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REPUBLIQUE ALGERIENNE DEMOCRATIQUE ET POPULAIRE
Ministère de l’Enseignement Supérieur et de la recherche Scientifique
UNIVERSITE D’ORAN 1, AHMED BEN BELLA
Faculté des Sciences Exactes et Appliquées
Département de mathématiques
THESE DE DOCTORAT
Spécialité : EDP-Analyse Numérique
Intitulée
Méthode combinée des perturbations HPM et VIM pour la
résolution des équations différentielles ordinaires et EDP d’ordre
fractionnaire
Présentée par
Djelloul ZIANE
Soutenue le 17/05/2016, devant le Jury composé de :
Président NACHI Khadra Prof.Univ-Oran1 Ahmed Ben BellaDirecteur BELGHABA Kacem Prof.Univ-Oran1 Ahmed Ben BellaExaminateur TERBECHE Mekki Prof.Univ-Oran1 Ahmed Ben BellaExaminateur BENAISSA Abbes Prof.Univ-Djillali Liabes Sidi Bel AbbesExaminateur HAKEM Ali Prof.Univ-Djillali Liabes Sidi Bel AbbesExaminateur OUAHAB Abdelghani Prof.Univ-Djillali Liabes Sidi Bel AbbesMembre invité BOUDAOUD Fatima Prof.Univ-Oran1 Ahmed Ben Bella
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RemerciementsC’est un réel plaisir pour moi d’écrire ces lignes par lesquelles je tiens à remercier les nom-
breuses personnes qui ont contribué, de diverses manières, à ce travail.
Mes premiers remerciements vont tout naturellement vers mes deux directeurs de thèse le
Professeur Abdelkader Bouhassoun qui est décédé le 22 Janvier 2014 sur le campus de l’Uni-
versité d’Oran1 Ahmed Ben Bella, et qui m’a initié à faire mes premiers pas dans la recherche
mathématique, ainsi qu’au Professeur Kacem Belghaba. Je leur suis extrêmement reconnais-
sant d’avoir accepté de m’encadrer. Tout au long de ces années, ils ont su me prodiguer
de bons conseils et m’indiquer les directions à suivre tout en me laissant une très grande
autonomie.
Nous tenons à remercier professeure NACHI Khadra, à l’université d’Oran1 Ahmed Ben Bella
d’avoir accepter de présider ce jury.
Mes remerciements s’adressent très particulièrement à tous les membres du Jury, pour l’hon-
neur qu’ils me font en acceptant d’être dans le Jury de ma thèse, en l’occurrence :
Monsieur TERBECHE Mekki, professeur à l’université d’Oran1 Ahmed Ben Bella.
Monsieur OUAHAB Abdelghani, professeur à l’université de Sidi Bel Abbes.
Monsieur HAKEM Ali, professeur à l’université de Sidi Bel Abbes.
Monsieur BENAISSA Abbes, professeur à l’université de Sidi Bel Abbes.
Je remercie notre invitée Madame BOUDAOUD Fatima Maitre de conférence à l’université
d’Oran1 Ahmed Ben Bella pour avoir accepter de faire partie de mon jury.
Je tiens ainsi particulièrement à remercier Monsieur Hamdi Cherif Mountassir pour les discus-
sions mathématiques et informatique, et les bons moments passés ensemble. Je dois remercier
les amis proches de leur soutien constant durant les années d’études : Merci à Meddik Moussa.
Mes remerciements les plus profonds vont naturellement à tous les membres de ma famille,
qui m’ont soutenu constamment durant toutes ces longues années d’études : Maman, ma
femme, Imane et Abdelmalik.
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Dédicace
Ce travail est dédié :
À la mémoire de mon père.
À la mémoire de notre cher professeur Bouhassoun A.
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Table des matières
0.1 INTRODUCTION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1 Notions basiques de calcul fractionnaire 7
1.1 Fonctions utiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.1 La fonction Gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.2 La fonction Bêta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.3 La fonction Mittag-Leffl er . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2 Dérivée fractionnaire au sens de Riemann-Liouville . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.1 Intégrale fractionnaire au sens de Riemann-Liouville 9
1.2.2 Dérivée fractionnaire au sens de Riemann-Liouville . . . . . . . . . . . 10
1.3 Dérivée fractionnaire au sens de Caputo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.2 Dérivée fractionnaire au sens de Caputo . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4 Transformée de Laplace des dérivées fractionnaires . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4.1 Outils de base de la transformée de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4.2 Transformée de Laplace de la dérivée fractionnaire de Riemann-Liouville 17
1.4.3 Transformée de Laplace de la dérivée fractionnaire de Caputo . . . . . 18
2 Existence et unicité 19
2.1 Équations différentielles fractionnaire au sens de Riemann-Liouville . . . . . . 19
2.1.1 Théorème du point fixe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
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TABLE DES MATIÈRES 5
2.1.2 Equivalence entre le problème de type Cauchy et l’équation intégrale
de Volterra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.1.3 Existence et unicité de la solution du problème de type Cauchy . . . . 23
3 Methodes VIM et HPM et leurs convergences 27
3.1 La méthode VIM et sa convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.1.2 La méthode VIM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.1.3 Préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.1.4 Analyse de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2 La méthode HPM et sa convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.2.2 La méthode HPM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.2.3 Analyse de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.2.4 Existence et unicité des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.2.5 Preuve de la convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.2.6 Estimation d’erreur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4 Applications numériques pour les deux méthodes VIM et HPM 40
4.1 Applications de la méthode VIM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.1.1 Equation différentielle ordinaire linéaire d’ordre fractionnaire . . . . . . 40
4.1.2 Equation différentielle ordinaire non-linéaire d’ordre fractionnaire . . . 42
4.1.3 Equation aux dérivées partielles linéaire d’ordre fractionnaire temporelle 45
4.1.4 Equation aux dérivées partielles non-linéaire d’ordre fractionnaire tem-
porelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.2 Applications de la méthode HPM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.2.1 Equation différentielle ordinaire linéaire d’ordre fractionnaire . . . . . . 50
4.2.2 Equation différentielle ordinnaire non-linéaire d’ordre fractionnaire . . . 52
4.2.3 Equation aux dérivées partielles linéaire d’ordre fractionnaire temporelle 55
4.2.4 L’équation k(2,2) non-linéaire d’ordre fractionnaire . . . . . . . . . . . 58
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TABLE DES MATIÈRES 6
5 Méthodes de combinaison 66
5.1 Combinaison des méthodes VIM et HPM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.1.1 Méthode de perturbation homotopique variationnelle (VHPM) . . . . . 66
5.1.2 VHPM pour résoudre des EDOs et EDPs d’ordre fractionnaire . . . . . 73
5.1.3 VHPM pour résoudre l’équation de Foam-Drainage d’ordre fractionnaire 81
5.2 Combinaison de la HPM avec la transformée de Laplace . . . . . . . . . . . . . 87
5.2.1 Méthode de transformée et de perturbation homotopique fractionnaire
(FHPTM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.2.2 FHPTM pour résoudre les équations KdV, K(2,2) et l’équation de Bur-
ger fractionnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.2.3 FHPTM pour résoudre l’équation de gaz-dynamique fractionnaire . . . 94
5.3 Combinaison de la VIM avec la transformée de Laplace . . . . . . . . . . . . . 99
5.3.1 Méthode de transformée et d’itération variationnelle fractionnaire (FVITM) 99
5.3.2 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
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0.1 INTRODUCTION 7
0.1 INTRODUCTION
Historiquement, il est établi que la question de la dérivation numérique d’ordre fractionnaire
des fonctions et de son opération inverse l’intégrale a été discutée dans diverses correspon-
dances entre Gottfried Leibniz (1646-1716), Guillaume de L’Hôspital (1661-1704). Cependant
la question restera confinée à ce fait et aucun développement majeur ne fut réalisé par ces
premiers précurseurs dans ce domaine des mathématiques.
Ce n’est que plus tard, lors de l’étude de certains phénomènes en mécanique des fluides, qu’il
a été remarqué la présence d’une intégrale d’ordre un demi dans les équations de la chaleur
quand on veut par exemple expliciter un flux de chaleur latérale d’un écoulement fluide en
fonction de l’évolution temporelle de la source interne. Dès lors les développements fusèrent
dans différents domaines d’études, en particulier en hydrodynamique, thermodynamique, en
théorie de la diffusion , en électrochimie pour ne citer que ces exemples.
Les mathématiciens Joseph Liouville et Bernhard Riemann apportèrent une importante
contribution au milieu du XIXe siècle. Toutes les ambiguïtés faisant suite aux diverses défi-
nitions proposées furent levées avec l’avènement de la théorie des distributions. Actuellement
doté du cadre abstrait et formel et élaboré par l’apport de beaucoup d’auteurs le calcul
fractionnaire a fini par constituer à lui seul un domaine dans les mathématiques sous l’ap-
pellation : analyse fractionnaire. Si aujourd’hui on continue à utiliser la dénomination calcul
fractionnaire, c’est beaucoup plus par nostalgie et par respect des traditions qui ont entouré
cette notion. La perception d’une dérivée d’ordre un nombre réel quelconque n’est plus un
fait renversant mais bien au contraire. Son apport a permis et permet encore d’entrevoir les
phénomènes de la nature qui nous entoure autrement, de les modéliser par des équations ou
systèmes différentiels d’ordre non entier et qui traduisent mieux le passage du réel au connu.
Dans cette optique, les systèmes différentiels d’ordre non entier, bien que plus compliqués,
s’avèrent mieux adaptés à la modélisation mécanique de certains matériaux qui conservent la
mémoire des déformations passées, comportement qualifié de viscoélastique dans le langage
des mécaniciens.
L’objectif principal de cette thèse est tout d’abord de présenter deux nouvelles méthodes ana-
lytiques HPM, VIM ainsi que leurs combinaisons pour résoudre des équations différentielles
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0.1 INTRODUCTION 8
d’ordre fractionnaire. De même qu’une étude est faite sur la combinaison de chacune de ces
méthodes avec la transformation de Laplace.
Cette thèse se compose d’une introduction et cinq chapitres. Le premier chapitre est consa-
cré aux définitions et notions générales dont on aura besoin dans la suite du travail. Nous
rappelons les notions des intégrales et dérivées fractionnaires de Riemann-Liouville, Caputo
et la transformation de Laplace.
Le deuxième chapitre est consacré à étudier l’existence et l’unicité des solutions des problèmes
de type Cauchy pour des équations ordinaires d’ordre fractionnaire sur un intervalle fini de
l’axe réel dans l’espace des fonctions continues et sommables. Nous utiliserons le théorème
du point fixe pour montrer l’existence et l’unicité.
Dans le troisième chapitre on va présenter brièvement la méthode d’itération variationnelle
(VIM) et la méthode de perturbation d’homotopie (HPM), puis nous allons étudier la conver-
gence de chacune de ces méthodes pour les équations différentielles aux dérivées partielles
d’ordres fractionnaires.
Le quatrième chapitre est consacré aux appliquations de ces méthodes (VIM), (HPM) pour
résoudre des équations différentielles ordinaires et des équations différentielles aux dérivées
partielles d’ordres fractionnaires avec la dérivée fractionnaire au sens de Caputo.
Dans le cinquième chapitre on étudier la combinaison des deux méthodes VIM et HPM, et
leurs applications sur les équations différentielles ordinaires et les EDPs d’ordres fraction-
naires. En hommage à la mémoire du regretté Pr. A. Bouhassoun, on reprend un papier
de Bouhassoun et al. sur la résolution numérique de l’equation de Foam Drainage d’ordre
fractionnaire en lui appliquant la méthode de combinaison (VHPM). A la fin de ce chapitre
et de la thèse, nous présentons notre travail qui concerne la combinaison de chacune de ces
méthodes avec la transformée de Laplace.
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Chapitre 1
Notions basiques de calculfractionnaire
Dans ce chapitre nous présentons des notions de base qui concernent les fonctions spéciales
qui sont utilisées dans notre travail.
1.1 Fonctions utiles
Dans cette section nous présentons des définitions et quelques propriétés pour les fonctions :
Gamma, Bêta et Mittag-Leffl er.
1.1.1 La fonction Gamma
La fonction Gamma d’Eleur est une fonction de base du calcul fractionnaire. Cette fonction
généralise le factoriel n!, et permet à n de prendre des valeurs réelles ou même complexes.
Définition 1.1.1 [31] La fonction Gamma est définie par l’intégrale
Γ (z) =
∫ ∞0
e−ttz−1dt, (1.1.1)
qui converge sur le demi-plans complexe < (z) > 0.
