus connue que le nombre d’années. En fait Einstein a calculé la correction que la Relativité Générale apporte à la théorie de Newton et trouve justement ces 43’’.Pour les autres planètes plus éloignées du Soleil, cet écart devient beaucoup plus faible, mais la même correction reste toujours en bon accord avec l’observation. Dans un premier calcul, Einstein trouvait en fait la moitié de 43’’, mais par chance il s’est aperçu qu’il avait oublié un facteur 2 ! JO - Il n’y a donc pas que moi qui suis étourdie. 5 - La déviation de la lumière par le Soleil. PA - La Relativité Générale prévoit qu’un rayon lumineux provenant par exemple d’une étoile, qui rase une grande masse comme une autre étoile doit être dévié. L’idée était donc d’observer une étoile derrière le Soleil : juste avant ou après que le Soleil ne passe entre l’étoile et la Terre, la lumière de l’étoile devait être déviée ; elle semblerait venir alors de l’étoile décalée, image de l’étoile réelle (fig.13-4). La direction de cette étoile apparente est donnée par le prolongement (en pointillé) du rayon lumineux qui arrive sur l’œil de l’observateur. Einstein prévoyait que le rayon lumineux de l’étoile rasant le Soleil devait être dévié de 0.00024° soit : 0.87’’ (secondes d’arc – voir A.I –3) Nous avons tous observé la déviation de la lumière, pas pour la même raison mais à cause du phénomène de réfraction, lorsqu’on regarde en oblique un poisson dans un bassin ; nous obtenons une image apparente du poisson ainsi que du fond du bassin qui paraissent remonter. JO - C’est donc encore un déplacement apparent. PA - Oui. Pour observer une étoile ou un amas d’étoiles derrière l’éblouissant Soleil, il fallait profiter d’une éclipse de Soleil. Une première expérience fût tentée au Brésil en 1912 ; un ciel la plupart du temps couvert pour ne pas dire pluvieux, ne permit pas de faire des mesures fiables. En 1914 on fit une nouvelle tentative, en Crimée cette fois. Les conditions météorologiques semblaient parfaites et il y avait bien un amas d’étoiles derrière le Soleil au rendez-vous. Mais quelques jours avant l’éclipse, ce fût la déclaration de la Première Guerre Mondiale. Tout le monde se trouva dans l’obligation de plier bagages rapidement . Einstein s’aperçoit alors qu’il lui manque là encore dans ses calculs un facteur 2 : la déviation de la lumière doit être 2 fois plus forte : 1.75’’. En 1919 une expédition britannique conduite par Eddington et Crommelin finit par observer cet effet ; la déviation mesurée était très proche du calcul d’Einstein. Ce fut pour lui la consécration.

- 131 –

JO - C’est vrai qu’ Einstein n’était pas très copain avec le facteur 2 et qu’il a eu de la chance. Qu’en aurait-il été s’il n’y avait pas eu ces corrections ? PA - Je pense que cela n’aurait fait que retarder la découverte de la Relativité Générale. Si lui-même n’avait pas repris ses calculs et trouvé l’erreur, d’autres physiciens l’auraient fait. Il faut savoir que la Relativité Générale n’a jamais été mise en défaut jusqu’à ce jour.

<<<<<<<<<<>>>>>>>>>> BIB : (2-3-10-12-13-18-19)

- 132 –

14 - LA TERRE ET LA LUNE FESTONNENT

Il n’y a de doute pour personne que la Terre parcourt chaque année une orbite pratiquement circulaire autour du Soleil. Pourtant en regardant les choses de plus près, notre planète se permet des oscillations de part et d’autre de cette orbite. En réalité seul le centre de gravité du système Terre-Lune décrit l’orbite pratiquement circulaire. Nous le montrons dans ce chapitre après une brève introduction mathématique. 1 - Le centre de gravité, d’inertie, de masse ou le barycentre. JO - En math, nous avons commencé l’étude du barycentre. Le prof ’a dit que barycentre centre de masse, centre d’inertie ou de gravité, c’est tout du pareil au même! PA - Effectivement ces quatre termes représentent bien la même chose avec parfois quelques subtiles précautions à prendre pour le centre de gravité qui dépassent le cadre de notre livre. Nous utiliserons indifféremment ces quatre termes. Dans le langage courant le terme « centre de gravité » est, je pense, le plus connu. Nous avons tous une notion instinctive du centre de gravité d’un objet et nous savons très bien par où nous devons le saisir pour qu’il soit en équilibre. S’il s’agit de déplacer une simple planche, le menuisier la prend instinctivement par le milieu pour la transporter. S’il s’agit de porter une bêche, le jardinier ne la saisit pas à la moitié du manche, mais décale un peu sa main du côté de la partie lourde en fer. Quand un objet homogène possède une grande symétrie, le centre de gravité se trouve facilement géométriquement ; nous avons déjà vu que le centre de gravité d’une sphère est son centre où l’on a concentré toute la masse. De même le centre de gravité d’un cylindre se trouve sur l’axe à mi-hauteur. Le centre de gravité d’une sphère creuse ou d’un cerceau se trouve au centre là où il n’y a pas de masse, etc… 2 - Position du centre de gravité. PA - Prenons un exemple concret : un haltère un peu particulier constitué de deux masses mA et mB différentes reliées entre elles par une tige rigide de masse négligeable. Déterminons la position du centre de gravité G qui n’est visiblement pas au milieu de la tige. JO - Il serait évidemment au milieu de la tige si les deux masses étaient égales. PA - Bien sûr. Pour fixer les idées, prenons les masses mA = 5 kg et mB = 2 kg séparées par une tige de 1m. Une figure géométrique simple permet de trouver rapidement le centre de gravité (fig.14-1) : Nous portons à une échelle quelconque, en A verticalement vers le haut, une grandeur AA’ égale à 2 (masse de mB ) , et en B vers le bas, une grandeur BB’ égale à 5 (masse de mA). Attention ! il faut se tromper : en A on porte mB …et en B on porte mA … en sens contraire. Joignons A’B’ : cette droite coupe la tige au centre de gravité G ! JO - S’il faut se tromper, je suis aux premières loges ! En tous cas on voit bien que si les deux masses sont égales, la figure est symétrique et le centre de gravité G se trouve au milieu de la tige.

- 133 –

PA - Exact. Il est facile de voir d’après le théorème de Thalès , que : AG / BG = AA’ / BB’ soit : AG = ( mB / mA ) . BG AG = ( 2 / 5 ) . BG (1) La relation suivante est plus commode car elle donne directement la position de G sur le segment AB : AG /AB = AA’/(AA’+BB’) soit : AG = ( mB /(mA + mB )). AB AG = ( 2 / 7 ) . AB (2) NOTE - Pour obtenir (2) il suffit d’ajouter dans les dénominateurs de l’égalité (1), les numérateurs respectifs de chaque fraction. Ainsi dans : AG / BG , le dénominateur BG est remplacé par : AG + BG = AB , et dans : AA’/ BB’, le dénominayeur BB’ est remplacé par : AA’ + BB’. JO - Euh !…Je doute un peu de ce trafic des fractions. PA - Retourne en cinquième. Compare les égalités: 2/3 = 4/6 , et : 2/(2+3) = 4/(4+6) ? JO - OK je n’ai rien dit ! Les relations (1) et (2) montrent bien que G est le milieu de AB quand mA = mB . La relation (2) donnent : AG = (1/2) . AB PA - Et lorsque mA est très supérieur à mB ? JO - G est très proche de A car BB’(masse mA) devient très grand devant AA’(masse mB) ; on le voit clairement dans la construction géométrique.

- 134 –

PA - De même (1) et (2) montrent que AG devient très petit par rapport à BG ou à AB ; AG est presque nul. 3 - Mouvement du centre de gravité. PA - L’importance du centre de gravité réside en ce que le mouvement principal du système constitué de l’ensemble deux masses mA et mB, comme l’haltère ci-dessus, est celui du centre de gravité G. Ce mouvement sert en général de référence. Donnons un exemple : si je lance un caillou en l’air, on sait qu’il va décrire une parabole et retomber un peu plus loin. Si je lance ensuite l’haltère de 7 kg ci-dessus…. JO - …du moins un plus léger… PA - …je disais donc…l’haltère va décrire une trajectoire qui est une parabole (ch.11) tout en tournant généralement sur lui-même. En fait c’est le centre de gravité de l’haltère qui décrit exactement la parabole. Par contre les deux boules aux extrémités tournent autour du centre de gravité, donc tournent autour de la parabole, en décrivant des arabesques compliquées. 4 - Centre de gravité du système Terre- Lune. PA - Tu es maintenant capable de trouver le centre de gravité G de l’haltère Terre-Lune bien qu’il n’y ait pas de tige rigide entre Terre et Lune. La distance d entre elles est en moyenne de 384400 km (fig.14-2) ; la masse MT de la Terre est 81.3 fois supérieure à celle ML de la Lune.

- 135 –

Puisque dans la construction géométrique nous pouvons porter en T et L les masses ML et MT respectivement à n’importe quelle échelle, nous pouvons donc prendre 1 pour la Lune et 81.3 pour la Terre. Nous n’avons même pas besoin de connaître exactement les masses MT et ML. Attention ! Pour le cas qui nous occupe, si on opte pour la construction géométrique, il faut porter les rayons des planètes à la même échelle que leur distance d ; mais à cause des valeurs numériques, la figure n’est claire que si elle est assez grande. La position de G est calculée dans Ex 14-1. JO - Je me suis certainement trompée, je trouve que le centre de gravité G est à 4671 km du centre de la Terre et comme la Terre a un rayon de 6370 km, G est à l’intérieur de la Terre ! PA - Est-ce stupide ? Pas du tout. Tu as bien trouvé la bonne valeur : G est à l’intérieur de la Terre parce que la masse de la Terre est 81 fois plus grande que celle de la Lune. C’est la même situation entre la Terre et le Soleil : leur centre de gravité est à l’intérieur du Soleil car la masse du Soleil est de 330000 fois plus grande que celle de la Terre. 5 - Les festons de la Terre et de la Lune. JO - Bon d’accord. Mais pourquoi me fais-tu calculer la distance TG du centre de la Terre au centre de gravité ? PA - Jusqu’ici tu as toujours appris que la Terre tournait en un an autour du Soleil sur pratiquement un cercle de rayon 150 millions de km. En réalité d’après ce que nous venons de voir, c’est le centre de gravité G du système Terre-Lune qui tourne sur cette orbite circulaire et non le centre de la Terre. JO - Attends, je vois où tu veux en venir ; laisse-moi deviner ce que sont les vrais mouvements de la Terre et de la Lune autour du Soleil. Je voyais bien jusqu’ici que la Lune tourne en à peu près un mois autour de la Terre qui avance en même temps sur son orbite, en décrivant une sorte de tourbillon comme un ressort à boudin autour de l’orbite terrestre. Mais puisque en réalité c’est le centre de gravité G qui suit l’orbite circulaire, je ne vois plus très bien ce que fait notre planète et encore moins son satellite. PA - Cela va s’éclaircir sur la figure (14-3). On a représenté un morceau de l’orbite terrestre et les mouvements de la Terre en rouge et de la Lune en vert pendant à peu près un mois, toutes les semaines. Le point noir dans la Terre est le centre de gravité G du système Terre-Lune ; c’est lui qui décrit l’orbite circulaire (ou plus précisément elliptique). En joignant les positions du centre T de la Terre chaque semaine, on imagine tout de suite le mouvement de la Terre, une sorte d’ondulation, autour de l’ex-orbite circulaire, devenue maintenant celle du centre de gravité G. C’est la même chose pour la Lune pour laquelle l’ondulation est plus marquée. On remarque que cette ondulation de la Lune paraît étirée par endroit, par exemple entre la 2ième et 4ième position en partant de la gauche ; cela provient de ce que la vitesse de la Lune autour de la Terre n’est que de 1 km/s alors que celle de la Terre sur son orbite est de 30 km/s. La trajectoire de la Lune ne ressemble donc pas du tout à un ressort à boudin autour de l’orbite terrestre.

- 136 –

JO - Oui, on voit très bien que la Terre serpente autour de l’orbite circulaire avec une période d’environ un mois qui correspond à une « lunaison ». Elle fera cette oscillation douze fois par an puisqu’il y a environ douze lunaisons dans l’année. Le mouvement de la Terre, sans même parler de sa propre rotation, n’est donc pas simple puisque son orbite festonne, comme d’ailleurs le mouvement de sa compagne la Lune …. Les danseurs de l’Opéra dansent-ils sur une aussi belle chorégraphie ?

6 - La découverte de Sirius B. PA - Nous terminons par la belle histoire de Sirius B. Nous avons montré (ch.13-2) que lorsqu’on suit au télescope pendant toute une année une étoile comme l’étoile 61 du Cygne, située seulement à 11 al du Soleil, on la voit décrire sur la voûte céleste une petite ellipse. Ce mouvement est en réalité un mouvement apparent dû au fait que l’observateur sur Terre décrit en un an l’orbite terrestre. On dit que c’est un effet de parallaxe qui ne peut être observé que pour les étoiles pas trop éloignées du Soleil. JO - Oui , pour une fois j’avais bien compris le coup de la petite ellipse. PA - Le célèbre astronome et mathématicien allemand Bessel (1784-1846) parvint avec succès à mesurer la distance (11 al) du Soleil à 61-Cygni d’après les dimensions de l’ellipse décrite sur la voûte céleste par cette étoile.

- 137 –

Il s’attela ensuite à déterminer la distance du Soleil à Sirius A qui lui semblait à juste raison plus proche que 61-Cygni parce que très brillante. Sa masse est plus de deux fois celle du Soleil. Mais quelque chose l’intriguait. Sirius A ne décrivait pas une ellipse comme cela aurait du être mais une assez curieuse ellipse plutôt ondulante. Il pensa à la trajectoire de la Terre autour de l’orbite terrestre que nous venons de décrire et en conclut qu’il devait exister autour de Sirius A une « Lune comme pour la Terre », qui devait être très massive pour perturber l’ellipse de cette brillante et lourde étoile en la faisant onduler. Elle devait être tellement massive qu’elle n’était certainement pas une planète mais devait sans doute être une étoile ; une étoile éteinte certes, puisqu’on ne la voyait pas à l’époque, mais une étoile quand même. Néanmoins le doute subsistait : cet objet perturbateur était-il quelque chose d’inconnu ou réellement une étoile ? Les astronomes de l’époque l’appelèrent le compagnon noir de Sirius. Il fallut attendre 1862 pour qu’un astronome américain Clark pointe le nouveau télescope qu’il venait de mettre au point pour l’Université du Mississipi, là où Bessel prédisait l’existence du compagnon noir ; il y avait effectivement quelque chose à côté de Sirius A, un point peu lumineux au point que Clark crût dans un premier temps à un défaut du miroir de son télescope. Mais non ! après de multiples vérifications, l’optique était parfaite. Il avait bien découvert une étoile massive mais peu lumineuse relativement à l’éblouissante Sirius A, qu’on appela Sirius B. La masse de Sirius B était en effet anormalement grande : elle n’était qu’environ deux fois inférieure à celle de l’énorme Sirius A. Son rayon était extraordinairement petit pour une étoile, de l’ordre de quatre fois celui de la Terre seulement. On comprit plus tard que Sirius B était une naine blanche (ch.25-4). Elle forme avec Sirius A un couple d’étoiles situé à un peu moins de 9 al du Soleil, appelé étoiles binaires. Un peu plus tard Bessel découvrit le même phénomène avec Procyon une étoile également très brillante. Par la suite on se rendit compte qu’il y avait en réalité un grand nombre d’étoiles binaires comme Sirius A et B dans la Voie Lactée. On peut citer encore comme exemple, la très brillante étoile Capella (constellation du Cocher) ou Mizar, la deuxième étoile en partant du bout du timon du chariot de la Grande Ourse. Il est clair qu’à l’œil nu ces étoiles binaires très proches l’une de l’autre par rapport à leur distance à la Terre, apparaissent comme une seule étoile. On a découvert récemment des exo-planètes un peu de la même manière, grâce aux oscillations de l’étoile qu’elles provoquent dans leur révolution autour d’elle. JO - C’est aussi de cette façon que l’on a découvert Neptune, n’est-ce pas ? PA - Oui, bien que Neptune ne tourne pas autour d’Uranus. L’astronome français Le Verrier (1811-1877) avait remarqué que l’orbite d’Uranus était perturbée par un corps céleste inconnu. Il réussit à calculer l’endroit et la date où l’on pourrait trouver cet objet mystérieux ; il demanda alors à l’astronome allemand Galle de pointer son télescope à cet endroit. La surprise de Galle fut grande également lorsqu’il découvrit en septembre 1846 l’objet mystérieux qui était bien au rendez-vous ; c’était une nouvelle planète qu’on appela Neptune. Dans le même ordre d’idée, on peut rappeler la recherche infructueuse de la fameuse planète Vulcain pour résoudre l’anomalie de l’orbite de Mercure (ch.13 - 4). Entraînement. Ex 14-1 – Position du centre de gravité du système Terre-Lune. Nous appelons T, MT et L, ML les centres et masses de la Terre et de la Lune, et d la distance TL (fig.14-2) . On donne d = 384 400 km et le rapport : MT / ML = 81.3 La formule (2) donne :

- 138 –

TG = ( ML / (MT + ML )) . d = d / ( 1 + MT / ML ) L’application numérique donne : TG = 4671 km. Comme le rayon de la terre vaut 6370 km, le centre de gravité G se trouve à la profondeur 1699 km, disons 1700 km de la surface de la Terre * >>>>> Ex 14-2 - Centre de gravité de deux ou plusieurs masses . On considère des points A,B,C …affectés des masses respectives mA , mB , mC ….. Les relations (1) et (2) peuvent être tirées d’une relation vectorielle générale : (mA + mB + mC + ...) . OG = mA . OA + mB . OB + mC . OC + .... (3) Le point O est un point de repère quelconque comme par exemple l’origine d’un axe sur lequel se trouvent les points A, B, C…. ou d’un système d’axes pour repérer les points A,B,C… dans le plan. I) Cas de deux points A et B affectés des masses mA et mB , l’expression (3) devient : ( mA + mB ) . OG = mA . OA + mB . OB (4)

a) Si nous plaçons l’origine O en G, l’expression (4) devient : 0 = mA . GA + mB . GB ou : mA . GA = - mB . GB Ou en norme : GA = ( mB / mA ) . BG identique à (1) b) Si nous plaçons l’origine O en A, l’expression (4) devient : ( mA + mB ) . AG = 0 + mB . AB Ou en norme: AG = ( mB /( mA + mB )). AB identique à (2)

II ) Cas de 3 points A,B,C affectés des masses mA , mB , mC ; G est leur centre de gravité. Appelons g le centre de gravité de B et C ; (4) permet d’écrire : (mB + mC) . Og = mB . OB + mC . OC La relation (3) peut ainsi être écrite comme s’il n’y avait plus que 2 points A et g affectés des masses mA et mB + mC : (mA + mB + mC + ...) . OG = mA . OA + (mB + mC) . Og Nous sommes ramenés au cas de deux points. Comme exemple connu nous pouvons prendre le cas où les 3 masses sont égales et notées m ; G est alors le point de concours des médianes du triangle ABC situé au 2/3 des médianes en partant des sommets. Le point g est le milieu de BC affecté de la masse 2m. G est affecté de la masse 3m. On peut de la même façon étendre le procédé à plus de trois masses. * <<<<<

<<<<<<<<<<>>>>>>>>>> BIB : (2)

- 139 –

15 - LA FORCE DE DISLOCATION.

Nous allons étudier l’étrange pouvoir qu’une planète peut exercer sur ses satellites. Elle semble leur dire « ne vous approchez pas trop près de moi sinon je vous éclate en mille morceaux ». L’existence des anneaux de Saturne est-elle due à cet étrange pouvoir ? 1 - L’étrange pouvoir d’une planète. PA - Contrairement aux exercices de notre livre de Physique, un satellite n’est pas un point matériel mais a une certaine dimension. Du fait de cette extension spatiale, la planète autour de laquelle il tourne, peut étirer ce satellite au point même d’être capable de le disloquer. JO - Etrange pouvoir de la force de Newton, je parie. PA - Naturellement ! Commençons pour fixer les idées par regarder la Terre et son satellite naturel. Ecrivons la (norme de la) force d’attraction gravitationnelle F qu’exerce la Terre sur la Lune :

F = G MT ML / d² (1) MT , RT et ML , RL sont les masses et rayons de la Terre et de la Lune, d la distance entre leurs centres. T et L sont les centres de la Terre et de la Lune. F est appliquée au centre L de la Lune et est dirigée de la Lune vers la Terre. Le système Terre-Lune est en équilibre stable : nous avons vu que la force de gravitation F attire la Lune mais comme la Lune tourne autour de la Terre, F est exactement compensée par la force centrifuge C qui tend à l’éloigner : F + C = 0. La distance moyenne d = 384400 km est la distance d’équilibre. * >>>>> Nous allons maintenant raisonner d’une manière un peu simpliste pour comprendre plus facilement notre problème. N’oublions pas tout d’abord que la Lune présente toujours la même face à la Terre. Partageons ensuite de façon un peu brutale, la Lune en deux hémisphères par un plan Px perpendiculaire à la ligne Terre-Lune TL passant par le centre L de la Lune comme indiqué figure (15-1). Les points A et B sont les centres de masse des deux hémisphères de Lune (pour les spécialistes : LA = LB = (3/8).RL si les hémisphères sont homogènes). Les points T, A, L, B sont alignés. a) Etudions dans un premier temps les effets gravitationnels. La force de gravitation exercée par la Terre sur l’hémisphère A de masse m = ML /2, est :

FA = G MT m / TA² (2) Et sur l’hémisphère B :

FB = G MT m / TB² (3)

Les deux forces FA et FB sont dirigées vers la Terre, mais ne sont pas égales. La somme de ces deux forces sur chaque hémisphère : FA + FB est évidemment égale à la force totale F exercée par la Terre sur toute la Lune, donnée par (1). Aussi il est judicieux de comparer chacune des forces FA et FB exercée sur chaque hémisphère à la moitié F/2 de la force totale F. Toutes ces forces sont dessinées sur la figure (15-1).

- 140 –

- 141 –

A propos quelle est la plus grande des deux forces, FA ou FB ? JO - Puisque TA < TB, c’est donc FA la plus grande. FA doit même être plus grande que F/2 et donc FB plus petite que F /2 puisque leur somme est égale à F ; elles se partagent le même gâteau F sachant que la part A est plus grosse que la part B. Bien vu n’est-ce pas ? PA - Je reconnais pour une fois, mais il n’y a quand même pas de quoi pavoiser. Ainsi la différence : FA - F/2 est une force dirigée vers la Terre, et la différence : FB - F/2 est dirigée dans le sens opposé car FB < F/2 (flèches rouges sur la figure). La première FA - F/2 tire l’hémisphère A vers la Terre, la seconde FB - F/2 tire l’hémisphère B dans l’autre sens. Il en résulte une force fdisl-grav appelée « force de dislocation », qui tend à séparer les deux hémisphères ; on obtient cette force en effectuant la différence de deux forces précédentes (rouges) puisqu’elles ont des directions opposées :

fdisl-grav = FA - F/2 – (FB - F/2) = FA - FB Cette force représente la force avec laquelle il faut tirer sur l’hémisphère A pour essayer de le séparer, de le « décoller » de l’hémisphère B. Elle est dirigée dans le sens BA. Nous aurions pu effectuer la différence dans l’autre sens, fdisl-grav serait alors égale à FB – FA et représenterait la force avec laquelle il faut tirer sur l’hémisphère B dans le sens AB pour essayer de le séparer de l’hémisphère A. C’est le principe des actions réciproques. Evidemment la Lune n’est pas constituée de deux hémisphères collés l’un à l’autre qu’il s’agirait de séparer. La force de dislocation apparaît parce que toute une partie du volume de la Lune la plus proche de la Terre, est plus attirée que la plus éloignée, ceci par rapport à l’attraction moyenne. Si la Lune était un point matériel réduit à son centre L, la force d’attraction F de la Terre existerait toujours, mais la force de dislocation fdisl disparaîtrait. Dans ce raisonnement simplifié , la force fdisl-grav est finalement égale à la différence des deux forces FA et FB comme nous pouvions le deviner. Elle vaut (en norme) indépendamment du choix : FA – FB ou FB – FA :

fdisl-grav = FA – FB = G MT (ML /2) [ 1 / TA² - 1 / TB² ] (4) Il est important de remarquer que cette force de dislocation augmente lorsque le satellite s’approche de la planète puisque la différence dans le crochet augmente. b) Dans un deuxième temps regardons les effets de la force centrifuge. Nous n’avons pas encore vu en détail cette force (voir ch.18-2 et 19-1), mais avec ce que nous avons déjà appris, il est clair que la force centrifuge CA qui s’exerce sur l’hémisphère A est plus faible que la force centrifuge CB qui s’exerce sur l’hémisphère B car A est plus proche de la Terre que B. En faisant un raisonnement tout à fait analogue à celui des forces de gravitation FA et FB, on en conclue que CA et CB vont provoquer également un effet de dislocation. Mais attention, d’une part, contrairement aux forces FA et FB , CA est inférieure à CB, et d’autre part les forces centrifuges sont opposées aux forces de gravitation. Il s’ensuit que l’effet centrifuge augmente encore la force de dislocation due à la gravitation (4) Nous écrivons par conséquent : fdisl = fdisl-grav + fdisl-centri . * <<<<<

- 142 –

Résumons : une planète attire par attraction gravitationnelle son satellite qui tente de lui échapper sous l’action de la force centrifuge. Un compromis permet de trouver un équilibre à une certaine distance bien définie planète-satellite. La force de gravitation F exercée par la planète sur le satellite pris globalement, est dirigée vers le centre de la planète. La force centrifuge C lui est égale et opposée. Il ne faut pas oublier ces forces F et C exercées sur le centre de la Lune qui servent en quelque sorte de référence dans notre problème. Puisque le satellite a une certaine extension spatiale, la planète exerce par effets conjugués de la forces de gravitation et de la force centrifuge, une force supplémentaire de dislocation fdisl qui en étirant le satellite dans la direction planète-satellite tend à le faire éclater, force dont on ne s’aperçoit pas tant que le satellite résiste à l’éclatement mais qui existe bien réellement. JO - Je pense avoir à peu près compris. Tout cela signifie que la Terre peut faire éclater la Lune à force de l’étirer. Beuf !….. J’avais déjà peur que la Lune me tombe sur la tête, mais si elle a l’intention d’éclater, qu’elle me laisse au moins le temps de préparer mes valises! PA - Tu peux remercier la force de gravitation qu’exerce la Lune sur elle-même, force qui s’oppose à son éclatement et la force électromagnétique qui donne à la matière lunaire toute sa cohésion, sa solidité. Notre cher satellite nocturne résiste parfaitement. N’empêche que, puisque la Lune présente toujours la même face à la Terre, elle doit être en conséquence étirée dans cette direction par la force de dislocation ; on constate effectivement en regardant la Lune de profil par satellite interposé, que son diamètre dans la direction de la Terre est un peu plus grand que dans les autres directions. JO - J’y pense : la Lune doit à son tour exercer une force de dislocation sur la Terre ? PA - Bien sûr. Ne devines-tu pas ses effets ? JO - Euh ! En tous cas la Terre n’a pas éclatée…Peut-être les marées ? PA - Oui. Son influence sur les océans produit les marées, sans oublier aussi les marées terrestres de moindre amplitude. Nous y reviendrons chapitre suivant (ch.16). 2 - Les anneaux de Saturne. PA - Les images de la planète Saturne que donnaient les médiocres instruments avant le milieu du 17ième siècle, étaient sujettes à des interprétations variées et souvent fantaisistes : les Anciens y voyaient une planète avec des cornes, des oreilles, d’autres avec deux boules latérales et ceux là l’appelaient la « trijumelle », d’autres encore voyaient une planète ovale. En 1655, le célèbre astronome hollandais Huygens (1629-1695) comprend les facéties de Saturne : la planète est couronnée de magnifiques anneaux plats que l’on voit de la Terre, tantôt par dessous, tantôt par la tranche, tantôt par dessus, ce qui explique ces diverses interprétations ; c’est un peu comme si vous tourniez autour d’un Mexicain dont le grand sombrero est penché en arrière. De face vous voyez le dessous des bords du sombrero, de derrière le dessus, et de profil la tranche. En réalité, c’est plutôt Saturne, le sombrero, qui tourne autour de vous sur Terre, mais cela ne change rien à l’affaire. Saturne a une période de révolution d’environ 30 années et une orbite de rayon 10 ua, donc 10 fois le rayon de l’orbite terrestre. Aussi, sur Terre, nous sommes pour Saturne au voisinage du centre de son orbite. Notons que le plan des anneaux dans le plan équatorial de Saturne, est incliné d’environ 27° par rapport au plan de l’orbite (l’écliptique).

- 143 –

En conséquence (fig.15-2), nous observons de la Terre les anneaux par dessous et l’hémisphère sud de Saturne en (a), comme cela a été le cas en 2003. Nous reverrons cette même configuration 30 ans plus tard en 2033.

Pour passer de (a) en (b) il doit s’écouler 7.5 années ; nous observerons donc en 2010-2011 les anneaux par la tranche dans la position (b), comme cela a été le cas 15 ans plus tôt en 1996, position représentée en (d). Les tranches apparaissent naturellement tous les 15 ans. JO - Donc nous observerons en 2018 les anneaux par dessus et l’hémisphère nord de Saturne en (c) . Nous retrouverons cette configuration en 2048. PA - Exact. Nous avons dessiné aussi l’aspect des anneaux entre les positions (c) et (d) pour montrer que le basculement du plan des anneaux vu de la Terre pouvaient faire croire aux Anciens à des cornes, oreilles, etc ... avec une bonne imagination et de mauvais instruments. NOTE - Jupiter, Uranus et Neptune possèdent également des anneaux, mais ils sont beaucoup moins visibles que ceux de Saturne. Uranus en a onze et Neptune six ; ils sont fins et ténus. Le 5ième anneau de Neptune présente trois régions plus denses et le dernier est même fragmenté en arcs de matière.

- 144 –

3 - Impossibilité de s’agglomérer en deçà d’une distance limite. PA - On sait maintenant que les anneaux de Saturne sont constitués de particules de toutes tailles : poussières, roches généralement recouvertes de glace d’eau ou simples blocs de glace… dont les dimensions s’échelonnent du micron à la centaine de mètres mais dépassent rarement le kilomètre. Nous allons essayer de montrer encore une fois avec un modèle très simple, qu’en deçà d’une certaine distance dlim du centre de Saturne, les divers blocs constituant les anneaux ne peuvent pas rester accolés et donc s’agglomérer. Nous allons donc supposer que nous avons deux sphères identiques de glace d’eau poussiéreuse, de rayon 1m, de masse m, qui se sont attirées par la force de gravitation jusqu’à être en contact au point K. Ce point est le centre de masse du système des deux sphères. Nous plaçons l’ensemble des deux blocs sphériques dans le champ gravitationnel de Saturne ; ils sont donc soumis à l’attraction de Saturne et l’ensemble tourne à une certaine distance d du centre de cette planète (fig.15-3).

Nous admettons que les deux sphères ne subissent pas l’influence d’autres blocs dans le voisinage, qu’elles ne tournent pas autour du point de contact K et que leurs centres sont alignés sur la droite « centre de Saturne-point K ». Le bloc1 est le bloc le plus près de Saturne. Nous devons évaluer les deux forces antagonistes qui agissent sur les deux blocs : la force de cohésion et la force de dislocation. Nous appelons force de cohésion fcoh , la force de gravitation qui maintient ensemble les deux blocs de glace.

- 145 –

Il y a aussi une force de dislocation fdisl créée par l’attraction de Saturne et par la force centrifuge, toutes deux différentes sur les deux blocs, qui tendent à les séparer. Puisque les centres des deux blocs et de Saturne sont alignés, fdisl est maximum dans cette configuration. Nous calculons ensuite la distance dlim de l’ensemble des deux blocs au centre de Saturne où la force de cohésion est égale à la force de dislocation (Ex 15-1). Il est clair alors qu’en deçà de cette limite dlim les blocs ne peuvent plus rester accolés puisque fdisl augmente quand on s’approche de Saturne, alors que fcoh ne change pas. Le résultat du calcul est : dlim ≈ 148000 km. Le bord extérieur du dernier anneau visible de la Terre (anneau A) avec un petit télescope est à une distance d’environ 140000 km du centre de Saturne (fig.15-4). Des anneaux très ténus s’étendent encore bien au delà .

Le calcul effectué avec ce modèle simple ne donne en fait qu’un ordre de grandeur ; aussi la distance obtenue de 148000 km peut varier dans d’assez larges proportions. Toutefois l’intérêt de ce calcul est de montrer que des blocs de glace ou (et) de roches de dimension de l’ordre de quelques mètres ne peuvent s’accoler et s’agglomérer en deçà d’environ 150000 km, ce qui semble correspondre assez bien à la réalité.

- 146 –

Cette valeur de 148000 km n’est pas non plus en désaccord avec celle donnée par la limite de Roche pour Saturne supposée liquide qui est de 147000 km (voir ci-dessous). Remarque - On peut noter que le calcul ne dépend en fait que de la densité des deux blocs sphériques de glace et non de leur taille ; les deux blocs pourraient donc être en principe plus petits ou plus gros sans toutefois exagérer. Attention, on ne regarde pas ici la dislocation d’un morceau de glace unique comme dans (15-1), mais la possibilité de deux blocs à s’agglomérer ou non. Un grain de sable unique ou un petit morceau de glace unique peuvent très bien s’approcher de Saturne sans être disloqués à moins de 150000km. L’existence des anneaux de Saturne n’est pas encore très bien comprise. Les nombreux petits satellites en orbite autour de Saturne dans une gamme de rayons allant de 130000 à 150000km environ comme Pan, Atlas…Janus, puis plus loin Mimas, Encelade ou Téthys…autour de 200000 km, ont certainement une influence non seulement sur les anneaux eux-mêmes mais aussi sur leurs séparations comme la célèbre division de Cassini. La présence des anneaux plaide toutefois en faveur d’une distance en deçà de laquelle un gros satellite naturel ne peut pas se former trop près de sa planète ou alors s’en approcher trop près sous peine d’éclater. On a imaginé il y a quelque temps, que la ceinture d’astéroïdes entre Mars et Jupiter pouvait provenir de l’éclatement d’une planète soumise à l’influence de Jupiter. Il semble plus probable que cette ceinture soit un reste d’embryons planétaires du disque proto-planétaire qui existait au moment de la formation du système solaire (ch.25-2), et que l’influence de Jupiter ait empêché ces embryons de s’agglomérer. La planète Neptune dont le rayon équatorial est 24764 km, possède un gros satellite Triton dont le diamètre est d’environ 3500 km, voisin de celui de la Lune (3476 km). Triton tourne à seulement 355000 km de Neptune dans le sens rétrograde sur une orbite très inclinée par rapport au plan équatorial de la planète et a tendance à se rapprocher d’elle. Il se pourrait que dans une centaine de millions d’années, s’étant trop approché de Neptune, il se désagrège en un magnifique anneau autour de Neptune. JO - On peut imaginer le spectacle ! 4 - La limite de Roche. PA - Considérons un satellite qui tourne autour d’une planète de rayon R. En 1849 le mathématicien français Edouard Roche a démontré que si le satellite supposé liquide mais maintenu quand même sphérique par la force gravitationnelle, s’approche de la planète à moins de : 2.44.R , il se désagrégera. Cette limite a été appelée « limite de Roche ». Si le satellite est solide, il résiste mieux à l’éclatement et peut ainsi s’approcher davantage de sa planète. Pour Saturne (supposée liquide) la limite de Roche est : 2.44 . 60268 ≈ 147 000 km. Pour Neptune la limite de Roche est : 2.44 . 24764 ≈ 60 000 km, à comparer avec la distance 355 000 km entre Neptune et Triton. Il y a encore de la marge …pour le moment. Pour la Lune (supposée liquide), la limite de Roche est : 2.44 . 6400 soit environ 16000 km. Un calcul du type de ceux faits dans ce chapitre, mais où la Lune est solide comme il se doit, descend cette limite à environ 10000 km. JO - Bon alors je peux dormir tranquille et je défais ma valise, car la Lune est quand même à 384 400 km ….et j’écouterai pour m’endormir cette belle histoire….

