UNIVERSITE DES ANTILLES

Faculté des Sciences Exactes et Naturelles

COURS DE MECANIQUE 1 DU POINT MATERIEL

L1 MIPCSI PHYSIQUE DES SCIENCES EXACTES

Philippe Sellitto

Maître de Conférences

Département de Physique de l’Université des Antilles

Licence STS - Physique-chimie – UEO 20 : Sciences Fondamentales – EC 10.3 : Mécanique du point

SEMESTRE 1

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PLAN DU COURS

Chapitre I : Outils Mathématiques.

I.1) Grandeurs physiques.

I.2) Unités.

I.3) Equations aux dimensions.

I.4) Calcul vectoriel.

I.5) Dérivées et intégrales (compléments annexe 2)

Chapitre II : Repères, référentiels, universalité du temps

II.1) Système et point matériel

II.2) Référentiel repère et base de projection

II.3) Choix d’un bon référentiel

II.4) Différentes bases pour différents problèmes

Chapitre III : Système de coordonnées cartésiennes et base de Frenet

III.1) Système de coordonnées cartésiennes

III.2) Base de Frenet

Chapitre IV : Dynamique du point matériel : les lois de Newton

IV.1) Notion de Force

IV.2) Exemples de forces usuelles

IV.3) Les lois de Newton

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ANNEXES

ANNEXE 1 : Rappels sur les vecteurs

ANNEXE 2: Rappels sur les notions de dérivées et primitives

ANNEXE 3 : Système de coordonnées cartésiennes

ANNEXE 4 : Base de Frenet

ANNEXE 5 : ISSAC NEWTON

TRAVAUX DIRIGES

TD N°1 : Outils mathématiques pour la mécanique du point.

TD n°2 : Application des lois de Newton dans le repère cartésien.

TD n°3 : Application des lois de Newton dans la base de Fenet

Références Bibliographiques (Liste livres non exhaustive)

BERNARD GENDREAU, L''essentiel de la mécanique du point matériel (Collection Ellipses)

M.BERTIN, J.P.FAROUX, J.RENAULT, Mécanique 1 (Collection Dunod)

FLORENCE VIOT , MECANIQUE DU POINT (Collection Dunod)

J.BOUTIGNY , MECANIQUE 1

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Chapitre I : Outils Mathématiques.

I.1) Grandeurs physiques.

Une grandeur dite scalaire est caractérisée par un nombre (« intensité ») et une unité.

exemple : La pression s’exprime en Pascal (Pa).

Une grandeur vectorielle est caractérisée par un vecteur et une unité. Un vecteur est

lui-même caractérisé par un sens et une norme.

= AB avec norme de u, = 1 et AB distance entre les points A et B.

exemple : le vecteur vitesse ; en effet, pour définir parfaitement une grandeur comme la

vitesse la norme seule ne suffit pas ; il faut aussi préciser sa direction et son sens.

I.2) Unités.

Le système international est basé sur 7 grandeurs fondamentales.

Grandeurs Unité Symbole

Longueur mètre m

Masse kilogramme kg

Temps seconde s

Courant électrique (intensité) ampère A

Température thermodynamique kelvin K

Quantité de matière mole mol

Intensité lumineuse candela cd

Chaque unité reçoit des mesures de références les plus précises possibles, ce qui impliques

une évolution avec les précisions disponibles de l’époque. Par exemple :

1 m : longueur parcouru par la lumière dans le vide pendant 1/299 792 458 s (auparavant, il

s’agissait d’une barre de platine iridié à la température de 20oC Pavillon de Breteuil).

1 kg : masse de prototype international Pavillon de Breteuil.

1 s : durée de 9 192 631 770 périodes de rayonnement correspondant à la transition de 2

niveaux hyperfins de base du Cs 133. La définition précédente (en gros 1/31 556 925,9747 de

l’année 1900) posait des problèmes pour répéter la mesure

A

B

5

1 A : courant qui, maintenu dans 2 conducteurs de longueur infinie et de section négligeable,

placés à 1 m de distance dans de le vide, produisent une force de 2.10-7

N par mètre linéaire.

1 K : fraction (1/273,16) de la température thermodynamique du point triple de l’eau (liquide

+ solide + vapeur) définie sur le diagramme P = f (t).

1 mol : quantité d’entités élémentaires identiques à celle contenue dans 0,012 kg de C12

1 cd : intensité lumineuse dans une direction donnée pour une source émettant un

rayonnement monochromatique à la fréquence de 540.1012

Hz avec une identité de radiation

de 1/688 W.sr-1

.

I.3) Equations aux dimensions.

Les équations aux dimensions permettant de vérifier la cohérence d’une formule ou de trouver

l’unité d’une grandeur.

Exemple : le principe fondamental de la dynamique dit que le lien entre la force appliquée et

l’accélération subie est : = m . On sait, par ailleurs que la force s’exprime en Newton et

que l’accélération s’exprime en m.s-2.On peut en déduire immédiatement l’unité du Newton :

[F] = [M] [L] [T]-2

=> 1 N = 1 kg.m.s-2

.

I.4) Calcul vectoriel (compléments annexe 1)

Détermination d’un vecteur.

Soit deux points, A et B, dans un espace à trois dimensions orthonormé de repère (O, , , ).

Les coordonnées des points A et B dans ce repère sont : A (xA, yA, zA), B(xB, yB, zB).

Le vecteur s’écrit : = xA + yA + zA .

Le vecteur s’écrit : = xB + yB + zB .

Le vecteur se calcule aisément :

= + = - + = (xB – xA) + (yB – yA) + (zB – zA)

Produit scalaire et norme d’un vecteur.

Soient et deux vecteurs dans un espace à 3 dimensions orthonormé de repère (O, , , ).

Le produit scalaire de par est :

. = u v cos( , ) = u v cos avec =( , )

Le résultat est un scalaire. Dans le repère, il est facile de montrer que :

. = ux vx + uy vy + uz vz.

Remarque : . =

6

La norme au carré d’un vecteur , , est donnée par le produit scalaire du vecteur par lui-

même : 2 = . = ux

2 + uy

2 + uz

2.

Remarque : lorsque l’on effectue le produit scalaire de deux vecteurs, géométriquement, cela

revient à projeter perpendiculairement un vecteur sur l’axe défini par le second.

I.5) Dérivées et intégrales (compléments annexe 2)

La résolution des problèmes de mécanique du point nécessitent la maitrise de la notion de

primitive (et donc forcément de dérivées) ; prenons un simple exemple déjà vu dans les

classes antérieures :

En coordonnées cartésiennes, pour un mouvement rectiligne suivant un axe (Ox), la vitesse

instantanée d’un point matériel est la dérivée de sa coordonnée spatiale x par rapport au temps

t, à l’instant considéré :

Vx =

et ax =

Si l’on suppose cette vitesse connue et que l’on désire retrouver la position du mobile étudié

à chaque instant, nous devons alors calculer l’intégrale suivante :

x(t) = Vx

De même, pour retrouver la vitesse d’un mobile à chaque instant, à partir de son accélération,

on calculera l’intégrale :

Vx(t)=

La notion de primitive est rappelée en annexe 2 et nous reviendrons très largement sur cet

outil lors de la résolution des problèmes de dynamique.

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Chapitre II : Repères, référentiels, universalité du temps Introduction

L’analyse du mouvement dépend directement de la personne qui observe le mouvement, on le

nomme l’observateur. C’est un être qui a conscience de l’écoulement du temps, fléché du passé vers

le futur et qui perçoit l’existence d’objets indépendamment de lui-même, localisés dans l’espace et

pouvant se déplacer au cours du temps. Deux observateurs différents peuvent percevoir le mouvement

différemment. Considérons un exemple simple ou un premier observateur est debout dans un bus

roulant à vitesse constante. Il laisse tomber son journal au sol. Le mouvement perçu par ce premier

observateur est un mouvement de chute libre vertical. Un deuxième observateur situé sur le trottoir

observe la scène ; pour ce dernier le journal ne possède pas un mouvement vertical mais un

mouvement de chute libre de type parabolique. Ainsi on dit que le mouvement est relatif à

l’observateur.

Pour décrire le mouvement d’un objet il faut donc définir un référentiel d’observation ou solide de

référence où l’observateur est fixe. Dans l’exemple précédent, le référentiel d’observation du premier

observateur peut-être le bus, pour le second observateur le référentiel peut-être la terre car

l’observateur reste sans bouger sur le trottoir.

Bien qu’il existe une infinité de référentiels, certains sont particuliers et sont appelés référentiels

galiléen. Ces derniers sont les référentiels animés d’un mouvement de translation uniforme par rapport

au référentiel de Copernic. Le référentiel de Copernic ou héliocentrique est le référentiel dont l’origine

est au barycentre du système solaire et dont les axes sont dirigés vers des étoiles lointaines dites étoiles

fixes. En pratique, un référentiel sera considéré comme galiléen si, dans ce dernier et pour un temps

d’observation donné, le mouvement d’un objet n’étant soumis à aucune force extérieure est nul ou

rectiligne et de vitesse constante.

Afin de préciser davantage la notion de référentiel et de pouvoir décrire précisément la position d’un

point matériel par rapport au référentiel, il est nécessaire de définir un repère d’observation dans

lequel nous pouvons facilement déterminer la position d’un objet. Le plus évident et naturel est de

prendre les coordonnées cartésiennes. Ainsi le repère d’observation se caractérise par une origine O

fixe dans le référentiel choisi (en général l’observateur) ainsi que par une base de référence

orthonormé ( , , ) fixe dans le référentiel choisi.

Un référentiel peut-être associé à plusieurs repère d’observation en fonction de l’origine choisie

et de la direction des axes de références. Par contre, un repère d’observation est associé a un seul

référentiel, celui qui est fixe par rapport au repère.

