Fonction valeur absolue La valeur absolue est une opration qui transforme un rsultat ngatif en rsultat positif.

Ex.: | -3 + 2 | = | (-3 + 2 ) | = | -1 | = 1

Ex.: | 4 - 2 | = | (4 - 2 ) | = | 2 | = 2

Proprits

Pour tout x, y appartenant aux rels :

Dfinition

Fonction de base

f( x ) = | x |

Caractristiques ( fct de base )

-forme en V -axe de symtrie vertical -Dom = Rels -Codom = Rels positifs

-extrmum : 0 ( cest un minimun ) -fct dcroissante sur l'intervalle ] -,0 ]

-fct croissante sur l'intervalle [ 0, + [ - 1 zro ( cest 0 )

-fct positive sur tout son domaine

Fonction transforme

f(x) = a |b( x - h) | + k

( h,k ) : coordonnes du sommet

La droite verticale d'quation x = h est l'axe de symtrie

k est la valeur de l'extrmum ( un minimun si a > 0 et un maximun si a < 0 )

Petit rappel : lorsque le paramtre b est ngatif, il y a une rflexion par rapport une droite verticale.

Puisque la fonction valeur absolue possde un axe de symtrie verticale, on constate que les 3 fonctions ci-dessous ont la mme reprsentation graphique.

f(x) = | 2x | + 3

g(x) = | -2x | + 3

h(x) = 2| x | + 3

Conclusion : On peut se servir uniquement de 3 paramtres ( a,h et k ) pour reprsenter une fonction valeur absolue. En utilisant les proprits de valeur absolue, on peut dmontrer que f(x) = g(x) = h(x).

Si a > 0 alors le V est ouvert vers le haut.

Si a < 0 alors le V est ouvert vers le bas.

Le graphique de la valeur absolue est constitu de 2 demi-droites. La pente de la branche de droite correspond la valeur de a.

Les zros de la fonction valeur absolue

La fonction valeur absolue peut avoir 0, 1 ou 2 zros.

Voici deux exemples o la fonction valeur absolue n'a pas de zro de fonction:

On constate que lorsque le paramtre a et le parmtre k sont de mme signe, il n'y a pas de zro.

Voici deux exemples o la fonction valeur absolue a seul zro de fonction:

On constate que lorsque le parmtre k vaut 0, il a un seul zro ( et sa valeur correspond la valeur de h ).

Voici deux exemples o la fonction valeur absolue a 2 zros de fonction:

On constate que lorsque les parmtres a et k sont de signes inverses, il a 2 zros.

quations avec valeur absolue

On peut rsoudre les quations en utilisant une mthode graphique ou algbrique. La mthode graphique n est pas toujours prcise mais elle permet d effectuer une vrification facile.

Ex.: | 3x + 4 | = -3

La premire proprit permet de savoir immdiatement que lensemble-solution est vide.

La reprsentation graphique le montre bien.

Ex.: | x - 5 | = 2

En se fiant au graphique ci-contre, on peut conclure que E.-S. = { 3,7 }

Mthode algbrique

Puisque la valeur absolue donne toujours un nombre positif, il faut tenir compte de cette contrainte. La contrainte ne s exerce pas sur l expression place en valeur absolue car le domaine de la fonction valeur absolue est l ensemble des rels.

Ex.: -2 | 3x + 4 | = 12

On commence par isoler lexpression en valeur absolue :

Donc, lensemble-solution est {} car la valeur absolue dune expression est toujours positive et 6 ne respecte pas cette contrainte.

Ex.: | x - 4 | = 2

Si on considre | x - 4 | comme une fonction, f(x) = | x - 4 | dont la reprsentation graphique est ci-contre, on constate que le couple ( h,k ) est ( 4, 0 ) et que le graphique de cette fonction est constitu de deux demi-droites.

Lquation de la demi-droite situe droite de ( 4,0 ) est

y = x 4 et lquation de la demi-droite situe gauche de (4,0) est y = -x + 4.

Mais x + 4 est gal ( x 4 ).

La mthode algbrique consiste sparer les calculs pour savoir si on doit tenir compte ou non de la valeur absolue.

| x - 4 | = 2

Si , donc si , on travaille avec la demi-droite y = x 4.

On doit rsoudre lquation x 4 = 2, ce qui donne x = 6

Mais si x 4 < 0, donc si x < 4, on travaille avec la demi-droite y = -( x 4 ).

On doit rsoudre lquation ( x 4 ) = 2 et on trouve la solution x = 2.

Recherche de la rgle f(x) = a | x - h | + k

1o On connat les coordonnes du sommet et d un point de la fonction.

Ex.: ( h,k ) = ( 5,-3) et ( 7,9 ) f

On se fait un petit dessin pour connatre la forme de la fonction.

Ex.: ( h,k ) = ( 2,-4) et ( -6,-7 ) f

2o On connat 3 couples appartenant la fonction mais pas le couple ( h,k )

Ex.: ( 1,-6 ), ( 8,0 ) et ( 3,-2 ) f

On procde en 4 tapes:

1e : On dtermine visuellement les 2 couples qui sont sur la branche connue de la fonction, ceux qui permettent d avoir une forme en V ouvert vers le haut ou le bas

2e : Trouver l quation passant par ces 2 couples

3e : Trouver l quation de la deuxime droite en prenant comme pente l oppos de la pente de la premire droite et le troisime couple

4e : Trouver le point d intersection des deux droites ( c est le couple ( h,k ))

Si la branche connue passe par les couples ( 3,-2 ) et ( 8,0 ) comme illustr ci-contre, cela signifie que la pente est 2/5 .

Et, en consquence, que la pente de la droite passant par ( 1,-6 ) sera 2/5. ( Voir le graphique ci-contre).

Lintersection des deux droites est le couple ( h,k ). Cela ne donne pas la forme dune fonction valeur absolue ( voir le graphique ci-dessous ), ce qui implique que les couples ( 3,-2 ) et ( 8,0 ) ne sont pas sur une mme branche de la fonction valeur absolue.

Si la branche connue passe par les couples ( 1,-6 ) et ( 8,0 ), cela signifie que la pente est 6/7 .

En traant une droite de pente 6/7 passant par ( 3,-2 ) et en considrant lintersection des deux droites, il est impossible de tracer une fonction valeur absolue passant par les 3 couples. ( Voir les graphiques ci-dessous ).

En passant une droite par les couples ( 1,-6 ) et ( 3,-2 ), on obtient une droite de pente = 2. En traant une droite de pente 2 passant par ( 8,0 ), on saperoit quil est possible dobtenir une forme valeur absolue. ( Voir les 3 graphiques ci-dessous).

1e Les couples sur la branche connue sont ( 1,-6 ) et ( 3,-2 )

2e On trouve lquation y = ax + b avec ces deux couples, on obtient y = 2x - 8

3e On trouve lquation de lautre droite avec a = -2 passant par le couple ( 8,0 ),

on obtient y = -2x + 16

4e On trouve le couple ( h,k ), cest le point dintersection des deux droites. Par une mthode algbrique, on trouve que ( h,k ) = ( 6,4 )

Voici le graphique de la fonction valeur absolue qui passe par les 3 couples connus.