vanucci_calcul_stratifies.pdf

8/16/2019 vanucci_calcul_stratifies.pdf

1/13

- 1 -

Université de Versailles et Saint Quentin-en-Yvelines Bâtiment Descartes – RC2745, Avenue des Etats-Unis78035 Versailles

Master 2 SPI – DSMEResponsable: Paolo V ANNUCCI ([email protected])

Cours Matériaux Composites: Anisotropie et mécanique des stratifiés A.U. 2005-06

Séquence complète de calcul d'un stratifiéDans ce document on détaille les étapes nécessaires à mener à bien le calcul d'un stratifié, unefois sa composition connue (matériaux des plis et séquence d'empilement) et lorsque le mêmestratifié est soumis à un état de sollicitation mécanique et thermique connu. Un exemple

numérique est développé à la fin.

1. DONNEES DE DEPART 1.1 Matériaux composant le stratifié : ils sont orthotropes et d'habitude connus grâce auxconstantes de l'ingénieur dans l'es directions d'orthotropie de la couche, E 1, E 2, ν 12 et G12, auxcaractéristiques de résistance de chaque pli X c, X t , Y c, Y t , S et éventuellement F 12*, auxcoefficients de dilatation thermique et d'absorption d'eau dans les deux directionsd'orthotropie, α 1, α 1, β 1 et β 2, et à leur épaisseur hc. Une alternative est celle de donnerdirectement les composantes tensorielles du tenseur de la rigidité Q , Q11 , Q12, Q22 et Q66; dansce cas, l'étape de calcul du tenseur Q à partir des constantes de l'ingénieur n'est évidemment

pas nécessaire.1.2 Actions mécaniques : elles sont données en spécifiant, dans les axes du stratifié, letenseurs N et M des actions de membrane et de flexion: N x, N y, N xy, M x, M y et M xy.

1.3 Actions thermiques : elles sont données en spécifiant la variation de température t ° parrapport à un état sans contraintes (normalement celui de fabrication du stratifié) et la variationde température ∆t entre la surface supérieure et l'inférieure du stratifié.1.4 Actions hygroscopiques : elles sont données en spécifiant le pourcentage d'eau m°absorbée par rapport à l'état de fabrication du stratifié et la variation ∆m de pourcentage d'eauentre la surface supérieure et inférieure du stratifié.

2. C ALCUL DES TENSEURS DES COUCHES On détaille dans ce paragraphe la façon dont on calcule les tenseurs caractéristiques de chaquecouche, qui serviront ensuite au calcul des tenseurs caractéristiques du stratifié. Bienévidemment, dans le cas, très fréquent, d'un stratifié composé de plis identiques, ce calcul nese fait qu'une seule fois, pour le pli de base.

2.1 Tenseurs Q k : pour chaque couche k , il faut calculer le tenseur de rigidité réduite dans lesaxes d'orthotropie de la couche:


2/13

_____________________________________________________________________

- 2 -

P. Vannucci - Calcul d'un strati ié

,

,1

,1

,1

1266

2112

222

2112

12112

2112

111

GQ

E Q

E Q

E Q

=−

=

−=

−=

ν ν

ν ν ν

ν ν

(1)

avec

1

21221 E

E ν ν = . (2)

2.2 Tenseurs γk =Q k k : si le chargement thermique n'est pas nul, pour chaque couche k il fautcalculer le tenseur des rigidités thermique dans les axes d'orthotropie de la couche:

.

0000

0

0

222112

212111

2

1

66

2212

1211

++

=

== α α

α α

α

α

QQ

QQ

Q

QQ

QQ

k k k αQγ (3)

2.3 Tenseurs λ k =Q k k : si le chargement hygroscopique n'est pas nul, pour chaque couche k ilfaut calculer le tenseur des rigidités hygroscopique dans les axes d'orthotropie de la couche:

.