Il ne suffit pas de préciser la position d’un objet pour décrire son mouvement mais il faut aussi

préciser à quel moment l’objet se trouve à tel endroit. Ceci introduit la nécessité de disposer d’un

repère de temps. La notion de temps est encore une fois un concept intuitif puisque nous ressentons

l’écoulement du temps au travers les actions que l’on mène quotidiennement, aller au travail, prendre

le temps de manger, regarder l’aiguille d’une montre trotter…le repère de temps est constitué d’une

origine généralement l’instant où l’on connaît précisément la position et la vitesse d’un objet. A partir

de cet instant initial, le temps ne peut que s’écouler dans un sens, du passé vers le futur, c’est-à-dire

que le paramètre temps ne peut que croître, c’est ce qu’on appelle l’irréversibilité du temps. Notion

que l’on comprend aisément quand on se voit vieillir jour après jours où lorsqu’on voit un objet se

casser sur le sol. Contrairement au repère d’espace, le temps est un paramètre absolu, en tout cas dans

le cadre de la mécanique classique initié par Isaac Newton. C’est-à-dire que tous observateurs voient

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le même écoulement du temps quel que soit l’endroit de l’espace où il se trouve et quel que soit la

vitesse relative que les observateurs peuvent avoir entre eux. Cette notion de temps absolu est en fait

une approximation. Albert Einstein a montré grâce à la théorie de la relativité restreinte puis générale

que le temps et l’espace sont intimement lié. On ne parle plus de repère d’espace et de repère de temps

mais d’espace-temps. Selon la relativité restreinte, l’écoulement du temps est différent selon la vitesse

à laquelle on se déplace. Plus on se déplace vite, plus le temps se dilate. Ce concept est directement

relié au fait que la vitesse d’un objet ne peut excéder la vitesse de la lumière c.

Cependant en mécanique classique où les vitesses n’excèdent pas c/10 cette dilatation temporelle

est négligeable.

Pour décrire le mouvement d’un point M il est nécessaire de pouvoir repérer sa position au cours du

temps.

II.1) Système et point matériel

Pour décrire le mouvement d’un point M il est nécessaire de pouvoir repérer sa position au cours du

temps.

Système

Le système est l’objet ou le groupe d’objet dont on souhaite étudier le mouvement. La forme de l’objet

nous importe donc peu puisque nous sommes dans le cadre de la mécanique du point. Ainsi, on

choisira de suivre un point caractéristique du système : souvent son centre de gravité. Celui-ci pourra

être repéré dans l’espace par la donnée de trois coordonnées.

Point matériel

Le point matériel est le point qui représente l’objet auquel on affecte toute la masse de l’objet

considéré. Ce point, appelé souvent M et affecté de la masse m, est le point géométrique que l’on

repère dans l’espace pour connaître son mouvement.

II.2) Référentiel repère et base de projection

Nous devons donc définir précisément l’observateur du mouvement : c’est la notion de référentiel.

Définition

Choisir un référentiel c’est donc choisir le bon observateur pour le mouvement que l’on souhaite

décrire. Ce référentiel est constitué d’un repère (une origine et trois axes) qui permette de repérer le

point M dans l’espace et d’une horloge qui permet de mesurer de temps. Rappelons que dans le cadre

de la mécanique classique, le temps se mesure de la même manière dans tout référentiel, pour tout

observateur. Un référentiel sera généralement noté (R).

Repérage dans le temps

Nous admettrons que des horloges permettent de mesurer des durées ou des intervalles de temps.

Unité de temps : la seconde ; étalon : 1 seconde = 9 192 631 770 périodes de la radiation

correspondant à la transition entre deux niveaux hyperfins du Césium 133.

Instant origine + horloge = repère temporel, chronologie.

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On peut repérer un événement par l’instant t auquel il se produit.

En mécanique classique, on admet que le temps est un paramètre indépendant du référentiel

choisi : Le temps est le même dans tous les référentiels.

Repère spatial

Pour décrire un mouvement, on utilise un repère. Il s'agit d'un outil mathématique, constitué d'un point

de référence, appelé origine, et de 3 vecteurs (la base), qui définissent 3 directions dans l'espace.

Contrairement à l'observateur, qui est immobile par rapport au référentiel, le repère, lui, peut tourner

sur lui-même ou se déplacer (on change alors d'observateur à chaque instant, dans les deux cas,

puisque l'observateur est lui immobile par rapport au référentiel). En effet, le repère est un concept

mathématique qui n'a aucune réalité physique.

Souvent le repère a pour origine un point de l'observateur, et est immobile par rapport à cet

observateur.

base de projection

Lorsque nous avons évoqué le repère d’observation précédemment, nous luis avons

naturellement associées une base cartésienne ( , , ). Pour rappel un point M en coordonnées

cartésiennes est définies par ses coordonnées (x, y, z). Nous pouvons ainsi écrire = + +

Les coordonnées cartésiennes ne sont pas le seul système de coordonnées utilisables. Il existe

d’autres système de coordonnées tel que les coordonnées cylindriques, sphériques ou encore la base de

Frenet. Dans ce cours nous travaillerons avec les coordonnées cartésiennes et la base de Frenet.

On définit une base orthonormée directe qui sert au repérage :

Ortho car les trois vecteurs de la base sont orthogonaux ;

Normée car la norme des trois vecteurs de la base est égale à 1 ;

Directe signifie qu’elle respecte la règle du tire-bouchon : si on fait tourner le premier vecteur

vers le deuxième, le tire-bouchon avance vers le troisième vecteur.

Les trois vecteurs définissent les trois directions dans lesquelles le point M pourrait se mouvoir.

Pour que le repérage dans l’espace du point M soit optimal, on ajoute une origine O à la base :

l’ensemble d’une base et d’une origine constituent un repère.

II.3) Choix d’un bon référentiel

Le mouvement dépendant du référentiel, il faut choisir le référentiel adéquat par rapport au

mouvement que l’on souhaite étudier. Souvent, on choisit parmi trois référentiels classiques dit

galiléens :

Le référentiel héliocentrique est un référentiel dont le centre du repère est situé au centre du

soleil, et les trois axes du repère sont dirigés vers trois étoiles lointains considérés comme

fixe ; il est utile pour étudier les mouvements des planètes du système solaire.

Le référentiel géocentrique est un référentiel centré au centre de la Terre, ses trois axes sont

dirigés vers les trois mêmes étoiles que celles du référentiel de héliocentrique ; il est utilise

pour étudier les mouvements de satellites terrestres par exemple ;

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Les référentiels terrestres sont des référentiels liés à des objets fixes à la surface de la Terre :

On lui associe souvent un repère cartésien. Pour tous les mouvements qui se déroulent à la

surface de la Terre, ce référentiel est approprié. C’est dans ce référentiel que nous

développerons la plupart de nos applications.

II.4) Différentes bases pour différents problèmes

Il est important de noter que plusieurs bases existent. Certaines sont fixes, d’autres mobiles. Ces bases

sont appelées bases de projection, dans le sens où le traitement d’un problème de mécanique impose

de projeter des grandeurs vectorielles (force, vecteur position…).

On peut se demander quel intérêt nous aurions à utiliser un système de coordonnées autre que les

coordonnées cartésiennes et qui de plus ne possède pas un système d’axes fixes. La raison est que la

nature est profondément symétrique (principe de Curie). Ainsi lorsque les causes du mouvement, en

l’occurrence les forces possèdent une certaine symétrie(cylindrique ou sphérique par exemple),le

mouvement ne peut que posséder la même symétrie. Ainsi il est plus judicieux d’utiliser un système de

coordonnées adapté aux symétries du système. La description du mouvement dans ces systèmes de

coordonnées est nettement simplifiée et l’écriture moins lourde.

Il faut souligner ici la différence entre référentiel et base : on décrit le mouvement d’un corps

par rapport à un référentiel, mais pour se faire, on peut choisir d’utiliser différentes bases.

Ainsi, la vitesse d’un corps par rapport au référentiel choisi peut s’exprimer différemment dans

plusieurs bases, les expressions étant toutes aussi valables les unes que les autres.

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Chapitre III) Système de coordonnées cartésiennes

et base de Frenet

III.1) Système de coordonnées cartésiennes

Le point M sera repéré dans cette base cartésienne par trois coordonnées, une position de M dans cette

base sera notée M(x,y,z).

Un repère spatial est constitué d’un point origine et d’une base vectorielle normée (presque toujours

orthonormée directe) : ),,,( zyx eeeO ; où zyx eee et,, sont trois vecteurs non-coplanaires, tous de

norme 1, perpendiculaires 2 à 2 et tels que : yxz eee (règle des 3 doigts de la main droite).

On appelle M le point repérant la position du point matériel étudié à l’instant t.

On définit le vecteur position par : OMr

Unité de longueur : le mètre ; 1 mètre = trajet parcouru par la lumière en 1 / 299 792 458 de seconde.

En coordonnées cartésiennes un point M est défini par ses trois coordonnées : M(x,y,z)

On appelle repère cartésien un repère orthonormé direct fixe au cours du temps.

P est le projeté de M sur le plan (Oxy) et H est le projeté de M sur l’axe (Oz).

Repérage d’un point : zyx ezeyexOMr

Déplacement infinitésimal : zyx edzedyedxOMdrd

Volume élémentaire : dzdydxdV

H

P

r ez

ey ex

z

M

O

x

y

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Qu’est-ce que le déplacement infinitésimal ? C’est très simple : à l’instant t, le système est en M(t),

repéré par x(t), y(t), z(t). Juste après, à l’instant t+dt (où dt est un intervalle de temps infiniment petit),

le système se trouve en M(t+dt), repéré par x(t+dt)=x(t)+dx, y(t+dt)=y(t)+dy, z(t+dt)=z(t)+dz. Le

système a donc bougé, entre t et t+ dt, d’une quantité appelée déplacement infinitésimal et noté :

zyx edzedyedxdttMtMOMdrd )()( , puisque le point courant s’est déplacé de

dx dans la direction xe , de dy dans la direction ye et de dz dans la directionze .

