université d'oran 1 ahmed ben bella - republique ...en hommage à la mØmoire du regrettØ pr. a....

REPUBLIQUE ALGERIENNE DEMOCRATIQUE ET POPULAIRE

Ministère de l’Enseignement Supérieur et de la recherche Scientifique

UNIVERSITE D’ORAN 1, AHMED BEN BELLA

Faculté des Sciences Exactes et Appliquées

Département de mathématiques

THESE DE DOCTORAT

Spécialité : EDP-Analyse Numérique

Intitulée

Méthode combinée des perturbations HPM et VIM pour la

résolution des équations différentielles ordinaires et EDP d’ordre

fractionnaire

Présentée par

Djelloul ZIANE

Soutenue le 17/05/2016, devant le Jury composé de :

Président NACHI Khadra Prof.Univ-Oran1 Ahmed Ben BellaDirecteur BELGHABA Kacem Prof.Univ-Oran1 Ahmed Ben BellaExaminateur TERBECHE Mekki Prof.Univ-Oran1 Ahmed Ben BellaExaminateur BENAISSA Abbes Prof.Univ-Djillali Liabes Sidi Bel AbbesExaminateur HAKEM Ali Prof.Univ-Djillali Liabes Sidi Bel AbbesExaminateur OUAHAB Abdelghani Prof.Univ-Djillali Liabes Sidi Bel AbbesMembre invité BOUDAOUD Fatima Prof.Univ-Oran1 Ahmed Ben Bella

2

RemerciementsC’est un réel plaisir pour moi d’écrire ces lignes par lesquelles je tiens à remercier les nom-

breuses personnes qui ont contribué, de diverses manières, à ce travail.

Mes premiers remerciements vont tout naturellement vers mes deux directeurs de thèse le

Professeur Abdelkader Bouhassoun qui est décédé le 22 Janvier 2014 sur le campus de l’Uni-

versité d’Oran1 Ahmed Ben Bella, et qui m’a initié à faire mes premiers pas dans la recherche

mathématique, ainsi qu’au Professeur Kacem Belghaba. Je leur suis extrêmement reconnais-

sant d’avoir accepté de m’encadrer. Tout au long de ces années, ils ont su me prodiguer

de bons conseils et m’indiquer les directions à suivre tout en me laissant une très grande

autonomie.

Nous tenons à remercier professeure NACHI Khadra, à l’université d’Oran1 Ahmed Ben Bella

d’avoir accepter de présider ce jury.

Mes remerciements s’adressent très particulièrement à tous les membres du Jury, pour l’hon-

neur qu’ils me font en acceptant d’être dans le Jury de ma thèse, en l’occurrence :

Monsieur TERBECHE Mekki, professeur à l’université d’Oran1 Ahmed Ben Bella.

Monsieur OUAHAB Abdelghani, professeur à l’université de Sidi Bel Abbes.

Monsieur HAKEM Ali, professeur à l’université de Sidi Bel Abbes.

Monsieur BENAISSA Abbes, professeur à l’université de Sidi Bel Abbes.

Je remercie notre invitée Madame BOUDAOUD Fatima Maitre de conférence à l’université

d’Oran1 Ahmed Ben Bella pour avoir accepter de faire partie de mon jury.

Je tiens ainsi particulièrement à remercier Monsieur Hamdi Cherif Mountassir pour les discus-

sions mathématiques et informatique, et les bons moments passés ensemble. Je dois remercier

les amis proches de leur soutien constant durant les années d’études : Merci à Meddik Moussa.

Mes remerciements les plus profonds vont naturellement à tous les membres de ma famille,

qui m’ont soutenu constamment durant toutes ces longues années d’études : Maman, ma

femme, Imane et Abdelmalik.

3

Dédicace

Ce travail est dédié :

À la mémoire de mon père.

À la mémoire de notre cher professeur Bouhassoun A.

Table des matières

0.1 INTRODUCTION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1 Notions basiques de calcul fractionnaire 7

1.1 Fonctions utiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.1 La fonction Gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.2 La fonction Bêta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.1.3 La fonction Mittag-Leffl er . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2 Dérivée fractionnaire au sens de Riemann-Liouville . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2.1 Intégrale fractionnaire au sens de Riemann-Liouville 9

1.2.2 Dérivée fractionnaire au sens de Riemann-Liouville . . . . . . . . . . . 10

1.3 Dérivée fractionnaire au sens de Caputo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3.2 Dérivée fractionnaire au sens de Caputo . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.4 Transformée de Laplace des dérivées fractionnaires . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.4.1 Outils de base de la transformée de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.4.2 Transformée de Laplace de la dérivée fractionnaire de Riemann-Liouville 17

1.4.3 Transformée de Laplace de la dérivée fractionnaire de Caputo . . . . . 18

2 Existence et unicité 19

2.1 Équations différentielles fractionnaire au sens de Riemann-Liouville . . . . . . 19

2.1.1 Théorème du point fixe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

TABLE DES MATIÈRES 5

2.1.2 Equivalence entre le problème de type Cauchy et l’équation intégrale

de Volterra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.1.3 Existence et unicité de la solution du problème de type Cauchy . . . . 23

3 Methodes VIM et HPM et leurs convergences 27

3.1 La méthode VIM et sa convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.1.2 La méthode VIM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.1.3 Préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.1.4 Analyse de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.2 La méthode HPM et sa convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.2.2 La méthode HPM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.2.3 Analyse de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.2.4 Existence et unicité des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.2.5 Preuve de la convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.2.6 Estimation d’erreur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4 Applications numériques pour les deux méthodes VIM et HPM 40

4.1 Applications de la méthode VIM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.1.1 Equation différentielle ordinaire linéaire d’ordre fractionnaire . . . . . . 40

4.1.2 Equation différentielle ordinaire non-linéaire d’ordre fractionnaire . . . 42

4.1.3 Equation aux dérivées partielles linéaire d’ordre fractionnaire temporelle 45

4.1.4 Equation aux dérivées partielles non-linéaire d’ordre fractionnaire tem-

porelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.2 Applications de la méthode HPM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.2.1 Equation différentielle ordinaire linéaire d’ordre fractionnaire . . . . . . 50

4.2.2 Equation différentielle ordinnaire non-linéaire d’ordre fractionnaire . . . 52

4.2.3 Equation aux dérivées partielles linéaire d’ordre fractionnaire temporelle 55

4.2.4 L’équation k(2,2) non-linéaire d’ordre fractionnaire . . . . . . . . . . . 58

TABLE DES MATIÈRES 6

5 Méthodes de combinaison 66

5.1 Combinaison des méthodes VIM et HPM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

5.1.1 Méthode de perturbation homotopique variationnelle (VHPM) . . . . . 66

5.1.2 VHPM pour résoudre des EDOs et EDPs d’ordre fractionnaire . . . . . 73

5.1.3 VHPM pour résoudre l’équation de Foam-Drainage d’ordre fractionnaire 81

5.2 Combinaison de la HPM avec la transformée de Laplace . . . . . . . . . . . . . 87

5.2.1 Méthode de transformée et de perturbation homotopique fractionnaire

(FHPTM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

5.2.2 FHPTM pour résoudre les équations KdV, K(2,2) et l’équation de Bur-

ger fractionnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

5.2.3 FHPTM pour résoudre l’équation de gaz-dynamique fractionnaire . . . 94

5.3 Combinaison de la VIM avec la transformée de Laplace . . . . . . . . . . . . . 99

5.3.1 Méthode de transformée et d’itération variationnelle fractionnaire (FVITM) 99

5.3.2 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

0.1 INTRODUCTION 7

0.1 INTRODUCTION

Historiquement, il est établi que la question de la dérivation numérique d’ordre fractionnaire

des fonctions et de son opération inverse l’intégrale a été discutée dans diverses correspon-

dances entre Gottfried Leibniz (1646-1716), Guillaume de L’Hôspital (1661-1704). Cependant

la question restera confinée à ce fait et aucun développement majeur ne fut réalisé par ces

premiers précurseurs dans ce domaine des mathématiques.

Ce n’est que plus tard, lors de l’étude de certains phénomènes en mécanique des fluides, qu’il

a été remarqué la présence d’une intégrale d’ordre un demi dans les équations de la chaleur

quand on veut par exemple expliciter un flux de chaleur latérale d’un écoulement fluide en

fonction de l’évolution temporelle de la source interne. Dès lors les développements fusèrent

dans différents domaines d’études, en particulier en hydrodynamique, thermodynamique, en

théorie de la diffusion , en électrochimie pour ne citer que ces exemples.

Les mathématiciens Joseph Liouville et Bernhard Riemann apportèrent une importante

contribution au milieu du XIXe siècle. Toutes les ambiguïtés faisant suite aux diverses défi-

nitions proposées furent levées avec l’avènement de la théorie des distributions. Actuellement

doté du cadre abstrait et formel et élaboré par l’apport de beaucoup d’auteurs le calcul

fractionnaire a fini par constituer à lui seul un domaine dans les mathématiques sous l’ap-

pellation : analyse fractionnaire. Si aujourd’hui on continue à utiliser la dénomination calcul

fractionnaire, c’est beaucoup plus par nostalgie et par respect des traditions qui ont entouré

cette notion. La perception d’une dérivée d’ordre un nombre réel quelconque n’est plus un

fait renversant mais bien au contraire. Son apport a permis et permet encore d’entrevoir les

phénomènes de la nature qui nous entoure autrement, de les modéliser par des équations ou

systèmes différentiels d’ordre non entier et qui traduisent mieux le passage du réel au connu.

Dans cette optique, les systèmes différentiels d’ordre non entier, bien que plus compliqués,

s’avèrent mieux adaptés à la modélisation mécanique de certains matériaux qui conservent la

mémoire des déformations passées, comportement qualifié de viscoélastique dans le langage

des mécaniciens.

L’objectif principal de cette thèse est tout d’abord de présenter deux nouvelles méthodes ana-

lytiques HPM, VIM ainsi que leurs combinaisons pour résoudre des équations différentielles

0.1 INTRODUCTION 8

d’ordre fractionnaire. De même qu’une étude est faite sur la combinaison de chacune de ces

méthodes avec la transformation de Laplace.

Cette thèse se compose d’une introduction et cinq chapitres. Le premier chapitre est consa-

cré aux définitions et notions générales dont on aura besoin dans la suite du travail. Nous

rappelons les notions des intégrales et dérivées fractionnaires de Riemann-Liouville, Caputo

et la transformation de Laplace.

Le deuxième chapitre est consacré à étudier l’existence et l’unicité des solutions des problèmes

de type Cauchy pour des équations ordinaires d’ordre fractionnaire sur un intervalle fini de

l’axe réel dans l’espace des fonctions continues et sommables. Nous utiliserons le théorème

du point fixe pour montrer l’existence et l’unicité.

Dans le troisième chapitre on va présenter brièvement la méthode d’itération variationnelle

(VIM) et la méthode de perturbation d’homotopie (HPM), puis nous allons étudier la conver-

gence de chacune de ces méthodes pour les équations différentielles aux dérivées partielles

d’ordres fractionnaires.

Le quatrième chapitre est consacré aux appliquations de ces méthodes (VIM), (HPM) pour

résoudre des équations différentielles ordinaires et des équations différentielles aux dérivées

partielles d’ordres fractionnaires avec la dérivée fractionnaire au sens de Caputo.

Dans le cinquième chapitre on étudier la combinaison des deux méthodes VIM et HPM, et

leurs applications sur les équations différentielles ordinaires et les EDPs d’ordres fraction-

naires. En hommage à la mémoire du regretté Pr. A. Bouhassoun, on reprend un papier

de Bouhassoun et al. sur la résolution numérique de l’equation de Foam Drainage d’ordre

fractionnaire en lui appliquant la méthode de combinaison (VHPM). A la fin de ce chapitre

et de la thèse, nous présentons notre travail qui concerne la combinaison de chacune de ces

méthodes avec la transformée de Laplace.

Chapitre 1

Notions basiques de calculfractionnaire

Dans ce chapitre nous présentons des notions de base qui concernent les fonctions spéciales

qui sont utilisées dans notre travail.