- 147 –

Histoire de l’âne Toubibo. Il était une fois un fermier qui avait deux jeunes fils Giacomo et Tonino et un joli petit âne. Le fermier était malade depuis très longtemps et les médecins n’avaient jamais réussi à le guérir ; c’est pourquoi il avait baptisé son âne Toubibo. Giacomo et Tonino rentraient à la ferme avec Toubibo après une journée de travail. Mais le chemin passait à proximité d’un champ de chardons malheureusement inaccessible au petit âne. A cet endroit magique, Toubibo s’immobilisait systématiquement ; impossible de le faire bouger ; l’attraction du champ de chardons était irrésistible. Giacomo qui se prenait pour Van Gogh, aurait bien voulu ramasser quelques belles boules bleutées épineuses à défaut de tournesols, pour en faire un bouquet qu’il peindrait à la maison ; mais Tonino qui était tombé très jeune dans un bosquet de chardons, avait horreur de cette plante et trouvait qu’ils étaient déjà assez en retard comme cela. Aussi pour sortir de l’affrontement avec cet entêté de Toubibo, Giacomo tirait l’âne par la bride pour le faire avancer en direction des chardons, mais Tonino le tirait en même temps par la queue pour le faire reculer ; ils ne faisaient naturellement qu’étirer sur place le pauvre Toubibo qui de plus, n’avait pas du tout l’intention de se disloquer. Toubibo ne trouvait pas les deux fils spécialement intelligents et pour faire durer le plaisir, il s’efforçait de tenir sa posture de statue en souriant sous cape. En réalité à force de passer la plupart de ses nuits dehors à côté de la ferme et de contempler le ciel étoilé, il avait acquis quelques connaissances sur la gravitation. Il avait alors tout de suite compris que le champ de chardons à l’attraction irrésistible était la Terre, lui la Lune et que, soumis à cette attraction presque gravitationnelle du champ de chardons, il avait trouvé à cet endroit magique l’emplacement optimum ; enfin les deux gamins qui l’étiraient, simulaient parfaitement la force de dislocation. Mais il avait déjà calculé qu’ il était bien au delà de la limite de Roche et qu’ il ne risquait rien. Comme quoi les médecins ne sont pas si bêtes ! Entraînement. ** >>>>> Ex 15-1 - Agglomération de deux blocs de glace autour de Saturne ? Pour cet exercice il est conseillé de regarder (ch.18-2 et 19-1). On considère les deux blocs de glace de masse m décrits au (ch.15-3) et (fig.15-3). L’ensemble tourne autour de Saturne d’un mouvement circulaire uniforme à la vitesse angulaire ω . On donne : masse M de Saturne : 5.71 1026 kg . Rayon équatorial de Saturne : R = 60268 km. On prendra pour la masse volumique de la glace poussiéreuse : ρ = 1 g/cm3. Pour commencer écrivons l’équation du centre de masse K des 2 blocs: la force de gravitation F exercée sur l’ensemble des 2 masses est égale et opposée à la force centrifuge C : G M 2m / d² = 2m . ω² . d soit : G M m / d² = m . ω² . d (5) La force de cohésion qui maintient les 2 blocs en contact est la force de gravitation entre eux :

fcoh = G . m² / 4 r² (6) La force de dislocation fdisl-grav des 2 blocs est la différence entre les forces F1 et F2 d’attraction gravitationnelle de Saturne exercées sur les blocs 1 et 2 respectivement.

- 148 –

fdisl-grav = F1 - F2 avec : F1 > F2 car le bloc 1 est le plus proche de Saturne. F1 = G M m / ( d – r )² et F2 = G M m / ( d + r )² fdisl-grav = G M m . [ 1 / ( d – r )² - 1 / ( d + r )² ] soit :

( ) ( )

+−

−⋅=

222dislr/d1

1

r/d1

1

d

GMmf

Nous commençons à avoir l’habitude d’évaluer les fractions dans le cas où r << d , ce qui est vérifié ici. Le crochet vaut : ( 1 – r /d )-2 – (1+ r /d )-2 ≈ 1 + 2r / d – ( 1 – 2r / d ) ≈ 4r / d et donc : fdisl-grav ≈ (G M m /d²) . (4r /d) (7) Evaluons ensuite la force de dislocation due aux effets centrifuges : fdisl-centri = C2 – C1 = m . ω² [ (d + r) – (d - r) ] = m ω² . d . (2r/d) (8) Compte tenu de (5), la force de dislocation : fdisl = fdisl-grav + fdisl-centri devient : fdisl = (G M m /d²) . (4r /d) + (G M m /d²) . (2r /d) fdisl = (G M m /d²) . (6r /d) (9) Nous faisons enfin le rapport γ de fcoh et fdisl données par (6) et (9). Les 2 blocs de glace sont prêts à se séparer lorsque : fcoh = fdisl et : γ = 1 γ ≈ fcoh / fdisl ≈ m . d3 / (24 M . r3 ) = (m /24 M) . ( d / r )3

γ = 1 pour la valeur dlim de d telle que : (dlim / r )3 ≈ 24 M / m, ce qui donne :

dlim ≈ r . (24 M / m )1/3 ou dlim ≈ r . 3√ (24 M / m) (10) Remarquons que la masse m est proportionnelle à r3, donc dlim ne dépend que de la masse volumique ρ des blocs. Calculons cette limite dlim. La masse m d’une sphère est : m = ρ . V et : V = 4/3 . π . r3 Avec ρ = 1 g /cm3 = 1000 kg / m3 on trouve : m = 4189 kg A l’aide de (10) nous obtenons la limite : dlim ≈ 1 . 24. 5.71 1026 / 4189 )1/3 ≈ 1.48 108 m Nous trouvons à l’aide de ce modèle de deux blocs sphériques et solides de glace :

dlim ≈ 148 000 km

** <<<<<

<<<<<<<<<<>>>>>>>>>> BIB : (2-3-6)

- 149 –

16 - LA MAREE Les marées sont produites par les forces de dislocation exercées par la Lune et le Soleil sur la Terre, forces que nous venons de voir (ch.15) et qui sont en quelque sorte des résidus d’attractions gravitationnelles et de forces centrifuges. 1 - Un phénomène dû à la Lune et au Soleil. JO - Déjà finies les vacances en Bretagne ! oubliées la plage, la marée basse, la pêche aux palourdes….Tiens, à propos, on m’a posé des questions sur les marées. J’ai répondu qu’elles étaient dues à l’attraction de la Lune et du Soleil ; mais j’avoue avoir plutôt bafouillé dans mes explications….. PA - Il ne faut pas s’étonner, le phénomène des marées n’est pas un phénomène simple. On en a certes, bien compris le principe : les marées sont dues effectivement aux attractions gravitationnelles de la Lune et du Soleil exercées non pas uniquement sur les oceans mais aussi sur la terre prise globalement. Pour décrire le phénomène en détail, il faut tenir compte d’une multitude de choses qui rendent cette description très difficile. Pour les Anciens la marée était quelque chose de plutôt étrange. Certains pensaient qu’elle était une sorte de respiration de la Terre ; d’autres pensaient que d’énormes masses d’eau oscillaient dans de gigantesques cavernes souterraines. Il est vrai qu’en Méditerranée où les marées sont très faibles, il était difficile de se faire une idée correcte du phénomène. Dans les premiers siècles av.JC., le navigateur Pythéas le Massaliote (né à Massilia - Marseille) qui avait voyagé jusqu’en Ecosse, et le philosophe grec Posidonios avaient remarqué des coïncidences entre les marées et le mouvement de la Lune et du Soleil. Bizarre, bizarre…. Plus tard le célèbre Galilée réfléchit à ce difficile problème, puis finit par douter de l’influence des astres et finalement laissa tomber le sujet. Il est vrai qu’on ne pouvait comprendre clairement le phénomène tant que l’on n’avait pas découvert la loi de l’attraction universelle ; Newton l’établit peu de temps après en 1687. Avec cet excellent outil, il tenta de s’attaquer à ce problème ardu en prenant des modèles très simples comme celui d’une Terre entourée partout d’un océan de même profondeur, mais les résultats furent décevants particulièrement en ce qui concerne l’amplitude des marées bien trop inférieures à celle des grandes marées observées. 2 - Tentative d’explication. PA - Pour essayer d’y voir clair, nous commençons par prendre comme toujours une situation simple. Nous ne considérons que l’attraction gravitationnelle de la Lune et nous oublions pour le moment le Soleil. Il joue pourtant un rôle assez important dans ce phénomène des marées ; son influence est environ deux fois moins forte que celle de la Lune car bien qu’il soit énorme par rapport à la Lune, il est 400 fois plus éloigné de la Terre que ne l’est notre satellite. La Lune exerce sur la Terre la force de Newton F dont nous connaissons bien maintenant la valeur :

F = G . ML . MT / d² (1)

où ML et MT sont les masses de la Lune et de la Terre. La distance Terre-Lune d (384400 km) est la distance d’équilibre à laquelle la force centrifuge C compense la force de gravitation.

- 150 –

Nous supposons comme dans les modèles les plus simples utilisés par Newton, une Terre un peu spéciale, sans continents, entourée partout d’océans qui forment une couronne sphérique d’égale épaisseur. Elle est représentée avec exagération sur la figure 16-1a. Sur cette figure, la Lune est absente. Nous supposerons dans les figures 16-1b et 16-1c où la Lune est présente, que celle-ci tourne dans le plan équatorial de la Terre. La Terre est vue de dessus, du pôle Nord PN. Fig.16-1b nous approchons la Lune de la Terre en la plaçant arbitrairement dans la direction 15h. Comme nous raisonnerons sur une journée, nous supposons encore que dans une journée la direction de la droite Terre-Lune ne change pas ; ce qui n’est pas tout à fait vrai car la Lune fait le tour de la Terre en un petit mois, donc en un jour elle se déplace d’environ ≈ 13° autour de la Terre. Que va-t-il se passer ? JO - Alors ça c’est fastoche ! La Lune va attirer dans sa direction tout l’océan qui va donc former un renflement d’océan du côté de la Lune, dans la direction 15h (fig.16-1b). PA - Le renflement de l’océan dans la direction 15h de la Lune se maintient évidemment dans cette direction pendant que la Terre tourne : l’océan se déforme ainsi sans arrêt, à la manière d’un tapis sous lequel un chat se déplacerait. Bien. S’il en est ainsi, imagine un Breton qui se réveille à 7h du matin pour aller à la pêche. Que va-t-il observer tout au long de la belle journée qui s’annonce pendant que la Terre tourne ? JO - D’abord il fait comme toi et dit à 8h du matin à sa femme : « la mer commence à monter ; vite ! Mon petit déjeuner ! Je pars à la pêche dans cinq minutes ». En fait, il sort de la maison une heure plus tard, oubliant la moitié de son matériel. De 9h à midi notre pêcheur constate que la mer monte (l’épaisseur de l’océan bleu sur la fig.16-1b croît). A midi il est temps de rentrer, bredouille comme d’habitude, car la mer va bientôt recouvrir le gué. A 15h c’est la marée haute. On est au sommet du renflement. Puis la mer redescend lentement de 15h…18h… jusqu’à 3h du matin….où notre pêcheur est alors au sommet du ronflement ; à 3h, c’est la marée basse. Ensuite la mer recommence à monter mais on est déjà le lendemain. PA - Combien il y a-t-il eu de marées hautes dans la journée ? JO - Euh !…Une seule….Oui une seule….il n’y a qu’un endroit où la mer est haute : dans la direction 15h. Attends….. là, tu commences à me démontrer que je suis bien tombée dans le panneau car en réalité il y a deux marées hautes ou basses chaque jour. Du moins c’est ce qu’on voit en Bretagne, n’est-ce pas ? Qu’est-ce que c’est que cette entourloupette ? PA - Rassure toi tu n’es pas la seule à te tromper. Interroge les gens autour de toi : il y en a 99 sur cent qui te donneront la même réponse. Si tu veux comprendre ton erreur ce serait une bonne chose de relire le chapitre 15 sur la force de dislocation.. JO - Bouff !…J’ai la flemme !….Cinq minutes s’il te plaît, j’espère que le petit âne Toubibo n’est pas parti !……..Peux-tu éclairer ma lanterne qui s’est éteinte ?

- 151 –

- 152 –

PA - Compare attentivement les figures 16-1b et 1c. L’erreur de raisonnement dans la figure 1b vient de ce que tu considères l’attraction de la Lune uniquement sur l’océan ; tu oublies complètement l’attraction sur la Terre entière. Nous ne sommes donc pas dans un état d’équilibre. Par contre il est important de remarquer (fig.1c) où l’on tient compte cette fois de l’attraction de la Lune sur la Terre entière, que la distance Terre-Lune s’est rétrécie par rapport à la figure (1b) jusqu’à la bonne valeur de 384400km. Nous sommes dans l’état d’équilibre imposé par la mécanique de Newton. La figure (1c) est la bonne. Dans cet état d’équilibre, nous avons vu (ch.15) que la Lune exerce deux forces sur la Terre : la force d’attraction habituelle (1) sur toute la Terre mais aussi une force de dislocation due à des effets gravitationnels et centrifuges : la moitié de la Terre la plus proche de la Lune est plus attirée par la Lune que le centre de la Terre et l’autre moitié l’est moins, ce qui provoque un étirement de la Terre sur la droite Terre-Lune. Comme l’océan est liquide, il va subir en priorité cet étirement et prendre ainsi la forme de ballon de rugby qui est encore une forme ellipsoïdale, représentée (fig.1c). Recommence maintenant la journée du pêcheur. JO - OK j’ai pigé. C’est clair que notre pêcheur du dimanche verra cette fois deux marées hautes chaque jour à 15h et à 3h du matin, deux marées basses à 9h et 21h ; il est évident aussi qu’il s’écoulera 6h et non 12h entre une marée basse et une haute. PA - Par conséquent s’il y a deux marées hautes et basses par jour, la période entre deux marées hautes est de 12h. On dit que le régime des marées « deux fois par jour » est semi-diurne. S’il n’y avait qu’une seule marée par jour comme dans la figure (1b), le régime serait diurne, avec une période de 24h . Introduisons maintenant l’influence supplémentaire du Soleil. A priori il va produire le même effet que la Lune à une moindre échelle. Quand Terre, Lune et Soleil sont très grossièrement alignés ce qui arrive aux moments de la pleine Lune (où la Terre est entre la Lune et le Soleil), et de la nouvelle Lune (où la Lune est entre la Terre et le Soleil ), les influences de la Lune et du Soleil donnant toutes deux des déformations en ballon de rugby (fig.1c), se renforcent : c’est la « vive-eau ». Aux moments des quartiers de Lune, les influences se contredisent : c’est la « morte-eau ». Attention, contrairement à ce que pensent la plupart des gens, la vive-eau ne se produit pas uniquement quand la Lune et le Soleil sont du même côté de la Terre ; ils refont alors la même erreur que plus haut. JO - Donc c’est lorsqu’il y a des éclipses de Soleil ou de Lune que les marées hautes sont les plus hautes ? 3 - Un phénomène qui n’est pas simple. PA - Hélas ce n’est pas encore aussi simple. Nous avons expliqué le phénomène des marées de type « deux par jour » à l’aide de la figure16-1c. Ceci n’est vrai malheureusement que si l’astre qui provoque les marées décrit un cercle à vitesse uniforme autour de la Terre, de plus dans le plan de l’équateur, que ce soit la Lune ou le Soleil. En réalité ces conditions ne sont guère respectées.

- 153 –

Ainsi on suppose souvent pour simplifier les problèmes, que la Lune décrit à vitesse uniforme un cercle autour de la Terre. On sait que ce n’est pas exact : la Lune décrit une ellipse autour de la Terre à vitesse variable dont l’apogée et le périgée diffèrent de 50000 km (ch.6-1). De plus, l’orbite de la Lune est inclinée d’environ 5° par rapport à l’orbite terrestre (ch.12-3 et 4). Situation identique pour le Soleil ; à cause de l’inclinaison de l’axe de rotation de la Terre de 23.5°, le Soleil est rarement dans le plan de l’équateur terrestre sauf au moment des équinoxes (ch.8-3) ; pensons aux marées d’équinoxes. La distance Terre-Soleil varie également puisque l’orbite terrestre est une ellipse et la vitesse de la Terre autour du Soleil n’est pas tout à fait constante. Les difficultés ne sont pas terminées. Les forces d’attraction gravitationnelles de la Lune et du Soleil sont les forces génératrices des marées ; elles agissent pratiquement indépendamment l’une de l’autre sur les océans. Ces forces sont périodiques parce que la Lune tourne autour de la Terre, la Terre autour du Soleil et surtout la Terre tourne sur elle-même ; c’est naturellement la rotation de la Terre qui génère une période de 12h des marées dans le cas idéalisé de la (fig.16-1c). De plus, lorsque l’attraction de la Lune ou du Soleil entrent en action, l’océan qui possède une énorme masse ne réagit pas immédiatement parce qu’il a une grande inertie. Autrement dit, l’action des forces d’attraction n’est pas instantanée. On comprend alors que les marées ne puissent plus suivre exactement le rythme des forces génératrices périodiques qui les créent et se décalent par rapport à elles. La rotation de la Terre plus rapide bien sûr que la révolution de la Lune autour de la Terre, et l’inertie de l’océan qui ne réagit pas instantanément à l’attraction lunaire, ont pour effet d’entraîner le ballon de rugby des marées dans le sens de la rotation de la Terre de telle sorte que son axe est décalé par rapport à la direction Terre-Lune ; le décalage est d’environ 3°. C’est pourquoi par exemple la haute mer n’a pas lieu exactement dans la direction Terre-Lune comme cela est représenté sur les figures, mais prend du retard par rapport à cette direction. La Lune voudrait pourtant ramener l’axe du ballon de rugby des marées dans la direction Terre-Lune. Elle essaie de le faire par attraction gravitationnelle sur ce ballon de rugby, ce qui freine la rotation de la Terre. Un autre phénomène assez fréquent vient encore perturber les marées : celui de résonance. Prenons une baignoire à moitié pleine et poussons l’eau d’un côté avec les deux mains que nous retirons tout de suite. L’eau va osciller d’un côté à l’autre. Pareillement aspirons un peu un océan puis laissons-le retomber ; cette énorme masse d’eau va continuer à osciller en se gonflant et se dégonflant à son propre rythme appelé période propre. Mais les forces génératrices des marées sont aussi périodiques. Quand la période d’une force génératrice se rapproche puis s’accorde à la période propre de l’océan, il se produit une amplification de l’oscillation ; il y a un phénomène de résonance qui peut augmenter considérablement la hauteur de la marée . JO - Période propre ? Je n’ai pas compris la résonance ! PA - Je prends un autre exemple : lorsque j’étais gamin, un vieil et brave homme me montrait un jour comment faire sonner la grosse cloche de la vieille église d’un petit village. J’arrivais dans le clocher au moment où justement la cloche finissait de sonner ; la corde de la cloche montait et descendait toute seule au rythme du balancement de la cloche ; ce rythme était la période propre de la cloche ; cette période ne dépendait que de la cloche et non du vieil homme ni de personne d’autre. Il m’expliquait que si on veut sonner correctement, on a tout intérêt à tirer sur la cloche au même rythme, sinon soit on tire dans le vide soit on reçoit de bons chocs dans les bras. Par

- 154 –

ailleurs si on ne le fait pas, on a un mal fou à faire démarrer la cloche. Par contre si on respecte la période propre de la cloche, il suffit de donner une petite traction sur la corde au même rythme pour lui donner un balancement de plus en plus fort en toute facilité. JO - C’est la même chose lorsque je pousse quelqu’un sur une balançoire. Je dois donner une petite poussée au rythme de la balançoire. PA - Oui. Les physiciens disent que la période de la force génératrice ou excitatrice (les attractions lunaire et solaire) qui aspire l’océan ou de celui qui tire sur la corde ou pousse la balançoire, entre en résonance avec la période propre du système oscillant (l’océan, la cloche ou la balançoire). Terminons par cette dernière remarque évidente mais très importante : la forme des continents particulièrement des golfes et des détroits, et le relief des fonds océaniques perturbent et ont une influence considérable sur le mouvement des marées. D’après ce qui vient d’être vu, on comprend qu’il soit très difficile de tenir compte de tous ces effets qui dépendent en plus de l’endroit où l’on se trouve, et qui peuvent donner des marées totalement différentes de celles obtenues avec des hypothèses trop simples. Bien que Newton ait montré la bonne voie à suivre, ses résultats décevants sont dus en partie à ce qu’il lui était impossible à l’époque de prendre en compte tous les points que nous venons de souligner. 4 - L’explication de Laplace et de Poincaré. PA - Pour éclaircir cette situation embrouillée, il a fallu attendre les mathématiciens Laplace (1749-1827), puis Henri Poincaré (1854-1912). Examinant tous ces effets perturbateurs, ils arrivèrent à la conclusion suivante : en chaque point du globe terrestre, la force résultante de l’attraction de la Lune et du Soleil qui provoque les marées, peut être décomposée en plusieurs sous-forces ou « composantes » produisant des marées : une composante diurne du type « une par jour » (de période 24h), l’autre semi-diurne « deux par jour » (de période 12h), et même des composantes du type « quatre par jour » ou plus encore…. chacune avec un poids différent qui dépend de l’endroit où l’on se trouve, les poids des deux premières étant prépondérants. Et ceci pour chaque astre Lune et Soleil, séparément. On additionne enfin toutes ces composantes pour connaître enfin la marée locale. JO - Tu veux dire que les marées « une fois par jour » diurne et « deux fois par jour » semi-diurne ont le plus d’importance ? Attends la marée diurne c’est celle représentée figure 16-1b. Je croyais qu’elle était fausse, et la voilà qui ressort du chapeau ! PA - Attention, la marée diurne n’apparaît pas dans les conditions de la figure 16-1b où la Lune et le Soleil sont supposés être dans le plan équatorial. La marée diurne est effectivement nulle dans ce cas. Elle n’apparaît que dans les cas qu’il ne faut justement pas négliger du paragraphe précédent. En réalité c’est bien la marée semi-diurne qui semble avoir un rôle un peu plus important que la marée diurne, mais de toute façon les deux modes sont nettement prépondérants par rapport aux autres modes « quatre fois par jour » , etc….

- 155 –

Finalement en tout point du globe, la nature fait un savant dosage de marées de différents types. Figure (16-2) nous donnons les hauteurs des marées chaque jour pendant un mois pour quatre principaux types.

Dans l’océan Atlantique la marée « deux fois par jour » l’emporte de loin (Brest). Donc tu retombes bien sur tes pieds : en Bretagne la marée est semi-diurne, il y en a bien deux par jour. On enregistre les amplitudes de marées les plus hautes dues au phénomène de résonance, dans la baie de Fundy au Canada (17m) et au Mont St Michel (15.5m). Par contre dans le Pacifique la marée de type « une par jour » prend de l’importance au point qu’il n’y a vraiment qu’une seule marée par jour sur certaines côtes de pays comme le

- 156 –

VietNam ou les côtes de la mer d’Okhostk au nord-est de l’Asie. C’est d’ailleurs dans cette mer que l’on a relevé les amplitudes de marées diurnes les plus hautes (11m) (analogue à Dô Son, mais avec une amplitude bien plus grande). De façon générale l’amplitude des marées diurnes sont un peu plus faibles que celles des marées semi-diurnes. Dans l’Océan Indien et également le Pacifique, les modes semi-diurne, diurne et autres interférent parfois fortement ; par endroit nous avons affaire à des marées « à inégalité diurne » où certains jours du mois la marée est diurne puis devient semi-diurne d’autres jours (du 10ième au 14ième jour et du 23ième au 27ième jour - Cap St Jacques), ou enfin à des marées « mixtes » où par moment la mer donne l’impression de ne plus savoir si elle doit monter ou descendre (Qui Nhon ). JO - C’est amusant de constater sur ces enregistrements que le mélange des marées de différents types donne des résultats aussi différents. PA - Tu trouveras souvent le même phénomène en physique. En acoustique par exemple. Imagine trois instruments : un piano, une flûte, un hautbois. On joue avec ces trois instruments la même note, un ré par exemple. Nous entendons distinctement le ré de chaque instrument mais nous reconnaissons aussi parfaitement l’instrument qui l’a produit. En fait chaque instrument émet un son qui correspond à une vibration sonore de période précise donnant le ré, plus des tas d’autres vibrations de périodes différentes qui se superposent à la première mais avec des poids différents pour chaque instrument. C’est cette répartition des poids différente pour chaque instrument, qui caractérise le timbre de l’instrument et permet de l’identifier. 5 - Et la terre de la Terre ? PA - La croûte Terrestre subit elle aussi des marées, donc les continents, mais la hauteur des marées terrestres est au maximum de quelques dizaines de centimètres ; ce déplacement est cependant tout à fait observable. JO - Encore autre chose. On dit que les mouvements des marées ralentissent la durée du jour. Est-ce vrai ? Ah si cela me permettait d’allonger les vacances dans cette belle Bretagne ! PA - C’est vrai ; le frottement des marées contre les fonds océaniques dissipe de l’énergie et est la cause principale du ralentissement de la rotation de la Terre d’environ 0.001s à 0.002s par siècle. Malgré cette faible valeur, nous avons vu (ch.7-1) que depuis la création de la Terre il y a 4.5 milliards d’années, le ralentissement de sa rotation a allongé la durée de la journée d’un facteur 2 ou plus, en admettant que le ralentissement n’ait pas varié au cours du temps. Les spécialistes noteront aussi que si la Terre perd de l’énergie de rotation. Cela provoque un éloignement de la Lune pour compenser cette perte, mais ces effets sont très faibles. L’éloignement est de l’ordre du centimètre par an. Tout se passe comme s’il y avait une « quantité déterminée de rotation » pour le système Terre-Lune auquel contribue en partie la rotation de la Terre ; si celle-ci ralentit sa rotation, la distance Terre-Lune doit augmenter pour compenser cette « perte de rotation » et conserver pour ainsi dire la « quantité totale de rotation ». En fait ce phénomène est du à la conservation d’une grandeur physique que nous avons déjà rencontrée, le moment cinétique (ch.6-2).

<<<<<<<<<>>>>>>>>>> BIB : (4-6-8)

- 157 –

17 - TOURNE LE MANEGE

Fil d’Ariane : 3-4-5-6-7-9-10-17 Nous reprenons le fil d’Ariane avec ce chapitre destiné à ceux qui ne sont pas habitués aux notions de vitesse angulaire ou tangentielle, d’accélération centripète….Il est important de bien les comprendre avant d’aborder la force centrifuge (ch.18). 1 - La fête foraine. PA - Nous envisageons très souvent des mobiles qui se déplacent sur un cercle à vitesse v constante. On dit que ces mobiles ont un mouvement circulaire uniforme. C’est le cas des chevaux de bois d’un manège, de la Terre autour de l’axe des pôles, de la révolution des planètes autour du Soleil en première approximation. Pour comprendre la suite, il est utile de connaître les notions de radian, période ...(cf. A.I ). Imaginons que toi JO et ta copine JU, vous êtes à la fête foraine et que vous avez pris place dans un manège de petites voitures-bulles monoplaces fixées au manège (fig.17-1).

- 158 –

Tu t’installes JO, dans la voiture-bulle n°1 qui se trouve à la distance R1 = 9m du centre du manège et toi JU dans la bulle n°2 à la distance R2 = 5m du centre. Vos bulles sont sur un même rayon du manège dessiné en rouge. Lorsque le manège tourne, vous imaginez ce rayon rouge fictif comme un grand balai d’essuie-glace. A l’instant de départ au temps t = 0 , vous êtes toutes les deux sur l’axe Ox qui nous sert de repère. Etes-vous prêtes ? Le manège démarre. Maintenant il tourne régulièrement, à vitesse uniforme ; il fait un tour en 6s. La période T de rotation du manège est donc 6s. Pendant le temps T quel angle le rayon rouge a-t-il balayé ? JO - Puisque nous avons fait un tour, il a balayé 360°. PA - Interdiction de parler en degrés ; je veux des radians! Un tour vaut : 2π rad.

2 - La vitesse angulaire. PA - Et chaque seconde quel angle balayez-vous ? JO et JU - Il faut diviser l’angle de 2π par 6 puisque nous mettons T = 6s pour faire un tour. Ce qui fait : 2π / 6 = 1.047 rad/s (chut !….équivalent à 360/6 = 60° /s). PA - Cet angle balayé par seconde est la vitesse angulaire. On l’écrit généralement ω. La vitesse angulaire s’exprime en rad/s. Votre vitesse angulaire est donc :

ω = 2π / 6 = 1.047 rad/s Le manège et toutes ses voitures-bulles ont cette même vitesse angulaire ω. Tous les points d’un solide en rotation ont même vitesse angulaire. Remarquez que la vitesse angulaire ω est un angle par seconde ; elle ne dépend pas de la distance du point à l’axe de rotation, c’est à dire pour vous, des rayons R1 et R2. Notez que tous les Terriens ont même vitesse angulaire, celle de la Terre. De façon générale lorsqu’on fait le tour d’un cercle à vitesse uniforme, si on balaie un angle de 2π rad. pendant la période T , la vitesse angulaire est :

ω = 2 π / T ou : ω = 2 π N (1)

puisque la fréquence N est l’inverse de la période : T = 1 / N. Si on balaie un angle de α rad pendant p secondes, la vitesse angulaire sera évidemment :

ω = α / p (2) Exemple 1 – Une dent d’une roue d’engrenage tourne de α = 30° en p = 8s . Puisque 30° correspondent à : α = π / 6 rad , la vitesse angulaire sera :

ω = (π / 6 ) / 8 = π / 48 = 0.065 rad/s

Exemple 2 – Vitesse angulaire d’une roue de machine tournant à N = 100 tours/s.

ω = 2π . 100 = 628.3 rad/s Exemple 3 - Vitesse angulaire de rotation de la Terre.

- 159 –

La Terre fait un tour sur elle-même en T = 24h, soit 86400s. Donc :

ω = 2 π / 86400 = 7.272 10-5 rad/s 3 - La vitesse tangentielle. PA - Reprenez vos places dans les bulles ; pendant une période T , dites-moi quelle longueur vous avez parcourue pour un observateur à terre comme moi qui vous regarde tourner ? JO - J’ai parcouru un grand cercle de longueur L1 = 2 π R1 soit : L1 = 56.55m. JU - Et moi un cercle de longueur L2 = 2 π R2 soit :L2 = 31.42m. PA - Bien que vous ayez la même vitesse angulaire, remarquez que JU a parcouru une distance plus petite que JO pendant le même temps T. Quelles étaient vos vitesses ? JO - Puisque je parcours L1 pendant le temps T, ma vitesse est : v1 = L1 / T , v1 = 9.42 m/s JU - Et pour moi, v2 = L2 / T soit : v2 = 5.24 m/s. PA - Bien, vous n’êtes pas trop mauvaises en calcul. Les vitesses que vous venez de calculer sont appelées vitesses tangentielles (on dit parfois vitesse tout court ) parce qu’elles sont tangentes aux cercles que vous avez parcourus. Comme toute vitesse, elles s’expriment en m/s. Elles dépendent de la distance R du mobile à l’axe de rotation : plus R est grand, plus la vitesse est élevée. Une personne au centre du manège a évidemment une vitesse tangentielle nulle ( R = 0) Rappelons que les vitesses sont des vecteurs v1 et v2 . Vous venez de calculer les normes v1 et v2 de ces vecteurs .

PA - Nous pouvons maintenant exprimer la vitesse tangentielle v en fonction de la vitesse angulaire ω. Rien de plus simple si l’on sait que la longueur d’un arc de cercle est égale au rayon R multiplié par l’angle intercepté en radians (A.I -1) ; il suffit d’écrire cela chaque seconde :

v = R . ω (3) Si R est en mètres, ω en rad/s, v est en m/s. Les radians ne comptent pas dans les unités. La formule (3) montre que pour une même vitesse angulaire ω, plus R est grand, plus on est loin du centre de rotation, plus la vitesse tangentielle est grande. Exemple 4 - Retrouvons la vitesse tangentielle de JO ; le rayon de sa trajectoire était R = 9m, et ω était 1.047 rad/s. Donc :

v1 = 9 . 1.047 = 9.42 m/s Exemple 5 - Vitesse tangentielle d’une personne à l’équateur. Nous supposons la Terre sphérique de rayon : R = 6370 km (fig.17-2). Nous avons vu ci-dessus que la vitesse angulaire est :

ω = 7.272 10-5 rad/s Donc :

v = 6370 . 7.272 10-5 = 0.463 km/s

- 160 –

JO - Ainsi une personne à l’équateur tourne à cette vitesse de 463 m/s !

PA - Bien sûr. Et parce qu’elle tourne à cette vitesse, son poids diminue légèrement comme nous l’avons déjà vu (ch.7). JO - Et nous en France, nous devons tourner à une plus faible vitesse parce que nous sommes plus proches de l’axe de rotation de la Terre qu’à l’équateur ? PA - C’est exact. En admettant que nous sommes à la latitude 45°, le rayon de rotation r à cette latitude (fig.17-2) est : r = R / √ 2 = 6370/ √ 2 = 4504 km .

Puisque notre vitesse angulaire est la même qu’à l’équateur, notre vitesse tangentielle est réduite dans ce rapport √ 2 , ce qui donne environ : 463 / √ 2 = 327 m/s.

JU - Une question : Est-ce que les anneaux de Saturne tournent tous à la même vitesse angulaire ? PA - Bonne question. Non, puisque l’ensemble des anneaux ne forme pas un disque solide, chaque anneau étant de plus constitué de myriades de blocs de glace et de roche. Les anneaux ne tournent donc pas à la même vitesse ; les plus proches de Saturne tournent plus vite que les plus éloignés. Il en est de même pour la révolution des planètes autour du Soleil.