0000

0

0

222112

212111

2

1

66

2212

1211

++

=

== β β

β β

β

β

QQ

QQ

Q

QQ

QQ

k k k βQλ (4)

3. C ALCUL DES TENSEURS DU STRATIFIE On détaille dans ce paragraphe la façon dont on calcule les tenseurs qui décrivent lecomportement du stratifié:

−°−−°−=H

G

G

F

W

V

V

U

χ

ε

DB

BA

M

N

hm

mht

t o ∆∆

. (5)

3.1: Tenseurs A, B et D : ces tenseurs sont donnés par

∑

∑∑

= −

= −

= −

−=

−=

−=

nk k k k k

nk k k k k

nk k k k k

z z

z z

z z

13

13

12

12

1 1

);)((31

,))((21

,))((

δ

δ

δ

QD

QB

QA

(6)

ici, δ k est l'angle dont l'axe x1 du pli k esttourné par rapport à l'axe x du stratifié, commeen figure. Il est impératif d'exprimer lesdifférents tenseurs Q

k dans le même repère,

celui de la plaque, { x, y, z }. y

x1

x2

x3≡ z

x

δ k


3/13

_____________________________________________________________________

- 3 -


Pour ce faire, on utilise les formules de changement de repère: si c= cos δ k et s= sin δ k , alors

−−−−+−

−+−−−

=

22

66

12

11

422224

333333

2222442222

22224422

333333

422224

42

)(2

22

4

)(2

42

Q

Q

Q

Q

cc sc s s

scc s scc s scc s

c sc s scc sc s

c sc s scc s

c s scc s scc s sc

sc sc sc

Q

Q

Q

Q

Q

Q

yy

ys

ss

xy

xs

xx

. (7)

Si les plis sont identiques, les formules sont plus simples; en numérotant les couches selonle schéma de figure, on obtient

∑

∑

∑

=

=

=

=

=

=

nk k k

nk k k

nk k

d n

h

bn

h

nh

13

3

12

2

1

),(121

,)(21

,)(

δ

δ

δ

QD

QB

QA

(8)

avec

).2(34)1(12,12

+++−−= −−= nnnk k d nk b

k k (9)

A remarquer que les coefficients bk sont antisymétriques par rapport au plan moyen et les d k symétriques.

3.2 Tenseurs U, V et W : ces tenseurs décrivent le comportement thermo-élastique dustratifié; en général,

( )

( )( ).)(

31

,)(2

1

,)(

13

13

1

21

2

1 1

∑

∑∑

= −

= −

= −

−=

−=

−=

nk k k k k

n

k k k k k

nk k k k k

z z

z z

z z

δ

δ

δ

γW

γV

γU

(10)

La rotation de δ k des tenseurs γk , qui sont des tenseurs du second ordre, se fait grâce auxrelations suivantes:

−=

22

1122

22

γ

γ

γ

γ

γ

sc sc

c s

sc

xy

yy

xx

. (11)

Dans le cas de plis identiques, alors:

zn

h/2

h/2

z k -1 z k

k

1


4/13

_____________________________________________________________________

- 4 -


.)(121

,)(21

,)(

13

3

12

2

1

∑

∑

∑

=

=

=

=

=

=

nk k k k

nk k k k

nk k k

d n

h

bn

h

nh

δ

δ

δ

γW

γV

γU

(12)

3.3 Tenseurs F, G et H : ces tenseurs décrivent le comportement hygro-élastique du stratifié;en général,

( )

( )

( ).)(3

1

,)(21

,)(

1

3

1

3

12

12

1 1

∑

∑∑

= −

= −

= −

−=

−=

−=

n

k k k k k

n

k k k k k

n

k k k k k

z z

z z

z z

δ

δ

δ

λ H

λ G

λ F

(13)

La rotation de δ k des tenseurs λ k , qui sont des tenseurs du second ordre, se fait grâce auxrelations suivantes:

−=

22

1122

22

λ

λ

λ

λ

λ

sc sc

c s

sc

xy

yy

xx

. (14)

Dans le cas de plis identiques, alors:

.)(121

,)(21

,)(

13

3

12

2

1

∑

∑∑

=

=

=

=

=

=

nk k k k

nk k k k

nk k k

d n

h

bn

h

nh

δ

δ

δ

λ H

λ G

λ F

(15)

4. INVERSION DE LA LOI DE COMPORTEMENT

Le calcul des contraintes dans chaque couche nécessite du calcul des déformations et pourcela il est indispensable d'inverser la loi de comportement (5). Faisons cela par étapes.

4.1 Cas d'un chargement mécanique : dans ce cas la (5) se réduit à

=χ

ε

DB

BA

M

N o; (16)

en général, l'inversion donne

= −

M

N

DB

BA

χ

ε1o

(17)


5/13

_____________________________________________________________________

- 5 -


et donc il faut inverser la matrice complète; cela est faisable et on peut écrire la formuled'inversion d'une matrice 6×6 une fois pour toute. Le problème est que cette formule est trèslongue et compliquée. Une autre façon d'aborder ce même problème est d'inverser un à un lestrois tenseurs qui apparaissent dans (17), A , B et D. On peut donc réécrire la (17) sous laforme

=M

N

db

ba

χ

εT

o

(18)

avec

( )( )

( ) .,

,

1111

11

11

−−−−

−−

−−

−−=−=

−=

−=

BDBBDAaBDb

BBADd

BBDAa

(19)

Le problème se simplifie considérablement au cas où le stratifié est découplé; dan ce cas

B=b=O et

,

,

dMχ

aNε==o

(20)

avec

.