Le volume élémentaire dVest le volume infinitésimal dont les 3 dimensions sont déterminées par les

variations infinitésimales des coordonnées : dx en bleu, dy en vert, dz en rouge sur le dessin suivant.

Grandeurs cinématiques en coordonnées cartésiennes : Vecteurs position, vitesse et accélération

Une fois, référentiel et base choisis, on peut exprimer les différents vecteurs qui nous permettent de

décrire le mouvement du point M.

Vecteur position : )(tOM

Le vecteur position noté )(tOM est le vecteur qui permet de repérer le point M dans l’espace. Celui-

ci, comme tout vecteur possède quatre caractéristiques :

Un point d’application : ici le point O, point fixe du référentiel qui sera souvent l’origine du

repère choisi ;

Un sens : celui de la droite OM ;

Une direction : dirigée de O vers M ;

Une norme : elle sera noté OM ou encore, . nous verrons son expression mathématique

en fonction du système de coordonnées.

ez

ey ex

dz

O

dx

dy

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La position d’un mobile M dans un repère ),,,( zyx eeeO est donnée par son vecteur position

OM :

M

M

M

M

M

M

z

y

x

OM

zz

yy

xx

OM

0

0

0

soit zyx ezeyexOM

L’ensemble des points qu’occupe successivement le mobile M au cours du temps est appelé

trajectoire.

Lorsqu’un mobile se déplace sur sa trajectoire, sa position change au cours du temps. A

chaque position OM est donc associée une date t.

La position étant donc fonction du temps, on la notera :

Notez bien que les composantes de M sont maintenant des fonctions du temps : x(t), y(t) et z(t). La

connaissance de ces trois grandeurs sera fondamentale : ce sont les équations horaires du mouvement.

Vecteur vitesse instantanée en coordonnées cartésienne

On suppose que le point matériel est en M à l’instant (t) et en M’ à (t + dt) :

= et = = + d

Le vecteur vitesse s’écrit : =

=

=

y

x

M (xM, yM, zM)

O

OM

Trajectoire

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Deux conséquences de cette relation :

le vecteur vitesse est tangent à la trajectoire ;

la norme du vecteur vitesse est égale au coefficient directeur de la tangente à la courbe

OM=f(t) au point considéré.

Exprimons ce vecteur vitesse dans la base de projection cartésienne, base de projection cartésienne

considéré fixe dans le référentiel choisi ; ainsi la dérivée du vecteur position

zyx etzetyetxtOM )()()()( revient à dériver uniquement les composantes :

En effet la dérivation du produit d’un vecteur par un scalaire donne :

=

+ λ

Lorsque le vecteur est fixe (cad ne varie pas au cours du temps) alors

= 0 et

=

Ainsi, les vecteurs composant la base cartésienne , , étant fixes, on obtient :

Vx =

, Vy =

et Vz =

En résumé : = Vx + Vy + Vz =(

) + (

) + (

)

La valeur de la vitesse à une date donnée est égale à la norme du vecteur :

222

zyx vvvvv

Remarques : 1) D’après cette définition, on constate que pour passer du vecteur vitesse au vecteur

position, il faudra procéder à un calcul de primitives sans oublier la constante.

2) L’étude des mouvements des corps matériels nous amènerons à utiliser d’autres bases de projection

que la base cartésienne, ces bases n’étant pas nécessairement fixes au cours du temps ; lors de dérivées

par rapport au temps il faudra donc, d’après la formule ci-dessus, dériver également les vecteurs

constituant ces bases (base de Frenet, base polaire…).

Vecteur accélération en coordonnées cartésiennes

En raisonnant de la même façon on a : =

=

De façon identique, ce vecteur accélération s’exprime dans dans la base de projection

cartésienne par :

zzyyxxzyxzyx evevevezeyexedt

zde

dt

yde

dt

xd

dt

vd

dt

OMda

2

2

2

2

2

2

2

2

On a donc : 2

2

dt

xd

dt

vda x

x , et de même pour ay et az.

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En résumé les trois grandeurs cinématiques position, vitesse et accélération s’expriment

en coordonnées cartésiennes de la manière suivante :

zzyyxxzyxzyx

zyxzyx

zyx

evevevezeyexedt

zde

dt

yde

dt

xd

dt

vd

dt

OMda

ezeyexedt

dze

dt

dye

dt

dx

dt

OMdv

ezeyexOM

2

2

2

2

2

2

2

2

Application : Exemple de mouvement simple : le mouvement rectiligne uniforme

Un mouvement est dit rectiligne lorsque le point matériel se déplace selon une droite.

Les coordonnées naturelles de ce problème sont cartésiennes, et on a grand intérêt à choisir un des

axes selon la droite parcourue par le mouvement.

xe

Rappelons que le vecteur unitaire xe est un vecteur constant, donc

=

xxxxxx

xxxx

x

eaexevedt

xd

dt

OMda

evexedt

dx

dt

OMdv

exOM

2

2

2

2

Mouvement rectiligne uniforme ‘uniforme’ signifie que la norme de la vitesse est constante :

cstevv Or xeva

On a alors : pour un mouvement rectiligne uniforme .

Remarque importante : Dans les applications qui seront à traiter il sera préférable de travailler avec

les composantes algébriques de ces trois vecteurs. Dans l’exemple traité ci-dessus on préférera écrire:

ax=0 (mouvement rectiligne uniforme) ; ainsi par intégration : 0dt

dva x

x donc

1Cvx

(constante) ; si à t=0 alors 10)0( Cvtvx ,

M

O

x

16

et donc : =

Une seconde intégration est nécessaire pour passer de la vitesse à la position de M, soit x(t) :

0vdt

dxv x qui conduit après intégration et calcul de C2 à x(t)= v0t +x0 (si à t=0 x=x0)

III.2) Base de Frenet

Dans le cas d’un mouvement curviligne, il est parfois utile d’utiliser l’abscisse

curviligne pour repérer la position du point matériel M.

Notion d’abscisse curviligne

Soit un point M se déplaçant de M1 à M2 sur une courbe ( C ) comme indiqué sur la figure ci-

après. A l’instant t= t+dt , le point M qui est en M2 aura parcouru la longueur correspondant à

l’arc de cercle de centre C et de rayon Rc, soit l’arc

On appelle abscisse curviligne s(t) du point M cette longueur, soit s(t) =

Rc

α

(c) O

M2=M(t+dt)

M1=M(t)

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Base et repère de Frenet

Si l’on se limite à des trajectoires planes, on peut associer au point M deux vecteurs

unitaires et définis comme suit :

- : vecteur unitaire constamment tangent à la trajectoire ; or nous connaissons déjà

un vecteur unitaire constamment tangent à la trajectoire : il s’agit du vecteur

vitesse . Alors, une façon mathématique de définir est la suivante :

=

avec =1

- : vecteur unitaire constamment perpendiculaire à tel que =

avec =1

Ces deux vecteurs ( , constituent la base de Frenet.

Si maintenant on associe ces deux vecteurs au point M mobile, on défini ainsi le repère

de Frenet (M, , .

Il convient de constater que si le repère cartésien défini précédemment était fixe , il

n’en est rien du repère de Frenet défini comme un repère local et donc mobile dans le

référentiel d’étude.

Coordonnées du vecteur vitesse dans le repère de Frenet.

Le vecteur vitesse est défini par =

;

Dans le repère de Frenet, le vecteur d =

t+dt)- (t) tend à s’orienter dans la

direction de la tangente à la trajectoire (suivant donc ) si l’intervalle de temps dt tend vers 0.

Dans le même temps, quand dt tend vers 0 ce vecteur d se confond avec l’arc de cercle

infinitésimal ds tel que :

ds dirigé suivant .

On peut ainsi écrire que d = ds pour dt 0

Ainsi le vecteur vitesse =

=

) et son module V=

)

On écrira donc : = V avec V=

)

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Coordonnées du vecteur accélération dans le repère de Frenet.

Le vecteur accélération est défini par =

=

(V ) = (

) + V(

Il nous faut trouver l’expression de

qui n’est pas un vecteur nul étant donné que les

vecteurs unitaires composant la base de Frenet sont mobiles. On peut écrire :

= (

)(

) or ds = Rc.dα (longueur d’un arc de cercle infinitésimal)

Or, le module de la vitesse V=

= Rc (

) = d’où

=

On peut également démontrer que

= , ainsi on peut écrire :

= (

)(

) = (

)

On écrira donc pour le vecteur accélération : =

= (

) + (

)

V : module du vecteur vitesse

Rc : Rayon de courbure de la trajectoire

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Chapitre IV : Dynamique du point matériel : les lois de Newton

IV.1) Notion de Force

Lorsque l’on aborde un problème de mécanique, il convient d’effectuer le bilan des forces

qui s’exerce sur le système matériel dont on a choisi d’étudier le mouvement. Le plus souvent,

on réalisera un schéma représentant les forces s’exerçant sur le système.

Définition

Une force est un objet mathématique, un vecteur, qui permet de modéliser une action

mécanique. Cette action provoque le mouvement du système, modifie ce mouvement ou créé

une déformation du système. Comme tout vecteur, on rappelle ses quatre caractéristiques :

Un point d’application ;

Une direction ;

Un sens ;

Une norme.

Différents types d’action

Ces deux types d’action sont à opposer : s’il y a contact physique entre le système mécanique

et un solide ou un fluide qui provoque l’action, on parle d’action de contact ; sinon, il s’agit

d’une action à distance.