- 161 –

4 - Angle parcouru en fonction du temps dans le mouvement circulaire uniforme. PA - Connaissant la vitesse angulaire constante ω, il est facile de voir que l’angle dont vous avez tourné pendant le temps t est proportionnel à ce temps :

θ = ω . t (4)

Il est clair que si vous « balayez » dans votre manège : 1.047 rad (ou 60° ) à chaque seconde, au bout de 2 secondes vous avez balayé : 2.094 rad (ou 120° ), etc… et au bout de la période T = 6 secondes, vous avez parcouru : 6.282 rad = 2π rad (ou 360°) c’est à dire un tour ; on retrouve la définition de la période T .

5 - Accélération dans le mouvement circulaire uniforme. * >>>>> PA - Résumons les caractéristiques du mouvement circulaire uniforme : la trajectoire est un cercle, la vitesse angulaire ω est constante et la (norme de) la vitesse tangentielle v l’est également. C’est le cas d’une voiture-bulle du manège vu ci-dessus ; on peut imaginer un manège en train d’accélérer sa rotation, dans ce cas le mouvement d’un cheval de bois serait bien circulaire mais pas uniforme. Question : tandis que le manège tourne d’un mouvement circulaire uniforme, vos vitesses tangentielles ont-elles changées pendant un tour ?

JO et JU - Avec un bel ensemble : Non ! puisque on vient de rappeler que la vitesse tangentielle est constante dans un tel mouvement. PA - Erreur, erreur, triple erreur ! Elles ont changées ! Encore une fois vous oubliez que les vitesses tangentielles sont des vecteurs v1 et v2 ; leur normes v1 = 9.42 m/s et v2 = 5.24 m/s n’ont effectivement pas changées mais leur directions ont changé à chaque instant puisque vous tourniez, par conséquent les vitesses changent à chaque instant. Une vitesse change dès que sa norme ou sa direction, ou les deux à la fois , changent…. .Et si une vitesse change cela signifie qu’il y a une accélération. Et s’il y a une accélération, il y a une force quelque part qui agit (ch.21-6). On montre que l’accélération a d’un mobile qui tourne sur un cercle de rayon R d’un mouvement uniforme est dirigée vers le centre, on dit qu’elle est « centripète », elle vaut :

a = R ω² ou a = v² / R (5) . puisque : v = R ω. Attention : l’accélération a est un vecteur ; sa norme a est donnée par (5). * <<<<< * * >>>>> JO - Je ne comprends vraiment pas pourquoi l’accélération est dirigée vers le centre du cercle. PA - Cela n’est en effet pas si facile à comprendre : à première vue, on verrait plutôt l’accélération a dirigée comme la vitesse v n’est-ce pas ?. JO - Je ne te le fais pas dire.

PA - Essayons de le comprendre et regardons un mobile, qui se déplace d’un mouvement circulaire (fig.17-3). La vitesse angulaire est : ω, et la vitesse tangentielle : v = Rω . A l’instant t1 il se trouve en K, sa vitesse est v1 ; après un très court instant ∆t il est en M au temps : t2 = t1 + ∆t avec la vitesse v2.

- 162 –

La vitesse v1 n’a changé que sa direction pendant le court instant ∆t d’un petit angle donné par (4) :

α = ω.∆t

On retrouve cet angle au centre, entre les rayons R1 et R2 puisqu’ils sont perpendiculaires aux vitesses v1 et v2 , toutes deux de norme v. Construisons à part le triangle formé par les vitesses v1 et v2. Elles différent du vecteur : ∆v tel que : v1 + ∆v = v2 et font entre elle l’angle α très petit. Appliquons la relation donnant la longueur d’un arc ou d’une corde puisque l’angle est très petit (A.I -1) .

∆v = v . ω.∆t = Rω . ω.∆t = Rω². ∆t (6)

L’accélération est par définition la variation de la vitesse ∆v pendant le temps ∆t, c’est à dire : a = ∆v / ∆t . Donc en norme, d’après (6) : a = ∆v / ∆t = Rω². Puisque nous sommes à l’instant t2, nous devons reporter le petit vecteur ∆v en M. Comme l’angle α est très petit, on voit que le vecteur ∆v est perpendiculaire à v2, donc dirigé vers le centre du cercle. JO – En fait ce n’est pas tout à fait vrai : ∆v n’est pas tout à fait perpendiculaire à v2.

PA – Oui, tu as raison. Mais ceci devient de plus en plus vrai si on prend l’angle α = ω.∆t de plus en plus petit et c’est ce que l’on doit faire ; on doit aller jusqu’à la limite ∆t = 0 , c’est à dire prendre deux vitesses v1 et v2 beaucoup plus rapprochées dans le temps, mais on ne verrait plus rien sur la figure. Prenons l’exemple concret d’un satellite artificiel. A chaque instant la force de gravitation proportionnelle à l’accélération, le tire vers le centre de la Terre sinon il continuerait son chemin tout droit selon la tangente et s’écarterait du cercle. Tout en se déplaçant sur un cercle, on peut dire qu’il tombe, qu’il accélère ainsi à chaque instant vers le centre de la Terre. Pour les spécialistes. Remarquons que dans le mouvement circulaire uniforme, la vitesse v est tangentielle et n’a donc pas de composante radiale (c’est à dire selon le rayon OM - fig.17-3 ou 4). On sait que l’accélération a est la dérivée en fonction du temps de v. Comme la composante tangentielle v est constante, la composante tangentielle de l’accélération doit être nulle, l’accélération est donc forcément radiale (sa direction passe obligatoirement par le centre). Si vous êtes familier avec les vecteurs et les dérivées, vous pouvez démontrer facilement les relations (3) et (5). Nous prenons un système d’axes (Ox,Oy) orthonormé dans le plan du cercle.

- 163 –

- 164 –

Nous écrivons les composantes (ou coordonnées) du vecteur OM dont l’angle θ avec l’axe Ox est : ωt (4). Nous calculons la vitesse v qui est la dérivée de OM par rapport au temps t, et l’accélération a qui est la dérivée de la vitesse v par rapport au temps t. Attention à ne pas oublier la vitesse angulaire ω qui sort de ωt lorsqu’on dérive par rapport à t. Nous obtenons : OM R . cos ωt v - Rω . sin ωt = Rω . cos ( ωt + π/2 ) a - Rω² . cos ωt R . sin ωt Rω . cos ωt = Rω . sin ( ωt + π/2 ) - Rω² . sin ωt Notons qu’à chaque dérivation les vecteurs tournent de π/2 dans la sens trigonométrique. Nous retrouvons que a est dirigée dans le sens opposé de OM , c’est à dire centipète. Nous retrouvons également facilement avec Pythagore : v = Rω et : a = Rω². * * <<<<<

<<<<<<<<<<>>>>>>>>>>

- 165 –

18 - LE VRAI CHAMP DE PESANTEUR

Fil d’Ariane : 3-4-5-6-7-9-10-17-18 A l’aide du (ch.17), nous allons pouvoir écrire l’expression de la force centrifuge. Nous pourrons enfin calculer la petite différence entre le champ de pesanteur et le champ de gravitation. Puis nous regarderons comment le champ de pesanteur varie de l’équateur au pôle à cause de cette force centrifuge. 1 - Le poids et la force de gravitation. PA - Nous allons enfin avoir accès au poids réel d’un objet ou d’une personne. Nous avons signalé depuis longtemps que la différence entre le poids et la force de gravitation à la surface de la Terre provient de la force centrifuge créée par la rotation de la Terre. Le poids tient compte de la force centrifuge, la force de gravitation n’en tient pas compte (ch.4-4). Puisque le poids est égal à la masse de l’objet que multiplie le champ de pesanteur et que la force de gravitation est égale à la masse de l’objet que multiplie le champ de gravitation, nous retrouvons cette différence entre les deux champs. Ainsi pour obtenir le champ de pesanteur, nous devons simplement ajouter au champ de gravitation g0 l’effet de la force centrifuge. 2 - La force centrifuge dans le mouvement circulaire uniforme. PA - Il nous reste maintenant à écrire l’expression de la force centrifuge. Cela ne sera pas difficile car nous avons défini la vitesse angulaire ω et l’accélération a du mouvement circulaire uniforme (ch.17). Nous admettons pour le moment que la force centrifuge f qui s’exerce sur un mobile de masse m parcourant un cercle de rayon r, est opposée à l’accélération a et est proportionnelle à la masse m (voir ch.21-7) ; elle s’écrit :

f = - m . a (1) Comme a est dirigée radialement c’est à dire vers le centre du cercle, la force centrifuge est dirigée radialement dans le sens opposé, vers l’extérieur du cercle. Puisque l’accélération a vaut en norme : a = r ω² ou : a = v² / r , la force centrifuge f vaut en norme :

f = m . a = m . r ω² ou : f = m . v² / r (1 bis) 3 - Le champ de pesanteur à l’équateur. PA - Peux-tu rappeler pourquoi l’effet de la force centrifuge est maximum à l’équateur ? JO - Parce que la Terre est un manège qui tourne autour de l’axe pôle Sud - pôle Nord ; c’est à l’équateur que l’on est le plus loin de cet axe, donc que l’on a la vitesse tangentielle la plus grande. Par contre aux pôles, la force centrifuge est nulle puisqu’on est sur l’axe du manège. PA - Bien. Regardons un Equatorien de masse m immobile à l’équateur. a) Supposons dans un premier temps que la Terre ne tourne pas sur elle-même, (fig.18-1a). donc : f = 0 . L’Equatorien est soumis à la force de gravitation F égale au poids P, qui le tire vers le centre C de la Terre. On a : F = P = m . g0 , où g0 est le champ de gravitation. F est dirigée vers C.

- 166 –

* >>>>> De plus, comme l’Equatorien est immobile sur le sol, il est soumis à la « réaction » du sol R (ch.21-3). R est égale en norme et opposée à F. La somme des forces R et F est nulle. * <<<<< b) Laissons maintenant tourner la Terre sur elle-même (fig.18-1b). L’Equatorien est toujours soumis à la force de gravitation F qui l’attire vers le centre de la Terre mais aussi à la force centrifuge f qui tend à l’expédier hors de la Terre. La force F vaut : F = m . g0 où g0 est le champ de gravitation. La force f vaut : f = m . Rω² où ω est la vitesse angulaire de la Terre et R le rayon de l’équateur. Nous exagérons sur la figure la grandeur de f pour plus de clarté. Les deux forces F et f sont opposées mais ne sont pas égales. Leur somme n’est pas nulle. La force F est bien supérieure à la force f. Dans le cas contraire notre Equatorien ne serait plus retenu par la force de gravitation F et serait éjecté de la Terre par la force centrifuge f . La somme F + f est donc dirigée vers le centre C de la Terre. Ecrite sur l’axe xC dirigé vers C, compte tenu de ce que F est dirigée vers C et f dans l’autre sens, la somme F + f devient : m . g0 - m . R ω² . (Voir aussi A.II - 1).

- 167 –

Tout se passe comme si l’Equatorien avait un nouveau poids :

P = F + f (2) tel que :

P = m . gop = m . ( g0 - R ω² ) (2 bis)

* >>>>> Le sol doit là encore, supporter le nouveau poids P ; la réaction R du sol est par conséquent égale (en norme) à ce nouveau poids : m . gop et est de sens opposé à P. * <<<<< JO - Donc, je suppose qu’en éliminant m dans (2bis), tout se passe finalement comme s’il y avait un nouveau champ gop tel que :

gop = g0 - R ω² (3) PA - Très bien ! Ce champ gop est le vrai champ de pesanteur par opposition au champ de gravitation g0. Le champ gop inclut l’effet de la rotation de la Terre par le terme Rω². Il est plus faible que le champ de gravitation g0. C’est ce champ gop qui aurait du être écrit dans la formule : (4-(1)). A l’équateur les deux champs g0 et gop sont dirigés vers le centre de la Terre. Lors d’une pesée, c’est le champ de pesanteur qui doit être pris en compte et non le champ de gravitation : le poids P d’un objet doit être écrit :

P = m. gop (4)

alors que comme on l’a vu, la force de gravitation s’écrit :

F = m . g0 (5) Nous évaluons à l’équateur le terme correctif Rω² de (3) que l’on doit retrancher au champ de gravitation g0 , dans Ex 18-1. Nous trouvons :

R ω² = 0.034 m /s² Par rapport à g0 qui vaut à peu près 10 m/s², on voit que la correction R ω² ne représente que les 3 0/00 de g0.

En prenant pour le champ de gravitation à l’équateur, la valeur qui tient compte de la forme ellipsoïdale de la Terre, valeur que nous admettons : g0 ≈ 9.815 m/s², le champ de pesanteur à l’équateur vaut donc :

gop ≈ 9.815 – 0.034 ≈ 9.781 m/s² 4 - Variation du champ de pesanteur gop avec la latitude λ. PA - Dans la littérature, on donne la valeur du champ de pesanteur à l’équateur (latitude 0°): gop = 9.78 m/s² et aux pôles (latitude 90°) : gop = 9.83 m/s². Ces valeurs tiennent compte à la fois de la forme ellipsoïdale de la Terre et de la force centrifuge (ch.7-3). Nous devons retrouver ces valeurs de gop .

- 168 –

* * >>>>> Il nous faut tout d’abord connaître le champ de gravitation g0 . Nous admettons qu’il passe de la valeur 9.83 m/s² au pôle où nous sommes plus proche du centre de la Terre, à la valeur d’environ 9.825 m/s² à la latitude de 45° et enfin de 9.815 m/s² à l’équateur. Rappelons que ces valeurs ne prennent en compte que la forme ellipsoïdale de la Terre. Regardons maintenant comment varie la force centrifuge : f = m.r.ω² entre le pôle et l’équateur. Nous retrancherons ensuite au champ de gravitation g0 la correction centrifuge : r.ω² pour obtenir le champ de pesanteur gop . Aux pôles où r = 0, la correction centrifuge est nulle puisque nous sommes sur l’axe de rotation : le champ de gravitation g0 et le champ de pesanteur gop ont donc même valeur aux pôles, soit : 9.83 m/s². A l’équateur où r = R, la force centrifuge est maximum. Nous avons trouvé plus haut : R ω² = 0.034 m /s² et gop = 9.78 m/s². A la latitude 45° qu’en est-il ? NOTE - Attention aux têtes en l’air : n’oublions pas que r est la distance du point où l’on se trouve à l’axe de rotation pôle Sud - pôle Nord (fig.18-2). A l’équateur, mais seulement à l’équateur, R est la distance à cet axe de rotation. La Terre ne tourne pas autour de son centre !

- 169 –

Au fur et à mesure que nous allons du pôle vers l’équateur, la correction r.ω² va passer de 0 à 0.034 m/s², puisque r passe de 0 km à R = 6378 km. On peut donc trouver normal que la correction centrifuge r.ω² augmente comme r . JO - Eh bien oui, r augmente du pôle à l’équateur et la vitesse angulaire ω est la même pour tous les points de la Terre, rien de plus normal ! PA - En fait ce n’est pas si simple. A l’équateur F et f ont même direction et sont en sens opposées. A une latitude λ, les forces F et f ne sont plus dans la même direction : F est dirigée vers le centre C de la Terre, mais f est perpendiculaire à l’axe de rotation et dirigée vers l’extérieur de la Terre. Le calcul est donc un petit peu plus compliqué, il est fait dans Ex 18-2. Le résultat est le suivant :

gop = g0 - R ω² cos²λ (6)

Notez que la correction : R ω² cos²λ s’annule bien aux pôles ( λ = π /2 et cos²λ = 0 ). A la latitude λ = 45° correspondant grossièrement à la France, le champ g0 vaut 9.825 m/s² et cos²λ = 1/2 (cos 45° = 1/√2) ; la correction centrifuge est la moitié de celle de l’équateur 0.034 m/s² soit : 0.017 m/s². Le champ de pesanteur vaut alors à la latitude 45° : gop = 9.825 – 0.017

gop ≈ 9.808 m/s²

valeur à peu près égale à la valeur moyenne du champ de pesanteur terrestre : 9.81 m/s² * * <<<<< Résumons les différentes valeurs de gop et de g0 : Aux pôles (latitude 90°) : gop = g0 = 9.83 m/s². A la latitude 45° nous avons trouvé : gop ≈ 9.81 m/s² avec : g0 ≈ 9.825 m/s² A l’équateur (latitude 0°) nous avions : gop = 9.78 m/s². avec : g0 ≈ 9.815 m/s² Ces valeurs tiennent compte de la forme ellipsoïdale de la Terre et de sa rotation. Nous retrouvons ainsi que le champ de pesanteur gop et par conséquent le poids, diminue en allant du pôle Nord (ou Sud) à l’équateur de 9.83 à 9.78 m/s². Nous retrouvons à nouveau que le poids d’une personne de masse 100 kg, diminue de 5 N entre le pôle Nord et l’équateur, soit 500 g dans le langage populaire (ch.7-3). Il est clair également que l’on a tout intérêt à envoyer une fusée spatiale à partir de la Guyane, plutôt qu’à la latitude de la France et à fortiori d’une base qui serait proche du pôle Nord. 5 - Les Equatoriens peuvent-ils ne plus toucher terre ? * >>>>> JO - A l’équateur la force de gravitation et la force centrifuge ne sont pas égales mais sont en sens opposé (fig.18-1b). S’il était possible d’augmenter la force centrifuge, on pourrait les rendre égales ; alors le poids : P = m.gop donné en (3) et (4) s’annulerait et notre Equatorien sans poids ne toucherait plus le sol.

- 170 –

PA - Tu tiens une nouvelle fois à faire faire de la lévitation aux Terriens ! En tous cas, ton raisonnement est bon.. Si le poids P s’annule, il n’y a en effet plus de réaction R du sol puisque l’Equatorien n’appuie plus sur lui. Mais que faut-il faire pour augmenter la force centrifuge ? JO - Tout simplement faire appel à mon petit lutin pour qu’il fasse tourner la Terre plus rapidement. PA - Oui. Donc quelle vitesse angulaire ω ou tangentielle v = Rω faut-il communiquer à la Terre pour que le poids s’annule ? JO - Il suffirait dans (3) que : g0 = R ω² , ou : g0 = v² / R PA - C’est bon ! C’est à dire :

v = √ (R . g0) (7)

Calculons v. Attention aux unités : nous calculons v en km/s. Avec : R = 6378 km et g0 = 9.815 m/s² ou 9.815 10-3 km/s² donné plus haut, nous obtenons : v = √ (6378. 9.815 10-3 ) = 7.912 km/s

v ≈ 8 km/s ( soit : 28800 km/h ) JO - Quelle serait la durée du jour si la vitesse de la Terre à l’équateur était celle-là ? Attends …Nous avons vu (ch.17-3) que la vitesse v d’une personne immobile à l’équateur est 0.463 km/s. Si la Terre tournait à l’équateur à la vitesse v = 8 km/s, elle tournerait donc environ 8/0.463 ≈ 17 fois plus vite que dans la réalité ! Le jour durerait …Une minute s’il te plaît… la personne parcourrait 40000 km à la vitesse 8 km/s ce qui fait : T = 40000 / 8 = 5000 s …………soit : T = 1h 23m au lieu de 24h ! Ce serait bien pour le lycée mais pas pour les vacances. PA - Si la Terre était une sphère sans atmosphère encore plus parfaite qu’une boule de billard complètement lisse, cette vitesse de 8 km/s donnée par (7), serait la vitesse à laquelle il faudrait lancer un satellite pour qu’il tourne autour de la Terre à ras du sol. Pour cette raison on appelle parfois cette vitesse idéale, vitesse de satellisation à la surface de la Terre étant entendu que pour lancer un satellite artificiel, il faudrait au moins être sorti de l’atmosphère, auquel cas cette vitesse serait plus faible (ch.19-1). * <<<<< Entraînement. Ex 18-1 - Correction R ω² au champ de gravitation à l’équateur. Le rayon de l’équateur terrestre est : R = 6378 km. Nous avons déjà calculé (ch.17-2) la vitesse angulaire ω de la Terre. Cependant pour être plus précis, il est préférable de prendre la période de rotation de la Terre non pas égale à un jour solaire (86400s) mais à un jour sidéral (86164s) qui correspond à une rotation exacte de 360° (ch.12-2). D’où :

ω = 2 π / 86164 = 7.292 10-5 s Ce qui donne pour : R ω² = 6.378 106 . (7.292)² 10-10 = 0.034 m /s²

- 171 –

* * >>>>> Ex 18-2 - Calcul de la variation du champ de pesanteur avec la latitude λ. Nous supposons la Terre sphérique de rayon moyen R = 6370 km peu différent du rayon équatorial. Remarque - Nous pouvons négliger la petite variation de R due à la forme ellipsoïdale puisqu’elle entraînerait une correction d’une correction, donc est négligeable. Nous plaçons une masse m en M à la latitude λ. La figure (18-2) montre différentes forces qui agissent sur m : F est la force de gravitation ( F = m . g0 ) dirigée vers C. f est la force centrifuge ( f = r ω² ) avec : r = R cosλ perpendiculaire à l’axe de rotation. P est le poids de la masse m : P = F + f et P = m . gop Attention ! le poids P n’est donc plus dirigé vers le centre C de la Terre ; il fait un angle ε avec la direction radiale MC. Puisque toutes les forces sont proportionnelles à m, au lieu de représenter le triangle des forces P, F, f , nous pouvons représenter le triangle homothétique : gop , g0 , f /m ( = r ω² en norme) noté MPG avec MG = g0 , MP = gop et GP = f /m Nous retrouvons l’angle λ en PGM .La relation métrique dans un triangle quelconque donne : MP² = MG² + GP² - 2 MG . GP. cosλ soit : gop ² = g0² + (r ω²)² – 2 g0 . r ω². cosλ Nous avons vu dans Ex 1 que rω² est maximum à l’équateur mais est très inférieur à g0. On peut donc négliger le terme (r ω²)² devant les autres. Il reste, en remplaçant : r par : R . cosλ : gop ² ≈ g0² – 2 g0 . R ω². cos²λ ≈ g0² [ 1 – 2 R ω². cos²λ / g0 ] On tire gop en prenant la racine carrée , on obtient : gop ≈ g0 [ 1 – 2 R ω². cos²λ / g0 ] ½ Puisque le deuxième terme de la parenthèse est << 1, on utilise l’approximation : (1 + x ) α ≈ 1 + α . x avec α = ½ On obtient : gop ≈ g0 [ 1 – R ω². cos²λ / g0 ] et finalement :

gop ≈ g0 – R ω². cos²λ Il n’est pas trop difficile de montrer (en traçant par exemple la hauteur PH du triangle MPG) que pour la latitude λ = 45° l’angle ε est maximum mais reste très faible, il ne vaut que 6’ d’angle. C’est donc à cette latitude que le champ de pesanteur gop dévie le plus de la verticale représentée par le champ de gravitation g0. * * <<<<<

<<<<<<<<<<>>>>>>>>>>

- 172 –

19 - LES LOIS DE KEPLER

Fil d’Ariane : 3-4-5-6-7-9-17-18-19 Nous avons sous la main la force d’attraction gravitationnelle et la force centrifuge. Nous pouvons par conséquent établir « l’équation du satellite » dans le cas d’orbites circulaires et parler des lois de Kepler. Nous pouvons alors calculer facilement des rayons d’orbites ou des périodes de révolution. Nous donnons plusieurs applications en fin de chapitre. Nous abandonnons le fil jusqu’au ch.22.

1 - L’équation du satellite.

PA - Il nous est facile d’écrire maintenant l’équation d’équilibre d’un satellite tournant autour d’un astre et d’établir une formule permettant de résoudre de nombreux problèmes dans le cas seulement d’orbites circulaires ; les orbites elliptiques sont abordées en Faculté. Prenons une planète de masse M, de rayon R et de centre C, et un satellite de masse m qui tourne autour d’elle d’un mouvement uniforme sur un cercle de rayon r. Nous avons longuement parlé du système satellite-planète et nous savons qu’une fois le satellite stabilisé sur son orbite, la force F d’attraction gravitationnelle de la planète est compensée exactement par la force centrifuge f. Par conséquent F et f sont égales et opposées. Leur somme est nulle. La condition d’équilibre sera par conséquent tout simplement :

F + f = 0 (1)

Nous avons vu que : F = m.g où g est le champ de gravitation de la planète à la distance r du centre C de la planète. La norme de g est : g = G.M / r² (ch.9-3) La norme de F est donc : F = m . g = G.M.m / r² La force centrifuge est : f = - m.a (ch.18-2). L’accélération a est l’accélération centripète du satellite. Sa norme vaut : a = r ω² = v² /r La norme de f est donc : f = m r ω² Puisque F et f sont égales et opposées , l’équation (1) revient à écrire l’égalité des normes de F et f, c’est à dire :

G . M . m / r² = m . r ω² (1 bis) * >>>>> Ecrivons l’équation (1) plus précisément : Nous avons vu que : F est dirigé comme g vers le centre C de la planète. L’accélération a est l’accélération centripète du satellite, donc dirigée vers C, dans le sens opposé à f ; donc f = - m . a . L’équation (1) devient :

m . g - m . a = 0 Nous l’écrivons sur l’axe xC dirigé vers le centre de la planète : G . M . m / r² - m . r ω² = 0 Nous retrouvons l’équation (1bis). * <<<<< La masse m du satellite s’élimine dans (1 bis).

- 173 –

Nous obtenons l’équation du satellite : G . M = r3 . ω² (2) Ou puisque v = r ω : G . M = v² . r (3) Nous pouvons introduire la période T du satellite. Puisque : ω = 2π / T , la formule (2) donne : G . M / 4π² = r3 / T² (4) Pour une planète donnée, le produit : G.M est constant ; ainsi tout satellite quelle que soit sa masse, se déplaçant sur une orbite de rayon r d’un mouvement circulaire uniforme, possède une vitesse angulaire ω ou une vitesse tangentielle v, reliées à r par (2) ou (3).

L’expression (3) montre que v décroît comme 1/√ r lorsque le rayon de l’orbite r croît. Ainsi plus une planète est éloignée du Soleil, plus sa vitesse orbitale v est faible.

La formule (4) relie le cube du rayon de l’orbite r au carré de la période T de révolution du satellite. Nous trouvons ainsi la troisième loi de Kepler dans le cas particulier d’une orbite circulaire. Remarques - 1 - Nous pouvons exprimer dans les formules (2) à (4) le produit G.M en fonction du champ de gravitation g0 de la planète, puisque : G.M = g0.R². Il s’agit bien du champ de gravitation g0 et non du champ de pesanteur car la rotation de la planète sur elle-même n’intervient pas dans le mouvement du satellite. - 2 - La plupart du temps les orbites de planètes sont des ellipses de faible excentricité, c’est à dire proches de cercles ; dans ce cas on peut écrire les formules en remplaçant le rayon r de l’orbite circulaire par le demi-grand axe de l’ellipse noté en général : a. - 3 - Enfin comme la masse de la Lune par rapport à la Terre ou des planètes par rapport au Soleil est très faible. Nous n’avons pas tenu compte des effets de centre de masse (ch.14). On prend en compte ces effets en considérant que l’haltère constitué des deux masses m et M distantes de r, tourne autour de son centre de masse. Les deux masses décrivent alors des cercles de rayons différents autour de ce centre de masse. Dans les équations précédentes, r étant toujours la distance entre les deux masses, tout se passe en fait comme si le satellite de masse m avait une masse dite « réduite » : M.m /( M+m). On montre que cela revient à remplacer la masse M de la planète par (m + M) dans les équations (2) à (4). Si m est du même ordre de grandeur que M, comme par exemple le système binaire des étoiles Sirius A et B (Ex 19-8), l’effet du centre de masse devient important.. 2 - Les trois lois de Kepler. JO - J’entends toujours parler de la 3ième loi de Kepler. Ne vaudrait-il pas mieux parler de la première et de la seconde avant de commencer par la fin ? PA - Les trois lois énoncées en 1609, ont été établies par Kepler à partir des mesures de Tycho-Brahé effectuées sur les planètes du système solaire. La découverte de la force de gravitation a permis à Newton de retrouver plus tard ces lois leur conférant ainsi une assise

- 174 –

plus fondamentale. Leurs propriétés proviennent essentiellement de ce que la force de gravitation exercée par exemple sur une planète par son étoile varie en 1/r² où r est la distance planète-étoile, et est toujours dirigée vers le centre de l’étoile ; on dit que la force est « centrale ».

La première loi nous dit que les orbites des planètes sont des ellipses dont le Soleil est un foyer. Pour la plupart des planètes l’ellipse peut être assimilée à un cercle ; Mercure (et autrefois Pluton) fait exception. La deuxième loi a trait au fait que les orbites sont des ellipses. Elle dit que la surface balayée par le segment OB allant du centre O du Soleil au centre P de la planète (fig.19-1), pendant deux intervalles de temps égaux est la même ; c’est la loi des aires.

Intuitivement, tu peux comprendre facilement une conséquence de cette loi. Sur la figure sont dessinées deux aires égales l’une avec le balai OB , l’autre avec un balai OB’ plus grand que OB ; on voit que pour que l’aire du secteur OA’B’ soit égale à celle de OAB, il faut que AB soit plus grand que A’B’. Comme ces surfaces sont balayées dans le même temps, la planète doit aller plus vite sur AB que sur A’B’. L’hiver dans l’hémisphère Nord, la Terre est au voisinage du périhélie, plus proche du Soleil qu’en été (aphélie). Elle parcourt plus vite son orbite qu’en été. Plus tard tu démontreras que la loi des aires provient d’une loi de conservation d’une grandeur physique, déjà rencontrée (ch.16-4) le moment cinétique, encore lui !. Cette loi dit que si la vitesse angulaire de la planète augmente, la distance Soleil-planète doit diminuer et inversement, parce que le produit : vitesse angulaire par le carré de la distance est constant. Si l’orbite est un cercle, tous les balais OB sont égaux ; deux surfaces balayées pendant le même temps sont égales, donc les vitesses sont égales. Ce qui est bien le cas du mouvement circulaire uniforme.

La troisième loi de Kepler que nous avons établi en (4) dans le cas d’orbite circulaire, s’énonce habituellement ainsi : le carré de la période T est proportionnel au cube du demi grand axe a de l’ellipse ; dans notre cas a est le rayon r de l’orbite circulaire.

- 175 –

3 - Modifier la force de Newton ? PA - Le soleil fait le tour du centre de la Voie Lactée en 250 millions d’années à la vitesse de 200 km/s (Ex 1-3). Les autres étoiles font de même. D’après (3), plus une étoile est loin du centre (où l’on concentre la masse M de toute la matière visible de la galaxie), plus faible sera sa vitesse. Malheureusement jusqu’assez loin du centre, ce n’est pas ce qu’on observe : la vitesse de révolution des étoiles semble rester à peu près constante. Il faut en conclure d’après (3), que la masse M doit augmenter pour faire tourner plus rapidement les étoiles loin du centre. Ce qui signifie qu’il y a de la masse qu’on ne voit pas. On l’a appelée « matière sombre ». Il y a d’autres observations, sur les amas de galaxies par exemple, qui suggèrent également l’existence de cette matière sombre. On a observé encore un comportement étrange des sondes Pioneer 10 et 11 lancées dans les années 1970 et maintenant aux confins du système solaire. Tout se passe comme si le Soleil les retenait un peu plus que la normale dans son giron. Un défaut dans l’électronique et la transmission de l’information n’est cependant pas complètement exclus. Certains Physiciens se sont alors demandé si la dépendance de la force de Newton en 1/r² que l’on a dans le membre de gauche de (1) : G M m / r² était toujours valide si on s’éloigne beaucoup du centre d’attraction, et si la force de Newton ne pourrait pas décroître plus lentement, en 1/r par exemple. Modifier la force de Newton, ce n’est pas une mince affaire ! …une affaire à suivre …. et qui a des implications dans la Relativité d’Einstein !

Applications des expression (2 à 4). Formules et données utiles. Nous récrivons les équations précédentes pour les avoir toutes sous la main :

G . M = r3 . ω² (2) G . M = v² . r (3) G . M / 4π² = r3 / T² (4) G . M = g0 . R² (5)

Nous utiliserons souvent les données suivantes que nous rassemblons ci-dessous : G = 6.67 10-11 SI M masse de la terre : 5.977 1024 kg et pour la Terre : G . M = 3.9867 1014 SI R rayon moyen de la Terre : 6370 km. Rayons aux pôles : 6357 km . A l’équateur : 6378 km Vitesse angulaire de la Terre (Ex 18-1) : ω = 2π / 86164 = 7.292 10-5 s-1 Vitesse de satellisation à la surface de la Terre (ch.18-5) : v = 7.912 km/s Période de révolution d’un satellite à la surface de la Terre : T = 5065 s (ch.18-5). Distance Terre-Lune : 384400 km. 1 ua = 149.6 106 km. Masse du Soleil : MS = 2.00 1030 kg Ex 19-1 - Période de révolution d’un satellite à l’altitude z = 400 km. Cette altitude est celle de la Station Spatiale Internationale. Le satellite est donc à la distance r = R + z du centre de la Terre ; r = 6370 + 400 = 6770 km Nous utilisons (3) : v = √ (G . M / r) La période de révolution sera : T = 2 π . r / v A.N. v = √ ( 3.9867 1014 / 6.770 106 ) = 7674 m/s = 7.674 km/s T = 2 π . 6770 / 7.674 = 5543 s Soit : T = 1h 32m 23s

- 176 –

On remarque que par rapport à l’altitude zéro (ch.18-5), la vitesse a diminué et donc la période de révolution a augmenté. Ex 19-2 - Période de révolution à la surface de la Terre et masse volumique de la Terre. Nous montrons que la période de révolution T d’un satellite à la surface de la Terre (cas idéal - ch.18-5) ne dépend que de la masse volumique ρ de la Terre.

ρ = M / V avec : V = (4/3) . π . R3

Donc : M / R3 = (4/3) . π . ρ L’expression (4) donne :

T² = ( 4π² / G ) . ( R3 / M) et en remplaçant : M / R3 par (4/3) . π . ρ :

ρ = 3 . π / G . T² Connaissant T = 5065 s ( cf.données en-tête), nous calculons la masse volumique moyenne de la Terre. A.N. ρ = 3 . π / [ 6.67 10-11 . (5065)² ] = 5508 kg/m3

ρ = 5.51 g/cm3 Ex 19-3 - Période de révolution et vitesse de la Lune sur son orbite. Nous supposons que l’orbite lunaire est un cercle de rayon d = 384 400 km. (4) donne : T² = 4π². d3 / G . M Où M est la masse de la Terre. A.N. T² = 4π² . (3.844 108)3 / 3.9867 1014 = 5.624661 1012 s² T = 2 371637 s = 27j 10h 47m La période de révolution sidérale est en réalité : T = 27j 7h 43m La vitesse v de la Lune sera : v = 2π . d / T

A.N. v = 2π . 384400 / 2 371637 = 1.018 km/s Cette vitesse est facile à retenir : v ≈ 1 km/s Ex 19-4 - Masse du Soleil à partir des caractéristiques de l’orbite terrestre. Ces caractéristiques sont : le rayon de l’orbite terrestre : r = 1 ua et la période T de révolution de la Terre : 365.25 j. On rappelle qu’un jour solaire vaut : 86400 s. Appelons MS la masse du Soleil et ω la vitesse angulaire de la Terre autour du Soleil. Nous utilisons (2) :

MS = ( r3 / G ) . ω² A.N. La vitesse angulaire ω est : ω = 2π / (365.25 . 86400) = 1.991 10-7 s-1 r = 1 ua = 149.6 106 km = 1.496 1011 m

- 177 –

MS = [( 1.496 1011 )3 . ( 1.991 10-7 )2 ] / 6.67 10-11 = 1.989 1030 kg

MS = 2.00 1030 kg La masse MS du Soleil est (2.00 1030 / 5.98 1024 ) ≈ 3.3 105 ≈ 330 000 fois celle de la Terre. Ex 19-5 - Rayon de l’orbite de Neptune connaissant la période de révolution. La période de révolution de Neptune est : T = 164 a 280 j. La masse du Soleil est : MS = 2.00 1030 kg. Nous utilisons à nouveau l’expression (4) de la 3ième loi de Kepler :

r3 = G . MS . T² / 4π² A.N. T = ( 164 . 365.25 + 280 ) = 60181 j = ( 60181 . 86400 ) = 5.1996 109 s r3 = [ 6.67 10-11 . 2.00 1030 . (5.1996 109 )² ] / 4π² = 91.357 1036 m3

r = 4.504 1012 m = 4504 106 km

La valeur donnée dans la littérature est : r = 4498 106 km.