,1

1

−

−

==

Dd

Aa (21)

On rappelle la formule d'inversion de A (pour D c'est analogue):

−−−−−− −−−=

21222112611161222162612

261116122

16661166122616

221626126612261622666221

A A A A A A A A A A A

A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A

∆a , (22)

avec

.2 222

16261612662

1222611662211 A A A A A+ A A A A A A A −−−=∆ (23)

4.2 Cas d'un chargement thermique et/ou hygroscopique : dans ce cas la (5) se réduit à

+°++°=

−

H

G

G

F

W

V

V

U

DB

BA

χ

ε

hm

mht

t o ∆∆

1

. (24)

Encore une fois, en inversant les tenseurs un à un grâce aux (19) on trouve:

+°++°=h

g

g

f

w

v

v

u

χ

ε 2

1

2

1 hm

mht

t o ∆∆

, (25)

avec

,

,

,

,

T

2

T1

dWVbw

bWaVv

dVUbv

bVaUu

+=

+=+=

+=

(26)


6/13

_____________________________________________________________________

- 6 -


et

.

,

,

,

T

2

T1

dHGbh

bHaGg

dGFbg

bGaFf

+=

+=+=

+=

(27)

Si le stratifié est à plis identiques et B=O , alors on peut montrer que même V=v1=v2=O etaussi que G =g1=g2=O et donc les (26) et (27) se simplifient pour donner

.

,

,

,

dHh

aFf

dWw

aUu

====

(28)

4.3 Cas d'un chargement complet : dans ce cas il faut prendre en considération la (5) dans sa

totalité et on obtient:

+°++°+=

−

H

G

G

F

W

V

V

U

M

N

DB

BA

χ

ε

hm

mht

t o ∆∆

1

(29)

et donc, en procédant comme dans les cas précédents,

+°++°+=h

g

g

f

w

v

v

u

M

N

db

ba

χ

ε 2

1

2

1T h

mm

ht

t o ∆∆

. (30)

De cette dernière équation on voit bien que la déformation totale, de membrane ou de flexion,est due à la partie mécanique (conséquence de l'application des charges), à la partie thermiqueet à la partie hygroscopique, comme si toutes agissaient séparément (superposition des effetsdue à la loi de Hooke-Duhamel).

5. C ALCUL DES CONTRAINTES DANS LES COUCHES Les contraintes dans les couches on les calcule grâce à la loi de comportement; elles sontfonction de la couche et de la position du point de calcul à l'intérieur de la couche même, lacontrainte et la déformation étant fonction de la position verticale z par rapport au planmoyen.

5.1 Calcul des contraintes dans le repère du stratifié : pour calculer les contraintes dans lerepère du stratifié il suffit d'appliquer, pour une couche k , la loi contrainte déformation pourune position z qui appartient à la couche; normalement, le calcul est fait en correspondance du

plan moyen de la couche, étant donné que pour des couches minces la contrainte ne varie pas beaucoup dans l'épaisseur de la couche même. Donc on aura, pour la couche k ,

[ ] [ ]( )χ εQεQσ z z z ok k k k k +=′=′ )()()()( δ δ (31)

où Q k (δ k ) est le tenseur de rigidité de la couche k calculé dans le repère du stratifié, à l'aide dela (7) et donc déjà connu. La coordonné z appartient à l'intervalle [ z k -1, z k ].

5.2 Calcul des contraintes dans le repère matériel de la couche : dans ce cas il faut d'abordtourner le tenseur de la déformation ε pour le ramener au repère de la couche:


7/13

_____________________________________________________________________

- 7 -


[ ] [ ]( )χ εTεTε z z z ok k +=′= −− )()()()( TT δ δ (32)avec

−−−=−

22

22

22

T

22

)(

sccscs

csc s

cs sc

k δ T . (33)

Ensuite, on aura tout simplement

)()( z z k k εQσ = , (34)

où Q k est le tenseur de rigidité du pli dans son repère matériel.

