INSEEC – MASTER PARIS 2017 2018

DOSSIER INDIVIDUELVERSION 01 – DU 27 JANVIER 2018

PRICING AVANCEPOUR OPTIONS EXOTIQUES

Philippe DUCHEMIN DOSSIER INDIVIDUEL

EvaluationL’évaluation de ce cours portera sur la remise d’un devoir personnel qui sera réalisé individuellement.L’objet du mémoire est de valoriser une option digitale à barrière, selon différentes méthodes, en plusieurs étapes. Les écarts de méthode sont en général inférieurs à 10%. Les résultats de valorisation de la même option devront donc être proches.

Le mémoire sera présenté sous Word ou PDF. Les feuilles Excel ne seront pas prises en compte. Afin d’aider l’étudiant dans sa démarche, l’annexe 2 présente une liste de questions dont les réponses sont attendues.La liste des paramètres relatifs aux options digitales à barrière est présentée en annexe 1 pour chaque étudiant. Cette liste contient.

Le type d’option digitale : toutes les options sont de types UI, donc la barrière sera toujours supérieure au prix de départ : S0,

S0 : le prix du sous-jacent au temps t=0, valeur initiale, L : le niveau de la barrière, R : le taux d’intérêt annuel, en %/an, T : la durée en années, Vol : la volatilité annuelle, en %/racine(an), N : le nombre de périodes pour la simulation.

1 - Exercice préliminaire :A partir des paramètres donnés, calculer les paramètres du modèle binomial : (1+r), u, d, p, q, p*, q*Puis les caractéristiques de l’arbre des prix et des probabilités.

2 - Exercice introductif : option double digitale DDO.L’option à valoriser est une option double digitale de type « in ».Les 2 prix d’exercice K1 et K2 vérifieront : K1<K2, avec :

Prix d’exercice supérieur : K2=L Prix d’exercice inférieur : K1= L’=S2/L

Calculer les indices w, de K1 et K2.Calculer ensuite les 2 options DDO suivantes :

COR(cash ou rien) , de pay-off : (K1<S<K2)*1. TOR (titre ou rien), de pay-off : (K1<S<K2)*S.

L’étudiant vérifiera, les relations de parités : Call COR + Put Cor + Ddo COR = 1/(1+R) = DF Call TOR + Put Tor + Ddo TOR = S0

3 - Calculer le prix de l’option digitale à barrière par décomposition Call PutDécomposer l’option digitale à barrière en :

Un call, correspondant aux chemins terminant au-dessus de la barrière. Un put, correspondant aux chemins terminant en-dessous de la barrière.

Le call COR a été calculé à la question précédente, reste à calculer le put, en décalant « en probabilité », la valeur du put précédent.Vérifier le calcul de l’option avec le programme VBA : « binomialBarBinaire »Utiliser ce programme pour identifier le décalage du Put, particulièrement « alpha » en tenant compte des niveaux de barrière non terminaux, en particulier calculer le nombre entier de décalage (shift= 2wc-n-1+alpha), et le facteur multiplicatif d’ajustement de probabilité : (p/(1-p))^shift.Remarque : le put n’est pas nécessairement égal au put précédent, dans le cas d’un alpha égal à l’unité, il faut diminuer l’indice w du put d’une unité si alpha est égal à l’unité.

4 - Calculer le prix de l’option digitale à barrière selon un comptage par rapport au temps de premier passage :

Déterminer l’instant minimal pour dépasser la barrière : TD Déterminer le niveau du sous-jacent immédiatement supérieur à la barrière. Etablir les statistiques relatives aux points de premier passage (P1) :

o (A) : le temps d’arrivée en ce point (indice entre 0 et n) : TDo (B) : le nombre de chemin pour y arrivant : ici 1=Catalan(TD,0)o (C) : la durée restante jusqu’à maturité : n-TD = TMo (D) : le nombre de chemins sortant : 2^TMo (E) : la probabilité d’arriver en ce pointo (F) : la composante du prix de l’option avec le produit : nombre de chemin entrant x

probabilité : (B).(D)Faire de même pour le point de second passage (P2) et de troisième passage (P3).Les règles de passage d’un point de passage P(i) au suivant PP(i+1) sont :

o (A) : le temps augmente de 2 unités, correspondant à u puis do (B) : on utilise les nombres de Catalan : Catalan(TD+i-1,i), pour la passage Pio (C) : 2 unités en moinso (D) : divisé par 4 = 2^2o (E) : multiplication par p.q = p.(1-p), correspondant à u puis d (ou d puis u)