Ex 19-6 - Période de révolution du satellite Titan de Saturne. On donne : rayon de l’orbite pratiquement circulaire de Titan : r = 1.223 106 km. La masse de Saturne est 95.2 fois celle de la Terre M soit : MSA = 5.690 1026 kg (4) donne à nouveau : T² = 4π². r3 / G . MSA

Nous vous laissons faire l’A.N. On trouve : T² = 1.9028 1012 s² soit : T = 1 379 106 s = 15.965 j = 15 j 23 h 10m La valeur donnée dans la littérature est T = 15.94 j. soit : 15 j 22 h 33 m Le satellite Titan se trouve à plus d’un million de km de Saturne. Son propre rayon est d’environ 2500 km. Il est donc bien au delà des principaux anneaux de Saturne et de la limite de Roche (ch15-2 à 4). * >>>>> Ex 19-7 – Satellite géostationnaire. Plaçons nous dans le plan de l’équateur terrestre. Un satellite géostationnaire est un satellite qui tourne autour du centre C de la Terre à l’altitude z, à la même vitesse angulaire ω que la Terre. Il est donc toujours à la verticale d’un même point de l’équateur. Puisque sa vitesse angulaire est fixée, sa distance r au centre C de la Terre est aussi fixée par la 3ième loi de Kepler. Nous choisissons la forme (2) :

r3 = G . M / ω² ou r = 3√ ( G.M / ω²)

A.N. La vitesse angulaire de la Terre est : ω = 7.292 10-5 s-1 . D’où :

r = 3√ [ 3.9867 1014 / (7.292 10-5 )2] = 0.42167 108 m = 42167 km et :

z = 42167 - 6378 = 35789 km

- 178 –

Le satellite géostationnaire tourne sur une orbite à une altitude d’environ 36000 km dont le rayon est de l’ordre de 42000 km. Nous constatons (fig.19-2) que ce satellite n’est plus à la verticale de tous les points du cercle parallèle à l’équateur situé à la latitude λ (cercle dit « parallèle λ »). Il reste vu des Terriens situés sur le parallèle λ sous l’angle constant : λ + ε . Ceux qui désirent recevoir des communications du satellite doivent donc orienter leurs antennes dans cette direction.

Il est facile de calculer la latitude du point B au delà de laquelle on ne voit plus le satellite. Le triangle OBA’ est alors rectangle en B et l’angle λ + ε vaut 90°. De plus : OB = 6400 et OA’ = 42000. Donc : sin ε = 6400 /42000 = 0.15 rad. = 8.73 ° ≈ 9° Au delà de la latitude ≈ 81° on ne voit donc plus le satellite. Considérons maintenant un satellite qui tourne sur une orbite inclinée d’un angle λ sur l’équateur (fig.19-3) toujours à 42000 km du centre O de la Terre : il tourne donc à la vitesse angulaire ω de la Terre. Supposons que le satellite se trouve à un instant donné en B’ à la verticale du point B à la latitude λ . Attention aux étourdis ! 12h après le point B’ se trouvera en D’ diamétralement opposé à B’ sur l’orbite ; mais le point B sur le parallèle λ ne tourne pas autour de O , il tourne autour de l’axe pôle Sud - pôle Nord de la Terre et se retrouvera en D diamétralement opposé à B sur le cercle « parallèle λ ». Le satellite en D’ ne sera plus à la verticale de D. Il n’y a donc qu’à l’équateur où un satellite reste toujours à la verticale du même point.

- 179 –

Ex 19-8 - Période de révolution de Sirius A et B. Nous sommes dans le cas de deux étoiles Sirius A et Sirius B dont les masses sont du même ordre de grandeur mA = 2.28 Ms et mB = 0.97 Ms. Elles tournent donc sur des orbites supposées circulaires de rayon rA = 6.0 ua et rB = 14.1 ua autour de leur centre de gravité (fig.19-4). L’effet du centre de gravité ne peut évidemment être négligé dans ce cas.

- 180 –

On pose : m = mA + mB = 3.25 Ms avec Ms = 2.0 1030 kg Et : r = rA + rB = 20.1 ua avec 1ua = 149.6 109 m Dans ce cas nous devons utiliser la 3ième loi de Kepler suivante : T² = 4π². r3 / G . m Où attention ! m concerne maintenant les deux étoiles et r est la distance entre elles. A.N. r = 20.1 . 149.6 109 m m = 3.25 . 2.0 1030 kg T² = 4π². (20.1 . 149.6 109 )3 / ( 6.67 10-11 . 3.25 . 2.0 1030 ) = 2.47573 1018 s² T = 1.57345 109 s Comme 1 année = 3.15576 107 s . Cela donne: T = 49.86 a

T ≈ 50 a * <<<<<

<<<<<<<<<<>>>>>>>>>> BIB : (3-15)

- 181 –

20 - DES OASIS DANS L’ESPACE.

* >>>>> Lorsque deux astres comme par exemple le Soleil et Jupiter, ou la Terre et la Lune, interagissent par gravitation, il existe dans leur voisinage des points de l’espace où un troisième corps céleste peut se trouver en équilibre. Ces points sont appelés points de Lagrange. Existe-t-il de tels cas de figures à trois corps célestes ? C’est ce que nous allons voir. 1 - De quel côté pencher : la Terre ou la Lune ? JO - Il y a-t-il dans l’espace un endroit tranquille où aucune force de gravitation ne s’exerce sur quoi que ce soit…. ? PA - Excepté dans un endroit hypothétique infiniment éloigné de tous corps célestes, on peut penser dans un premier temps, à un espace limité où les attractions gravitationnelles des divers astres exercées sur un astéroïde par exemple, se compensent toutes. Dans ce cas, cet astéroïde garderait à priori en cet endroit une position stable ; mais il ne suffit pas que les forces de gravitation se compensent toutes pour être sûr de la stabilité comme le montre le problème ci-dessous. JO - J’aurais pourtant bien vu ça et là des oasis dans l’espace où on pourrait aller poser ses valises et passer des vacances tranquilles au milieu de planètes, d’étoiles, de galaxies…. PA - Revenons vite sur Terre et regardons plus près de chez nous. Voyageons sur la ligne Terre-Lune. Lorsque nous sommes près de la Terre, nous ne sentons pratiquement pas l’attraction gravitationnelle de la Lune, et inversement si nous sommes près de la Lune nous ne sentons pratiquement pas celle de la Terre. Il existe donc forcément un point E sur la ligne Terre-Lune où l’attraction gravitationnelle de la Terre est exactement égale à celle de la Lune (fig.20-1). Appelons E ce point ; c’est le point d’équigravité. Cherchons sa position.

- 182 –

Nous plaçons un satellite de masse m au point E situé à la distance x du centre Lu de la Lune. Nous appelons MT et ML les masses de la Terre et de la Lune et d la distance Terre-Lune. Il est facile de trouver le point E en écrivant l’égalité des deux attractions gravitationnelles opposées de la Terre FT et de la Lune FL soit : FT = - FL ou ce qui revient au même, la nullité de leur somme :

FT + FL = 0 (1)

Avec : FT = G MT m / ( d – x )² et : FL = G ML m / x² Le calcul est fait dans Ex 20-1. La solution est : x /d ≈ 1 / 10 D’où la distance : Lu E = x

Lu E ≈ 38440 km

La masse de la Lune étant environ 80 fois plus petite que celle de la Terre, le point E est évidemment beaucoup plus près de la Lune que de la Terre. Que devient notre satellite au point E d’équigravité ? JO - Je ne vois pas pourquoi il rouspéterait ! Il est cool à un endroit où il n’est plus attiré ni par la Terre ni par la Lune. PA - Que penses-tu alors des vitesses angulaires du satellite et de la Lune ? JO - Puisque le satellite se trouve sur la droite Terre-Lune, il doit tourner autour de la Terre à la même vitesse angulaire ω que la Lune. Attends… on n’a pas tenu compte de cette condition ! Cinq minutes que je réfléchisse ….Je suis perdue dans l’oasis de l’équigravité E. PA - Tu étais sur la bonne voie. Puisque le satellite au point d’équigravité doit tourner à la vitesse angulaire ω de la Lune, il sera donc soumis à une force centrifuge qui tend à l’éloigner de la Terre et qui joue par conséquent en faveur de la Lune. Bien qu’il soit au point d’équigravité, le satellite sera alors inéluctablement attiré par la Lune. Pour rétablir l’équilibre, il faut augmenter l’attraction de la Terre, il faut par conséquent rapprocher le satellite de la Terre, c’est à dire le placer en un point L plus proche que E de la Terre. Le point L est appelé point de Lagrange, célèbre astronome et mathématicien français (1736 -1813). 2 - Point de Lagrange du système Terre-Lune. PA - Pour trouver le point d’équilibre L nous devons non pas écrire (1) mais faire intervenir obligatoirement la force centrifuge f . Nous devons donc écrire :

FT + FL + f = 0 (2) Nous appelons r la distance LT du point de Lagrange L au centre T de la Terre (fig.20-1), ω la vitesse angulaire de la Lune ; nous réutilisons les notations précédentes. La force centrifuge a pour norme : f = m r ω². FL et f sont orientées dans le sens opposé à la force FT orientée vers le centre T de la Terre. Nous écrivons l’équation (2) compte tenu de ces orientations sur l’axe Terre-Lune orientée vers la Terre : G MT m / r² - G ML m / ( d – r )² - m r ω² = 0 (2bis)

- 183 –

La résolution de cette équation est difficile. On peut cependant l’obtenir numériquement à l’aide d’une calculette (Ex 20-2). La solution donne : r = 326048 km. Le point L est donc à la distance : d – r = 58352 km du centre de la Lune. Il est décalé vers la Terre du point E d’équigravité d’environ : 20000km. JO - Cette fois le satellite en L est dans une position stable. Il y reste indéfiniment. PA - Dans le cadre de notre étude simplifiée oui ; mais il n’y a pas que la Terre et la Lune dans le système solaire. Les influences des autres astres délogent assez rapidement le satellite de sa position stable. 3 - Point de Lagrange du système Soleil -Terre. PA - Il existe le même problème pour le point de Lagrange entre le Soleil et la Terre. Il se situe à peu près au 1/100 de la distance Terre-Soleil en partant de la Terre (Ex 20-3). Des satellites d’observation du Soleil ont été mis en ce point ; mais là encore il est nécessaire d’apporter fréquemment de petites corrections pour les maintenir au point de Lagrange. Néanmoins un tel satellite est intéressant car il permet d’observer le Soleil en continu, alors que pour une telle observation sur Terre, la rotation de la Terre nécessite l’utilisation de plusieurs observatoires, sans parler des problèmes d’atmosphère. De plus, le satellite restant proche de la Terre, les communications Terre-satellite restent simples à mettre en oeuvre. 4 - Des Troyens s’installent dans deux oasis de l’espace. PA - Quand deux astres interagissent gravitationnellement, il n’y a pas qu’un seul point de Lagrange entre les deux astres sur la droite qui les joint, comme nous venons de le voir ; il en existe plusieurs autres d’abord sur cette droite au delà des deux astres, ensuite hors de cette droite. En 1772 Lagrange démontre que si des corps célestes se trouvent aux points A, B, C et C’, sommets de deux triangles équilatéraux accolés par le côté AB (fig.20-2), les corps célestes situés en C et C’ seront en équilibre stable. A et B sont les deux astres principaux ; par exemple A est la Terre et B la Lune, ou bien A est le Soleil et B une planète. Les points C et C’ sont deux nouveaux points de Lagrange. En ces points, la stabilité est plus grande qu’aux points L situés sur la droite Terre-Lune ou Soleil-planète. Notons qu’ils sont sur la même orbite que B puisque les triangles ABC et ABC’ sont équilatéraux. JO - Et a-t-on trouvé des intrus en C et C’ pour le système Terre-Lune ? Cela m’étonnerait ! PA - On a naturellement vérifié la prédiction de Lagrange pour le système Terre-Lune, A étant la Terre, B la Lune ; on ne voit malheureusement rien en C et C’. De même pour le Soleil et la Terre. JO - La théorie de Lagrange s’est donc évaporée dans le désert ? PA - Détrompe-toi. Il a vu juste ! Il fallut attendre 1906 et les années suivantes pour qu’en regardant Jupiter, on découvre sur l’orbite de cette planète, 60° en avant, un petit groupe d’astéroïdes (6 à 8 pour les plus gros), puis un peu plus tard, un autre petit groupe équivalent 60° en arrière ( fig.20-2) .

- 184 –

On appela initialement ces deux groupes les Grecs et les Troyens pour rappeler la légende de l’Iliade, le célèbre poème d’Homère. Malheureusement bien qu’ils ne puissent jamais se rattraper dans l’espace, des héros troyens comme Hector se sont infiltrés chez les Grecs et inversement le Grec Patrocle, tué par ailleurs par Hector, fut prisonnier des Troyens ; pour clarifier la situation diplomatique, on appelle actuellement les deux groupes : les Troyens, le groupe qui précède Jupiter étant précisé « groupe d’Achille », et celui qui suit Jupiter « groupe de Patrocle ». Ce qui est remarquable c’est que l’on ne s’attendait pas à trouver dans l’espace un si bel exemple d’une prédiction théorique. Comment des astéroïdes sont-ils venus trouver refuge sur l’orbite de Jupiter dans les deux oasis de Lagrange, 60° en avant et en arrière de cette grosse planète ? Les attractions gravitationnelles de Jupiter et Saturne n’y sont certainement pas étrangères. Jupiter fait deux tours du Soleil pendant que Saturne n’en fait qu’un ; aussi la distance entre elles varie et par conséquent l’influence gravitationnelle de l’ensemble des deux planètes également : on dit que par moment leurs orbites entrent en résonance. Ce phénomène de résonance a aussi une forte influence sur le voisinage des deux planètes. Il aurait pu ainsi éjecter des astéroïdes de la ceinture de Kuiper (au delà de Neptune) ou de la ceinture entre Mars et Jupiter, dont certains chanceux auraient atterris aux points de Lagrange. On pense actuellement à un autre scénario possible : au tout début de la formation du système solaire, l’orbite de Neptune aurait été à l’intérieur de celle d’Uranus mais le phénomène de résonance Jupiter-Saturne aurait expédier Neptune au delà d’Uranus, Neptune prenant ainsi sa huitième place actuelle et Uranus la septième. Ces deux planètes sont alors entrées en collision avec la ceinture de planétésimaux qui entourait le jeune système solaire, ce qui a

- 185 –

provoqué un bombardement général d’astéroïdes dans tout le système solaire, quelques uns se retrouvant peut-être en ces fameux points de Lagrange. Entraînement. Ex 20-1 - Point E d’équigravité du système Terre-Lune. Nous écrivons l’égalité (1) compte tenu de ce que FT et FL sont opposées, sur un axe dirigé vers le centre de la Terre. :

G MT m / ( d – x )² - G ML m / x² = 0 (1) MT / ( d – x )² = ML / x²

Ce qui donne: MT / ML = ( d / x – 1 )² D’où : x / d = 1 / [ 1 + √ ( MT / ML ) ] A.N. Avec : MT / ML = 81.3 et d = 384400 km , nous trouvons : x /d ≈ 1 / 10 soit :

Lu E = x = 38440 km * <<<<< * * >>>>> Ex 20-2 - Point de Lagrange L du système Terre-Lune. Nous partons de l’équation (2bis) : G MT m / r² - G ML m / ( d – r )² - m r ω² = 0 (2bis) Appelons α le rapport : ML / MT , simplifions par m et récrivons (2bis) : G MT . [1 / r² - α / ( d – r )² ] = r ω² Divisons par GMT et r les membres de droite et de gauche : 1 / r3 - α / [ r ( d – r )² ] = ω² / G MT Nous cherchons la solution sous la forme d’un nombre sans dimension q égal au rapport des distances r/d. Nous posons donc : r = q . d où : 0 < q < 1 ce qui donne : 1 / q3 - α / [ q ( 1 – q )² ] = d3. ω² / G MT (2 ter) La résolution de cette équation ne peut se faire facilement que numériquement à l’aide d’une calculette. A.N. Calcul de ω. Nous prenons le temps sidéral de révolution de la Lune : 27j 7h 43 m 11s soit : T = 2 360 592 s. D’où : ω = 2 π / T = 2.662 10-6 s-1 et : ω² = 7.085 10-12 s-2 d = 384400 km = 3.844 108 m G = 6.67 10-11 SI Mt = 5.977 1024 kg α = 1 / 81.3 Avec ces valeurs, le membre de droite de (2 ter) vaut : d3. ω² / G MT = 1.009 Nous évaluons la différence des fonctions 1 / q3 et α /(q ( 1 – q )²) du membre de gauche en fonction de q , jusqu’à ce qu’elle soit égale à : 1.009 Nous trouvons l’égalité pour q = 0.8482. Ce qui donne : r = 0.848 . d soit : r = 326048 km.

- 186 –

Et : d – r = 58352 km Ex 20-3 - Point de Lagrange du système Soleil -Terre. Nous pouvons reprendre le calcul du point de Lagrange L pour le système Terre-Lune. Le Soleil joue le rôle de la Terre et la Terre celui de la Lune. Nous tombons à nouveau sur l’équation (2 ter). Seules les données numériques changent : d = 149.6 106 km = 1 ua Ms = 1.991 1030 kg MT = 5.977 1024 kg α = MT / Ms = 3.002 10-6 T période de révolution de la Terre : T = 365.25 j = 365.25 . 86400 s ω = 2 π / T = 1.991 10-7 s-1 et : ω² = 7.085 10-12 s-2 Le membre de droite de (2 ter) vaut alors : d3. ω² / G MS = 1.000 Nous évaluons à nouveau la différence des fonctions 1 / q3 et α /( q ( 1 – q )²) du membre de gauche en fonction de q , jusqu’à ce qu’elle soit égale à : 1.000 La solution est : q = 0.99 donc : r = 0.99 . d soit :

r = 148.104 106 km.

Attention r est la distance du point L au Soleil. L se trouve donc à la distance : d – r = 0.01d = 1.5 106 = 1 500 000 km de la Terre. Cette distance à la Terre correspond au 1/100 de la distance Terre-Soleil (1ua). Le calcul du point E d’équigravité en utilisant à nouveau (1), donnerait : x / d = 1 /578 Donc la distance du point E à la Terre :

x = 258 823 km. Comme il se doit, le point E est beaucoup plus proche de la Terre que le point L * * <<<<<

<<<<<<<<<<>>>>>>>>>> BIB : (3)

- 187 –

21 - A CHEVAL SUR LES GRANDS PRINCIPES * * >>>>> 1 - Introduction. Souvent nous avons écrit de manière intuitive mais sans justification, des relations comme l’égalité au signe près, entre la force de gravitation et la force centrifuge. En fait ce genre de relation découle de principes généraux de la dynamique de Newton comme le principe d’inertie et le principe fondamental de la dynamique ; (la dynamique est l’étude de masses en mouvement sous l’action de forces). Il est important de savoir situer dans un cadre plus général et peut-être un peu plus abstrait, les relations écrites jusqu’ici. Ces grands principes dont on parle, sont énoncés dans des référentiels particuliers appelés galiléens ; nous avons la plupart du temps passé sous silence le problème des référentiels, aussi nous devons commencer en premier lieu par le regarder. 2 - Dans quel référentiel sommes-nous ? Pour décrire un phénomène qui se déroule sur Terre, on choisit habituellement un référentiel attaché au lieu où l’on se trouve, solidaire de la surface de la Terre ; la plupart du temps on prend un trièdre orthonormé (O;i,j ,k) (fig.21-1 et A.II ). Un tel référentiel est appelé référentiel terrestre. Il tourne avec la Terre dont il est solidaire. L’angle d’une maison, le coin d’une pièce, etc… peuvent faire office de référentiel terrestre. Lorsqu’on étudie le mouvement d’un satellite autour de la Terre, on choisira comme référentiel un trièdre orthonormé dont l’origine est au centre de la Terre et dont les trois axes passent par des étoiles fixes de la voûte céleste. L’axe Oz par exemple, peut passer par l’étoile polaire. Un tel trièdre ne tourne pas avec la Terre. Il est appelé référentiel géocentrique. On en choisira un analogue pour tout problème concernant un autre système planète-satellite. Enfin si l’on regarde le mouvement des planètes autour du Soleil, on choisira un trièdre orthonormé dont le centre est le centre du Soleil et dont les trois axes passent encore par des étoiles fixes. Il est commode de choisir les axes Ox et Oy dans le plan de l’Ecliptique où se déplacent pratiquement toutes les planètes et l’axe Oz perpendiculaire à ce plan. Un tel référentiel est appelé référentiel de Copernic, ou héliocentrique. NOTE - En toute rigueur nous devrions tenir compte des effets de centre de masse ; il faudrait mettre l’origine du référentiel au centre de masse des systèmes Terre-satellite ou Soleil-planète et non au centre de la Terre ou du Soleil. Mais la Lune ayant une masse 81 fois plus faible que celle de la Terre et surtout les planètes ayant une masse très inférieure à celle du Soleil ( la masse de la plus grosse planète Jupiter, n’est que le millième de celle du Soleil ), ces effets peuvent la plupart du temps être négligés. 3 - Principe de l’action et de la réaction. PA - Voici un premier principe énoncé par Newton, il dit la chose suivante : Quand deux objets interagissent, la force exercée par le premier sur le second est égale et opposée à celle exercée par le second sur le premier. Le principe des actions réciproques dont nous avons souvent parlé (voir par ex. (ch.9-2)) est une autre dénomination de ce principe.

- 188 –

PA - Supposons que tu es immobile en un point de la surface de la Terre dans un référentiel terrestre attaché à ce point (fig.21-2). Ton poids P est la force d’attraction que la Terre exerce sur toi.. Est-ce la seule force qui s’exerce sur toi ?

- 189 –

JO - Ben évidemment ! Puisque je suis immobile, donc en équilibre. PA - Eh bien non ! Il y en a une autre : c’est la « réaction » R du sol. La preuve que cette force existe réellement est que si on enlève le sol sous tes pieds, tu n’es plus en équilibre et tu tombes plus bas. Le sol joue donc obligatoirement un rôle dans ton équilibre. JO - Et comment est-elle cette réaction du sol ? PA - Puisque tu es immobile, la réaction R est égale et opposée à ton poids P , la somme de ces deux forces est nulle (voir section 5 ) et l’on peut écrire :

P + R = 0 ou P = - R (1) Tu suspends un pendule au plafond ; au repos il est vertical. Le poids P du pendule est exactement compensé par la tension T du fil , et l’on a encore : T + P = 0 ou T = - P La tension du fil joue le rôle de la réaction précédente. Par contre une météorite au delà de l’atmosphère terrestre qui tombe en direction du centre de la Terre est soumis à la force de gravitation F. Il n’y a pas de « sol » pour arrêter sa chute, donc il n’y a pas de réaction. 4 - Les référentiels galiléens. PA - Nous imaginons un réseau ferroviaire autour d’une gare. JO est immobile sur le quai. Sa position est repérée dans le référentiel terrestre attaché au quai. Nous supposons que tous les trains circulent dans les parages sur des voies rectilignes à vitesse constante ; ils sont animés d’un Mouvement de Translation Rectiligne Uniforme que nous notons : MTRU . On suppose également que les voies sont parfaites, les trains aussi, propres, silencieux et sans secousses, et qu’il n’y a ni frottements mécaniques, ni résistance de l’air. Nous attachons des référentiels terrestres à chaque train. JU se tient debout, immobile, dans un train qui passe dans la gare à la vitesse constante de 80 km/h et s’éloigne au loin. Sa position est repérée dans le référentiel du train ; JU et ce référentiel du train sont donc animés d’un MTRU par rapport au référentiel du quai. Plaçons nous dans le référentiel du quai. JO voit JU et son train s’éloigner d’elle. Plaçons nous ensuite dans le référentiel du train où JU est immobile : JU voit également JO s’éloigner d’elle. Elle pourrait très bien juger qu’elle et son train sont immobiles et que c’est en fait JO, le quai, la gare, le paysage, etc……qui s’éloignent d’elle. Ainsi JU pourrait affirmer qu’elle est immobile et que le référentiel du quai est animé d’un MTRU par rapport à son propre référentiel du train. JO et JU réfléchissent, ont des doutes et s’aperçoivent qu’aucune d’elles ne peut affirmer être vraiment la seule immobile ou à se déplacer. Mais JO revient à sa première impression. JO - Quand même ! Je pense que c’est moi sur le quai, qui suis la plus immobile des deux. PA - Ne t’est-il pas arrivé de te trouver dans un train ou un métro arrêté dans une gare et juste de l’autre côté de la fenêtre de voir un autre train qui arrive ou démarre très lentement au

- 190 –

point que tu finis par te demander si c’est ton train qui bouge ou non ; pour le savoir, tu regardes alors par la fenêtre de l’autre côté pour voir si la gare se déplace ou non. Une personne dans l’autre train peut par ailleurs faire la même constatation. En général on finit par se rendre compte que son train se déplace parce que les voies et les trains ne sont jamais parfaits. Mais s’ils roulent lentement à vitesse constante (MTRU), que tout est parfait et que l’on ferme les yeux, il est impossible de savoir qui se déplace. Par contre, même si tout est parfait et que ton propre train accélère ou freine, alors là tu peux être sûre que c’est ton train qui a bougé Autre exemple : lorsque tu es dans un ascenseur pendant la longue partie de la montée où il monte à vitesse constante, tu ne ressens rien et il t’est arrivé parfois de penser que l’ascenseur est immobile d’autant plus que tu ne vois rien dehors. Tu pourrais très bien l’affirmer, dire que tu es immobile dans l’espace et que c’est la cage d’escalier, l’immeuble, le sol …qui descendent. Par contre au démarrage où tu te sens un instant plus lourde et à l’arrivée à l’étage où tu te sens plus légère, là alors, tu peux affirmer que c’est bien toi et l’ascenseur qui montez. Tous ces référentiels animés les uns par rapport aux autres d’un Mouvement de Translation Rectiligne Uniforme (MTRU) sont appelés référentiels galiléens. Ils sont équivalents. Ils sont importants car les grands principes de la mécanique de Newton que nous allons voir s’appliquent dans ces référentiels. JO - Il paraît que des gens qui sortent de l’E.N.A. et qui à première vue paraissent intelligents, définissent un ballon de rugby comme un « référentiel bondissant et aléatoire » . Ce référentiel est-il galiléen ? PA - Je ne suis pas sûr que le A de E.N.A. signifie Administration. NOTE - Les référentiels terrestre, géocentrique et héliocentrique sont assimilés à des référentiels galiléens. Nous verrons plus loin que ce n’est qu’une approximation. 5 - Le principe d’inertie. Nous devons à Galilée et à Newton ce principe important appelé principe d’inertie . Dans un référentiel galiléen si la somme des forces qui s’exerce sur un objet est nulle, l’objet est soit immobile, soit il se déplace en ligne droite à vitesse constante c’est à dire est animé d’un mouvement rectiligne uniforme (MTRU) Premier exemple : plaçons nous dans le référentiel galiléen du quai où JO est immobile. Nous avons vu que la somme des forces qui s’exercent sur elle, poids et réaction du sol, est nulle : ce qui est compatible avec le principe d’inertie. JU est immobile dans le référentiel galiléen de son train toujours animé d’un MTRU à la vitesse (constante) de 80 km/h ; la somme des forces qui s’exercent sur elle, poids et réaction du plancher du train, est également nulle. JU se déplace d’un MTRU par rapport au référentiel de quai., en accord avec le principe d’inertie. Deuxième exemple : plaçons nous dans le référentiel terrestre d’une patinoire. Nous lançons un palet avec une certaine vitesse ; le poids du palet est équilibré par la réaction de la glace, la somme des forces qui s’exercent sur le palet est nulle ; il va garder cette vitesse et continuer sa route en ligne droite d’un MTRU, les frottements sur la glace étant négligeables.

- 191 –

Troisième exemple : reprenons l’exemple du parachutiste qui saute d’un avion en chute libre juste au dessus du terrain d’aviation (ch.10-6). Nous repérons sa position dans le référentiel terrestre du terrain d’aviation. (Nous regardons son mouvement uniquement avant l’ouverture définitive du parachute). Dès le départ notre parachutiste tombe verticalement ; il est soumis à la seule force de gravitation. Il n’y a pas de « réaction » du sol pour arrêter sa chute. Sa vitesse augmente très rapidement. Il accélère. Son mouvement n’est pas un MTRU. Mais la résistance de l’air qui dépend fortement de cette vitesse de chute, augmente également très rapidement et finit par compenser exactement la force de gravitation. A ce moment là, la résistance de l’air est égale et opposée à la force de gravitation, donc la somme des forces appliquées au parachutiste est nulle. Dès lors le parachutiste continue sa chute à vitesse constante comme le veut le principe d’inertie. Il a atteint sa vitesse limite. Son mouvement devient un MTRU. Si nous attachons alors un référentiel au parachutiste (en supposant qu’il ne s’entraîne pas à des pirouettes pour la prochaine compétition et que les axes de son référentiel restent bien parallèles à ceux du référentiel du terrain d’aviation), son référentiel est devenu galiléen. Inversement si l’on voit un parachutiste tomber en ligne droite à vitesse constante on peut affirmer que la résistance de l’air est exactement égale à son poids. Cette hypothèse de la vitesse v constante (vecteur v constant), intervient souvent dans les problèmes de physique : d’après le principe d’inertie, elle revient à dire que la somme de toutes les forces appliquées au mobile est nulle, ce qui implique une relation entre les diverses forces ; s’il n’y en a que deux, elles sont égales et opposées. 6 - Le principe fondamental de la dynamique. Nous devons encore une fois à Newton, un principe très important, le principe fondamental de la dynamique. Il s’énonce ainsi : Principe fondamental de la dynamique : dans un référentiel galiléen, la somme F des forces qui agissent sur un objet de masse m lui communique une accélération a telle que :

F = m . a (2) Finalement le principe fondamental semble énoncer quelque chose qui paraît évident, il ne dit rien d’autre que pour mettre un objet de masse m en mouvement, c’est à dire pour lui communiquer une accélération a, il faut exercer sur lui une force F. Donc dès qu’une force apparaît, un accélération dans la même direction (direction et sens) apparaît, et inversement la présence d’une accélération traduit l’existence d’une force. Dans le référentiel galiléen de la gare, la force F sera par exemple la force motrice d’un train qui communique à ce train et à tous ses passagers supposés immobiles, une accélération a dans la même direction. Revenons à notre parachutiste amateur de chute libre (section 5 - 3ième exemple) et plaçons nous dans le référentiel galiléen du terrain d’aviation. Dans la phase accélératrice du début de la chute, la seule force qui agit sur le parachutiste est la force de gravitation F. Elle lui donne une accélération a dirigée dans la même direction et le même sens que F, telle que : F = m.a

- 192 –

Mais puisque F = m.g0 , cela veut dire que l’accélération du parachutiste est : a = g0. C’est ce que nous avons vu dans la chute de la pomme (ch.10-1). Cette relation (2) régit le mouvement du parachutiste ; à partir d’elle on peut remonter aux équations de la chute libre (ch.11-2). Le principe fondamental de la dynamique contient le principe d’inertie. L’expression (2) montre que si l’accélération est nulle, la vitesse (vecteur vitesse) est nulle ou constante (car une accélération est une variation de vitesse), mais de toute façon la force est nulle. L’objet est par conséquent soit immobile soit animé d’un MTRU. Reprenons nos trains. JO est immobile sur le quai. Son accélération est nulle donc la somme des forces qui s’exercent sur elle, poids et réaction, est nulle. Il en est de même pour JU immobile dans son train qui roule à vitesse constante de 80 km/h, donc sans accélération. La somme des forces qui s’exercent sur elle, est nulle. Sur le quai de JO il y a un pendule au repos, à l’équilibre, donc vertical dans le référentiel du quai. Dans le référentiel galiléen du train de JU, il y a un pendule identique également à l’équilibre ; le train a beau rouler à la vitesse constante de 80km/h, le pendule de JU est aussi dans la même position verticale car les deux pendules sont chacun dans des référentiels galiléens (fig.21-3). Mouvements dans des référentiels galiléens. Maintenant JO fait rebondir une petite balle sur le quai (fig.21-3). JU fait exactement de même dans le train avec une balle identique (dans des conditions supposées identiques) ; son train a beau rouler à 80km/h , le mouvement de la balle de JU dans le référentiel galiléen du train sera exactement le même que celui de la balle de JO dans le référentiel galiléen du quai. Il en est de même si JO et JU font osciller de la même manière leur pendule respectif. Les oscillations sur le quai et dans le train seront identiques. Ainsi en regardant seulement les mouvements du pendule ou de la balle dans son train, JU serait encore une fois incapable de dire si c’est son référentiel du train ou celui du quai qui se déplace ou non, parce que ces référentiels sont galiléens. JO sur le quai, peut faire la même constatation. Puisque les équilibres et les mouvements d’objets dans deux référentiels galiléens sont identiques, cela veut dire qu’il n’y a pas de référentiel galiléen privilégié , ou qu’il y a équivalence complète entre deux référentiels galiléens en mouvement l’un par rapport à l’autre. Comme tous les référentiels galiléens sont animés les uns par rapport aux autres d’un MTRU, on peut montrer facilement que les accélérations sont les mêmes dans tous ces référentiels, donc d’après le principe fondamental de la dynamique, les forces le sont également. C’est pourquoi les lois de la dynamique sont identiques dans tous les référentiels galiléens.

