v. méthodes d’étude des circuits · semestre 2 cours ue : electricite ecue 1 : electrostatique...

UNIVERSITE F. H. BOIGNY DE COCODY- ABIDJAN

UFR SCIENCES DES STRUCTURES DE LA MATIERE

ET DE TECHNOLOGIE (SSMT)

Semestre 2

COURS

UE : ELECTRICITE

ECUE 1 : ELECTROSTATIQUE

Année académique : 2013-2014

2

TABLE DES MATIERES

Sommaire

Chapitre I ................................................................................................................................................. 9

RAPPELS MATHEMATIQUES - GRANDEURS PHYSIQUES ....................................................................... 9

I.1. ELEMENTS D’ANALYSE VECTORIELLE ................................................................. 9

I.1.1. Vecteurs unitaires ............................................................................................................... 9

I.1.2. Repère orthonormé ............................................................................................................. 9

I.1.3. Systèmes de coordonnées ................................................................................................... 9

I.1.4. Produit de deux vecteurs ................................................................................................... 11

I.1.5. Vecteurs polaires et vecteurs axiaux ................................................................................. 12

I.2. CHAMP SCALAIRE ET CHAMP VECTORIEL ......................................................... 13

I.3. DERIVEES ET PRIMITIVES ....................................................................................... 15

I.4. FLUX D’UN CHAMP DE VECTEURS ....................................................................... 18

I.5. QUELQUES OPERATEURS DIFFERENTIELS ......................................................... 19

Chapitre II : ............................................................................................................................................ 22

GENERALITES - DISTRIBUTION DE CHARGES ........................................................................................ 22

II.1. GENERALITES ............................................................................................................. 22

II.2. DISTRIBUTIONS DE CHARGES ................................................................................ 26

II.3. LOI DE COULOMB - FORCES ELECTROSTATIQUES ........................................... 28

II.3.1. Loi de Coulomb ................................................................................................................ 28

II.3.2. Distribution discrète de charges ........................................................................................ 29

II.3.3. Distribution continue de charges ...................................................................................... 30

II.4. INVARIANCES ET SYMETRIES ................................................................................ 30

Chapitre III : ........................................................................................................................................... 32

CHAMP ET POTENTIEL ELECTROSTATIQUES ........................................................................................ 32

III.1. CHAMP ELECTROSTATIQUE ................................................................................... 32

III.1.1. Charge ponctuelle ............................................................................................................. 32

III.1.2. Distribution de charges ponctuelles .................................................................................. 33

III.1.3. Distribution continue de charges ...................................................................................... 33

III.1.3.1. Sur une ligne ............................................................................................................... 33

3

III.1.3.2. Sur une surface ........................................................................................................... 33

III.1.3.3. Dans un volume .......................................................................................................... 33

III.1.4. Lignes et tubes de champ .................................................................................................. 34

III.1.4.1. Ligne de champ .......................................................................................................... 34

III.1.4.2. Tube de champ ............................................................................................................ 34

III.1.5. Condition de passage du champ à l’interface entre deux distributions de charges ........... 35

III.1.6. Propriétés de symétrie du champ électrostatique .............................................................. 35

III.2. POTENTIEL ELECTROSTATIQUE ............................................................................ 37

III.2.1. Potentiel et différence de potentiel ................................................................................... 37

III.2.1.1. Charge ponctuelle q0 ................................................................................................... 38

III.2.1.2. Distribution discrète de charges ................................................................................. 38

III.2.1.3. Distribution continue de charges ................................................................................ 38

III.2.1.4. Remarque .................................................................................................................... 38

III.2.2. Travail d'une force électrostatique .................................................................................... 39

III.2.3. Energie potentielle d’une charge ..................................................................................... 39

III.2.4. Surfaces équipotentielles .................................................................................................. 39

III.2.5. Diagramme électrique ....................................................................................................... 40

Chap IV : ................................................................................................................................................ 42

Dipôle électrique ................................................................................................................................... 42

IV.1. MODELE DU DIPOLE ................................................................................................. 42

IV.2. POTENTIEL ET CHAMP CREES ................................................................................ 44

IV.3. DIPOLE PLACE DANS UN CHAMP EXTERIEUR ................................................... 46

Chapitre V : ............................................................................................................................................ 48

THEOREME DE GAUSS .......................................................................................................................... 48

V.1. NOTION DE FLUX ET D’ANGLE SOLIDE ............................................................... 48

V.2. ENONCE DU THEOREME .......................................................................................... 50

V.2.1. Déplacement électrique ..................................................................................................... 50

V.2.2. Enoncés ............................................................................................................................. 50

V.2.3. Théorème des extremums ................................................................................................. 51

V.2.4. Théorème de Gauss local .................................................................................................. 51

4

V.2.5. Application ....................................................................................................................... 51

Chapitre VI : ........................................................................................................................................... 52

CONDUCTEURS...................................................................................................................................... 52

VI.1. CONDUCTEUR EN EQUILIBRE ELECTROSTATIQUE .......................................... 52

VI.1.1. Conditions de l'équilibre ................................................................................................... 52

VI.1.2. 1.2. Champ au voisinage du conducteur .......................................................................... 52

VI.1.3. 1.3. Pression électrostatique .............................................................................................. 53

VI.1.4. 1.4. Phénomènes d'influence ............................................................................................ 53

VI.1.5. 1.5. Equilibre d'un système de conducteurs ..................................................................... 55

VI.2. 2. CAPACITES ET MATRICE DE CAPACITES ....................................................... 56

VI.2.1. 2.1. Capacité propre d'un conducteur ............................................................................. 56

VI.2.2. 2.2. Matrice capacité d'un système de conducteurs ....................................................... 56

VI.3. 3. LES CONDENSATEURS ........................................................................................ 57

VI.3.1. 3.1. Capacité d'un condensateur ....................................................................................... 57

3.1.2. Calcul de la capacité d’un condensateur ............................................................................ 57

VI.3.2. 3.2. Champ de rupture ....................................................................................................... 58

VI.3.3. 3.3. Association de condensateurs ................................................................................... 59

3.3.1 Association en série .............................................................................................................. 59

3.3.2. Association en parallèle ....................................................................................................... 59

VI.3.4. 3.4. Energie électrostatique emmagasinée dans un condensateur chargé ........................ 59

VI.3.5. 3.5. Force d'attraction entre armature .............................................................................. 60

BIBLIOGRAPHIE ..................................................................................................................................... 62