1.1 Fonctions utiles

Dans cette section nous présentons des définitions et quelques propriétés pour les fonctions :

Gamma, Bêta et Mittag-Leffl er.

1.1.1 La fonction Gamma

La fonction Gamma d’Eleur est une fonction de base du calcul fractionnaire. Cette fonction

généralise le factoriel n!, et permet à n de prendre des valeurs réelles ou même complexes.

Définition 1.1.1 [31] La fonction Gamma est définie par l’intégrale

Γ (z) =

∫ ∞0

e−ttz−1dt, (1.1.1)

qui converge sur le demi-plans complexe < (z) > 0.

En intégrant par partie, on montre que :

Γ (z + 1) = zΓ (z) , < (z) > 0. (1.1.2)

1.1 Fonctions utiles 10

On a aussi :

∀n ∈ N; Γ(n+ 1) = n!. (1.1.3)

Parmi les propriétés de la fonction Gamma on a :

1

Γ (−m) = 0, (m = 0, 1, 2...).

1.1.2 La fonction Bêta

Elle fait partie des fonctions de base du calcul fractionnaire. Cette fonction joue un rôle

important quand elle est combinée avec la fonction Gamma.

Définition 1.1.2 [31] La fonction Bêta est définie par

B (z, ω) =

∫ 10

tz−1 (1− t)ω−1 dt, 0, 0. (1.1.4)

Lien entre ces deux fonctions

Les fonctions Bêta et Gamma sont liées par la relation [31] :

B (z, ω) =Γ (z) Γ (ω)

Γ (z + ω). (1.1.5)

D’après (1.1.5), on obtient :

B (z, ω) = B (ω, z) .

1.1.3 La fonction Mittag-Leffl er

La fonction Mittag-Leffl er joue un rôle très important dans la théorie des équations diffé-

rentielles d’ordre entier. Elle est aussi largement utilisée dans la recherche des solutions des

équations différentielles d’ordre fractionnaire. Cette fonction à été introduite par G.M.Mittag-

Leffl er et étudiée par A.Wiman [25].

Définition 1.1.3 [31] Pour z ∈ C tel que 0, la fonction Mittag-Leffl er est définie

comme suit :

Eα(z) =∞∑k=0

zk

Γ (αk + 1). (1.1.6)

1.2 Dérivée fractionnaire au sens de Riemann-Liouville 11

En particulier :

E1(z) = ez, E2(z) = cosh(

√z).

Cette fonction peut être généralisée pour deux paramètres pour donner :

Eα,β(z) =

∞∑k=0

zk

Γ (αk + β), α > 0 , β > 0. (1.1.7)

1.2 Dérivée fractionnaire au sens de Riemann-Liouville

Cette section est consacrée aux définitions élémentaires pour les intégrales et les dérivées frac-

tionnaires selon l’approche de Riemann-Liouville ainsi qu’à quelques propriétés sur un inter-

valle fini de l’axe réel dans l’espace des fonctions continues et sommables.

1.2.1 Intégrale fractionnaire au sens de Riemann-Liouville

Soit Ω = [a, b], (−∞ < a < b < +∞) un intervalle fini sur R, et f une fonction intégrable sur

Ω. L’intégrale fractionnaire (voir [25],[31]) de Riemann-Liouville Iαa+f d’ordre α ∈ C (

0) est définie par :

(Iαa+f)(t) =1

Γ (α)

∫ ta

(t− s)α−1f(s)ds, (t > a, 0), (1.2.1)

où Γ (.) est la fonction Gamma définie dans (1.1.1). La formule (1.2.1) est appelée intégrale

fractionnaire d’ordre α à gauche.

Quand α = n ∈ N, la définition (1.2.1) coïncide avec la n − iéme intégrale de la forme

suivante :

(Ina+f)(t) =

∫ ta

ds1

∫ s1a

ds2....

∫ sn−1a

f(sn)dsn

=1

(n− 1)!

∫ ta

(t− s)n−1f(s)d(s), (n ∈ N). (1.2.2)


1.2.2 Dérivée fractionnaire au sens de Riemann-Liouville

La dérivée fractionnaire de Riemann-LiouvilleDαa+f d’ordre α ∈ C ( 0), (voir [25],[31])est définie par :

(Dαa+f)(t) =dn

dtn(In−αa+ f)(t)

=1

Γ(n− α)dn

dtn

∫ ta

(t− s)n−α−1f(s)ds, (n = [ a), (1.2.3)

où [·] dénote la fonction partie entière d’un nombre réel.

En particulier, quand α = n ∈ N, on obtient :

(D0a+f)(t) = f(t), (Dnf)(t) = f (n)(t), (1.2.4)

où f (n)(t) désigne la dérivée usuelle d’ordre n de f(t).

Pour 0 < a). (1.2.5)

Quelques propriétés

Les dérivées fractionnaires au sens de Riemann-Liouville ont les propriétés suivantes (voir

[25],[31]) :

1. Comparativement à la différentiation d’ordre entier, la différentiation fractionnaire est

une opération linéaire.

Dα(λf(t) + µg(t)) = λ(Dαf)(t) + µ(Dαg)(t), λ, µ ∈ R

2. Si f(t) est continue pour t > a, alors l’intégrale fractionnaire d’ordre réel arbitraire définie

par (1.2.1), possède la propriété importante suivante :

(Iαa+Iβa+f)(t)= (I

α+βa+ f)(t) , (α > 0, β > 0), (1.2.6)


3. La propriété qui serait peut être la plus importante de la dérivation fractionnaire selon

l’approche de Riemann-Liouville est la suivante :

(Dαa+Iαa+f)(t) = f(t), (α > 0)

4. Si α > β > 0, et f(t) ∈ Lp (a, b) , (1 6 p 6∞), la relation

(Dβa+Iαa+f)(t) = (I

α−βa+ f)(t), (1.2.7)

est satisfaite presque partout sur l’intervalle [a, b], où Lp[a, b] = { f : [a, b]→ R; f mesurable

dans [a, b] et∫ ba|f(t)|p dt 0, m ∈ N et D = ddt. Si les deux dérivées fractionnaires (Dαa+f)(t), (D

mf)(t)

existent, on a alors :

(DmDαa+f)(t) = (Dα+ma+ f)(t). (1.2.8)

Intégrale fractionnaire de la fonction f(t) = (t− a)β

On va calculer (voir [3]) l’intégrale fractionnaire Iαa+f au sens de Riemann-Liouville de la fonc-

tion puissance f(t) = (t−a)β, où β désigne un nombre réel.

On utilise la formule (1.2.1)

Iαa+(t− a)β =1

Γ (α)

∫ ta

(t− s)α−1(s− a)βds, (1.2.9)

et on suppose que β > −1 pour la convergence de l’intégrale. En appliquant dans (1.2.9)

le changement de variable s = a + ξ(t − a), et en utilisant la définition de la fonction Bêta

(1.1.4), on obtient :

Iαa+(t− a)β =1

Γ (α)(t− a)α+β

∫ 10

(1− ξ)α−1ξβdξ, (1.2.10)

où ξ = 0 quand s = a, ξ = 1 quand s = t et ξ = s−at−a .

Aors,

Iαa+(t− a)β =1

Γ (α)B(β + 1, α)(t− a)α+β.

L’utilisation de la formule (1.1.5) donne le résultat :

Iαa+(t− a)β =Γ (β + 1)

Γ (β + α + 1)(t− a)β+α, (α > 0, β > −1). (1.2.11)


Dérivée fractionnaire de la fonction f(t) = (t− a)β

On calcule maintenant (voir [1]) la dérivée fractionnaire Dαa+f, au sens de Riemann-Liouville

de la fonction f(t) = (t− a)β, (β ∈ R).

Dans ce cas, on suppose que 0 ≤ n − 1 6 α < n, et on rappelle la définition de la dérivéefractionnaire au sens de Riemann-Liouville :

(Dαa+f)(t) =dn

dtn(In−αa+ f)(t), (n− 1 6 α < n). (1.2.12)

Avant d’appliquer la formule (1.2.12), on suppose β > n pour la convergence de l’intégrale

(1.2.1).

On a alors :

Dαa+(t− a)β =dn

dtn(In−α(t− a)β). (1.2.13)

L’utilisation de la formule (1.2.11) et (1.2.13) donne :

Dαa+(t− a)β =Γ (β + 1)

Γ (β + n− α + 1)dn

dtn(t− a)β+n−α. (1.2.14)

En tenant compte de

dn (t− a)β+n−α

dtn= (β + n− α)(β + n− α− 1)...(β − α + 1)(t− a)β−α

=Γ (β + n− α + 1)

Γ (β − α + 1) (t− a)β−α. (1.2.15)

On substitue le résultat (1.2.15), dans la formule (1.2.14) pour obtenir

Dαa+(t− a)β =Γ (β + 1)

Γ (β − α + 1)(t− a)β−α.

On conclue alors que la dérivée fractionnaire au sens de Riemann-Liouville de la fonction

f(t) = (t− a)β est :

Dαa+(t− a)β =Γ (β + 1)

Γ (β − α + 1)(t− a)β−α, (1.2.16)

avec 0 6 n−1 6 α < n, β > n.

1.3 Dérivée fractionnaire au sens de Caputo 15

Dérivée fractionnaire d’une constante

En particulier (voir [31]), si en prend la relation (1.2.16) en posant aussi β = 0 avec α > 0,on conclue que la dérivée fractionnaire d’une constante au sens de Riemann-Liouville est

différente à zéro, c’est-à-dire :

(Dαa+1)(t) =(t− a)−αΓ(1− α) , ( 0 < α < 1 ). (1.2.17)

D’autre part, pour j = 1, ..., [α] + 1, on a :

Dαa+(t− a)α−j = 0.

1.3 Dérivée fractionnaire au sens de Caputo

1.3.1 Introduction

La modélisation mathématique des problèmes de sciences physiques et de l’ingénierie utilisent

les définitions des dérivées fractionnaires autorisant l’utilisation des conditions initiales qui

sont interprétables physiquement, comme par exemple f(a), f ′(a)..., et ce malgré le fait que

des problèmes aux valeurs initiales avec de telles conditions initiales peuvent être résolus

mathématiquement. La solution de ces problèmes a été proposée par M.Caputo (dans les

années soixante) dans sa définition, qu’il a adapté avec Mainardi dans la structure de la

théorie de la viscoélasticité. Il a introduit une dérivée fractionnaire qui est plus adaptée que

celle de Riemann-Liouville [31].

1.3.2 Dérivée fractionnaire au sens de Caputo

Définition 1.3.1 [25] La dérivée fractionnaire de Caputo (cDαa+f)(t) d’ordre α ∈ C (0), sur l’intervalle [a, b] , est définie par l’intermédiaire de la dérivée fractionnaire de Riemann-

Liouville par :

(cDαa+f)(t) = Dαa+

[f(t)−

n−1∑k=0

f (k)(a)

k!(t− a)k

], (1.3.1)

où

n = [


en particulier pour 0 <


3. Lien entre l’intégrale fractionnaire de Riemann-Liouville et la dérivée fractionnaire de

Caputo.

Soit α > 0, et n donné par (1.3.2). Si f(t) ∈ ACn[a, b], alors :

(Iα ca+Dαa+f) (t) = f(t)−

n−1∑k=0

f (k)(a)

k!(t− a)k.

En particulier, si 0 < α < 1, et f(t) ∈ AC[a, b] où f(t) ∈ C[a, b], on obtient la relation

suivante :

(Iα ca+Dαa+f )(t) = f(t)− f(a).

Dérivée fractionnaire de la fonction f(t) = (t− a)β

On va calculer la dérivée fractionnaire cDαa+f, au sens de Caputo de la fonction f(t) =

(t− a)β, (β ∈ R).

On suppose que 0 6 n − 1 6 α < n, et on rappelle la définition de la dérivée fractionnaireau sens de Caputo :

(cDαa+f)(t) = (In−αa+ D

nf)(t), (n− 1 6 α < n). (1.3.8)

Avant d’appliquer la formule (1.3.8), on suppose β > n pour la convergence de l’intégrale

(1.2.1).