En intégrant par partie, on montre que :
Γ (z + 1) = zΓ (z) , < (z) > 0. (1.1.2)
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1.1 Fonctions utiles 10
On a aussi :
∀n ∈ N; Γ(n+ 1) = n!. (1.1.3)
Parmi les propriétés de la fonction Gamma on a :
1
Γ (−m) = 0, (m = 0, 1, 2...).
1.1.2 La fonction Bêta
Elle fait partie des fonctions de base du calcul fractionnaire. Cette fonction joue un rôle
important quand elle est combinée avec la fonction Gamma.
Définition 1.1.2 [31] La fonction Bêta est définie par
B (z, ω) =
∫ 10
tz−1 (1− t)ω−1 dt, 0, 0. (1.1.4)
Lien entre ces deux fonctions
Les fonctions Bêta et Gamma sont liées par la relation [31] :
B (z, ω) =Γ (z) Γ (ω)
Γ (z + ω). (1.1.5)
D’après (1.1.5), on obtient :
B (z, ω) = B (ω, z) .
1.1.3 La fonction Mittag-Leffl er
La fonction Mittag-Leffl er joue un rôle très important dans la théorie des équations diffé-
rentielles d’ordre entier. Elle est aussi largement utilisée dans la recherche des solutions des
équations différentielles d’ordre fractionnaire. Cette fonction à été introduite par G.M.Mittag-
Leffl er et étudiée par A.Wiman [25].
Définition 1.1.3 [31] Pour z ∈ C tel que 0, la fonction Mittag-Leffl er est définie
comme suit :
Eα(z) =∞∑k=0
zk
Γ (αk + 1). (1.1.6)
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1.2 Dérivée fractionnaire au sens de Riemann-Liouville 11
En particulier :
E1(z) = ez, E2(z) = cosh(
√z).
Cette fonction peut être généralisée pour deux paramètres pour donner :
Eα,β(z) =
∞∑k=0
zk
Γ (αk + β), α > 0 , β > 0. (1.1.7)
1.2 Dérivée fractionnaire au sens de Riemann-Liouville
Cette section est consacrée aux définitions élémentaires pour les intégrales et les dérivées frac-
tionnaires selon l’approche de Riemann-Liouville ainsi qu’à quelques propriétés sur un inter-
valle fini de l’axe réel dans l’espace des fonctions continues et sommables.
1.2.1 Intégrale fractionnaire au sens de Riemann-Liouville
Soit Ω = [a, b], (−∞ < a < b < +∞) un intervalle fini sur R, et f une fonction intégrable sur
Ω. L’intégrale fractionnaire (voir [25],[31]) de Riemann-Liouville Iαa+f d’ordre α ∈ C (
0) est définie par :
(Iαa+f)(t) =1
Γ (α)
∫ ta
(t− s)α−1f(s)ds, (t > a, 0), (1.2.1)
où Γ (.) est la fonction Gamma définie dans (1.1.1). La formule (1.2.1) est appelée intégrale
fractionnaire d’ordre α à gauche.
Quand α = n ∈ N, la définition (1.2.1) coïncide avec la n − iéme intégrale de la forme
suivante :
(Ina+f)(t) =
∫ ta
ds1
∫ s1a
ds2....
∫ sn−1a
f(sn)dsn
=1
(n− 1)!
∫ ta
(t− s)n−1f(s)d(s), (n ∈ N). (1.2.2)
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1.2 Dérivée fractionnaire au sens de Riemann-Liouville 12
1.2.2 Dérivée fractionnaire au sens de Riemann-Liouville
La dérivée fractionnaire de Riemann-LiouvilleDαa+f d’ordre α ∈ C ( 0), (voir [25],[31])est définie par :
(Dαa+f)(t) =dn
dtn(In−αa+ f)(t)
=1
Γ(n− α)dn
dtn
∫ ta
(t− s)n−α−1f(s)ds, (n = [ a), (1.2.3)
où [·] dénote la fonction partie entière d’un nombre réel.
En particulier, quand α = n ∈ N, on obtient :
(D0a+f)(t) = f(t), (Dnf)(t) = f (n)(t), (1.2.4)
où f (n)(t) désigne la dérivée usuelle d’ordre n de f(t).
Pour 0 < a). (1.2.5)
Quelques propriétés
Les dérivées fractionnaires au sens de Riemann-Liouville ont les propriétés suivantes (voir
[25],[31]) :
1. Comparativement à la différentiation d’ordre entier, la différentiation fractionnaire est
une opération linéaire.
Dα(λf(t) + µg(t)) = λ(Dαf)(t) + µ(Dαg)(t), λ, µ ∈ R
2. Si f(t) est continue pour t > a, alors l’intégrale fractionnaire d’ordre réel arbitraire définie
par (1.2.1), possède la propriété importante suivante :
(Iαa+Iβa+f)(t)= (I
α+βa+ f)(t) , (α > 0, β > 0), (1.2.6)
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1.2 Dérivée fractionnaire au sens de Riemann-Liouville 13
3. La propriété qui serait peut être la plus importante de la dérivation fractionnaire selon
l’approche de Riemann-Liouville est la suivante :
(Dαa+Iαa+f)(t) = f(t), (α > 0)
4. Si α > β > 0, et f(t) ∈ Lp (a, b) , (1 6 p 6∞), la relation
(Dβa+Iαa+f)(t) = (I
α−βa+ f)(t), (1.2.7)
est satisfaite presque partout sur l’intervalle [a, b], où Lp[a, b] = { f : [a, b]→ R; f mesurable
dans [a, b] et∫ ba|f(t)|p dt 0, m ∈ N et D = ddt. Si les deux dérivées fractionnaires (Dαa+f)(t), (D
mf)(t)
existent, on a alors :
(DmDαa+f)(t) = (Dα+ma+ f)(t). (1.2.8)
Intégrale fractionnaire de la fonction f(t) = (t− a)β
On va calculer (voir [3]) l’intégrale fractionnaire Iαa+f au sens de Riemann-Liouville de la fonc-
tion puissance f(t) = (t−a)β, où β désigne un nombre réel.
On utilise la formule (1.2.1)
Iαa+(t− a)β =1
Γ (α)
∫ ta
(t− s)α−1(s− a)βds, (1.2.9)
et on suppose que β > −1 pour la convergence de l’intégrale. En appliquant dans (1.2.9)
le changement de variable s = a + ξ(t − a), et en utilisant la définition de la fonction Bêta
(1.1.4), on obtient :
Iαa+(t− a)β =1
Γ (α)(t− a)α+β
∫ 10
(1− ξ)α−1ξβdξ, (1.2.10)
où ξ = 0 quand s = a, ξ = 1 quand s = t et ξ = s−at−a .
Aors,
Iαa+(t− a)β =1
Γ (α)B(β + 1, α)(t− a)α+β.
L’utilisation de la formule (1.1.5) donne le résultat :
Iαa+(t− a)β =Γ (β + 1)
Γ (β + α + 1)(t− a)β+α, (α > 0, β > −1). (1.2.11)
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1.2 Dérivée fractionnaire au sens de Riemann-Liouville 14
Dérivée fractionnaire de la fonction f(t) = (t− a)β
On calcule maintenant (voir [1]) la dérivée fractionnaire Dαa+f, au sens de Riemann-Liouville
de la fonction f(t) = (t− a)β, (β ∈ R).
Dans ce cas, on suppose que 0 ≤ n − 1 6 α < n, et on rappelle la définition de la dérivéefractionnaire au sens de Riemann-Liouville :
(Dαa+f)(t) =dn
dtn(In−αa+ f)(t), (n− 1 6 α < n). (1.2.12)
Avant d’appliquer la formule (1.2.12), on suppose β > n pour la convergence de l’intégrale
(1.2.1).
On a alors :
Dαa+(t− a)β =dn
dtn(In−α(t− a)β). (1.2.13)
L’utilisation de la formule (1.2.11) et (1.2.13) donne :
Dαa+(t− a)β =Γ (β + 1)
Γ (β + n− α + 1)dn
dtn(t− a)β+n−α. (1.2.14)
En tenant compte de
dn (t− a)β+n−α
dtn= (β + n− α)(β + n− α− 1)...(β − α + 1)(t− a)β−α
=Γ (β + n− α + 1)
Γ (β − α + 1) (t− a)β−α. (1.2.15)
On substitue le résultat (1.2.15), dans la formule (1.2.14) pour obtenir
Dαa+(t− a)β =Γ (β + 1)
Γ (β − α + 1)(t− a)β−α.
On conclue alors que la dérivée fractionnaire au sens de Riemann-Liouville de la fonction
f(t) = (t− a)β est :
Dαa+(t− a)β =Γ (β + 1)
Γ (β − α + 1)(t− a)β−α, (1.2.16)
avec 0 6 n−1 6 α < n, β > n.
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1.3 Dérivée fractionnaire au sens de Caputo 15
Dérivée fractionnaire d’une constante
En particulier (voir [31]), si en prend la relation (1.2.16) en posant aussi β = 0 avec α > 0,on conclue que la dérivée fractionnaire d’une constante au sens de Riemann-Liouville est
différente à zéro, c’est-à-dire :
(Dαa+1)(t) =(t− a)−αΓ(1− α) , ( 0 < α < 1 ). (1.2.17)
D’autre part, pour j = 1, ..., [α] + 1, on a :
Dαa+(t− a)α−j = 0.
1.3 Dérivée fractionnaire au sens de Caputo
1.3.1 Introduction
La modélisation mathématique des problèmes de sciences physiques et de l’ingénierie utilisent
les définitions des dérivées fractionnaires autorisant l’utilisation des conditions initiales qui
sont interprétables physiquement, comme par exemple f(a), f ′(a)..., et ce malgré le fait que
des problèmes aux valeurs initiales avec de telles conditions initiales peuvent être résolus
mathématiquement. La solution de ces problèmes a été proposée par M.Caputo (dans les
années soixante) dans sa définition, qu’il a adapté avec Mainardi dans la structure de la
théorie de la viscoélasticité. Il a introduit une dérivée fractionnaire qui est plus adaptée que
celle de Riemann-Liouville [31].
1.3.2 Dérivée fractionnaire au sens de Caputo
Définition 1.3.1 [25] La dérivée fractionnaire de Caputo (cDαa+f)(t) d’ordre α ∈ C (0), sur l’intervalle [a, b] , est définie par l’intermédiaire de la dérivée fractionnaire de Riemann-
Liouville par :
(cDαa+f)(t) = Dαa+
[f(t)−
n−1∑k=0
f (k)(a)
k!(t− a)k
], (1.3.1)
où
n = [
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1.3 Dérivée fractionnaire au sens de Caputo 16
en particulier pour 0 <
-
1.3 Dérivée fractionnaire au sens de Caputo 17
3. Lien entre l’intégrale fractionnaire de Riemann-Liouville et la dérivée fractionnaire de
Caputo.
Soit α > 0, et n donné par (1.3.2). Si f(t) ∈ ACn[a, b], alors :
(Iα ca+Dαa+f) (t) = f(t)−
n−1∑k=0
f (k)(a)
k!(t− a)k.
En particulier, si 0 < α < 1, et f(t) ∈ AC[a, b] où f(t) ∈ C[a, b], on obtient la relation
suivante :
(Iα ca+Dαa+f )(t) = f(t)− f(a).
Dérivée fractionnaire de la fonction f(t) = (t− a)β
On va calculer la dérivée fractionnaire cDαa+f, au sens de Caputo de la fonction f(t) =
(t− a)β, (β ∈ R).
On suppose que 0 6 n − 1 6 α < n, et on rappelle la définition de la dérivée fractionnaireau sens de Caputo :
(cDαa+f)(t) = (In−αa+ D
nf)(t), (n− 1 6 α < n). (1.3.8)
Avant d’appliquer la formule (1.3.8), on suppose β > n pour la convergence de l’intégrale
(1.2.1).
On alors alors :cDαa+(t− a)β = In−αa+ Dn(t− a)β. (1.3.9)
En tenant compte de
Dn(t− a)β = dn (x− a)β
dtn= β(β − 1)......(β − n+ 1)(t− a)β−n
=Γ (β + 1)
Γ (β − n+ 1)(t− a)β−n, (1.3.10)
-
1.4 Transformée de Laplace des dérivées fractionnaires 18
et en substituant le résultat (1.3.10), dans la formule (1.3.9) tout en s’appuyant sur la relation
(1.2.11), on obtient :
cDαa+(t− a)β =Γ (β + 1)
Γ (β − α + 1)(t− a)β−α.