Chap. 1 : GRANDEURS PHYSIQUES - RAPPELS MATHEMATIQUES

1. Champ scalaire et champ vectoriel ………………………………………………………………...…7

1.1. Champ scalaire…………………………………………………………………………………………7

1.2. Champ vectoriel………………………………………………………………………………….…….7

1.3. Caractéristiques d’un champ vectoriel……………………………………………………………..…..7

1.4. Système d’Unités International ………………………………………………………………………..7

5

2. Dérivées et primitives………………………………………………………………………………..…9

2.1. Dérivées de fonctions ……………………………………………………………………………….…9

2.1.1. Dérivées usuelles………………………………………………………………………………….…9

2.1.2. Opérations sur les dérivées……………………………………………………………………..……9

2.1.3. Dérivée et différentielle d’une fonction ………………………………………………………….…9

2.2. Primitives et intégrales ………………………………………………………………………………10

2.2.1. Définitions …………………………………………………………………………………………10

2.2.2. Quelques primitives usuelles …………………………………………………………………...…10

2.2.3. Opérations algébriques ……………………………………………………………………………10

3. Eléments d’analyse vectorielle ………………………………………………………………………11

3.1. Vecteurs unitaires ……………………………………………………………………………………11

3.2. Repère orthonormé …………………………………………………………………………………..11

3.3. Systèmes de coordonnées …………………………………………………………………………...11

3.3.1. Les coordonnées cartésiennes ………………………………………………………………..……11

3.3.2. Les coordonnées cylindriques ……………………………………………………………………...11

3.3.3 Coordonnées polaires ………………………………………………………………………………12

3.3.4. Coordonnées sphériques ……………………………………………………………………….….12

3.4. Produit de deux vecteurs ………………………………………………………………………….…12

3.4.1. Produit scalaire …………………………………………………………………………………….12

3.4.2. Produit vectoriel …………………………………………………………………………………..13

4. Flux d’un champ de vecteur …………………………………………………………………………13

4.1. Intégrales multiples …………………………………………………………………………………..13

4.2. Définition du flux d’un champ de vecteurs …………………………………………………………..13

4.3. Orientation de la normale ……………………………………………………………………………14

5. Quelques opérateurs mathématiques ……………………………………………………………….14

5.1. Opérateur nabla ou gradient …………………………………………………………………………14

5.2. Circulation d’un gradient ……………………………………………………………………………14

5.3. Opérateur divergence ……………………………………………………………………………..…15

5.4. Opérateur rotationnel ……………………………………………………………………………..…15

5.5. Opérateur laplacien scalaire …………………………………………………………………………15

Chap. 2 : CHAMP ET POTENTIEL ELECTROSTATIQUES

1. Généralités ………………………………………………………………………………………….…17

1.1. Les constituants de la matière …………………………………………………………………….…17

6

1.2. Les charges électriques ……………………………………………………………………………...18

1.3 Electrisation …………………………………………………………………………………………18

2. Forces électrostatiques …………………………………………………………………………….…19

2.1. Charge ponctuelle – Loi de Coulomb …………………………………………………………….…19

2.2. Système de charges ponctuelles ………………………………………………………………….…19

2.3. Distribution de charges ………………………………………………………………………….…20

3. Champ électrostatique ……………………………………………………………………………….21

3.1. Charge ponctuelle …………………………………………………………………………………..21

3.2. Système de charges ponctuelles ………………………………………………………………….…21

3.3. Distribution de charges …………………………………………………………………………..…21

3.3.1. Sur une ligne ……………………………………………………………………………………...22

3.3.2. Sur une surface …………………………………………………………………………………..22

3.3.3. Dans un volume …………………………………………………………………………………22

3.4. Lignes et tubes de champ …………………………………………………………………………...22

3.4.1. Ligne de champ ……………………………………………………...............................................22

3.4.2. Tube de champ …………………………………………………………………………………...23

3.5. Propriétés de symétrie du champ ……………………………………………………………………23

3.5.1. Principe de Curie …………………………………………………………………………………23

3.5.2. Règles d’invariances et de symétries ……………………………………………………………...23

4. Potentiel électrostatique …………………………………………………………………………..…25

4.1. Potentiel et différence de potentiel …………………………………………………………………25

4.1.1. Charge ponctuelle ………………………………………………………………………………...25

4.1.2. Système de charges ……………………………………………………………………………….25

4.1.3. Distribution de charges …………………………………………………………………………...25

4.1.4. Remarque …………………………………………………………………………………………25

4.2. Travail d'une force électrostatique ……………………………………………………………….…25

4.3. Energie potentielle d’une charge ……………………………………………………………………26

4.4. Surfaces équipotentielles ………………………………………………………………………...…26

4.5. Diagramme électrique……………………………………………………………………………...…26

4.6. Le dipôle électrique………………………………………………………………………………...…27

4.6.1. Champ et potentiel produits …………………………………………………………………….…27

4.6.2. Dipôle placé dans un champ extérieur extE grad V ………………………………………….28

5. Flux et théorème de Gauss……………………………………………………………………………29

7

5.1. Notion de flux et d’angle solide ………………………………………………………………….…29

5.2.1. Flux du champ électrostatique …………………………………………………………………….29

5.1.2. Angle solide ……………………………………………………………………………………….29

5.2. Déplacement électrique ……………………………………………………………………………...31

5.3. Enoncé du théorème ……………………………………………………………………………...…31

5.5. Théorème de Gauss local ………………………………………………………………………...…31

5.6. Application ……………………………………………………………………………………….…32

Chap. 3 : CONDUCTEURS EN EQUILIBRES

1. Conducteur en équilibre électrostatique…………………………………………………………….34

1.1. Conditions de l'équilibre ……………………………………………………………………………34

1.2. Champ au voisinage du conducteur-Théorème de Coulomb ………………………………..……...34

1.3. Pression électrostatique

1.4. Phénomènes d'influence ………………………………………………………………………..…..35

1.4.1. Phénomène de charge d’un corps par influence …………………………………………………..35

1.4.2. Eléments correspondants ………………………………………………………………...35

1.4.3. Influence totale ……………………………………………………………………………………36

1.4.4. Ecran électrostatique ………………………………………………………………………………36

1.5. Equilibre d'un système de conducteurs …………………………………………………………..…36

2. Capacités et matrices de capacités ………………………………………………………………..…37

2.1. Capacité propre d'un conducteur ……………………………………………………………………37

2.2. Matrice capacité d'un système de conducteurs …………………………………………………..…37

3. Les condensateurs ……………………………………………………………………………………38

3.1. Capacité d'un condensateur …………………………………………………………………………38

3.2. Champ de rupture ……………………………………………………………………………………39

3.3. Association de condensateurs …………………………………………………………………….…39

3.3.1. Association en série ………………………………………………………………………………39

3.3.2. Association en parallèle ………………………………………………………………………..…39

3.4. Energie électrostatique emmagasinée dans un condensateur chargé ………………………….……40

3.5. Force d'attraction entre armature………………………………………………………………….…40

UFR SSMT Cours Electrostatique Chap.I : Rappels Mathématiques - Grandeurs Physiques

9

Chapitre I RAPPELS MATHEMATIQUES - GRANDEURS PHYSIQUES

L’objectif de ce chapitre est de rappeler les outils mathématiques utiles pour l’étude et la

compréhension des phénomènes physiques, en particulier de l’électromagnétisme dont

l’électrostatique en est une partie.

I.1. ELEMENTS D’ANALYSE VECTORIELLE

I.1.1. Vecteurs unitaires

Dans un espace vectoriel normé, un vecteur u est unitaire lorsque sa norme vaut 1.

On note : 1u

Tout vecteur v admet un vecteur unitaire u colinéaire, de même sens que v tel que v

uv

I.1.2. Repère orthonormé

Un repère ( , , , )R O i j k est orthonormé lorsque les vecteurs de la base ( , , )i j k sont unitaires

et orthogonaux deux à deux. Pour un point M(x,y,z) dans un repère orthonormé, la distance

2 2 2OM x y z .

I.1.3. Systèmes de coordonnées

Les trois (3) systèmes de coordonnées souvent utilisés en physique sont : les coordonnées

cartésiennes, les coordonnées cylindriques et les coordonnées sphériques.

I.1.3.1. Les coordonnées cartésiennes

M est repéré par ses coordonnées x, y, z telles que

OM x i y j z k

Lorsque x, y, et z subissent une variation élémentaire

dx, dy ou dz, le point M engendre un volume élémentaire

dv = dx.dy.dz

H

M

y

X

H

z

k

i

j

O


10

I.1.3.2. Les coordonnées cylindriques

M est repéré par ses coordonnées ( , , )r z ,

r = distance (Oz, M), 0r

= position de M autour de Oz, 0,2

z = cote du point M

H = projection orthogonale de M sur le plan (xOy)

Dans la base ( , , )r zu u u , on a r zOM r u z u

Pour des variations élémentaires dr , d ou dz , le point M se déplace de à M’

respectivement de rdr u , rd u ou zdr u . Ainsi un volume élémentaire s’écrit :

. . . . .dv dr rd dz r dr d dz

Formules de passage entre coordonnées cartésiennes et coordonnées cylindriques :

2 2

arctan

r x y

y

x

z z

ou

cos

sin

x r

y r

z z

I.1.3.3. Coordonnées polaires

Elles sont utilisées dans le plan. Le point M est repéré par

r et respectivement appelés coordonnée radiale ou rayon

et coordonnée angulaire ou angle polaire ou azimut.

Formules de passage entre coordonnées cartésiennes et

coordonnées polaires :

2 2

arctan

r x y

y

x

ou

cos

sin

x r

y r

I.1.3.4. Coordonnées sphériques

Elles sont une généralisation des coordonnées polaires dans

l’espace. Le point M est repéré par ( , , )r où :

r = distance OM, 0r

θ et φ définissent la direction dans laquelle, depuis le point O, on voit le point M.

H

M

y

X

H

z

zu

i

j

O

r u

ru

i

M

X x

H

y

j

O

r

Y

H

M

y

xX

H

z

i

j

O

r

u

u

ru


11

φ tourne autour de Oz ; d’où 0,2 et 0,

Dans le repère ( , , , )rO u u u , la position du point M est donnée par rOM r u .

Pour des variations élémentaires de r , ou , M se déplace respectivement de rdr u ,

d r u ou sin r d u . Donc un volume élémentaire en coordonnées sphériques sera :

. . sin ²sindv dr rd r d r drd d

Remarque :

Bien distinguer la coordonnée polaire r = OM et la coordonnée sphérique r = OM.

I.1.4. Produit de deux vecteurs

Soit ( , , , )O i j k un repère orthonormé. Considérons u et v deux vecteurs de coordonnées

cartésiennes respectives ( , , )x y z et ( ', ', ')x y z .

On peut définir le produit scalaire ou le produit vectoriel de u et v .

I.1.4.1. Produit scalaire

Le produit scalaire des vecteurs u et v est le nombre . . .cos( , )u v u v u v ou encore dans un

repère orthonormé : . ' ' 'u v xx yy zz .

Propriétés :

a) .( ) . .u v w u v u w

b) ( ).( ) .( . )u v u v

c) u v si et seulement si . 0u v (le produit scalaire de deux vecteurs perpendiculaires

est nul)

Exemple : Travail d’une force

I.1.4.2. Produit vectoriel

Le produit vectoriel de deux vecteurs u et v d’un espace vectoriel E est le vecteur

w u v

dont :

- la norme est . .sin( , )w u v u v

- la direction est orthogonale au plan ( , )u v


12

- le sens est tel que le trièdre ( , , )u v w est direct ; (Le tire-bouchon progresse dans le

sens de w lorsqu’on tourne u vers v suivant l’angle aigu).

Remarques :

a) si 0u v alors u et v sont colinéaires (le produit vectoriel de deux vecteurs

parallèles est nul).

b) Considérons u et v deux vecteurs de coordonnées cartésiennes respectives ( , , )x y z

et ( ', ', ')x y z dans un repère orthonormé direct ( , , , )O i j k .

( ' ') ( ' ') ( ' ')w yz zy i xz zx j xy yx k

en posant

' ' ' '

w = ' ' ' '

'

x x iy y x x x x

u v y y j i j kz z z z y y

z z k

Exemple : Moment d’une force par rapport à un point O

I.1.5. Vecteurs polaires et vecteurs axiaux

Un vecteur polaire est indépendant du sens positif ou négatif de l’axe qui constitue son

support. Par exemple, une force est un vecteur polaire (on dit aussi « vecteur vrai ») : le

choix d’un sens pour son support ne modifie en rien sa direction, ni son sens.

Un vecteur axial (on dit aussi « pseudo-vecteur ») se distingue du vecteur polaire dans la

mesure où, une fois que sa direction et sa norme sont fixés, c’est le sens de rotation autour

de son axe-support qui finit de le déterminer.

Cela correspond dans le cas du vecteur moment d’une force par rapport à un point O au

choix du trièdre direct pour exprimer le produit vectoriel OFOM M

Il arrive d’ailleurs qu’un vecteur axial soit représenté avec une flèche (par exemple M).


13

I.2. CHAMP SCALAIRE ET CHAMP VECTORIEL

En physique, on distingue 2 types de grandeurs appelées champ scalaire ou champ

vectoriel.

I.2.1. Champ scalaire

Soit M un point de l’espace de coordonnées (x,y,z) dans un repère ( , , , )O i j k .

Un champ scalaire ou champ de scalaires est une fonction à plusieurs variables qui associe à

un point M de l’espace un scalaire f(x,y,z).