On alors alors :cDαa+(t− a)β = In−αa+ Dn(t− a)β. (1.3.9)

En tenant compte de

Dn(t− a)β = dn (x− a)β

dtn= β(β − 1)......(β − n+ 1)(t− a)β−n

=Γ (β + 1)

Γ (β − n+ 1)(t− a)β−n, (1.3.10)

1.4 Transformée de Laplace des dérivées fractionnaires 18

et en substituant le résultat (1.3.10), dans la formule (1.3.9) tout en s’appuyant sur la relation

(1.2.11), on obtient :

cDαa+(t− a)β =Γ (β + 1)

Γ (β − α + 1)(t− a)β−α.

Donc la dérivée fractionnaire au sens de Caputo de la fonction f(t) = (t − a)β est donnée

par :cDαa+(t− a)β =

Γ (β + 1)

Γ (β − α + 1)(t− a)β−α, (1.3.11)

avec n donné par (1.3.2), et β > n.

Dérivée fractionnaire d’une constante

L’utilisation de la formule (1.3.1) ou (1.3.4) pour calculer la dérivée fractionnaire de la

constante k, (k ∈ R) exprime que cette dérivée égale à zéro, c’est-à -dire [25] :

(cDαa+k)(t) = 0, ( α > 0 ).

1.4 Transformée de Laplace des dérivées fractionnaires

Dans cette section, nous présentons quelques outils de base et des formules fondamentales de

la transformée de Laplace pour les dérivées fractionnaires selon les approches de Riemann-

Liouville et Caputo.

1.4.1 Outils de base de la transformée de Laplace

Rappelons quelques résultats fondamentaux de la transformée de Laplace (voir [25],[31]).

La fonction F (s) de la variable complexe s définie par :

F (s) = L {f(t); s} =∫ ∞

0

e−stf(t)dt, s ∈ C, (1.4.1)

est appelée la transformée de Laplace de la fonction f(t) où t ∈ R+.

La transformée inverse de Laplace est donnée par :

f(t) = L−1 {F (s); t} =∫ c+i∞c−i∞

estF (s)ds, c = Re(s) > c0,


où c0 réside dans le demi-plan droit de la convergence absolue de l’intégrale de Laplace (1.4.1).

La transformée de Laplace de la convolution

f (t) ∗ g(t) =∫ t

0

f(t− τ)g(τ)dτ =∫ t

0

f(τ)g(t− τ)dτ , (1.4.2)

de deux fonctions f (t) et g(t) qui sont nulles pour t < 0, est égale au produit de leurs

transformées de Laplace

L { f (t) ∗ g(t); s} = F (s).G(s),

sous l’hypothèse que F (s) et G(s) existent.

La transformée de Laplace de la dérivée d’ordre entier de la fonction f(t) est donnée par :

L{f (n) (t) ; s

}= snF (s)−

n−1∑k=0

sn−k−1f (k)(0) = snF (s)−n−1∑k=0

skf (n−k−1)(0), (1.4.3)

ce qui peut être obtenu à partir de la définition (1.4.1) par une intégration par parties avec

sous l’hypothèse que les intégrales correspondantes existent.

1.4.2 Transformée de Laplace de la dérivée fractionnaire de Riemann-Liouville

On commence par la transformée de Laplace de l’intégrale fractionnaire d’ordre α ∈ C

( 0) de Riemann-Liouville définie par (1.2.3), laquelle peut être comme une convolution

des deux fonctions g(t) = tα−1 et f(t) comme suit (voir [31] ) :

(Iα0+f)(t) =1

Γ(α)

∫ t0

(t− s)α−1f(s)ds = 1Γ(α)

tα−1 ∗ f(t),

telle que la transformée de Laplace de la fonction tα−1 est donnée par :

G(s) = L{tα−1; s } = Γ(α)s−α.

On obttient la formule de la transformée de Laplace de l’intégrale fractionnaire de Riemann-

Liouville suivante :

L{ (Iα0+f)(t) ; s} = s−αF (s), (1.4.4)

où F (s) dénote la transformée de Laplace de f(t).

La formule de la transformée de Laplace de la dérivée fractionnaire au sens de Riemann-

Liouville d’ordre α > 0 est donnée par :

L {(Dα0+f)(t) ; s } = sαF (s)−n−1∑k=0

sk[(Dα−k−10+ f)(t)]t=0 (n− 1 6 α < n ).


1.4.3 Transformée de Laplace de la dérivée fractionnaire de Ca-puto

Pour établir la formule de la transformée de Laplace de la dérivée fractionnaire au sens de

Caputo ([31]), écrivons la dérivée au sens de Caputo sous la forme :

( cDα0+f)(t) = (In−α0+ g)(t), g(t) = f

(n)(t),

n− 1 < α 6 n

Utilisons la formule (1.4.4) de la transformée de Laplace de l’intégrale fractionnaire de

Riemann-Liouville on obtient :

L{ (Iα0+f)(t); s} = s−(n−α)F (s), (1.4.5)

où, selon la formule suivante :

L{f (n) (t) ; s

}= snF (s)−

n−1∑k=0

sn−k−1f (k)(0) = snF (s)−n−1∑k=0

skf (n−k−1)(0). (1.4.6)

En substituant (1.4.6) dans (1.4.5), on obtient la formule de la transformée de Laplace de la

dérivée fractionnaire au sens de Caputo suivante :

L{ (cDα0+f)(t); s} = sαF (s)−n−1∑k=0

sα−k−1f (k)(0), (n− 1 < α 6 n ).

La formule de la dérivée fractionnaire temporelle au sens de Caputo, est donnée par :

(cDα0+,tu)(x, t) =∂αu(x, t)

∂tα

=

{1

Γ(m−α)∫ t

0(t− τ)m−α−1 ∂

mu(x,τ)∂τm

dτ , 0 < m− 1 < α < m,∂mu(x,t)∂tm

, α = m.

Chapitre 2

Existence et unicité

Ce chapitre est consacré à prouver l’existence et l’unicité des solutions des problèmes de type

Cauchy pour des équations différentielles ordinaires d’ordre fractionnaire sur un intervalle

fini de l’axe réel dans l’espace des fonctions continues et sommables.

2.1 Équations différentielles fractionnaire au sens deRiemann-Liouville

Dans cette section nous donnons des conditions pour l’existence d’une solution unique du

problème de type Cauchy (voir [25])

(Dαa+y)(t) = f(t, y(t)); (0 < α < 1, t > a), (2.1.1)

(Dα−1a+ y)(a+) = b; b ∈ R (2.1.2)

dans l’espace Lα(a, b) défini pour α ∈ R (α > 0) par :

Lα(a, b) = {y ∈ L(a, b) : (Dαa+y) ∈ L(a, b)}. (2.1.3)

Ici L(a, b) désigne l’espace des fonctions sommables dans un intervalle [a, b] de l’axe réel, où

la norme d’un vecteur de f de L(a, b) est définie par :

‖f‖1 =∫ ba

|f(t)| dt (2.1.4)

Les recherches sont basées sur la transformation du problème considéré au l’équation intégrale

de Volterra de deuxième espèce et sur l’utilisation du théorème du point fixe de Banach.

2.1 Équations différentielles fractionnaire au sens de Riemann-Liouville 22

2.1.1 Théorème du point fixe

On rapelle le théorème classique du point fixe de Banach, dans un espace métrique complet.

Théorème 2.1.1 [25] Soient (U, d) un espace métrique complet non vide, 0 < ω < 1 et T :

U −→ U une application contractante ie ; telle que, pour chaque u, v ∈ U, la relation

d(Tu, Tv) 6 ωd(u, v) (2.1.5)

est satisfaite. Alors l’opérateur T a un point fixe unique u∗ ∈ U. De plus , si T k(k ∈ N) est

la suite d’opérateurs définie par :

T 1 = T et T k = TT k−1 (k ∈ N\{1}), (2.1.6)

alors pour tout u0 ∈ U, la suite {T ku0}∞k=1 converge vers le point fixe u∗.

Si T : U −→ U vérifie la condition (2.1.5), elle est appelée contraction ou application contrac-

tante (preuve voir [29]).

2.1.2 Equivalence entre le problème de type Cauchy et l’équationintégrale de Volterra

Dans cette sous-section (voir [25],[26]), nous montrons que le problème de type Cauchy (2.1.1)-

(2.1.2) et l’équation intégrale de Volterra

y(t) =b

Γ(α)(t− a)α−1 + 1

Γ(α)

∫ ta

(t− s)α−1f(s, y(s))ds, (t > a), (2.1.7)

sont

équivalents dans le sens que, si y(t) ∈ L(a, b) satisfait une de ces relations, alors elle satis-

fait aussi l’autre. On donne ici un lemme très utile pour établir l’existence et l’unicité de la

solution.

Lemme 2.1.1 [25]L’opérateur d’intégration fractionnaire Iαa+ avec α ∈ R (0 < α < 1) est

borné dans L(a, b) : ∥∥Iαa+g∥∥1 6 (b− a)αΓ(α + 1) ‖g‖1 . (2.1.8)


Preuve. Voir le livre de Kilbas [25]. �Ici, et ailleurs dans la suite de ce chapitre, nous supposons que toutes les relations sont

satisfaites presque partout dans [a, b] .

Théorème 2.1.2 [26] Soient α ∈ R (0 < α < 1), G un ensemble ouvert dans R, et f : (a, b]×

G −→ R une fonction telle que f(t, y) ∈ L(a, b) pour toute y ∈ G.

Soit y ∈ L(a, b), alors y satisfait les relations (2.1.1)-(2.1.2) si et seulement si y satisfait

l’équation intégrale (2.1.7).

Preuve. D’abord, on prouve la condition nécessaire. Soit y(t) ∈ L(a, b) satisfaisant les

relation (2.1.1) et (2.1.2). Depuis que f(t, y) ∈ L(a, b), (2.1.1) signifie que (Dαa+y)(t) existe

dans L(a, b). Selon (1.2.3) et (1.2.4), on a :

(Dαa+y)(t) =d

dt(I1−αa+ y)(t), (I

0y)(t) = y(t), (2.1.9)

et d’après (2.1.9) on voit que (I1−αa+ y)(t) ∈ AC1 [a, b] .Comme (I1−αa+ y)(t) = (Dα−1a+ y)(t), alors

(Dα−1a+ y)(t) ∈ AC1 [a, b] . Selon le lemme 2.1.1, l’intégrale (Iαa+f)(s, y(s)) existe dans L(a, b).En

appliquant l’opérateur Iαa+ aux deux côtés de (2.1.1)

(Iαa+ Dαa+)y(t) = (I

αa+f)(t, y(t)) =

1

Γ(α)

∫ ta

(t− s)α−1f(s, y(s))ds. (2.1.10)

D’autre part on a :

(Iαa+Dαa+y)(t) = y(t)−

(Dα−1a+ y)(a)

Γ(α)(t− a)α−1

= y(t)− bΓ(α)

(t− a)α−1 (2.1.11)

D’après (2.1.10) et (2.1.11), il vient :

y(t) =b

Γ(α)(t− a)α−1 + 1

Γ(α)

∫ ta

(t− s)α−1f(s, y(s))ds, (t > a)

avec 0 < α < 1. Ce qui prouve la condition nécessaire.

Il reste à montrer la condition suffi sante. Soit y(t) ∈ L(a, b) satisfaisant l’équation (2.1.7). De

même en appliquant l’opérateurDαa+ aux deux côtés de (2.1.7), il vient :

(Dαa+y)(t) =b

Γ(α)(Dαa+(t− a)α−1) + (Dαa+Iαa+f)(t, y(t)). (2.1.12)


D’après (1.2.16), on a : Dα(t − a)α−1 = 0, car α > α − 1, et selon la relation (1.2.7), on

obtient :

(Dαa+Iαa+f)(t, y(t) = (I

α−αa+ f)(t, y(t)) = f(t, y(t)).

Alors par conséquent, (2.1.12) prend la forme :

(Dαa+y)(t) = f(t, y(t)), (0 < α < 1, t > a),

et donc, on arrive à l’équation (2.1.1).

