GEOMETRIE DANS L’ESPACEDans tout le chapitre est l’espace géométrique usuel
A. Modes de repérage 1) Coordonnées cartésiennes
Une base de l’espace est la donnée d’un triplet de vecteurs non coplanaires
Un repère de l’espace est la donnée d’un quadruplet où est un point de l’espace et
une base de l’espace
Théorèmes :
Soit une base de l’espace.
Pour tout vecteur de l’espace, il existe un triplet unique de réels tel que
Les réels sont appelés les coordonnées du vecteur dans la base et on note
ou
Ce résultat permet une identification entre les vecteurs de et l’ensemble
Soit un repère de l’espace.
Pour tout point de l’espace, il existe un triplet unique de réels tel que
Les réels sont appelés les coordonnées cartésiennes du point dans le repère
et on note ou
Ce résultat permet une identification entre les points de et l’ensemble
Définitions :
La norme euclidienne du vecteur dans la base orthonormée est
1
Un vecteur est dit unitaire ou normé si sa norme vaut 1
Soient deux points et de l’espace,
Une base (respectivement un repère ) est dite orthonormée si les vecteurs
sont orthogonaux deux à deux et normés
Les propriétés des normes vues dans le plan demeurent valables dans l’espace
2) Coordonnées cylindriques
Le repérage cylindrique consiste à remplacer les deux premières coordonnées cartésiennes par
des coordonnées polaires dans le plan
On appelle coordonnées cylindriques d’un point dans le repère orthonormé
tout triplet de réels tel que avec
Remarque : Les coordonnées cylindriques, comme les coordonnées polaires, ne sont pas uniques
ATTENTION : Le réel ne correspond pas à la distance mais à la distance , où est le projeté
orthogonal de sur le plan
Exercice
Déterminer les coordonnées cylindriques du point
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B. Produit scalaire
Soient deux vecteurs et de
On appelle produit scalaire de par le réel noté (on lit « scalaire ») défini par :
Si l’un au moins des deux vecteurs est le vecteur nul alors
Sinon
Cette définition est identique à celle vue dans le plan Toutes les propriétés vues dans le plan restent vraies dans l’espace :
Propriétés :
Symétrie : quels que soient les vecteurs et ,
Bilinéarité : quels que soient les vecteurs , et , quels que soient les réels et
, et
Deux vecteurs non nuls et sont orthogonaux si et seulement si
Si et ont pour coordonnées respectives et dans une base orthonormée ,
alors
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C. Produit vectoriel
1) Orientation de l’espace
Un repère de l’espace est dit direct si la base est directe
2) Produit vectoriel de deux vecteurs a) Définition
Soient deux vecteurs et de l’ensemble des vecteurs de l’espace
On appelle produit vectoriel scalaire de par le vecteur noté (On lit « vectoriel ») défini par :
Si les deux vecteurs sont colinéaires alorsSinon alors
Le vecteur est orthogonal aux vecteurs et (direction du vecteur )
Le triplet est une base directe (sens du vecteur )
(norme du vecteur )
b) Propriétés :Antisymétrie :
Quels que soient les vecteurs et , Bilinéarité :
Quels que soient les vecteurs , et , quels que soient les réels et
4
, et
Quels que soient les vecteurs , et , on a
Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si leur produit vectoriel est le vecteur nul
c) Application
Soient les vecteurs et supposés non colinéaires (les points forment un plan )
Soit
Aire du triangle
Or
Donc Aire du triangle =
Et aire du parallélogramme construit à partir des segments et =
d) Expression analytique du produit vectoriel de deux vecteurs dans une base orthonormée directe
Une base est dite orthonormée directe si elle est orthonormée et directe
On a alors
Soit une base orthonormée directe et deux vecteurs et
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D. Produit mixte de trois vecteurs1) Définition
Soient trois vecteurs et de l’ensemble des vecteurs de l’espace
On appelle produit mixte (ou déterminant) de (dans cet ordre) le réel
2) Propriétés
Le réel est nul si et seulement si les trois vecteurs sont coplanaires
Interprétation géométrique : Si les trois vecteurs ne sont pas coplanaires
, où est le projeté orthogonal de
sur la droite
Donc volume du parallélépipède formé à partir de ces trois vecteurs
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Propriétés Le produit mixte de trois vecteurs est inchangé si on effectue une permutation circulaire sur les trois vecteurs :
C’est-à-dire
Antisymétrie :Le produit mixte de trois vecteurs change de signe si l’on échange deux vecteurs :
C’est-à-dire
Le produit mixte est linéaire en chacun de ces vecteurs (tri linéarité) :
C’est à dire
Pour tous vecteurs pour tous réels et ,
Pour tous vecteurs pour tous réels et ,
Pour tous vecteurs pour tous réels et ,
Expression analytique du produit mixte dans une base orthonormale directe
Soit une base orthonormée directe et trois vecteurs , et
Remarque :
Disposition pratique : Règle de SarrusPierre Frédéric Sarrus (1798-1861)mathématicien français.