Les actions de contact

La tension d’un fil ou celle d’un ressort sont des actions de ce type. La réaction d’un support

aussi.

La force de frottement solide ou s’exerçant dans un fluide est également une force qui

modélise une action de contact.

Les actions à distance

Comme leur nom l’indique, ces actions mécaniques ont lieues sans contact physique entre le

système matériel et le corps qui provoque l’action. Les exemples les plus classiques, sont la

force électrique, la force magnétique ou la force d’interaction gravitationnelle crée par des

champs.

Ainsi toutes les quatre interactions fondamentales sont des actions à distance, puisque

l’interaction faible et forte sont aussi des actions à distance.

20

IV.2) Exemples de forces usuelles

1°) Forces de pesanteur

La force gravitationnelle universelle s'écrit, d'une façon générale, 122

12

21 ur

mmGf g

où G = 6,67 10-11

N.m2kg

-2

Ce fut la première force mise en évidence, Elle est responsable

Dans le cas où la longueur caractéristique du mouvement est très faible par rapport au rayon

de la terre, on peut considérer cette force comme étant constante (en norme et en direction) :

c'est ce que l'on appelle le poids : z

T

T eR

MGgoùgmP

2

Poids : force gravitationnelle au voisinage de la surface terrestre.

2°) Forces de frottement dans un fluide : la Poussée d’Archimède

Tout corps plongé dans un liquide … ressort mouillé ! Non ce n’est pas cela la loi

d’Archimède d’autant que cette affirmation n’est pas toujours vraie : le canard ressort sec de

l’eau, et la plaquette de silicium trempée dans de l’acide fluorhydrique ressort sans trace

d’acide !

La Poussée d'Archimède: tout corps plongé dans un fluide est soumis à une force verticale

aF , dirigée vers le haut, égale au poids du liquide déplacé ; on a :

= (ρ.V.g)

Un solide S de volume V totalement immergé dans un fluide homogène de masse volumique

est soumis à des actions mécaniques de la part de ce fluide.

- Point d’application : centre d’inertie du fluide déplacé= ( centre d’inertie de la partie

immergé)

- Direction : verticale

- Sens : vers le haut

- Valeur : égale au poids de fluide déplacé Fa ρ V g avec en 3kg.m , V en m

3 et g

en 1N.kg.

21

Remarque : La poussée d’Archimède dans l’air sera négligée car la masse volumique de l’air

est très faible ( 3

air kg.m1,3ρ ).

3°) Tension d’un fil

Pour un fil souple tendu, il existe une force en tout point, qui assure la cohésion du fil, appelée

tension du fil.

Fil idéal : un fil idéal est de masse nulle. En conséquence, la norme de la tension est constante

(uniforme) le long du fil.

La tension assure la liaison entre le point fixe O et le point mobile M. Elle est toujours dirigée

de M vers O.

4°) Force de rappel élastique (pas au programme)

Pour de petites déformations d’un matériau élastique, on a : tlktllkF )( 0

où t est un vecteur unitaire dans le sens du ressort vers le système sur lequel il agit, k est la

constante de raideur du ressort, l est la longueur du ressort et l0 sa longueur à vide (la tension

du ressort est supposée uniforme dans le ressort) et l l’allongement du ressort.

Rq : 2 ressorts mis bout à bout sont équivalents à un ressort unique, pour lequel :

2121

2021010

02022101120221/210112/1

111

)()()()()(

kkkk

F

k

Fllllll

k

F

llkllkllkFtllkFtllkF

eqeq

eq

Pour 2 ressorts l’un à côté de l’autre, on montre que : 21 kkkeq

22

5°) Forces de contact

Réaction de la surface : NT RRR (décomposée en composante tangentielle et normale).

Lois empiriques pour la composante tangentielle de frottement solideTR (lois de Coulomb) :

(i) il y a équilibre si NST RkR . (kS : coefficient statique de frottement solide)

(ii) s’il y a glissement, NDT RkR . (kD : coefficient dynamique de frottement solide)

Remarques

1) Pour la composante normale NR : elle est aussi grande que nécessaire, mais est

impérativement dirigée du support vers le système.

2) La composante tangentielle TR qui est la force de frottement qui s’oppose au

mouvement est souvent notée f

: c’est le frottement lié au glissement.

Application : Les forces de frottement solide-solide : équilibre et mouvement

A) Equilibre

Plaçons un solide S sur un plan légèrement incliné. Si le contact est suffisamment rugueux le

solide S reste au repos par rapport au référentiel terrestre. Il ne glisse pas sur le plan incliné.

23

D'après le principe de l'inertie (Pour un observateur terrestre, tout corps persévère dans son

état de repos, ou de mouvement rectiligne uniforme, si les forces qui s'exercent sur lui se

compensent) le poids vertical, dirigé vers le bas, est encore compensé par une force ,

verticale, dirigée vers le haut et telle que :

(3)

Cette force de contact exercée par le plan incliné sur le solide S peut être décomposée

suivant deux composantes :

, l'action normale du plan incliné sur le solide, perpendiculaire à ce plan incliné,

qui empêche le solide de pénétrer dans le support.

, l'action tangentielle du plan inclinée sur le solide, sur la tangente parallèle à la

ligne de plus grande pente du plan incliné, qui s'oppose au glissement du solide. Cette

force modélise les forces de frottement qui sont importantes lorsque les surfaces

sont rugueuses.

On peut écrire = + (4)

24

- Portons la relation (4) dans la relation (3) qui traduit, ici, l'équilibre du solide

S par rapport au référentiel terrestre. On obtient :

- + + = (4)

Remarques :

1) D'après le principe de l'inertie, la relation + + = (4), qui équivaut à la

relation (3), est encore satisfaite si le solide glisse à vitesse constante sur

le plan incliné.

2) Absence de force de frottement : En l'absence de frottement l'action du plan incliné

sur le solide se réduit à la composante normale . C'est, par exemple, le cas

lorqu'on place le solide sur une table à coussin d'air.

B) Mouvement

Lorsque le solide (S) se mettra en mouvement la somme des forces ne sera plus nulle et il

conviendra d’appliquer la seconde loi de Newton pour décrire ce mouvement ; on écrira ainsi

+ + = m .

25

IV.3) Les lois de Newton

Galilée, Descartes, connaissaient plus ou moins ces lois. Mais, c'est à Newton que revient

l'honneur de les avoir rassemblées et formulées. Elles sont la base de la mécanique.

Isaac Newton (1642 - 1727), de nationalité britannique, fut un brillant mathématicien,

physicien et technicien (Annexe 5).

La découverte du concept de la quantité de mouvement donne une

véritable "impulsion" à cette science.

Newton disait: La quantité de mouvement est la mesure que l'on tire à la fois de

sa vitesse et de sa quantité de matière.

En 1687, Newton publie ses trois lois dans son ouvrage: "Principia Philosophiae

naturalis principia mathematica (Principes mathématiques de philosophie naturelle) ".

Aujourd’hui encore ces lois régissent l’ensemble de la mécanique classique.

Souvent, les problèmes simples de mécanique se résolvent à l'aide de la deuxième loi de

Newton dénommée également principe ou relation fondamentale de la dynamique.

Avant de présenter la seconde loi analysons les deux autres lois de Newton.

1ère

loi de newton : principe d'inertie

Définition

"Tout corps persévère dans son immobilité ou son mouvement rectiligne uniforme (en

ligne droite à vitesse constante) si les forces qui s'exercent sur lui se compensent".

Cette première loi, contenue dans la deuxième loi de newton, permet de savoir si le

mouvement de l'objet est simple, par l'étude des forces. Il n'y a pas de traitement

mathématique à faire. Elle permet une première approche du mouvement de l'objet.

L'immobilité et le mouvement rectiligne uniforme se distingue en fonction de l'existence

d'une vitesse initiale.

Un corps sur lequel s'exercent des forces qui se compensent est appelé corps pseudo-

isolé. Un corps isolé n'existe pas : il faudrait qu'il n'y ait aucune force à s'exercer sur lui.

Un référentiel galiléen est un référentiel dans lequel ce principe d’inertie est vérifié.

3ème

loi de newton : principe des actions réciproques

Définition

Soit deux corps A et B qui exercent mutuellement une force sur l'autre corps.

Alors on a : A/B= - B/A

26

Les forces sont donc de même direction, de même norme et de sens différents

Attention, ces deux forces ne s'exercent pas sur le même système matériel ! dans un bilan de

force sur un système dont on étudie le mouvement, elles ne peuvent pas apparaître toutes les

deux

Exemple : La force gravitationnelle

La force exercée par la Terre sur la Lune a

même direction et même intensité que la force

exercée par la Lune sur la Terre…par contre

ces deux forces sont de sens opposés.

En module : 2//

LT

TLTLLT

d

MMGFF

2ème

loi de newton : principe ou relation fondamentale de la dynamique

Notion de quantité de mouvement

Quantité de mouvement d’un point matériel M, de masse m, dans le référentiel (R) :

RR MvmMp )()( .

On verra dans la suite que la quantité de mouvement est la grandeur que la somme des forces

fait varier lorsqu’un système se translate ( dtpdF / ).

La masse s'exprime en kilogramme (kg), la vitesse en mètre par seconde (m.s-1

) la quantité de

mouvement s'exprime kg.m.s-1

.

Expression de la loi : Principe fondamental de la dynamique (2ème

loi de Newton)

Pour un point matériel M dans un référentiel galiléen Rg :

=

( : vecteur quantité de mouvement)

Ceci est un principe, un axiome (qui met en relation la description cinématique du mouvement

et les causes qui lui donnent naissance), cela ne se démontre pas !!

Les forces à considérer sont toutes les forces d'origine matérielle, et seulement elles (les

forces d'inertie n'interviennent que dans un référentiel non-galiléen : cf cours sur les

changements de référentiels- non au programme).