Exemple : Champ des températures, champ des pressions, champ des masses volumiques

I.2.2. Champ vectoriel

Un champ vectoriel ou champ de vecteurs est une fonction vectorielle à plusieurs variables

qui à chaque point M de l’espace, fait correspondre un vecteur ( ) MV x i y j z k

Exemple : le champ des vitesses des points d’un corps en mouvement.

I.2.3. Caractéristiques d’un champ vectoriel

On définit les termes suivants relativement à un champ vectoriel

- Lignes de champ : c’est une courbe tangente en chacun de ses points au champ vectoriel.

- Tube de champ : ensemble des lignes de champ s’appuyant sur un contour fermé.

- Champ uniforme : c’est un champ où tous les vecteurs ont même module (norme), même

direction et même sens. Tous les vecteurs sont équipollents à un même vecteur.

Exemple : le champ de pesanteur

I.2.4. Système d’Unités International

C’est un système qui comporte 7 unités dites fondamentales ou de base et des unités

dérivées.

Les sept unités de base

GRANDEUR EQUATION AUX DIMENSIONS UNITE

1. Longueur L mètre (m)

2. Temps T seconde (s)

3. Masse M kilogramme (kg)


14

4. Intensité électrique I ampère (A)

5. Température Kelvin (K)

6. Quantité de matière n mole (mol)

7. Intensité lumineuse J candela (cd)

Exemples d’unités dérivées

GRANDEUR FORMULE EQUATION AUX

DIMENSIONS UNITE

Aire S L l L2 mètre carré (m

2)

Vitesse d

vt

L T-1

mètre par seconde

(m.s-1

)

Accélération V

at

L T-2

mètre par seconde

carré (m.s-2

)

Force F ma M L T-2

newton (N)

Energie W=F.d M L2 T

-2 joule (J)

Puissance W

Pt

M L2 T

-3 watt (W)

Charge électrique Q It T I coulomb (C)

Tension

électrique

PU

I M L

2 T-3 I

-1 volt (V)

Préfixes

Aux différentes unités précédentes, on peut associer des préfixes, formant ainsi d’autres

unités multiples ou sous-multiples.

Préfixe Symbole Valeur Préfixe Symbole Valeur

déca da 10 déci d 10-1

hecto h 102 centi c 10

-2

kilo k 103 milli m 10

-3

méga M 106 micro µ 10

-6

giga G 109 nano n 10

-9

tétra T 1012

pico p 10-12

Quelques lettres grecques utilisées pour désigner une grandeur scalaire

Lettre Appellation Lettre Appellation Lettre Appellation

alpha delta thêta


15

bêta epsilon iota

gamma êta nu

lamda mu psi

rhô sigma tau

phi khi oméga

I.3. DERIVEES ET PRIMITIVES

I.3.1 Dérivées de fonctions

I.3.1.1. Dérivées usuelles

Fonction

f(x) Dérivée f’(x)

Fonction

f(x) Dérivée f’(x)

nx , n 1nnx sin x cos x

1

x

2

1

x tan x

11 tan ²

cos ²x

x

ln x 1

x xe xe

cos x sin x cot anx 1

sin x

I.3.1.2. Opérations sur les dérivées

( ) ' ' 'f g f g ( ) ' 'f f , ( . ) ' ' 'f g f g g f

2

' '( / ) '

f g g ff g

g

( ) ' '. 'g f f g f 1( ) ' 'n nf nf f

2

1 ''

f

f f

'

' , 02

ff f

f ' 'f fe f e

'

(ln ) ' , 0f

f ff

(sin ) ' 'cosf f f (cos ) ' 'sinf f f

I.3.1.3. Dérivée et différentielle d’une fonction

Fonction à une variable

- Soit ( )y f x une fonction continue et dérivable au point x0, on exprime la différentielle de

la fonction ( )f x sous la forme : 0'( )dy f x dx , soit 0'( )dy

f xdx

.


16

Fonction à plusieurs variables

- Soit ( , , )U U x y z , une fonction à plusieurs variables.

x ydU dU dU

ou , ,,

y z x yx z

U U UdU dx dy dz

x y z

est la différentielle totale

de U.

,y z

U

x

signifie : «je dérive U par rapport à x en maintenant y et z constants »

Différentielle totale exacte

Soit une expression de la forme ( , , ) ( , , ) C(x, y,z)dU A x y z dx B x y z dy dz (1)

- S’il existe une fonction U vérifiant (1) alors (1) est une équation différentielle et dU est

une différentielle totale exacte. On note « dU ».

- S’il n’existe pas de fonction U vérifiant (1), alors (1) n’est pas différentiable ; dU est une

forme différentielle. On notera « U ».

Relations aux dérivées partielles

Admettons que l’on ait une expression de la forme :

( , , ) ( , , ) C(x, y,z)dU A x y z dx B x y z dy dz .

dU est une différentielle totale exacte si et seulement si :

,,

= y zx z

A B

y x

;

, ,

= x y x z

B C

z y

;

, ,

= x y y z

A C

z x

Dans ce cas on peut écrire : ,

y z

UA

x

;

,

x z

UB

y

;

,

x y

UC

z

I.3.2 Primitives et intégrales

I.3.2.1. Définitions

a) Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle I. La primitive de f est la fonction

F telle que F’(x)= f(x).


17

b) Soit f une fonction continue sur un intervalle I, a et b éléments de I. On appelle intégrale

de a à b, de la fonction f, le réel ( ) ( ) ( ) ( )b b

aaf x dx F x F b F a où F est une primitive

quelconque de f sur I.

I.3.2.2. Quelques primitives usuelles

( ) , ( )f x F x x C ( ) sin , ( ) cosf x x F x x C

2

( ) , ( )2

xf x x F x C

( ) cos , ( ) sinf x x F x x C

1

( ) , ( )1

nn x

f x x F x Cn

I.3.2.3. Opérations algébriques

1

' , 1

nn u

u u nn

2

' 1u

u u

1

' 1,

( 1)n n

un

u n u

1

' 1, , 1

( 1)n n

un n

u n u

'

lnu

uu

1

' 1, , 1

( 1)n n

un n

u n u

I.3.2.4. Développements limités


18

I.4. FLUX D’UN CHAMP DE VECTEURS

I.4.1 Intégrales multiples

On a une intégrale multiple lorsqu’on intègre sur surface ou un volume.

Lorsque la fonction à intégrer est un produit de fonctions de chacune des coordonnées et

que les bornes d’intégration de chaque coordonnée sont indépendantes des autres

coordonnées, alors l’intégrale multiple est égale au produit des intégrales simples.

L’application du théorème de Fubini donne alors :

1 1 1

0 0 0

( ) ( ) ( ) ( ) . ( ) . ( )x y z

x y zf x g y h z dxdydz f x dx g y dy h z dz

I.4.2 Définition du flux d’un champ de vecteurs

Soit W un champ de vecteurs et S une surface. Le flux de W à travers S s’écrit :

.S

W d S

où .dS n dS est le vecteur surface élémentaire orienté par le vecteur normal unitaire n à d S

.

L’orientation de n dépend de la nature de la surface considérée.

I.4.3 Orientation de la normale


19

- Si la surface est fermée, par convention n est sortant et on écrit :

. .S S

W d S W ndS

- Si la surface est ouverte, elle s’appuie nécessairement sur un

contour fermé auquel on donnera un sens arbitraire positif. Le

sens de la normale n est obtenu en appliquant le règle du tire-

bouchon.

I.5. QUELQUES OPERATEURS DIFFERENTIELS

I.5.1 Opérateur nabla ou gradient

L’opérateur gradient transforme une grandeur scalaire en grandeur vectorielle.

Le gradient d’un champ de scalaire f est défini tel que, pour tout déplacement élémentaire dl

, on a :

.grad f dl df où df est la différentielle totale de f.

- En coordonnées cartésiennes : f f f

grad f i j kx y z

Lorsqu’on pose i j kx y z

appelé « opérateur nabla », on a : grad f f

- En coordonnées cylindrique ( , , )r z : zr

f f fgrad f u u u

r r z

- En coordonnées sphériques ( , , )r : 1

sin

r

f f fgrad f u u u

r r r

I.5.2 Circulation d’un gradient

La circulation d’un champ de vecteur W le long d’un chemin s’écrit :

C = .W dl

où dl est un élément de longueur du chemin.

n


20

Ainsi donc, la circulation C du gradient d’un champ de scalaires f (qui est un vecteur) entre

deux points A et B sera :

C = . ( ) ( )B B

A Agrad f dl df f B f A .

Cette circulation ne dépend pas du chemin suivi, mais seulement de la valeur de f aux points

A et B.

Lorsque la circulation d’un champ de W ne dépend pas du chemin suivi, mais seulement

des points de départ et d’arrivée, ce champ de vecteur est dit « à circulation conservative ».

Propriété :

Lorsqu’un champ de vecteur W est à flux conservatif alors il existe une fonction scalaire f

dont ce champ est le gradient : W grad f

I.5.3 Opérateur divergence

La divergence d’un champ de vecteur W est un scalaire. On note : divW

- En coordonnées cartésiennes (x,y,z) : .yx z

WW WdivW W

x y z

- En coordonnées cylindrique ( , , )r z : ( ) 1r z

WrW WdivW

r r r z

- En coordonnées sphériques ,,r : ( sin )( ² ) 1 1

² sin sin

rWWr W

divWr r r r

Formule d’Ostrogradsky

Le flux d’un champ W à travers une surface fermée S est égal à l’intégrale de la divergence

de ce champ sur le volume V délimité par cette surface.

On écrit : . S VW dS divWdV

I.5.4 Opérateur rotationnel

Le rotationnel est un vecteur obtenu à partir d’un champ de vecteurs.

