Prparation Agrgation Externe UPMC 2008-2009 Matthieu Romagny

Quelques remarques sur les anneaux Z/nZ

Le contenu de cette note peut servir dans les leons :

- Groupes nis. Exemples et applications.

- Groupe linaire d'un e. v. de dimension nie E, sous-groupes de GL(E). Applications.- Anneaux Z/nZ. Applications.- Anneaux principaux. Applications.

- Oprations lmentaires sur les lignes et les colonnes d'une matrice. Exemples et appli-

cations.

- Mthodes combinatoires, problmes de dnombrement.

1 Structure de Z/nZ 11.1 Gnralits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Structure de Z/pZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2 Puissances dans Z/nZ 22.1 Puissances k-imes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.2 Carrs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

3 Matrices coecients dans Z/nZ 43.1 Nombre d'lments de GLr(Z/nZ) et SLr(Z/nZ) . . . . . . . . . . . . . . . 43.2 Surjection SLr(Z) SLr(Z/nZ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1 Structure de Z/nZ

1.1 Gnralits

Sur le groupe ablien Z/nZ, il n'y a qu'une structure d'anneau possible. En eet, unproduit ab est une somme a + + a avec b termes, donc toute multiplication est uneitration nie d'additions et la multiplication est dtermine par l'addition.

Dit autrement, la structure de l'anneau Z/nZ est dtermine par sa structure degroupe additif. Ceci se rete aussi sur les lments inversibles de l'anneau, qui sont les

gnrateurs du groupe additif, et sur les idaux, qui sont les sous-groupes additifs.

Un autre fait notable est que dans l'anneau Z/nZ, comme d'ailleurs dans tout anneauni A, les lments non nuls sont soit inversibles, soit diviseurs de zro. En eet, pour x A \ {0}, la multiplication par x donne un endomorphisme de groupe ablien mx : A A.Si mx est surjectif, alors 1 est dans l'image, donc il existe y A tel que xy = 1 et x estinversible. Si mx n'est pas surjectif, alors il n'est pas injectif (car A est ni) et donc il ya un lment non nul y dans le noyau. Alors, xy = 0 et x est un diviseur de zro.

1

Soit n = p11 . . . prr la dcomposition en facteurs premiers de n. La structure algbriquede l'anneau Z/nZ est pour l'essentiel gouverne par la dcomposition en produit donnepar l'isomorphisme du thorme des restes chinois :

Z/nZ ' Z/p11 Z Z/prr Zet par la structure particulire des facteurs Z/pZ.

1.2 Structure de Z/pZDcrivons donc plus en dtail l'anneau A = Z/pZ. Une trs bonne manire de sereprsenter les lments de A est d'utiliser l'criture en base p : pour tout x A, il existedes entiers uniques 0 xi p 1 tels que x = x0 + x1p + x2p2 + + x1p1. Si unlment de A est crit ainsi, on a x A ssi x0 6= 0, ou encore, ssi x 6 (p). En particulier,on voit que si on note pi : Z/pZ Z/pZ la surjection canonique, alors x est inversibledans A si et seulement si pi(x) est inversible dans Z/pZ. (En gnral, si f : R S estun morphisme d'anneaux commutatifs et unitaires, l'image d'un inversible est inversible,

mais la rciproque n'est pas vraie.) De plus, l'idal (p) est gal l'idal des lmentsnilpotents, et on a A = A unionsq (p).Par ailleurs, les idaux de A forment une chane :

0 (p1) (p2) (p) A .Ceci permet de dnir la valuation p-adique d'un lment non nul x A comme tantle plus grand entier k 1 tel que x (pk). On peut alors crire x = pku, o u estinversible dans A, et cette criture est unique.

2 Puissances dans Z/nZ

2.1 Puissances k-imes

Proposition : Soient k 2 et n 2 deux entiers. Alors, l'application Z/nZ Z/nZd'lvation la puissance k est bijective si et seulement si tous les facteurs premiers p den sont de multiplicit 1 et tels que p 1 est premier avec k.