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E. Droites et plans dans l’espace 1) Droites
Soit la droite passant par et dirigée par
Soit la droite passant par et dirigée par
Remarque :
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Pour établir que les droites et sont non coplanaires, deux méthodes sont possiblesa) Méthode 1
Si les deux droites ne sont pas parallèles, on détermine pour savoir si les deux droites sont sécantes ou non coplanaires
b) Méthode 2
Deux droites sont orthogonales si leurs parallèles menées par un point quelconque de l’espace sont orthogonales (on se ramène ainsi à la notion d’orthogonalité ou de perpendicularité dans le plan)
ATTENTION : deux droites orthogonales dans l’espace ne sont pas nécessairement perpendiculaires
Représentation paramétrique d’une droite
Dans l’espace muni d’un repère , on considère la droite passant par
et dirigée par avec et réels non tous nuls
2) Droites et plans a) Représentation paramétrique d’un plan
Dans l’espace muni d’un repère , on considère le plan passant par
et de base avec et
Une représentation paramétrique de plan est un « objet » mathématique lourd à utiliser
b) Droites et plans dans l’espace
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Soit la droite passant par et dirigée par
Soit le plan passant par et de base
Remarques :Une droite est parallèle à un plan si cette droite est parallèle à une droite de ce plan
Théorème
Droite orthogonale (ou perpendiculaire) à un plan Définition
Une droite est orthogonale à un plan si elle est orthogonale à toute droite de ce plan Théorème
Une droite est orthogonale à un plan si et seulement si cette droite est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan OU (version vectorielle)
Démonstration :Première étape
On suppose
La droite est donc par définition orthogonale à toute droite du plan
En particulier est orthogonale aux droites et qui sont deux droites sécantes
du plan et alorsDeuxième étape :
On suppose que , montrons alors que orthogonale à toute droite du plan
Soit une droite quelconque de ce plan dirigée par un vecteur
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Comme coplanaires et non colinéaires, il existe deux réels et tels que
Nous avons alors donc
Vecteur normal à un plan
Un vecteur non nul est normal à un plan s’il dirige une droite orthogonale à ce plan
Remarque importante :
Le vecteur est un vecteur normal au plan
L’espace est rapporté à un repère orthonormé
Soit un point et un vecteur non nul
L’ensemble des points de l’espace tels que est le plan passant par et admettant pour vecteur normal
Rappel :
L’ensemble des points du plan tels que est la droite passant par et admettant pour vecteur normal
Démonstration :
Soit l’ensemble des points de l’espace tels que est le plan passant par et admettant
pour vecteur normal
Soit le plan passant par et admettant pour vecteur normal, prenons une base de l’ensemble des vecteurs de ce plan
Montrons par double inclusion que
Première étape :Soit un point quelconque de l’ensemble
Le quadruplet constitue un repère de l’espace
Il existe donc trois réels uniques et tels que
Or , comme ,
on a soit et donc et
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Finalement on a montré que Deuxième étape :
Soit un point quelconque de , il existe alors deux réels et tels que
Nous avons alors soit
Finalement on a montré que
En développant on obtient le théorème suivent :
Théorème
Tout plan de l’espace admet une équation cartésienne de la forme avec
Réciproquement
L’ensemble des points de l’espace tels que avec est un
plan admettant pour vecteur normal
Démonstration :
Comme l’un au moins des trois réels n’est pas nul, on peut supposer
Notons l’ensemble des points de l’espace tels que avec
Le point appartient à cet ensemble puisque
Avec Exercice :
Soit
Donner une équation cartésienne du plan
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Remarque
Soit la droite passant par et dirigée par
Soit le plan passant par et de vecteur normal
c) Plans dans l’espace
Soit le plan passant par et de vecteur normal
Soit le plan passant par et de vecteur normal
Remarque :
Deux plans sont perpendiculaires si l’un contient une droite orthogonale à l’autre
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Etant donnés des réels tels que les triplets et soient
non proportionnels, l’ensemble des points tels que est une droite Toute droite admet au moins un système d’équations de ce type
Plus précisément :
Soient et deux plans non parallèles
Si est un vecteur normal au plan et si est un vecteur normal au plan , alors
est un vecteur directeur de la droite
Il suffit d’un point de l‘espace non situé sur pour distinguer ces deux demi-espaces
Orientation d’un plan dans l’espace
Orienter un plan consiste à choisir un vecteur unitaire normal au plan