A présent on peut montrer que la relation (2.1.2) est aussi réalisée. Pour cela, on applique

l’opérateur Dα−1a+ aux deux côtés de (2.1.7) :

(Dα−1a+ y)(t) =b

Γ(α)(Dα−1a+ (t− a)α−1) + (Dα−1a+ Iαa+f)(t, y(t)) . (2.1.13)

D’après la relation Dαa+(t−a)β =Γ(β+1)

Γ(β−α+1)(t−a)β−α, on trouve que :

Dα−1a+ (t− a)α−1 =Γ(α)

Γ(1)= Γ (α) , (2.1.14)

et suivant la relation (1.2.7), il vient :

(Dα−1a+ Iαa+f)(t, y(t) = (I

α−α+1a+ f)(t, y(t)) = (I

1a+f)(t, y(t)) (2.1.15)

=

∫ ta

f(s, y(s))ds.

D’après (2.1.13), (2.1.14) et (2.1.15), on trouve :

(Dα−1a+ y)(t) = b+

∫ ta

f(s, y(s))ds. (2.1.16)

Utilisons (2.1.16) pour calculer la limite t −→ a+, on obtient finalement :

(Dα−1a+ y)(a+) = b.

Ainsi, la suffi sance est prouvée, ce qui achève la preuve du théorème 2.1.2. �

Corollaire 2.1.1 [25] Soit 0 < α < 1, soit G un ensemble ouvert dans R, et f : (a, b]×G −→

R une fonction, telle que f(·, y) ∈ L(a, b) pour toute y ∈ G.

Si y ∈ L(a, b), alors y satisfait les relations (2.1.1) et (2.1.2) si, et seulement si, y satisfait

l’équaton intégrale (2.1.7).


2.1.3 Existence et unicité de la solution du problème de type Cau-chy

Dans cette sous-section (voir [26]), nous établissons l’existence d’une solution unique au pro-

blème (2.1.1)-(2.1.2) de type Cauchy dans l’espace Lα(a, b), défini dans (2.1.3) sous les condi-

tions du théorème 2.1.2, et la condition de Lipschitz sur f(t, y) par rapport à la deuxième va-

riable : il existeA > 0 tel que pour tout t ∈ [a, b] et tous y1, y2 ∈ G ⊂ R,

|f(t, y1)− f(t, y2)| 6 A |y1 − y2| (2.1.17)

Théorème 2.1.3 [25] Soit α ∈ R (0 < α < 1). Soient G un ensemble ouvert dans R,

f : (a, b] × G −→ R une fonction telle que f(·, y) ∈ L(a, b) pour tout y ∈ G et la condition

(2.1.17) est satisfaite. Alors il existe une solution unique y(·) au problème de type Cauchy

(2.1.1)-(2.1.2) dans l’espace Lα(a, b).

Preuve. On commence par montrer l’existence d’une solution unique y ∈ L(a, b) ([8],[10],[25],[26]).

Selon le théorème 2.1.2, il est suffi sant de prouver l’existence d’une solution unique y ∈ L(a, b)

à l’équation intégrale non linéaire (2.1.7) de Volterra. Pour cela on applique la méthode connue

pour des équations intégrales non linéaires de Volterra en établissant tout d’abord le résultat

sur une partie de l’intervalle [a, b]

L’équation (2.1.7) semble raisonnable dans n’importe quel intervalle [a, t1] ⊂ [a, b] (a < t1 <

b).

On choisit t1 telle que l’inégalité

A(t1 − a)αΓ(α + 1)

< 1, (2.1.18)

est satisfaite. On montre l’existence d’une solution unique y ∈ L(a, t1) à l’équation (2.1.7) sur

l’intervalle [a, t1]. Pour cela on utilise le théorème 2.1.1 du point fixe de Banach dans l’espace

L(a, t1), qui est trivialement un espace métrique complet muni de la distance

d(y1, y2) = ‖y1 − y2‖ =∫ t1a

|y1(t)− y2(t)| dt. (2.1.19)

On réécrit l’équation intégrale (2.1.7), sous la forme y(t) = (Ty)(t), où

(Ty)(t) = y0(t) +1

Γ(α)

∫ ta

(t− s)α−1f(s, y(s))ds, (2.1.20)


avec

y0(t) =b

Γ(α)(t− a)α−1. (2.1.21)

Pour appliquer le théorème 2.1.1 du point fixe, on doit prouver ce qui suit :

(1) si y ∈ L(a, t1), alors (Ty)(t) ∈ L(a, t1)

(2) pour y1, y2 ∈ L(a, t1), la relation qui suit est vérifiée :

‖Ty1 − Ty2‖1 6 ω ‖y1 − y2‖1 , ω = A(t1 − a)αΓ(α + 1)

. (2.1.22)

Il découle de (2.1.21) que y0 ∈ L(a, t1). Depuis que f(·, y) ∈ L(a, b), et d’après le lemme

2.1.1 (avec b = t1 et g(t) = f(t, y(t)), l’intégrale du membre de droite de (2.1.20) appartient

également à L(a, t1).Par conséquent (Ty)(t) ∈ L(a, t1).

A présent, on montre la relation (2.1.22). D’après (2.1.20)-(2.1.21) et (2.1.3), en utilisant la

condition de Lipschitz (2.1.17) et en appliquant la relation (2.1.8) (avec b = t1 et g(t) =

f(t, y1(t))− f(t, y2(t))), il vient :

‖Ty1 − Ty2‖L(a,t1) 6∥∥Iαa+ [|f(t, y1(t))− f(t, y2(t))|]∥∥L(a,t1)

6 A∥∥∥∥ 1Γ(α)

∫ ta

(t1 − s)α−1 |y1(s)− y2(s)| ds∥∥∥∥L(a,t1)

6 AΓ(α)

‖y1 − y2‖L(a,t1)∫ ta

(t1 − s)α−1 ds

6 A(t1 − a)α

Γ(α + 1)‖y1 − y2‖L(a,t1) = ω ‖y1 − y2‖L(a,t1)

Ce qui donne (2.1.22). Selon (2.1.18), ω vérifie 0 < ω < 1, et par conséquent (d’après

le théorème 2.1.1), il existe une solution unique y∗ ∈ L(a, t1) de l’équation (2.1.7) dans

l’intervalle [a, t1] .

D’après le théorème 2.1.1, la solution y∗ est obtenue comme une limite de la suite convergente

(Tmy∗0)(t) :

limm−→∞

‖Tmy∗0 − y∗‖L(a,t1) = 0, (2.1.23)

où y∗0(t) est une fonction quelconque de L(a, b). Si au moins un b 6= 0 dans les conditions

initiales (2.1.2), on peut prendre y∗0(t) = y0(t) avec y0(t) définie par (2.1.21).


D’après (2.1.20), la suite (Tmy∗0)(t) est définie par la formule de récurrence

(Tmy∗0)(t) = y0(t) +1

Γ(α)

∫ ta

(t− s)α−1f(s, Tm−1y∗0(s))ds (m = 1, 2, ...).

En notant ym(t) = Tmy∗0(t), alors la dernière relation prend la forme :

ym(t) = y0(t) +1

Γ(α)

∫ ta

(t− s)α−1f(s, ym−1(s))ds (m ∈ N), (2.1.24)

et (2.1.23) peut-être réécrit comme suit :

limm−→∞

‖ym − y∗‖L(a,t1) = 0. (2.1.25)

Ceci signifie que l’on a appliqué la méthode des approximations successives pour trouver une

solution unique y∗ de l’équation intégrale (2.1.7) sur [a, t1] .

Par la suite on considère l’intervalle [t1, t2] , où t2 = t1 + h, h > 0 avec t2 < b. On réécrit

l’équation (2.1.7), sous la forme :

y(t) =1

Γ(α)

∫ tt1

(t− s)α−1f(s, y(s))ds + bΓ(α)

(t− a)α−1

+1

Γ(α)

∫ t1a

(t− s)α−1f(s, y(s))ds . (2.1.26)

Depuis que la fonction y(·) est uniquement définie sur l’intervalle [t1, t2] , la dernière intégrale

peut être considéré comme une fonction connue, ce qui permet de réécrire la dernière équation

comme

y(t) = y01(t) +1

Γ(α)

∫ tt1

(t− s)α−1f(s, y(s))ds, (2.1.27)

où y01 est définie par

y01(t) =b

Γ(α)(t− a)α−1 + 1

Γ(α)

∫ t1a

(t− s)α−1f(s, y(s))ds. (2.1.28)

est la fonction connue.

On utilise les mêmes arguments comme ci-dessus, on conclut qu’il existe une solution unique

y∗ ∈ L(t1, t2) de l’équation (2.1.7) sur l’intervalle [t1, t2] . On prend l’intervalle suivant [t2, t3],

où t3 = t2 + h2 et h2 > 0 avec t3 < b et ainsi de suite. Par la répétition de ce processus, on

conclut à l’existence d’une solution unique y∗ ∈ L(a, b) pour l’équation (2.1.7) sur l’intervalle

[a, b] .


Ainsi, il existe une solution unique y = y∗ ∈ L(a, b) de l’équation intégrale (2.1.7) de Volterra,

et par conséquent aussi du problème de type Cauchy (2.1.1)-(2.1.2).

Finalement pour achever la preuve du théorème 2.1.3, il reste à montrer que la solution

y ∈ L(a, b) est unique et qu’elle appartient à l’espace Lα(a, b). Selon (2.1.3), il est alors

suffi sant de prouver (Dαa+y) ∈ L(a, b). D’après la preuve ci-dessus, la solution est une limite

de la séquence ym ∈ L(a, b)

limm−→∞

‖ym − y‖1 = 0, (2.1.29)

avec le choix de certains ym sur chacun [a, t1] , ..., [tm−1, b]. L’utilisation des deux relations

(2.1.1) et (2.1.17), donne :

∥∥Dαa+ym −Dαa+y∥∥1 = ‖f(t, ym)− f(t, y)‖1 6 A ‖ym − y‖1 . (2.1.30)D’après (2.1.29) et (2.1.30), on obtient :

limm−→∞

∥∥Dαa+ym −Dαa+y∥∥1 = 0,et par conséquent (Dαa+y)(t) ∈ L(a, b). Ceci termine la preuve du théorème 2.1.3.

�

Chapitre 3

Methodes VIM et HPM et leursconvergences

Dans ce chapitre, nous présentons brièvement la méthode d’itération variationnelle (VIM) et

la méthode de perturbation d’homotopie (HPM), puis nous ferons l’étude de leurs conver-

gences.

3.1 La méthode VIM et sa convergence

3.1.1 Introduction

La méthode d’itération variationnelle (VIM) a été proposée par He ([15]-[19]). Cette méthode

donne la solution en forme d’approximations successives rapidement convergentes vers la

solution exacte si celle ci existe.

3.1.2 La méthode VIM

Pour illustrer les idées de base de cette méthode, on considère l’équation différentielle non-

linéaire suivante :

Lu+Nu = g(t), (3.1.1)

où L est un opérateur linéaire, N un opérateur non linéaire, g(t) une fonction réelle.

Selon la méthode d’itération variationnelle ([15]-[19]), on peut construire une formule de

correction fonctionnelle comme suit :

un+1(t) = un(t) +

t∫0

λ(Lun(τ) +Nũn(τ)− g(τ))dτ , (3.1.2)

3.1 La méthode VIM et sa convergence 30

où λ est un multiplicateur de Lagrange qui peut être identifié de manière optimale par la

théorie variationnelle, et ũn une variation restreinte qui signifie δũn = 0. Par ce procédé, il

est nécessaire d’abord de déterminer le multiplicateur de Lagrange qui sera identifié de façon

optimale. Les approximations successives ũn+1, n > 0, de la solution u seront facilementobtenues à l’aide du multiplicateur de Lagrange identifié. Par conséquent, la solution est

donnée par :

u = limn→∞

un.