Preuve : Notons : Z/nZ Z/nZ telle que (x) = xk. Cette application est multi-plicative. Soit n = p11 . . . p

rr la dcomposition en facteurs premiers de n. Par le thormedes restes chinois, on a un isomorphisme Z/nZ ' Z/p11 Z Z/prr Z. Si l'on dcrit via cet isomorphisme, il est clair que (x1, . . . , xr) = (x

k1, . . . , x

kr), de sorte que estbijective si et seulement si pour tout i, l'application d'lvation la puissance k dansZ/pii Z est bijective. Ceci nous ramne au cas o n = p.Soit x Z/pZ. Si x est inversible, alors (x) est inversible, c'est--dire qu'il n'estpas dans (p). Si x n'est pas inversible, il est dans (p) et donc (x) = xk est dans (pk).(Pour le dire autrement, l'application multiplie la valuation p-adique par k de sorte queles lments de l'image ont une valuation multiple de k.) On voit donc que si 2,l'lment p A n'est pas dans l'image de . Donc = 1 si est bijectif.L'application envoie 0 sur 0 et sa restriction (Z/pZ) est un morphisme de groupesmultiplicatifs. Il reste voir quand celui-ci est bijectif. Or (Z/pZ) ' Z/(p 1)Z et

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s'identie, comme endomorphisme du groupe additif Z/(p 1)Z, la multiplication park. Celle-ci est bijective ssi k est premier p 1.

2.2 Carrs

Le rsultat prcdent dit que l'application d'lvation au carr (k = 2) dans Z/nZ n'estbijective que lorsque n = 2. Donc en gnral, les carrs forment un sous-ensemble strict,que l'on va dnombrer, gnralisant le rsultat correspondant pour Z/pZ avec p premier.Ici encore, en utilisant le thorme chinois, le nombre de carrs est le produit des nombres

de carrs dans des anneaux Z/pii Z. Ceci nous ramne au cas o n = p et nous citeronsle rsultat dans ce cas. Nous ne traiterons que le cas o p 3, mais le cas o p = 2 setraite de la mme manire (la seule dirence provenant de la structure du groupe des

inversibles).

Lemme : Soit p un nombre premier impair et 1 un entier.(i) Le cardinal de (Z/pZ)2, ensemble des carrs des lments inversibles de Z/pZ, estgal p1 p1

2.

(ii) Soit i un entier tel que i . Alors, la multiplication par pi induit une injection degroupes abliens Z/piZ Z/pZ et l'image de (Z/piZ)2 est gale pi(Z/pZ)2.(iii) Le cardinal de pi(Z/pZ)2 est gal pi1 p1

2.

Preuve : (i) Comme p est impair, on a (Z/pZ) ' Z/p1(p1)Z et l'lvation au carrs'identie la multiplication par 2 dans Z/p1(p 1)Z. Comme 2 divise p 1, l'imageest donc le sous-groupe strict engendr par 2, d'indice 2. Donc le cardinal de (Z/pZ)2est p1 p1

2.

(ii) Il est immdiat de voir que le noyau de la multiplication par pi de Z/pZ dans lui-mme est gal l'idal engendr par pi, d'o la premire assertion. On peut dcrirecette application ainsi : x = x0 +x1p+ +xi1pi1 on associe pix = pi(x0 +x1p+ + xi1pi1). L'image de (Z/piZ)2 est pi(Z/piZ)2. C'est aussi pi(Z/pZ)2,puisque dans l'criture pi(x0 + x1p+ + x1p1)2 les termes xjpj avec j i sontannuls par pi.

(iii) D'aprs (ii) le cardinal de pi(Z/pZ)2 est gal celui de (Z/piZ)2, d'o le rsultatd'aprs (i).

Proposition : Si p est un nombre premier impair, le nombre de carrs dans A = Z/pZest gal

1 +p 1

2(p+ p3 + + p21)si = 2 est pair, et

1 +p 1

2(1 + p2 + + p2)si = 2 + 1 est impair.