27

Faisons deux remarques importantes :

seules les forces extérieures au système matériel sont prises en compte dans cette loi,

d'où l'intérêt de bien définir l'étendue du système dés le début du problème ;

Dans la plupart de nos problèmes de mécanique, la masse du système considéré est

constante si bien que la seconde loi peut être écrite ainsi :

Domaine de validité de la mécanique classique

Domaine microscopique : mécanique quantique.

Domaine des vitesses élevées (v→c) : relativité

METODOLOGIE AFIN DE RESOUDRE UN PROBLEME DE DYNAMIQUE DU

POINT MATERIEL A L’AIDE DE LA 2ème

LOI DE NEWTON

Comment traiter un problème à l’aide du PFD. Exemples

La méthodologie est toujours la même :

1. Choisir un référentiel galiléen (le référentiel terrestre sera considéré comme un

référentiel galiléen approché…et ce sera principalement le référentiel choisi)

2. Préciser le système étudié.

3. Choisir un système de coordonnées adaptés au problème (coordonnées

cartésiennes, base de Frenet…)

4. Connaître l’expression de l’accélération dans ce système.

5. Faire le bilan des forces sans en oublier et sans en inventer

6. Ecrire le Principe fondamental de la Dynamique (2ème

loi de Newton)

7. Projeter ces forces (ou les exprimer) dans le système de coordonnées choisi :

On obtient alors les équations différentielles de l’accélération

La physique s’arrête là. Après, ce sont des mathématiques : il faudra résoudre ces équations

(souvent par de simples intégrations) pour obtenir les grandeurs cinématiques.

Si le problème physique est mal posé, les mathématiques ne vous sauveront pas.

28

ANNEXES

ANNEXE 1 : Rappels sur les vecteurs

Definition: : support du vecteur : droite

Un vecteur est défini par :

- une direction droite

- une origine point A

- son sens de A vers B

- sa norme (ou intensité) AB =d(A,B)

Coordonnées

Soit un vecteur de composantes x, y, z dans un repère (O,X,Y,Z) muni d’une BOND

(Base Orthonormée Directe) , , .

On peut écrire le vecteur sous la forme :

= x + y + z

Et son module, qui est un scalaire s’écrit : OM= =

A

B

O

Y

X

Z

M

x

y

z

29

Calcul à partir des coordonnées de deux points

Soient A et B deux points tels que :

A

A

A

Z

Y

X

A et

B

B

B

Z

Y

X

B , alors

Relation fondamentale

Relation de Chasles : ACBCAB

( BAAB )

Projection d’un vecteur dans un plan

Les coordonnées des vecteurs et s’écrivent :

Opérations sur les vecteurs

Produit scalaire

Le produit scalaire de deux vecteurs est un nombre algébrique (un « scalaire »), noté .

= . cos (

Expression algébrique :

Si

et

Les deux vecteurs doivent être exprimés dans la même base, alors :

= .

O X

Y

2

1

30

Propriétés :

Commutativité : . =

Distributivité avec l'addition :

Si . = 0 alors trois cas de figure peuvent se présenter :

Dérivation : 1)

=

. + .

2)

=

+ λ

Nota : on peut rapprocher cette notation de la dérivation d’un produit : ’ ’. + . ’

Interprétation géométrique : projection sur un axe

Soit le vecteur directeur (unitaire) d’une droite (D).

La projection Vu d’un vecteur sur cette droite (D) vaut alors : .

Les valeurs des composantes d’un vecteur sont donc le

produit scalaire du vecteur par les vecteurs unitaires de

la base :

(D)

Vu =

31

ANNEXE 2: Rappels sur les notion de dérivées et primitives

Dérivées

La notion de dérivée d’une fonction peut-être vue de différentes manières. La première façon

est analytique : la dérivée d’une fonction f en un point x=a correspond à la limite du taux

d’accroissement

La seconde façon, qui est équivalente à la première, correspond à la version « géométrique » :

est le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentant au point

L’interprétation de cet outil dépasse largement le cadre purement mathématique. La notion de

dérivée est très utilisée pour décrire des quantités physiques naturelles comme la vitesse,

l’accélération … Nous verrons de nombreux exemples dans ce cours.

En pratique, pour calculer la dérivée d’une fonction donnée, on utilise d’une part les résultats

connus sur les dérivées « usuelles », d’autre part les propriétés de la dérivée (somme, produit,

composé de fonctions dérivées).

En physique, la notation différentielle est particulièrement adaptée au calcul des dérivés.

32

Comment peut-on noter, par exemple, la dérivée de la fonction ?

Peut-on pour autant tolérer l’écriture ? Théoriquement non !

Le professeur de mathématiques préfèrera donner un nom à la fonction que l’on dérive. En

notant f la fonction , il écrira généralement :

Le professeur de physique privilégie la notation différentielle

Cette notation

enlève toute ambiguïté. Elle exprime en effet clairement que l’on dérive ici la fonction

par rapport à la variable t.

Prenons l’exemple de l’étude d’un condensateur de capacité C. Notons la tension aux

bornes. De la formule , on déduit

.

Primitives

Nous appellerons (E) le domaine associé à une fonction f continue sur [a;b] le domaine délimité par:

Unité d'aire

Le plan P muni d'un repère orthogonal (O; ) a pour unité d'aire u.a l'aire du rectangle bâti a partir de

(O; ). Intégrale d'une fonction continue et positive

Soit f continue et positive sur [a;b]. L'intégrale de a à b de f est l'aire du domaine associé à f

sur [a;b], exprimée en u.a. On la note:

Deux propriétés fondamentales :

1) Soit f est une fonction continue sur un intervalle I de R. On dit qu’une

fonction F définie sur I est une primitive de f si : F est dérivable sur I et F′(x)=f(x)

pour tout x de I.

2) Soit f une fonction continue sur un intervalle I de R. Si F est une primitive de f sur I,

alors pour tout réel C, la fonction F+C est aussi une primitive de f sur I.

Les droites d'équation x=a et x=b

Cf (la courbe représentative de f) L'axe des abscisses

(E)

33

Dérivées et Primitives usuelles

Comme pour les dérivées, vous devez connaître le tableau des primitives usuelles. Ayez

toujours en tête que c'est le sens inverse de la dérivation.

Complément : dérivation d’une fonction composée

u est une fonction définie sur I prenant ses valeurs dans J. v est une fonction définie sur J (ou

sur un ensemble contenant J).

On peut dans ce cas définir la fonction f = v u par: pour tout x ∈ I, f (x) = v[u (x)].

La fonction dérivée f ' est alors définie sur I par f ' (x) = u' (x)× v' [u (x)]

34

Exemples : fonction f(x)= sin(ax+b) dérivée : f’(x) = a cos(ax+b)

g(x) = g’(x) = 2 h’(x) = 12

Vous remarquerez bien que dans toutes les primitives, on retrouve la constante d'intégration C.

La primitive de la fonction f(x) = 5 sera donc F(x) = 5x + C.

35

Annexe 3 : Système de coordonnées cartésiennes

Le point M sera repéré dans cette base cartésienne par trois coordonnées, une position de M dans cette

base sera notée M(x,y,z).

Un repère spatial est constitué d’un point origine et d’une base vectorielle normée (presque toujours

orthonormée directe) : ),,,( zyx eeeO ; où zyx eee et,, sont trois vecteurs non-coplanaires, tous de

norme 1, perpendiculaires 2 à 2 et tels que : yxz eee (règle des 3 doigts de la main droite).

On appelle M le point repérant la position du point matériel étudié à l’instant t.

On définit le vecteur position par : OMr

Unité de longueur : le mètre ; 1 mètre = trajet parcouru par la lumière en 1 / 299 792 458 de seconde.

En coordonnées cartésiennes un point M est défini par ses trois coordonnées : M(x,y,z)

On appelle repère cartésien un repère orthonormé direct fixe au cours du temps.

P est le projeté de M sur le plan (Oxy) et H est le projeté de M sur l’axe (Oz).

Grandeurs cinématiques en coordonnées cartésiennes : Vecteurs position, vitesse et accélération

Une fois, référentiel et base choisis, on peut exprimer les différents vecteurs qui nous permettent de

décrire le mouvement du point M.

Vecteur position : )(tOM

Le vecteur position noté )(tOM est le vecteur qui permet de repérer le point M dans l’espace. Celui-

ci, comme tout vecteur possède quatre caractéristiques :

Un point d’application : ici le point O, point fixe du référentiel qui sera souvent l’origine du

repère choisi ;

Un sens : celui de la droite OM ;

H

P

r ez

ey ex

z

M

O

x

y

36

Une direction : dirigée de O vers M ;

Une norme : elle sera noté OM ou encore, . nous verrons son expression mathématique

en fonction du système de coordonnées.

La position d’un mobile M dans un repère ),,,( zyx eeeO est donnée par son vecteur position

OM :

M

M

M

M

M

M

z

y

x

OM

zz

yy

xx

OM

0

0

0

soit zyx ezeyexOM

L’ensemble des points qu’occupe successivement le mobile M au cours du temps est appelé

trajectoire.

Lorsqu’un mobile se déplace sur sa trajectoire, sa position change au cours du temps. A

chaque position OM est donc associée une date t.

La position étant donc fonction du temps, on la notera :

Notez bien que les composantes de M sont maintenant des fonctions du temps : x(t), y(t) et z(t). La

connaissance de ces trois grandeurs sera fondamentale : ce sont les équations horaires du mouvement.

Vecteur vitesse instantanée en coordonnées cartésienne

On suppose que le point matériel est en M à l’instant (t) et en M’ à (t + dt) :

= et = = + d

y

x

M (xM, yM, zM)

O

OM

Trajectoire

37

Le vecteur vitesse s’écrit : =

=

=

Deux conséquences de cette relation :

le vecteur vitesse est tangent à la trajectoire ;

la norme du vecteur vitesse est égale au coefficient directeur de la tangente à la courbe

OM=f(t) au point considéré.