- En coordonnées cartésiennes (x,y,z) :


21

rot W W

Wz Wy Wx Wz Wy Wxrot W i j k

y z z x x y

Formule de Stokes

La circulation d’un champ de vecteurs W le long d’un contour est égal au flux de son

rotationnel à travers toute surface ouverte S s’appuyant sur ce contour :

. .S

W dl rot W dS

Remarque : Un champ de vecteurs est à circulation conservative si et seulement si en tout

point de l’espace, 0rot W

I.5.5 Opérateur laplacien scalaire

Le laplacien scalaire est un opérateur de dérivation spatiale qui s’applique à un champ de

scalaires pour donner un scalaire :

En coordonnées cartésiennes : ² ² ²

² ² ²

V V VV

x y z

…

( ) . ²V div grad V V V

UFR SSMT Cours Electrostatique Chap. II : Généralités – Distribution de charges

22

Chapitre II : GENERALITES - DISTRIBUTION DE CHARGES

Objectifs :

Choisir un modèle de description des distributions de charges.

Maîtriser l’étude des symétries et invariances d’une distribution de charges.

Savoir appliquer la loi (de Coulomb) régissant les interactions entre charges

ponctuelles

Introduction

L'électrostatique est le domaine de la physique qui étudie les propriétés fondamentales

de l’espace dans lequel sont placées des charges immobiles dans un référentiel donné.

Ces charges sont à l’origine de grandeurs physiques telles la force électrostatique, le

champ électrostatique, le potentiel électrostatique ou l’énergie électrostatique.

II.1. GENERALITES

Les lois de l’électrostatique permettent d’étudier l’interaction des charges électriques

au repos ainsi que les propriétés d’un ensemble de charges au sein de la matière

II.1.1. Les charges électriques au sein de l’atome

La charge est une propriété de la matière qui lui fait produire et subir des effets

électriques et magnétiques. On distingue :

- l'électrostatique qui est l'étude des effets électriques créés par des charges au

repos;

- l'électromagnétisme qui est l'étude des phénomènes électriques et magnétiques

(les phénomènes magnétiques impliquent généralement des charges électriques en

mouvement).

L’attraction produite à courte distance sur des corps très légers (poussières, plumes,

bouts de papier…) par certains matériaux préalablement frottés (ambre, verre et,

aujourd’hui, de nombreux polymères) a été observée depuis bien longtemps. On a

expliqué ce phénomène en supposant que les frottements faisaient apparaître sur ces


23

matériaux particuliers de l’électricité (mot formé à partir du Grec elektron qui signifie

ambre).

Expériences : tout le monde a déjà vécu l'expérience désagréable d'une "décharge

électrique".

Attraction de corps légers avec des corps frottés

…

Exemple : prenons une boule très légère en polystyrène par exemple recouverte

de métal fin. Approchons ensuite une tige de verre ou d'ambre préalablement

frottée avec un tissu : verre chargé +, ambre chargé -

Figure II. 1 : Expériences d'électricité statique

L'électrisation d'un corps est un transfert d'électrons ; on peut l’obtenir par :

Frottement : une baguette de verre frottée perd des électrons. Une baguette de résine

frottée acquiert des électrons.

Contact : le contact avec un autre corps électrisé.

Influence : voisinage d'un corps électrisé.

Etc.


24

On tire les conclusions suivantes :

Il existe deux types d'électricités : l'électricité négative et l'électricité positive.

Deux charges de même signe se repoussent

Deux charges de signe contraire s'attirent.

Pas d'électrisation : le corps est neutre ; aucun effet observé

Du point de vue microscopique, on explique l’existence de ces électricités en postulant

que certaines des particules constitutives de la matière, sont naturellement dotées

d’une charge électrique (symbolisée par la lettre q). Ces particules sont :

- les électrons auxquels on attribue une charge négative q = - e que l’on admet être

indivisible en première approche (donc la plus petite qui soit), et une masse em ;

- les protons portant une charge égale et opposée à celle de l’électron, soit q = + e,

également indivisible, avec une masse ep mm 1836 .

Il existe une troisième sorte de particule constitutive, le neutron, de masse

sensiblement égale à pm , neutre électriquement.

Dans le Système International où l’unité de charge électrique est le Coulomb

(symbole C), et l’unité de masse le kg, les charges et masses de ces trois particules

sont les suivantes :

Exemple : Unité de la charge → 1 Coulomb : ENORME

2 charges de même signe de 1C chacune, situées à 1km l'une de l'autre se repoussent

avec une force équivalents de "1 tonne" (masse équivalente)

Aux températures usuelles, ces particules se regroupent en diverses sortes d’atomes,

chacune étant caractéristique d’un élément chimique (ex : hydrogène, carbone,

cuivre…). Tout atome est ainsi formé :

- d’un noyau, qui est un assemblage de protons et de neutrons et contient, par

conséquent, une charge électrique > 0 ;


25

- d’une collection d’électrons orbitant en nuage autour du noyau, et se trouvant en

nombre égal à celui des protons ; un atome est donc électriquement neutre par

compensation et ne peut, a priori, repousser ou attirer des charges électriques proches.

Chaque sorte d’atome, X , est définie par son nombre de masse, A , égal à la somme

du nombre de protons et de neutrons que contient le noyau (ou somme des « nucléons

»), et par son numéro atomique, Z , égal à son nombre d’électrons, ces caractéristiques

étant notées sous la forme symbolique XA

Z .

En pratique, on identifie le nombre de masse A d’un atome à sa masse atomique

exprimée en grammes, c’est-à-dire à la masse en grammes de N (nombre d’Avogadro

= 2310.022,6 ) de ces atomes.

Remarques :

a. Il arrive qu’un atome perde ou gagne un ou plusieurs électrons ; il n’est alors plus

neutre et devient ce qu’on appelle un ion (> 0 s’il en a perdu, < 0 s’il en a gagné).

b. Tout corps est constitué soit d’atomes soit d’ions. Dans le premier cas, les

charges électriques qu’il contient se compensent exactement ; dans le second, il

peut arriver qu’une partie des charges contenues ne soit pas compensée.

II.1.2. Notions sur les isolants et les conducteurs

Les matériaux dits « conducteurs » sont des matériaux (les métaux en particulier) dans

lesquels les charges électriques peuvent se déplacer. Les autres sont appelés isolants.

La matière telle que nous pouvons l’observer, se présente sous les 4 états possibles :

- Dans l’état de plasma, qui ne se rencontre qu’à très haute température (au cœur des

étoiles à 15 106 K environ, dans la flamme de chalumeaux spéciaux…), la matière ne

comporte plus d’atomes individualisés car ceux-ci se sont dissociés en une « soupe »

des particules élémentaires dont ils étaient primitivement constitués. Des particules

chargées se trouvent ainsi libres de se mouvoir, et donc de conduire de l’électricité

d’un point à un autre ; de ce fait, un plasma est conducteur.

- L’état gazeux est un ensemble d’atomes ou de molécules (associations de 2 ou 3

atomes, en général) se déplaçant à grande vitesse en tous sens. Si les atomes ne sont

pas ionisés, le déplacement de ces molécules ne peut s’accompagner d’aucun

déplacement de charges non compensées et le gaz n’est pas conducteur : on le dira

isolant. Par contre, si sous l’effet des chocs qu’ils peuvent subir certains atomes

s’ionisent, les molécules auxquelles ils appartiennent portent alors des charges non

compensées qu’elles transportent avec elles, rendant ainsi le gaz conducteur.


26

- Au contraire d’un gaz, un corps à l’état liquide possède un « volume propre » (c’est-

à-dire peu variable) ; de plus, les atomes ou les molécules dont il est constitué,

s’assemblent souvent en agrégats temporaires susceptibles de se déplacer d’un point à

un autre. Ainsi, lorsque ces atomes ou ces molécules ne portent pas de charges non

compensées, le liquide est isolant ; en cas contraire (électrolytes, par exemple), il est

conducteur.

- Les solides sont constitués d’atomes qui vibrent, chacun, autour d’une position

moyenne fixe dans l’espace (lorsque le solide est au repos). Il ne peut donc y avoir

conduction par déplacement d’ions, comme pour les gaz ou les liquides, mais

seulement par déplacement d’électrons. C’est ce qui se passe dans un matériau où les

atomes possèdent des électrons périphériques, ou « de valence », peu liés ; dans ce cas,

en effet, l’apport d’une énergie très faible suffit à « libérer » un électron de la tutelle de

son noyau et à le faire migrer au sein du matériau. Si, au contraire, les électrons de

valence sont très fortement liés, leur libération devient extrêmement difficile car elle

requiert l’apport d’énergies très importantes ; en l’absence de charges « libres » le

matériau n’est alors plus « conducteur », mais « isolant ».

Remarques :

1. De même que les électrons de valence, les charges non compensées que peut

recevoir un solide isolant, ne peuvent quitter l’endroit où elles ont été déposées,

malgré l’attraction ou la répulsion que produiraient des charges extérieures. Alors

que, dans un solide conducteur, il est très facile de faire migrer ces charges d’un point

à un autre.

2. En raison de propriétés particulières, les solides (ou liquides) isolants sont encore

qualifiés de matériaux « diélectriques ».

3. La charge électrique d’un système isolé se conserve.

N.B. : nous ne considérons pas ici les cas litigieux, les mauvais conducteurs, les semi-

conducteurs, etc… mais seulement les bons conducteurs métalliques (Al, Cu) et les

bons isolants.

II.2. DISTRIBUTIONS DE CHARGES

II.2.1. Charge ponctuelle

Une charge est dite ponctuelle si elle occupe un volume dont les dimensions sont très

inférieures aux distances d'observation.


27

Elles sont supposées sans dimension, ce qui est analogue à l’hypothèse du point

matériel en mécanique.

La charge élémentaire est une excellente approximation d'une charge ponctuelle.

II.2.2. Distributions discrètes ou discontinues

Considérons N charges ponctuelles fixes dans un volume V. Ce volume est supposé

suffisamment grand pour que la distance moyenne entre les charges soit très supérieure

à la dimension de la charge. Nous avons affaire à une distribution discontinue ou

discrète de charges.

II.2.3. Distributions continues

Les calculs sont impossibles à faire en partant d'une distribution discrète car, en

général, le nombre de charges est très élevé lorsque le volume est de dimension

macroscopique. Dans ce cas, il faut introduire une distribution continue de charges.