Donc la dérivée fractionnaire au sens de Caputo de la fonction f(t) = (t − a)β est donnée
par :cDαa+(t− a)β =
Γ (β + 1)
Γ (β − α + 1)(t− a)β−α, (1.3.11)
avec n donné par (1.3.2), et β > n.
Dérivée fractionnaire d’une constante
L’utilisation de la formule (1.3.1) ou (1.3.4) pour calculer la dérivée fractionnaire de la
constante k, (k ∈ R) exprime que cette dérivée égale à zéro, c’est-à -dire [25] :
(cDαa+k)(t) = 0, ( α > 0 ).
1.4 Transformée de Laplace des dérivées fractionnaires
Dans cette section, nous présentons quelques outils de base et des formules fondamentales de
la transformée de Laplace pour les dérivées fractionnaires selon les approches de Riemann-
Liouville et Caputo.
1.4.1 Outils de base de la transformée de Laplace
Rappelons quelques résultats fondamentaux de la transformée de Laplace (voir [25],[31]).
La fonction F (s) de la variable complexe s définie par :
F (s) = L {f(t); s} =∫ ∞
0
e−stf(t)dt, s ∈ C, (1.4.1)
est appelée la transformée de Laplace de la fonction f(t) où t ∈ R+.
La transformée inverse de Laplace est donnée par :
f(t) = L−1 {F (s); t} =∫ c+i∞c−i∞
estF (s)ds, c = Re(s) > c0,
-
1.4 Transformée de Laplace des dérivées fractionnaires 19
où c0 réside dans le demi-plan droit de la convergence absolue de l’intégrale de Laplace (1.4.1).
La transformée de Laplace de la convolution
f (t) ∗ g(t) =∫ t
0
f(t− τ)g(τ)dτ =∫ t
0
f(τ)g(t− τ)dτ , (1.4.2)
de deux fonctions f (t) et g(t) qui sont nulles pour t < 0, est égale au produit de leurs
transformées de Laplace
L { f (t) ∗ g(t); s} = F (s).G(s),
sous l’hypothèse que F (s) et G(s) existent.
La transformée de Laplace de la dérivée d’ordre entier de la fonction f(t) est donnée par :
L{f (n) (t) ; s
}= snF (s)−
n−1∑k=0
sn−k−1f (k)(0) = snF (s)−n−1∑k=0
skf (n−k−1)(0), (1.4.3)
ce qui peut être obtenu à partir de la définition (1.4.1) par une intégration par parties avec
sous l’hypothèse que les intégrales correspondantes existent.
1.4.2 Transformée de Laplace de la dérivée fractionnaire de Riemann-Liouville
On commence par la transformée de Laplace de l’intégrale fractionnaire d’ordre α ∈ C
( 0) de Riemann-Liouville définie par (1.2.3), laquelle peut être comme une convolution
des deux fonctions g(t) = tα−1 et f(t) comme suit (voir [31] ) :
(Iα0+f)(t) =1
Γ(α)
∫ t0
(t− s)α−1f(s)ds = 1Γ(α)
tα−1 ∗ f(t),
telle que la transformée de Laplace de la fonction tα−1 est donnée par :
G(s) = L{tα−1; s } = Γ(α)s−α.
On obttient la formule de la transformée de Laplace de l’intégrale fractionnaire de Riemann-
Liouville suivante :
L{ (Iα0+f)(t) ; s} = s−αF (s), (1.4.4)
où F (s) dénote la transformée de Laplace de f(t).
La formule de la transformée de Laplace de la dérivée fractionnaire au sens de Riemann-
Liouville d’ordre α > 0 est donnée par :
L {(Dα0+f)(t) ; s } = sαF (s)−n−1∑k=0
sk[(Dα−k−10+ f)(t)]t=0 (n− 1 6 α < n ).
-
1.4 Transformée de Laplace des dérivées fractionnaires 20
1.4.3 Transformée de Laplace de la dérivée fractionnaire de Ca-puto
Pour établir la formule de la transformée de Laplace de la dérivée fractionnaire au sens de
Caputo ([31]), écrivons la dérivée au sens de Caputo sous la forme :
( cDα0+f)(t) = (In−α0+ g)(t), g(t) = f
(n)(t),
n− 1 < α 6 n
Utilisons la formule (1.4.4) de la transformée de Laplace de l’intégrale fractionnaire de
Riemann-Liouville on obtient :
L{ (Iα0+f)(t); s} = s−(n−α)F (s), (1.4.5)
où, selon la formule suivante :
L{f (n) (t) ; s
}= snF (s)−
n−1∑k=0
sn−k−1f (k)(0) = snF (s)−n−1∑k=0
skf (n−k−1)(0). (1.4.6)
En substituant (1.4.6) dans (1.4.5), on obtient la formule de la transformée de Laplace de la
dérivée fractionnaire au sens de Caputo suivante :
L{ (cDα0+f)(t); s} = sαF (s)−n−1∑k=0
sα−k−1f (k)(0), (n− 1 < α 6 n ).
La formule de la dérivée fractionnaire temporelle au sens de Caputo, est donnée par :
(cDα0+,tu)(x, t) =∂αu(x, t)
∂tα
=
{1
Γ(m−α)∫ t
0(t− τ)m−α−1 ∂
mu(x,τ)∂τm
dτ , 0 < m− 1 < α < m,∂mu(x,t)∂tm
, α = m.
-
Chapitre 2
Existence et unicité
Ce chapitre est consacré à prouver l’existence et l’unicité des solutions des problèmes de type
Cauchy pour des équations différentielles ordinaires d’ordre fractionnaire sur un intervalle
fini de l’axe réel dans l’espace des fonctions continues et sommables.
2.1 Équations différentielles fractionnaire au sens deRiemann-Liouville
Dans cette section nous donnons des conditions pour l’existence d’une solution unique du
problème de type Cauchy (voir [25])
(Dαa+y)(t) = f(t, y(t)); (0 < α < 1, t > a), (2.1.1)
(Dα−1a+ y)(a+) = b; b ∈ R (2.1.2)
dans l’espace Lα(a, b) défini pour α ∈ R (α > 0) par :
Lα(a, b) = {y ∈ L(a, b) : (Dαa+y) ∈ L(a, b)}. (2.1.3)
Ici L(a, b) désigne l’espace des fonctions sommables dans un intervalle [a, b] de l’axe réel, où
la norme d’un vecteur de f de L(a, b) est définie par :
‖f‖1 =∫ ba
|f(t)| dt (2.1.4)
Les recherches sont basées sur la transformation du problème considéré au l’équation intégrale
de Volterra de deuxième espèce et sur l’utilisation du théorème du point fixe de Banach.
-
2.1 Équations différentielles fractionnaire au sens de Riemann-Liouville 22
2.1.1 Théorème du point fixe
On rapelle le théorème classique du point fixe de Banach, dans un espace métrique complet.
Théorème 2.1.1 [25] Soient (U, d) un espace métrique complet non vide, 0 < ω < 1 et T :
U −→ U une application contractante ie ; telle que, pour chaque u, v ∈ U, la relation
d(Tu, Tv) 6 ωd(u, v) (2.1.5)
est satisfaite. Alors l’opérateur T a un point fixe unique u∗ ∈ U. De plus , si T k(k ∈ N) est
la suite d’opérateurs définie par :
T 1 = T et T k = TT k−1 (k ∈ N\{1}), (2.1.6)
alors pour tout u0 ∈ U, la suite {T ku0}∞k=1 converge vers le point fixe u∗.
Si T : U −→ U vérifie la condition (2.1.5), elle est appelée contraction ou application contrac-
tante (preuve voir [29]).
2.1.2 Equivalence entre le problème de type Cauchy et l’équationintégrale de Volterra
Dans cette sous-section (voir [25],[26]), nous montrons que le problème de type Cauchy (2.1.1)-
(2.1.2) et l’équation intégrale de Volterra
y(t) =b
Γ(α)(t− a)α−1 + 1
Γ(α)
∫ ta
(t− s)α−1f(s, y(s))ds, (t > a), (2.1.7)
sont
équivalents dans le sens que, si y(t) ∈ L(a, b) satisfait une de ces relations, alors elle satis-
fait aussi l’autre. On donne ici un lemme très utile pour établir l’existence et l’unicité de la
solution.
Lemme 2.1.1 [25]L’opérateur d’intégration fractionnaire Iαa+ avec α ∈ R (0 < α < 1) est
borné dans L(a, b) : ∥∥Iαa+g∥∥1 6 (b− a)αΓ(α + 1) ‖g‖1 . (2.1.8)
-
2.1 Équations différentielles fractionnaire au sens de Riemann-Liouville 23
Preuve. Voir le livre de Kilbas [25]. �Ici, et ailleurs dans la suite de ce chapitre, nous supposons que toutes les relations sont
satisfaites presque partout dans [a, b] .
Théorème 2.1.2 [26] Soient α ∈ R (0 < α < 1), G un ensemble ouvert dans R, et f : (a, b]×
G −→ R une fonction telle que f(t, y) ∈ L(a, b) pour toute y ∈ G.
Soit y ∈ L(a, b), alors y satisfait les relations (2.1.1)-(2.1.2) si et seulement si y satisfait
l’équation intégrale (2.1.7).
Preuve. D’abord, on prouve la condition nécessaire. Soit y(t) ∈ L(a, b) satisfaisant les
relation (2.1.1) et (2.1.2). Depuis que f(t, y) ∈ L(a, b), (2.1.1) signifie que (Dαa+y)(t) existe
dans L(a, b). Selon (1.2.3) et (1.2.4), on a :
(Dαa+y)(t) =d
dt(I1−αa+ y)(t), (I
0y)(t) = y(t), (2.1.9)
et d’après (2.1.9) on voit que (I1−αa+ y)(t) ∈ AC1 [a, b] .Comme (I1−αa+ y)(t) = (Dα−1a+ y)(t), alors
(Dα−1a+ y)(t) ∈ AC1 [a, b] . Selon le lemme 2.1.1, l’intégrale (Iαa+f)(s, y(s)) existe dans L(a, b).En
appliquant l’opérateur Iαa+ aux deux côtés de (2.1.1)
(Iαa+ Dαa+)y(t) = (I
αa+f)(t, y(t)) =
1
Γ(α)
∫ ta
(t− s)α−1f(s, y(s))ds. (2.1.10)
D’autre part on a :
(Iαa+Dαa+y)(t) = y(t)−
(Dα−1a+ y)(a)
Γ(α)(t− a)α−1
= y(t)− bΓ(α)
(t− a)α−1 (2.1.11)
D’après (2.1.10) et (2.1.11), il vient :
y(t) =b
Γ(α)(t− a)α−1 + 1
Γ(α)
∫ ta
(t− s)α−1f(s, y(s))ds, (t > a)
avec 0 < α < 1. Ce qui prouve la condition nécessaire.
Il reste à montrer la condition suffi sante. Soit y(t) ∈ L(a, b) satisfaisant l’équation (2.1.7). De
même en appliquant l’opérateurDαa+ aux deux côtés de (2.1.7), il vient :
(Dαa+y)(t) =b
Γ(α)(Dαa+(t− a)α−1) + (Dαa+Iαa+f)(t, y(t)). (2.1.12)
-
2.1 Équations différentielles fractionnaire au sens de Riemann-Liouville 24
D’après (1.2.16), on a : Dα(t − a)α−1 = 0, car α > α − 1, et selon la relation (1.2.7), on
obtient :
(Dαa+Iαa+f)(t, y(t) = (I
α−αa+ f)(t, y(t)) = f(t, y(t)).
Alors par conséquent, (2.1.12) prend la forme :
(Dαa+y)(t) = f(t, y(t)), (0 < α < 1, t > a),
et donc, on arrive à l’équation (2.1.1).
A présent on peut montrer que la relation (2.1.2) est aussi réalisée. Pour cela, on applique
l’opérateur Dα−1a+ aux deux côtés de (2.1.7) :
(Dα−1a+ y)(t) =b
Γ(α)(Dα−1a+ (t− a)α−1) + (Dα−1a+ Iαa+f)(t, y(t)) . (2.1.13)
D’après la relation Dαa+(t−a)β =Γ(β+1)
Γ(β−α+1)(t−a)β−α, on trouve que :
Dα−1a+ (t− a)α−1 =Γ(α)
Γ(1)= Γ (α) , (2.1.14)
et suivant la relation (1.2.7), il vient :
(Dα−1a+ Iαa+f)(t, y(t) = (I
α−α+1a+ f)(t, y(t)) = (I
1a+f)(t, y(t)) (2.1.15)
=
∫ ta
f(s, y(s))ds.