- 193 –

Le principe de relativité de Galilée énonce même qu’il en est ainsi pour toutes les lois de la physique. En 1905 ce principe va même être renforcé dans la théorie de la Relativité Restreinte d’Einstein. Il fut reproché à Galilée sa vision d’une Terre qui n’était plus immobile au centre du monde ; pour se justifier, ses détracteurs invoquaient cet argument : si la Terre se déplace, on doit obligatoirement s’en apercevoir par les effets physiques provoqués par son mouvement. Ils avaient tort car comme nous venons de le voir, tout phénomène physique n’est pas influencé par le mouvement de référentiels galiléens. NOTE – Ce n’est pas parce que les lois physiques sont identiques dans deux référentiels galiléens différents, qu’un même phénomène ne puisse pas apparaître de manière différente lorsqu’il est observé à partir de deux référentiels galiléens différents. Si JO sur le quai pouvait suivre avec des jumelles la trajectoire de la balle de JU dans le référentiel galiléen du train, elle ne verrait pas la même trajectoire que la sienne sur le quai ; elle verrait une trajectoire avec des festons bien plus allongés (fig.21-3). 7 - La force d’inertie. PA - Nous venons de voir que pour mettre en mouvement un objet, il faut exercer une force F qui va lui communiquer une accélération a. En regardant les choses par l’autre bout de la lorgnette, on peut dire que tout objet est réticent à sa mise en mouvement, parce qu’il a de l’inertie du fait de sa masse que l’on appelle pour cette raison la « masse inertielle ». C’est comme toi lorsqu’il faut te réveiller pour aller au lycée. JO - Tu n’aurais pas un exemple plus parlant à choisir. PA - Ceci revient à dire que lorsqu’il y a mise en mouvement, il apparaîtra toujours une force que l’on appelle force d’inertie f opposée à F et à l’accélération a , donc au sens du mouvement. On conçoit que plus la masse à déplacer est grande et l’accélération forte, plus la force d’inertie sera élevée. Ainsi la force d’inertie s’écrit simplement :

- 194 –

f = - m . a (3)

Exemple-1. Tu ressens très bien cette force lorsque tu te trouves dans une voiture qui démarre ; la force motrice du moteur F met la voiture en mouvement et lui communique une accélération a vers l’avant ; donc la force d’inertie qui est en sens contraire, est dirigée vers l’arrière ; c’est elle qui te plaque contre le dossier pendant l’accélération. Maintenant la voiture roule sur une ligne droite à vitesse constante (MTRU). Aucune force ne s’exerce sur toi car ton poids est équilibré par la réaction du siège. Si enfin la voiture roule à vitesse constante en ligne droite, puis freine : elle est alors soumise à une décélération (ou accélération négative, accélération dans le sens contraire de la marche). Une force d’inertie apparaît pendant la décélération, elle est donc dans le sens de la marche et te projette vers l’avant. JO - C’est bon ! J’avais mis ma ceinture… Exemple-2. Tu prends l’ascenseur au RDC pour aller au 7ième étage. A l’arrêt ton poids P dirigé vers le bas est équilibré par la réaction R du plancher de l’ascenseur, dirigée vers le haut. Tu ne ressens rien.(fig.21-4). L’ascenseur démarre : l’accélération est dirigée vers le haut, donc la force d’inertie vers le bas ; elle vient donc s’ajouter à ton poids. C’est pourquoi durant l’instant de démarrage tu te sens plus lourde. JO - Pourrait-on représenter les forces pour y voir plus clair ? PA - Tu as raison, soyons plus précis ; tu ressens la somme des deux forces suivantes : ton poids et la force d’inertie ; cette somme est opposée à la réaction R du plancher de l’ascenseur. Il te suffit donc de regarder (la norme de) la réaction R et de la comparer à celle du poids P. Si elle est plus grande tu te sens plus lourde ; si elle est plus faible, plus légère. Je continue dans l’ascenseur. Tout redevient normal pendant la montée à vitesse constante. Il n’y a ni accélération , ni force d’inertie. Le mouvement est rectiligne uniforme. Tu ne ressens aucune force ; ton poids est équilibré par la réaction du plancher de l’ascenseur. Le principe d’inertie s’applique. A l’arrivée au 7ième, l’ascenseur freine et s’arrête, l’accélération est dirigée vers le bas puisqu’il y a décélération, donc la force d’inertie vers le haut ; elle s’oppose et se retranche alors à ton poids. La réaction R est plus faible. C’est pourquoi durant le court instant de freinage à l’arrivée, tu te sens plus légère.

- 195 –

- 196 –

JO - Nous sommes dans l’ascenseur au 7ième étage ; le câble casse. L’ascenseur qui n’a pas été révisé depuis trois siècles, tombe en chute libre. A part la peur, que ressentons-nous ? PA - L’accélération a de l’ascenseur et de ses passagers est celle de la chute libre g0 comme nous l’avons vu dans le paragraphe du principe fondamental de la dynamique ou la chute de la pomme (ch.10). Par conséquent la force d’inertie est dirigée vers le haut et est exactement opposée au poids ; la somme de ces deux forces étant nulle, la réaction R est nulle. Tu n’appuies plus sur le plancher ; tu es donc en apesanteur. Supposons une boule suspendue par un ressort au plafond de l’ascenseur. Dans la chute libre de l’ascenseur le ressort ne serait ni tendu, ni comprimé, contrairement à ce que répondent les élèves dans ce genre d’exercice, puisque l’ascenseur et tout ce qui est dedans, tombe en chute libre. Le ressort se comporte comme si la boule n’était plus accrochée ; attention, ce n’est pas la même chose que s’il était au repos dans l’ascenseur à l’arrêt, où il est un peu tendu par le poids de la boule. Il en serait de même si tu te trouvais dans un vaisseau spatial tombant en chute libre sur la Terre : tu serais en apesanteur…. Du moins tant que tu ne mets pas en marche les rétro-propulseurs pour te freiner. Exemple-3. Montons à nouveau en voiture. Celle-ci aborde maintenant un virage en arc de cercle. Même si elle roule à vitesse constante, on sait qu’il y a quand même une accélération car la direction de la vitesse v change à chaque instant et que cette accélération a est centripète, c’est à dire dirigée vers le centre de l’arc de cercle (ch.17-5). S’il y a une accélération, il y a une force d’inertie dirigée en sens opposé, c’est à dire vers l’extérieur de la trajectoire circulaire. C’est elle qui te plaque cette fois contre la portière, comme tu le serais dans une chenillette de manège qui tourne rapidement, ou comme du linge dans une essoreuse ; dans le cas d’un mouvement circulaire cette force d’inertie est appelée force d’inertie centrifuge ou simplement force centrifuge . 8 - L’équilibre relatif. PA - Revenons à la phase accélératrice du parachutiste du début de la chute libre décrite plus haut. Dans son propre référentiel il est évidemment immobile. La seule force réelle qui agit sur lui est la force de gravitation F. Donc dans son propre référentiel, la somme des forces n’est pas nulle. Le parachutiste se dit la chose suivante : dans mon propre référentiel, je suis immobile et pourtant une force non nulle F s’exerce sur moi. Le principe d’inertie ne marche donc pas. Où est l’erreur ? Regardons encore ce qu’il advient de JU dans le référentiel du train lorsque celui-ci accélère pour atteindre la vitesse de 80 km/h (section 5 - 1er exemple). Elle est au départ immobile sur un siège dans le sens de la marche. Son poids est équilibré par la réaction du siège. Nous ne nous en occupons pas. Pendant la phase accélératrice, JU est plaquée et reste immobile contre le dossier de son siège par la force d’inertie opposée à la marche du train. Suivons le raisonnement de JU : elle est soumise à la seule force réelle, la force motrice F du train qui lui est transmise par son siège. Elle est immobile et pourtant la seule force qui s’exerce sur elle, F n’est pas nulle ! Où est l’erreur ! JO - Euh ! …. Pourtant ils n’ont pas tort ! Ils sont bien immobiles dans leurs référentiels !

- 197 –

PA - Ils se trompent pourtant. L’erreur du parachutiste est d’appliquer le principe d’inertie dans son propre référentiel qui accélère et n’est donc pas galiléen. Même punition pour JU : son référentiel du train qui accélère et où elle est immobile, n’est pas galiléen. Comment pourrait-on écrire que le parachutiste et JU sont immobiles donc effectivement à l’équilibre dans leur référentiels non galiléens ? On aimerait bien écrire quelque chose semblable au principe d’inertie, à savoir que la somme des forces qui s’exercent sur un objet est nulle. Mais maintenant ce n’est plus vrai ! Il n’est pas difficile de constater que tout s’arrange si l’on fait intervenir dans l’équilibre la force d’inertie f. Ainsi dans un référentiel non galiléen, nous écrirons que la somme des forces F qui agissent sur l’objet y compris la force d’inertie f , est nulle :

F + f = 0 soit : F – m . a = 0 (4) Elle signifie que dans un référentiel non galiléen, on peut écrire un équilibre que l’on appelle équilibre relatif en tenant compte des forces réelles mais sans oublier la force d’inertie. JO - Alors là bravo ! Peux-tu me dire la différence entre (2) et (4). Moi, je ne la vois pas. PA - Effectivement (2) et (4) peuvent sembler identiques. En réalité (2) est écrite pour un observateur dans un référentiel galiléen qui regarde le mobile qui accélère. Alors que (4) est écrite pour un observateur dans le référentiel non galiléen qui accélère : le référentiel propre du parachutiste en chute libre, ou celui du train qui accélère de JU. Pour cet observateur en équilibre dans son référentiel non galiléen, la somme des forces F sans oublier la force d’inertie f , est bien nulle. Prenons encore l’exemple du pendule de masse m dans le train de JU. JO est l’observatrice dans le référentiel galiléen du quai. Que voit-elle ? Quand le train accélère, le pendule recule puis s’immobilise vers l’arrière par rapport à la verticale pendant toute l’accélération, de telle sorte que la somme des forces, à savoir le poids P et la tension du fil T, soit égale à m.a selon (2) : (fig.21-5 train du haut) :

P + T = m.a JU est l’observatrice dans le référentiel non galiléen du train. Que voit-elle ? JU voit également le pendule penché vers l’arrière et immobile pendant toute l’accélération. Elle écrit donc l’équilibre relatif (4) ; la somme du poids P, de la tension du fil T et de la force d’inertie : f = - m.a est nulle (fig.21-5 train du bas) :

P + T + f = 0 Dans l’exemple de l’ascenseur, nous sommes des observateurs dans le référentiel non galiléen de l’ascenseur pendant le démarrage et l’arrivée au 7ième. Nous avons donc écrit l’équilibre relatif (4) entre la réaction R, le poids P et la force d’inertie f :

R + P + f = 0 ou R = - ( P + f )

Il est clair que la relation (2) : R + P = m.a

donne évidemment le même résultat.

- 198 –

En conclusion on écrit (2) ou (4) selon le référentiel où l’on se place. Le résultat physique est naturellement le même puisqu’il concerne le même phénomène.

NOTE - Attention ! Ce qui vient d’être dit concernant l’équilibre relatif, n’est valable que si l’objet ou la personne est immobile dans le référentiel non galiléen. Dans le cas contraire l’accélération du mobile et donc la force d’inertie, n’est plus la même selon qu’elle est évaluée par rapport au référentiel non galiléen ou galiléen, alors qu’elle est la même dans tous les référentiels galiléens qui se déplacent les uns par rapport aux autres. 9 - Application au mouvement circulaire uniforme. Pour nous cette application est importante parce que ce mouvement apparaît pratiquement partout dans de livre. Plaçons nous par exemple dans le repère galiléen géocentrique. Un satellite artificiel tourne sur son orbite d’un mouvement circulaire uniforme autour de la Terre. La force qui s’exerce sur le satellite est la force F de gravitation. On sait que l’accélération a est centripète. Pour un observateur immobile dans le repère galiléen géocentrique, le principe fondamental de la dynamique permet d’écrire (2) : F = m .a Cela veut dire que la force de gravitation F communique au satellite une accélération a centripète, de même direction et sens, dirigée vers le centre de la trajectoire : elle tire le satellite vers le centre. Ainsi parce que sa vitesse tangentielle change de direction à chaque instant à cause de la force de gravitation, le satellite « tombe » vers le centre…d’une très petite distance, certes, mais cette micro-chute se passe à chaque instant ; sinon il continuerait dans la direction de sa vitesse et s’écarterait ainsi du cercle.

- 199 –

Pour un observateur dans le référentiel non galiléen du satellite. Puisque l’accélération a est centripète, il y a donc une force d’inertie centrifuge f = - m .a en sens opposé, vers l’extérieur de l’orbite. Le satellite ou tout astronaute immobile dans le satellite, est évidemment immobile dans le référentiel du satellite. Nous pouvons alors écrire l’équilibre relatif (4) dans ce référentiel non galiléen du satellite :

F + f = 0 Cela explique pourquoi un astronaute dans un satellite ne ressent aucune force et se trouve en apesanteur. C’est cette relation (4) de l’équilibre relatif que nous avons utilisée très souvent dans nos problèmes gravitationnels. Dans la Station Spatiale Internationale (ISS) qui tourne autour de la Terre d’un mouvement circulaire uniforme, nous pouvons appliquer l’équilibre relatif à l’ISS et à un astronaute immobile dans la station. Mais rappelons que nous n’avons plus le droit si l’astronaute court dans la station, car le référentiel de l’ISS est non galiléen. NOTE - Le référentiel héliocentrique n’est en réalité pas tout à fait galiléen car le système solaire tourne autour du centre galactique, sa trajectoire n’est donc pas parfaitement rectiligne ; il en est de même du référentiel géocentrique car la Terre tourne autour du Soleil. Les référentiels terrestres sont « les moins galiléens » car la Terre tourne en plus sur elle-même. Toutefois si l’on regarde des phénomènes physiques qui ne sont ni trop rapides ni de durée trop longue, l’expérience montre que les référentiels terrestres peuvent être considérés en première approximation comme galiléens… à fortiori les autres. * * <<<<<

<<<<<<<<<<>>>>>>>>>>

- 200 –

22 - UN PEU D’ENERGIE

Fil d’Ariane : 3-4-5-6-7-9-10-17-18-19-22 Comme Thésée sortant du labyrinthe, vous atteignez le bout du fil d’Ariane à la fin de ce chapitre. Il nous reste à expliquer maintenant les notions d’énergie potentielle, cinétique et mécanique qui vont nous permettre de calculer les vitesses dites de « libération », vitesses que l’on doit acquérir pour échapper à l’attraction terrestre, à celle du Soleil etc…. Le rocher de Sisyphe. A Corinthe régnait un roi du nom de Sisyphe qui était le pire tyran que la Terre ait connu : crimes, brigandages de toutes sortes étaient la distraction favorite de son quotidien. Au grand soulagement de la population, il mourut soudainement. Sans même se rendre compte qu’il était réellement mort, il trouva en revenant dans son palais une convocation, un recommandé, écrite de la main même de Hadès, le Dieu des Enfers. Une terreur sans pareil s’empara de lui. Le lendemain il se rendit tout penaud et tremblant au palais de Hadès au bord du Styx, car il se doutait bien de la terrible punition qui allait lui tomber sur la tête. Toute sa vie se déroula devant ses yeux en un rien de temps et il put voir défiler les innombrables méfaits qu’il avait commis. Pas le moindre geste de générosité ou de bonté qui aurait pu sauver la mise, n’apparaissait. Son procès eut lieu rapidement, pendant lequel, malgré la situation dramatique où il se trouvait, il ne put s’empêcher de prendre une allure hautaine devant la Cour de justice ; il était roi tout de même ! Hadès passablement énervé par cette attitude, lut le verdict : « Sisyphe vous êtes condamné à monter ce rocher au sommet de cette montagne » . Le rocher et la montagne apparurent sur un écran géant installé en toute hâte car il y avait énormément de monde à ce procès très médiatisé. Sisyphe pensa faire appel, mais à la vue du rocher, il jugea que la punition était finalement peu conséquente comparée aux supplices auxquels il s’attendait. Sisyphe se trouva devant le rocher et commença à le pousser vers le sommet de la montagne. Les premiers mètres se passèrent sans trop de difficulté. A mi-pente, Sisyphe avait déjà dépensé beaucoup d’énergie, il transpirait, gémissait et insultait son rocher. Enfin bientôt tout serait terminé, le sommet approchait. Après ce travail d’intérêt général, il pensait qu’il coulerait des jours heureux. A une centaine de mètres du sommet, le vent se leva. Pour être plus efficace, Sisyphe avait une épaule et la joue appuyée contre le rocher. Il lui sembla alors entendre une voix venant de l’intérieur du rocher. « C’est bien Sisyphe, grâce à toi j’ai augmenté mon énergie potentielle de pesanteur. Maintenant je vais la transformer en énergie cinétique, grâce à ton père ». Son père était Eole, le dieu des Vents. En effet en approchant du sommet de la montagne, le vent devenait si violent que Sisyphe avait du mal à se tenir debout et à retenir le rocher. Soudain il le lâcha ; le rocher dévala toute la pente et arriva à grande vitesse au point de départ. Sisyphe décontenancé et découragé descendit de la montagne, intrigué par ce rocher qui racontait des choses incompréhensibles. « Ah ! te voilà Sisyphe » dit le rocher « As-tu vu l’énergie cinétique que j’ai acquise en bas de la pente ? Toute l’énergie potentielle que tu m’avais donnée au sommet s’est transformée dans ma chute en énergie cinétique. Maintenant il ne te reste plus qu’à recommencer. Je tiens à retrouver mon énergie potentielle ». Sisyphe ne comprenait rien et voulut se débarrasser du rocher. Mais celui-ci devina ses intentions et résonna de tout son volume en émettant un rire puissant « Si tu veux m’éloigner

- 201 –

de ce pays, il faudrait que tu me communiques la fameuse vitesse de libération. Ah ! Ah ! Ah !… ». Seul le mot « libération » retint l’attention de Sisyphe et le laissa perplexe ; mais le rocher s’impatientait. « Allez en route, au sommet ! sinon j’appelle les Furies » A ce mot, Sisyphe qui connaissait parfaitement les terrifiantes Furies puisqu’il avait utilisé leurs méthodes envers ses concitoyens, reprit en toute hâte la remontée du rocher. A une dizaine de mètres du sommet, ce fût la même scène : le vent effroyable et la chute du rocher. Elle allait se répéter indéfiniment. Quelques siècles plus tard, la Société Générale des Dieux Grecs fut restructurée et le Dieu des Enfers Hadès fut délocalisé à Rome et dut prendre le nom de Pluton sans se douter que vingt siècles plus tard il serait mis sur la touche avec toutefois un matelas moelleux et conséquent de deniers et de stock-options. Pluton voulut marquer son arrivée à Rome par tout un lot de mesures de clémence et de promesses électorales qui s’avèreront jamais tenues. Certains vieux parrains de la mafia sicilienne qui existait déjà à l’époque, s’attendaient au même sort que Sisyphe et en conséquence plaidèrent en sa faveur. Pluton décida alors d’arrêter le supplice le jour où Sisyphe non seulement commencerait à avoir quelques remords mais aussi comprendrait la transformation de l’énergie et la signification de la vitesse de libération. Avec son rocher sans cesse remonté au sommet de la montagne, Sisyphe avait dû, pensait-il, acquérir une grande expérience et un peu de sagesse. Mais Sisyphe avait été un dictateur, un tyran, bref un roitelet sans envergure comme il en existe encore beaucoup trop dans le monde. Son cerveau avait la taille d’un raisin de Corinthe et il ne comprit jamais rien ni à la vie ni à la Physique ; sa punition fût donc éternelle. * >>>>> 1 - L’énergie potentielle de pesanteur. PA - L’histoire fantaisiste de Sisyphe montre que si l’on veut monter un rocher ou un objet de masse m de la surface de la Terre à une hauteur h, il faut dépenser de l’énergie, fournir un certain travail en luttant contre la force de gravitation F ( F = m.g0 ) sur toute la hauteur h, car l’objet m veut toujours retomber. On dit que ce travail T est « résistant » ; pour cette raison on l’affecte en général du signe « - ». Il vaut : T = - m.g0.h . Ce travail ne dépend que de la différence de hauteur h et ne dépend pas du chemin suivi pour le monter à cette hauteur. L’énergie dépensée n’est cependant pas perdue pour tout le monde ; elle a été emmagasinée par l’objet (le rocher) qui se retrouve « potentiellement » plein d’énergie ; cette énergie positive emmagasinée et gagnée est justement égale et opposée au travail T ; on l’appelle énergie potentielle de pesanteur, elle augmente avec la hauteur h et vaut donc :

Ep = m.g0.h (1)

Comme toute énergie, Ep s’exprime en Joule. Ce n’est pas un vecteur mais un nombre. Il paraît normal de prendre nulle l’énergie potentielle au point le plus bas, donc à la surface de la Terre (fig.22-1- partie gche). JO - Si h = 0 , je ne vois pas pourquoi Ep serait différent de 0 ! PA - Cette condition n’est pas obligatoire car en réalité on ne peut mesurer que des différences d’énergie potentielle et Ep est une différence d’énergie potentielle ; ce qui veut dire que l’énergie potentielle est définie à une constante arbitraire K près.

- 202 –

Ainsi Ep = m.g0.h est en réalité la différence entre l’énergie potentielle Eph à la hauteur h et celle Epo à la surface de la Terre qui n’est pas obligatoirement nulle :

Ep = Eph – Epo (1 bis ) où : Epo = K et : Eph = m.g0.h + K Dans la différence la constante K s’élimine et l’on retrouve bien (1) : Ep = m.g0.h .

Remarque - Nous aurions pu choisir : K = - m.g0.h , dans ce cas nous aurions eu : Epo = - m.g0.h et Eph = 0 mais la différence : Ep = Eph – Epo positive, resterait toujours égale à : m.g0.h .

Retenons que Ep n’est qu’une différence d’énergie potentielle qui seule nous intéresse.

- 203 –

2 - L’énergie cinétique. PA - Un objet de masse m qui possède une vitesse v a aussi une énergie due à son mouvement que l’on appelle énergie cinétique Ec . Elle est positive, s’exprime en Joule et vaut :

Ec = (1/ 2). m .v² (2)

JO - Ec contient le vecteur vitesse v. Pourtant une énergie n’est pas un vecteur, que je sache ! PA - Tu devrais savoir que le carré d’un vecteur v2 = v.v est égal au carré v2 de sa norme. C’est donc un nombre et non un vecteur. 3 - Transformation de l’énergie potentielle en énergie cinétique ou l’inverse. PA - L’histoire précédente montre que le rocher à la hauteur h peut perdre toute son énergie potentielle de pesanteur Ep en retombant au fond de la vallée. En fait cette énergie n’est pas perdue, le rocher en dévalant la montagne acquiert une grande vitesse v , donc de l’énergie cinétique Ec. Toute l’énergie potentielle : Ep = m.g0.h emmagasinée par le rocher se transforme au cours de la descente en énergie cinétique : Ec = (1/2).m.v² Cette énergie cinétique n’est pas non plus perdue car le rocher peut provoquer des dégâts en arrivant à grande vitesse dans la vallée comme percuter une maison, éjecter des pierres et être freiné brusquement dans la terre en l’échauffant etc… Autre exemple plus réaliste : l’eau d’un torrent de montagne qui tombe d’une hauteur h après avoir été canalisée dans une conduite dite « forcée », peut faire tourner un ensemble turbine et alternateur pour produire de l’énergie électrique. L’énergie potentielle de pesanteur du torrent a été transformée en énergie cinétique de la masse d’eau, laquelle est convertie à son tour en énergie électrique. Un exemple très parlant de la transformation de l’énergie potentielle de pesanteur en énergie cinétique ou l’inverse, est donné par le pendule (fig.22-2). Etudions-le de plus près. Nous représentons l’énergie potentielle en bleu et l’énergie cinétique en rouge. Le pendule de masse m oscille entre les positions A et A’ où il s’arrête pour faire demi-tour. Il passe avec la vitesse maximum v par le point d’équilibre B, point le plus bas, où l’on prend l’énergie potentielle égale à 0. On appelle h la différence de hauteur entre A et B. En A et A’ l’énergie cinétique Ec du pendule est nulle puisque sa vitesse est nulle, mais l’énergie potentielle Ep est maximum ; elle vaut : Ep = m.g0.h. En B l’énergie cinétique Ec est maximum ; elle vaut : Ec = (1/2).m.v². L’énergie potentielle Ep est nulle. Nous avons un échange perpétuel d’énergie potentielle Ep en énergie cinétique Ec, et l’inverse. On comprend alors que l’énergie Ec en B est égale à l’énergie potentielle Ep en A, c’est à dire :

(1/2).m.v² = m.g0.h (3)

Connaissant h on peut donc savoir à quelle vitesse v le pendule traverse le point B :

v = √ (2.g0.h) (4)

- 204 –

- 205 –

JO - A la place de l’inculte Sisyphe, j’aurais fait une rampe ayant la forme de la trajectoire du pendule dans laquelle roulerait le rocher ; il reviendrait ainsi à chaque période au sommet, sans rien faire ; je suppose évidemment qu’il n’y a pas de frottements aux Enfers (fig.22-2). Où alors je mets un ressort au point le plus bas ; le rocher en arrivant à toute vitesse le comprime ; le ressort se détend et renvoie le rocher au sommet….indéfiniment. PA - Dans ce dernier cas, l’énergie potentielle de pesanteur du rocher est transformée dans sa chute en énergie cinétique, puis dans le choc avec le ressort celle-ci se transforme en énergie potentielle élastique du ressort. Puis chemin inverse : celui-ci en se détendant, restitue au rocher cette énergie potentielle élastique sous forme d’énergie cinétique, laquelle se transforme en énergie potentielle de pesanteur lorsque le rocher remonte à nouveau au sommet.. Nous voyons dans ces exemples que l’énergie ne se perd pas, elle se transforme, comme l’a si bien dit le célèbre chimiste Lavoisier (1743-1794). 4 - L’énergie mécanique. PA - Cet échange permanent entre Ep et Ec provient en fait de ce que l’énergie mécanique du pendule Em qui est égale à leur somme :

Em = Ep + Ec (5)

est constante pour un système isolé comme l’est le système pendule-Terre. JO - Que vient faire la Terre là dedans ? PA - Il ne faut pas oublier que la force qui fait fonctionner le pendule est la force de gravitation de la Terre. C’est pourquoi nous devons considérer l’ensemble pendule-Terre. Revenons à l’énergie mécanique. Si Em est constante, on comprend que si Ec augmente alors Ep diminue et inversement ; d’où le dessin (fig.22-2). Dans une position intermédiaire entre A et B, le pendule a perdu un peu d’énergie potentielle correspondant à la perte de hauteur mais au profit d’un gain d’énergie cinétique. L’énergie mécanique Em d’un système comme le pendule est constante car le pendule et la Terre constitue est un système isolé, c’est à dire qu’il n’y a pas d’autres forces extérieures ou des forces de frottements qui interviennent. Comme toujours cette situation est idéale car on sait qu’au bout d’un moment le pendule s’arrêtera à cause des forces de frottements (résistance de l’air et frottement mécanique au point de suspension) ; un tout petit peu d’énergie est perdue à chaque oscillation sous forme de chaleur due aux frottements, donc l’énergie mécanique Em n’est plus constante dans le temps ; le système n’est plus parfaitement isolé. 5 - Une expression plus générale de l’énergie potentielle de gravitation. PA - L’énergie potentielle de pesanteur que nous avons écrite en (1) : Ep = m.g0.h , n’est en fait qu’une approximation au voisinage de la surface de la Terre où l’on admet que g0 est constant. De manière générale on montre que l’énergie potentielle de pesanteur Ep à une distance r du centre de la Terre s’écrit :

- 206 –

Epr = - G.M.m / r (6)

G est la constante gravitationnelle, M la masse de la Terre de rayon R. Non seulement l’écriture (6) est plus générale que (1) mais elle est plus judicieuse car Epr devient nulle là où la gravitation s’annule, c’est à dire à l’infini : Ep∞ = 0 (fig.22-1-partie drte). Par contre à la surface de la Terre, Ep devient :

Epo = - G.M.m / R (7) Nous voyons que Epo est négative ; il est normal de partir d’une valeur négative à la surface de la Terre puisque lorsqu’on s’éloigne, Epr ne peut qu’augmenter et doit s’annuler à l’infini. 6 - La vitesse de libération. PA - Nous allons calculer la vitesse v que nous devons communiquer à un objet de masse m, une fusée par exemple, pour qu’il échappe à l’attraction terrestre. Si nous le transportons de la surface de la Terre à l’infini, nous devons lutter contre l’attraction terrestre en fournissant un travail T ; nous savons que l’objet acquiert une énergie potentielle Ep égale et opposée à T (fig.22-3 haut). Cette énergie potentielle vaut d’après (7) : Ep = Ep∞ - Epo = 0 - ( - G.M.m / R ) Ep = G.M.m / R (8) Nous avons déjà vu (ch.5 - (1) ) que le produit : G.M = g0.R². Aussi Ep peut s’écrire : Ep = g0.R.m (9) Maintenant laissons tomber l’objet de masse m depuis l’infini jusqu’à la surface de la Terre. Autrement dit laissons agir la force de gravitation. Son énergie potentielle Ep va peu à peu se transformer en énergie cinétique Ec et il arrivera à la surface de la Terre avec une grande vitesse v telle que : Ec = Ep, soit : (1/2).m.v² = g0.R.m Ce qui donne après simplification par m et de façon analogue à (4) :

v = √ (2.g0.R) (10) JO - Si la masse m est à l’infini, il n’y a plus de force de gravitation ; donc elle ne peut pas tomber sur Terre. PA - Tu raisonnes comme un mathématicien ! Evidemment il faut donner à la masse m un soupçon de poussée vers la Terre au départ, mais d’un autre côté peut-on mettre une masse à l’infini ? Le physicien, lui, met la masse là où la gravitation est négligeable. Inversement si nous communiquons à l’objet de masse m une vitesse v donnée par (10), il aura assez d’énergie cinétique pour lutter contre l’attraction terrestre et aller jusqu’à l’infini pour lui échapper. Evaluons cette vitesse v pour la Terre. Elle est appelée « vitesse de libération ». g0 = 9.81 10-3 km /s² et R = 6370 km D’où: v ≈ 11.2 km/s (valeur à retenir)

- 207 –

Nous remarquons le rapport √2 entre la vitesse de libération et celle de satellisation à la surface de la Terre, soit 8 km/s (ch.18-5). Entraînement. Ex 22-1 - Calcul de quelques vitesses de libération. Nous calculons la vitesse de libération de la Lune, Mars, Jupiter, du Soleil, de Sirius B et d’une étoile à neutrons de la masse du Soleil. Les résultats sont donnés dans le tableau ci dessous. Il s’agit de la simple évaluation de la formule (10). Attention ! Convertir g0 en km/s² pour avoir v en km/s.

- Tableau 22 - 1 - Vitesses de libération.

g0 m/s² R km v km/s Lune 1.62 1738 2.4 Terre 9.81 6370 11.2 Mars 3.73 3390 5.0 Jupiter 25.9 70000 60.2 Soleil 274. 696000 617. Sirius B 247.103 23200 3385. Etoile à n 2720.109 7 195141.

La naine blanche Sirius B a une masse voisine de celle du Soleil et un rayon environ 30 fois inférieur à celui du Soleil. Son champ de gravité est environ 900 fois celui du Soleil. Voir aussi (ch.25-4). Nous supposons que la masse de l’étoile à neutrons est celle du Soleil. On sait que la masse volumique d’une étoile à neutrons est 1015 fois (soit 1 milliard de T/cm3) celle de la matière ordinaire qui est de l’ordre du g/cm3. Voir (ch.23-5 et 25-4) NOTE - Le Soleil a une masse volumique moyenne de 1.4 g/cm3, valeur de celle de la matière ordinaire. (Cette masse volumique est une moyenne, elle est très faible en surface constituée en grande partie d’hydrogène, mais elle dépasse 100 g/cm3 au centre du Soleil). Une étoile à neutrons de même masse que le Soleil aurait donc un volume 1015 fois plus petit, donc un rayon 105 fois plus petit que le Soleil. C’est pourquoi une étoile à neutrons de la masse du Soleil aurait un rayon d’environ 7 km. Nous constatons que pour l’étoile à neutrons choisie, la vitesse de libération approche la vitesse fatidique de la lumière : 300000 km/s. Le résidu de l’implosion d’une étoile de masse plus grande que celle du Soleil, peut aboutir à une vitesse d’évasion dépassant cette limite. Mais comme d’après la relativité d’Einstein, aucune particule ne peut dépasser cette vitesse, y compris évidemment le photon qui est le « grain » de lumière, la particule associée à la lumière, nous entrons alors dans le domaine des trous noirs d’où aucune lumière ne peut s’échapper. * * >>>>> Ex 22-2 – Approximation : Ep = m.g0.h Nous allons retrouver la formule approchée : Ep = m.g0.h (1), à partir de l’énergie potentielle générale (6) dans laquelle nous remplaçons : GM par : g0.R² soit :

- 208 –

Epr = - g0.R². m / r Notons que pour r = R , nous avons : Epo = - g0.R. m Calculons la différence d’énergie potentielle en R + h et R : Ep = Eph – Epo Ep = - g0.R².m / (R + h ) - (- g0.R.m.) = g0.R.m. [ 1 - R / ( R + h ) ] Ep = g0.R.m. [ h /( R + h ) ] = g0.R.m. [ h /( R.(1 + h/R)) ] Ep = g0.m.h /(1 + h/R) ≈ m.g0.h On peut en effet négliger h/R devant 1 tant que l’on reste au voisinage de la surface de la Terre. Ex 22-3 – Vitesse de libération du système solaire. Nous appelons M, R et g0, la masse, le rayon et le champ de pesanteur de la Terre ; Ms la masse du Soleil. Nous nous plaçons dans le référentiel héliocentrique. Nous prenons l’énergie potentielle nulle, lorsque nous sommes infiniment éloignés du Soleil. Nous calculons la vitesse de libération w que doit posséder une fusée de masse m pour échapper au système solaire, sans oublier que cette fusée doit partir de la Terre déjà éloignée de : d = 150. 106 km (1 ua) du Soleil. (fig.22-3 bas) Nous venons de voir dans Ex 1 que la vitesse de libération du Soleil est de 617 km/s à sa surface. Nous aurons besoin naturellement d’une vitesse V plus faible pour lui échapper si nous sommes déjà à la distance d du Soleil . Calculons cette vitesse V. Il suffit de reprendre le calcul plus haut de la vitesse de libération. Nous écrivons que l’énergie cinétique : Ec = (1/2).m.V² est égale et opposée à l’énergie potentielle (6) à la distance d du Soleil : Ep = Ep∞ - Epd = 0 – ( - G. Ms. m / d ) = G. Ms. m / d Ce qui donne :

V = √ (2.G.Ms /d) (11) G = 6.67 10-11 SI Ms = 2.1030 kg d = 1 ua = 150 109 m On trouve: V = 4.217 104 m/s = 42.2 km/s Attention ! V suppose seulement que nous sommes à la distance Terre-Soleil = d. Nous ne sommes pas encore attachés à la Terre. Nous nous fixons maintenant à la Terre en supposant tout d’abord que l’attraction terrestre est nulle, uniquement pour bénéficier de la vitesse VT du véhicule Terre sur son orbite (VT = 30 km/s – Ex 1-2 ); nous lançons la fusée dans le sens de la vitesse VT ; nous n’avons alors plus besoin que d’une vitesse u où : u = V - VT = 42.2 – 30 = 12.2 km/s. Nous avons gagné du carburant ! Cette vitesse u suppose que l’on va sortir de l’orbite terrestre en profitant de la vitesse VT du véhicule Terre, mais ne tient pas compte de l’attraction de la Terre qui va freiner son départ. Il faudra par conséquent donner à la fusée une vitesse w supérieure à u, plus exactement une énergie cinétique : (1/2).m.w² > (1/2).m.u² , pour vaincre l’attraction terrestre. Calculons la vitesse w. L’énergie mécanique Em = Ep + Ec de la fusée qui doit acquérir cette vitesse w en luttant contre l’attraction terrestre, est en utilisant la relation : G.M = g0.R² :

- 209 –

- 210 –

Em = Ec + Ep = (1/2).m.w² - G.M.m /R = (1/2).m.w² - g0.R.m (12) Une fois sortie de l’attraction terrestre, l’énergie mécanique devient : Em = (1/2).m.u² (13) Puisque l’énergie mécanique se conserve , nous pouvons écrire : (12) = (13) ; en remarquant que : (1/2).m.v² = g0.R.m où v est la vitesse de libération de la Terre soit 11.2 km/s calculée plus haut avec (10), et en simplifiant par : (1/2).m , cela donne : w² - v² = u² , d’où la vitesse w : w = √ (u² + v²) (14) A.N. Avec: u = 12.2 km/s et v = 11.2 km/s , on trouve pour la vitesse de libération du système solaire : w = 16.6 km/s En réalité si l’on désire sortir du système solaire, nous ne sommes pas obligés de donner à la fusée cette vitesse w ; nous pouvons lui donner au départ une vitesse moindre et profiter de l’attraction gravitationnelle de planètes qui se trouvent au bon moment sur le parcours bien choisi de la fusée pour l’accélérer. * * <<<<< * <<<<<

<<<<<<<<<<>>>>>>>>>> BIB : (2-5-20-21)

- 211 –

23 - L’ATOME SEUL ET SOUS PRESSION

Plus personne n’ignore que toute matière inerte ou vivante est composée d’atomes minuscules ou d’assemblages d’atomes, différents ou non, appelés molécules. Ce sont la mise en commun ou les échanges d’électrons entre atomes qui créent des liaisons entre eux et conduisent à la formation de molécules. Sans trop nous intéresser à l’aspect molécule, nous regarderons plutôt l’atome seul et plus particulièrement ce qu’il devient lorsqu’il se trouve dans un environnement inhabituel pour nous, comme par exemple à l’intérieur d’une étoile. 1 - Constitution de l’atome. PA - Commençons par une révision rapide. Un atome contient trois sortes de particules : protons, neutrons et électrons. Il est constitué d’un noyau qui comprend Z protons et N neutrons, entouré d’un nuage de Z électrons. Le nombre de masse atomique A est égal à : N + Z (fig.23-1).