A cette échelle, les distributions e charges seront représentées à l’aide de la grandeur

densité de charges.

On fait l’hypothèse d’une charge macroscopique permettant de définir une charge

infinitésimale dq, à laquelle on peut appliquer les formules établies dans le cas d’une

charge ponctuelle, avant d’intégrer sur la distribution.

On définit ainsi les distributions :

– linéique (sur un fil) de densité λ = dq/dl [C.m-1

]

– surfacique ou superficielle (sur une surface) de densité σ = dq/dS [C.m-2

]


28

– volumique (dans un volume) de densité ρ = dq/d [C.m-3

]

auxquelles correspondent respectivement les charges infinitésimales λ dl, σ dS et ρ d.

Le calcul de la charge totale Q revient à celui d’une intégrale simple ou multiple :

uniformeest volumiquedensité la si Q avec Q

uniformeest surfacique densité la si Q avec

uniformeest linéique densité la si LQ avec ,l

V

SS

l

ddq

SdSdqQ

dldqQ

,

,

II.3. LOI DE COULOMB - FORCES ELECTROSTATIQUES

II.3.1. Loi de Coulomb

Dire que des charges électriques s’attirent ou se repoussent, revient à dire qu’elles

exercent des forces les unes sur les autres.

C’est Charles Augustin COULOMB (physicien français, 1736-1806) qui, le premier,

a énoncé la loi régissant les interactions entre charges ponctuelles :

Deux charges électriques ponctuelles placées dans le vide, exercent l’une sur l’autre

une force :

- portée par la droite qui les joint,

- proportionnelle au produit des valeurs absolues de ces charges,

- inversement proportionnelle au carré de leur distance,

- tendant à les rapprocher (force attractive) si elles sont de signes contraires et à les

éloigner (force répulsive) si elles sont de même signe.

Exemple : Une charge ponctuelle 0q , immobile en O exerce sur une autre charge

ponctuelle q placée en P une force électrostatique F


29

P

O

q

q

0

Cette force est donnée par :

0

2

4

q qF u

r

r OPu

r OP Vecteur unitaire ; r 0

mF129

0 108481036

1 .,

Permittivité absolue ou la permittivité du vide.

Unités :

Remarques :

a. Selon le principe de l'action et de la réaction, la force 'F exercée par q sur 0q

est égale à la force exercée par 0q sur q mais de sens opposé : 'F F

a. C’est un fait expérimental, valable dans un repère où les deux charges sont

immobiles.

b. Si 0q et q sont placées en un même point alors 0

F ; résultat admis et

cohérent avec des considérations élémentaires de symétrie. Rien ne permet

d’attribuer une direction plus qu’une autre à F

.

II.3.2. Distribution discrète de charges

La force électrostatique obéit au principe de superposition. La force exercée par un

système de n charges ( 1q , 2q , …, nq ), immobiles en iO , sur une charge q en P est la

somme vectorielle des iF

F force (newton N)

permittivité du milieu ( 1.F m )

0q , q charges (coulomb C)

OPr distance (mètre m)

F

u


30

P

O

q >0

q

1

q <02

O2

1

FF

21

F

q est supposé positif.

2

1

4

ii i

i

qF q u

r

Force résultante :

n

k

kFF

1

II.3.3. Distribution continue de charges

Soit un élément de charge 0dq . La force exercée par 0dq sur q est :

304

1

r

rqdqdF

L r

rq

dlF

34

1

Distribution linéique

S r

rq

dsF

34

1

Distribution surfacique

V r

rq

dvF

34

1

Distribution volumique

II.4. INVARIANCES ET SYMETRIES

II.4.1. Invariances des distributions de charges

Une distribution, illimitée dans la direction de l’axe , est invariante par translation

suivant si, pour tout point M et son translaté M’, sa densité de charge vérifie ρ(M) =

ρ(M′).

Exemple : distribution invariante par translation suivant Oz : ρ(r, θ, z) = ρ(r, θ)

Une distribution, est invariante par rotation autour d’un axe si, pour tout point M et

M’ obtenu après rotation, sa densité de charge vérifie ρ(M) = ρ(M′).

Exemple : distribution invariante par rotation autour d’un axe Oz : ρ(r, θ, z) = ρ(r, z)

Une distribution à symétrie cylindrique est telle que ρ(r, θ, z) = ρ(r)

(Invariance par rotation autour de Oz et invariance par translation suivant Oz)


31

Une distribution à symétrie sphérique est telle que ρ(r, θ, ϕ) = ρ(r)

(Invariance par rotation autour de e et invariance par rotation autour de Oz)

II.4.2. Plan de symétrie et plan d’antisymétrie

Une distribution est symétrique par rapport a un plan si, pour tout point M il existe

un symétrique M’, et si sa densité de charge vérifie ρ(M) = ρ(M′)

Le plan de symétrie est aussi appelé plan-miroir

Une distribution est antisymétrique par rapport à un plan * si, pour tout point M il

existe un symétrique M’, et si sa densité de charge vérifie ρ(M) = − ρ(M′)

Le plan * est appelé plan d’antisymétrie ou plan-antimiroir

UFR SSMT Cours Electrostatique Chap. III : Champ et Potentiel électrostatiques

32

Chapitre III : CHAMP ET POTENTIEL ELECTROSTATIQUES

Objectif

- Calculer le champ et le potentiel électriques pour une charge ponctuelle et une

distribution de charges

- Exprimer la circulation du champ et l’énergie potentielle d’interaction

électrostatique

-

Introduction

Le champ électrostatique est la grandeur qui permet de décrire les effets de charges

électriques statiques sur l’espace qui les entoure. Il peut être caractérisé simplement

par une fonction appelée potentiel électrostatique.

III.1. CHAMP ELECTROSTATIQUE

Une charge ponctuelle modifie les propriétés de l'espace qui l'entoure. On dit qu'elle

crée dans son voisinage un champ électrostatique ou champ électrique. Il est

caractérisé par le vecteur E . La charge 0q est une source de champ.

III.1.1. Charge ponctuelle

Une charge ponctuelle q placée dans un champ électrique subit une force

électrostatique F .

EqF

De la loi de Coulomb, on déduit :

r

r

r

qE

2

0 1

4

rgrad

qE

1

4

0


33

III.1.2. Distribution de charges ponctuelles

Le champ électrique obéit au principe de superposition. Le champ électrique crée par

un système de n charges ( 1q , 2q , …, nq ), immobiles en kO est la somme vectorielle

des kE

P

O

q >0

q

1

q <02

O2

1

EE

21

E

k

k

k

kkk

rgrad

q

r

uqE

1

44 2

La résultante du champ :

n

k k

k

rgrad

qE

1

1

4

1

III.1.3. Distribution continue de charges

Soit un élément de charge 0dq d’une distribution continue de charges

Le champ créé par 0dq en un point P de l'espace est :

3

0

4 r

rdqdE

III.1.3.1. Sur une ligne

L r

rdlE

34

1

ou

L rgrad

dlE

1

4

1

III.1.3.2. Sur une surface

S r

rdsE

34

1

ou

S rgrad

dsE

1

4

1

III.1.3.3. Dans un volume

V r

rdvE

34

1

ou

V rgrad

dvE

1

4

1


34

III.1.4. Lignes et tubes de champ

III.1.4.1. Ligne de champ

La ligne de champ est la ligne tangente en chacun de ses points au champ électrique.

L’ensemble de lignes de champ appartenant à un même champ est appelé spectre de ce

champ.

Remarques :

Les lignes de champ sont orientées dans le même sens que le champ électrique.

Le vecteur champ est colinéaire au vecteur déplacement élémentaire sur la ligne

de champ : soit 0 dlE

Si les lignes de champ sont parallèles, le champ est dit uniforme.

Exemple : les lignes de champs d'une charge ponctuelle sont des lignes concentriques.

q >00

q <00

NB : les lignes de champ du champ électrique ne peuvent se couper. Elles partent des

charges positives (ou de l’infini) et aboutissent aux charges négatives (ou à l’infini).

III.1.4.2. Tube de champ

Le tube de champ est l'ensemble des lignes de champ qui

s'appuient sur un contour fermé.


35

III.1.5. Condition de passage du champ à l’interface entre deux distributions de

charges

On montre que le champ tangent à l’interface est conservé et le champ normal subit

une discontinuité si l’interface est chargée

En effet, à la traversée d’une surface chargée (milieu 1 à milieu 2), le champ

électrostatique subit une discontinuité normale à la surface traversée

III.1.6. Propriétés de symétrie du champ électrostatique

III.1.6.1. Principe de Curie

« Lorsque certaines causes produisent certains effets, les éléments de symétrie des

causes doivent se retrouver dans les effets produits ».

Ainsi, si l’on connaît les propriétés de symétrie d’une distribution de charges, ces

propriétés de symétries seront applicables au champ électrostatique qui résulte de ces

charges.

De même, dans un milieu homogène et isotrope, si l’on fait subir une transformation

géométrique à une distribution de charge capable de créer certains effets (forces,

champs) alors ces effets subissent les mêmes transformations.

Conséquences sur le champ

Une isométrie (rotation, translation ou symétrie) qui laisse invariant le système

de charges laisse également invariant le champ électrique. Le champ électrique,

qui a les mêmes symétries que le système qui le crée, a les propriétés d’un

vecteur polaire ou vecteur « vrai ».

Au point M et M’ symétriques par rapport à un plan-miroir d’une distribution

de charges, les champs électrostatiques E(M) et E(M’) sont symétriques l’un de

l’autre. (Figure III.1)

Sur un plan de symétrie ou plan-miroir d’une distribution, le champ

électrostatique créé est parallèle au plan . (Figure III.1)


36

Figure III. 1 : symétrie plane

Figure III. 2 : antisymétrie plane

Au point M’ symétrique de M par rapport à un plan-antimiroir * d’une

distribution de charges, le champ électrostatique E(M’) est l’opposé du

symétrique du champ E(M) créé en M par la distribution.

Sur un plan d’antisymétrie ou plan-antimiroir * d’une distribution de charges,

le champ électrostatique créé est perpendiculaire au plan *.