3.1.3 Préliminaires

Zhiwu et al. [35] ont étudié la convergence de la méthode d’itération variationnelle (VIM) pour

les équations différentielles fractionnaires au sens de Caputo. Ils ont considéré le problème

suivant :

(cDα0+y)(t) = f(t, y(t)), n− 1 < α 6 n, (3.1.3)

y(k)(0) = yk0 , k = 0, 1, . . . , n− 1, (3.1.4)

où t ∈ [0, T ] ,

y(k)(t) désigne la dérivée d’ordre k de y(t) et f : [0, T ] × R → R satisfait la condition de

Lipschitz

|f(t, u1)− f(t, u2)| 6 L |u1 − u2| , t > 0, u1, u2 ∈ R, (3.1.5)

où L est la constante de Lipschitz. On définit la norme ‖y‖∞ = max06t6T |y(t)| ; (cDα0+y)(t)

est la dérivé fractionnaire de Caputo. Pour le nombre réel positif α tel que n − 1 6 α 6 n,on définit la dérivée de Caputo d’ordre α de la fonction f(t) dans l’intervalle [a, b] comme

suit :

(cDα0+f)(t) =

{1

Γ(n−α)∫ t

0f (n)(τ)dτ

(t−τ)α−n+1 , α ∈ [n− 1, n),dn

dtnf(t), α = n ∈ N.

(3.1.6)

Diethelm et al. [11] ont prouvé que l’Eq.(3.1.3) peut être équivalente à l’équation intégrale

de Volterra suivante :

y(t) =

[α]−1∑j=0

y(j)0

tj

j!+

1

Γ(α)

∫ t0

(t− τ)α−1f(τ , y(τ))dτ . (3.1.7)


On pose

g(t) =

[α]−1∑j=0

y(j)0

tj

j!,

L’équation (3.1.7) peut être transformée sous la forme :

y(t) = g(t) +1

Γ(α)

∫ t0

(t− τ)α−1f(τ , y(τ))dτ . (3.1.8)

Selon l’idée de Xu [39] et Ghorbani et al. [13], l’itération pour l’équ.(3.1.8) peut être construite

comme suit :

yn+1(t) = g(t) +1

Γ(α)

∫ t0

(t− τ)α−1f(τ , yn(τ))dτ , n = 1, 2, · · · (3.1.9)

On utilise la valeur initiale y0(t) = y(0)0 + y

(1)1 t+ · · ·+ y

(n−1)n−1 t

n−1 et on commençe l’itération.

La valeur yn de la n−ième d’itération se rapproche vers la solution exacte du problème (3.1.3)-

(3.1.4) par :

y = limn→∞

yn.

3.1.4 Analyse de convergence

Théorème 3.1.1 Soient y(t), yi(t) ∈ C [0, T ] , i = 1, 2, · · · . Alors, la suite {yn(t)}∞n=1 défi-

nie par (3.1.9) avec y0(t) = y(0)0 +y

(1)1 t+· · ·+y

(n−1)n−1 t

n−1 converge vers la solution de l’équation

(3.1.3).

Preuve. D’après le système (3.1.3), on a :

y(t) = g(t) +1

Γ(α)

∫ t0

(t− τ)α−1f(τ , y(τ))dτ . (3.1.10)

Soit Ei(t) = yi(t)−y(t), i = 1, 2, · · · . D’après (3.1.9) et (3.1.10), on a :

En+1(t) =1

Γ(α)

∫ t0

(t− τ)α−1 [f(τ , yn(τ))− f(τ , y(τ))] dτ . (3.1.11)

On considère deux cas pour α.


Pour le cas α > 1,∀t ∈ [0, T ] et τ ∈ [0, t] , (t−τ)α−1 est bornée. SoitM = max06τ6t,06t6T |(t− τ)α−1| .D’aprèsla condition de Lipschitz (3.1.5), on a :

|En+1(t)| 61

Γ(α)

∫ t0

∣∣(t− τ)α−1∣∣ |f(τ , yn(τ))− f(τ , y(τ))| dτ6 M.L

Γ(α)

∫ t0

|yn(τ)− y(τ)| dτ

6 M.LΓ(α)

∫ t0

|En(t)| dτ

Par récurrence :

|En+1(t)| 6Mn+1.Ln+1

[Γ(α)]n+1

t∫0

τ1∫0

τ2∫0

· · ·τn∫

0

|E0(t)| dτn+1 · · · dτ 3dτ 2dτ 1.

De plus,

‖En+1‖∞ 6[M.L

Γ(α)

]n+1max

06t6T

t∫0

τ1∫0

τ2∫0

· · ·τn∫

0

|E0(t)| dτn+1 · · · dτ 3dτ 2dτ 1

6[M.L

Γ(α)

]n+1T n+1

(n+ 1)!‖E0‖∞ ,

où M, L, T, Γ(α) et ‖E0‖∞ sont des constantes. Nous avons :

limn−→∞

‖En+1‖∞ 6 limn−→∞

[M.L.T

Γ(α)

]n+1 ‖E0‖∞(n+ 1)!

= 0.

Maintenant, nous considérons le deuxième cas 0 < α < 1. On a :

|En+1(t)| 6L

Γ(α)

∫ t0

(t− τ)α−1 |yn(τ)− y(τ)| dτ

=L

Γ(α)

∫ t0

(t− τ)α−1 |En(τ)| dτ .

Soit

(Iα0+f)(t) =L

Γ(α)

∫ t0

(t− τ)α−1f(τ)dτ .

On obtient

|En+1(t)| 6 L.Iα0+ |En(t)| .

Selon [31], l’opérateur Iα0+ vérifie la relation suivante :

(Iα0+Iα0+f)(t) = (I

α+α0+ f)(t) = (I

2α0+f)(t).


Par conséquent, on a :

|En+1(t)| 6 L2I2α0+ |En−1(t)|...

6 Ln+1I(n+1)α0+ |E0(t)|

= Ln+11

Γ(nα + α)

∫ t0

(t− τ)nα+α−1 |E0(t)| dτ

6 Ln+1 ‖E0‖∞

Γ(nα + α)

∫ t0

(t− τ)nα+α−1dτ

=Ln+1 ‖E0‖∞Γ(nα + α)

T nα+α

(nα + α).

D’après [4], on a :

Γ(nα + α) ∼√

2πe−nα(nα)nα+α−12 ,

puisLn+1T nα+α

Γ(nα + α)(nα + α)∼ L

n+1T nα+α√2πe−nα(nα)nα+α−

12

1

(nα + α),

où L est la constante de Lipschitz. On peut trouver un nombre réel délimitée L1, qui satis-

fait :

Lα1 = L,

tel queLn+1T nα+α√

2πe−nα(nα)nα+α−12

1

(nα + α)=

1√2πeα

(L1Te

nα

)nα+α(nα)

12

(nα + α)

On a donc

‖En+1‖∞ 6‖E0‖∞√

2πeα(L1Te)

nα+α

(nα)nα+α(nα)

12

(nα + α)

où L1, T et ‖E0‖∞ sont des constantes. Ainsi

limn−→∞

‖En+1‖∞ 6 limn−→∞

(‖E0‖∞√

2πeα(L1Te)

nα+α

(nα)nα+α(nα)

12

(nα + α)

)

6 ‖E0‖∞√2πeα

limn−→∞

((L1Te)

nα+α

(nα)nα+α

)= 0.

3.2 La méthode HPM et sa convergence 34

�

3.2 La méthode HPM et sa convergence

3.2.1 Introduction

La méthode HPM (homotopy perturbation method) a été proposée en 1998 par He ([20]-

[24]) et appliquée à divers problèmes linéaires et non-linéaires. La méthode est une technique

puissante et effi cace pour solutionner des équations non-linéaires. L’accouplement de la per-

turbation et de la méthode d’homotopie est appelé la méthode de perturbation d’homotopie

(HPM).

3.2.2 La méthode HPM

Pour illustrer les idées de base de cette méthode, On considère l’équation différentielle non-

linéaire suivante :

A(u)− f(r) = 0, r ∈ Ω, (3.2.1)

avec les conditions aux limites

B(u,∂u

∂n) = 0, r ∈ Γ, (3.2.2)

où A est un opérateur différentiel général, f(r) est une fonction analytique connue, B est un

opérateur définissant les conditions aux limites, u est la fonction inconnue et Γ la frontière

du domaine Ω. L’opérateur A peut être généralement décomposé en deux opérateurs L et N

qui sont respectivement linéaire et non linéaire. Par conséquent, l’équation (3.2.1) peut être

écrite comme suit :

L(u) +N(u)− f(r) = 0. (3.2.3)

On construit une homotopie v(r, p) : Ω×[0, 1] −→ R, qui satisfait :

H(v, p) = (1− p)[L(υ)− L(u0)] + p[A(υ)− f(r)] = 0, (3.2.4)

ou


H(v, p) = L(v)− L(u0) + pL(u0) + p[N(v)− f(r)] = 0, (3.2.5)

où p ∈ [0, 1] est un paramètre d’homotopie et u0 est une approximation initiale de l’équation

(3.2.1) qui satisfait les conditions aux limites (3.2.2). A partir des équations (3.2.4) et (3.2.5),

on a :

H(v, 0) = L(v)− L(u0) = 0, (3.2.6)

H(v, 1) = A(v)− f(r) = 0. (3.2.7)

Le changement de p de zéro à l’unité transforme u0(r) en u(r). En topologie avec cette dernière

propriété, la fonction v(r, p) est appelée homotopie. Selon la méthode HPM, nous pouvons

d’abord utiliser le paramètre p comme un petit paramètre et assumer que les solutions des

équations (3.2.4) et (3.2.5) peuvent être écrites comme des séries de puissance en p :

v = v0 + pv1 + p2v2 + · · · . (3.2.8)

Pour p = 1, la solution approchée de l’équation (3.2.1) s’écrit :

u = limp→1

v = v0 + v1 + v2 + · · · . (3.2.9)

La convergence de la série (3.2.9) a été prouvé dans ([6], [7]).

3.2.3 Analyse de convergence

Asma et al. [12] ont étudié la convergence de la méthode de perturbation d’homotopie (HPM)

pour les équations différentielles fractionnaires avec dérivée au sens de Caputo, en considérant

l’équation aux dérivées partielles d’ordre fractionnaire suivante :

(cDα0+,tu)(t) = f(t, u(t), Dn1u(t), Dn2u(t), . . . , Dnqu(t)), t ∈ [0, T ] (3.2.10)

uk(0) = bk, u(x, t) = g(x, t), k = 0, 1, 2, . . . , (3.2.11)

où cDα0+,t =∂α

∂tα, est la dérivée fractionnaire au sens de Caputo d’ordre α, m− 1 6 α 6 m.

On considère que l’application f : [0, T ] × R × R × · · · × R −→ R avec l’hypothèse que

f(t, u1, u2, . . . , un) existe et est continue avec des dérivés continues et bornées∂f∂ui.On suppose

de plus que f(t, u1, u2, . . . , un) satisfait la condition de Lipschitz

|f(t, u1(t), Dn1u1(t), . . . , Dnqu1(t))− f(t, u2(t), Dn1u2(t), . . . , Dnqu2(t))|6 L |f(u1, Dn1u1, . . . , Dnqu1)− f(u2, Dn1u2, . . . , Dnqu2)| , t > 0,

(3.2.12)


où L désigne la constante de Lipschitz.

Pour illustrer les concepts de base de la méthode HPM pour l’équation aux dérivées partielles

fractionnaire (3.2.10) avec les conditions initiales (3.2.11), nous construisons l’homotopie

suivante :(1− p)(cDα0+,tu)(x, t) + p(cDα0+,tu)(x, t)

−f(t, u(t), Dn1u(t), Dn2u(t), . . . , Dnqu(t)) = 0 (3.2.13)

ou

(cDα0+,tu)(x, t) = p(f(t, u(t), Dn1u(t), Dn2u(t), . . . , Dnqu(t)) (3.2.14)

En substituant (3.2.8) dans (3.2.14) et par identification avec les termes des différents mo-

nômes en p, on obtient les équations suivantes :

p0 : (cDα0+,tu0)(x, t) = f(x, t),p1 : (cDα0+,tu1)(x, t) = f(t, u0(t), D

n1u0(t), Dn2u0(t), . . . , D

nqu0(t)),p2 : (cDα0+,tu2)(x, t) = f(t, u1(t), D

n1u1(t), Dn2u1(t), . . . , D

nqu1(t)),...

pn : (cDα0+,tun)(x, t) = f(t, un−1(t), Dn1un−1(t), D

n2un−1(t), . . . , Dnqun−1(t),

...

