GEOMETRIE DANS L’ESPACEDans tout le chapitre est l’espace géométrique usuel

A. Modes de repérage 1) Coordonnées cartésiennes

Une base de l’espace est la donnée d’un triplet de vecteurs non coplanaires

Un repère de l’espace est la donnée d’un quadruplet où est un point de l’espace et

une base de l’espace

Théorèmes :

Soit une base de l’espace.

Pour tout vecteur de l’espace, il existe un triplet unique de réels tel que

Les réels sont appelés les coordonnées du vecteur dans la base et on note

ou

Ce résultat permet une identification entre les vecteurs de et l’ensemble

Soit un repère de l’espace.

Pour tout point de l’espace, il existe un triplet unique de réels tel que

Les réels sont appelés les coordonnées cartésiennes du point dans le repère

et on note ou

Ce résultat permet une identification entre les points de et l’ensemble

Définitions :

La norme euclidienne du vecteur dans la base orthonormée est

1

Un vecteur est dit unitaire ou normé si sa norme vaut 1

Soient deux points et de l’espace,

Une base (respectivement un repère ) est dite orthonormée si les vecteurs

sont orthogonaux deux à deux et normés

Les propriétés des normes vues dans le plan demeurent valables dans l’espace

2) Coordonnées cylindriques

Le repérage cylindrique consiste à remplacer les deux premières coordonnées cartésiennes par

des coordonnées polaires dans le plan

On appelle coordonnées cylindriques d’un point dans le repère orthonormé

tout triplet de réels tel que avec

Remarque : Les coordonnées cylindriques, comme les coordonnées polaires, ne sont pas uniques

ATTENTION : Le réel ne correspond pas à la distance mais à la distance , où est le projeté

orthogonal de sur le plan

Exercice

Déterminer les coordonnées cylindriques du point

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B. Produit scalaire

Soient deux vecteurs et de

On appelle produit scalaire de par le réel noté (on lit «  scalaire ») défini par :

Si l’un au moins des deux vecteurs est le vecteur nul alors

Sinon

Cette définition est identique à celle vue dans le plan Toutes les propriétés vues dans le plan restent vraies dans l’espace :

Propriétés :

Symétrie : quels que soient les vecteurs et ,

Bilinéarité : quels que soient les vecteurs , et , quels que soient les réels et

, et

Deux vecteurs non nuls et sont orthogonaux si et seulement si

Si et ont pour coordonnées respectives et dans une base orthonormée ,

alors

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C. Produit vectoriel

1) Orientation de l’espace

Un repère de l’espace est dit direct si la base est directe

2) Produit vectoriel de deux vecteurs a) Définition

Soient deux vecteurs et de l’ensemble des vecteurs de l’espace

On appelle produit vectoriel scalaire de par le vecteur noté (On lit «  vectoriel ») défini par :

Si les deux vecteurs sont colinéaires alorsSinon alors

Le vecteur est orthogonal aux vecteurs et (direction du vecteur )

Le triplet est une base directe (sens du vecteur )

(norme du vecteur )

b) Propriétés :Antisymétrie :

Quels que soient les vecteurs et , Bilinéarité :

Quels que soient les vecteurs , et , quels que soient les réels et

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, et

Quels que soient les vecteurs , et , on a

Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si leur produit vectoriel est le vecteur nul

c) Application

Soient les vecteurs et supposés non colinéaires (les points forment un plan )

Soit

Aire du triangle

Or

Donc Aire du triangle =

Et aire du parallélogramme construit à partir des segments et =

d) Expression analytique du produit vectoriel de deux vecteurs dans une base orthonormée directe

Une base est dite orthonormée directe si elle est orthonormée et directe

On a alors

Soit une base orthonormée directe et deux vecteurs et

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D. Produit mixte de trois vecteurs1) Définition

Soient trois vecteurs et de l’ensemble des vecteurs de l’espace

On appelle produit mixte (ou déterminant) de (dans cet ordre) le réel

2) Propriétés

Le réel est nul si et seulement si les trois vecteurs sont coplanaires

Interprétation géométrique : Si les trois vecteurs ne sont pas coplanaires

, où est le projeté orthogonal de

sur la droite

Donc volume du parallélépipède formé à partir de ces trois vecteurs

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Propriétés Le produit mixte de trois vecteurs est inchangé si on effectue une permutation circulaire sur les trois vecteurs :

C’est-à-dire

Antisymétrie :Le produit mixte de trois vecteurs change de signe si l’on échange deux vecteurs :

C’est-à-dire

Le produit mixte est linéaire en chacun de ces vecteurs (tri linéarité) :

C’est à dire

Pour tous vecteurs pour tous réels et ,

Pour tous vecteurs pour tous réels et ,

Pour tous vecteurs pour tous réels et ,

Expression analytique du produit mixte dans une base orthonormale directe

Soit une base orthonormée directe et trois vecteurs , et

Remarque :

Disposition pratique : Règle de SarrusPierre Frédéric Sarrus (1798-1861)mathématicien français.