L’analyse des symétries doit précéder tout calcul de champ ; elle peut permettre

de prévoir la direction du champ ainsi que les coordonnées adaptées au système.

III.1.6.2. Règles d’invariances et de symétries et conséquences pour le champ

1. Invariance d’une distribution par translation le long d’un axe : le champ créé ne

dépendra pas de la variable associée à cet axe.


37

2. Invariance d’une distribution par rotation autour d’un axe : en coordonnées

cylindriques ou sphériques, le champ créé ne dépendra pas de l’angle ou

servant à mesurer la rotation.

3. Plan de symétrie : (S) est un plan de symétrie d’une distribution si, pour tout point

P de cette distribution, son symétrique P’ appartient à la distribution et porte la

même charge que P.

- si (S) est un plan de symétrie d’une distribution, si ' /( )P sym P S

alors ( ') ( ) /( )E P sym E P S .

- si (S) est un plan de symétrie d’une distribution passant par le point M

où l’on veut déterminer le champ électrostatique, alors ( ) ( )E M S .

4. Plan d’antisymétrie : (S) est un plan d’antisymétrie d’une distribution si, pour tout

point P de cette distribution, son symétrique P’ appartient à la distribution et porte

une charge opposée à celle de P.

- Soit (S) un plan d’antisymétrie d’une distribution, si ' /( )P sym P S

alors ( ') ( ) /( )E P sym E P S .

- soit (S) est un plan d’antisymétrie de la distribution passant par le point

M alors en ce point M, le champ électrostatique ( )E M est

perpendiculaire au plan (S).

5. Symétrie cylindrique : si l’on a invariance par rotation et translation autour et le

long d’un axe, alors le champ électrique ne dépendra que de la distance variable r

par rapport à l’axe.

6. Symétrie sphérique : si l’on a invariance par rotation selon et (en

coordonnées sphériques) autour d’un axe, alors le champ électrique ne dépendra

que de la distance variable r par rapport à l’origine.

III.2. POTENTIEL ELECTROSTATIQUE

III.2.1. Potentiel et différence de potentiel

Le champ E dérive d'un potentiel scalaire appelé potentiel électrique.

VgradE ou encore .dV E dl


38

III.2.1.1. Charge ponctuelle q0

0 1

4

qE grad

r

Kr

qV 0

4

1

III.2.1.2. Distribution discrète de charges

1

1 1

4

nk

k k

qE grad

r

Kr

qV

n

k k

k 1

4

1

III.2.1.3. Distribution continue de charges

1 1

4 L

dlE grad

r

Kr

dlV

L

4

1

1 1

4 S

dsE grad

r

Kr

dsV

S

4

1

1 1

4 V

dvE grad

r

Kr

dvV

V

4

1

III.2.1.4. Remarque

Le potentiel est défini à une constante près. Lorsqu'il n'y a pas de charges à l'infini, on

y prendra 0V .

La constante d'intégration K qui apparaît dans l’expression de V est alors nulle.


39

III.2.2. Travail d'une force électrostatique

Soit une charge ponctuelle q se déplaçant de A vers B dans un champ électrique. Le

travail des forces électrostatiques est :

BA

B

A

B

A

B

A

BA

VVqdlVgradqdlEqdlFW ...

Remarque : le travail des forces électrostatiques pour amener une charge q de A vers

B est indépendant du chemin suivi. Il ne dépend que de la différence de potentiel

BA VV .

III.2.3. Energie potentielle d’une charge

On définit l'énergie potentielle électrostatique d’une charge passive q placée en un

point P par la grandeur scalaire PE dont dérive la force électrostatique :

PEgradF

or F qE donc PEgradEq

. Par ailleurs, nous avions E grad V .

On en déduit : VqEP

Remarques :

PE correspond au travail dépensé pour amener la charge ponctuelle q depuis

l’infini où le potentiel est nul jusqu’au point P où le potentiel est V.

Le travail BA

W est alors la variation de l'énergie potentiel électrostatique entre

les points A et B.

III.2.4. Surfaces équipotentielles

Une ligne équipotentielle est telle qu'en tous ses points le potentiel a la même valeur.

Une surface équipotentielle est telle qu'en tous ses points le potentiel a la même

valeur.

Remarque :

Sur chaque point d'une surface équipotentielle la ligne de champ est

perpendiculaire.

En effet, on a :

. 0dV E dl


40

Exemple : Pour une charge ponctuelle, les surfaces équipotentielles sont des sphères

concentriques et les lignes de champs sont les rayons de ces sphères.

q>0 q<0

Figure III. 3 : Diagramme d’une charge ponctuelle

III.2.5. Diagramme électrique

Le diagramme électrique est la représentation sur la même figure des lignes de

champ et des équipotentielles d’une charge ou d’une distribution de charges.

La Figure III. 3 illustre les diagrammes électriques pour une charge ponctuelle

respectivement positive et négative.

III.3. Energie électrostatique

III.3.1. Système de deux charges ponctuelles

Une charge q1 est supposée être au repos et fixe dans toute la durée de l'expérience.

Une 2ème charge q2 est amenée de l'infini à une distance a de q1. Supposons que les

deux charges soient positives. On montre (à faire à la maison) que l'énergie potentielle

du système est :


41

III.3.2. Système de N charges ponctuelles

Pour calculer l'énergie électrostatique d'un système de N charges ponctuelles, il faut

approcher chaque charge jusqu'à la distance que l'on souhaite. L'énergie potentielle de

ce système est l'opposé du travail de toutes les forces.

Le facteur 1/2 s'explique encore une fois par le fait que nous comptons deux fois le

couple qi qj dans la sommation.

III.3.3. Distribution continue de charges

Dans le cas d'une distribution continue de charges, il suffit de remplacer le signe

somme discrète par une intégrale. Comme dans le cas d'une distribution discontinue, il

faut introduire le facteur 1/2.

Attention, contrairement à la distribution discontinue de charges, pour laquelle le

potentiel Vj est le potentiel créé par toutes les charges sauf qi, le potentiel V est ici créé

par toutes les charges.

UFR SSMT Cours Electrostatique Chap. IV : Dipôle électrique

42

Chap IV : DIPOLE ELECTRIQUE

Objectif

- Modèle du dipôle

- Champ et potentiel dipôlaires

- Actions exercées par un champ sur un dipôle

Introduction

Le système de deux charges -q, +q placées aux points A et B, distants de 2a, appelé

dipôle électrique (modèle le plus simple) ou doublet électrique, constitue un objet en

soi, qui crée un champ et un potentiel dans l’espace environnant. Le modèle théorique

du dipôle trouve son application dans la polarisation des molécules conduisant à

l’approximation dipolaire de la matière.

Les calculs du champ et du potentiel créés par un dipôle se font toujours en des points

très éloignés du dipôle (OM » 2a).

IV.1. MODELE DU DIPOLE

Le dipôle électrique est un exemple de distribution discrète de charges constituée de

deux particules A et B de charges opposées –q et +q séparées par une distance 2a

supposée invariable (dipôle rigide) et très petite par rapport aux distances r des points

M où on désire étudier l’action du dipôle.

Figure IV. 1 : dipôle électrique

M

O

A(-q) B(+q)

2a

u

e

E

rE

E

re

'

r1

r2

r


43

IV.1.1. Moment dipolaire :

Une distribution de charge globalement neutre dont le point A représente le barycentre

des charges négatives –q et le point B le barycentre des charges positives q possède un

moment dipolaire défini par : ABqp

. Son unité est le Coulomb par mètre [C.m]

Par définition, le moment dipolaire du dipôle est le vecteur 2 p qa u , u est un

unitaire orienté de A vers B. p et u sont orientés dans le même sens.

On peut noter que q est toujours la valeur absolue de la charge et que p est orienté de

la charge négative vers la charge positive.

Remarques

Les chimistes utilisent le Debye (symbole : D) comme unité de moment dipolaire bien

que cette unité, adaptée à leurs besoins, appartienne à un système d’unités

actuellement abandonné.

IV.1.2. Intérêt du dipôle : molécules polaires

La notion de dipôle prend en compte les propriétés électrostatiques que manifeste

spontanément la matière, ou bien qui apparaissent lorsqu’elle est soumise à un champ

électrique extérieur.

Si un atome, qui est constituée d'une charge positive et d'une charge négative, a un

moment dipolaire nul, il n'en va pas de même de certaines molécules, telles que H2O

ou HCl (Figure IV. 2), qui ont un moment dipolaire permanent (i.e. en l'absence de

toute cause extérieure) non nul. Un champ électrique aura ainsi une influence sur la

molécule.

Ainsi, une molécule libre, présentant un moment dipolaire naturel et soumise à un

champ électrique extérieur, va aligner son moment dipolaire selon la direction et le

sens du champ appliqué ; de plus, si elle est libre de se mouvoir, elle se déplacera

dans le sens où s’accroît ce champ


44

Figure IV. 2 : les molécules telles que HCl, CO, H20, CO2 constituent des exemples de

dipôles électrostatiques

IV.2. POTENTIEL ET CHAMP CREES

IV.2.1. Potentiel VM créé par le dipôle au point M à grande distance

Soit dans le vide, un point M de coordonnées (r,θ) avec rOM r e et Par ( , )p OM .

On rappelle que 2r a .

Par définition et selon le principe de superposition :

0 1 0 2 0 1 2

1 1

4 4 4M

q q qV

r r r r

On montre (à faire en exercice) que 2

1 2

1 1 2 cosa

r r r

; donc

2 2

0 0

2 cos cos

4 4M

aq pV

r r

soit 2 3

0 0

. .

4 4

rM

e p r pV

r r puisque r

re

r .

Ou bien


45

IV.2.2. Champ électrostatique ME créé par le dipôle au point M à grande

distance.

On détermine les composantes radiale rE et orthoradiale E du champ électrostatique

E à partir de la relation E grad V .