Une autre façon de faire, est celle de calculer d'abord le tenseur de la contrainte σ '( z ) de lacouche k à la côte z dans le repère du stratifié, selon la (31); ensuite, on ramène la contrainteau repère matériel de la couche grâce à la relation

[ ] )()()( z z k σTσ ′= δ , (35)avec

−−−=

22

22

22

2

2

)(

sccscs

csc s

cs sc

k δ T . (36)

6. VERIFICATION DES COUCHES

La connaissance de la contrainte dans les couches permet de faire la vérification du matériau,qui doit être faite couche par couche; cette vérification dépend du critère de résistance choisi.

6.1 Critère de la contrainte maximale : il s'agit de vérifier que, pour la couche k et pourchaque valeur de z dans l'intervalle [ z k -1, z k ], les contraintes dans le repère matériel soient

bornées par les valeurs limites propres au matériau constituant le pli:

.

,

,

6

2

1

S

Y Y

X X

t c

t c

≤≤≤−≤≤−

σ

σ

σ

(37)

Alternativement, si l'on connaît les contraintes dans le repère du stratifié, il faudra vérifierque

.)(

,2

,2

22

22

22

S sccscs

Y csc sY

X cs sc X

s y x

t s y xc

t s y xc

≤−++−

≤−+≤−

≤++≤−

σ σ σ

σ σ σ

σ σ σ

(38)

6.2 Critère de la déformation maximale : il s'agit de vérifier que, pour la couche k et pourchaque valeur de z dans l'intervalle [ z k -1, z k ], les déformations dans le repère matériel soient

bornées par les valeurs limites propres au matériau constituant le pli:


8/13

_____________________________________________________________________

- 8 -


.

,

,

6

2

1

ε

ε ε

ε ε

ε

ε

ε

S

Y Y

X X

t c

t c

≤≤≤−≤≤−

(39)

Alternativement, si l'on connaît les déformations dans le repère du stratifié, il faudravérifier que (attention, la transformation est différente par rapport à celle des contraintes)

.)(22

,

,

22

22

22

ε

ε ε

ε ε

ε ε ε

ε ε ε

ε ε ε

S sccscs

Y csc sY

X cs sc X

s y x

t s y xc

t s y xc

≤−++−

≤−+≤−

≤++≤−

(40)

6.3 Critère de Tsai-Hill : il s'agit de vérifier que, pour la couche k et pour chaque valeur de z dans l'intervalle [ z k -1, z k ], les contraintes dans le repère matériel satisfont la limitation:

12

6

2

212

22

1 ≤

+−

+

S X Y X

σ σ σ σ σ . (41)

Dans la (41), les valeurs de X et Y sont celles de compression ou de traction; à défautd'indications plus précises, on choisira, de façon conservative, la valeur qui rend le premiermembre le plus grand.

Alternativement, si l'on connaît les contraintes dans le repère du stratifié, il faudra vérifierque

( )( ) .1)(22

22

222

2

2222

222222

≤

−++−+−+++

−

−++

++

S sccscs

X csc scs sc

Y

csc s

X

cs sc

s y x s y x s y x

s y x s y x

σ σ σ σ σ σ σ σ σ

σ σ σ σ σ σ

(42)

6.4 Critère de Hoffmann : il s'agit de vérifier que, pour la couche k et pour chaque valeur de z dans l'intervalle [ z k -1, z k ], les contraintes dans le repère matériel satisfont la limitation:

.12

26

2121

22

21 ≤+−+−+−+

S Y Y Y Y

X X X X

X X Y Y X X t ct c

t c

t c

ct ct ct

σ σ σ

σ σ σ σ (43)

Comme pur les critères précédents, on peut faire le calcul directement dans le repère dustratifié.

6.5 Critère de Tsai-Wu : il s'agit de vérifier que, pour la couche k et pour chaque valeur de z dans l'intervalle [ z k -1, z k ], les contraintes dans le repère matériel satisfont la limitation:

.122

26

2121*

12

22

21 ≤+−+−+++

S Y Y Y Y

X X X X

X X F

Y Y X X t ct c

t c

t c

ct ct ct

σ σ σ

σ σ σ σ (44)

Comme pur les critères précédents, on peut faire le calcul directement dans le repère dustratifié. A remarquer que si, comme c'est le cas souvent,

21*

12 −= F (45)

les critères de Hoffmann et de Tsai-Wu coïncident.