Protons et neutrons sont appelés indifféremment nucléons. Ils ont à peu près la même masse, celle du neutron étant très légèrement supérieure. La masse d’un électron est environ 2000 fois plus petite que celle d’un nucléon. Z est le numéro atomique ; il donne son nom à l’atome ; par exemple : Z = 1 correspond à l’hydrogène (symbole : H), Z = 8 à l’oxygène (O), Z = 11 au Sodium ( Na) etc…..

- 212 –

Le proton a une charge électrique positive et l’électron la même charge mais négative. Le neutron comme son nom l’indique est neutre. Puisqu’il y a autant de protons que d’électrons l’atome est neutre. Il y a environ une centaine de Z différents dans la nature, donc d’éléments. Ils figurent dans le tableau de Mendéléïev que l’on trouve dans tout livre scolaire de Physique-Chimie. Pour un Z donné, il existe souvent plusieurs atomes de N différents. Ce sont tous des frères plus ou moins lourds, on les appelle des isotopes. Comme ils ont le même Z, ils ont tous les mêmes propriétés chimiques ; seul leur noyau diffère. Par exemple dans la famille Fer, tout le monde a 26 protons : Z = 26 ; il existe le 54Fe qui a 28 neutrons (Z=26, N=28), mais aussi le 56Fe (N=30), le 57Fe (N=31) et le 58Fe (N=32). Le 56Fe est de loin le plus abondant des quatre dans la nature (91.75%). Pour cette raison la masse atomique du Fer n’est pas exactement 56g mais 55.85g, moyenne pondérée selon l’abondance des 4 isotopes. Lorsqu’on dit que la masse atomique du 56Fe est 56g, cela veut dire que 56g de 56Fe, contiennent : Na atomes réels de 56Fe ; Na est le nombre d’Avogadro : 6.02 102 3 (presque un million de milliards de milliards). Ce nombre permet de se rendre compte de la masse extrêmement faible d’un atome de 56Fe et à fortiori, comme dans le 56Fe il y a 56 nucléons, de celle d’un nucléon. Bien sûr, on ne peut pas manipuler un atome réel de 56Fe ; c’est pour cette raison qu’il faut en prendre ce nombre énorme Na qui donne alors 56g ….quantité parfaitement manipulable que l’on appelle mole. JO - Alors c’est super-facile d’avoir la masse atomique d’un élément dont le nombre de masse est A. C’est A grammes ! PA - Pratiquement oui. En fait ceci n’est rigoureusement vrai que pour le carbone 12 (12C ; Z=6, N=6) qui a été choisi pour définir l’unité de masse atomique (uma), très proche de celle d’un nucléon. Aussi 12g de 12C contiennent exactement Na atomes réels de 12C. * >>>>> NOTE - Mais il y a toujours une toute petite correction pour les autres atomes, appelée « défaut de masse ». Par exemple, la masse atomique du 56Fe (attention ici on ne s’occupe pas des trois autres isotopes) est exactement : 55.935g et non 56g . La raison en est que d’une part un atome quelconque n’a pas un nombre de protons forcément égal au nombre de neutrons comme le 12C ; n’oublions pas que les masses du proton et du neutron ne sont pas tout a fait égales - et que d’autre part l’énergie de liaison des noyaux n’est pas proportionnelle au nombre de nucléons (voir section 6). * <<<<< 2 - L’intérieur de l’atome. PA - Un atome est un objet curieux. Le noyau a des dimensions de l’ordre du femtomètre (10-15m); il est au centre de l’atome dont les dimensions sont de l’ordre de quelques dixièmes de nanomètre (1 nm = 10-9m). Le diamètre de l’atome est ainsi environ : 100000 = 105 fois plus grand que celui de son noyau ! Si nous imaginons le noyau de l’atome comme une bille de 1 cm de diamètre, le nuage électronique, donc l’atome, s’étend jusqu’à environ 1 km ! Ce nuage d’électrons négatifs remplit par conséquent pratiquement tout l’atome et compense exactement la charge du noyau. Vu par les électrons, le noyau n’est qu’un point chargé au

- 213 –

centre de l’atome, mais un point qui a une charge égale et opposée à eux tous. Les électrons voyagent à des vitesses folles de manière plutôt chaotique autour du noyau mais ils ne peuvent s’en éloigner car ils sont fortement attirés par la charge positive du minuscule noyau : la force attractive qui retient les électrons négatifs autour du noyau positif est l’intense force électromagnétique. La force de gravitation entre les diverses particules (électrons, protons, neutrons), est ridiculement faible et donc complètement négligeable (Ex 24 -1). Le fait que pratiquement toute la masse de l’atome est concentrée dans le noyau est encore une de ses curiosités. Le nuage d’électrons compte pour des plumes à cause de la légèreté des électrons par rapport au noyau. Non seulement l’intense force électromagnétique repousse violemment les électrons les uns des autres puisqu’ils ont la même charge, mais un électron, même s’il était neutre, est astreint à occuper seul, une sorte d’espace vital minimum, un état dont les caractéristiques dans l’atome sont bien définies comme un fauteuil numéroté dans une salle de théâtre ; tout électron intrus s’incrustant dans un fauteuil déjà occupé est vivement répudié. De par sa masse très faible, cet espace vital minimum associé à un électron, est très supérieur à celui d’un lourd proton ou neutron. Leur étrange comportement ne peut s’expliquer que par la Mécanique Quantique. On comprend ainsi pourquoi les électrons avides d’espace, occupent pratiquement tout le volume de l’atome, alors que protons et neutrons ont suffisamment de place dans le minuscule noyau. On connaissait peu de chose du monde microscopique lorsque l’on a découvert l’atome. Le neutron n’était pas encore découvert. On se demandait pourquoi chaque électron ne s’associait pas avec un proton ? L’atome serait alors constitué de Z couples proton-électron, donc de charge nulle, qui formeraient un nuage de couples neutres. La présence de neutrons n’aurait rien changé à l’affaire. Le noyau aurait disparu dans ce nouvel atome, toujours neutre comme il se doit. S’il en était ainsi, la matière aurait été totalement différente. C’est le physicien anglais Rutherford (1871-1937) qui trancha en montrant en 1911 que toute la charge positive de l’atome est concentrée dans le minuscule noyau. Dans une première approche de l’atome, on le compare souvent à un microscopique système planétaire où le noyau est le Soleil et les électrons les planètes ; on se rend compte combien cette description est loin de la réalité. 3 - Les liaisons entre atomes. PA - Les électrons ne se disposent pas n’importe comment dans l’atome. Prenant toujours l’image d’un oignon, tous les cortèges électroniques sont structurés en couches concentriques. Le nombre d’électrons par couche est limité ; dans une théorie atomique très simplifiée, il suit la loi : 2n², c’est à dire 2, 8, 18…mais en sort très rapidement dans la réalité. Les atomes comme l’hélium He (2 élect. ; 1 couche), le Néon Ne (2 + 8 ; 2 couches), …ont leurs couches complètes. Ils sont très stables : ce sont les premiers gaz rares. Le remplissage de la dernière couche joue effectivement un rôle essentiel dans la stabilité de l’atome et dans sa liaison avec les voisins. Si un atome possède disons un ou deux électrons de plus qu’une couche complète, en père indigne, il aura tendance à les céder à bas prix à un autre atome en manque d’électrons pour qu’il puisse compléter sa dernière couche. La charge électrique du donneur devient ainsi positive et celle du receveur négative ; la force électromagnétique va alors attirer les deux

- 214 –

atomes forcément différents, et former une molécule ; on dit que la liaison est ionique. On donne souvent l’exemple du sel ordinaire, le chlorure de sodium Cl Na. Le sodium Na a en effet 1 électron en plus de sa couche complète (fig.23-1), et il manque 1 électron au chlore Cl pour compléter sa dernière couche à 8 électrons. D’autres atomes comme l’hydrogène H (1 élect.), ou l’oxygène O (2 + 6) auxquels il manque des électrons pour compléter leur dernière couche (1 pour H , et 2 pour O) font du copinage : ils mettent en commun des électrons pour faire semblant d’avoir leur couche complète. Par exemple, un atome H s’associe avec un autre H pour former la molécule H2 de l’hydrogène gazeux plus stable que l’ensemble de deux atomes H séparés (dans les conditions normales). Il en est de même pour l’oxygène O qui existe dans l’air sous forme de molécule O2. Ce type de la liaison s’appelle liaison covalente. Les atomes métalliques comme le fer Fe tombent eux dans le socialisme. Ils ne tiennent pas beaucoup à leurs quelques derniers électrons et les partagent avec toute la communauté des autres atomes. Ces électrons vagabonds ne demandent pas mieux que de se promener au milieu des atomes : on les appelle électrons de conduction ; c’est la raison pour laquelle les métaux conduisent le courant électrique. Comme chaque atome du métal, dépouillé seulement de quelques électrons, garde néanmoins son individualité, les électrons de conduction créent ainsi une cohésion entre les atomes. On appelle alors cette liaison entre atomes, liaison métallique. Les atomes légèrement dépouillés se trouvent ainsi immergés dans une soupe d’électrons de conduction qui joue ainsi le rôle de colle entre eux ; ils s’adaptent à cette soupe dans laquelle ils se rangent généralement sagement comme des bataillons de soldats en couches superposées. On dit qu’il forment un réseau cristallin. Les atomes qui ont leur couches complètes comme He (2 élect.) sont des individualistes. Ils ne s’associent avec personne, donc ne forment pas de molécules et restent par conséquent à l’état de gaz atomique et non moléculaire. Remarque - Ainsi on peut croire que l’atome He, est un atome neutre entourée d’une distribution de ses deux électrons en principe parfaitement symétrique, disons sphérique, et restera toujours isolé sous forme de gaz. Vu de l’extérieur, on ne voit « percer » aucune charge de l’atome. Cependant à des températures très basses d’un peu plus de 4° Kelvin (-269°C), l’hélium devient liquide. C’est la preuve qu’une liaison s’est établie entre atomes voisins. En fait la distribution de charge d’un atome bien qu’il soit globalement neutre, n’est pas rigoureusement symétrique et les électrons d’un atome peuvent sentir percer la charge positive du noyau de l’atome voisin à travers la légère déformation du cortège électronique ; cela crée entre eux une faible liaison et ainsi de proche en proche ; ce type de faible liaison a été découvert par le physicien hollandais van der Waals (1837-1923). Evidemment les autres atomes plus lourds ou pire les molécules, ont des distributions de charge encore moins symétriques et subissent plus fortement ce genre de liaison. On peut les liquéfier beaucoup plus facilement sans descendre à des températures aussi basses que 4°. Il est clair que lorsque la température augmente, les atomes s’agitent de plus en plus. L’agitation thermique vient alors à bout des diverses liaisons que nous venons de voir, en commençant par les plus faibles. La matière passe ainsi généralement de la phase solide, puis liquide, enfin gaz ou vapeur. Et même si le gaz reste sous forme de gaz moléculaire, les atomes des molécules finissent aussi par se séparer quand la température ne cesse de croître (fig. 23-2). Chauffons par exemple un morceau de fer. Les atomes du beau réseau cristallin déjà un peu remuants à la température ordinaire, s’agitent de plus en plus ; le morceau rougit. A la

- 215 –

température dite de fusion 1535° C, le fer devient liquide, il est brillant ; les liaisons métalliques sont de plus en plus lâches. Continuons à chauffer : les atomes sentent venir le vent de la liberté et à la température d’ébullition 2750°C, les liaisons métalliques capitulent complètement : les atomes se séparent en récupérant au passage leurs électrons de conduction ; le morceau de fer est devenu une vapeur de métal.

Il faudrait refroidir notre morceau de fer à très basse température pour remettre de l’ordre et retrouver un réseau d’atomes presque immobiles et sagement rangés en immenses bataillons superposés de soldats dans la soupe d’électrons de conduction. 4 - La « solidité » de l’atome. PA - Essayons dans notre atelier de rétrécir le volume d’un parallélépipède de fer dans un étau. Mission impossible. Nous pouvons certes, l’écraser, le déformer, le fissurer mais les atomes eux, n’ont pas bronché. Nous ne faisons que déformer et jouer principalement sur la soupe électronique des électrons de conduction. Les couches d’atomes de fer s’y adaptent alors et suivent la modification. Même de grandes presses n’arrivent pas à réduire le volume des atomes de la matière ordinaire ou à la limite seulement d’un soupçon, sur des surfaces microscopiques. Cela intrigue certains élèves qui ne voient pas pourquoi on ne peut pas rétrécir le nuage électronique en comprimant la matière ordinaire puisque les électrons sont des plumes !…. Quand on comprime de la matière, on rapproche les atomes les uns des autres. Ce sont d’abord les volumineux nuages électroniques qui entrent en contact. Au point de contact entre deux atomes, l’intense force électromagnétique repousse violemment les deux nuages électroniques. Les noyaux positifs sont trop éloignés du point de contact pour intervenir. Ainsi les atomes sont obligés de garder leur distance. Il est vrai que l’on a souvent du mal à imaginer la fantastique intensité de la force électromagnétique ; rappelons qu’au centre de la Terre où la pression est de l’ordre de trois millions de fois la pression atmosphérique, la taille des atomes de fer, n’est réduite que de 15% ! (ch.7-1).

- 216 –

5 - L’atome écrasé. JO - Alors existe-t-il une force de la nature capable de produire une pression si gigantesque qu’elle parvient à écraser les atomes ?. PA - Cette force existe mais ce n’est pas l’intense force électromagnétique. Grande surprise ! C’est paradoxalement notre très faible force de gravitation (ch.24) ! Quand il s’agit d’étoile, les masses mises en jeu sont tellement énormes que la force de gravitation devient gigantesque et exerce une pression considérable au cœur de l’étoile. A tel point que la taille des atomes peut être réduite d’un facteur de l’ordre de 100, par conséquent la masse volumique augmentée d’un facteur 1003 (106). Ainsi une masse volumique ordinaire sur Terre de l’ordre de 1 g/cm3 deviendrait 1000 000 g/cm3 soit 1 T /cm3 (T = tonne). Inutile de dire que dans ces conditions la force électromagnétique cède du terrain et la belle structure de l’atome est anéantie ; l’atome est broyé. Il ne reste plus qu’une soupe d’électrons constituée cette fois de tous les électrons dans laquelle nagent les petits noyaux qui, eux, gardent leur propre cohésion. On dit que la matière est « dégénérée ». Les noyaux intacts ont encore assez de place pour se déplacer dans la soupe électronique quasi-librement. En effet, si l’atome est réduit d’un facteur 100, cela veut dire que s’il existait encore, son diamètre ne serait plus que 1000 fois plus grand que celui du noyau au lieu de 100000 fois dans la matière ordinaire. Représentons à nouveau ce noyau par une bille de 1cm, le nuage électronique occuperait encore une sphère de 10 m autour de lui. Ainsi bien que les atomes soient détruits, il reste donc largement de la place pour la promenade des petits noyaux dans la soupe électronique (fig.23-3)

Rappelons que les électrons exigent toujours leur espace vital minimum, certes sérieusement rétréci ; mais finalement cette soupe d’électrons résiste encore à l’écrasement gravitationnel

- 217 –

grâce toujours à la force électromagnétique répulsive qui n’a pas encore complètement capitulé. Cette situation se trouve dans certaines étoiles dont la masse ne dépasse pas 1.4 fois la masse du Soleil, qui deviennent en fin de vie des étoiles dites « naines blanches » (ch.25-4). La masse volumique peut varier assez largement autour de 1 T/cm3 ; elle peut atteindre : 100 T/cm3 au centre de la naine blanche. D’autres étoiles dont la masse est supérieure 1.4 celle du Soleil, terminent leur vie soit en trou noir pour les très grandes masses, soit en étoile à neutrons. Dans une étoile à neutrons, pour faire simple, nous dirons que les atomes sont réduits à la dimension du noyau ; les noyaux sont à touche-touche et forment une bouillie de neutrons, protons et électrons. Ce qui signifie que le « diamètre » des atomes par rapport à la matière ordinaire à été réduit de 105, donc leur volume de1015. En conséquence la matière de l’étoile à neutrons aura une masse volumique 1015 fois supérieure à celle de la matière ordinaire (de l’ordre de 1 g/cm3) , soit : 1 000 000 000 000 000 g /cm3 ou 1 milliards de tonnes par cm3 ! Ne parlons pas des trous noirs dont la densité est faramineuse au point que la lumière ne peut même plus s’en échapper et qui sont un autre problème car on est loin de tout comprendre. * >>>>> 6 - A propos de E = mc². PA - Au 19ième siècle, avant qu’Einstein n’établisse sa célèbre équation E = mc², il n’était pas possible de comprendre l’origine de la fantastique énergie créée dans les étoiles. Aujourd’hui cette équation est connue de tout le monde, sa signification l’est peut-être beaucoup moins. Elle ne dit pourtant rien d’autre que la masse est de l’énergie et inversement. Dès le départ une telle affirmation trouble un peu l’esprit car elle semble ne pas être homogène : une masse qui s’exprime en kg ne peut être égale à une énergie qui s’exprime en joules (J). Cependant si nous regardons l’énergie cinétique 1/2.mv² , on voit qu’il suffit de multiplier la masse m par le carré d’une vitesse pour obtenir une énergie. Einstein décide de prendre comme vitesse celle de la lumière c = 3.108 m/s (exactement : 2.9979245 108 m/s), une constante universelle ! L’homogénéité est maintenant rétablie. Ainsi une masse de 1kg correspond donc à une énergie : mc² = 9 1016 J . Unités Arrêtons nous un instant sur les unités. Dans le monde microscopique on utilise comme unité d’énergie l’électron-Volt (eV) ou le million d’eV (MeV). L’eV est utilisé en Physique atomique ou en Chimie, et le MeV en Physique nucléaire. Ces unités ne sont pas des unités du S.I. comme l’est le Joule. Pour s’y retrouver, écrivons les correspondances entre les unités d’énergie et leurs équivalents en masses ( � signifie : correspond à) 1 eV = 1.602 10-19 J 1 MeV = 1.602 10-13 J 1 J = 6.242 1018 eV = 6.242 1012 MeV 1 eV � 1.7826 10-36 kg 1 MeV � 1.7826 10-30 kg 1 kg � 8.97715 1016 J 1 J � 1.1127 10-17 kg. Nous constatons que le J, le MeV et l’eV correspondent à des masses extrêmement faibles.

- 218 –

A l’aide de ce tableau, nous pouvons établir par exemple la correspondance entre les énergies E et les masses m du proton (p), du neutron (n), et de l’électron (e) : Ep = 938.28 MeV En = 939.57 MeV Ee = 0.511 MeV mp = 1.6726 10-27 kg mn = 1.6749 10-27 kg me = 9.109 10-31 kg La masse, un énorme réservoir d’énergie. PA - Revenons à E = mc² . Peux-tu calculer l’énergie correspondant à ta masse de 40 kg ? Note pour la suite que la masse habituelle vue jusqu’ici, est appelée masse « au repos ». JO - Avec toi je ne suis pourtant que rarement au repos ! Bon ! Je multiplie ma masse : m = 40 kg par : c² = 9.1016 , ce qui donne : E = 3.60 1018 J. Cela me paraît énorme ! PA - C’est pourtant juste ! Regardons de plus près. Appelons ton petit lutin de secours pour qu’il fasse disparaître ta masse en 1 seconde. Cela donne une puissance P = E / t = 3.60 1018 Watt (W). Comparons-la avec la puissance d’une centrale nucléaire de 1300 Megawatts (soit : 1.3 109 W). La puissance que tu libères en disparaissant totalement en 1 seconde est donc presque 3 milliards de fois supérieure ! JO - Donc si je suis volatilisée, je fais sauter la planète ou presque ? PA - Pratiquement oui, mais rassure-toi. Il est en fait impossible de faire cette transformation de la masse en énergie dans notre environnement habituel. Heureusement pour nous tous ! Cela ne peut se produire que dans des conditions invraisemblables comme dans le cœur d’une étoile et encore la masse n’y est que partiellement transformée en énergie. Déjà dans le cœur d’un réacteur nucléaire où les conditions, on s’en doute, ne sont plus normales, environ un millième seulement de la masse du combustible, l’uranium 235U, est transformé en énergie (voir fig.23-4 : 200/236000).

Dans le cœur du Soleil, une séquence parmi d’autres de réactions nucléaires conduit à partir de 4 protons (noyaux d’hydrogène H) à la formation d’hélium (4He) (ch.25-3) ; le rendement

- 219 –

de la transformation masse-énergie s’améliore un peu (voir fig.23-4 : 27/4000), mais reste encore de l’ordre du centième de la masse initiale des 4 protons.

NOTE - Apprenons maintenant que lorsqu’une réaction se produit, l’énergie produite ou libérée correspond à la différence de masse (ddm) entre le système initial et le système final (fig.23-4) Le processus qui intervient dans le réacteur nucléaire est la cassure ou la fission d’un noyau d’uranium 235U qui vient d’absorber un neutron en deux fragments A et B. L’énergie produite correspond à la ddm entre l’uranium qui fissionne 236U et celles des deux fragments A et B. Dans le deuxième cas, l’énergie produite correspond là encore à la ddm entre les 4 protons et le noyau 4He (plus des broutilles comme deux positons pour conserver la charge électrique). Il s’agit ici de réactions de fusion où l’on part de 4 protons, c’est à dire 4 noyaux qui vont fusionner en un plus gros noyau 4He. La fusion concerne les noyaux légers alors que la fission concerne elle, les noyaux très lourds.

- 220 –

Les diverses réactions nucléaires du type fusion dans le Soleil conduisent à la transformation chaque seconde d’environ 564 millions de Tonnes (T) d’hydrogène H en 560 millions de T de 4He ; une masse de 4 millions de T est donc transformée chaque seconde en une énergie colossale E = 3.6 1026 W. Finalement cette énergie est rayonnée à l’extérieur du Soleil et se propage dans tout l’espace. Elle traverse au niveau de la Terre, la surface S d’une immense sphère de rayon R = 1 ua soit : S = 4πR² = 2.83 1023 m² ; ainsi sur 1m² à la surface de notre planète le Soleil nous envoie chaque seconde une énergie E/S soit environ : 1300 W (fig.23-5). Cette valeur est dénommée constante solaire. Ce rayonnement que tu ressens quand tu te fais bronzer sur la plage correspond à une masse infime par rapport aux 4 millions de tonnes transformées en énergie. Autre exemple : imagine que tu te réchauffes devant un radiateur électrique. Sa résistance rougie rayonne de l’énergie, mais convertie en masse cette énergie correspond à une masse tellement ridicule qu’elle ne va pas diminuer celle de la résistance, même si le radiateur fonctionne pendant toute ta vie. Examinons pour terminer la transformation cette fois totale de la masse en énergie et l’inverse (fig.23-6). Dans cette figure (et la suite), les masses sont converties en énergie : m � mc2.

Il nous faut entrer dans le monde microscopique. Prenons l’exemple d’un positon e+ émis dans une désintégration β+ (ch.24-2). Il finit généralement sa vie en s’annihilant dans la matière avec un électron e-, son anti-particule. Les deux masses de e+ et de e–, soit 0.511 MeV

- 221 –

chacune, disparaissent totalement en donnant deux rayons gammas (neutres) ; ces deux rayons se partagent équitablement le gâteau d’énergie libérée égale à la somme des masses soit : 1.022 MeV. Ils partent dos à dos avec chacun une grande énergie Eγ = 0.511 Mev. Nous assistons ici à la transformation totale de la masse en énergie.

NOTE - Un rayon gamma est un rayonnement électromagnétique comme la lumière visible, mais il a simplement beaucoup plus d’énergie ; il est très dangereux pour l’homme ! Son énergie est de l’ordre du MeV alors que l’énergie de la lumière visible n’est que de l’ordre de l’eV.

Inversement l’énergie peut être convertie totalement en masse : prenons un rayon gamma d’énergie Eγ supérieure à 2 fois la masse d’un électron, c’est à dire à 1.022 MeV, il peut alors disparaître en créant un positon e+ et un électron e– (pour que l’ensemble soit neutre) ; ces 2 particules de même masse prennent chacune 0.511 MeV à Eγ , et se partagent le surplus d’énergie sous forme d’énergie cinétique. C’est ce type de réactions : création de 2 électrons e+ et e- , puis annihilation, puis à nouveau création, puis annihilation, etc… qui se sont produites dans la toute première seconde après le big-bang quand il existait un rayonnement très puissant. Puis très rapidement à cause du refroidissement de l’univers naissant dû à son expansion, ce processus particulier s’est arrêté dès que l’énergie de rayonnement est devenue inférieure à 1.022 Mev. En résumé à la vue de ce que nous venons de voir, on constate qu’à l’échelle humaine, la masse constitue un énorme réservoir d’énergie. La masse est en quelque sorte une forme très condensée de l’énergie, un peu comme si l’énergie était représentée par un grand volume de vapeur d’eau qui se condense en seulement quelques gouttes d’eau représentant la masse. L’énergie de liaison. Lorsque plusieurs particules initialement séparées, sont réunies et interagissent pour former une nouvelle entité, un nouvel objet stable, elles perdent un peu de masse ; celle-ci convertie en énergie est appelée énergie de liaison. On peut rassembler par exemple des électrons et un noyau pour former un atome, ou bien des protons et des neutrons pour former un noyau. L’ énergie de liaison correspond à la ddm entre la masse des particules séparées et la masse de l’objet formé (fig.23-7). Elle exprime la cohésion, la liaison de l’objet, d’où son nom ; plus elle est grande, plus l’objet formé est stable. On comprend que si l’on veut rendre leur liberté à toutes les particules, il faut fournir à l’objet une énergie au moins égale à l’énergie de liaison. Rapprochons un électron d’un proton pour former un atome d’hydrogène H. L’énergie de liaison de l’électron dans l’atome est égale à la ddm entre le proton et l’électron séparés à l’infini, et l’atome H ; elle est de 13.6 eV ou en masse 2.42 10-32 g . Cela signifie que si l’on veut séparer l’électron du proton dans l’atome H, c’est à dire ioniser cet atome, il faudra lui fournir une énergie au moins égale à 13.6 eV . Dans les noyaux les énergies de liaison sont de l’ordre du MeV : par exemple 28 Mev pour 4He et 92 MeV pour 12C.

- 222 –

Qu’est-ce que m dans E = mc² ? Nous avons vu jusqu’ici des masses pratiquement toujours au repos, notons-les m0 ; mais que se passe-t-il lorsque les masses se déplacent à une grande vitesse ? Supposons que tu te déplaces à 10 m/s. Ton énergie cinétique Ec = 1/2.m0v² vaut : 2000 J. Elle est ridicule par rapport à ton énergie de masse m0c² = 3.60 1018 J. Convertie en masse soit : Ec = 2.225 10-14 kg , ton énergie cinétique ne va donc pas modifier tes 40 kg qui restent bien la valeur de ta masse au repos m0. Maintenant si tu te déplaces à une vitesse de plus en plus proche de celle de la lumière c sachant que la Relativité t’interdit de la dépasser, tu comprends que ton énergie cinétique (qui n’est par ailleurs plus donnée par 1/2.m0v²) devient très grande. Or dans l’équation : E = mc², l’énergie E est en réalité l’énergie de masse plus l’énergie cinétique Ec, c’est à dire : E = mc² = m0c² + Ec. Donc ton énergie E augmente avec l’énergie cinétique. Mais puisque c est constante, cela veut dire que la masse m dans E = mc² augmente comme E. Par conséquent m comprend non seulement la masse au repos m0 mais aussi l’équivalent en masse de l’énergie cinétique. Elle est appelée pour cette raison « masse relativiste ». Contrairement à la croyance populaire, la masse m de l’équation E = mc² n’est donc la masse habituelle (au repos) m0 d’un objet que si celui-ci est évidemment au repos. * <<<<<

<<<<<<<<<<>>>>>>>>>>

BIB : (2-5-6-9-13-16-21)

- 223 –

24 - QUI EST LA CHAMPIONNE ? Nous avons longuement parlé jusqu’ici de la force de gravitation, il est intéressant de la comparer maintenant aux autres forces de la nature. 1 - La force électromagnétique. PA - Nous avons souvent rencontré la constante de gravitation universelle G qui intervient dans la force de Newton. Cette constante permet de comparer la force de gravitation aux autres forces de la nature ; elle calibre en quelque sorte la force de gravitation. Mais connais-tu les autres forces ? JO - Je pense qu’il y a la force électrique et la force magnétique. PA - Ces deux forces que tu viens de citer n’en sont en réalité qu’une seule : on l’appelle la force électromagnétique. Puisque nous en parlons, arrêtons-nous un moment sur la force électrique (ou de Coulomb). La force électrique est la force qui s’exerce entre deux charges électriques ; elle nous intéresse parce que sa forme ressemble beaucoup à la force de gravitation. Contrairement à la force de gravitation toujours attractive, la force électrique est soit attractive si les charges sont de signe opposé, soit répulsive si elles sont de même signe. Elle s’écrit (en norme) :

Fé = K.q.q’ /d² (1) q et q’ sont les charges électriques en présence. Elles jouent le rôle des masses m et m’ de la force de Newton. d est la distance entre les deux charges comme elle l’était pour les masses. K est une nouvelle constante. Elle vaut : K = 9. 109 SI et joue le rôle de : G = 6.67 10-11 SI. L’analogie avec la force de gravitation saute aux yeux. Il nous reste à comparer l’intensité de ces deux forces. Il faut se mettre évidemment dans une situation où la comparaison ait un sens. Pour cela nous prenons l’atome le plus simple, celui d’hydrogène dont le noyau est un proton et qui ne possède donc qu’un électron. Nous comparons la force électrique entre les deux charges du proton et de l’électron, avec la force de gravitation entre les deux masses de ces particules. Le calcul est fait dans Ex 24-1. Le résultat montre que la force électromagnétique est environ 1040 fois plus « forte » que la force de gravitation. JO - Mais c’est énorme ! Cela fait …dix mille milliards de milliards de milliards de milliards ! PA - Oui c’est effectivement gigantesque! Continuons et passons à la force magnétique. La force magnétique est la force qui s’exerce entre des courants électriques qui ne sont rien d’autres que des charges électriques en mouvement ou entre des masses magnétiques qui elles aussi ne sont rien d’autres que de microscopiques courants électriques. On comprend alors pourquoi les forces électrique et magnétique ne sont que les deux facettes d’une même force : la force électromagnétique. On dit qu’elles ont été « unifiées » dans la force électromagnétique. On doit cette unification au célèbre physicien écossais Maxwell (1831-1879).

- 224 –

Dans notre vie de tous les jours, la force électromagnétique a une importance considérable. La force électromagnétique gère la structure de chaque atome, et de chaque molécule. C’est donc grâce à elle que la matière qui nous entoure existe puisque toute matière est faite d’atomes ou de molécules (ch.23). Elle gère non seulement la structure de chaque atome individuellement mais elle contrôle encore les interactions entre les divers atomes et molécules qui sont les briques élémentaires de toute matière, y compris la matière organique des êtres vivants. Elle donne ainsi sa cohésion aux matériaux, aux roches etc… à la Terre entière. Elle contrôle les réactions chimiques qui sont finalement des transports et des transferts d’électrons entre les atomes dans toute matière, même dans les tissus d’organismes vivants. Tous les changements dans notre corps allant de la contraction des muscles jusqu’à l’amorce des impulsions nerveuses s’opèrent sous le contrôle de la force électromagnétique. 2 - La force électrofaible. Il n’y a pas si longtemps les physiciens Weinberg, Salam et Glashow (prix Nobel 1979) ont montré que la force électromagnétique n’est à son tour qu’une facette d’une force encore plus générale appelée électrofaible. L’autre facette de cette force est une nouvelle force appelée interaction faible. Elle est responsable de la radioactivité β (béta) des noyaux atomiques. Elle permet aux particules comme électrons, neutrinos (appartenant à la famille des leptons), quarks (constituants de particules plus lourdes comme le proton et le neutron - appartenant à la famille des hadrons) d’interagir entre elles ; comme c’est une interaction faible, elle contraint le Soleil à brûler lentement son combustible l’hydrogène en retardant considérablement la formation d’hélium, ce qui lui permet de vivre très longtemps. JO - Tant mieux pour nous. Mais attends. Tu sembles dire que le proton ou le neutron sont constitués de sous-particules ? PA - Oui les « billes » proton et neutron sont en fait des mondes complexes Ils contiennent chacun trois quarks retenus entre eux par des gluons. Le neutron par exemple comprend un quark « u » et deux quarks « d ». La charge du quark « u » est 2/3 celle du quark « d » –1/3, si bien que le neutron a une charge nulle. Le proton (2 « u » et 1 « d ») a une charge unité. JO - Finalement la matière est faite de particules de plus en plus petites. Cela s’arrête-t-il ? PA - Pour le moment, on s’arrête aux quarks. Il y en a 6 au total répartis 2 par 2 en trois familles, comme par ailleurs les leptons qui font leur pendant. Il semble bien qu’il n’y ait que 3 familles et pas plus. Les quarks sont pour ainsi dire les premières particules avec les électrons et les neutrinos, apparues dans le millionième de seconde après le Big-Bang ; ces particules donneront plus tard la matière…Mais ceci n’est pour le moment encore que de la théorie….Revenons à nos interactions. En réunissant la force électromagnétique et l’interaction faible en une même force, la force électrofaible, on a donc effectué une unification supplémentaire. L’une ou l’autre des deux facettes de la force électrofaible, se manifestent selon l’environnement physique dans lequel on se trouve. Cette force électrofaible a joué un rôle très important dans l’évolution de l’Univers depuis le Big-bang.