(3.2.15)

On utilise l’opérateur fractionnaire de Riemann-Liouville Iα0+, (qui est l’opérateur inverse

de la dérivée de Caputo caDαt ) sur les deux membres de (3.2.15). Les premiers termes de la

solution sont données par :

u0(x, t) =n−1∑k=0

bktk

k!+ (Iα0+,tf)(x, t)),

u1(x, t) = Iα0+,t(f(t, u0(t), D

n1u0(t), Dn2u0(t), . . . , D

nqu0(t))),u2(x, t) = I

α0+,t(f(t, u1(t), D

n1u1(t), Dn2u1(t), . . . , D

nqu1(t))),...

un(x, t) = Iα0+,t(f(t, un−1(t), D

n1un−1(t), Dn2un−1(t), . . . , D

nqun−1(t))),...

(3.2.16)

La solution de (3.2.10) est écrite sous forme de la série suivante :

u(x, t) = u0(x, t) + u1(x, t) + u2(x, t) + u3(x, t) + · · · . (3.2.17)

3.2.4 Existence et unicité des solutions

Théorème 3.2.1 Soit f satisfaisant la condition de Lipschitz (3.2.12), alors le problème

(3.2.10) admet une solution unique u(x, t), pour tout 0 < γ < 1.


Preuve. Soient y et z deux solutions différentes de (3.2.10), pour tout t ∈ [0, T ] et τ ∈ [0, t].

Soit M = max06τ6t,06t6T |(t− τ)α−1| . Alors,

y − z = Iα0+,t(f(t), y(t), Dn1y(t), Dn2y(t), . . . , Dnqy(t))

−Iα0+,t(f(t), z(t), Dn1z(t), Dn2z(t), . . . , Dnqz(t)),

y − z = 1Γ(α)

t∫0

(t− τ)α−1(f(τ), y(τ), Dn1y(τ), Dn2y(τ), . . . , Dnqy(τ))dτ

− 1Γ(α)

t∫0

(t− τ)α−1(f(τ), z(τ), Dn1z(τ), Dn2z(τ), . . . , Dnqz(τ))dτ ,

|y(t)− z(t)| =

∣∣∣∣∣∣ 1Γ(α)t∫

0

(t− τ)α−1(f(τ), y(τ), Dn1y(τ), Dn2y(τ), . . . , Dnqy(τ))dτ

− 1Γ(α)

t∫0

(t− τ)α−1(f(τ), z(τ), Dn1z(τ), Dn2z(τ), . . . , Dnqz(τ))dτ

∣∣∣∣∣∣6 L

Γ(α)

t∫0

∣∣(t− τ)α−1∣∣ |y(τ)− z(τ)| dτ ,max |y(t)− z(t)| 6 L

Γ(α)max

t∫0

∣∣(t− τ)α−1∣∣ |y − z| dτ‖y − z‖∞ 6

[LMT

Γ(α)

]n.

1

n!‖y − z‖∞ 6 γ ‖y − z‖∞ ,

(1− γ) ‖y − z‖∞ 6 0.

puisque 1− γ 6= 0, alors ‖y − z‖ = 0 et par suite y = z. Ce qui achève la démonstration. �

3.2.5 Preuve de la convergence

Théorème 3.2.2 Soient un(x, t), et u(x, t) est définies dans l’espace de Banach

(C[0, T ], ‖ · ‖). Alors, la solution de la série {un(x, t)}∞n=1 définie par (3.2.17)

converge vers la solution de (3.2.10), si 0 < γ < 1.

Preuve. Soit sn(t) la suite des sommes partielles de la série (3.2.17). Montrons que c’est une


suite de Cauchy dans (C[0, T ], ‖·‖). Pour cela, on considère

‖sn+1 − sn‖ = ‖un+1‖

6 γ ‖un‖ (3.2.18)

6 γ2 ‖un−1‖

6 · · · 6 γn+1 ‖u0‖ .

Maintenant, pour chaque n, m ∈ N, n ≥ m, il y a deux sommes partielles arbitraires

sn et sm ; à l’aide de (3.2.18) et l’inégalité triangulaire, il vient successivement :

‖sn − sm‖ 6 ‖sn − sn−1‖+ ‖sn−1 − sn−2‖+ · · ·+ ‖sm+1 − sm‖

6[γn + γn−1 + γn−2 + · · ·+ γm+1

]‖u0‖ (3.2.19)

6 γm+1[γn−m−1 + γn−m−2 + γn−2 + · · ·+ γ + 1

]‖u0‖

6 γm+1(

1− γn−m1− γ

)‖u0‖ .

Comme 0 < γ < 1, on a 1− γn−m < 1 et par suite

‖sn − sm‖ 6γm+1

(1− γ) ‖u0‖ . (3.2.20)

Comme u0 est borné,

limn,m→∞

‖sn − sm‖ = 0.

Par conséquent, (sn) est une suite de Cauchy dans C[0, T ], donc convergente, ce qui achève

la preuve. �

3.2.6 Estimation d’erreur

Théorème 3.2.3 L’erreur de troncature absolue maximale de la solution sous forme de

la série (3.2.17) du problème (3.2.10), est estimée par :∣∣∣∣∣u(x, t)−m∑i=0

ui(x, t)

∣∣∣∣∣ 6 γm+1(1− γ) ‖u0‖ (3.2.21)

Preuve. D’après le théorème 3.2.2 et l’inégalité (3.2.19), on a


|u(t)− sm(t)| 6 γm+1(

1− γn−m1− γ

)‖u0‖ .

Comme 0 < γ < 1, on a 1−γn−m < 1, on obtient la formule (3.2.21).∣∣∣∣∣u(x, t)−m∑i=0

ui(x, t)

∣∣∣∣∣ 6 γm+1(1− γ) ‖u0‖ (3.2.22)Ce qui achève la démonstration. �

Exemple 3.2.1 Considérons l’équation aux dérivées partielles d’ordre fractionnaire avec la

condition initiale :

∂αu

∂tα+ u

∂u

∂x=

∂2u

∂x2, (x, t) ∈ R×

[0,

1

2

)(3.2.23)

u(x, 0) = 2x (3.2.24)

Pour α = 1, la solution exacte est donnée par :

u(x, t) =2x

1 + 2t. (3.2.25)

Pour résoudre l’équ.(3.2.23) avec la condition initiale (3.2.24), selon la technique de perturba-

tion homotopie, on construit tout d’abord l’homotopie suivante :

(1− p)(cDα0+,tu− cDα0+,tu0

)= p

(uxx − uux − cDα0+,tu

)(3.2.26)

oucDα0+,tu− cDα0+,tu0 = p

(uxx − uux − cDα0+,tu

)(3.2.27)

En substituant (3.2.8) dans (3.2.27) et identifiant les termes des puissances des différents mo-

nômes en p, on obtient la série des équations suivantes :

p0 : cDα0+,tu0 = 0,

p1 : cDα0+,tu1 = u0xx − u0u0x − cDα0+,tu0,

p2 : cDα0+,tu2 = u1xx − u1u0x − u0u1x,

p3 : cDα0+,tu3 = u2xx − u2u0x − u1u1x − u0u2x, (3.2.28)...

pi : cDα0+,tui = (ui−1)xx −i−1∑j=0

uj(ui−j−1)x.


Utilisons l’opérateur fractionnaire de Riemann-Liouville Iα0+, qui est l’opérateur inverse de la

dérivée de Caputo cDα0+,t sur les deux membres de chaque équation de (3.2.28), on obtient :

u0(x, t) = 2x,

u1(x, t) =−4xtα

Γ(α + 1),

u2(x, t) =16xtα

Γ(2α + 1), (3.2.29)

u3(x, t) =−16xt3α

Γ(3α + 1)

(4 +

Γ(2α + 1)

Γ2(α + 1)

),

...

D’après t 6 γ2, 0 < γ < 1, et α = 1, et selon le théorème , il vient :

‖s1 − s0‖ =∥∥∥∥ −4xtαΓ(α + 1)

∥∥∥∥=

∥∥∥∥(2x) −2xtαΓ(α + 1)∥∥∥∥

6 2(γ

2

)‖u0‖ = γ ‖u0‖ ,

‖s2 − s0‖ 6 ‖s2 − s1‖+ ‖s1 − s0‖

=

∥∥∥∥ 16xtαΓ(2α + 1)∥∥∥∥+ ∥∥∥∥ −4xtαΓ(α + 1)

∥∥∥∥=

∥∥∥∥(2x) 8xtαΓ(2α + 1)∥∥∥∥+ ∥∥∥∥(2x) −2xtαΓ(α + 1)

∥∥∥∥= ‖2x‖

(4(γ

2

)2+ 2

(γ2

))6 4

(γ2

)2‖2x‖ = γ2 ‖u0‖ .

‖s3 − s1‖ 6 ‖s3 − s2‖+ ‖s2 − s1‖

=

∥∥∥∥ −16xt3αΓ(3α + 1)(

4 +Γ(2α + 1)

Γ2(α + 1)

)∥∥∥∥+ ∥∥∥∥ 16xtαΓ(2α + 1)∥∥∥∥

=

∥∥∥∥(2x) −8t3αΓ(3α + 1)(

4 +Γ(2α + 1)

Γ2(α + 1)

)∥∥∥∥+ ∥∥∥∥(2x) 8tαΓ(2α + 1)∥∥∥∥

6(

8(γ

2

)3+ 4

(γ2

)2)‖2x‖

6 8(γ

2

)3‖2x‖ = γ3 ‖u0‖ .


A la fin nous obtenons :

‖sn − sm‖ 6 ‖sn − sn−1‖+ ‖sn−1 − sn−2‖+ · · ·+ ‖sm+1 − sm‖

=

∥∥∥∥∥n∑j=0

uj −n−1∑i=0

ui

∥∥∥∥∥+∥∥∥∥∥n−1∑j=0

uj −n−2∑i=0

ui

∥∥∥∥∥+ · · ·+

∥∥∥∥∥m+1∑j=0

uj −m∑i=0

ui

∥∥∥∥∥= ‖un‖+ ‖un−1‖+ · · ·+ ‖sm+1 − sm‖

6 2n(γ

2

)n‖u0‖ = γn ‖u0‖ .

Par conséquent, limn,m−→∞ ‖sn − sm‖ 6 limn−→∞ γn ‖u0‖ = 0 ; sn est donc une suite deCauchy convergente vers :

u(x, t) = u0(x, t) + u1(x, t) + u2(x, t) + u3(x, t) + · · ·

= 2x− 4xtα

Γ(α + 1)+

16xtα

Γ(2α + 1)− 16xt

3α

Γ(3α + 1)

×(

4 +Γ(2α + 1)

Γ2(α + 1)

)+ · · · .

Chapitre 4

Applications numériques pour lesdeux méthodes VIM et HPM

Dans ce chapitre nous allons appliquer les méthodes VIM (Variational Iteration Method) et

HPM (Homotopy Perturbation Method) pour résoudre des équations différentielles ordinaires

et des équations aux dérivées partielles d’ordres fractionnaires au sens de Caputo.

4.1 Applications de la méthode VIM

Dans ce paragraphe, nous allons examiner des exemples sur des équations différentielles or-

dinaires et des équations aux dérivées partielles linéaires et non-linéaires, avec dérivée frac-

tionnaire temporelle au sens de Caputo, par la méthode d’itération variationnelle (VIM).

4.1.1 Equation différentielle ordinaire linéaire d’ordre fractionnaire

Exemple 4.1.1 Nous considérons l’équation différentielle linéaire d’ordre fractionnaire sui-

vante :cDα0+u = −u, 1 < α 6 2, (4.1.1)

avec les conditions initiales suivantes :

u(0) = 1, u′(0) = 0, (4.1.2)

où cDα0+ désigne la dérivée fractionnaire au sens de Caputo.