D’après (2.1.13), (2.1.14) et (2.1.15), on trouve :
(Dα−1a+ y)(t) = b+
∫ ta
f(s, y(s))ds. (2.1.16)
Utilisons (2.1.16) pour calculer la limite t −→ a+, on obtient finalement :
(Dα−1a+ y)(a+) = b.
Ainsi, la suffi sance est prouvée, ce qui achève la preuve du théorème 2.1.2. �
Corollaire 2.1.1 [25] Soit 0 < α < 1, soit G un ensemble ouvert dans R, et f : (a, b]×G −→
R une fonction, telle que f(·, y) ∈ L(a, b) pour toute y ∈ G.
Si y ∈ L(a, b), alors y satisfait les relations (2.1.1) et (2.1.2) si, et seulement si, y satisfait
l’équaton intégrale (2.1.7).
-
2.1 Équations différentielles fractionnaire au sens de Riemann-Liouville 25
2.1.3 Existence et unicité de la solution du problème de type Cau-chy
Dans cette sous-section (voir [26]), nous établissons l’existence d’une solution unique au pro-
blème (2.1.1)-(2.1.2) de type Cauchy dans l’espace Lα(a, b), défini dans (2.1.3) sous les condi-
tions du théorème 2.1.2, et la condition de Lipschitz sur f(t, y) par rapport à la deuxième va-
riable : il existeA > 0 tel que pour tout t ∈ [a, b] et tous y1, y2 ∈ G ⊂ R,
|f(t, y1)− f(t, y2)| 6 A |y1 − y2| (2.1.17)
Théorème 2.1.3 [25] Soit α ∈ R (0 < α < 1). Soient G un ensemble ouvert dans R,
f : (a, b] × G −→ R une fonction telle que f(·, y) ∈ L(a, b) pour tout y ∈ G et la condition
(2.1.17) est satisfaite. Alors il existe une solution unique y(·) au problème de type Cauchy
(2.1.1)-(2.1.2) dans l’espace Lα(a, b).
Preuve. On commence par montrer l’existence d’une solution unique y ∈ L(a, b) ([8],[10],[25],[26]).
Selon le théorème 2.1.2, il est suffi sant de prouver l’existence d’une solution unique y ∈ L(a, b)
à l’équation intégrale non linéaire (2.1.7) de Volterra. Pour cela on applique la méthode connue
pour des équations intégrales non linéaires de Volterra en établissant tout d’abord le résultat
sur une partie de l’intervalle [a, b]
L’équation (2.1.7) semble raisonnable dans n’importe quel intervalle [a, t1] ⊂ [a, b] (a < t1 <
b).
On choisit t1 telle que l’inégalité
A(t1 − a)αΓ(α + 1)
< 1, (2.1.18)
est satisfaite. On montre l’existence d’une solution unique y ∈ L(a, t1) à l’équation (2.1.7) sur
l’intervalle [a, t1]. Pour cela on utilise le théorème 2.1.1 du point fixe de Banach dans l’espace
L(a, t1), qui est trivialement un espace métrique complet muni de la distance
d(y1, y2) = ‖y1 − y2‖ =∫ t1a
|y1(t)− y2(t)| dt. (2.1.19)
On réécrit l’équation intégrale (2.1.7), sous la forme y(t) = (Ty)(t), où
(Ty)(t) = y0(t) +1
Γ(α)
∫ ta
(t− s)α−1f(s, y(s))ds, (2.1.20)
-
2.1 Équations différentielles fractionnaire au sens de Riemann-Liouville 26
avec
y0(t) =b
Γ(α)(t− a)α−1. (2.1.21)
Pour appliquer le théorème 2.1.1 du point fixe, on doit prouver ce qui suit :
(1) si y ∈ L(a, t1), alors (Ty)(t) ∈ L(a, t1)
(2) pour y1, y2 ∈ L(a, t1), la relation qui suit est vérifiée :
‖Ty1 − Ty2‖1 6 ω ‖y1 − y2‖1 , ω = A(t1 − a)αΓ(α + 1)
. (2.1.22)
Il découle de (2.1.21) que y0 ∈ L(a, t1). Depuis que f(·, y) ∈ L(a, b), et d’après le lemme
2.1.1 (avec b = t1 et g(t) = f(t, y(t)), l’intégrale du membre de droite de (2.1.20) appartient
également à L(a, t1).Par conséquent (Ty)(t) ∈ L(a, t1).
A présent, on montre la relation (2.1.22). D’après (2.1.20)-(2.1.21) et (2.1.3), en utilisant la
condition de Lipschitz (2.1.17) et en appliquant la relation (2.1.8) (avec b = t1 et g(t) =
f(t, y1(t))− f(t, y2(t))), il vient :
‖Ty1 − Ty2‖L(a,t1) 6∥∥Iαa+ [|f(t, y1(t))− f(t, y2(t))|]∥∥L(a,t1)
6 A∥∥∥∥ 1Γ(α)
∫ ta
(t1 − s)α−1 |y1(s)− y2(s)| ds∥∥∥∥L(a,t1)
6 AΓ(α)
‖y1 − y2‖L(a,t1)∫ ta
(t1 − s)α−1 ds
6 A(t1 − a)α
Γ(α + 1)‖y1 − y2‖L(a,t1) = ω ‖y1 − y2‖L(a,t1)
Ce qui donne (2.1.22). Selon (2.1.18), ω vérifie 0 < ω < 1, et par conséquent (d’après
le théorème 2.1.1), il existe une solution unique y∗ ∈ L(a, t1) de l’équation (2.1.7) dans
l’intervalle [a, t1] .
D’après le théorème 2.1.1, la solution y∗ est obtenue comme une limite de la suite convergente
(Tmy∗0)(t) :
limm−→∞
‖Tmy∗0 − y∗‖L(a,t1) = 0, (2.1.23)
où y∗0(t) est une fonction quelconque de L(a, b). Si au moins un b 6= 0 dans les conditions
initiales (2.1.2), on peut prendre y∗0(t) = y0(t) avec y0(t) définie par (2.1.21).
-
2.1 Équations différentielles fractionnaire au sens de Riemann-Liouville 27
D’après (2.1.20), la suite (Tmy∗0)(t) est définie par la formule de récurrence
(Tmy∗0)(t) = y0(t) +1
Γ(α)
∫ ta
(t− s)α−1f(s, Tm−1y∗0(s))ds (m = 1, 2, ...).
En notant ym(t) = Tmy∗0(t), alors la dernière relation prend la forme :
ym(t) = y0(t) +1
Γ(α)
∫ ta
(t− s)α−1f(s, ym−1(s))ds (m ∈ N), (2.1.24)
et (2.1.23) peut-être réécrit comme suit :
limm−→∞
‖ym − y∗‖L(a,t1) = 0. (2.1.25)
Ceci signifie que l’on a appliqué la méthode des approximations successives pour trouver une
solution unique y∗ de l’équation intégrale (2.1.7) sur [a, t1] .
Par la suite on considère l’intervalle [t1, t2] , où t2 = t1 + h, h > 0 avec t2 < b. On réécrit
l’équation (2.1.7), sous la forme :
y(t) =1
Γ(α)
∫ tt1
(t− s)α−1f(s, y(s))ds + bΓ(α)
(t− a)α−1
+1
Γ(α)
∫ t1a
(t− s)α−1f(s, y(s))ds . (2.1.26)
Depuis que la fonction y(·) est uniquement définie sur l’intervalle [t1, t2] , la dernière intégrale
peut être considéré comme une fonction connue, ce qui permet de réécrire la dernière équation
comme
y(t) = y01(t) +1
Γ(α)
∫ tt1
(t− s)α−1f(s, y(s))ds, (2.1.27)
où y01 est définie par
y01(t) =b
Γ(α)(t− a)α−1 + 1
Γ(α)
∫ t1a
(t− s)α−1f(s, y(s))ds. (2.1.28)
est la fonction connue.
On utilise les mêmes arguments comme ci-dessus, on conclut qu’il existe une solution unique
y∗ ∈ L(t1, t2) de l’équation (2.1.7) sur l’intervalle [t1, t2] . On prend l’intervalle suivant [t2, t3],
où t3 = t2 + h2 et h2 > 0 avec t3 < b et ainsi de suite. Par la répétition de ce processus, on
conclut à l’existence d’une solution unique y∗ ∈ L(a, b) pour l’équation (2.1.7) sur l’intervalle
[a, b] .
-
2.1 Équations différentielles fractionnaire au sens de Riemann-Liouville 28
Ainsi, il existe une solution unique y = y∗ ∈ L(a, b) de l’équation intégrale (2.1.7) de Volterra,
et par conséquent aussi du problème de type Cauchy (2.1.1)-(2.1.2).
Finalement pour achever la preuve du théorème 2.1.3, il reste à montrer que la solution
y ∈ L(a, b) est unique et qu’elle appartient à l’espace Lα(a, b). Selon (2.1.3), il est alors
suffi sant de prouver (Dαa+y) ∈ L(a, b). D’après la preuve ci-dessus, la solution est une limite
de la séquence ym ∈ L(a, b)
limm−→∞
‖ym − y‖1 = 0, (2.1.29)
avec le choix de certains ym sur chacun [a, t1] , ..., [tm−1, b]. L’utilisation des deux relations
(2.1.1) et (2.1.17), donne :
∥∥Dαa+ym −Dαa+y∥∥1 = ‖f(t, ym)− f(t, y)‖1 6 A ‖ym − y‖1 . (2.1.30)D’après (2.1.29) et (2.1.30), on obtient :
limm−→∞
∥∥Dαa+ym −Dαa+y∥∥1 = 0,et par conséquent (Dαa+y)(t) ∈ L(a, b). Ceci termine la preuve du théorème 2.1.3.
�
-
Chapitre 3
Methodes VIM et HPM et leursconvergences
Dans ce chapitre, nous présentons brièvement la méthode d’itération variationnelle (VIM) et
la méthode de perturbation d’homotopie (HPM), puis nous ferons l’étude de leurs conver-
gences.
3.1 La méthode VIM et sa convergence
3.1.1 Introduction
La méthode d’itération variationnelle (VIM) a été proposée par He ([15]-[19]). Cette méthode
donne la solution en forme d’approximations successives rapidement convergentes vers la
solution exacte si celle ci existe.
3.1.2 La méthode VIM
Pour illustrer les idées de base de cette méthode, on considère l’équation différentielle non-
linéaire suivante :
Lu+Nu = g(t), (3.1.1)
où L est un opérateur linéaire, N un opérateur non linéaire, g(t) une fonction réelle.
Selon la méthode d’itération variationnelle ([15]-[19]), on peut construire une formule de
correction fonctionnelle comme suit :
un+1(t) = un(t) +
t∫0
λ(Lun(τ) +Nũn(τ)− g(τ))dτ , (3.1.2)
-
3.1 La méthode VIM et sa convergence 30
où λ est un multiplicateur de Lagrange qui peut être identifié de manière optimale par la
théorie variationnelle, et ũn une variation restreinte qui signifie δũn = 0. Par ce procédé, il
est nécessaire d’abord de déterminer le multiplicateur de Lagrange qui sera identifié de façon
optimale. Les approximations successives ũn+1, n > 0, de la solution u seront facilementobtenues à l’aide du multiplicateur de Lagrange identifié. Par conséquent, la solution est
donnée par :
u = limn→∞
un.
3.1.3 Préliminaires
Zhiwu et al. [35] ont étudié la convergence de la méthode d’itération variationnelle (VIM) pour
les équations différentielles fractionnaires au sens de Caputo. Ils ont considéré le problème
suivant :
(cDα0+y)(t) = f(t, y(t)), n− 1 < α 6 n, (3.1.3)
y(k)(0) = yk0 , k = 0, 1, . . . , n− 1, (3.1.4)
où t ∈ [0, T ] ,
y(k)(t) désigne la dérivée d’ordre k de y(t) et f : [0, T ] × R → R satisfait la condition de
Lipschitz
|f(t, u1)− f(t, u2)| 6 L |u1 − u2| , t > 0, u1, u2 ∈ R, (3.1.5)
où L est la constante de Lipschitz. On définit la norme ‖y‖∞ = max06t6T |y(t)| ; (cDα0+y)(t)
est la dérivé fractionnaire de Caputo. Pour le nombre réel positif α tel que n − 1 6 α 6 n,on définit la dérivée de Caputo d’ordre α de la fonction f(t) dans l’intervalle [a, b] comme
suit :
(cDα0+f)(t) =
{1
Γ(n−α)∫ t
0f (n)(τ)dτ
(t−τ)α−n+1 , α ∈ [n− 1, n),dn
dtnf(t), α = n ∈ N.