Retrouver le prix de l’option précédente, en complétant complètement le tableau des premiers passages. En particulier, vérifier le comptage des chemins touchant la barrière qui doit être identique à celui de la question précédente.

5 - Calculer le prix de l’option « at hit ».L’avantage de la méthode précédente, est qu’elle permet de valoriser les options « at hit ».Reprendre les données précédentes, et au lieu d’actualiser les données par rapport à la valeur terminale, actualiser par rapport au temps de premier passage de la barrière.Le prix de l’option at hit augmente par rapport au prix de la question précédente.

6-La méthode analytiqueUtiliser les formules classiques d’options barrières digitales, présentées en annexe 3.Remarque ces options ont une valeur entre 0 et 1, car le nominal de l’option sera égal à 1 unité monétaire (1 euros). Vérifier que ce prix est cohérent avec ceux des questions précédentes.

7 - Option à barrière avec prix d’exercice égal à la barrière.Prendre l’option digitale précédente, et calculer la valeur de l’option barrière ayant un prix d’exercice égal au prix de la barrière (K=L), dans le cas d’un Call.Le pay-off devient : si la barrière est atteinte, paiement de (S(T) – K)

Date de remise : Le samedi 24 février 2018, 22h. Adresse mail 8: philippe.duchemin@finkeys.com

Annexe 01 - Sujets par élève.Options digitales à barrièresoption barrière digitale S L T r vol N1 ABDENNOUR jasmine bar UI 75 111 2 4% 20% 332 ALAOUI HASSANI el mamoun bar UI 110 163 4 2% 15% 373 ATTOUMBRE cyril bar UI 60 90 3 3% 20% 324 BEN ATA selim bar UI 75 94 1,5 5% 12% 485 BRAHIMI sofiane bar UI 145 174 2,5 3% 7% 356 CLEMENT SALAUN mathilde bar UI 85 109 2 4% 15% 457 CLINE WHITE taylor bar UI 75 116 2 2% 25% 328 COMPAORE patrick bar UI 110 146 4 3% 15% 429 DEJOIE anais bar UI 60 85 3 5% 20% 3110 DELMAS quentin bar UI 75 95 1,5 3% 12% 3011 DING qianwen bar UI 145 177 2,5 3% 7% 4812 DO REGO guillaume bar UI 80 103 2 4% 13% 4913 DUBOIS arthur bar UI 145 201 4 2% 11% 3614 ELMESSELLEK ayoub bar UI 85 110 3 3% 15% 3315 FAY jason bar UI 75 104 1,5 5% 20% 3116 JIANG tian bar UI 110 140 2,5 3% 15% 3317 KUGATHASAN kuganthi bar UI 85 137 2 7% 20% 4318 LIU mengqi bar UI 75 104 3 4% 12% 3219 M BAHIA stephane bar UI 145 173 4 5% 7% 4620 NELSON olsen bar UI 75 95 3 3% 12% 4321 NGUYEN duc thanh bar UI 145 167 1,5 5% 7% 3322 OBAME MBA elliot isidore bar UI 85 100 2,5 3% 6% 3623 RAMLOCHUN benita bar UI 75 105 2 5% 20% 4124 RENAULT colombe bar UI 110 142 4 4% 15% 3425 RUHLMANN benoit bar UI 60 87 2,5 3% 20% 4826 SALOR matthieu bar UI 75 103 3 5% 12% 3427 SIMON antoine bar UI 145 184 4 7% 9% 3828 SUN ning bar UI 95 124 2 4% 12% 3229 TRAN diana bar UI 130 165 5 7% 9% 3730 WANG bing bar UI 60 93 3 2% 15% 3131 WU yanan bar UI 155 192 4 8% 12% 4532 YANG lan bar UI 80 97 2,5 5% 11% 4533 YE endong bar UI 85 124 3 8% 15% 4734 bar UI 75 93 2 4% 20% 40