- 225 –

JO - Bon, revenons au lycée. Tu as parlé de radioactivité β. On commence à l’étudier au lycée. J’aimerais en savoir un peu plus. Tiens ! Les électrons émis par le noyau des atomes sont-ils les mêmes que ceux du cortège électronique ? PA - Cette question m’a souvent été posée. D’abord précisons les choses : la radioactivité concerne le noyau de l’atome. La radioactivité d’un atome dénote une certaine instabilité de son noyau. Celui-ci va forcément un jour ou l’autre évoluer, on dit se « désintégrer », vers quelque chose de plus stable. Comme on ne sait pas à quel instant exactement la catastrophe arrive, on définit statistiquement une période T temps au bout duquel la moitié des noyaux que l’on a au départ se sont désintégrés. Cela ne veut pas dire qu’au bout du temps 2T il n’y a plus rien ! Il reste seulement la moitié des noyaux que l’on avait au temps T, donc le quart des noyaux initiaux., etc… C’est toute la différence entre une loi linéaire et exponentielle. Cela signifie également que pendant un temps égal à T, le noyau à 50% de chance de se désintégrer. C’est tout ce qu’on connaît et c’est déjà beaucoup ! Regardons rapidement la radioactivité β. Les noyaux des atomes stables légers aiment avoir à peu près autant de protons que de neutrons mais quand ils s’alourdissent le nombre de neutrons devient plus important. Certains noyaux sont cependant instables soit parce qu’ils ont quand même trop de neutrons par rapport à la normale ; ils se désintègrent alors en émettant des électrons identiques (pour répondre à ta question) à ceux du cortège électronique (radioactivité β-) ; soit parce qu’ils ont trop de protons, ils émettent alors des positons qui sont des anti-électrons chargés positivement (radioactivité β+). Dans le premier cas un neutron se transforme en proton, dans le deuxième un proton se transforme en neutron. JO - Donc si je comprends bien, dans la radioactivité β- le noyau qui se désintègre change de nom puisqu’il passe de Z à Z+1 ? PA - Exact. Et dans la radioactivité β+ on passe de Z à Z -1. NOTES - un neutron isolé peut se désintégrer en proton parce que sa masse est un peu plus grande que celle du proton ; le neutron a donc de l’énergie en réserve vis à vis du proton ; n’oublions pas que la masse est de l’énergie en réserve (ch.23 -6). Un proton isolé ne peut donc pas se désintégrer en neutron, mais il peut le faire à l’intérieur d’un noyau à qui il chipe l’énergie qui lui manque.

- un grand nombre de gros noyaux se désintègrent de manière concurrentielle avec la radioactivité β+ ; comme le noyau a alors beaucoup de protons, donc d’électrons, le nuage électronique est dense a proximité du noyau : erreur fatale pour le pauvre électron qui n’a pas vu le danger ! Il est capturé par un proton du noyau qui se transforme alors en neutron ; ce processus est la capture électronique. Il est très fréquent. Les électrons ou positons émis dans la radioactivité β ont généralement une grande énergie. (Des neutrinos, particules de masse pratiquement nulle, sont également émises avec les électrons avec lesquels ils se partagent l’énergie libérée dans la désintégration). Les électrons émis traversent non seulement le nuage électronique de l’atome qui se désintègre, mais également une certaine épaisseur de matière. C’est ainsi qu’ils peuvent être facilement détectés . Il en est de même pour les positons mais malheureusement, ils sont éjectés dans la matière où grouillent les électrons et les électrons sont leur anti-matière ! La rencontre inévitable, car leurs charges sont opposées, d’un positon et d’un électron provoque une annihilation en feu d’artifice ! Leurs masses se volatilisent mais cela n’est que la transformation d’une énergie de

- 226 –

masse en énergie de rayonnement ; cette disparition de l’électron et du positon produit en effet un rayonnement électromagnétique puissant (deux rayons gammas qui partent en opposition - ch.23-6) que l’on peut par exemple détecter avec une caméra à positons utilisée en imagerie médicale. JO - S’il y a une radioactivité β, c’est qu’il doit y avoir une radioactivité α ? PA - Bien sûr. J’en dirais deux mots plus loin. On ne peut pas parler de tout ! JO - Résumons. Puisque la force électrofaible (comprenant la force électromagnétique et l’interaction faible, est 1040 plus « forte » que la force de gravitation), on peur dire qu’elle est la championne des forces. 3 - L’interaction forte. PA - Eh non ! Il existe une force environ 1000 fois plus « forte » que la force électrofaible. Elle s’appelle justement l’interaction forte. Ce n’est que dans les années 1930 avec en particulier la découverte du neutron en 1932 par le physicien anglais Chadwick (1891-1974), que cette troisième force de la nature voit le jour avec le physicien japonais Yukawa et va permettre de comprendre la très grande cohésion du noyau de l’atome. JO - Donc pas de médaille d’or pour la force électrofaible ? PA - Hélas non pour elle ! L’interaction forte lui a volé le titre. Mais réfléchissons un peu au noyau de l’atome constitué de protons tous positifs et de neutrons, tous pratiquement à touche-touche ? Les protons sont des charges positives, les neutrons sont neutres…. JO - …donc les protons tous positifs, à touche-touche dans le tout petit noyau doivent se repousser violemment à cause de la force électromagnétique. Conclusion : excepté l’hydrogène qui n’a qu’un proton, tous les noyaux qui en possèdent plusieurs, doivent exploser. Toute la matière est instable ! Belle découverte ! PA - Ton raisonnement n’est pas faux mais c’est là qu’intervient l’interaction forte. Plongeons nous dans le minuscule noyau de l’atome où neutrons et protons sont proches les uns des autres. Quand deux protons, deux neutrons, ou un proton et un neutron sont pratiquement en contact et uniquement à cette condition, l’interaction forte devient extrêmement attractive et entre en action : on l’admet tout à fait pour deux neutrons ou pour un proton et un neutron, mais même s’il s’agit de deux protons l’interaction forte surpasse complètement la force électromagnétique ; conclusion les protons au lieu de se repousser s’attirent. La cohésion du noyau fait de protons et de neutrons qui s’attirent tous entre eux devient dans ces conditions extrêmement forte et il faut de grandes d’énergies pour casser un noyau. Cette cohésion correspond à l’énergie de liaison du noyau (ch.23-6). Le fait que l’interaction forte n’agit que lorsque deux protons, deux neutrons ou un proton et un neutron, sont pratiquement en contact (on dit qu’elle est « à courte portée »), a son importance. Tour d’abord l’interaction forte ne favorise pas spécialement le nombre Z de protons par rapport au nombre N de neutrons. Pour les noyaux légers Z est effectivement égal ou très voisin de N. Mais lorsque l’atome grossit, il possède alors beaucoup de protons. On comprend aisément que dans le volume du gros noyau, beaucoup de protons se trouvent

- 227 –

éloignés les uns des autres, ne sont donc plus en contact entre eux et donc ne ressentent plus l’interaction forte attractive ; ceux-là ne contribuent plus à la cohésion du noyau ; au contraire pour deux protons éloignés l’un de l’autre, la force électromagnétique à longue portée et répulsive entre eux, réapparaît et déstabilise le noyau. Ce n’est pas le cas de deux neutrons éloignés. Pour les gros noyaux comme l’argent, l’iode, le plomb, l’or, l’uranium etc…. il n’y a donc pas intérêt à mettre autant de protons que de neutrons mais à favoriser le nombre de neutrons qui eux ne ressentent pas la répulsion électrique. JO - Et c’est pour cela que les gros atomes ont plus de neutrons que de protons ? PA - Oui. L’écart entre N et Z augmente en effet avec le nombre de masse A de l’atome. Malgré cela, lorsque le numéro atomique Z d’un noyau devient de plus en plus élevé, le noyau perd de plus en plus de stabilité ; c’est la raison pour laquelle il n’y a qu’une centaine d’éléments dans la nature. Les noyaux trop obèses finissent par ne plus être stables. Un gros noyau a donc intérêt à perdre des protons et des neutrons pour gagner en stabilité. Il peut le faire soit en se cassant en deux, c’est la fission nucléaire, soit en émettant une particule « alpha α » qui est un noyau d’hélium (4He) constitué de deux protons et deux neutrons, particulièrement stable. Cette expulsion d’une particule α se fait sous le contrôle de l’interaction forte (comme par ailleurs la fission). On dit que le noyau est « radioactif α ». La particule α est émise généralement avec une grande énergie et peut être facilement détectée. Elle parcourt une plus petite distance dans la matière que les électrons car elle est violemment freinée par sa charge et sa masse plus élevées que celles d’un électron. Le noyau de 238U est radioactif α avec une période radioactive T égale à l’âge de la Terre, soit T = 4.5 milliards d’années. On trouve actuellement de l’uranium dans le sol, cela signifie qu’au moment de sa formation, la Terre en contenait deux fois plus puisque la moitié des noyaux initiaux se sont désintégrés. Ce qui signifie encore qu’il en existait déjà dans le nuage interstellaire qui a donné naissance au système solaire. 4 - Résumé. PA - Je crois que l’on peut distribuer définitivement les médailles aux forces : La médaille d’or revient à l’interaction forte ; nous lui donnons la note : 1000. La médaille d’argent revient à la force électrofaible ; nous lui donnons la note : 1. Enfin une très pâle médaille de bronze revient à la force de gravitation ; nous lui donnons la note : 10-40. JO - Pauvre Newton, il ne va pas être très satisfait. Mais pour revenir aux forces en général, a-t-on réussi à unifier l’interaction forte avec la force électrofaible et la force de gravitation ? PA - Les théoriciens seraient vraiment heureux si l’on arrivait à unifier les trois forces de la nature : gravitation, force électrofaible, interaction forte. Leur rêve est de n’avoir qu’une seule force qui gouverne tout l’Univers. On est sur la bonne voie pour l’unification de l’interaction forte et de la force électrofaible. Mais une force fait toujours bande à part, c’est justement la gravitation ! Et cela est un très grand casse-tête pour les scientifiques.

- 228 –

5 - Un peu d’histoire de la Physique. Il existe une certaine similitude entre la situation actuelle du début du 21ième siècle, avec celle que les scientifiques connaissaient au début du 20ième siècle. A cette époque, il existait deux excellentes théories : d’une part celle de Newton qui expliquait parfaitement la Mécanique et par son prolongement statistique la Thermodynamique, d’autre part la théorie récente de l’électromagnétisme de Maxwell qui expliquait avec le même succès, l’Electricité, le Magnétisme et l’Optique. De nombreux scientifiques et pas des moindres, pensaient que l’on avait tout compris et l’on parlait de la Science avec un S majuscule. Allait-t-on maîtriser totalement le Monde ? Il faut voir l’euphorie qui régnait dans le milieu scientifique, pour ne pas dire parfois une euphorie proche du délire pour certains atteints de mégalomanie… On avait tout compris….enfin presque tout . Il y avait bien quelques toutes petites difficultés à éradiquer …mais cela était l’affaire de six mois, au pire deux ou trois années. Par exemple : -Pourquoi ces atomes que l’on venait de découvrir étaient-ils stables ? On montre en effet qu’un électron qui tourne autour d’un noyau perd obligatoirement de l’énergie, il devrait donc finir par s’écraser sur le noyau. -Pourquoi le rayonnement émis par un corps noir (il s’agit du rayonnement émis par l’ouverture d’un four chaud ou paradoxalement d’un astre comme le Soleil qui est assimilé à un corps noir !) ne suit-il pas la loi classique bien établie du rayonnement électromagnétique dans le domaine des courtes longueurs d’onde ? Dans le milieu scientifique on appelait ce désaccord célèbre « la catastrophe de l’ultra-violet ». NOTE -L’ultra-violet est une onde électromagnétique comme la lumière visible, au delà du violet de l’arc-en-ciel. Quand on passe du rouge au violet et au delà, la longueur d’onde du rayonnement électromagnétique décroît mais son énergie augmente. -Pourquoi la loi de gravitation universelle de Newton ne rend-elle pas compte correctement du lent pivotement du périhélie de Mercure ? Quelques autres « pourquoi » restaient encore à élucider…Des babioles ! Finalement ces petits grains de sable, ces désaccords insignifiants qui finissaient par agacer, allaient bientôt trouver des explications……..Mais à quel prix ! Un violent séisme allait secouer le monde scientifique. La presque parfaite Physique de l’époque va littéralement s’effondrer comme un château de cartes. Voilà Einstein qui remet en cause la théorie de la gravitation de Newton, avec la Relativité Générale. Puis voilà Bohr, Heisenberg, Schrödinger, Planck, Dirac, de Broglie… qui introduisent une nouvelle théorie pour expliquer l’infiniment petit : la Mécanique Quantique. Ces deux nouvelles théories vont voler de succès en succès : l’une rend parfaitement compte de l’infiniment grand, l’autre fonctionne merveilleusement bien dans le monde microscopique. Jusqu’à aujourd’hui, ni la Relativité Générale ni la Mécanique Quantique n’ont été mises en défaut, chacune dans leur domaine respectif. Malheureusement leur grand défaut est qu’elles ne s’entendent pas entre elles. Aussi le grand challenge des physiciens actuellement est de tenter de les réconcilier, c’est à dire de les unifier. Le problème est ardu. De nombreux théoriciens dépensent beaucoup de sueur sur ce problème. Certains ne sont pas loin de se pendre à leurs « super-cordes ». Rien à faire, l’unification des forces de la nature se heurte à un sérieux obstacle : la gravitation fait toujours bande à part.

- 229 –

Il n’y a pas de raison qu’on ne puisse un jour parvenir à cette réconciliation ? Serons nous alors les Maîtres du monde ? Espérons que les événements du début du 20ième siècle auront servi de leçon ; on peut le penser car les Physiciens les plus sérieux savent bien que lorsque la Science fait un grand pas en avant, la Nature se dévoile toujours de plus en plus mystérieuse et complexe. Entraînement. Ex 24-1 - Comparaison de la force électrique et de la force de gravitation. Pour cette comparaison, nous considérons l’atome d’hydrogène constitué d’un proton et d’un électron. L’électron se trouve en moyenne à une distance de 0.05 nm (soit 5.10-11 m ) du proton. Proton : charge : qp = 1.6 10-19 C masse = 1.67 10-27 kg Electron : charge : qe = - 1.6 10-19 C masse = 9.11 10-31 kg Force électrique. L’application de la formule (1) au proton et à l’électron, sachant que la force est attractive, donne, avec : d = 5.10-11 m et : K = 9 109 : Fe = 9 109 . (1.6 10-19)2 / (5.10-11)2 = 9.22 10-8 N ≈ 10-7 N Force de gravitation. Nous appliquons la formule que nous connaissons bien (ch.9) : FG = 6.67 10-11 . (1.67 10-27 ) . (9.11 10-31 ) / (5.10-11)2 = 4.06 10-47 N Rapport des forces. Fe / FG = 9.22 10-8 / 4.06 10-47 = 2.27 1039

Valeur à retenir : Fe / FG ≈ 1040

<<<<<<<<<<>>>>>>>>>> BIB : (9-15-16)

- 230 –

25 - FABRIQUE D’ETOILES ET DE PLANETES Nous terminons ce livre en décrivant un joli spectacle où l’on assiste à la formation d’une étoile et de son cortège de planètes à partir d’un nuage interstellaire. 1 - A partir d’un gros nuage… JO - A la fin d’un cours sur la gravitation, le prof ’a demandé aux élèves qui savait comment se forme une étoile. Mes copains ont tourné la tête vers moi, ce qui m’a valu naturellement d’être interrogée. J’ai « ramené ma science » en répondant que c’était à partir d’un nuage de gaz qui se contracte à cause de la gravitation. Mais comment la masse d’un nuage peut former un objet aussi lumineux qu’une étoile…. cela reste quand-même un peu mystérieux ! PA - Inutile de dire que la création d’une étoile est un phénomène grandiose mais compliqué. Il n’a pu être clairement compris qu’après les grandes découvertes du début du 20ième siècle. La gravitation encore une fois, joue un rôle essentiel. Nous allons essayer d’expliquer dans les grandes lignes, la formation d’une étoile et de ses planètes éventuelles, du moins de décrire un processus possible qui n’est certainement pas le seul en faisant souvent référence à la formation du système solaire. Dans une galaxie comme la Voie Lactée, il existe entre les étoiles d’immenses nuages de gaz et de poussières appelés nuages interstellaires. De tels nuages créent des taches sombres plutôt gênantes pour les observations astronomiques. Les nuages interstellaires n’ont évidemment rien à voir avec les gros cumulus de notre ciel, puisque leur dimension peut atteindre la centaine d’année-lumière, (rappel : 1al = 10000 milliards de km). Ceux qui donneront naissance à des étoiles sont généralement constitués de molécules de gaz, principalement de l’hydrogène, et ont déjà une densité respectable ; on les appelle nuages moléculaires. Le gaz et les poussières de ces nuages moléculaires sont soumis à de nombreuses perturbations : mouvements de toutes sortes liés à la rotation de la galaxie, irradiations par le rayonnement d’étoiles proches et diverses collisions, soubresauts produits par l’onde de choc de l’explosion d’une étoile voisine ou parfois même dans la rencontre avec une autre galaxie…. Notre Soleil provient vraisemblablement d’un nuage interstellaire qui a reçu l’onde de choc de l’explosion d’une supernova dans le voisinage. Quand, à cause de ces phénomènes plutôt violents, le gaz d’un nuage moléculaire est comprimé au delà d’un point de non-retour, point où la gravitation finit par l’emporter sur les effets néfastes du rayonnement, le nuage a toutes les chances d’évoluer vers la formation soit d’une étoile avec parfois son cortège de planètes, soit vers un système assez fréquent de deux étoiles ( système binaire ), parfois de trois étoiles.…. 2 - Une proto-étoile se forme. PA - Prenons par exemple dans la Voie Lactée, un de ces nuages de dimension de l’ordre de la dizaine d’al. (fig.25-1) capable de produire une étoile de la pointure du Soleil. JO - 10 al ! Ce qui veut dire que si le centre de ce nuage était à la place du Soleil, il serait tellement immense qu’il engloberait non seulement toutes ses planètes mais aussi les étoiles les plus proches. Je rêve !

- 231 –

PA - Des étoiles comme Alpha du Centaure, l’Etoile de Barnard, Sirius…seraient effectivement dans le nuage. Ce nuage interstellaire est en général constituée à 98% d’hydrogène et d’hélium (environ 70% d’hydrogène et 28% d’hélium). Les 2% restants sont constitués d’éléments plus lourds (carbone, azote, oxygène ….Fer …et parfois quelques traces d’éléments encore plus lourds) que l’on retrouve dans le gaz et les poussières, intimement mélangés mais qui ont leur importance. On y trouve déjà des molécules assez complexes. Par la pensée divisons ce gigantesque nuage qui n’a aucune raison d’être parfaitement homogène, en des milliards et des milliards de cellules ; une cellule de nuage un peu plus massive que ses voisines, va les attirer par la force de gravitation et se fondre en une nouvelle cellule récupérant toutes les masses du voisinage ; le volume de cette cellule n’a pas spécialement grandi, les molécules y sont simplement plus serrées les unes les autres que dans les cellules initiales. La densité a augmenté. Puis cette nouvelle cellule va à son tour attirer et absorber les voisines comme dans un ban de poissons où un gros poisson mange les plus petits autour de lui sans se méfier qu’à son tour il sera absorbé par un plus gros que lui… JO - C’est comme le milieu des affaires ou celui de la politique ! PA - Il en résulte un rétrécissement du nuage qui acquiert une masse de plus en plus grande. Il le fait généralement en tourbillonnant sur lui-même et comme il se réduit comme une peau de chagrin, il accélère sa rotation pour prendre cette image bien connue du patineur qui ramène les bras près de son corps pour tourner de plus en plus vite. La force centrifuge fait passer peu à peu ce nuage d’une forme plutôt patatoïde à une forme plus aplatie tournant autour de l’axe de rotation ; cette forme devient progressivement un disque. Au centre de ce disque se forme une sorte de bulbe où se rassemble la plus grande partie de la masse du nuage initial ; la concentration de molécules et d’atomes, donc la densité, devient de plus en plus élevée ; les chocs entre les molécules et les atomes de plus en plus fréquents ; la température et la pression augmentent considérablement. Ainsi le travail de la force de gravitation écrase le nuage sur lui-même, échauffe son centre qui devient de plus en plus chaud et brillant, et de plus en plus dense. Une proto-étoile se forme, elle a récupéré la majorité de la masse du nuage initial. Entraînée par la rotation, la faible partie du nuage qui n’a pas été engloutie dans la proto-étoile, a pris la forme d’un disque de gaz et de poussières assez mince qui tourne autour d’elle. Ce disque est précieux car il donnera éventuellement naissance aux futures planètes. On le baptise disque proto-planétaire. JO - Mais comment sait-on qu’il y a eu formation d’un disque ? PA - On observe des étoiles similaires au Soleil qui viennent de se former et qui possèdent un halo en forme de disque, source probable de futures planètes. N’oublions pas non plus que les planètes du système solaire tournent toutes pratiquement dans un même plan. On ne voit pas comment une telle configuration n’aurait pas pu exister sans la formation d’un disque. Mais occupons-nous pour l’instant de la proto-étoile. JO - La gravitation qui a transformé le gros nuage en une proto-étoile doit continuer son travail et concentrer de plus en plus la proto-étoile ? Qu’est-ce qui arrête l’écrasement de la proto-étoile sur elle-même ?

- 232 –

3 - Et une étoile se forme. PA - Le principal constituant de la proto-étoile est l’hydrogène. Je te rappelle que l’atome d’hydrogène comprend un proton, son noyau, et un électron. Il est important de se rappeler que le noyau d’un atome quelconque contient pratiquement toute la masse de l’atome et occupe une place infime au centre de l’atome (ch.23 -2). Dans la proto-étoile, l’hydrogène se trouve sous forme d’atomes sérieusement chahutés et comprimés ; la pression est énorme, très supérieure à celle existant au centre de la Terre qui est déjà de 3 à 4 millions d’atmosphères . Nous avons vu (ch.7-1) qu’au centre de la Terre, les atomes de fer et de nickel résistent néanmoins à l’écrasement gravitationnel ; leur diamètre est réduit d’environ 15% ; bien qu’un peu resserrés, les nuages électroniques autour des noyaux servent de pare-chocs entre atomes lesquels gardent ainsi leur distance et leur identité. Par contre au centre de la proto-étoile comprimée par la gravitation, la pression est tellement forte que les atomes d’hydrogène n’en peuvent plus, ils sont broyés : la force électromagnétique responsable de la structure des atomes, abandonne cette responsabilité. Il se forme alors une sorte de soupe d’électrons dans laquelle nagent les protons , on appelle cela un plasma (ch.23-5); rappelons que les électrons beaucoup plus légers que les protons, exigent toujours d’occuper une place beaucoup plus importante qu’eux. Aussi, bien que les électrons voient leur espace vital sérieusement rétréci, les protons ont encore largement de quoi se promener dans la soupe d’électrons ; protons et électrons sont très agités puisque la température est très élevée. Les protons sont eux aussi bien plus proches les uns des autres que dans le nuage diffus initial. Malgré la puissante force électromagnétique, la soupe d’électrons a du mal à contenir l’écrasement gravitationnel de la proto-étoile. S’il ne se passe rien, l’effondrement va continuer. A titre indicatif, au centre du Soleil la pression est environ 200 milliards de fois la pression atmosphérique, la température est d’environ 15 millions de degrés, la densité atteint des valeurs de l’ordre de 150 g /cm3. Dans de telles conditions de température et de pression, il se passe une chose extraordinaire ; deux protons peuvent entrer en collision de ci de là., malgré leur répulsion électromagnétique parce que l’agitation thermique est très élevée. Il s’amorce alors un processus complexe qui conduit à travers la formation de noyaux de deutérium D (ou hydrogène lourd : 1 proton et 1 neutron ), puis d’hélium 3He (2 protons et 1 neutron), à la formation finalement de noyaux d’hélium 4He (2 protons et 2 neutrons), en libérant une grande quantité d’énergie (voir Notes ch.23-6); ce processus qui s’enclenche, et qui n’est pas unique, est une suite de réactions nucléaires dite de fusion , comme celles qui se produisent dans une bombe thermonucléaire. L’interaction forte (ch.24-3) est entrée en jeu dans le cœur de l’étoile. Une énergie « nucléaire » formidable se crée alors au centre de la proto-étoile. Mais il faut bien que cette énergie sorte de la proto-étoile ! Elle y parvient lentement, difficilement, car elle doit lutter contre la pression gravitationnelle qui l’en empêche en écrasant la proto-étoile. Il s’instaure alors un équilibre entre la pression « nucléaire » qui, elle, voudrait dilater la proto-étoile et la pression gravitationnelle qui, elle, voudrait la rétrécir. A ce stade la proto-étoile devient une vraie étoile extrêmement brillante. L’étoile acquiert ainsi un certain équilibre dynamique et trouve peu à peu son régime de croisière plus calme ; elle va vivre cet équilibre en rayonnant sa lumière, sa chaleur et son énergie tant que le combustible nucléaire, l’hydrogène, est toujours là. C’est le cas du Soleil formé il y a 5 milliards d’années et qui a encore des réserves pour presque autant d’années. On pense qu’au stade de la proto-étoile, il était dix fois plus brillant. Depuis le nuage interstellaire de départ jusqu’à la formation de l’étoile, il s’est écoulé environ 10 millions d’années ce qui est peu dans la vie d’une étoile comme le Soleil.

- 233 –

JO - Si je comprend bien dans quelques milliards d’années, je dois faire mes valises ? 4 - Naines blanches et étoiles à neutrons. PA - Effectivement des cataclysmes se préparent : quand l’hydrogène, le combustible nucléaire, fait défaut, la gravitation s’empresse de reprendre le dessus et comprime à nouveau l’étoile, la rétrécit et l’échauffe encore davantage. L’étoile cherche alors en toute hâte dans les fonds de tiroirs d’autres processus nucléaires de substitution : puisque presque tout l’hydrogène a été transformé en hélium, c’est l’hélium qui prend le relais en produisant du carbone. L’hélium étant à son tour épuisé, d’autres réactions nucléaires vont s’amorcer mais elle sont de moins en moins efficaces. L’étoile synthétise ainsi des atomes de plus en plus lourds. Elle peut continuer ainsi jusqu’au fer mais pas plus loin ; c’est l’élément butoir. JO - Mais pourquoi ça s’arrête au fer ? PA - Parce que le fer et les quelques noyaux voisins comme le nickel, sont les atomes pour lesquels l’énergie de liaison du noyau est la plus élevée (rapportée au nombre de nucléons, comme dans une enquête où les résultats sont rapportés au nombre d’habitants). Si l’étoile synthétisait des noyaux plus lourds, elle absorberait de l’énergie au lieu d’en produire, ce qui la refroidirait et la conduirait immédiatement à sa perte. Toutes ces étapes ne se sont pas faites sans spasmes et sans dommages : la température au centre a continué d’augmenter dans les diverses étapes nucléaires ; en conséquence l’étoile s’est dilatée énormément. La température à la surface de l’étoile dilatée est par contre tombée de 6000°C à environ 2500°C ; à la manière d’un métal fondu qui se refroidit, l’énorme étoile vire au rouge : elle est devenue une géante rouge comme Bételgeuse dans la constellation d’Orion ou Antarès dans celle du Scorpion. A ce stade le Soleil engloutira Mercure et Vénus. La Terre sera complètement brûlée. Les hommes d’alors auront peut être trouvé le moyen d’aller vivre sur une planète lointaine. JO - J’ai quand même des doutes car les hommes sont tellement débiles qu’ils auront bien trouvé le moyen de se détruire eux-mêmes bien avant. PA - C’est un risque effectivement. Quand il n’y a plus d’énergie nucléaire, la gravitation reprend évidemment encore une fois le dessus et la géante rouge s’apprête à recommencer sa contraction gravitationnelle. La suite des événements dépend de la masse de l’étoile. Si l’étoile a une masse supérieure à 1.4 fois la masse du Soleil (cette masse est appelée limite de Chandrasekhar, du nom d’un grand astrophysicien indo-américain) mais toutefois pas trop élevée, elle se contracte de manière cataclysmique ; c’est la partie intérieure de l’étoile la plus lourde qui implose éjectant les couches extérieures dans l’espace. Une belle nébuleuse s’étale alors dans l’espace autour de l’étoile qui a perdu de la masse ; on l’appelle une nébuleuse planétaire car l’enveloppe de gaz semble dessiner une orbite de planète autour de l’étoile. La nébuleuse de l’Anneau dans la constellation de la Lyre est une des plus célèbre. Les éléments que l’étoile a fabriqué pendant sa longue vie vont être ainsi en partie dispersés dans l’espace et iront peut être se mélanger à d’autres nuages interstellaires. Après l’explosion la masse de l’étoile est passée sous la limite de Chandrasekhar, les événements se passent alors plus sagement ; nous passons à l’étape suivante qui rejoint celle d’une étoile dont la masse est initialement plus petite que 1.4 masse solaire : son évolution est moins cataclysmique, nous allons la voir.

- 234 –

JO - Alors l’étape suivante ? que devient le cœur de l’étoile brillant et chaud, mais qui n’a plus aucun combustible nucléaire ? Il continue de s’écraser, se rétrécir et se comprimer indéfiniment ? PA - Halte-là ! Le cœur de l’étoile contient les nouveaux éléments synthétisés qui comme tout à l’heure ne peuvent pas exister en tant qu’atomes ; en effet la chute gravitationnelle vers le centre de l’étoile provoque une augmentation considérable de la température et de la densité : la pression est énorme ; nous avons à nouveau une soupe d’électrons encore plus tassée qu’auparavant, dans laquelle nagent les noyaux qui ont malgré tout encore assez de place, mais leurs collisions ne provoquent pratiquement plus de réactions nucléaires. Tout se passe comme si les dimensions de la matière étaient maintenant ratatinées d’un facteur d’environ 100. La densité au centre de l’étoile peut varier selon la masse initiale, de la centaine de kg jusqu’à la centaine de tonnes par cm3. Bien qu’ayant maintenant un espace encore plus restreint, les électrons de la soupe électronique se repoussent encore violemment les uns les autres ; toutes ces répulsions s’ajoutent et sont assez puissantes pour arrêter l’écrasement de l’étoile. Comme nous l’avons vu (ch.23-5), le cœur de l’étoile devient « une matière dégénérée ». Il reste finalement une étoile extrêmement chaude (température qui peut atteindre 100000 degrés), très dense et très brillante que l’on appelle une naine blanche. L’étoile Sirius B (ch.14-6), compagnon d’une des plus brillantes étoiles du ciel Sirius A, est une naine blanche. JO - Le Soleil finira donc en naine blanche ? PA - Oui. Mais ce n’est pas le cas de toutes les étoiles. Pour finir sa vie en naine blanche l’étoile ne doit pas avoir en fait une masse plus grande que la limite de Chandrasekhar. Sinon elle doit perdre de la masse par une contraction explosive comme celle conduisant à une nébuleuse planétaire. JO - Et comment se termine la vie d’une naine blanche ; elle ne peut pas briller sans fin car je suppose qu’elle perd de l’énergie ? PA - Bien sûr, tu as raison, mais elle a quand même une fin de vie paisible. L’étoile brillante se refroidit petit à petit en rayonnant son énergie ; la matière de très forte densité, reste toujours « dégénérée » ; la naine blanche s’éteint très lentement et devient une naine brune. JO - Des naines blanches qui deviennent des naines brunes ! Voilà au moins des étoiles, qui ne sont pas racistes. PA - Quand l’étoile a une masse plus élevée, de l’ordre de 6 à 8 masses solaires, il se produit des cataclysmes encore plus impressionnants. C’est le cas des supernovae, et nous ne parlerons pas de celles très massives qui finissent en trous noirs ! Quand une de ces grosses étoiles explose, le phénomène s’appelle une supernova. Il peut être aussi brillant que tout une galaxie et visible en plein jour. L’explosion, il serait plus correct de dire l’implosion, se produit parce que comme précédemment, la grosse étoile n’est plus capable de contenir la gravitation ; en implosant elle perd cette fois, environ les 9/10 de sa masse qui sont éjectés dans l’espace sous forme d’une immense nébuleuse. Il reste au centre une étoile brillante, résidu de l’implosion, appelée étoile à neutrons. Pendant la courte implosion de la supernova, il s’est formé des éléments plus lourds que le fer allant même jusqu’à l’uranium. Les éléments fabriqués par l’étoile vont alors se retrouver à

- 235 –

nouveau dans cette une immense nébuleuse beaucoup plus imposante que celle d’une nébuleuse planétaire et qui s’étale dans l’espace à très grande vitesse autour de l’étoile à neutrons. Puisque l’on retrouve dans le système solaire des éléments très lourds, cela conduit à penser qu’il a été formé dans un nuage interstellaire situé dans le voisinage d’une supernova. Le cas de la supernova de 1054, appelée « Nébuleuse du Crabe » est célèbre. Elle a été observée, notée et enregistrée par les Chinois, mais ne le fut pas en Europe. Bien que située à 4000 al. dans la constellation du Taureau, elle fut plus brillante que Vénus pendant une bonne vingtaine de jours. L’étoile à neutrons au centre de la nébuleuse tourne sur elle-même à environ 30 tours par seconde. C’est un « pulsar », un phare céleste, car elle nous envoie des pulsations lumineuses à cette fréquence. Lorsque ces clignotements réguliers ont été découverts, il n’a pas fallu longtemps pour que certains pensent à des extra-terrestres ! Une supernova a été observée récemment en 1987, non pas dans notre galaxie mais dans le grand « nuage de Magellan », galaxie satellite de notre Voie Lactée que l’on peut voir dans l’hémisphère sud. C’est un étudiant canadien, Ian Shelton, observant le ciel au Chili qui l’a découverte le 24 février 1987. Elle a été baptisée SN1987A. Tous les télescopes disponibles du monde ont alors pointé vers cette supernova et une analyse précise du phénomène a pu être faite pratiquement en temps réel. Elle se trouve en bon accord avec les prévisions théoriques concernant l’implosion d’une grosse étoile. Au centre de l’étoile à neutrons, la pression est tellement démesurée que maintenant ce sont les noyaux qui sont à touche-touche. La force électromagnétique a cette fois capitulé pour céder la place à l’interaction forte bien plus puissante (ch.24-3). Dans l’étoile à neutrons, protons, électrons, et neutrons sont tous dans le volume du noyau. Pour faire simple, un proton qui absorbe un électron devient un neutron, aussi plutôt qu’une matière de noyaux accolés, cela donne en réalité une soupe de neutrons. D’où le nom d’étoile à neutrons. Les dimensions de la matière ont ainsi été réduites d’un facteur 105, et donc la masse volumique atteint des valeurs insensées de l’ordre de 1015 g/cm3, soit 1 milliard de tonnes par cm3 ! (chap.23). C’est également la raison pour laquelle les dimensions d’une étoile à neutrons sont si réduites et ne dépasse guère quelques dizaines de km. Nous avons déjà vu (Ex 22-1) que si le Soleil était intégralement transformé en étoile à neutrons, son rayon serait d’environ 7 km au lieu de 700000 km ! 5 - Des étoiles avortées. PA - Enfin les nuages interstellaires dont la masse est plus petite que le centième de celle du Soleil, ne peuvent atteindre une pression et une température suffisantes pour déclencher les réactions nucléaire ; ils fabriquent ainsi des étoiles avortées ou carrément des planètes. A ce propos on parle souvent de Jupiter dont le cœur est très chaud et qui avec un peu plus de masse aurait pu sans doute amorcer quelques réactions nucléaires. 6 - Des planètes se forment. PA - Revenons maintenant au disque de gaz et de poussières qui tourne autour de notre étoile semblable au Soleil. Nous donnons et décrivons rapidement le genre de scénario que l’on trouve dans la littérature qui pourrait conduire à la formation de planètes comme dans le système solaire mais qui, selon les auteurs, demanderait à être confirmé (voir particulièrement la réf.- 6). Depuis la formation de la proto-étoile très brillante et très chaude, jusqu’à l’étoile stable mais moins lumineuse, le système s’est refroidi. La chaleur dégagée par l’étoile a éloigné de

- 236 –

préférence les gaz vers les régions froides du disque proto-planétaire, au profit d’éléments plus réfractaires qui peuvent eux rester près de l’étoile. Dans les régions froides une partie du gaz se condense en petits grains de glace d’eau, de méthane, d’ammoniaque ou de gaz carbonique. A proximité de l’étoile ce sont plutôt des grains réfractaires ou oxydes métalliques qui se forment. C’est ainsi que déjà se dessine la trame du système solaire avec les planètes du type Terre, dites telluriques, plus proches du Soleil, et les planètes gazeuses du type Jupiter, plus éloignées. On peut noter (tableau 1-1) la masse volumique élevée des planètes telluriques. Les grains ont grossi par réactions chimiques et attraction gravitationnelle et se sont regroupés dans un disque encore plus étroit que le disque initial. Grains et poussières dont les mouvements sont complexes, se concentrent encore et le manège du gros poissons qui mange les plus petits recommence. Des planétésimaux de l’ordre du km se forment en quelques milliers d’années. Puis les planétésimaux qui tournent sur des orbites un peu folles vont entrer en collision les uns les autres en s’agglomérant ou non selon leur vitesse relative de collision. Si le collage réussit, ils forment des embryons et si le manège du gros poisson reprend, les embryons grossissent en absorbant les planétésimaux à leur portée. Les embryons atteignent maintenant des dimensions de l’ordre de quelques centaines de km. Mais ces embryons s’influencent par gravitation les uns les autres et dérèglent ainsi leurs orbites : les collisions deviennent inévitables : toujours par le jeu de la gravitation, il se produit ainsi des collisions géantes ; les plus gros embryons absorbent les fragments des collisions et grossissent encore ; le gros poisson réapparaît ! Ces collisions dégagent beaucoup de chaleur et peu à peu les embryons de plus en plus gros et isolés les uns des autres deviennent des planètes chaudes. Finalement les choses se calment et l’on aboutit à un système planétaire stable où circulent autour de l’étoile plusieurs planètes sur des orbites à peu près circulaires. Il a fallu environ une centaine de millions d’années pour aboutir au système stable étoile-planètes.

