VERS LA SYMÉTRIE ORTHOGONALE Quatre « cocottes » identiques sont disposées différemment. À partir de la cocotte A, il s’agit de savoir comment ont été dessinées les cocottes B, C, D. Pour cela, il faut tracer les segments joignant des points correspondants et constater les particularités de ces segments

C

B

A D

........................................................................................................................................................................................................................... A B ........................................................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................................................... A C ........................................................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................................................... DA ...........................................................................................................................................................................................................................

Vérifie avec du papier calque après avoir décalqué la cocotte A, la droite ∆ et le point I

C’est la transformation qui s’appelle Symétrie orthogonale A C

LA SYMÉTRIE ORTHOGONALE (SYMÉTRIE PAR RAPPORT À UNE DROITE)

- Récapitulatif des observations de la fiche préparatoire

Si deux figures sont symétriques par rapport à une droite : Cette droite s’appelle l’axe de symétrie des deux figures Les segments joignant des points correspondant aux deux figures sont parallèles Ces segments sont perpendiculaires à l’axe de symétrie L’axe de symétrie coupe ces segments en leurs milieux

- Construction du symétrique d’un point A par rapport à une droite ∆ donnée Par le point A, on trace la perpendiculaire à la droite ∆. On prolonge cette perpendiculaire au-delà de ∆ jusqu’à un point B tel que ∆ coupe [AB] en son milieu. B est le symétrique de A par rapport à ∆.

A

B

∆

[AB] est perpendiculaire à ∆∆ coupe [AB] en son milieu

Remarque : A est le symétrique de B par rapport à ∆.

- Constructions de symétriques de figures simples

a) Symétrique d’un segment

A

B

∆

C

D

B est le symétrique de A par rapport à ∆ D est le symétrique de C par rapport à ∆ [BD] est le symétrique de [AC] par rapport à ∆ Remarque : BD = AC Deux segments symétriques ont la même longueur

b) Symétrique d’un triangle A

B

∆

CD

EF

Dest le symétrique de A par rapport à ∆ E est le symétrique de B par rapport à ∆ F est le symétrique de C par rapport à ∆ Le triangle DEF est le symétrique du triangle ABC (les colorier)

c) Symétrique d’un cercle

M

N

O

O'

∆

r

r

O’ est le symétrique de O par rapport à ∆ Le cercle de centre O’ et de rayon r est le symétrique du cercle de centre O et de rayon r

d) Symétrique d’une droite

Ι

A

B

∆

B est le symétrique de A par rapport à ∆ I est son propre symétrique La droite (BI) est la symétrique de la droite (AI) Remarque : Deux droites symétriques se coupent sur l’axe de symétrie

e) Remarque Toutes ces constructions doivent être faites pour d’autres positions des figures à symétriser : Le segment [AC] coupe l’axe de symétrie Le cercle et l’axe de symétrie sont sécants…etc…

- Médiatrice d’un segment a) Remarque : dans chaque cas étudié plus haut, la droite ∆ est l’axe de symétrie du dessin tout entier. b) Axes de symétrie d’un segment

∆

∆'

A

B

I

Le segment [AB] a deux axes de symétrie : les droites ∆ et ∆’. La droite ∆ est appelée médiatrice du segment [AB] c) Définition La médiatrice d’un segment est la perpendiculaire à ce segment, en son milieu. ∆ est la médiatrice du segment [AB] car ∆ est perpendiculaire au segment [AB] en son milieu I d) Propriété de la médiatrice ∆

A BI

M

N

M et N étant deux points de la médiatrice ∆, on a : MA = MB NA = NB Chaque point de la médiatrice d’un segment est à égale distance des

extrémités du segment

e) Application à la construction de la médiatrice d’un segment La médiatrice étant une droite, il suffit d’en connaître deux points pour pouvoir la construire. Il suffit de tracer, au compas, deux points (M et N) situés à égale distance des extrémités du segment. Ces deux points définissent la médiatrice du segment (MN).

A B

M

N

∆

Les cercles de centre A et B et de même rayon se coupent en M et N. M et N sont à égale distance de A et de B . La droite (MN) est la médiatrice du segment [AB].

Remarque : ce procédé de construction est très utile pour tracer (sans équerre) une perpendiculaire à une droite donnée et pour obtenir le milieu d’un segment.

f) Construction du symétrique d’un point (sans équerre) On utilise uniquement le compas et la règle non graduée.

Α

∆

M

N

Α

N

M

∆

BUn cercle de centre A coupe l’axe ∆ en M et N

Les cercles de centres M et N et de même rayon que le précédent se coupent en BB est le symétrique de A par rapport à ∆.