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E. Droites et plans dans l’espace 1) Droites

Soit la droite passant par et dirigée par

Soit la droite passant par et dirigée par

Remarque :

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Pour établir que les droites et sont non coplanaires, deux méthodes sont possiblesa) Méthode 1

Si les deux droites ne sont pas parallèles, on détermine pour savoir si les deux droites sont sécantes ou non coplanaires

b) Méthode 2

Deux droites sont orthogonales si leurs parallèles menées par un point quelconque de l’espace sont orthogonales (on se ramène ainsi à la notion d’orthogonalité ou de perpendicularité dans le plan)

ATTENTION : deux droites orthogonales dans l’espace ne sont pas nécessairement perpendiculaires

Représentation paramétrique d’une droite

Dans l’espace muni d’un repère , on considère la droite passant par

et dirigée par avec et réels non tous nuls

2) Droites et plans a) Représentation paramétrique d’un plan

Dans l’espace muni d’un repère , on considère le plan passant par

et de base avec et

Une représentation paramétrique de plan est un « objet » mathématique lourd à utiliser

b) Droites et plans dans l’espace

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Soit la droite passant par et dirigée par

Soit le plan passant par et de base

Remarques :Une droite est parallèle à un plan si cette droite est parallèle à une droite de ce plan

Théorème

Droite orthogonale (ou perpendiculaire) à un plan Définition

Une droite est orthogonale à un plan si elle est orthogonale à toute droite de ce plan Théorème

Une droite est orthogonale à un plan si et seulement si cette droite est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan OU (version vectorielle)

Démonstration :Première étape

On suppose

La droite est donc par définition orthogonale à toute droite du plan

En particulier est orthogonale aux droites et qui sont deux droites sécantes

du plan et alorsDeuxième étape :

On suppose que , montrons alors que orthogonale à toute droite du plan

Soit une droite quelconque de ce plan dirigée par un vecteur

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Comme coplanaires et non colinéaires, il existe deux réels et tels que

Nous avons alors donc

Vecteur normal à un plan

Un vecteur non nul est normal à un plan s’il dirige une droite orthogonale à ce plan

Remarque importante :

Le vecteur est un vecteur normal au plan

L’espace est rapporté à un repère orthonormé

Soit un point et un vecteur non nul

L’ensemble des points de l’espace tels que est le plan passant par et admettant pour vecteur normal

Rappel :

L’ensemble des points du plan tels que est la droite passant par et admettant pour vecteur normal

Démonstration :

Soit l’ensemble des points de l’espace tels que est le plan passant par et admettant

pour vecteur normal

Soit le plan passant par et admettant pour vecteur normal, prenons une base de l’ensemble des vecteurs de ce plan

Montrons par double inclusion que

Première étape :Soit un point quelconque de l’ensemble

Le quadruplet constitue un repère de l’espace

Il existe donc trois réels uniques et tels que

Or , comme ,

on a soit et donc et

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Finalement on a montré que Deuxième étape :

Soit un point quelconque de , il existe alors deux réels et tels que

Nous avons alors soit

Finalement on a montré que

En développant on obtient le théorème suivent :

Théorème

Tout plan de l’espace admet une équation cartésienne de la forme avec

Réciproquement

L’ensemble des points de l’espace tels que avec est un

plan admettant pour vecteur normal

Démonstration :

Comme l’un au moins des trois réels n’est pas nul, on peut supposer

Notons l’ensemble des points de l’espace tels que avec

Le point appartient à cet ensemble puisque

Avec Exercice :

Soit

Donner une équation cartésienne du plan

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Remarque

Soit la droite passant par et dirigée par

Soit le plan passant par et de vecteur normal

c) Plans dans l’espace

Soit le plan passant par et de vecteur normal

Soit le plan passant par et de vecteur normal

Remarque :

Deux plans sont perpendiculaires si l’un contient une droite orthogonale à l’autre

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Etant donnés des réels tels que les triplets et soient

non proportionnels, l’ensemble des points tels que est une droite Toute droite admet au moins un système d’équations de ce type

Plus précisément :

Soient et deux plans non parallèles

Si est un vecteur normal au plan et si est un vecteur normal au plan , alors

est un vecteur directeur de la droite

Il suffit d’un point de l‘espace non situé sur pour distinguer ces deux demi-espaces