4.1 Applications de la méthode VIM 43

Selon le procédé de la méthode VIM, la formule de correction fonctionnelle de

l’équation (4.1.1) peut être exprimée comme suit :

un+1(x) = yn(x) +

x∫0

λ(x, s)((cDα0+u)(s) + ũ(s)

)ds. (4.1.3)

Le multiplicateur de Lagrange λ(x, s) peut être identifié comme λ(x, s) = (−1)α(s−x)α−1Γ(α)

(voir [36]), et la formule d’itération peut être obtenue comme suit :

un+1(x) = un(x) +

x∫0

(−1)α(s− x)α−1Γ(α)

((cDα0+u)(s) + u(s))ds,

ce qui donne :

un+1(x) = un(x)−1

Γ(α)

x∫0

(x− s)α−1((cDα0+u)(s) + u(s))ds,

ou

un+1(x) = un(x)− Iα0+[(cDα0+un)(s) + un(s)

]. (4.1.4)

Iα0+ est l’opérateur intégral fractionnaire de Riemann-Liouville d’ordre α, (1 < α 6 2).( voir chapitre 1 section 1.3).

D’après (4.1.4), nous obtenons les expressions donnant les premiers termes :

u1(x) = u0(x)− Iα0+[(cDα0+u0)(s) + u0(s)

],

u2(x) = u1(x)− Iα0+[(cDα0+u1)(s) + u1(s)

], (4.1.5)

u3(x) = u2(x)− Iα0+[(cDα0+u2)(s) + u2(s)

],

...

D’après (4.1.5) et (4.1.2), nous obtenons les premiers termes suivant :

u0(x) = 1,

u1(x) = 1−xα

Γ(α + 1),

u2(x) = 1−xα

Γ(α + 1)+

x2α

Γ(2α + 1), (4.1.6)

u3(x) = 1−xα

Γ(α + 1)+

x2α

Γ(2α + 1)− x

3α

Γ(3α + 1),

...

un(x) = 1−xα

Γ(α + 1)+

x2α

Γ(2α + 1)− x

3α

Γ(3α + 1)+ · · ·+ (−1)n x

nα

Γ(nα + 1).


D’après (4.1.6) la solution approchée de l’équation (4.1.1) est :

u(x) = 1− xα

Γ(α + 1)+

x2α

Γ(2α + 1)− x

3α

Γ(3α + 1)+ · · ·+ (−1)n x

nα

Γ(nα + 1)+ · · · (4.1.7)

Et comme

u = limn→∞

un,

nous pouvons exprimer la solution sous forme d’une série pour l’équ. (4.1.1) par :

u(x) =+∞∑k=0

(−xα)k

Γ(αk + 1)= Eα(−x), (4.1.8)

où Eα(−x) est la fonction de Mittag-Leffl er (voir chapitre 1 section 1.2).

En substituant α = 2 dans (4.1.8), nous obtenons :

u(x) = 1− x2

2!+x4

4!− x

6

6!+ · · ·+ (−1)n x

2n

(2n)!+ · · · = cosx.

Figure 4.1.1 : La solution exacte et des solutions numériques de l’équation (4.1.1) selon

quelques valeurs de α.

Remarque 4.1.1 Pour les solutions approchées on prend quatre termes.

4.1.2 Equation différentielle ordinaire non-linéaire d’ordre frac-tionnaire

Exemple 4.1.2 Nous considérons l’équation différentielle non-linéaire d’ordre fractionnaire

suivante :cDα0+u = u

2 + 1, 0 < α 6 1, (4.1.9)


avec la condition initiale :

u(0) = 0, (4.1.10)

où cDα0+ désigne la dérivée fractionnaire selon l’approche de Caputo.

Selon le procédé de VIM, la formule de correction fonctionnelle de


un+1(x) = un(x) +

x∫0

λ(x, s)(cDα0+un − (ũn)2 − 1)ds. (4.1.11)

Le multiplicateur de Lagrange λ(x, s) peut être identifié comme λ(x, s) = (−1)α(s−x)α−1Γ(α)

( [36]), et la formule d’itération peut être obtenue aussi comme :

un+1(x) = un(x) +

x∫0

(−1)α(s− x)α−1Γ(α)

(cDα0+un − (ũn)2 − 1)ds,

ou

un+1(x) = un(x)− Iα0+[(cDα0+un)(s)− (un(s))2 − 1

]. (4.1.12)

Iα0+ est l’opérateur intégral fractionnaire de Riemann-Liouville d’ordre α, (0 < α 6 1).( voir chapitre 1 section 1.3).

D’après la formule (4.1.12), nous obtenons les formules donnant les premiers termes :

u1(x) = u0(x)− Iα0+[(cDα0+u0)(s)− (u0(s))2 − 1

],

u2(x) = u1(x)− Iα0+[(cDα0+u1)(s)− (u1(s))2 − 1

], (4.1.13)

u3(x) = u2(x)− Iα0+[(cDα0+u2)(s)− (u2(s))2 − 1

],

...

D’après la condition initiale (4.1.10) et les formules (4.1.13), nous obtenons les premiers


termes de la solution approchée :

u0(x) = 0,

u1(x) =1

Γ(α + 1)xα,

u2(x) =1

Γ(α + 1)xα +

Γ(2α + 1)

Γ2(α + 1)Γ(3α + 1)x3α, (4.1.14)

u3(x) =1

Γ(α + 1)xα +

Γ(2α + 1)

Γ2(α + 1)Γ(3α + 1)x3α +

2Γ(2α + 1)Γ(4α + 1)

Γ3(α + 1)Γ(3α + 1)Γ(5α + 1)x5α +

Γ2(2α + 1)Γ(6α + 1)

Γ4(α + 1)Γ2(3α + 1)Γ(7α + 1)x7α,

...

Comme

u = limn→∞

un,

nous obtenons :

u(x) =1

Γ(α + 1)xα +

Γ(2α + 1)

Γ2(α + 1)Γ(3α + 1)x3α +

2Γ(2α + 1)Γ(4α + 1)

Γ3(α + 1)Γ(3α + 1)Γ(5α + 1)x5α + (4.1.15)

Γ2(2α + 1)Γ(6α + 1)

Γ4(α + 1)Γ2(3α + 1)Γ(7α + 1)x7α + · · ·

En substituant α = 1 dans (5.1.48), nous obtenons la série suivante :

u(x) = x+1

3x3 +

2

15x5 +

1

63x7.


Figure 4..1.2 : La solution exacte et des solutions numériques de l’équ.(4.1.9) selon quelques

valeurs de α.


4.1.3 Equation aux dérivées partielles linéaire d’ordre fraction-naire temporelle

Exemple 4.1.3 Nous considérons l’équation aux dérivées partielles linéaire d’ordre

fractionnaire temporelle suivante :

cDα0+,tu = x4y4z4 +

1

36(x2uxx + y

2uyy + z2uzz), (4.1.16)

0 < x, y, z < 1, 0 < α 6 1,


u(x, y, z, 0) = 0. (4.1.17)

cDα0+,t désigne le dérivée fractionnaire au sens de Caputo.



un+1 = un +

t∫0

λ(t, τ)

[cDα0+,τu−

1

36(x2ũnxx + y

2ũnyy + z2ũnzz)− x4y4z4

]dτ , (4.1.18)

Le multiplicateur de Lagrange λ(t, τ) peut être identifié comme λ(t, τ) = (−1)α(τ−t)α−1Γ(α)


un+1 = un +

t∫0

(−1)α(τ − t)α−1Γ(α)

[cDα0+,τu−

1

36(x2uxx + y

2uyy + z2uzz)− x4y4z4

]dτ ,

ou

un+1 = un − Iα0+,t[cDα0+,τun −

1

36(x2unxx + y

2unyy + z2unzz)− x4y4z4

]. (4.1.19)

Iα0+,t est l’opérateur intégral fractionnaire de Riemann-Liouville d’ordre α,

où 0 < α 6 1.


D’après la formule (4.1.19), nous obtenons les formules suivantes :

u1 = u0 − Iα0+,t[cDα0+,τu0 −

1

36(x2u0xx + y

2u0yy + z2u0zz)− x4y4z4

],

u2 = u1 − Iα0+,t[cDα0+,τu1 −

1

36(x2u1xx + y


], (4.1.20)

u3 = u2 − Iα0+,t[cDα0+,τu2 −

1

36(x2u2xx + y


],

...

D’après (4.1.20) et (4.1.17), nous obtenons les premiers termes suivants :

u0(x, y, z, t) = 0,

u1(x, y, z, t) = x4y4z4

tα

Γ(α + 1),

u2(x, y, z, t) = x4y4z4

tα

Γ(α + 1)+ x4y4z4

t2α

Γ(2α + 1), (4.1.21)

u3(x, y, z, t) = x4y4z4

tα

Γ(α + 1)+ x4y4z4

t2α

Γ(2α + 1)+ x4y4z4

t3α

Γ(3α + 1),

...

D’après les quatre premiers termes, nous avons :

un(x, y, z, t) = x4y4z4

n∑k=0

tkα

Γ(kα + 1)− x4y4z4, (4.1.22)

par ailleurs la solution de l’équation donnée se fait par le calcul de la limite suivante :

u = limn→∞

un,

Ainsi, nous obtenons la solution de l’équation (4.1.16) sous la forme :

u(x, y, z, t) = x4y4z4(Eα(t)− 1),

où Eα(t) est la fonction de Mittag-Leffl er définie dans (chapitre 1 ).

Si α = 1, nous obtenons s la solution exacte de l’équ.(4.1.26) définie par :

u(x, y, z, t) = x4y4z4(et − 1).

Le même résultat est obtenu par la méthode Transformée de Sumudu dans [2].


4.1.4 Equation aux dérivées partielles non-linéaire d’ordre frac-tionnaire temporelle

Exemple 4.1.4 Finalement nous considérons l’équation aux dérivées partielles non-linéaire

d’ordre fractionnaire temporelle suivante :

cDα0+,tu+1

2t(ux)

2 = 0, 0 < α 6 1, (4.1.23)


u(x, 0) = x2, (4.1.24)

cDα0+,t désigne la dérivée fractionnaire au sens de Caputo.

Pour le cas α = 1, la solution exacte est donnée par :

u(x, t) =x2

1 + t2,

avec |t2| < 1.



un+1(x, t) = un +

t∫0

λ(t, τ)

[cDα0+,τun +

1

2t(ũnx)

2

]dτ , (4.1.25)

Le multiplicateur de Lagrange λ(t, τ) peut être identifié comme λ(t, τ) = (−1)α(τ−t)α−1Γ(α)


un+1(x, t) = un +

t∫0

(−1)α(τ − t)α−1Γ(α)

[cDα0+,τun +

1

2t(unx)

2

]dτ ,

ou

un+1(x, t) = un − Iα0+,t[cDα0+,τun +

1

2t(unx)

2

]. (4.1.26)

Iα0+,t est l’opérateur intégral fractionnaire de Riemann-Liouville d’ordre α, où

0 < α 6 1.


D’après la formule (4.1.26), nous obtenons les formules donnant les trois premiers termes :

u1(x, t) = u0 − Iα0+,t[cDα0+,τu0 +

1

2t(u0x)

2

],

u2(x, t) = u1 − Iα0+,t[cDα0+,τu1 +

1

2t(u1x)

2

], (4.1.27)

u3(x, t) = u2 − Iα0+,t[cDα0+,τu2 +

1

2t(u2x)

2

],

...


u0(x, t) = x2,

u1(x, t) = x2 − 2x2 t

α+1

Γ(α + 1),

u2(x, t) = x2 − 2x2 t

α+1

Γ(α + 1)+ 8x2

Γ(α + 3)

Γ(α + 2)Γ(2α + 3)t2α+2 (4.1.28)

−8x2 Γ(2α + 4)Γ2(α + 2)Γ(3α + 4)

t3α+3,

...

comme

u = limn→∞

un,

nous avons la solution approximative de l’équation (4.1.1), qui est donnée par :

u(x, t) = x2 − 2x2 tα+1

Γ(α + 1)+ 8x2

Γ(α + 3)

Γ(α + 2)Γ(2α + 3)t2α+2

−8x2 Γ(2α + 4)Γ2(α + 2)Γ(3α + 4)

t3α+3 · · · (4.1.29)

En substituant α = 1 dans (4.1.29), nous obtenons la série suivante :

u(x, t) = x2 − x2t2 + x2t4 − 13x2t6 + · · · (4.1.30)


(a) (b)

Figure 4.1.3 : (a) le graphe de la solution exacte. (b) le graphe de la solution

approchée de l’équ.(4.1.23) avec α = 1.