(3.1.6)
Diethelm et al. [11] ont prouvé que l’Eq.(3.1.3) peut être équivalente à l’équation intégrale
de Volterra suivante :
y(t) =
[α]−1∑j=0
y(j)0
tj
j!+
1
Γ(α)
∫ t0
(t− τ)α−1f(τ , y(τ))dτ . (3.1.7)
-
3.1 La méthode VIM et sa convergence 31
On pose
g(t) =
[α]−1∑j=0
y(j)0
tj
j!,
L’équation (3.1.7) peut être transformée sous la forme :
y(t) = g(t) +1
Γ(α)
∫ t0
(t− τ)α−1f(τ , y(τ))dτ . (3.1.8)
Selon l’idée de Xu [39] et Ghorbani et al. [13], l’itération pour l’équ.(3.1.8) peut être construite
comme suit :
yn+1(t) = g(t) +1
Γ(α)
∫ t0
(t− τ)α−1f(τ , yn(τ))dτ , n = 1, 2, · · · (3.1.9)
On utilise la valeur initiale y0(t) = y(0)0 + y
(1)1 t+ · · ·+ y
(n−1)n−1 t
n−1 et on commençe l’itération.
La valeur yn de la n−ième d’itération se rapproche vers la solution exacte du problème (3.1.3)-
(3.1.4) par :
y = limn→∞
yn.
3.1.4 Analyse de convergence
Théorème 3.1.1 Soient y(t), yi(t) ∈ C [0, T ] , i = 1, 2, · · · . Alors, la suite {yn(t)}∞n=1 défi-
nie par (3.1.9) avec y0(t) = y(0)0 +y
(1)1 t+· · ·+y
(n−1)n−1 t
n−1 converge vers la solution de l’équation
(3.1.3).
Preuve. D’après le système (3.1.3), on a :
y(t) = g(t) +1
Γ(α)
∫ t0
(t− τ)α−1f(τ , y(τ))dτ . (3.1.10)
Soit Ei(t) = yi(t)−y(t), i = 1, 2, · · · . D’après (3.1.9) et (3.1.10), on a :
En+1(t) =1
Γ(α)
∫ t0
(t− τ)α−1 [f(τ , yn(τ))− f(τ , y(τ))] dτ . (3.1.11)
On considère deux cas pour α.
-
3.1 La méthode VIM et sa convergence 32
Pour le cas α > 1,∀t ∈ [0, T ] et τ ∈ [0, t] , (t−τ)α−1 est bornée. SoitM = max06τ6t,06t6T |(t− τ)α−1| .D’aprèsla condition de Lipschitz (3.1.5), on a :
|En+1(t)| 61
Γ(α)
∫ t0
∣∣(t− τ)α−1∣∣ |f(τ , yn(τ))− f(τ , y(τ))| dτ6 M.L
Γ(α)
∫ t0
|yn(τ)− y(τ)| dτ
6 M.LΓ(α)
∫ t0
|En(t)| dτ
Par récurrence :
|En+1(t)| 6Mn+1.Ln+1
[Γ(α)]n+1
t∫0
τ1∫0
τ2∫0
· · ·τn∫
0
|E0(t)| dτn+1 · · · dτ 3dτ 2dτ 1.
De plus,
‖En+1‖∞ 6[M.L
Γ(α)
]n+1max
06t6T
t∫0
τ1∫0
τ2∫0
· · ·τn∫
0
|E0(t)| dτn+1 · · · dτ 3dτ 2dτ 1
6[M.L
Γ(α)
]n+1T n+1
(n+ 1)!‖E0‖∞ ,
où M, L, T, Γ(α) et ‖E0‖∞ sont des constantes. Nous avons :
limn−→∞
‖En+1‖∞ 6 limn−→∞
[M.L.T
Γ(α)
]n+1 ‖E0‖∞(n+ 1)!
= 0.
Maintenant, nous considérons le deuxième cas 0 < α < 1. On a :
|En+1(t)| 6L
Γ(α)
∫ t0
(t− τ)α−1 |yn(τ)− y(τ)| dτ
=L
Γ(α)
∫ t0
(t− τ)α−1 |En(τ)| dτ .
Soit
(Iα0+f)(t) =L
Γ(α)
∫ t0
(t− τ)α−1f(τ)dτ .
On obtient
|En+1(t)| 6 L.Iα0+ |En(t)| .
Selon [31], l’opérateur Iα0+ vérifie la relation suivante :
(Iα0+Iα0+f)(t) = (I
α+α0+ f)(t) = (I
2α0+f)(t).
-
3.1 La méthode VIM et sa convergence 33
Par conséquent, on a :
|En+1(t)| 6 L2I2α0+ |En−1(t)|...
6 Ln+1I(n+1)α0+ |E0(t)|
= Ln+11
Γ(nα + α)
∫ t0
(t− τ)nα+α−1 |E0(t)| dτ
6 Ln+1 ‖E0‖∞
Γ(nα + α)
∫ t0
(t− τ)nα+α−1dτ
=Ln+1 ‖E0‖∞Γ(nα + α)
T nα+α
(nα + α).
D’après [4], on a :
Γ(nα + α) ∼√
2πe−nα(nα)nα+α−12 ,
puisLn+1T nα+α
Γ(nα + α)(nα + α)∼ L
n+1T nα+α√2πe−nα(nα)nα+α−
12
1
(nα + α),
où L est la constante de Lipschitz. On peut trouver un nombre réel délimitée L1, qui satis-
fait :
Lα1 = L,
tel queLn+1T nα+α√
2πe−nα(nα)nα+α−12
1
(nα + α)=
1√2πeα
(L1Te
nα
)nα+α(nα)
12
(nα + α)
On a donc
‖En+1‖∞ 6‖E0‖∞√
2πeα(L1Te)
nα+α
(nα)nα+α(nα)
12
(nα + α)
où L1, T et ‖E0‖∞ sont des constantes. Ainsi
limn−→∞
‖En+1‖∞ 6 limn−→∞
(‖E0‖∞√
2πeα(L1Te)
nα+α
(nα)nα+α(nα)
12
(nα + α)
)
6 ‖E0‖∞√2πeα
limn−→∞
((L1Te)
nα+α
(nα)nα+α
)= 0.
-
3.2 La méthode HPM et sa convergence 34
�
3.2 La méthode HPM et sa convergence
3.2.1 Introduction
La méthode HPM (homotopy perturbation method) a été proposée en 1998 par He ([20]-
[24]) et appliquée à divers problèmes linéaires et non-linéaires. La méthode est une technique
puissante et effi cace pour solutionner des équations non-linéaires. L’accouplement de la per-
turbation et de la méthode d’homotopie est appelé la méthode de perturbation d’homotopie
(HPM).
3.2.2 La méthode HPM
Pour illustrer les idées de base de cette méthode, On considère l’équation différentielle non-
linéaire suivante :
A(u)− f(r) = 0, r ∈ Ω, (3.2.1)
avec les conditions aux limites
B(u,∂u
∂n) = 0, r ∈ Γ, (3.2.2)
où A est un opérateur différentiel général, f(r) est une fonction analytique connue, B est un
opérateur définissant les conditions aux limites, u est la fonction inconnue et Γ la frontière
du domaine Ω. L’opérateur A peut être généralement décomposé en deux opérateurs L et N
qui sont respectivement linéaire et non linéaire. Par conséquent, l’équation (3.2.1) peut être
écrite comme suit :
L(u) +N(u)− f(r) = 0. (3.2.3)
On construit une homotopie v(r, p) : Ω×[0, 1] −→ R, qui satisfait :
H(v, p) = (1− p)[L(υ)− L(u0)] + p[A(υ)− f(r)] = 0, (3.2.4)
ou
-
3.2 La méthode HPM et sa convergence 35
H(v, p) = L(v)− L(u0) + pL(u0) + p[N(v)− f(r)] = 0, (3.2.5)
où p ∈ [0, 1] est un paramètre d’homotopie et u0 est une approximation initiale de l’équation
(3.2.1) qui satisfait les conditions aux limites (3.2.2). A partir des équations (3.2.4) et (3.2.5),
on a :
H(v, 0) = L(v)− L(u0) = 0, (3.2.6)
H(v, 1) = A(v)− f(r) = 0. (3.2.7)
Le changement de p de zéro à l’unité transforme u0(r) en u(r). En topologie avec cette dernière
propriété, la fonction v(r, p) est appelée homotopie. Selon la méthode HPM, nous pouvons
d’abord utiliser le paramètre p comme un petit paramètre et assumer que les solutions des
équations (3.2.4) et (3.2.5) peuvent être écrites comme des séries de puissance en p :
v = v0 + pv1 + p2v2 + · · · . (3.2.8)
Pour p = 1, la solution approchée de l’équation (3.2.1) s’écrit :
u = limp→1
v = v0 + v1 + v2 + · · · . (3.2.9)
La convergence de la série (3.2.9) a été prouvé dans ([6], [7]).
3.2.3 Analyse de convergence
Asma et al. [12] ont étudié la convergence de la méthode de perturbation d’homotopie (HPM)
pour les équations différentielles fractionnaires avec dérivée au sens de Caputo, en considérant
l’équation aux dérivées partielles d’ordre fractionnaire suivante :
(cDα0+,tu)(t) = f(t, u(t), Dn1u(t), Dn2u(t), . . . , Dnqu(t)), t ∈ [0, T ] (3.2.10)
uk(0) = bk, u(x, t) = g(x, t), k = 0, 1, 2, . . . , (3.2.11)
où cDα0+,t =∂α
∂tα, est la dérivée fractionnaire au sens de Caputo d’ordre α, m− 1 6 α 6 m.
On considère que l’application f : [0, T ] × R × R × · · · × R −→ R avec l’hypothèse que
f(t, u1, u2, . . . , un) existe et est continue avec des dérivés continues et bornées∂f∂ui.On suppose
de plus que f(t, u1, u2, . . . , un) satisfait la condition de Lipschitz
|f(t, u1(t), Dn1u1(t), . . . , Dnqu1(t))− f(t, u2(t), Dn1u2(t), . . . , Dnqu2(t))|6 L |f(u1, Dn1u1, . . . , Dnqu1)− f(u2, Dn1u2, . . . , Dnqu2)| , t > 0,
(3.2.12)
-
3.2 La méthode HPM et sa convergence 36
où L désigne la constante de Lipschitz.
Pour illustrer les concepts de base de la méthode HPM pour l’équation aux dérivées partielles
fractionnaire (3.2.10) avec les conditions initiales (3.2.11), nous construisons l’homotopie
suivante :(1− p)(cDα0+,tu)(x, t) + p(cDα0+,tu)(x, t)
−f(t, u(t), Dn1u(t), Dn2u(t), . . . , Dnqu(t)) = 0 (3.2.13)
ou
(cDα0+,tu)(x, t) = p(f(t, u(t), Dn1u(t), Dn2u(t), . . . , Dnqu(t)) (3.2.14)
En substituant (3.2.8) dans (3.2.14) et par identification avec les termes des différents mo-
nômes en p, on obtient les équations suivantes :
p0 : (cDα0+,tu0)(x, t) = f(x, t),p1 : (cDα0+,tu1)(x, t) = f(t, u0(t), D
n1u0(t), Dn2u0(t), . . . , D
nqu0(t)),p2 : (cDα0+,tu2)(x, t) = f(t, u1(t), D
n1u1(t), Dn2u1(t), . . . , D
nqu1(t)),...
pn : (cDα0+,tun)(x, t) = f(t, un−1(t), Dn1un−1(t), D
n2un−1(t), . . . , Dnqun−1(t),
...
(3.2.15)
On utilise l’opérateur fractionnaire de Riemann-Liouville Iα0+, (qui est l’opérateur inverse
de la dérivée de Caputo caDαt ) sur les deux membres de (3.2.15). Les premiers termes de la
solution sont données par :
u0(x, t) =n−1∑k=0
bktk
k!+ (Iα0+,tf)(x, t)),
u1(x, t) = Iα0+,t(f(t, u0(t), D
n1u0(t), Dn2u0(t), . . . , D
nqu0(t))),u2(x, t) = I
α0+,t(f(t, u1(t), D
n1u1(t), Dn2u1(t), . . . , D
nqu1(t))),...
un(x, t) = Iα0+,t(f(t, un−1(t), D
n1un−1(t), Dn2un−1(t), . . . , D
nqun−1(t))),...