Exprimons ce vecteur vitesse dans la base de projection cartésienne, base de projection cartésienne

considéré fixe dans le référentiel choisi ; ainsi la dérivée du vecteur position

zyx etzetyetxtOM )()()()( revient à dériver uniquement les composantes :

En effet la dérivation du produit d’un vecteur par un scalaire donne :

=

+ λ

Lorsque le vecteur est fixe (cad ne varie pas au cours du temps) alors

= 0 et

=

Ainsi, les vecteurs composant la base cartésienne , , étant fixes, on obtient :

Vx =

, Vy =

et Vz =

En résumé : = Vx + Vy + Vz =(

) + (

) + (

)

La valeur de la vitesse à une date donnée est égale à la norme du vecteur :

222

zyx vvvvv

Remarques : 1) D’après cette définition, on constate que pour passer du vecteur vitesse au vecteur

position, il faudra procéder à un calcul de primitives sans oublier la constante.

2) L’étude des mouvements des corps matériels nous amènerons à utiliser d’autres bases de projection

que la base cartésienne, ces bases n’étant pas nécessairement fixes au cours du temps ; lors de dérivées

par rapport au temps il faudra donc, d’après la formule ci-dessus, dériver également les vecteurs

constituant ces bases (base de Frenet, base polaire…).

Vecteur accélération en coordonnées cartésiennes

En raisonnant de la même façon on a : =

=

De façon identique, ce vecteur accélération s’exprime dans dans la base de projection

cartésienne par :

zzyyxxzyxzyx evevevezeyexedt

zde

dt

yde

dt

xd

dt

vd

dt

OMda

2

2

2

2

2

2

2

2

38

On a donc : 2

2

dt

xd

dt

vda x

x , et de même pour ay et az.

En résumé les trois grandeurs cinématiques position, vitesse et accélération s’expriment

en coordonnées cartésiennes de la manière suivante :

zzyyxxzyxzyx

zyxzyx

zyx

evevevezeyexedt

zde

dt

yde

dt

xd

dt

vd

dt

OMda

ezeyexedt

dze

dt

dye

dt

dx

dt

OMdv

ezeyexOM

2

2

2

2

2

2

2

2

39

Annexe 4 : Base de Frenet

Notion d’abscisse curviligne

Soit un point M se déplaçant de M1 à M2 sur une courbe ( C ) comme indiqué sur la figure ci-

après. A l’instant t= t+dt , le point M qui est en M2 aura parcouru la longueur correspondant à

l’arc de cercle de centre C et de rayon Rc, soit l’arc

On appelle abscisse curviligne s(t) du point M cette longueur, soit s(t) =

Base et repère de Frenet

Si l’on se limite à des trajectoires planes, on peut associer au point M deux vecteurs

unitaires et définis comme suit :

- : vecteur unitaire constamment tangent à la trajectoire ; or nous connaissons déjà

un vecteur unitaire constamment tangent à la trajectoire : il s’agit du vecteur

vitesse . Alors, une façon mathématique de définir est la suivante :

=

avec =1

- : vecteur unitaire constamment perpendiculaire à tel que =

avec =1

Ces deux vecteurs ( , constituent la base de Frenet.

Rc

α

(c) O

M2=M(t+dt)

M1=M(t)

40

Si maintenant on associe ces deux vecteurs au point M mobile, on défini ainsi le repère

de Frenet (M, , .

Il convient de constater que si le repère cartésien défini précédemment était fixe , il

n’en est rien du repère de Frenet défini comme un repère local et donc mobile dans le

référentiel d’étude.

Coordonnées du vecteur vitesse dans le repère de Frenet.

Le vecteur vitesse est défini par =

;

Dans le repère de Frenet, le vecteur d =

t+dt)- (t) tend à s’orienter dans la

direction de la tangente à la trajectoire (suivant donc ) si l’intervalle de temps dt tend vers 0.

Dans le même temps, quand dt tend vers 0 ce vecteur d se confond avec l’arc de cercle

infinitésimal ds dirigé suivant .

On peut ainsi écrire que d = ds pour dt 0

Ainsi le vecteur vitesse =

=

) et son module V=

)

On écrira donc : = V avec V=

)

Coordonnées du vecteur accélération dans le repère de Frenet.

Le vecteur accélération est défini par =

=

(V ) = (

) + V(

Il nous faut trouver l’expression de

qui n’est pas un vecteur nul étant donné que les

vecteurs unitaires composant la base de Frenet sont mobiles. On peut écrire :

= (

)(

) or ds = Rc.dα (longueur d’un arc de cercle infinitésimal)

Or, le module de la vitesse V=

= Rc (

) = d’où

=

On peut également démontrer que

= , ainsi on peut écrire :

= (

)(

) = (

)

On écrira donc pour le vecteur accélération : =

= (

) + (

)

V : module du vecteur vitesse et Rc : Rayon de courbure de la trajectoire.

41

Annexe 5 : ISSAC NEWTON

Mathématicien, astronome, physicien, philosophe, théologien et alchimiste anglais. Ses

inventions en mathématiques et en physique eurent un retentissement immédiat qui lui

procura la gloire et déclencha de vives polémiques, mais laissèrent dans l’ombre les autres

aspects de son oeuvre. Newton connu son annus mirabilis en 1666 ; l’épidémie de peste

l’ayant retranché à la campagne, il donna leurs premières formes aux idées qu’il n’allait pas

cesser de reprendre « en y pensant continuellement» : en mathématiques, la « methodus

fluxionum » équivalent newtonien du calcul différentiel de Leibniz ; en optique, la

compréhension eu caractère composite et corpusculaire de la lumière ; en mécanique, l’idée

de lois générales du mouvement qui réunissent celles de Képler en astronomie et celles de la

mécanique terrestre de Galilée.

Son oeuvre majeure ne parut qu’en 168 : les Philosophiae naturalis principia mathematica

réalisent l’unification des mondes céleste et terrestre inaugurée par Galilée dans une

perspective délibérément opposée à celle Isaac Newton Woolsthrope (G.B.) 1642 -Kensington

1727 des Principia philosophia de Descartes. De fait les cartésiens voyaient en l’idée d’une

action à distance, un retour aux qualités occultes. Pour Newton, la force d’attraction

permettait seulement des prévisions vérifiables : « Je n’ai assigné nulle part la cause de cette

gravitation[. . . ] et je n’imagine point d’hypothèse. » Cette affirmation n’exclut pas de

concevoir l’espace comme « sensorium Dei » car « Dieu est présent partout substantiellement

[. . . ] tout est mû et contenu dans lui » ; ello n’exclut pas non plus l’étude des prophéties

bibliques pour apprendre la langue de Dieu, ni la pratique de l’alchimie en laquelle Newton

trouvait le moyen de contester une philosophie mécaniste réduite à une physique des chocs.

« la pensée aime les transformations » (Opticks, 1704).

42

TRAVAUX DIRIGES PHYSIQUE

MECANIQUE DU POINT MATERIEL

1er semestre - Année 2018-2019

TD N°1 : OUTILS MATHEMATIQUES POUR LA MECANIQUE DU POINT

ANALYSES DIMENSIONNELLES - DERIVEES - INTEGRALES – CALCUL VECTORIEL

Analyses dimensionnelles

1) On exprime la vitesse d’un corps par l’´equation v = A - Bt où t représente le temps.

Quelles sont les unités SI de A et B ?

2) Donnez les unités SI des coefficients A, B et C dans l’équation suivante:

V(t) = A - Bt + où V est une vitesse et t un temps.

3) Trois étudiants établissent les équations suivantes dans lesquelles x désigne la distance

parcourue (en m), a l’accélération (en m. ), t le temps (s) et l’indice 0 indique que l’on

considère la quantité à l’instant t = 0 s.

(a) x = v.

(b) x = +

at

(c) x = +

a

Parmi ces équations, laquelle est possible ?

4) Une force est homogène au produit d’une masse par une accélération (F = ma) et une accélération s’exprime en m.s

−2 . Exprimez alors dans le système international d’unité

le Newton N.

5) On exprime la force d’interaction gravitationnelle entre deux corps de masses m1 et

m2, distants de d par la relation : F= G.

.

Déduisez-en l’unité SI de la constante de gravitation universelle G .

6) En vous souvenant de l’expression du poids, trouvez l’unité SI de l’intensité de la pesanteur g.

7) En vous rappelant l’expression de l’énergie cinétique, exprimez l’unité joule J en unité SI. Exprimez de la même manière le watt W en unités SI.

Comment peut-on alors relier une énergie à une force et une longueur ?

43

Dérivées

Calculer les dérivées des fonctions suivantes :

Intégrales

Calculer les Intégrales indéfinies suivantes :

Calcul vectoriel

1) Dans un système d’axes orthonormés, on donne les points suivants :

M(2,4,-5) et N (-3,0,4). Ecrire les composantes du vecteur et calculer son module.

2) Soient les trois points de coordonnées A(-1,-3,1), B(2,1,3), C(1,4,-5).

Déterminer les coordonnées du point D tel que

3) , étant les vecteurs unitaires des axes du repère cartésien (O, x,y,z), on considère les vecteurs :

+3 - et -2 ∓

Déterminer le vecteur unitaire de même sens que le vecteur = +2 .

4) Calculer les produits scalaires du vecteur

par les vecteurs ,

Que pouvez-vous dire des vecteurs et Comparer .

5) En vous aidant du produit scalaire donner les expressions de la projection d’un vecteur quelconque

faisant un angle avec l’axe Ox, dans un repère cartésien (O , , ).