En coordonnées polaires :

3

0

1 2 cos

4r

V pE

r r

3

0

1 sin

4

V pE

r r r

Ainsi : 2 2

rE E E =3

0

1 3cos ²

4

p

r

;

1tan ' tan

2r

E

E

IV.2.3. Equipotentielles et lignes de champ

C’est une équation différentielle à variables séparées, dont la résolution ne cause

aucune difficulté

Les lignes de champs sont données par :

Equipotentielles V=cte (à faire à la maison)


46

IV.3. DIPOLE PLACE DANS UN CHAMP EXTERIEUR

Soit le champ extérieur Eext et V le potentiel dont il dérive :

extE grad V

IV.3.1. Energie potentielle d’interaction

L’énergie potentielle Ep du dipôle est l’énergie nécessaire pour amener le dipôle

depuis l’infini où le potentiel est nulle jusqu’à sa position actuelle. Elle obéit au

principe de superposition.

BAP qVqVE

ABP VVqE = ( ) . . 2 . .B

ext ext ext extA BA

q V V q E dl q AB E q au E p E

IV.3.2. Forces électriques exercées sur le dipôle

La résultante des forces exercées sur le dipôle est déduite de la relation de base :

extP EpgradEgradF

. .

Pour un dipôle donné, le moment dipolaire est constant. En coordonnées cartésiennes :

on a donc

x

EextF p

x

y

EextF p

y

z

EextF p

z

IV.3.3. Moment résultant

Moment résultant en O : extp E

Remarque : si extE est uniforme alors F O .

Exemple : on notera dans cet exemple AB=a ; extEE


47

NB : Dans le cas d’une molécule assimilée à un dipôle, le moment dipolaire

moléculaire aura tendance à s’aligner avec le champ E

. On dit que la molécule (ou la

substance) se polarise.

UFR SSMT Cours Electrostatique Chap. V : Théorème de Gauss

48

Chapitre V : THEOREME DE GAUSS

V.1. NOTION DE FLUX ET D’ANGLE SOLIDE

V.1.1. Flux du champ électrostatique

Par définition, le flux élémentaire d du vecteur champ électrique E à travers un

élément de surface orienté ds est :

dsnEdsEd ..

nE

ds

d est un scalaire. Il est positif (flux sortant) ou négatif (flux entrant)

On a, pour une surface S :

Sd

Le flux d'un champ vectoriel est conservatif lorsque le flux sortant de toute surface

fermée est nul.

Exemple :

Flux du vecteur champ électrostatique produit par une charge ponctuelle Q situé à la

distance r de l’élément de surface dS

3 2 2

..

4 4 4

Q r Q Q u dSd dS u dS

r r r

P

O

Q r n

E

. .cosd E ds

E

n


49

V.1.2. Angle solide

Soit l’élément de surface dS entourant le point P, AP ru r .

Par définition 2

.u d Sd

r est l’angle solide sous lequel on voit du point A l’élément de

surface dS par sa face négative (face côté A). La valeur absolue de d caractérise

l’ouverture du cône. Son unité est le stéradian (symbole sr).

Par définition, l’angle solide correspond au flux du vecteur 2 3

u rV

r r .

Le flux du vecteur champ électrostatique produit par une charge ponctuelle Q situé à la

distance r de l’élément de surface dS s’écrit en fonction de l’angle solide ainsi :

4

Qd d

.

Calculer le flux revient à déterminer l’angle solide.

Exemples de calculs d’angles solides :

a) Considérons un cône de révolution de demi-angle au sommet . Déterminons

.

La surface du cône est composée de sa surface latérale SL et de sa surface de base SB.

L’angle solide sous lequel on voit la surface du cône est le flux du vecteur 3

rV

r

à

travers S = SL+SB.

dS

d

r P

A

n

u

Q

V

R

r

A

n

V

O

h dSB


50

Soit L Bd VdS VdS . Le vecteur V est tangent à la surface latérale du cône, donc

0LVdS . Il en résulte que cosB Bd VdS VdS avec 2

1V

r

et 2BdS d .

Soit 2

12 cosd d

r . Notons que tan tan

cos ²

hh d d

h

et

d’autre part cos h

r

cos

hr

si bien que l’on peut écrire : 2 sin d d .

Soit 0

002 sin 2 cos 2 cos 2 (1 cos )d

b) Pour une surface plane : 2

, d’où 2 .

c) Pour une surface sphérique entourant le point d’observation : , d’où

4

V.2. ENONCE DU THEOREME

V.2.1. Déplacement électrique

On définit le vecteur déplacement électrique ou induction électrique dans un milieu de

permittivité par : ED

Il est parfois plus commode d'introduire le vecteur induction électrique lorsqu'on est en

présence de plusieurs milieux diélectriques.

V.2.2. Enoncés

Enoncé 1 :

Le flux du champ électrostatique E à travers une surface fermée S est égal à la

somme des charges intérieures à cette surface divisé par la permittivité électrique .

Soit int( )

0

.S

QE d S

dans le vide et int

( ) .S

QE d S

dans un milieu différent du vide.

Attention : intQ est la somme des charges se trouvant à l’intérieure de la surface fermée

(S) mais E est le champ total créé aussi bien par les charges intérieures à (S) que par

les charges extérieures à (S).

2 (1 cos )


51

Enoncé 2 :

Le flux du vecteur induction électrique à travers une surface fermée est égal à la

somme des charges intérieures à cette surface.

Le théorème de Gauss, dans cette configuration, facilite les calculs de champ et de

potentiel.

V.2.3. Théorème des extremums

Dans un domaine dépourvu de charges, le potentiel ne peut présenter ni maximum, ni

minimum. C'est une fonction monotone, croissante ou décroissante.

V.2.4. Théorème de Gauss local

Dans un élément de volume, le théorème local de Gauss est exprimé par :

Ediv Équation de Poisson

Or VgradE donc

V Équation de Poison

avec V est le laplacien de V ;

Rappelons que 2 2 2

2

2 2( )

2

V V VV div gradV V

x y z

Dans un espace dépourvu de charge, on a :

0V Équation de Laplace

V.2.5. Application

Calculez le champ crée par une boule de rayon R, uniformément chargée d’une

distribution volumique .

52

Chapitre VI : ELECTROSTATIQUE DES CONDUCTEURS

Objectifs

Introduction

VI.1. CONDUCTEUR EN EQUILIBRE ELECTROSTATIQUE

VI.1.1. Conditions de l'équilibre

Un conducteur est en équilibre électrostatique si la vitesse d'ensemble des charges libres par

rapport au réseau y est nulle en tout point. Ainsi aucune force n’agit sur ses charges libres et

donc notamment pas de champ appliqué dans le conducteur.

Lorsqu'un conducteur est en équilibre électrostatique :

Son volume est un volume équipotentiel

Sa surface est équipotentielle

Sa charge est uniformément repartie sur sa surface avec une densité surfacique .

VI.1.2. 1.2. Champ au voisinage du conducteur

53

Appliquons le théorème de Gauss à un cylindre de base dS centré sur la surface

équipotentielle.

Conducteur

dSE

Lorsque le conducteur est en équilibre électrostatique, son volume est équipotentiel. Le champ

à l'intérieur est

nul. Le champ est normal à la surface du conducteur. Le flux à travers la surface latérale du

cylindre est nul.

Le théorème de Gauss donne :

dSdSE ou encore

E

Le théorème de Coulomb traduit la discontinuité du champ électrique à la traversée de la

surface équipotentielle.

0E à l'intérieur du conducteur

nE

à l'extérieur du conducteur

VI.1.3. 1.3. Pression électrostatique

Le champ à la surface d’un conducteur à l’équilibre est : 2

sE n

La force exercée sur un élément de charge dq à la surface du conducteur en équilibre est

donc :

.sd F E dq . Puisque 2

sE n

et dq dS , on peut écrire

²

2d F dS

.

Cette force est toujours dirigée vers l’extérieur du conducteur quelque soit le signe de .

Soit P la pression électrostatique à la laquelle est soumis chaque point matériel à la surface du

conducteur chargé : d F

PdS

. Soit 2

2P n

VI.1.4. 1.4. Phénomènes d'influence

1.4.1. Phénomène de charge d’un corps par influence

54

Plaçons un cylindre métallique électriquement neutre et isolé dans le champ 1E créé par une

sphère conductrice chargé par exemple positivement. Les électrons libres du cylindre subissent

une force électrostatique. Le déplacement des électrons libres crée deux zones de charges (une

positive et une négative). Ces zones créent un autre champ électrique 2E .

+

+

+

+

+

+

+ +

++

+ ++

-

-

--

-

-

E

E

1

2

Le mouvement des électrons s'arrêtent lorsque : 021 EE

Le cylindre est ainsi électrisé par influence.

Si le cylindre est relié au sol, les charges positives s'écoulent vers le sol.

+

+

+

+

+

+

+ +

--

-

--

-

--

-

--

-

-

Les charges portées par le cylindre sont dites charges induites.

Les charges portées par la sphère sont dites charges influençantes.

L'influence est partielle quand certaines lignes de champ du corps influençant n'atteignent pas

le corps influencé.

L'influence est totale quand toutes les lignes de champ du corps influençant atteignent le corps

influencé.

1.4.2. Eléments correspondants

Soit A et B en influence partielle. On désigne par

éléments correspondants dSA et dSB, les surfaces

découpées sur deux conducteurs par un même

tube de champ. En appliquant le théorème de

Gauss, on montre que les charges qA et qB portées

par deux éléments correspondants sont égales en valeur absolue mais de signe opposé :

A Bq q .

55

1.4.3. Influence totale

1.4.4. Ecran électrostatique

- Soit B chargé et C non chargé. Le système A+B ne produit pas de

champ extérieur ; don le conducteur C ne peut pas être influencé par B.

Le conducteur creux A forme un écran contre toute influence de B sur

des corps extérieurs.

- Soit B non chargé et C chargé. Pour le conducteur creux A dans lequel

il n’y a pas de charge, le potentiel ne peut avoir ni maximum, ni minium,

il est constant et vaut ici zéro, celui du sol auquel A est relié. Le champ étant nul à l’intérieur

de A, C ne peut pas influencer B ; A forme alors un écran contre l’influence de C sur B.