(3.2.16)
La solution de (3.2.10) est écrite sous forme de la série suivante :
u(x, t) = u0(x, t) + u1(x, t) + u2(x, t) + u3(x, t) + · · · . (3.2.17)
3.2.4 Existence et unicité des solutions
Théorème 3.2.1 Soit f satisfaisant la condition de Lipschitz (3.2.12), alors le problème
(3.2.10) admet une solution unique u(x, t), pour tout 0 < γ < 1.
-
3.2 La méthode HPM et sa convergence 37
Preuve. Soient y et z deux solutions différentes de (3.2.10), pour tout t ∈ [0, T ] et τ ∈ [0, t].
Soit M = max06τ6t,06t6T |(t− τ)α−1| . Alors,
y − z = Iα0+,t(f(t), y(t), Dn1y(t), Dn2y(t), . . . , Dnqy(t))
−Iα0+,t(f(t), z(t), Dn1z(t), Dn2z(t), . . . , Dnqz(t)),
y − z = 1Γ(α)
t∫0
(t− τ)α−1(f(τ), y(τ), Dn1y(τ), Dn2y(τ), . . . , Dnqy(τ))dτ
− 1Γ(α)
t∫0
(t− τ)α−1(f(τ), z(τ), Dn1z(τ), Dn2z(τ), . . . , Dnqz(τ))dτ ,
|y(t)− z(t)| =
∣∣∣∣∣∣ 1Γ(α)t∫
0
(t− τ)α−1(f(τ), y(τ), Dn1y(τ), Dn2y(τ), . . . , Dnqy(τ))dτ
− 1Γ(α)
t∫0
(t− τ)α−1(f(τ), z(τ), Dn1z(τ), Dn2z(τ), . . . , Dnqz(τ))dτ
∣∣∣∣∣∣6 L
Γ(α)
t∫0
∣∣(t− τ)α−1∣∣ |y(τ)− z(τ)| dτ ,max |y(t)− z(t)| 6 L
Γ(α)max
t∫0
∣∣(t− τ)α−1∣∣ |y − z| dτ‖y − z‖∞ 6
[LMT
Γ(α)
]n.
1
n!‖y − z‖∞ 6 γ ‖y − z‖∞ ,
(1− γ) ‖y − z‖∞ 6 0.
puisque 1− γ 6= 0, alors ‖y − z‖ = 0 et par suite y = z. Ce qui achève la démonstration. �
3.2.5 Preuve de la convergence
Théorème 3.2.2 Soient un(x, t), et u(x, t) est définies dans l’espace de Banach
(C[0, T ], ‖ · ‖). Alors, la solution de la série {un(x, t)}∞n=1 définie par (3.2.17)
converge vers la solution de (3.2.10), si 0 < γ < 1.
Preuve. Soit sn(t) la suite des sommes partielles de la série (3.2.17). Montrons que c’est une
-
3.2 La méthode HPM et sa convergence 38
suite de Cauchy dans (C[0, T ], ‖·‖). Pour cela, on considère
‖sn+1 − sn‖ = ‖un+1‖
6 γ ‖un‖ (3.2.18)
6 γ2 ‖un−1‖
6 · · · 6 γn+1 ‖u0‖ .
Maintenant, pour chaque n, m ∈ N, n ≥ m, il y a deux sommes partielles arbitraires
sn et sm ; à l’aide de (3.2.18) et l’inégalité triangulaire, il vient successivement :
‖sn − sm‖ 6 ‖sn − sn−1‖+ ‖sn−1 − sn−2‖+ · · ·+ ‖sm+1 − sm‖
6[γn + γn−1 + γn−2 + · · ·+ γm+1
]‖u0‖ (3.2.19)
6 γm+1[γn−m−1 + γn−m−2 + γn−2 + · · ·+ γ + 1
]‖u0‖
6 γm+1(
1− γn−m1− γ
)‖u0‖ .
Comme 0 < γ < 1, on a 1− γn−m < 1 et par suite
‖sn − sm‖ 6γm+1
(1− γ) ‖u0‖ . (3.2.20)
Comme u0 est borné,
limn,m→∞
‖sn − sm‖ = 0.
Par conséquent, (sn) est une suite de Cauchy dans C[0, T ], donc convergente, ce qui achève
la preuve. �
3.2.6 Estimation d’erreur
Théorème 3.2.3 L’erreur de troncature absolue maximale de la solution sous forme de
la série (3.2.17) du problème (3.2.10), est estimée par :∣∣∣∣∣u(x, t)−m∑i=0
ui(x, t)
∣∣∣∣∣ 6 γm+1(1− γ) ‖u0‖ (3.2.21)
Preuve. D’après le théorème 3.2.2 et l’inégalité (3.2.19), on a
-
3.2 La méthode HPM et sa convergence 39
|u(t)− sm(t)| 6 γm+1(
1− γn−m1− γ
)‖u0‖ .
Comme 0 < γ < 1, on a 1−γn−m < 1, on obtient la formule (3.2.21).∣∣∣∣∣u(x, t)−m∑i=0
ui(x, t)
∣∣∣∣∣ 6 γm+1(1− γ) ‖u0‖ (3.2.22)Ce qui achève la démonstration. �
Exemple 3.2.1 Considérons l’équation aux dérivées partielles d’ordre fractionnaire avec la
condition initiale :
∂αu
∂tα+ u
∂u
∂x=
∂2u
∂x2, (x, t) ∈ R×
[0,
1
2
)(3.2.23)
u(x, 0) = 2x (3.2.24)
Pour α = 1, la solution exacte est donnée par :
u(x, t) =2x
1 + 2t. (3.2.25)
Pour résoudre l’équ.(3.2.23) avec la condition initiale (3.2.24), selon la technique de perturba-
tion homotopie, on construit tout d’abord l’homotopie suivante :
(1− p)(cDα0+,tu− cDα0+,tu0
)= p
(uxx − uux − cDα0+,tu
)(3.2.26)
oucDα0+,tu− cDα0+,tu0 = p
(uxx − uux − cDα0+,tu
)(3.2.27)
En substituant (3.2.8) dans (3.2.27) et identifiant les termes des puissances des différents mo-
nômes en p, on obtient la série des équations suivantes :
p0 : cDα0+,tu0 = 0,
p1 : cDα0+,tu1 = u0xx − u0u0x − cDα0+,tu0,
p2 : cDα0+,tu2 = u1xx − u1u0x − u0u1x,
p3 : cDα0+,tu3 = u2xx − u2u0x − u1u1x − u0u2x, (3.2.28)...
pi : cDα0+,tui = (ui−1)xx −i−1∑j=0
uj(ui−j−1)x.
-
3.2 La méthode HPM et sa convergence 40
Utilisons l’opérateur fractionnaire de Riemann-Liouville Iα0+, qui est l’opérateur inverse de la
dérivée de Caputo cDα0+,t sur les deux membres de chaque équation de (3.2.28), on obtient :
u0(x, t) = 2x,
u1(x, t) =−4xtα
Γ(α + 1),
u2(x, t) =16xtα
Γ(2α + 1), (3.2.29)
u3(x, t) =−16xt3α
Γ(3α + 1)
(4 +
Γ(2α + 1)
Γ2(α + 1)
),
...
D’après t 6 γ2, 0 < γ < 1, et α = 1, et selon le théorème , il vient :
‖s1 − s0‖ =∥∥∥∥ −4xtαΓ(α + 1)
∥∥∥∥=
∥∥∥∥(2x) −2xtαΓ(α + 1)∥∥∥∥
6 2(γ
2
)‖u0‖ = γ ‖u0‖ ,
‖s2 − s0‖ 6 ‖s2 − s1‖+ ‖s1 − s0‖
=
∥∥∥∥ 16xtαΓ(2α + 1)∥∥∥∥+ ∥∥∥∥ −4xtαΓ(α + 1)
∥∥∥∥=
∥∥∥∥(2x) 8xtαΓ(2α + 1)∥∥∥∥+ ∥∥∥∥(2x) −2xtαΓ(α + 1)
∥∥∥∥= ‖2x‖
(4(γ
2
)2+ 2
(γ2
))6 4
(γ2
)2‖2x‖ = γ2 ‖u0‖ .
‖s3 − s1‖ 6 ‖s3 − s2‖+ ‖s2 − s1‖
=
∥∥∥∥ −16xt3αΓ(3α + 1)(
4 +Γ(2α + 1)
Γ2(α + 1)
)∥∥∥∥+ ∥∥∥∥ 16xtαΓ(2α + 1)∥∥∥∥
=
∥∥∥∥(2x) −8t3αΓ(3α + 1)(
4 +Γ(2α + 1)
Γ2(α + 1)
)∥∥∥∥+ ∥∥∥∥(2x) 8tαΓ(2α + 1)∥∥∥∥
6(
8(γ
2
)3+ 4
(γ2
)2)‖2x‖
6 8(γ
2
)3‖2x‖ = γ3 ‖u0‖ .
-
3.2 La méthode HPM et sa convergence 41
A la fin nous obtenons :
‖sn − sm‖ 6 ‖sn − sn−1‖+ ‖sn−1 − sn−2‖+ · · ·+ ‖sm+1 − sm‖
=
∥∥∥∥∥n∑j=0
uj −n−1∑i=0
ui
∥∥∥∥∥+∥∥∥∥∥n−1∑j=0
uj −n−2∑i=0
ui
∥∥∥∥∥+ · · ·+
∥∥∥∥∥m+1∑j=0
uj −m∑i=0
ui
∥∥∥∥∥= ‖un‖+ ‖un−1‖+ · · ·+ ‖sm+1 − sm‖
6 2n(γ
2
)n‖u0‖ = γn ‖u0‖ .
Par conséquent, limn,m−→∞ ‖sn − sm‖ 6 limn−→∞ γn ‖u0‖ = 0 ; sn est donc une suite deCauchy convergente vers :
u(x, t) = u0(x, t) + u1(x, t) + u2(x, t) + u3(x, t) + · · ·
= 2x− 4xtα
Γ(α + 1)+
16xtα
Γ(2α + 1)− 16xt
3α
Γ(3α + 1)
×(
4 +Γ(2α + 1)
Γ2(α + 1)
)+ · · · .
-
Chapitre 4
Applications numériques pour lesdeux méthodes VIM et HPM
Dans ce chapitre nous allons appliquer les méthodes VIM (Variational Iteration Method) et
HPM (Homotopy Perturbation Method) pour résoudre des équations différentielles ordinaires
et des équations aux dérivées partielles d’ordres fractionnaires au sens de Caputo.
4.1 Applications de la méthode VIM
Dans ce paragraphe, nous allons examiner des exemples sur des équations différentielles or-
dinaires et des équations aux dérivées partielles linéaires et non-linéaires, avec dérivée frac-
tionnaire temporelle au sens de Caputo, par la méthode d’itération variationnelle (VIM).
4.1.1 Equation différentielle ordinaire linéaire d’ordre fractionnaire
Exemple 4.1.1 Nous considérons l’équation différentielle linéaire d’ordre fractionnaire sui-
vante :cDα0+u = −u, 1 < α 6 2, (4.1.1)
avec les conditions initiales suivantes :
u(0) = 1, u′(0) = 0, (4.1.2)
où cDα0+ désigne la dérivée fractionnaire au sens de Caputo.
-
4.1 Applications de la méthode VIM 43
Selon le procédé de la méthode VIM, la formule de correction fonctionnelle de
l’équation (4.1.1) peut être exprimée comme suit :
un+1(x) = yn(x) +
x∫0
λ(x, s)((cDα0+u)(s) + ũ(s)
)ds. (4.1.3)
Le multiplicateur de Lagrange λ(x, s) peut être identifié comme λ(x, s) = (−1)α(s−x)α−1Γ(α)
(voir [36]), et la formule d’itération peut être obtenue comme suit :
un+1(x) = un(x) +
x∫0
(−1)α(s− x)α−1Γ(α)
((cDα0+u)(s) + u(s))ds,
ce qui donne :
un+1(x) = un(x)−1
Γ(α)
x∫0
(x− s)α−1((cDα0+u)(s) + u(s))ds,
ou
un+1(x) = un(x)− Iα0+[(cDα0+un)(s) + un(s)
]. (4.1.4)
Iα0+ est l’opérateur intégral fractionnaire de Riemann-Liouville d’ordre α, (1 < α 6 2).( voir chapitre 1 section 1.3).
D’après (4.1.4), nous obtenons les expressions donnant les premiers termes :
u1(x) = u0(x)− Iα0+[(cDα0+u0)(s) + u0(s)
],
u2(x) = u1(x)− Iα0+[(cDα0+u1)(s) + u1(s)
], (4.1.5)
u3(x) = u2(x)− Iα0+[(cDα0+u2)(s) + u2(s)
],
...