FIGURES SIMPLES ET SYMÉTRIE

Nomme chacune des figures ci-dessous après avoir trouvé leurs particularités et construis leurs axes de symétrie (si elles en ont).

Exercices 1 - Construis le symétrique de A par rapport à la droite ∆. On l'appelle B. Construis ensuite le symétrique du point B par rapport à la droite ∆'. On l'appelle C. Construis le symétrique du point A par rapport à la droite ∆'. On l'appelle D. Construis le symétrique du point D par rapport à la droite ∆. On l'appelle F.

- Construis le symétrique du segment [AB] par rapport à la droite ∆. On l'appelle [CD]. Construis le symétrique du segment [CD] par rapport à la droite ∆'. On l'appelle [EF]. Que peut-on dire des segments [AB] et [EF]?…………………………………………………………………………………………………...

- Complète la figure par la symétrie par rapport à la droite ∆.

Exercices 2 Construis les symétriques des figures par rapport à la droite donnée

Exercices 3 - Construis la figure symétrique de la figure donnée par rapport à la droites ∆.

D

- Construis les médiatrices des côtés du triangle ABC.Elles sont concourantes en un point O. Trace le cercle de centre O et de rayon [OA]. Ce cercle passe par les deux autres sommets du triangle ABC. C’est le cercle circonscrit au triangle ABC.

DEVOIR NOM :……………………………………………………………………………

date :…………………………………………………………..………………….

- La figure ci-dessous a-t-elle un axe de symétrie? Effectue toutes les constructions nécessaires pour le savoir et laisse les traces de construction.

……………………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………

- Construis la figure symétrique de la figure donnée par rapport à la droite ∆ .

LA SYMÉTRIE ORTHOGONALE - On sait que le point B est le symétrique du point A par rapport à une droite ∆. Construis cette droite D et termine la construction du symétrique du triangle donné.

- En utilisant uniquement la règle non graduée, termine la construction du triangle DEF symétrique du triangle ABC par rapport à la droite D.Utilise le fait que deux droites symétriques se coupent sur l’axe de symétrie

D

VERS LA SYMÉTRIE ORTHOGONALE Quatre « cocottes » identiques sont disposées différemment. À partir de la cocotte A, il s’agit de savoir comment ont été dessinées les cocottes B, C, D. Pour cela, il faut tracer les segments joignant des points correspondants et constater les particularités de ces segments

Tous les segments sont parallèles, ont la même longueur et vont dans le même sens. A B

D A

B

C

I

∆

On passe de la cocotte A à la cocotte B par un glissement le long d’un de ces segments. Tous les segments sont parallèles ; leurs milieux sont alignés sur une droite ∆ perpendiculaire A C à ces segments. On passe de A à C par un pliage le long de ∆. Tous les segments sont concourants en un point I qui est leur milieu commun. DA

On passe de A à D par un demi-tour autour de I.

Vérifie avec du papier calque après avoir décalqué la cocotte A, la droite ∆ et le point I

C’est la transformation qui s’appelle Symétrie orthogonale A C

FIGURES SIMPLES ET SYMÉTRIE

Nomme chacune des figures ci-dessous après avoir trouvé leurs particularités et construis leurs axes de symétrie (si elles en ont).

O

pentagone régulier

triangle (pas d'axe)

parallélogramme (pas d'axe)

cercle de centre Otout diamètre est un axe

triangle isocèle rectangleun axe

carré4 axes

hexagone réguliersix axes

triangle isocèleun axe

triangle équilatéraltrois axes

rectangledeux axes

Les justifications de construction sont représentées en bleu ; les axes sont en rouge

Exercices 1 - Construis le symétrique de A par rapport à la droite ∆. On l'appelle B. Construis ensuite le symétrique du point B par rapport à la droite ∆'. On l'appelle C. Construis le symétrique du point A par rapport à la droite ∆'. On l'appelle D. Construis le symétrique du point D par rapport à la droite ∆. On l'appelle F.

- Construis le symétrique du segment [AB] par rapport à la droite ∆. On l'appelle [CD]. Construis le symétrique du segment [CD] par rapport à la droite ∆'. On l'appelle [EF]. Que peut-on dire des segments [AB] et [EF]? Ils semblent parallèles et de même longueur (si ∆ et ∆’ sont parallèles)

- Complète la figure par la symétrie par rapport à la droite ∆.

Exercices 2

Exercices 3 - Construis la figure symétrique de la figure donnée par rapport à la droites ∆.

D

- Construis les médiatrices des côtés du triangle ABC.Elles sont concourantes en un point O. Trace le cercle de centre O et de rayon [OA]. Ce cercle passe par les deux autres sommets du triangle ABC. C’est le cercle circonscrit au triangle ABC.

Ο