Preuve : Si x A est non nul, il s'crit de manire unique sous la forme x = piu avec0 i 1 et u 6 (p), c'est--dire u inversible dans A. Il est clair que x est un carr si

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et seulement si i est pair et u est un carr. En d'autres termes, l'ensemble des carrs nonnuls dans A est

A2 unionsq p2A2 unionsq p4A2 unionsq unionsq p22A2 si = 2 est pair,

A2 unionsq p2A2 unionsq p4A2 unionsq unionsq p2A2 si = 2 + 1 est impair.

En utilisant le lemme qui donne le cardinal de p2kA2 et en tenant compte du fait que0 A est un carr, on trouve que le nombre de carrs dans A est

1 + p21p 1

2+ p23

p 12

+ + pp 12

si = 2, et l'expression similaire si est impair.

Rfrences : Je ne connais de rfrence ni pour la description de l'application d'lvation

la puissance k-ime, ni pour le calcul du nombre de carrs de Z/nZ.

3 Matrices coecients dans Z/nZSoit r 1 un entier. Dans ce paragraphe, nous nous intressons aux groupes linairesGLr(Z/nZ) et SLr(Z/nZ). Nous utiliserons les remarques simples qui suivent.Si f : A B est un morphisme d'anneaux commutatifs et unitaires, il y a uneapplication Mr(A) Mr(B) entre les ensembles de matrices carres de taille r, noteencore f pour simplier, obtenue en associant une matrice M = (mi,j) la matricef(M) = (f(mi,j)). Puisque f est un morphisme d'anneaux et que l'addition et la multi-plication des matrices s'expriment par des additions et des multiplications entre les coef-

cients des matrices, cette application f : Mr(A) Mr(B) est un morphisme d'anneaux.Puisque le dterminant d'une matrice est lui aussi un polynme en les coecients de la

matrice, on a det(f(M)) = f(det(M)). Il en dcoule que f induit des morphismes degroupes GLr(A) GLr(B) et SLr(A) SLr(B).Par ailleurs, dans le cas o l'anneau des coecients des matrices est un anneau produit,

il est clair que Mr(A B) ' Mr(A) Mr(B), GLr(A B) ' GLr(A) GLr(B) etSLr(A B) ' SLr(A) SLr(B). Pour tudier GLr(Z/nZ) et SLr(Z/nZ), utilisant lethorme des restes chinois on est ramen au cas o n = p.

3.1 Nombre d'lments de GLr(Z/nZ) et SLr(Z/nZ)Proposition : On a |GLr(Z/pZ)| = p(1)r2(pr 1)(pr p) . . . (pr pr1).

Preuve : Commenons par le cas = 1. Dans ce cas, l'anneau de coecients est le corpsk = Z/pZ. Une matrice est dans GLr(Z/pZ) ssi ses vecteurs colonnes forment une base.Le premier vecteur doit tre non nul, il y a donc pr 1 faons de le choisir. Le deuximevecteur ne doit pas tre dans la droite engendre par le premier, il y a donc pr p faonsde le choisir. En continuant ainsi, on trouve |GLr(Z/pZ)| = (pr1)(prp) . . . (prpr1).Passons au cas gnral. On notera Z/pZ Z/pZ, x 7 x le morphisme de rduc-tion. Rappelons-nous que x est inversible ssi x est inversible (voir 1.2). Nous allons

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voir que le morphisme induit : GLr(Z/pZ) GLr(Z/pZ) est surjectif. En eet, siM GLr(Z/pZ) et qu'on considre une matrice N Mr(Z/pZ) obtenue en relevantde manire arbitraire les coecients de M , on a det(N) = det(M) qui est inversible.Donc det(N) est inversible, i.e. N GLr(Z/pZ) et N est un antcdent pour M . Onregarde maintenant le noyau H = ker(). C'est l'ensemble des matrices Id +N o N est coecients dans p(Z/pZ) ' Z/p1Z. Comme les matrices ont r2 coecients, on trouve|H| = (p1)r2 . Finalement |GLr(Z/pZ)| = |GLr(Z/pZ)|.|H| et ceci donne le rsultatannonc.