Conclusion : Le conducteur creux A relié au sol (ou à un potentiel constant) est appelé écran

électrostatique : il isole totalement du point de vue électrostatique, par rapport à l’extérieur, les

corps qui lui sont intérieurs. Il existe plusieurs domaines d’application de l’effet d’écran : cage

de Faraday, paratonnerres, blindages de câbles coaxiaux, etc.

VI.1.5. 1.5. Equilibre d'un système de conducteurs

On considère un ensemble de conducteurs placés dans une position donnée. Ces conducteurs

sont en état d'influence. Sur chacun d'eux, on impose soit une charge constante (conducteur

isolé) soit un potentiel constant (conducteur non isolé). Le problème est de déterminer, à

l'équilibre électrostatique :

Le potentiel et les charges de chaque conducteur

Le potentiel et le champ électrique en tout point de l'espace.

Pour résoudre ce problème, on utilise le principe de superposition qui résulte de la linéarité des

équations de l'électrostatique : un état d'équilibre (V , Q ) est obtenu par la superposition de

plusieurs états d'équilibres ( kV , kQ ).

La charge induite QA sur la surface intérieur SA est

égale au signe près à la charge influençante QB :

A BQ Q

56

VI.2. 2. CAPACITES ET MATRICE DE CAPACITES

VI.2.1. 2.1. Capacité propre d'un conducteur

La charge portée par un conducteur isolé est proportionnelle à son potentiel. Le coefficient de proportionnalité

est appelé capacité. Il dépend principalement de la géométrie du conducteur. Il s'exprime en Farads.

VCQ ou encore V

QC

Pour calculer la capacité propre, on a :

La charge totale par

S

dsQ

Le potentiel en un point quelconque de la surface par

1

4 S

dSV

r

La charge et le potentiel sont de même signe. La capacité propre d'un conducteur est toujours positive.

VI.2.2. 2.2. Matrice capacité d'un système de conducteurs

Si le conducteur appartient à un ensemble de conducteurs, la charge qu'il porte dépend de son potentiel et de

celui des autres.

La relation entre les charges et les potentiels est une équation matricielle du type :

VCQ

n

j

jiji VCQ

1

Q et V sont des matrices colonnes donnant la charge et le potentiel de chaque conducteur.

C est une matrice carrée symétrique ayant les propriétés suivantes :

iiC : coefficient de capacité propre du conducteur i en présence des autres. Ce coefficient est

toujours positif.

ijC : coefficient d'influence du conducteur j sur le conducteur i. Ce coefficient est toujours

négatif.

La somme des éléments d'une ligne est positive ou nulle.

La somme des éléments d'une colonne est positive ou nulle.

57

VI.3. 3. LES CONDENSATEURS

VI.3.1. 3.1. Capacité d'un condensateur

3.1.1. Définition

Un condensateur est constitué par deux

conducteurs

(appelés armatures) en influence totale.

2121111 VCVCQ

2221212 VCVCQ

L'armature externe est reliée au sol ; les 2 conducteurs sont en influence totale :

QQQ 21 CCCC 122111

La charge de l'armature interne est appelée charge du condensateur. C est appelé capacité du

condensateur. On aura alors :

21 VVCQ Le condensateur est symboliquement représenté par :

+Q -QV V1 2

C

3.1.2. Calcul de la capacité d’un condensateur

La méthode générale consiste à :

a) Calculer le champ E entre les armatures par le théorème de Gauss

b) Calculer le ddp .B

A BA

V V E dl

c) Poser A B

QC

V V

Ex1 : Condensateur sphérique

Armature externe

Armature interne

Q V1 1

2 2Q V

58

04 ²

QE

r

2 11 2

0 2 14

R RQV V

R R

0 1 2

2 1

4 R RC

R R

Ex 2 : Condensateur sphérique

Soit h la hauteur du condensateur, 02

QE

rh , 2

1 2

0 1

ln2

RQV V

h R , 0

2

1

2

ln

hC

R

R

Ex 3 : Condensateur plan

Théorème de Coulomb : 0

E

, or 1 2V V

Ee

D’où 1 2

0

V VQ

S e

0S

Ce

NB : Dans les formules ci-dessus, si l’isolant est quelconque, il faut remplacer 0 par 0 r .

VI.3.2. 3.2. Champ de rupture

Lorsqu’on applique aux bornes d’un condensateur une tension de plus en plus croissante U, le

champ entre les armatures d’épaisseur e augmente aussi. (Pour le condensateur plan, on a :

UE U Ee

e ). Lorsque E atteint une certaine valeur critique Ed, on constate une étincelle

dans le diélectrique. C’est le phénomène de claquage. Ed est appelé champ de rupture ou

champ disruptif ou rigidité électrique. Ce champ impose une d.d.p. maximale applicable aux

bornes du condensateur. Pour éviter le claquage, le fabricant précise une tension Us à ne pas

dépasser. Us est la tension de service.

E

n

1R

2R

r

S : surface de Gauss

M

O +Q

-Q

+ + + + + + + + + + + + + +

- - - - - - - - - - - - - - -

-

E e

V1

V2

V1

Q

S

59

VI.3.3. 3.3. Association de condensateurs

3.3.1 Association en série

A B

C C CC C1 2 n-1 nk

+Q -Q +Q +Q+Q +Q-Q -Q -Q -Q

éqnnBA

C

Q

C

Q

C

Q

C

Q

C

QVV

121

...

soit donc :

n

k kéq CC1

11

Le montage série permet de distribuer sur plusieurs condensateur une d. d. p. qui serait

prohibitive si elle était supportée par un seul.

3.3.2. Association en parallèle

A

B

C

C CC C

1

2

k n-1 n-Q

+Q +Q +Q +Q+Q

-Q -Q-Q

-Q

1

1

2

2

k

k

n

nn-1

n-1

éq

n

k

k

n

n

n

nBA

C

Q

C

Q

C

Q

C

Q

C

QVV

1

1

1

2

2

1

1 ...

donc :

n

k

kéq CC

1

Le montage parallèle permet d'avoir une plus grande capacité.

VI.3.4. 3.4. Energie électrostatique emmagasinée dans un condensateur chargé

60

L’énergie électrostatique emmagasinée correspond à l’énergie nécessaire pour charger

le condensateur de O à Q (Q est la charge finale). C’est la même énergie qui est libérée lors de

la décharge de Q à zéro.

Soit q Cv , la quantité d’électricité emmagasinée pendant la charge au bout d’un temps t , v

étant la d.d.p. aux bornes du condensateur. Pour une durée élémentaire dt où v demeure

presque constante, pour élever la charge de dq , il faut apporter l’énergie dW vdq . Ainsi,

l’énergie totale utile pour porter la charge du condensateur à Q, il faudra :

0 00

1 ² 1 ²

2 2

QQ Q q q Q

W vdq dqC C C

.

Si on pose la différence de potentiel 1 2U V V , W

s’écrit aussi : 1 1

²2 2

QUW CU

C

VI.3.5. 3.5. Force d'attraction entre armature

Résultant des charges opposées portées par les armatures, cette force peut être déterminée à

partir de la densité surfacique de charge ou de l’énergie emmagasinée.

a) L’expression de la pression électrostatique 2

2

d FP n

dS

.

On a donc 2

.2

d F dS n

2

.2

F S n

.

Dans le cas d’un condensateur plan, la densité surfacique de charge Q CV V

S S e

.

Soit 2

2.

2

SVF n

e

b) Détermination de F par l’énergie emmagasinée

On utilise la méthode du travail virtuelle qui consiste à imaginer une translation élémentaire dx

ou une rotation élémentaire d autour de l’axe Ox d’une armature sous l’action de la force F .

En faisant le bilan énergétique de cette translation ou rotation, on déduit F ou le moment

résultant .

Rappelons que dans la translation, le travail est dT Fdx et dans la rotation le travail est

dT d . Nous allons considérer les deux cas suivants :

61

1er

cas : l’opération s’effectue à Q constant (système isolé) :1 ²

2

QW

C

La conservation de l’énergie impose : 0dT dW dT dW .

Pour la translation : 2

22Q

dT dW Q dCF

dx dx C dx

Pour la rotation : 2

22Q

dT dW Q dC

d d C d

2ème

cas : l’opération s’effectue à V constant : 21 1

2 2W QV CV

Pour maintenir V constant, le système est relié à une source d’énergie qui lui fournit de

l’énergie 0 .dW VdQ

Le bilan énergétique de l’opération s’écrit :

0dT dW dW or 1 1

2 2dW d QV VdQ

donc

0

1 1

2 2dT dW dW VdQ VdQ VdQ

Soit 1

2dT VdQ dW

Pour la translation : 1

²2V

dT dW dCF V

dx dx dx

Pour la rotation : 21

2V

dT dW dCV

d d d

Remarque : l’opération de translation ou de rotation s’accompagne toujours d’une

augmentation de la capacité.

62

BIBLIOGRAPHIE

1) Electrostatique – Electrocinétique

I. DOUMBIA, Université FHB

2) Electromagnétisme I

Jean-Pierre FAROUX, DUNOD

3) Electromagnétisme PC-PSI

P. KREMPF, Editions Bréal

4) Les lois générales de l’électricité F2/F3/F5

F. LUCAS, Delagrave

5) Physique Term CE

A. SAISON, Fernand Nathan

6) Cours Electrostatique-Electrocinétique

Z. YEO, INPHB

WWW. Google.ci

7) Electromagnétisme du vide

CHRISTIAN MAIRE

8) Electrostatique – Electrocinétique

Jonathan FERREIRA, Université Joseph Fourier

9) Magnétostatique

Jonathan FERREIRA, Université Joseph Fourier

63

10) Cours d’ELECTROMAGNETISME (Année 2011/12) : 1ère partie : ELECTROSTATIQUE

H. CERCELLIER, DLST - U. J. Fourier

v. méthodes d’étude des circuits · semestre 2 cours ue : electricite ecue 1 : electrostatique...

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