44

TD n°2 : Application des lois de Newton dans le repère cartésien

Exercice 1 : Poids d’un corps

En se rappelant que le poids d’un corps ayant une masse m est l’expression de la force

gravitationnelle d’attraction entre la terre et cette masse ponctuelle, calculer le module de

l’accélération de la pesanteur, à la surface de la terre, connaissant :

-la constante G de la loi de gravitation universelle : G= 6,67 10-11

Nm2kg

-2 ;

-le rayon de la terre Rterre=6400 km

-la masse de la terre Mterre=6,024 1024

kg

Exercice 2 : Chute libre sans frottements.

On lâche un corps M de masse m, sans vitesse initiale, d’une hauteur h. Ce corps est

assimilable à un point matériel. Le mouvement de M est étudié dans le repère de la figure

suivante (figure 1) :

Figure 1

Ce corps est soumis uniquement à l’action de son poids.

1) En utilisant le principe fondamental de la dynamique déterminer les équations donnant

en fonction du temps la vitesse et la position du point matériel M pendant sa chute.

2) Préciser la vitesse du mobile au moment de son impact sur le sol VS et le temps tS mis

pour atteindre celui-ci.

3) Cette chute libre dépend-elle de la masse m du corps ? conclusion.

SOL

Z

hh

O

45

Exercice 3 : Chute libre avec frottements.

Une bille en acier de masse m, assimilée à un point M, est lâchée d’une hauteur z0,

verticalement et sans vitesse initiale. Elle est soumise en plus de l’action de son poids, à une

force de type = - K (K est une constante positive telle que K<m).

1) Faire un schéma du mouvement en indiquant les forces qui s’appliquent sur M. On

prendra un axe Oz dirigé vers le haut.

2) Quelle est l’unité de la constante K dans le Système International.

3) En utilisant le principe fondamental de la dynamique déterminer les équations donnant

en fonction du temps la vitesse Vz(t) et la position z(t) du point matériel M.

4) Donner l’expression du temps, tf, en fonction de g, K, m et z0, lorsque la bille atteint

l’altitude z=0.

5) Donner l’expression de la vitesse Vf en t = tf.

Exercice 4 :

l’horizontale.

Un projectile est lancé depuis une hauteur h=25m avec une vitesse initiale V0=15 m.s-1

faisant

un angle α =45° avec l’horizontale (cf figure 2). On étudie le mouvement du projectile

représenté par le point M de masse m dans le repère R (O,x,y). On considère que le module de

l’accélération de la pesanteur g vaut 10 m.s-2

.

Figure 2

y

O

h=25m

α

x

46

1) Exprimer les coordonnées initiales x0 et y0 du projectile.

2) Exprimer les composantes du vecteur vitesse initiale .

3) En appliquant le Principe Fondamental de la Dynamique, établir les équations horaires

donnant la vitesse et la position de M au cours du mouvement.

4) En déduire l’équation de la trajectoire.

5) Calculer le module du vecteur vitesse à l’instant ta=0,5s .

6) A quel instant t=ts le point M va-t-il entamer sa chute ?

7) Quelle est alors la hauteur maximale atteinte par le projectile ?

8) A quel instant t=tf le projectile repasse à la même altitude qu’à l’instant initial ?

9) Quel est alors sa vitesse .

10)

Exercice 5 : Mouvement d’un mobile sur un plan incliné avec

frottements.

Un mobile M de masse m est assujetti à glisser avec frottements sur un plan incliné

faisant un angle α avec l’horizontale selon la figure 3. Il est lancé vers le haut à t0=0 avec une

vitesse initiale depuis le point O d’abscisse x=0. Il est ainsi soumis à une force de

frottement f opposée au déplacement et de coefficient de frottement k (k est une constante

positive) telle que NRf k .

Après que sa vitesse se soit annulée en A à cause des frottements et de la pesanteur, il

redescend.

Figure 3

α

X Y

M

A

O

47

A) Etude de la montée

1) Après avoir effectué le bilan des forces exercées sur le mobile M, écrire la relation

fondamentale de la dynamique permettant d’obtenir les équations différentielles du

mouvement (cad les composantes de l’accélération suivant et .

2) En déduire les expressions des vecteurs vitesse et position OM du mobile M.

3) A quel instant ta le mobile s’arrête t’il en A ?

4) En déduire la distance xa parcourue par le mobile M lors de la montée.

B) Etude de la descente (t>ta)

5) Quelle est la condition sur l’angle α pour que le mobile M redescende ?

6) Donner alors les expressions des vecteurs accélération , vitesse , et position OM

du mobile M lors de sa descente.

Exercice 6 : Ascenseur

La cabine d’un ascenseur de masse M=1500 kg transporte 7 personnes de masse m= 500kg du

rez-de-chaussée au 10 ème

étage d’un immeuble. Le système étudié sera

Pendant la montée de la cabine suivant un axe vertical (Oz) , le câble tracteur exerce sur cette

dernière une force verticale constante de module F=60 000 N.

A t=0, l’ascenseur se trouve au rez-de-chaussée (altitude nulle) et est immobile.

Toutes les forces de frottements seront négligées. (on prendra g= 10m.s-2

).

1) Effectuez un bilan des forces exercées sur le système étudié.

2) Faire un schéma du système étudié en prenant soin d’y indiquer les forces.

3) En utilisant le principe fondamental de la dynamique déterminer l’équation de

l’accélération az.

4) En déduire les équations donnant en fonction du temps la vitesse Vz(t) et la position

Z(t) de la cabine au cours de son ascension verticale.

5) Donner l’expression du temps ts, que met l’ascenseur pour se rendre du rez-de-

chaussée au 10 ème

étage celui-ci étant à une hauteur h=30m. Calculez ts.

48

Exercice 7 : saut depuis un tremplin

Un motard de masse m = 280 kg avec sa moto s’élance sans vitesse initiale depuis

l’origine O du repère à la date t = 0 sur une portion rectiligne et horizontale. On repère

la position du système {motard+moto} à l’aide de son centre de gravité G. Arrivé au

point A à la date t = 6,0 s la vitesse du système est

vA = 30 ms-1. Puis il s’engage sur un tremplin faisant un angle = 30° avec

l’horizontale.

Le référentiel d’étude sera supposé galiléen. On prendra g = 10 Nkg-1

.

Phase d’élan

1) Qu’est ce qu’un référentiel galiléen ?

2) Donner les caractéristiques du poids du système {motard+moto} et préciser

l’auteur de cette force.

3) Sur le trajet OA, le système est-il pseudo isolé ? Justifier clairement.

4) Déterminer l’accélération moyenne du système sur ce trajet. 5) Sachant que sur le tremplin le système maintient sa vitesse constante à

30 m.s-1

, est-il pseudo-isolé ?

6) Citer les forces qui s’exercent sur le système entre A et B.

Phase de saut

On considère à présent le point C comme la nouvelle origine du repère d’étude. Le

motard quitte le tremplin en B à la date tB = 0, nouvelle origine du temps. Il est alors

considéré en chute libre jusqu’à ce qu’il retouche le sol.

7) Donner les coordonnées du vecteur vitesse du système au point B, lorsqu’il

quitte le tremplin.

8) Déterminer les coordonnées du vecteur accélération que subit le système lors

du saut.

9) En déduire les équations horaires de la vitesse et de la position.

10) Choisir la courbe qui représente le mieux l’allure de la fonction vy(t) :

Courbe 1

t

Courbe 2

t

Courbe 3

t

Courbe 4

t

O A

B

y

x h

C

49

11) Même question pour la fonction x(t) .

12) Déterminer l’expression littérale de l’altitude maximale atteinte par le système pendant le saut.

Exercice 8 : Etude du mouvement d’un DRONE

Les drones de loisirs à quatre hélices sont des véhicules aériens de faible

dimension. Ils sont vendus au grand public comme un jeu pour l’intérieur

ou l’extérieur.

Partie 1 : phase verticale de décollage

Dans cette partie, on étudie le mouvement du drone dans le référentiel

terrestre supposé galiléen. Le drone étudié, de masse m=110 g, est assimilé à un point

matériel M. On donne g= 9,8 N/kg.

Un film du décollage vertical a été réalisé afin de déterminer la force de poussée exercée sur

le drone. Le schéma ci-dessous représente la position du drone à l’instant initial. Le point O

est l’origine du repère.

Le schéma ci-dessous est tracé sans souci d’échelle.

Courbe 1

t

Courbe 2

t

Courbe 3

t

Courbe 4

t

à t=0 le drone se

trouve au point O

50

L’exploitation du film a permis d’obtenir l’évolution dans le temps des grandeurs z(t) et az(t),

respectivement coordonnées suivant l’axe vertical du vecteur position et du vecteur

accélération du drone, et les deux courbes ci-dessous modélisant l’évolution de ces grandeurs.

1) A partir de ces courbes, établir l’expression vz(t) du vecteur vitesse du drone.

2) Lors de sa phase de décollage, le drone s’élève verticalement grâce à une force de

poussée . A partir de la seconde loi de Newton, donner l’expression de la force de

poussée en fonction de m, az et g puis la calculer.

3) On souhaite fixer une webcam de masse mw sur ce drone. Quelle serait, en théorie, la

masse maximale de cette webcam au-delà de laquelle le décollage ne serait plus

possible ?

51

Partie 2 : Etude dynamique du vol du drone

Le drone, dépourvu de webcam, est à présent animé d’un mouvement rectiligne uniforme à

l’altitude constante h = 7,0 m et à la vitesse v0 = 4,0 m.s-1

. On choisit dans cette partie une

nouvelle origine des temps (cf.schéma ci-dessous)

À l’instant t = 0 s, la communication entre le drone et son émetteur, un téléphone portable, est

rompue, alors que le drone vole en direction d’une piscine. Les moteurs s’arrêtent. La valeur

de la force de poussée devient nulle. On considère que le drone est en chute libre alors qu’il

est à la verticale d’un point situé à une distance d = 20 m de la piscine de largeur L = 5 m.