Proposition : On a | SLr(Z/pZ)| = p(1)(r21)(pr 1)(pr p) . . . (pr pr2)pr1.

Preuve : On considre le morphisme dterminant det : GLr(Z/pZ) (Z/pZ). Il estsurjectif, car tout x (Z/pZ) est le dterminant d'une matrice de dilatation diagonale(x, 1, . . . , 1). Il s'ensuit que le cardinal du noyau, le groupe spcial linaire, est

| SLr(Z/pZ)| = |GLr(Z/pZ)|

p1(p 1) .

Compte tenu de la proposition prcdente, ceci mne au rsultat annonc.

Rfrences : Le calcul du cardinal de GLr(Z/pZ) et d'autres groupes linaires sur lescorps nis est fait dans Perrin [P]. Le calcul du cardinal de SL2(Z/nZ) peut tre trouvdans [FGN2], exercice 3.23 (lire la n de la correction).

3.2 Surjection SLr(Z) SLr(Z/nZ)On peut se poser la question de savoir si toute matrice inversible coeciens dans Z/nZpeut tre releve en une matrice inversible coecients dans Z. Mais ceci est presquetout le temps faux, pour la raison que le groupe des inversibles de Z/nZ est plus gros quele groupe des inversibles de Z : il est clair qu'une matrice de GLr(Z/nZ) de dterminantinversible, mais distinct de 1, ne peut pas tre releve dans GLr(Z). Le thorme suivantest donc assez surprenant :

Thorme : Le morphisme de rduction SLr(Z) SLr(Z/nZ) est surjectif.Preuve : On fait une rcurrence sur r. Comme SL1(Z) ' SL1(Z/nZ) ' 1, le rsultat estclair pour r = 1. Supposons-le vrai pour l'entier r 1, et soit A Mr(Z) une matricecarre telle que det(A) 1 (n). D'aprs le thorme des invariants de similitude, il existedeux matrices U, V dans GLr(Z) telles que UAV est une matrice diagonale, d'lmentsa1, . . . , am. Posons b = a2 . . . am et considrons les matrices

W =

b 1

b 1 11.

.

.

1

, X =

1 a20 1

1.

.

.

1

, A =

1 01 a2 a1a2

1.

.

.

1

.

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Comme a1b = det(A) 1 (n), on voit que WUAVX A (n). Par l'hypothse dercurrence, la matrice carre de taille (r 1, r 1) en bas droite de A se relve en unematrice C SLr1(Z). On vrie alors facilement que

B = U1W1

1 0

1 a1C

0

X1V 1est une matrice dans SLr(Z) qui relve A.

Remarques et rfrences : Ce thorme est une jolie application du thorme des

invariants de similitude, sous forme matricielle. La dmonstration donne ici est la repro-

duction dle de celle que l'on trouve en pages 20-21 du livre de Shimura [Shi]. Dans le

cas r = 2, la preuve du thorme se trouve aussi dans [FGN2], exercice 3.23, p. 204, etdans le livre d'Hellegouarch [H], chapitre 5, 3, p. 295.

Une des raisons de l'importance de ce thorme provient de l'tude des groupes fuch-

siens et des sous-groupes de congruence de SL2(Z) tels que le sous-groupe :

(n) = ker(

SL2(Z) SL2(Z/nZ)).

Ce groupe intervient dans l'tude des formes modulaires, qui sont l'un des ingrdients de

la preuve du thorme de Fermat. Vous trouverez plus de dtails sur tout cela dans le

livre d'Hellegouarch [H].

Rfrences

[FGN2] S. Francinou, H. Gianella, S. Nicolas, Exercices de Mathmatiques Oraux

X-ENS, Algbre 2, Cassini.

[H] Y. Hellegouarch, Invitation aux Mathmatiques de Fermat-Wiles, Masson, 1997.

[P] D. Perrin, Cours d'Algbre, Ellipses.

[Shi] G. Shimura, Introduction to the Arithmetic Theory of Automorphic Forms, Prince-

ton University Press, 1971.

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