(c) (d) (e)

Figure 4.1.3 : (c), (d) et (e) représentent les graphes de la solution approchée

de l’équ.(4.1.23) avec α = 0.90, α = 0.80 et α = 0.70 respectivement.

Remarque 4.1.3 Pour les solutions approchées on retient quatre termes.

4.2 Applications de la méthode HPM 52

4.2 Applications de la méthode HPM

Dans ce paragraphe, nous allons examiner deux exemples d’équations différentielles ordinaires

d’ordre fractionnaire, un exemple d’équation différentielle aux dérivées partielles linéaire

d’ordre fractionnaire et présenter notre travail [40], qui concerne la résolution de l’équation

k(2, 2) non-linéaire avec la dérivée fractionnaire temporelle et spatiale, suivi d’une discussion

sur les solutions de l’équation considérée selon les valeurs de α et de β.

4.2.1 Equation différentielle ordinaire linéaire d’ordre fractionnaire

Exemple 4.2.1 Nous considérons l’équation différentielle linéaire d’ordre fractionnaire

à coeffi cients variables suivante :

cDα0+u− 2xu = −2x, 0 < α 6 1, (4.2.1)

avec la condition initiale suivante :

u(0) = 2, (4.2.2)

où cDα0+ désigne le dérivée fractionnaire au sens de Caputo.

Pour α = 1, la solution exacte de l’équation

u′ − 2xu = −2x, (4.2.3)

avec la condition initiale (4.2.2) est donnée par :

u = ex2

+ 1. (4.2.4)

D’après la formule (3.2.4), nous pouvons construire l’homotopie comme suit :

(1− p)[cDα0+v − cDα0+u0

]+ p

[cDα0+v − 2xv + 2x

]= 0,

p ∈ [0, 1] , (4.2.5)

oucDα0+v − cDα0+u0 + p cDα0+u0 − 2xp [v] + 2p(x) = 0. (4.2.6)

Nous essayons maintenant d’obtenir une solution pour (4.2.6) sous la forme :

v = v0 + pv1 + p2v2 + · · · . (4.2.7)


En substituant (4.2.7) dans (4.2.6), et en identifiant avec les termes des différents

monômes en p, nous obtenons les équations différentielles d’ordre fractionnaire suivantes :

p0 : cDα0+v0 =cDα0+u0,

p1 : cDα0+v1 +cDα0+u0 − 2xv0 + 2x = 0,

p2 : cDα0+v1 − 2xv1 = 0, (4.2.8)

p3 : cDα0+v2 − 2xv2 = 0,...


v0(x) = 2,

v1(x) =2

Γ(α + 2)xα+1,

v2(x) =4(α + 2)

Γ(2α + 3)x2α+2, (4.2.9)

v3(x) =8(α + 2)(2α + 3)

Γ(3α + 4)x3α+3,

v4(x) =16(α + 2)(2α + 3)(3α + 4)

Γ(4α + 5)x4α+4,

...

et comme

u(x) = limp−→1

∞∑i=0

pivi(x),

la solution approchée de l’équation (4.2.1) s’exprime comme suit :

u(x) = 2 +2

Γ(α + 2)xα+1 +

4(α + 2)

Γ(2α + 3)x2α+2 +

8(α + 2)(2α + 3)

Γ(3α + 4)x3α+3 + · · · . (4.2.10)

Pour α = 1, nous obtenons les quatre premiers termes de la solution approchée de

l’équation (4.2.1) dans le cas entier

u(x) = 2 + x2 +x4

2!+x6

3!+x4

4!+ · · · . (4.2.11)


D’autre part, le développement en série de Taylor au voisinage de x = 0 pour la

solution exacte (4.2.4) est donné par :

u(x) = 1 +

(1 + x2 +

x4

2!+x6

3!+x4

4!+ · · ·

). (4.2.12)

Cela confirme donc notre résultat.

Les graphes suivants représentent la solution exacte et des solutions approximatives

pour des valeurs différentes de l’ordre α.

Figure 4.2.1 : La solution exacte et des solutions numériques de l’équ.(4.2.1) selon

quelques valeurs de α.

Remarque 4.2.1 Pour les solutions approchées, on retient quatre termes.

4.2.2 Equation différentielle ordinnaire non-linéaire d’ordre frac-tionnaire

Exemple 4.2.2 Nous considérons l’équation différentielle non-linéaire d’ordre fractionnaire

suivante :cDα0+u− 2u+ u2 = −1, 0 < α 6 1, (4.2.13)

avec la condition initiale

u(0) = 2. (4.2.14)


cDα0+ désigne la dérivée fractionnaire au sens de Caputo.

Si α = 1, on obtient l’équation suivante :

u′ − 2u+ u2 = −1. (4.2.15)

L’équ.(4.2.15) est une équation de Riccati qui admet la solution exacte suivante :

u(x) =1

1 + x+ 1, |x| < 1. (4.2.16)

D’après la formule (3.2.4), nous pouvons construire l’homotopie suivante :

(1− p)[cDα0+v − cDα0+u0

]+ p

[cDα0+v − 2v + v2 + 1

]= 0,

p ∈ [0, 1] , (4.2.17)

oucDα0+v − cDα0+u0 + p cDα0+u0 − p

[2v − v2 − 1

]= 0. (4.2.18)

Nous essayons maintenant d’obtenir une solution pour (4.2.18) sous la forme :

v = v0 + pv1 + p2v2 + · · · . (4.2.19)

En substituant (4.2.19) dans (4.2.18), et en identifiant les termes de mêmes puissances

de p, nous obtenons les équations différentielles d’ordre fractionnaire suivantes :

p0 : cDα0+v0 =cDα0+u0,

p1 : cDα0+v1 +cDα0+u0 − 2v0 + v20 + 1 = 0,

p2 : cDα0+v1 − 2v1 + 2v0v1 = 0, (4.2.20)

p3 : cDα0+v2 − 2v2 + 2v0v2 + v21 = 0,...

A partir des équations (4.2.20) et la condition (4.2.14) nous obtenons les premiers termes


suivants :

v0(x) = 2,

v1(x) =−1

Γ(α + 1)xα,

v2(x) =2

Γ(2α + 1)x2α, (4.2.21)

v3(x) =−4− Γ(2α + 1)

Γ(3α + 1)x3α,

...

et comme

u(x) = limp−→1

∞∑i=0

pivi(x),

nous obtenons les premiers termes de la solution approchée de l’équation (4.2.13) :

u(x) = 2 +−1

Γ(α + 1)xα +

2

Γ(2α + 1)x2α +

−4− Γ(2α + 1)Γ(3α + 1)

x3α + · · · . (4.2.22)

Substituant α = 1 dans (4.2.22), nous obtenons la solution approchée de l’équation

(4.2.13) dans le cas entier

u(x) = 2− x+ x2 − x3 + · · · .

D’autre part, le développement en série de Taylor au voisinage de x = 0 pour la

solution exacte (4.2.16), est donnée par :

u(x) = 1 +(1− x+ x2 − x3 + · · ·

).


Figure 4.2.2 : La solution exacte et des solutions numériques de l’équ.(4.2.13) selon quelques

valeurs de α.


4.2.3 Equation aux dérivées partielles linéaire d’ordre fraction-naire temporelle

Exemple 4.2.3 Nous considérons l’équation aux dérivées partielles linéaire avec la dérivée

fractionnaire temporelle suivante :

cDα0+,tu− 2xux + u = 0, 0 < α 6 1, (4.2.23)

et la codition initiale

u(x, 0) = x. (4.2.24)

cDα0+,t désigne la dérivée fractionnaire temporelle au sens de Caputo.

Si α = 1, nous obtenons l’équation aux dérivées partielles linéaire suivante :

ut − 2xux + u = 0. (4.2.25)

La solution de l’équ.(4.2.25) qui vérifie la condition (4.2.24) est donnée par :

u(x, t) = xet. (4.2.26)


D’après la formule (3.2.4), nous pouvons construire l’homotopie comme suit :

(1− p)[cDα0+,tv − cDα0+,tu0

]+ p

[cDα0+,tv − 2xv + v

]= 0,

p ∈ [0, 1] , (4.2.27)

oucDα0+,tv − cDα0+,tu0 + p cDα0+,tu0 + p [−2xv + v] = 0. (4.2.28)

Nous cherchons une solution pour (4.2.28) sous la forme :

v = v0 + pv1 + p2v2 + · · · . (4.2.29)

En substituant (4.2.29) dans (4.2.28), et en identifiant les termes de mêmes puissances

de p, nous obtenons l’ensemble des équations aux dérivées partielles d’ordre fraction-

naire suivantes :

p0 : cDα0+,tv0 =cDα0+,tu0,

p1 : cDα0+,tv1 +cDα0+,tu0 − 2xv0 + v0 = 0,

p2 : cDα0+,tv1 − 2xv1 + v1 = 0, (4.2.30)

p3 : cDα0+,tv2 − 2xv2 + v2 = 0,...

A partir des équations (4.2.30) et la condition (4.2.24), nous obtenons les premiers termes

suivants :

v0(x, t) = x,

v1(x, t) =x

Γ(α + 1)tα,

v2(x, t) =x

Γ(2α + 1)x2α, (4.2.31)

v3(x, t) =x

Γ(3α + 1)x3α,

...

et comme

u(x, t) = limp−→1

∞∑i=0

pivi(x, t),


la solution approchée de l’équation (4.2.23) s’écrit :

u(x, t) = x+x

Γ(α + 1)tα +

x

Γ(2α + 1)t2α +

x

Γ(3α + 1)t3α + · · · . (4.2.32)

Pour α = 1 dans (4.2.32), nous obtenons les quatre premiers termes de la solution

approchée de l’équation (4.2.25) :

u(x, t) = x(1 + t+t2

2!+t3

3!+ · · · ). (4.2.33)

D’après les premiers termes de la solution approchée (4.2.25), nous concluons que la

solution exacte de l’équation (4.2.25) est donnée par :

u(x, t) = xet.

(a) (b)

Figure 4.2.3 : (a) le graphe de la solution exacte, (b) le graphe de la solution approchée


de l’équ.(4.2.23) avec α = 1.

(c) (d) (e)

Figure 4.2.3 : (c), (d) et (e) les graphes de la solution approchée de l’équ.(4.2.23) avec

α = 0.90, α = 0.80 et α = 0.70 respectivement.

Remarque 4.2.3 Pour les solutions approchées, on retient quatre termes.

4.2.4 L’équation k(2,2) non-linéaire d’ordre fractionnaire

Notre préoccupation dans notre travail [40] est de considérer la solution numérique de l’équa-

tion K(2, 2) non-linéaire avec dérivée fractionnaire temporelle et spatiale.

L’équation considérée est donnée par :

cDα0+,tu+ (2u+ 6uxx)cDβ0+,xu+ 2uuxxx = 0, 0 < α, β ≤ 1, (4.2.34)

avec la condition initiale

u(x, 0) = g(x). (4.2.35)

Quand α = β = 1, l’équation donnée devient l’équation K(2, 2) classique sous la forme :

ut + (u2)x + (u

2)xxx = 0, (4.2.36)


Nouvelle modification de la HPM

Momani et al. [28] ont introduit un algorithme pour traiter de manière réaliste et effi cace

des équations aux dérivées partielles non-linéaires d’ordre fractionnaire. Ils considèrent les

équations aux dérivées partielles non-linéaires avec dérivée fractionnaire temporelle de la

forme :

{(cDα0+,tu)(x, t) = f(u, ux, uxx) = L(u, ux, uxx) +N(u, ux, uxx) + h(x, t), t > 0

uk(x, 0) = gk(x), k = 0, 1, 2, ....m− 1,(4.2.37)

où L est un opérateur linéaire, N est un opérateur non linéaire qui pourrait également inclure

d’autres dérivéés fractionnaires d’ordre inférieur à α. La fonction h est considérée comme une

fonction analytique connue et cDα0+,t, m− 1 < α ≤ m, est la dérivée fractionnaire de Caputo

d’ordre α.

D’après la technique d’homotopie, nous pouvons construire l’homotopie suivante :

∂um

∂tm− L(u, ux, uxx)− h(x, t) = p[

université d'oran 1 ahmed ben bella - republique ...en hommage à la mØmoire du regrettØ pr. a....

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