D’après (4.1.5) et (4.1.2), nous obtenons les premiers termes suivant :
u0(x) = 1,
u1(x) = 1−xα
Γ(α + 1),
u2(x) = 1−xα
Γ(α + 1)+
x2α
Γ(2α + 1), (4.1.6)
u3(x) = 1−xα
Γ(α + 1)+
x2α
Γ(2α + 1)− x
3α
Γ(3α + 1),
...
un(x) = 1−xα
Γ(α + 1)+
x2α
Γ(2α + 1)− x
3α
Γ(3α + 1)+ · · ·+ (−1)n x
nα
Γ(nα + 1).
-
4.1 Applications de la méthode VIM 44
D’après (4.1.6) la solution approchée de l’équation (4.1.1) est :
u(x) = 1− xα
Γ(α + 1)+
x2α
Γ(2α + 1)− x
3α
Γ(3α + 1)+ · · ·+ (−1)n x
nα
Γ(nα + 1)+ · · · (4.1.7)
Et comme
u = limn→∞
un,
nous pouvons exprimer la solution sous forme d’une série pour l’équ. (4.1.1) par :
u(x) =+∞∑k=0
(−xα)k
Γ(αk + 1)= Eα(−x), (4.1.8)
où Eα(−x) est la fonction de Mittag-Leffl er (voir chapitre 1 section 1.2).
En substituant α = 2 dans (4.1.8), nous obtenons :
u(x) = 1− x2
2!+x4
4!− x
6
6!+ · · ·+ (−1)n x
2n
(2n)!+ · · · = cosx.
Figure 4.1.1 : La solution exacte et des solutions numériques de l’équation (4.1.1) selon
quelques valeurs de α.
Remarque 4.1.1 Pour les solutions approchées on prend quatre termes.
4.1.2 Equation différentielle ordinaire non-linéaire d’ordre frac-tionnaire
Exemple 4.1.2 Nous considérons l’équation différentielle non-linéaire d’ordre fractionnaire
suivante :cDα0+u = u
2 + 1, 0 < α 6 1, (4.1.9)
-
4.1 Applications de la méthode VIM 45
avec la condition initiale :
u(0) = 0, (4.1.10)
où cDα0+ désigne la dérivée fractionnaire selon l’approche de Caputo.
Selon le procédé de VIM, la formule de correction fonctionnelle de
l’équation (4.1.9) peut être exprimée comme suit :
un+1(x) = un(x) +
x∫0
λ(x, s)(cDα0+un − (ũn)2 − 1)ds. (4.1.11)
Le multiplicateur de Lagrange λ(x, s) peut être identifié comme λ(x, s) = (−1)α(s−x)α−1Γ(α)
( [36]), et la formule d’itération peut être obtenue aussi comme :
un+1(x) = un(x) +
x∫0
(−1)α(s− x)α−1Γ(α)
(cDα0+un − (ũn)2 − 1)ds,
ou
un+1(x) = un(x)− Iα0+[(cDα0+un)(s)− (un(s))2 − 1
]. (4.1.12)
Iα0+ est l’opérateur intégral fractionnaire de Riemann-Liouville d’ordre α, (0 < α 6 1).( voir chapitre 1 section 1.3).
D’après la formule (4.1.12), nous obtenons les formules donnant les premiers termes :
u1(x) = u0(x)− Iα0+[(cDα0+u0)(s)− (u0(s))2 − 1
],
u2(x) = u1(x)− Iα0+[(cDα0+u1)(s)− (u1(s))2 − 1
], (4.1.13)
u3(x) = u2(x)− Iα0+[(cDα0+u2)(s)− (u2(s))2 − 1
],
...
D’après la condition initiale (4.1.10) et les formules (4.1.13), nous obtenons les premiers
-
4.1 Applications de la méthode VIM 46
termes de la solution approchée :
u0(x) = 0,
u1(x) =1
Γ(α + 1)xα,
u2(x) =1
Γ(α + 1)xα +
Γ(2α + 1)
Γ2(α + 1)Γ(3α + 1)x3α, (4.1.14)
u3(x) =1
Γ(α + 1)xα +
Γ(2α + 1)
Γ2(α + 1)Γ(3α + 1)x3α +
2Γ(2α + 1)Γ(4α + 1)
Γ3(α + 1)Γ(3α + 1)Γ(5α + 1)x5α +
Γ2(2α + 1)Γ(6α + 1)
Γ4(α + 1)Γ2(3α + 1)Γ(7α + 1)x7α,
...
Comme
u = limn→∞
un,
nous obtenons :
u(x) =1
Γ(α + 1)xα +
Γ(2α + 1)
Γ2(α + 1)Γ(3α + 1)x3α +
2Γ(2α + 1)Γ(4α + 1)
Γ3(α + 1)Γ(3α + 1)Γ(5α + 1)x5α + (4.1.15)
Γ2(2α + 1)Γ(6α + 1)
Γ4(α + 1)Γ2(3α + 1)Γ(7α + 1)x7α + · · ·
En substituant α = 1 dans (5.1.48), nous obtenons la série suivante :
u(x) = x+1
3x3 +
2
15x5 +
1
63x7.
-
4.1 Applications de la méthode VIM 47
Figure 4..1.2 : La solution exacte et des solutions numériques de l’équ.(4.1.9) selon quelques
valeurs de α.
Remarque 4.1.2 Pour les solutions approchées on prend quatre termes.
4.1.3 Equation aux dérivées partielles linéaire d’ordre fraction-naire temporelle
Exemple 4.1.3 Nous considérons l’équation aux dérivées partielles linéaire d’ordre
fractionnaire temporelle suivante :
cDα0+,tu = x4y4z4 +
1
36(x2uxx + y
2uyy + z2uzz), (4.1.16)
0 < x, y, z < 1, 0 < α 6 1,
avec la condition initiale :
u(x, y, z, 0) = 0. (4.1.17)
cDα0+,t désigne le dérivée fractionnaire au sens de Caputo.
Selon le procédé de VIM, la formule de correction fonctionnelle de
l’équation (4.1.16) peut être exprimée comme suit :
un+1 = un +
t∫0
λ(t, τ)
[cDα0+,τu−
1
36(x2ũnxx + y
2ũnyy + z2ũnzz)− x4y4z4
]dτ , (4.1.18)
Le multiplicateur de Lagrange λ(t, τ) peut être identifié comme λ(t, τ) = (−1)α(τ−t)α−1Γ(α)
(voir [36]), et la formule d’itération peut être obtenue comme suit :
un+1 = un +
t∫0
(−1)α(τ − t)α−1Γ(α)
[cDα0+,τu−
1
36(x2uxx + y
2uyy + z2uzz)− x4y4z4
]dτ ,
ou
un+1 = un − Iα0+,t[cDα0+,τun −
1
36(x2unxx + y
2unyy + z2unzz)− x4y4z4
]. (4.1.19)
Iα0+,t est l’opérateur intégral fractionnaire de Riemann-Liouville d’ordre α,
où 0 < α 6 1.
-
4.1 Applications de la méthode VIM 48
D’après la formule (4.1.19), nous obtenons les formules suivantes :
u1 = u0 − Iα0+,t[cDα0+,τu0 −
1
36(x2u0xx + y
2u0yy + z2u0zz)− x4y4z4
],
u2 = u1 − Iα0+,t[cDα0+,τu1 −
1
36(x2u1xx + y
2u1yy + z2u1zz)− x4y4z4
], (4.1.20)
u3 = u2 − Iα0+,t[cDα0+,τu2 −
1
36(x2u2xx + y
2u2yy + z2u2zz)− x4y4z4
],
...
D’après (4.1.20) et (4.1.17), nous obtenons les premiers termes suivants :
u0(x, y, z, t) = 0,
u1(x, y, z, t) = x4y4z4
tα
Γ(α + 1),
u2(x, y, z, t) = x4y4z4
tα
Γ(α + 1)+ x4y4z4
t2α
Γ(2α + 1), (4.1.21)
u3(x, y, z, t) = x4y4z4
tα
Γ(α + 1)+ x4y4z4
t2α
Γ(2α + 1)+ x4y4z4
t3α
Γ(3α + 1),
...
D’après les quatre premiers termes, nous avons :
un(x, y, z, t) = x4y4z4
n∑k=0
tkα
Γ(kα + 1)− x4y4z4, (4.1.22)
par ailleurs la solution de l’équation donnée se fait par le calcul de la limite suivante :
u = limn→∞
un,
Ainsi, nous obtenons la solution de l’équation (4.1.16) sous la forme :
u(x, y, z, t) = x4y4z4(Eα(t)− 1),
où Eα(t) est la fonction de Mittag-Leffl er définie dans (chapitre 1 ).
Si α = 1, nous obtenons s la solution exacte de l’équ.(4.1.26) définie par :
u(x, y, z, t) = x4y4z4(et − 1).
Le même résultat est obtenu par la méthode Transformée de Sumudu dans [2].
-
4.1 Applications de la méthode VIM 49
4.1.4 Equation aux dérivées partielles non-linéaire d’ordre frac-tionnaire temporelle
Exemple 4.1.4 Finalement nous considérons l’équation aux dérivées partielles non-linéaire
d’ordre fractionnaire temporelle suivante :
cDα0+,tu+1
2t(ux)
2 = 0, 0 < α 6 1, (4.1.23)
avec la condition initiale :
u(x, 0) = x2, (4.1.24)
cDα0+,t désigne la dérivée fractionnaire au sens de Caputo.
Pour le cas α = 1, la solution exacte est donnée par :
u(x, t) =x2
1 + t2,
avec |t2| < 1.
Selon le procédé de VIM, la formule de correction fonctionnelle de
l’équation (4.1.23) peut être exprimée comme suit :
un+1(x, t) = un +
t∫0
λ(t, τ)
[cDα0+,τun +
1
2t(ũnx)
2
]dτ , (4.1.25)
Le multiplicateur de Lagrange λ(t, τ) peut être identifié comme λ(t, τ) = (−1)α(τ−t)α−1Γ(α)
(voir [36]), et la formule d’itération peut être obtenue comme suit :
un+1(x, t) = un +
t∫0
(−1)α(τ − t)α−1Γ(α)
[cDα0+,τun +
1
2t(unx)
2
]dτ ,
ou
un+1(x, t) = un − Iα0+,t[cDα0+,τun +
1
2t(unx)
2
]. (4.1.26)
Iα0+,t est l’opérateur intégral fractionnaire de Riemann-Liouville d’ordre α, où
0 < α 6 1.
-
4.1 Applications de la méthode VIM 50
D’après la formule (4.1.26), nous obtenons les formules donnant les trois premiers termes :
u1(x, t) = u0 − Iα0+,t[cDα0+,τu0 +
1
2t(u0x)
2
],
u2(x, t) = u1 − Iα0+,t[cDα0+,τu1 +
1
2t(u1x)
2
], (4.1.27)
u3(x, t) = u2 − Iα0+,t[cDα0+,τu2 +
1
2t(u2x)
2
],
...
D’après (4.1.27) et (4.1.24), nous obtenons les premiers termes suivants :
u0(x, t) = x2,
u1(x, t) = x2 − 2x2 t
α+1
Γ(α + 1),
u2(x, t) = x2 − 2x2 t
α+1
Γ(α + 1)+ 8x2
Γ(α + 3)
Γ(α + 2)Γ(2α + 3)t2α+2 (4.1.28)
−8x2 Γ(2α + 4)Γ2(α + 2)Γ(3α + 4)
t3α+3,
...
comme
u = limn→∞
un,
nous avons la solution approximative de l’équation (4.1.1), qui est donnée par :
u(x, t) = x2 − 2x2 tα+1
Γ(α + 1)+ 8x2
Γ(α + 3)
Γ(α + 2)Γ(2α + 3)t2α+2
−8x2 Γ(2α + 4)Γ2(α + 2)Γ(3α + 4)
t3α+3 · · · (4.1.29)
En substituant α = 1 dans (4.1.29), nous obtenons la série suivante :
u(x, t) = x2 − x2t2 + x2t4 − 13x2t6 + · · · (4.1.30)
-
4.1 Applications de la méthode VIM 51
(a) (b)
Figure 4.1.3 : (a) le graphe de la solution exacte. (b) le graphe de la solution
approchée de l’équ.(4.1.23) avec α = 1.
(c) (d) (e)
Figure 4.1.3 : (c), (d) et (e) représentent les graphes de la solution approchée
de l’équ.(4.1.23) avec α = 0.90, α = 0.80 et α = 0.70 respectivement.