<<<<<<<<<<>>>>>>>>>>

BIB : (2-6-7-13-20-21)

- 237 –

- 238 –

ANNEXE I 1 - Le radian. PA - Nous allons introduire une nouvelle unité d’angle qui terrorise habituellement les élèves, le monstre du Loch Ness ou la bête du Gévaudan ne sont rien à côté. Il s’agit du radian. JO - C’est vrai, je n’aime pas du tout cette bestiole, le radian j’entends. PA - Lorsque l’on fait le tour complet d’un cercle, on pivote de 360° ( ° = degrés ). Pour un demi-cercle, on tourne de 180°, un quart de cercle : 90°, etc…. Les angles d’un triangle équilatéral valent 60°, les angles aigus d’un triangle rectangle isocèle valent 45° etc…Bref, les degrés sont une unité d’angle largement utilisée dans la vie courante. Prenons un demi-cercle, une moitié de camembert et partageons-le en 3 morceaux (fig.AI -1).

Chaque morceau correspond par conséquent à 60°. Nous sommes d’accord ? JO - D’accord , trois fois 60° , ça fait bien 180°. PA - Modifions un peu le partage et coupons la moitié de camembert en 3.14 morceaux. Pour savoir à quelle valeur exacte correspond un morceau, il suffit de faire la division : 180° / 3.14. Ce qui donne : 57.2958° (soit en convertissant en degrés, minutes et secondes d’arc : 57° 17’ 44’’ – voir problème analogue section 3 ). Il y a donc 3 morceaux de 57.2958° et il reste 0.14 morceau pour compléter la moitié de camembert. Cette valeur de 57.2958° correspond exactement à 1 radian. Ce n’est pas la peine de la retenir ; il vaut mieux retenir que 3.14 radians correspondent à 180°. JO - Ah ben bravo ! C’est vraiment très intelligent de couper une moitié de camembert en 3.14 morceaux au lieu de 3 morceaux exactement ! Nous voici bien avancés ! Désolée, mais il est bien plus simple de couper en 3 morceaux de 60° clairs et nets ! Ne me dis surtout pas que l’invention du radian simplifie la vie des pauvres élèves ! Moi je reste avec les degrés.

- 239 –

PA - C’est tout de même extraordinaire, crois-tu que l’on introduit de nouvelles unités pour le plaisir d’ennuyer les élèves? En fait le nombre exact est 3.141592654…..Cela ne te dis rien ? JO - Ce nombre est π. Mais je ne vois toujours pas l’intérêt. PA - Commence par retenir que 180° correspondent à : π = 3.1416 radians. Donc 360° correspondent à 2 π radians. JO - D’accord, mais je ne vois toujours pas l’intérêt. PA - Regarde le cercle de rayon R (fig.AI -2) et l’angle α qui « intercepte » l’arc de cercle noté AM. Pour fixer les idées, l’angle α dessiné vaut 45° et R = 2m. A vue de nez, l’arc AM doit mesurer quelque chose comme 1.50m et être plus petit que 2m. Eh bien, si l’angle α est exprimé en radians, la longueur l de l’arc AM est donnée par :

l = R . α (1) α en radians Calcule-moi d’abord combien de radians font 45°. JO - Deux minutes papillon. Il me semble que je dois faire une règle de trois : Si 180° correspondent à π = 3.14 radians, 45° correspondront à …petit calcul….π . 45 /180 = π / 4 radians……Réponse : 45° correspondent à : π / 4 radians = 0.785 rad. Maintenant je calcule l avec (1) et R = 2m….Je trouve : l = 2 . π / 4 = 3.14 / 2 = 1.57 m Réponse : longueur de l’arc AM : l = 1.57 m PA - Exact. Que trouverais-tu si tu te trompais dans (1) et prenais l’angle α en degrés ? JO - Euh !.... l = 2 . 45 = 90 m ! Ce serait complètement idiot si le rayon du cercle vaut 2 m ! PA - Cet exemple montre l’intérêt des radians (rad) par rapport aux degrés. Si nous connaissons l’angle α en rad. et le rayon R, nous avons immédiatement avec (1) la longueur l de l’arc intercepté par l’angle α . Note que l et R ont les mêmes unités, donc les radians sont des simples nombres. On dit qu’ils sont sans dimensions. Peux-tu me donner la longueur d’un demi-cercle de rayon 5m ? JO - Voilà, dans ce cas : α = 180° = π rad, donc : l = 5 . π = 15.71 m PA - Maintenant la longueur L d’un cercle de rayon R ? JO - Facile ! L’angle α vaut 2 π donc : L = 2 π . R. . Oh ! Mais je fais des découvertes ! Je retrouve la formule de la longueur d’une circonférence que le prof. de math nous répète toutes les cinq minutes. Une approximation utile. PA - Nous plaçons maintenant le point M en P très près de A (fig.AI –2).

- 240 –

L’angle α devient très petit. Sur la figure nous ne l’avons pas dessiné trop petit pour être suffisamment clair. Nous projetons le point P en H sur l’axe Ox. Le triangle OHP est rectangle en H. L’angle α est tellement petit que l’on peut dire que l’arc l = AP est égal au segment AP (corde) et à la hauteur HP. De même : OH ≈ OA = OP = R. Puisque l ≈ HP et OH ≈ R, la formule (1) donne : HP ≈ OH . α et :

α ≈ HP / OH (2) HP et OH sont évidemment exprimés dans la même unité, des cm par exemple ; α est alors en rad. Cette formule (2) est très fréquemment utilisée. Nous la résumons : Dans un triangle rectangle, si α l’un des angles aigus est très petit, le côté opposé à α divisé par l’autre côté de l’angle droit donne la valeur de l’angle α en rad. (plus tard, tu verras que ceci est l’approximation de tan.α lorsque α est très petit ; elle s’écrit : tan.α ≈ α ) Dans (2) on peut également remplacer OH par OP = R Dans un triangle rectangle si α l’un des angles aigus est très petit, le côté opposé à α divisé par l’hypoténuse donne la valeur de l’angle α en rad. (plus tard, tu verras que ceci est l’approximation de sin.α lorsque α est très petit ; elle s’écrit : sin.α ≈ α)

- 241 –

JO - Donc conclusion : si α est très petit : α ≈ tan.α ≈ sin.α . 2 - Période et fréquence. PA - Il existe beaucoup de mouvements qui se répètent identiquement à eux-mêmes : la Terre recommence chaque année son tour de Soleil, le balancier d’une horloge comtoise répète sans cesse son va-et-vient, son mouvement d’aller-retour…. Ces mouvements sont dits périodiques. Il est donc important de connaître le temps T que met la Terre pour faire un tour ou le balancier un aller-retour (une oscillation). Le temps T est appelé la période. Nous avons vu qu’un pendule de 1m de long oscille en un temps T = 2s. La période de révolution de la Terre est T = 1 année, celle de la Lune T = 27.3 jours. Quelle est la période de rotation de la Terre sur elle-même ? JO - T = 24h. PA - Un manège fait 3 tours en 21s. Quelle est sa période T ? JO - T est le temps mis pour faire un tour ; donc : T = 7s. PA - Bien. La fréquence N est tout simplement l’inverse de la période T :

N = 1 / T (1) La fréquence représente le nombre de tours ou d’oscillations faits par secondes. Elle s’exprime donc en s-1 si la période est en s. Par exemple une roue de machine qui fait 2 tours par seconde a une fréquence N = 2 s-1; elle fait donc 1 tour en T = 1/2 s = 0.5 s conformément à (1). Une roulette qui tourne à 1000 tours / s : N = 1000 s-1 , a une période : T = 10-3 s = 0.001 s. Une autre machine fait : 0.33 = 1/3 de tour par seconde. Calcule N et T . JO - Si elle fait 1/3 de tour en 1s , elle mettra 3s pour faire un tour ; donc : T = 3s. D’ailleurs puisque la fréquence est N = 1/3 s-1, la formule (1) donne bien : T = 1/ N = 3s. 3 - Conversion d’un nombre décimal en sexagésimal et opération inverse. Il s’agit par exemple de transformer des degrés décimaux en degrés, minutes et secondes d’arc (° ’ ’’) ou l’inverse ; ou de convertir des jours décimaux en j , h , m, s ou l’inverse, a) Convertir : 23.451 ° en : ° ’ ’’ d’arc. 0.451° � 0.451 . 60 = 27.06’ 0.06’ � .06 . 60 = 3.6’’ ≈ 4’’ 23.451° ≈ 23° 27’ 4’’ Convertir : 29.5306 j en j h m s. 0.5306j � 24 . 0.5306 = 12.7344h = 12h + 0.7344h 0.7344h � 0.7344 . 60 = 44.064m 0.064m �.064 . 60 = 3.84s ≈ 4s que l’on peut négliger. 29.5306 j = 29j 12h 44m b) Convertir : 29j 12h 44m 4s en jours décimaux. 4s � 4/3600 = 0.0011h que l’on peut négliger. 44m � 44/60 = 0.7333h 0.7333h + 12h = 12.7333h � 12.7333 / 24 = 0.5306j

- 242 –

29j + 0.5306j = 29.5306 j Autre façon : On sait que 1 jour = 86400s 44m � 44 . 60 = 2640s 12h � 12 . 3600 = 43200s 44m + 12h = 45840s � 45840 / 86400 = 0.5306 j 29j + 12h + 44m = 29.5306 j 4 - Masse volumique et densité. PA - Dans le texte et quelques figures, nous utilisons souvent sans distinction le terme densité et masse volumique. Nous le faisons quand il n’y a pas d’ambiguïté et que le lecteur sait de quoi il s’agit. Nous rappelons néanmoins la différence entre ces deux notions. Masse volumique. On définit la masse volumique ρ comme la masse en g d’un volume de 1 cm3 d’un corps quelconque ; elle est donc exprimée en g/cm3. La référence est la masse volumique de l’eau : ρ = 1 g/cm3 ; la masse de 1 cm3 d’eau est : 1 g . La masse volumique du fer est : 7.88 g/cm3, celle de l’or :19.3 g/cm3, du mercure :13.6 g/cm3, de l’air : 1.293 10-3 g/cm3 , de l’huile : 0.92 g/cm3 , du verre 2.5 g/cm3, etc…… La masse volumique des corps solides ou liquides dans les conditions normales est de l’ordre du g/cm3 à la dizaine de g /cm3 . Pour avoir la masse d’un objet, il suffit de multiplier sa masse volumique par son volume. NOTE – 1 g / cm3 = 1 kg / dm3 = 1 T / m3

Densité. La densité d’un corps est le rapport de la masse volumique de ce corps à celle de l’eau. C’est donc un nombre sans unité. Comme la masse volumique de l’eau vaut 1 g/cm3, la densité d’un corps est seulement le nombre figurant dans sa masse volumique. C’est pourquoi on confond facilement les deux. Exemple : la densité du fer est 7.88, celle du mercure 13.6, celle de l’huile 0.92 etc… 5 - La pression atmosphérique. PA - Torricelli a montré qu’à 0°C, la masse d’une colonne d’air au dessus de 1cm² à la surface de la Terre jusqu’au sommet de l’atmosphère (à l’altitude 100 km), est de 1.033 Kg ; le poids P = m.g0 de cette masse d’air en prenant g0 = 9.81 N/kg, est par conséquent de 10.13 N. Il correspond ainsi à une pression de 10.13 N/cm² , soit :10.13 104 N/m² = 1.013 105 N/m² , soit : 1.013 105 Pa ( Le Pascal (Pa) est l’unité de pression dans le S.I. : 1 Pa = 1 N/m² ). Cette pression est la pression atmosphérique ; elle est égale à 1 atmosphère. En météorologie on utilise souvent l’hecto-Pascal (hPa). Un hPa = 100 Pa = 10² Pa. La pression atmosphérique à 0°C, correspond donc à 1013 hPa. On utilise encore quelquefois le bar ; 1 bar = 105 Pa = 103 hPa. La pression atmosphérique vaut donc 1 bar et des poussières. On voit sans difficulté que la masse de l’eau dans une colonne de section 1cm² et de hauteur 10.33 m (correspondant à un volume de 1033 cm3 = 1 dm3), est de 1.033 kg. Son poids sur la surface de la base : 1 cm², donne donc la pression atmosphérique.

- 243 –

Il en est de même d’une colonne de mercure de masse volumique 13.6 g/cm3 , de même section et de hauteur 76cm. On comprend alors pourquoi la pression atmosphérique fait monter l’eau jusqu’à 10.33m dans un tube dont la section n’est pas obligatoirement 1cm² , que l’on a fermé en haut mais dans lequel on a fait obligatoirement le vide (comme celui qui règne au dessus de l’air de l’atmosphère terrestre) (fig. AI -3)

JO - Pourquoi doit-on faire le vide dans les tubes ? PA - Si on ne le fait pas, l’eau en montant dans le tube comprime l’air qui alors repousse l’eau et l’empêche de monter ; tu sens bien cette résistance de l’air comprimé lorsque tu gonfles un pneu de vélo. L’eau doit rester libre, sans rien au dessus. Si cela était possible tu pourrais faire un tube de 100 km qui débouche au dessus de l’atmosphère dans le vide ; il ne serait plus nécessaire de le fermer. L’eau monterait toujours jusqu’à 10.33m. De même pour le mercure, la pression atmosphérique le fera monter jusqu’à 76cm de haut. C’est alors un baromètre !

<<<<<<<<<<>>>>>>>>>>

- 244 –

ANNEXE II 1 -Vecteurs. Nous avons utilisé des grandeurs physiques sans préciser que ce sont des vecteurs dans les premiers chapitres : le poids, la vitesse, le champ de pesanteur, la force de Newton, etc…. Regardons de plus prés ce qu’est un vecteur en prenant comme exemple la vitesse, grandeur physique familière à tous. Lorsque l’on dit qu’un avion vole à la vitesse de 700 km/h , nous comprenons ce que cette valeur signifie ; il va plus vite qu’une voiture, moins vite que la lumière…Seulement nous ne savons pas si l’avion vole selon une droite Toulouse-Paris, Londres-Milan, Lille-Nice etc… ces droites représentent la direction dans laquelle vole l’avion. Mais nous ne savons pas non plus s’il va de Paris à Toulouse ou de Toulouse à Paris ; cette information est le sens du vol défini une fois la direction de vol connue. Ces trois données : valeur, direction, sens, donnent une définition complète de la vitesse, c’est à dire du vecteur vitesse. Il y a beaucoup de grandeurs pour lesquelles la notion de direction et de sens n’existe pas, ce sont les plus simples. On les appelle des « scalaires » par opposition aux « vecteurs ». Par exemple, le prix d’une denrée, la température en plusieurs endroits, la masse d’une personne, etc…Pour définir ces grandeurs, il n’y a besoin que d’une seule information : sa valeur, comme par exemple la masse d’une personne : 100 kg. Notation. Ainsi connaître le vecteur v « vitesse de l’avion » signifie que nous possédons les informations suivantes :

- la valeur v de la vitesse . Plutôt que la « valeur », le terme mathématique est la « norme » ; on dit parfois aussi la « longueur » ou le « module ». Nous notons la norme en caractère ordinaire. Dans notre exemple de l’avion, la norme du vecteur vitesse v est : v = 700 km/h.. La norme est toujours positive.

- la direction de la vitesse. C’est la droite sur laquelle glisse le vecteur v. Dans notre exemple, c’est la droite qui joint les deux points Paris et Toulouse.

- le sens. Dans notre exemple, on sait que l’avion va de Toulouse à Paris. On précise ainsi par une flèche le sens dans lequel on se déplace sur la droite « direction ».

S’il n’y a pas confusion possible, le mot direction au sens général englobera à la fois direction et sens. Sinon, on précisera. Autre exemple : prenons la personne dont la masse est 100kg. La masse n’est pas un vecteur, mais son poids P en est un. Nous dirons que la norme du vecteur P est : P = 981 N , que sa direction est « la verticale du lieu » , et que son sens est « vers le centre de la Terre ». Un vecteur s’écrit avec une flèche sur la tête pour rappeler que ces grandeurs physiques ont une norme mais aussi une direction et un sens ; nous les avons écrits dans tout ce livre en caractère gras. La plupart du temps nous n’avons eu besoin que de la norme V d’un vecteur V. Toutefois les calculs qui comportent des vecteurs et font intervenir leurs propriétés sont effectués dans les passages signalés par les sigles (* * >>>>> début et * * <<<<< fin ). Pour aider le lecteur, nous donnons une indication pour expliquer brièvement le passage d’une équation écrite en vecteurs, à cette même équation projetée sur un axe, opération que nous avons souvent effectuée. Lorsque plusieurs vecteurs U,V…se trouvent sur un même axe orienté Oy, ils ont évidemment même direction mais pas forcément le même sens. On peut alors les remplacer par leur valeur

- 245 –

algébrique plus simple à manipuler. Si le vecteur V est dans le même sens que Oy sa valeur algébrique est sa norme V, s’il est en sens contraire sa valeur algébrique est –V. Prenons comme exemple la formule (18-(2)) (voir aussi : fig.(18-1b) :

P = F + f (2) L’axe de référence choisi est l’axe xC orienté vers le centre C de la Terre. Les trois vecteurs P, F, f sont sur cet axe. P de norme : P = m . gop , et F de norme : F = m . g0 sont orientés vers le centre C. f de norme : f = m . R ω² est orienté en sens contraire. L’équation (2 bis) qui est l’équation (2) projetée sur l’axe xC , s’écrit alors :

m . gop = m . g0 - m . R ω² (2 bis) L’équation (2 bis) se traite comme une équation algébrique habituelle. 2 - Repère ou référentiel. Dans toute étude de phénomène physique, nous avons besoin de repère ou référentiel pour situer le problème. Lorsque nous étudions la chute libre d’une pomme, pour pouvoir repérer la position de la pomme à chaque instant, il suffit d’un axe vertical Oy avec une origine O et un vecteur unitaire i (i = 1) pour préciser le sens vers le haut ou le bas de l’axe Oy et pouvoir mesurer de combien de mètres la pomme est tombée. La position de la pomme P est son ordonnée y ; elle n’est rien d’autre que la mesure algébrique du vecteur OP sur l’axe Oy. Si l’axe Oy est orienté vers le haut (i vers le haut), y sera négatif ; dans le cas contraire, y sera positif. Si nous étudions le mouvement d’une boule de billard, nous sommes dans un plan, celui du billard ; il nous faut alors deux axes orientés Ox et Oy que l’on prend habituellement orthogonaux, avec deux vecteurs unitaires i, j pour définir les orientations des axes et les unités de mesure dans les deux directions Ox et Oy respectivement. Ces deux axes seront simulés par exemple par deux bords perpendiculaires du billard. Dans un plan nous avons besoin de deux informations pour définir un vecteur v : - Soit les deux projections vx et vy du vecteur v sur les deux axes Ox et Oy. On les appelle les coordonnées de v. Ce sont encore des mesures algébriques sur ces deux axes : ainsi si on change les signes de vx et vy, le vecteur v change de sens mais pas de direction. Si on change seulement le signe de vx, il change de direction. - Soit la norme v du vecteur v et l’angle α que fait v avec l’axe Ox par exemple. Dans ce cas les deux projections de v sur les axes Ox et Oy deviennent : vx = v.cosα et vy = v.sinα. Enfin si nous étudions le mouvement d’un mobile dans l’espace, il est nécessaire d’avoir un référentiel dans l’espace à trois dimensions pour pouvoir repérer sa position. La plupart du temps, on prend comme référentiel un trièdre orthonormé ; ce trièdre a trois axes orientés Ox, Oy et Oz orthogonaux entre eux et qui portent chacun des vecteurs unitaires i , j , k pour définir les orientations des axes et les unités de mesure dans les trois directions ; en général elle sera la même. Pour repérer un vecteur v dans l’espace, il faudra maintenant trois informations : soit les trois coordonnées, soit deux coordonnées et un angle, soit la norme et deux angles.

<<<<<<<<<<>>>>>>>>>>

- 246 –

BIBLIOGRAPHIE La majorité des références concernent des livres accessibles au grand public. Les références sont indiquées et rassemblées à la fin de chaque chapitre dans « BIB » pour ne pas surcharger le texte. Les références notées en gras sont particulièrement importantes pour le chapitre en question. 1 - Aristote - Traité du ciel - Libr. Philosophique J.Vrin – 1990 2 - Isaac Asimov - Trous noirs - l’Etincelle - 1978 3 - Atlas d’Astronomie - Stock – 1976 4 - Jacques Bouteloup -Vagues,marées,courants marins - Que Sais-je - PUF 1979 5 - Pascal Bordé- Qu’est-ce qu’un trou noir ?-Les Petites Pommes du Savoir-Le Pommier-2005 6 - André Brahic- Enfants du Soleil -Histoire de nos origines-Odile Jacob 1999. 7 - André Brahic- Enfants du Soleil ?-Université de tous les savoirs-Vol.14-O. Jacob-2002 8 - Grande Encyclopédie Larousse - Libr.Larousse – 1975 9 - R.D.Evans - The Atomic Nucleus - Mc Graw-Hill book Cie – 1965 10 - Banesh Hohhmann - Albert Einstein - Seuil 1975 11 - A-Ch.Levasseur-Regourd , P.de La Cotardière-Les comètes et les astéroïdes -Seuil 1997 12 - Joâo. Magueijo - Plus vite que la lumière - Dunod - 2003 13 - Dominique Proust, Jacques Breysacher - Les étoiles - Seuil 1996 14 - Hubert.Reeves - Patience dans l’azur - Seuil 1981 15 - Hubert.Reeves – DNC- Dernières Nouvelles du Cosmos - Seuil 1994 16 - Hubert.Reeves – DNC- La première seconde - Seuil 1995 17 - Ian Ridpath- L’Astronomie- Le Spécialiste- Ed.Gründ 2007 18 - Carl Sagan - Cosmos - Mazarine -1981 19 - Trinh Xuan Thuan - La mélodie secrète -Fayard 1988 ; Gallimard, Folio Essais n°160 20 - Trinh Xuan Thuan - Origines -Fayard 2003 ; Gallimard, Folio Essais n°468 - 2006 21 - SylvieVauclair- Qu’est-ce qu’une étoile ?- Université de tous les savoirs- Vol.14-Od. Jacob- 2002 Pour les étudiants, rappelons aussi que tout livre scolaire de Physique de Seconde à Terminale permet d’approfondir ce qui a été vu ici sur l’interaction gravitationnelle et sur l’atome. Enfin pour ceux qui désireraient en apprendre plus sur la Mécanique, signalons deux livres de Physique de niveau 1ère année de Faculté : M.Le Bellac- Introduction à la mécanique - DIA Université- Belin. The Feynman Lectures on Physics (Mechanics)-Addison&Wesley publ. Cie –1970 Version.fr. FIGURES Les figures (5-2), (7-1),(8-6) sont inspirées de celles de l’Atlas d’Astronomie(3) La figure (16-2) est retouchée et extraite de la réf.(8) Les figures (25-1) sont inspirées des schémas des réf. (6) et (7) Les échelles et dimensions relatives des figures ne sont en général pas respectées.

- 247 –

INDEX

Indication : Le premier nombre en gras est toujours le N° du chapitre. Ex : apsides 8-4 = voir : ch.8 - section 4 apogée 6-1 (Note) = voir: Note - ch.6 - section 1 Cavendish Ex 9-7 = voir : Ex 7 du ch.9

A accélération de la pesanteur 10-2 accélération (mouvemnt circulaire) 17-5 Achille (groupe d’) 20-4 Andromède 1-3 anneaux (Saturne) 15-2 année-lumière 1-2 aphélie 8-4 apogée 6-1 (Note) apsides 8-4 Aristote 2-2 astéroïdes 6-2et3 asthénosphère 7-1 atmosphère 6-2 atome 23

B balistique 11 Bessel 14-6 bissextile 12-1 bourrelet équatorial 7-2, 8-5

C calendrier (julien,grégorien) 12-1 Cavendish Ex 9-7 ceinture (astéroïdes) 1-1, 15-3 ,, de Kuiper 1-3 ,, (entre Mars et Jupiter) 15-3 centre de gravité 14-1 à 4 cercle polaire 8-3 champ de gravitation 4-1, 5-1, 7-3, 9-1à3 voir aussi force de gravitation ,, (variation avec l’altitude) Ex 9-4 ,, (variation avec la latitude) 7-3, 18-3et4 ,, (à l’intérieur de la Terre) Ex 9-6 champ de pesanteur 3-2, 4-4, 18-3et4 voir aussi poids ,, planètes Tab 3-1 ,, à l’équateur 18-3 ,, variation avec latitude 18-4, Ex 18-2 Chandrasekhar (limite de) 25-4

Christophe Colomb 2-1 chute libre 10,11 Copernic 2-2 Coulomb 24-1 Ex 9-7 croûte terrestre 7-1

D Deimos (Mars) 2-1 densité AI -4 déviation de la lumière 13-5

E éclipse de Soleil 12-5, 12-7 éclipse de Lune 12-6 écliptique 8-1 Einstein 4-1, 10-3, 13-4, 13-5, 24-5 électron-volt eV (et Mev) 23-6 ellipse 2-2, 8-4 (Note) ,, d’étoile proche 13-2 ellipsoïde 7-2 E = mc² 23-6 énergie cinétique 22-2 ,, potentielle de pesanteur 22-1 ,, de liaison 23-6 ,, mécanique 22-4 épicycle,excentrique 2-2 équation de trajectoire 11-4 équation du satellite 19-1 équilibre relatif 21-8 équinoxes 8-3 Eratosthène 2-1, Ex 2-1 Eros 13-2 (Note) étoiles binaires 14-6 étoile 61 du Cygne 13-2, 14-6 étoile à neutrons Ex 22-1, 23-5, 25-4 étoile polaire 8-3 Eudoxe 2-2 exo-planètes 14-6

F force centrifuge 6-1, 7-2, 7-3, 18-2, 21-7

- 248 –

,, de dislocation 15-1 ,, électrique 24-1 ,, électromagnétique 7-1, 24-1 ,, électrofaible 24-2 ,, forte (interaction) 24-3 ,, de gravitation (Newton) fil d’Ariane et essentiellement : 4-3, 6-1, 9-1,19-1, 24-1 ,, d’inertie 21-7

G G constante de gravitation 5-1 galaxie(Voie lactée) 1-1,1-3 Galilée 2-2, 16-1 gravité de surface 5-1

H Hipparque 2-2 Huygens 15-2

I Interaction forte 24-3 ionosphère 6-2

J jour (sidéral, solaire, synodique) 12-2 Jupiter 1-3, 7-1, 15-3, 20-4, 25-5

K Kepler 2-2, (lois de) 19-2

L Lagrange 20-1à3 Laplace 16-4 latitude 8-1 (Note) Le Verrier 14-6 liaisons atomiques 23-3 libration (Lune) 12-4 ligne des apsides 8-4 ,, des solstices 8-4 ,, des nœuds (Lune) 12-4 lithosphère 7-1 loi des aires 19-2 lunaison12-3 Lune (formation) 6-1

M Magellan 2-1 ,, (nuages de) 1-3 manteau de la Terre 7-1 marée 16 masse 3-2 ,, dans E = mc² 23-6 ,, inertielle 10-3, 21-7 ,, gravitationnelle 10-3 ,, volumique et densité AI -4 ,, du Soleil Ex 19-4 mécanique quantique 23-2, 24-5 Meteor Crater 6-3 météorites 6-3 moment cinétique 6-2, 16-5, 19-2 mouvmnt apparent rétrograde 13-1

N naine blanche Ex 22-1, 23-5, 25-4 naine brune 25-4 Neptune 13-4, 14-6, 15-2,3, Ex 19-5 Newton 4-1, 13-4, 16-1, 24-5 ,, (unité) 3-2, 10-2 nœud (asc - descendant) 12-4, 12-8 noyau de la Terre 7-1 nuage interstellaire 25-1 nutation 8-6, 12-4

O Oort (nuage) 1-3 Ourse (petite) 8-3 Ourse (grande) 13-2 ,, (étoile Mizar de la) 14-6

P parabole de sûreté 11-5 parallaxe 13-2 parsec 13-3 particule α 24-3 Patrocle (groupe de) 20-4 pendule simple 5-2 ,, de Foucault 5-3 périgée 6-1 (Note) périhélie 8-4 périhélie de Mercure 13-4 période et fréquence AI -2 période propre 16-3 pesée aux pôles, à l’équateur 7-3, Ex 7-2

- 249 –

Phobos (Mars) 2-1 planètes (caractéristiques) Tab 1-1 ,, (formation) 25-6 Pluton 1-2et3 poids 3-2, 4-3, 7-3, 18-1à 4 Poincaré 16-4 point d’équigravité 20-1 point de Lagrange 20-1à3 positon 23-6, 24-2 précession 8-5, 12-4 pression atmosphérique AI -5 principes de la mécanique 21-3,5et6 Proxima Centauri (étoile) 1-3, 13-2 Ptolémée 2-2

R radian AI -1 radioactivité β et α 24-2et3 ralentissemnt (rotation Terre) 7-1, 16-5 rayons des planètes Tab1-1 rayon de la Terre Ex 1-1 référentiels 21-2, 21-4, AII -2 relativité générale 4-1, 24-5 résonance (marée) 16-3 rétrogradation des équinoxes 8-5 ,, de la ligne des nœuds 12-4, 12-8 révolution anomalistique 12-4 ,, draconitique 12-4 Roche (limite de) 15-4

S Saros (cycle de) 12-8 satellite géostationnaire Ex 19-7 Saturne 7-1 ,, (anneaux) 15-2 à 4 Sirius A et B 14-6, Ex 19-8 Soleil (caractéristiques) Tab 1-1, 25-3 ,, (vitesse dans la Voie lactée) Ex 1-3 solstice 8-3 SN1987A 25-4 supernova 25-4

système solaire 1-1,1-3 ,, (vitesse de libération du ) Ex 22-1

T temps sidéral (Lune) 12-3 ,, synodique (Lune) 12-3 Titan Ex 19-6 Torricelli 6-2, AI -5 Toungouska 6-3 trajectoire cinématique 11-4 transformation masse-énergie 23-6 Triton 15-3 Troyens 20-4 tropique (Cancer,Capricorne) 8-3 Tycho Brahé 2-2

U unité astronomique 1-1 Uranus 14-6

V vecteurs AII -1 Véga (Lyre) 8-5 vernal (point) 8-3 vitesse angulaire 17-2 ,, à l’équateur 7-2 ,, de libération 22-6, Ex 22-1et3 ,, limite 10-6 ,, de révolution Ex 1-2,3, Ex 19-3 ,, de satellisation (surface Terre) 18-5 ,, tangentielle 17-3 Voie lactée 1-1,1-3 voilier à l’horizon Ex 2-2 Vulcain 13-4

Z zodiaque 8-7, 12-2

- 250 –

Dépôt légal le 10 / 01 / 2011

Le Code de la propriété intellectuelle interdit les copies ou reproductions destinées à une utilisation collective. Toute représentation ou reproduction intégrale ou partielle faite par quelque procédé que ce soit, sans le consentement de l’auteur ou de ses ayants cause, est illicite et constitue une contrefaçon sanctionnée par les articles L. 335-2 et suivants du Code de la propriété intellectuelle.