1) En appliquant la seconde loi de Newton, établir les équations horaires du mouvement

du drone.

2) En déduire l’équation de la trajectoire.

3) Déterminer le temps ts dont dispose l’opérateur pour rétablir la communication avant

que le drone ne touche le sol.

4) Le drone tombe-t-il dans la piscine si la communication n’est pas rétablie ?

O

x

z

d = 20 m

L = 5 m

piscine

h

M(t=0)

52

TD n°3 : Application des lois de Newton dans la base de Fenet

Exercice 1 Deux visions du système solaire

L’objectif de cet exercice est d’étudier les planètes du système solaire à travers les points de vue de

deux astronomes : Johann Bode (1747-1826) et Johannes Kepler (1571-1630)

Le système solaire est constitué de huit planètes (Mercure, Vénus, Terre, Mars, Jupiter,

Saturne, Uranus, Neptune), d’une ceinture d’astéroïdes (située entre Mars et Jupiter)

située à 2,77 UA et de plusieurs astres mal définis (comme Pluton, Sedna…). Tous ces

corps sont en mouvement autour d’une étoile, le Soleil.

Données :

Masse du Soleil : MS = 2,00 1030

kg

Masse de la Terre : MT = 5,98 1024

kg

Distance moyenne Terre- Soleil : R= 150 109 m = 150 Gm

Constante de gravitation universelle : G = 6,67 10-11

unité SI

1 UA = distance moyenne entre le Soleil et la Terre.

La valeur de la force d’interaction gravitationnelle F entre deux corps A et B

ponctuels de masses respectives mA et mB, distants de d = AB a pour expression : F =

G mA mB

d²

Périmètre P d’un cercle (ou d’un disque) = 2π R

Mercure Vénus Terre Mars Jupiter Saturne

Distance au soleil (en

Gm) 57,9 108,2 150 227,9 778,3 1427

Type de planète Tellurique Tellurique Tellurique Tellurique Gazeuse Gazeuse

Questions préliminaires

1) Quel est le référentiel adapté pour l’étude du mouvement de ces planètes ?

2) Énoncer les première et deuxième lois de Kepler.

La vision de Bode

Au 18ème

siècle, de nombreux astronomes ont cherché à mettre en équation la

mécanique céleste. Parmi eux on trouve un allemand, Johann Daniel Titius (1729-

1796) qui pensait que les planètes du système solaire étaient placées à des distances

du soleil qui suivent une suite arithmético-géométrique (de la forme r = a + b 2n

avec n entier naturel). Comme Mercure lui pose un problème, il commence son étude

à partir de Vénus, planète à laquelle il attribue n = 1. Il indique que a= 59,8 Gm et

b=22,4 Gm.

Mais cette loi est surtout connue grâce à Johann Bode qui l’utilisa et permis la

découverte de certains astres du système solaire.

53

3) A quelle distance du soleil (en Gm) se situe la ceinture d’astéroïdes ?

4) Calculer la valeur attendue de la distance prévue par la méthode de Titius-Bode

pour Vénus, Terre et Mars. Comparer ces résultats avec les valeurs du tableau de

l’énoncé. Cette loi peut-elle être validée ?

5) En utilisant le graphe ci-dessous, déterminer les rangs des planètes gazeuses du

système solaire.

6) Quelle incohérence peut-on relever à partir des deux questions précédentes ?

7) A quelle distance devait se situer l’astre manquant ? Comparez cette distance avec

la distance au Soleil de la ceinture d’astéroïdes. Que peut-on en conclure?

La vision de Kepler

Bien avant Titius et Bode, un savant allemand avait exprimé le mouvement des

planètes du système solaire. Il s’agit de Johannes Kepler dont les lois empiriques ont

permis à Newton d’élaborer sa théorie de la gravitation universelle.

8) Préciser les quatre caractéristiques de la force de gravitationnelle

F S/T exercée

par le Soleil sur la Terre.

Représenter la force

F S/T sur le shéma ci-dessous.

9) Pour un mouvement uniforme de la planète, montrer que l’accélération n’a qu’une

seule composante.

10) A partir de la deuxième loi de Newton, montrer que pour un mouvement circulaire

uniforme de la planète, l’accélération peut se mettre sous la forme suivante :

aG =GMS

R²

n .

En déduire que la vitesse de déplacement de la planète se met sous la forme :

v = GMS

R.

11) Rappeler la définition de la période de révolution T. En déduire l’expression de T

en fonction de v et de R.

54

12) Montrer que la relation précédente permet de vérifier la troisième loi de Kepler qui

s’écrit T

2

R3 = constante

13) Vérifier que la période de révolution de la Terre est bien de 365 jours environ.

Exercice 2 : Station spatiale internationale ISS

La station spatiale internationale ISS (International Space Station) est à ce jour le plus

grand des objets artificiels placé en orbite terrestre à une altitude moyenne h = 415 km.

Elle est occupée en permanence par un équipage international qui se consacre à la

recherche scientifique dans l’environnement spatial. Plusieurs vaisseaux cargos ATV ont

permis de ravitailler la station ISS.

Les parties 3 et 4 de cet exercice sont indépendantes de ce qui précèdent.

Soleil

Terre

t

n

55

Étude du mouvement de la station spatiale ISS

La station spatiale internationale, supposée ponctuelle et notée S, évolue sur une

orbite qu’on admettra circulaire, dont le plan est incliné de 51,6° par rapport au plan

de l’équateur. Son altitude est égale à h = 415 km.

Données :

Rayon de la Terre : RT = 6,38 106 m

Masse de la station : m = 435 tonnes

Masse de la Terre, supposée ponctuelle : MT = 5,98 ×1024

kg

Constante de gravitation universelle : G = 6,67×10-11

m3.kg

–1.s–2

Altitude de la station spatiale ISS : h = 415 km

Expression de la valeur de la force d’interaction gravitationnelle F entre deux corps A et

B ponctuels de masses respectives mA et mB, distants de r = AB : F = G mA mB

r²

Repère de Frenet : (S,

ut ,

un )

Vecteur accélération dans la base de Frenet :

a = v²

r

un + dv

dt

ut

1) Accélération de la station spatiale

1.1) Compléter le schéma ci-dessous en indiquant :

Le centre de la Terre T et la station spatiale S, supposée ponctuelle

La force d’interaction gravitationnelle

F exercée par la Terre T sur la station spatiale S.

1.2) Donner l’expression vectorielle

F de cette force en fonction du vecteur unitaire

un .

1.3) Préciser le référentiel à choisir (supposé galiléen) et le système à étudier.

1.4) En considérant la seule action de la Terre, établir, à partir de la 2ème

loi de Newton,

l’expression vectorielle de l’accélération

a de la station en fonction de G, MT et r et

du vecteur unitaire

un .

2) Vitesse de la station spatiale

2.1) Démontrer que le mouvement de la station spatiale est circulaire uniforme.

2.2) Démontrer que la valeur de la vitesse de la station spatiale a pour expression :

v = G MT

(RT + h)

2.3) Calculer la valeur de la vitesse v de la station spatiale.

56

3) Période de la station spatiale

Donnée : Période de révolution de la station spatiale internationale : T = 5 570 s

3.1) Définir la période de révolution T de la station et donner son

expression en fonction de v et de r = RT + h

3.2) Combien de révolutions autour de la Terre un astronaute présent à bord

de la station spatiale internationale fait-il en 24h ?

3.3) La 3ème

loi de Kepler permet d’établir que la période de révolution T

a pour expression : T = 2 (RT +h)

3

G MT

.

Retrouver la valeur de la masse de la Terre MT à partir de cette expression.

Ravitaillement de la station ISS

Le 23 mars 2012, un lanceur Ariane 5 a décollé du port spatial de l’Europe à Kourou

(Guyane), emportant à son bord le véhicule de transfert automatique (ATV) qui permet de

ravitailler la station spatiale internationale (ISS).

Au moment du décollage, la masse de la fusée est égale à 7,8×102 tonnes, dont environ 3,5

tonnes de cargaison : ergols, oxygène, air, eau potable, équipements scientifiques, vivres et

vêtements pour l’équipage à bord de l’ATV.

On se propose dans cette partie d’étudier le décollage de la fusée.

Pour ce faire, on se place dans le référentiel terrestre supposé galiléen.

À la date t = 0 s, le système est immobile.

À la date t = 1 s, la fusée a éjecté une masse de gaz notée mg, à la vitesse

vg . La masse de la

fusée est alors notée mf et sa vitesse

vf .

Données (utiles ou inutiles) :

Intensité de la pesanteur à Kourou : g = 9,78 N.kg-1

Débit d’éjection des gaz au décollage : D = 2,9 × 103 kg.s

-1

Vitesse d’éjection des gaz au décollage : vg = 4,0 km.s–1

4) Modèle simplifié du décollage

Dans ce modèle simplifié, on suppose que le système {fusée + gaz} est isolé.

4.1) En comparant la quantité de mouvement du système considéré aux dates t = 0 s et t = 1 s,

démontrer que :

vf = - mg

mf

vg .

57

4.2) Quelle est la conséquence de l’éjection de ces gaz sur le mouvement de la fusée ?

4.3) Montrer numériquement que la variation relative m

mf (en %) de la masse de la fusée est

très faible au bout d’une seconde après le décollage.

4.4) La variation de la masse de la fusée étant négligeable au bout d’une seconde après le

décollage, calculer la valeur de la vitesse vf, en km.h-1

,de la fusée à cet instant.

4.5) En réalité la vitesse est très inférieure à celle calculée à la question précédente. Comment

l’expliquer ?

ut

un