Annexe 2 – QuestionsNom

résultats résultatsUtiliser 6 décimales pour les prix: en valeur présente en valeur future

1 1 S1 2 L1 3 T1 4 R1 5 sigma1 6 n2 1 dt2 2 1+r2 3 DF2 4 u2 5 d2 6 p2 7 q2 8 p'2 9 q'2 10 u/d2 11 p/q2 12 p q2 13 Smax2 14 Smin2 15 pmax2 16 pmin3 17 L'3 18 w(L)3 19 w(L')3 20 call COR3 21 put COR3 22 ddo COR3 23 call+put+ddo3 24 call TOR3 25 put TOR3 26 ddo TOR3 27 call+put+ddo3 28 l3 29 lc3 30 S(lc)3 31 T(lc)3 32 alpha3 33 wc3 34 wp3 35 shift3 36 decalage proba3 37 put*3 38 ui bin4 1 Premier passage4 2 Temps4 3 Tems restant4 4 nb chemin entrant4 5 nb chemins sortant

4 6 probabilité4 7 Total chemins4 8 Second passage4 9 Temps4 10 Tems restant4 11 nb chemin entrant4 12 nb chemins sortant4 13 probabilité4 14 Total chemins4 15 chemins cumulés4 16 Troisieme passage4 17 Temps4 18 Tems restant4 19 nb chemin entrant4 20 nb chemins sortant4 21 probabilité4 22 Total chemins4 23 chemins cumulés4 24 nb chemins au total4 25 option ui terminale5 1 option at hit6 1 méthode analytique7 1 Call option barrière avec K=L

Annexe 3 – Formules de PricingOptions BarrièresFormules analytiques, S : sous-jacent à l’origine, L : niveau de la barrière, T : durée, N : loi normale cumulée.UI=¿¿¿DI=¿¿¿UO=¿¿DO=¿¿¿

x2=ln( SL )+ (r ) .T + σ

2T2

σ √T y 2=

ln( LS )+ (r ) . T+ σ2T2

σ √T

2 (ε−1 )=2 (R )σ2 −1

Annexe 4 – Programmes VBAFunction binomialBarBinaire(Ctype As String, S As Double, L As Double, T As Double, R As Double, vol As Double, n As Long, dfopt As String) As DoubleDim dt As Double, taux As Double, bin As Double, p As DoubleDim w As Double, wp As Double, wc As Double, i As IntegerDim u As Double, d As Double, alpha As DoubleDim binc As Double, binp As Double

dt = T / ntaux = (1 + R) ^ dtu = Exp(vol * Sqr(dt))d = 1 / up = (taux - d) / (u - d)binc = 0binp = 0w = Abs(Log(L / S / d ^ n) / Log(u / d) If (w - Int(w)) > 0.5 Then alpha = 1 Else alpha = 0

Select Case Ctype Case "ui","uo": wc = Int(w) + 1 wp = n - wc - alpha Case “di”, “do”: wp = Int(w) wc = n - wp + alphaEnd Select

binc = BINO(n - wc, n, 1 - p)binp = BINO(wp, n, p)Select Case CtypeCase "ui": binomialBarBinaire = binc + binp * (p / (1 - p)) ^ (2 * wc - n - 1 + alpha)Case = "uo": binomialBarBinaire = 1 - binc - binp * (p / (1 - p)) ^ (2 * wc - n - 1 + alpha)Case "di": binomialBarBinaire = binp + binc * ((1 - p) / p) ^ (2 * wc - n - 1 - alpha)Case "do": binomialBarBinaire = 1 - binp - binc * ((1 - p) / p) ^ (2 * wc - n - 1 - alpha)End Select

binomialBarBinaire = binomialBarBinaire / (taux ^ n)End Function

FIN DU DOCUMENT