Remarque 4.1.3 Pour les solutions approchées on retient quatre termes.
-
4.2 Applications de la méthode HPM 52
4.2 Applications de la méthode HPM
Dans ce paragraphe, nous allons examiner deux exemples d’équations différentielles ordinaires
d’ordre fractionnaire, un exemple d’équation différentielle aux dérivées partielles linéaire
d’ordre fractionnaire et présenter notre travail [40], qui concerne la résolution de l’équation
k(2, 2) non-linéaire avec la dérivée fractionnaire temporelle et spatiale, suivi d’une discussion
sur les solutions de l’équation considérée selon les valeurs de α et de β.
4.2.1 Equation différentielle ordinaire linéaire d’ordre fractionnaire
Exemple 4.2.1 Nous considérons l’équation différentielle linéaire d’ordre fractionnaire
à coeffi cients variables suivante :
cDα0+u− 2xu = −2x, 0 < α 6 1, (4.2.1)
avec la condition initiale suivante :
u(0) = 2, (4.2.2)
où cDα0+ désigne le dérivée fractionnaire au sens de Caputo.
Pour α = 1, la solution exacte de l’équation
u′ − 2xu = −2x, (4.2.3)
avec la condition initiale (4.2.2) est donnée par :
u = ex2
+ 1. (4.2.4)
D’après la formule (3.2.4), nous pouvons construire l’homotopie comme suit :
(1− p)[cDα0+v − cDα0+u0
]+ p
[cDα0+v − 2xv + 2x
]= 0,
p ∈ [0, 1] , (4.2.5)
oucDα0+v − cDα0+u0 + p cDα0+u0 − 2xp [v] + 2p(x) = 0. (4.2.6)
Nous essayons maintenant d’obtenir une solution pour (4.2.6) sous la forme :
v = v0 + pv1 + p2v2 + · · · . (4.2.7)
-
4.2 Applications de la méthode HPM 53
En substituant (4.2.7) dans (4.2.6), et en identifiant avec les termes des différents
monômes en p, nous obtenons les équations différentielles d’ordre fractionnaire suivantes :
p0 : cDα0+v0 =cDα0+u0,
p1 : cDα0+v1 +cDα0+u0 − 2xv0 + 2x = 0,
p2 : cDα0+v1 − 2xv1 = 0, (4.2.8)
p3 : cDα0+v2 − 2xv2 = 0,...
D’après (4.2.8) et (4.2.2), nous obtenons les premiers termes suivants :
v0(x) = 2,
v1(x) =2
Γ(α + 2)xα+1,
v2(x) =4(α + 2)
Γ(2α + 3)x2α+2, (4.2.9)
v3(x) =8(α + 2)(2α + 3)
Γ(3α + 4)x3α+3,
v4(x) =16(α + 2)(2α + 3)(3α + 4)
Γ(4α + 5)x4α+4,
...
et comme
u(x) = limp−→1
∞∑i=0
pivi(x),
la solution approchée de l’équation (4.2.1) s’exprime comme suit :
u(x) = 2 +2
Γ(α + 2)xα+1 +
4(α + 2)
Γ(2α + 3)x2α+2 +
8(α + 2)(2α + 3)
Γ(3α + 4)x3α+3 + · · · . (4.2.10)
Pour α = 1, nous obtenons les quatre premiers termes de la solution approchée de
l’équation (4.2.1) dans le cas entier
u(x) = 2 + x2 +x4
2!+x6
3!+x4
4!+ · · · . (4.2.11)
-
4.2 Applications de la méthode HPM 54
D’autre part, le développement en série de Taylor au voisinage de x = 0 pour la
solution exacte (4.2.4) est donné par :
u(x) = 1 +
(1 + x2 +
x4
2!+x6
3!+x4
4!+ · · ·
). (4.2.12)
Cela confirme donc notre résultat.
Les graphes suivants représentent la solution exacte et des solutions approximatives
pour des valeurs différentes de l’ordre α.
Figure 4.2.1 : La solution exacte et des solutions numériques de l’équ.(4.2.1) selon
quelques valeurs de α.
Remarque 4.2.1 Pour les solutions approchées, on retient quatre termes.
4.2.2 Equation différentielle ordinnaire non-linéaire d’ordre frac-tionnaire
Exemple 4.2.2 Nous considérons l’équation différentielle non-linéaire d’ordre fractionnaire
suivante :cDα0+u− 2u+ u2 = −1, 0 < α 6 1, (4.2.13)
avec la condition initiale
u(0) = 2. (4.2.14)
-
4.2 Applications de la méthode HPM 55
cDα0+ désigne la dérivée fractionnaire au sens de Caputo.
Si α = 1, on obtient l’équation suivante :
u′ − 2u+ u2 = −1. (4.2.15)
L’équ.(4.2.15) est une équation de Riccati qui admet la solution exacte suivante :
u(x) =1
1 + x+ 1, |x| < 1. (4.2.16)
D’après la formule (3.2.4), nous pouvons construire l’homotopie suivante :
(1− p)[cDα0+v − cDα0+u0
]+ p
[cDα0+v − 2v + v2 + 1
]= 0,
p ∈ [0, 1] , (4.2.17)
oucDα0+v − cDα0+u0 + p cDα0+u0 − p
[2v − v2 − 1
]= 0. (4.2.18)
Nous essayons maintenant d’obtenir une solution pour (4.2.18) sous la forme :
v = v0 + pv1 + p2v2 + · · · . (4.2.19)
En substituant (4.2.19) dans (4.2.18), et en identifiant les termes de mêmes puissances
de p, nous obtenons les équations différentielles d’ordre fractionnaire suivantes :
p0 : cDα0+v0 =cDα0+u0,
p1 : cDα0+v1 +cDα0+u0 − 2v0 + v20 + 1 = 0,
p2 : cDα0+v1 − 2v1 + 2v0v1 = 0, (4.2.20)
p3 : cDα0+v2 − 2v2 + 2v0v2 + v21 = 0,...
A partir des équations (4.2.20) et la condition (4.2.14) nous obtenons les premiers termes
-
4.2 Applications de la méthode HPM 56
suivants :
v0(x) = 2,
v1(x) =−1
Γ(α + 1)xα,
v2(x) =2
Γ(2α + 1)x2α, (4.2.21)
v3(x) =−4− Γ(2α + 1)
Γ(3α + 1)x3α,
...
et comme
u(x) = limp−→1
∞∑i=0
pivi(x),
nous obtenons les premiers termes de la solution approchée de l’équation (4.2.13) :
u(x) = 2 +−1
Γ(α + 1)xα +
2
Γ(2α + 1)x2α +
−4− Γ(2α + 1)Γ(3α + 1)
x3α + · · · . (4.2.22)
Substituant α = 1 dans (4.2.22), nous obtenons la solution approchée de l’équation
(4.2.13) dans le cas entier
u(x) = 2− x+ x2 − x3 + · · · .
D’autre part, le développement en série de Taylor au voisinage de x = 0 pour la
solution exacte (4.2.16), est donnée par :
u(x) = 1 +(1− x+ x2 − x3 + · · ·
).
-
4.2 Applications de la méthode HPM 57
Figure 4.2.2 : La solution exacte et des solutions numériques de l’équ.(4.2.13) selon quelques
valeurs de α.
Remarque 4.2.2 Pour les solutions approchées on prend quatre termes.
4.2.3 Equation aux dérivées partielles linéaire d’ordre fraction-naire temporelle
Exemple 4.2.3 Nous considérons l’équation aux dérivées partielles linéaire avec la dérivée
fractionnaire temporelle suivante :
cDα0+,tu− 2xux + u = 0, 0 < α 6 1, (4.2.23)
et la codition initiale
u(x, 0) = x. (4.2.24)
cDα0+,t désigne la dérivée fractionnaire temporelle au sens de Caputo.
Si α = 1, nous obtenons l’équation aux dérivées partielles linéaire suivante :
ut − 2xux + u = 0. (4.2.25)
La solution de l’équ.(4.2.25) qui vérifie la condition (4.2.24) est donnée par :
u(x, t) = xet. (4.2.26)
-
4.2 Applications de la méthode HPM 58
D’après la formule (3.2.4), nous pouvons construire l’homotopie comme suit :
(1− p)[cDα0+,tv − cDα0+,tu0
]+ p
[cDα0+,tv − 2xv + v
]= 0,
p ∈ [0, 1] , (4.2.27)
oucDα0+,tv − cDα0+,tu0 + p cDα0+,tu0 + p [−2xv + v] = 0. (4.2.28)
Nous cherchons une solution pour (4.2.28) sous la forme :
v = v0 + pv1 + p2v2 + · · · . (4.2.29)
En substituant (4.2.29) dans (4.2.28), et en identifiant les termes de mêmes puissances
de p, nous obtenons l’ensemble des équations aux dérivées partielles d’ordre fraction-
naire suivantes :
p0 : cDα0+,tv0 =cDα0+,tu0,
p1 : cDα0+,tv1 +cDα0+,tu0 − 2xv0 + v0 = 0,
p2 : cDα0+,tv1 − 2xv1 + v1 = 0, (4.2.30)
p3 : cDα0+,tv2 − 2xv2 + v2 = 0,...
A partir des équations (4.2.30) et la condition (4.2.24), nous obtenons les premiers termes
suivants :
v0(x, t) = x,
v1(x, t) =x
Γ(α + 1)tα,
v2(x, t) =x
Γ(2α + 1)x2α, (4.2.31)
v3(x, t) =x
Γ(3α + 1)x3α,
...
et comme
u(x, t) = limp−→1
∞∑i=0
pivi(x, t),
-
4.2 Applications de la méthode HPM 59
la solution approchée de l’équation (4.2.23) s’écrit :
u(x, t) = x+x
Γ(α + 1)tα +
x
Γ(2α + 1)t2α +
x
Γ(3α + 1)t3α + · · · . (4.2.32)
Pour α = 1 dans (4.2.32), nous obtenons les quatre premiers termes de la solution
approchée de l’équation (4.2.25) :
u(x, t) = x(1 + t+t2
2!+t3
3!+ · · · ). (4.2.33)
D’après les premiers termes de la solution approchée (4.2.25), nous concluons que la
solution exacte de l’équation (4.2.25) est donnée par :
u(x, t) = xet.
(a) (b)
Figure 4.2.3 : (a) le graphe de la solution exacte, (b) le graphe de la solution approchée
-
4.2 Applications de la méthode HPM 60
de l’équ.(4.2.23) avec α = 1.
(c) (d) (e)
Figure 4.2.3 : (c), (d) et (e) les graphes de la solution approchée de l’équ.(4.2.23) avec
α = 0.90, α = 0.80 et α = 0.70 respectivement.
Remarque 4.2.3 Pour les solutions approchées, on retient quatre termes.
4.2.4 L’équation k(2,2) non-linéaire d’ordre fractionnaire
Notre préoccupation dans notre travail [40] est de considérer la solution numérique de l’équa-
tion K(2, 2) non-linéaire avec dérivée fractionnaire temporelle et spatiale.
L’équation considérée est donnée par :
cDα0+,tu+ (2u+ 6uxx)cDβ0+,xu+ 2uuxxx = 0, 0 < α, β ≤ 1, (4.2.34)
avec la condition initiale
u(x, 0) = g(x). (4.2.35)
Quand α = β = 1, l’équation donnée devient l’équation K(2, 2) classique sous la forme :
ut + (u2)x + (u
2)xxx = 0, (4.2.36)
-
4.2 Applications de la méthode HPM 61
Nouvelle modification de la HPM
Momani et al. [28] ont introduit un algorithme pour traiter de manière réaliste et effi cace
des équations aux dérivées partielles non-linéaires d’ordre fractionnaire. Ils considèrent les
équations aux dérivées partielles non-linéaires avec dérivée fractionnaire temporelle de la
forme :
{(cDα0+,tu)(x, t) = f(u, ux, uxx) = L(u, ux, uxx) +N(u, ux, uxx) + h(x, t), t > 0
uk(x, 0) = gk(x), k = 0, 1, 2, ....m− 1,(4.2.37)
où L est un opérateur linéaire, N est un opérateur non linéaire qui pourrait également inclure
d’autres dérivéés fractionnaires d’ordre inférieur à α. La fonction h est considérée comme une
fonction analytique connue et cDα0+,t, m− 1 < α ≤ m, est la dérivée fractionnaire de Caputo
d’ordre α.
D’après la technique d’homotopie, nous pouvons construire l’homotopie suivante :
∂um
∂tm− L(u, ux, uxx)− h(x, t) = p[