Orientation d’un plan dans l’espace

Orienter un plan consiste à choisir un vecteur unitaire normal au plan

Une base orthonormale de est alors directe si et indirecte si

F. Projeté orthogonal d’un point sur une droite, sur un plan1) Projeté orthogonal d’un point sur une droite

Soit un point de l’espace et une droite

Il existe un unique point tel que

Ce point est appelé le projeté orthogonal du point sur la droite Démonstration :

Cherchons les points situés sur la droite tels que

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Le paramètre solution étant unique : Il existe un unique point tel que

La longueur est appelée distance du point à la droite et est notée

La distance d’un point à la droite est donnée par : Démonstration :En notant le projeté orthogonal du point sur la droite

2) Projeté orthogonal d’un point sur un plan

Soit un point de l’espace et un plan de vecteur normal

Il existe un unique point tel que Ce point est appelé le projeté orthogonal du point sur le plan Démonstration :

Soit avec et orthogonaux et unitaires, de vecteur normal

Cherchons les points tels que

Les réels et sont uniques : Il existe un unique point tel que

La longueur est appelée distance du point au plan de vecteur normal et est

notée

La distance d’un point au plan passant par le point et de vecteur normal est

donnée par : Démonstration :

Conséquence :

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Si le plan a pour équation cartésienne : avec dans

l’espace rapporté à un repère orthonormé, alors Démonstration :

Puisque car

G. Sphères 1) Définition

On appelle sphère de centre et de rayon , notée l’ensemble des points de l’espace tels que

2) Equations cartésiennes d’une sphère

L’espace est muni d’un repère orthonormé , soit

En développant

Toute sphère de l’espace admet une équation cartésienne de la forme

, avec réels

ATTENTION :

L’ensemble des points de l’espace tels que n’est pas nécessairement une sphère (cet ensemble peut être une sphère ou un point ou l’ensemble vide)

3) Complément

Soient deux points distincts et de l’espace

L’ensemble des points de l’espace tels que est la sphère de diamètre

En effet, en introduisant le milieu de ,

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4) Problèmes d’intersection a) Intersection d’une sphère et d’une droite

Soit une sphère et une droite Notons le projeté orthogonal de sur la droite

Si , la droite est extérieure à la sphère

Si , la droite est tangente à la sphère

Si , la droite coupe la sphère en deux points

b) Intersection d’une sphère et d’un plan

Soit une sphère et un plan Notons le projeté orthogonal de sur le plan

Si , le plan est extérieur à la sphère

Si , le plan est tangent à la sphère

Si , le plan coupe la sphère suivant un cercle de centre et de

rayon

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H.Transformations de l’espace euclidien 1) Rotations

Soit un vecteur non nul et un réel

On appelle rotation vectorielle d’angle autour de l’axe orienté par le vecteur ,

l’application qui transforme tout vecteur de l’espace en

où est le projeté orthogonal de sur le plan vectoriel de vecteur normal et

où est la rotation vectorielle d’angle dans le plan vectoriel orienté par le vecteur normal

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Soit une base orthonormée directe

L’image d’un vecteur de coordonnées dans la base par la rotation vectorielle

d’angle autour de l’axe orienté par le vecteur est le vecteur de coordonnées

avec :

Démonstration :

Soit un vecteur de coordonnées dans la base

Comme est le plan vectoriel de vecteur normal , le projeté orthogonal du vecteur

sur ce plan est

L’image du vecteur par la rotation vectorielle d’angle dans le plan vectoriel

orienté par le vecteur est égal au vecteur où

Finalement l’image du vecteur de coordonnées est égal au vecteur

avec

Remarque :

La matrice est la matrice dans la base orthonormée directe de

la rotation vectorielle d’angle autour de l’axe orienté par le vecteur

La composée de deux rotations vectorielles autour d’un même vecteur d’angles

respectifs et est la rotation vectorielle autour de et d’angle

La rotation vectorielle d’angle autour de l’axe orienté par le vecteur est bijective

et sa réciproque est la rotation vectorielle d’angle autour de l’axe orienté par le

vecteur , de plus  est la

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matrice dans la base orthonormée directe de la rotation vectorielle d’angle autour

de l’axe orienté par le vecteur

2) Réflexions

On appelle réflexion vectorielle par rapport au plan vectoriel , l’application qui transforme

tout vecteur de l’espace en le vecteur tel que où est la projection orthogonale sur le plan

Soit une base orthonormée

L’image d’un vecteur de coordonnées dans la base par la réflexion par

rapport au plan vectoriel est le vecteur de coordonnées avec :

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