9/13

_____________________________________________________________________

- 9 -


7. C ALCUL DES CARACTERISTIQUES EQUIVALENTES DU STRATIFIE 7.1 Constantes de l'ingénieur : les constantes de l'ingénieur en membrane et en flexion secalculent facilement à partir des tenseurs de souplesse normalisé:

.12

*

,*3

dd

aa

h

h

=

=

(46)

Donc, une fois calculés a* et d*, on a (indice m pour les caractéristiques de membrane, f pour celles de flexion):

,

,

,

,1

,1

,1

*

*

,

*

*

,

*

*

*

*

*

yy

ysm y xy

xx

xsm x xy

xx

xym xy

ss

m xy

yy

m y

xx

m x

a

a

aa

a

a

aG

a E

a E

=

=

−=

=

=

=

η

η

ν

.

,

,

,1

,1

,1

*

*

,

*

*

,

*

*

*

*

*

yy

ys f y xy

xx

xs f x xy

xx

xy f xy

ss

f xy

yy

f y

xx

f x

d

d

d d

d

d

d G

d E

d E

=

=

−=

=

=

=

η

η

ν (47)

7.2 Caractéristiques thermo-hygroscopiques : les coefficients de dilatation et de courburethermo-hygroscopiques sont simplement les composantes des tenseurs u ,w,f et h :

,2

,

,

,2

,

,

sm xy

ym

y

xm

x

sm xy

ym

y

xm

x

f

f

f

u

u

u

=

==

=

==

β

β

β

α

α

α

.2

,

,

,2

,

,

s f xy

y f

y

x f

x

s f xy

y f

y

x f

x

h

h

h

w

w

w

=

==

=

==

β

β

β

α

α

α

(48)

8. E XEMPLE NUMERIQUE

Stratifié avec 5 couches identiques, séquence [ α /−α /0 /−α /α ], avec α =30°. Le matériau est ducarbon-époxyde T300-5208; les valeurs caractéristiques sont:

hc=0.125 mm

E 1= 181000 MPa

E 2=10300 MPaG12=7170 MPa


10/13

_____________________________________________________________________

- 10 -


ν 12=0.28

X t =1400 MPa

X c=900 MPa

Y t =35 MPa

Y c=110 MPa

S =70 MPa

F *12=−0.3Le stratifié est chargé avec

mMN

10

5.0

0

104−×

−=N , MN10

0

3

06−×=M .

En faisant les calculs comme indiqué on trouve:

h=0.625 mm

=717000

0103462897

02897181811

Q MPa

=367362005354193200532364732463

5419332463109379

)(α Q MPa

−−−−

=−367362005354193

200532364732463

5419332463109379

)( α Q MPa

mMN

26.1900

012.1359.16

059.1641.77=A

B=O

MNm10

74.023.063.0

23.048.065.0

63.065.024.26-×=D


11/13

_____________________________________________________________________

- 11 -


MNm

10

52.000

005.122.0

022.018.01−×−

−=a

MNm110

81.131.042.0

31.054.395.0

42.095.084.06×

−−−−

−−

=d

MPa1

10

32.000

065.014.0

014.011.0

* 4−×−−

=a

MPa1

1037.006.008.006.072.019.0

08.019.017.0

*4−

×−−

−−

−−

=d

,0

,0

,265.1

,MPa30822

,MPa15296

,MPa90279

,

,

=

=

=

=

==

m y xy

m x xy

m xy

m xy

m y

m x

G

E

E

η

η

ν

.087.0

,5.0

,124.1

,MPa27228

,MPa13887

,MPa58148

,

,

−=

−=

=

=

==

f y xy

f x xy

f xy

f xy

f y

f x

G

E

E

η

η

ν

Remarque : le stratifié est orthotrope en membrane mais pas en flexion.

m1

9.0

6.10

8.2

,10

026.0

22.0

18.04

−

−=×

−−= − χ ε o .


12/13

_____________________________________________________________________

- 12 -


Tableau des contraintes

Tableau des facteurs de chargement

Remarque : pour les critères de la contrainte maximale et de la déformation maximale, lefacteur de chargement est le rapport entre la contrainte, ou la déformation, et sa valeuradmissible; la vérification est satisfaite si ce facteur est donc inférieur à 1. Dans les autrescritères, le premier membre des différentes expressions est directement le facteur dechargement.


13/13

_____________________________________________________________________

- 13 -


Graphiques du module d'Young et de cisaillement en membrane (MPa)

Graphiques du module d'Young et de cisaillement en flexion (MPa)

Versailles, 23/10/2005P. Vannucci

EG

E

G

vanucci_calcul_stratifies.pdf

Documents