Une base orthonormale de est alors directe si et indirecte si
F. Projeté orthogonal d’un point sur une droite, sur un plan1) Projeté orthogonal d’un point sur une droite
Soit un point de l’espace et une droite
Il existe un unique point tel que
Ce point est appelé le projeté orthogonal du point sur la droite Démonstration :
Cherchons les points situés sur la droite tels que
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Le paramètre solution étant unique : Il existe un unique point tel que
La longueur est appelée distance du point à la droite et est notée
La distance d’un point à la droite est donnée par : Démonstration :En notant le projeté orthogonal du point sur la droite
2) Projeté orthogonal d’un point sur un plan
Soit un point de l’espace et un plan de vecteur normal
Il existe un unique point tel que Ce point est appelé le projeté orthogonal du point sur le plan Démonstration :
Soit avec et orthogonaux et unitaires, de vecteur normal
Cherchons les points tels que
Les réels et sont uniques : Il existe un unique point tel que
La longueur est appelée distance du point au plan de vecteur normal et est
notée
La distance d’un point au plan passant par le point et de vecteur normal est
donnée par : Démonstration :
Conséquence :
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Si le plan a pour équation cartésienne : avec dans
l’espace rapporté à un repère orthonormé, alors Démonstration :
Puisque car
G. Sphères 1) Définition
On appelle sphère de centre et de rayon , notée l’ensemble des points de l’espace tels que
2) Equations cartésiennes d’une sphère
L’espace est muni d’un repère orthonormé , soit
En développant
Toute sphère de l’espace admet une équation cartésienne de la forme
, avec réels
ATTENTION :
L’ensemble des points de l’espace tels que n’est pas nécessairement une sphère (cet ensemble peut être une sphère ou un point ou l’ensemble vide)
3) Complément
Soient deux points distincts et de l’espace
L’ensemble des points de l’espace tels que est la sphère de diamètre
En effet, en introduisant le milieu de ,
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4) Problèmes d’intersection a) Intersection d’une sphère et d’une droite
Soit une sphère et une droite Notons le projeté orthogonal de sur la droite
Si , la droite est extérieure à la sphère
Si , la droite est tangente à la sphère
Si , la droite coupe la sphère en deux points
b) Intersection d’une sphère et d’un plan
Soit une sphère et un plan Notons le projeté orthogonal de sur le plan
Si , le plan est extérieur à la sphère
Si , le plan est tangent à la sphère
Si , le plan coupe la sphère suivant un cercle de centre et de
rayon
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H.Transformations de l’espace euclidien 1) Rotations
Soit un vecteur non nul et un réel
On appelle rotation vectorielle d’angle autour de l’axe orienté par le vecteur ,
l’application qui transforme tout vecteur de l’espace en
où est le projeté orthogonal de sur le plan vectoriel de vecteur normal et
où est la rotation vectorielle d’angle dans le plan vectoriel orienté par le vecteur normal
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Soit une base orthonormée directe
L’image d’un vecteur de coordonnées dans la base par la rotation vectorielle
d’angle autour de l’axe orienté par le vecteur est le vecteur de coordonnées
avec :
Démonstration :
Soit un vecteur de coordonnées dans la base
Comme est le plan vectoriel de vecteur normal , le projeté orthogonal du vecteur
sur ce plan est
L’image du vecteur par la rotation vectorielle d’angle dans le plan vectoriel
orienté par le vecteur est égal au vecteur où
Finalement l’image du vecteur de coordonnées est égal au vecteur
avec
Remarque :
La matrice est la matrice dans la base orthonormée directe de
la rotation vectorielle d’angle autour de l’axe orienté par le vecteur
La composée de deux rotations vectorielles autour d’un même vecteur d’angles
respectifs et est la rotation vectorielle autour de et d’angle
La rotation vectorielle d’angle autour de l’axe orienté par le vecteur est bijective
et sa réciproque est la rotation vectorielle d’angle autour de l’axe orienté par le
vecteur , de plus est la
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matrice dans la base orthonormée directe de la rotation vectorielle d’angle autour
de l’axe orienté par le vecteur
2) Réflexions
On appelle réflexion vectorielle par rapport au plan vectoriel , l’application qui transforme
tout vecteur de l’espace en le vecteur tel que où est la projection orthogonale sur le plan
Soit une base orthonormée
L’image d’un vecteur de coordonnées dans la base par la réflexion par
rapport au plan vectoriel est le vecteur de coordonnées avec :
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