Université Paris 2Master Finan e et E onométrieMaster Monnaie, Finan e, BanqueE onométrie des séries temporelles(Appli ations ave le logi iel RATS)

Laurent Ferrara 1o tobre 2005

1Centre d'Observation E onomique et ENS Ca han. Adresse : COE, 27, Avenue de Friedland,75382 Paris Cedex 08, email : lferrara� ip.fr, site web : http ://lo.ferrara.free.fr

Table des matièresIntrodu tion 21 Outils d'analyse 31.1 Analyse temporelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2 Analyse spe trale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3 Filtrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 Pro essus ARMA 152.1 Introdu tion aux pro essus ARMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2 La méthodologie Box et Jenkins pas à pas . . . . . . . . . . . . . . . 172.3 Un exemple d'appli ation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.4 Analyse d'intervention . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363 Pro essus FARIMA 403.1 Introdu tion à la dépendan e de long terme . . . . . . . . . . . . . . 403.2 Pro essus longue mémoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.3 Méthodes d'estimations des paramètres . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.4 Un exemple d'appli ation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514 Pro essus GARCH 554.1 Faits stylisés des séries �nan ières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564.2 Introdu tion aux pro essus ARCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574.3 Extensions des pro essus ARCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.4 Inféren e statistique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684.5 Un exemple d'appli ation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74Bibliographie 80

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Introdu tionCe do ument est destiné aux étudiants du ours "E onométrie de Séries Temporelles"dans le adre du Master Finan e et E onométrie et du Master Monnaie, Finan e,Banque de l'Université Paris 2. Il ontient des notes de ours ainsi que des appli a-tions réalisées à l'aide du logi iel RATS (Regression Analysis for Time Series). Cedo ument peut également être utilisé par toute personne désirant mettre en oeuvreune modélisation autoproje tive univariée de série hronologique ave e logi iel.RATS est un logi iel dédié à l'analyse des séries hronologiques et possède un hoixtrès vaste d'instru tions et de fon tions internes, qui en font un des logi iels les plusperformants et des plus appré iés par les é onomètres. L'intérêt majeur de RATSest de permettre à l'utilisateur de réer fa ilement ses propres pro édures d'analysed'une série hronologique. De nombreux her heurs universitaires utilisent e logi- iel et mettent à la disposition du publi leurs pro édures, e qui permet d'enri hir onstamment la bibliothèque des méthodes statistiques utilisables ave RATS.On suppose que les personnes qui vont utiliser e do ument possède les notions debase de l'utilisation du logi iel. On renvoie pour ela aux référen es suivantes :� Doan, T.A. (1992), RATS User's Manual, Estima, Evanston, Il.� Enders, W. (1996), RATS Handbook for E onometri Time Series, Wiley, NewYork.� Enders, E. (2003), RATS Programming Manual,distribué gratuitement par Es-tima sur leur site web à l'adresse : www.estima. om� Ferrara, L. (2004), Manuel d'introdu tion au logi iel RATS, disponible sur monsite web à l'adresse : http ://lo.ferrara.free.fr.Ce do ument est omposé de quatre parties distin tes. Dans la première partie, nousprésentons les prin ipaux outils permettant d'e�e tuer une analyse des données surune série ave RATS. Dans la deuxième partie, nous nous intéressons à la mise enoeuvre d'une modélisation de série hronologique par la méthode linéaire de Boxet Jenkins (1970). Dans la troisième partie, sont présentés les résultats introdu tifsaux pro essus non linéaires à mémoire longue. En�n, dans la dernière partie, ons'intéresse à une modélisation non linéaire de type ARCH, qui permet de prendreen ompte la forte volatilité d'une série, présente notamment dans de nombreusesséries �nan ières. Notons que la version utilisée du logi iel est la version 5, mais les ommandes utilisées fon tionnent également ave les versions 4.X.2

Chapitre 1Outils d'analyse d'une sérieDans e hapitre, on e�e tue quelques rappels sur l'analyse de données issues d'unesérie hronologique, et nous présentons les instru tions RATS né essaires à la miseen oeuvre de ette analyse. Une telle analyse doit être systématiquement e�e tuée,prélablement à la modélisation de la série. Les détails des quelques dé�nitions etpropositions énon ées i-dessous, ainsi que leurs démonstrations, se trouvent dansles livres traitant de l'analyse des séries hronologiques, tels que les ouvrages de Boxet Jenkins (1970), Bro kwell et Davis (1987), Box, Jenkins et Reinsel (1994) ou Ha-milton (1994).Dans la suite de e do ument, on suppose qu'on observe une suite �nie de va-leurs réelles, notée X1; : : : ;XT . On onsidère ette suite �nie de valeurs, de lon-gueur T , omme étant la réalisation d'un pro essus (Xt)t2Z du se ond ordre (i.e. :E(X2t ) < 1), et on l'appelle la traje toire du pro essus. Dans la pratique, on ob-serve uniquement ette traje toire, et on l'utilise pour faire de l'inféren e statistiquesur le pro essus sous-ja ent à ette série observée. Il importe don d'analyser or-re tement la traje toire, préalablement à toute tentative de modélisation. Dans unpremier temps, on s'intéresse à une analyse temporelle d'une série, puis, dans unse ond temps, à une analyse spe trale.A�n d'illustrer e hapitre, on onsidère la série hronologique mensuelle du taux de hange du Dollar Canadien ontre le Dollar US, ontenue dans le � hier andata.rat,sous le nom de anusxsr. Cette série ommen e au mois de janvier 1960 et �nit aumois de mars 1990. L'import des données dans RATS se fait à l'aide des ommandessuivantes : alendar 1960 1 12all 90 :03open data ' andata.rat'data(format=rats) / anusxsrLe graphe de ette série présenté sur la Figure 1.1 est obtenu à l'aide de la ommandesuivante :graph(header="Taux de hange Canadian Dollar / US Dollar",key=lol)# anusxsr 3

CHAPITRE 1. OUTILS D'ANALYSE 4Taux de change Canadian Dollar / US Dollar

1960 1964 1968 1972 1976 1980 1984 198870

75

80

85

90

95

100

105

110

CANUSXSRFig. 1.1 � Taux de hange mensuel Canadian Dollar / US Dollar, de janvier 1960 àmars 1990 (série anusxsr).1.1 Analyse temporelleOn propose dans e paragraphe, d'e�e tuer quelques rappels sur l'analyse tem-porelle d'une série hronologique, et de présenter les instru tions RATS permettantde mettre en oeuvre ette analyse.D'abord, on dé�nit la fon tion moyenne, notée m, du pro essus (Xt)t2Z par l'espé-ran e non onditionnelle du pro essus, i.e. : m(t) = E(Xt), pour tout t 2 Z. Lafon tion d'auto ovarian e au retard k, notée (k), du pro essus (Xt)t2Z est alorsdé�nie de la manière suivante, pour tout t 2 Z et k 2 Z, : (k) = ov(Xt;Xt+k) = E(Xt �m(t))(Xt+k �m(t+ k)): (1.1)De même, la fon tion d'auto orrélation du pro essus (Xt)t2Z , que l'on note ACF(AutoCorrelation Fun tion), au retard k, notée �(k), est dé�nie, pour tout t 2 Z etk 2 Z, par : �(k) = (k)�Xt�Xt+k ; (1.2)où �Xt est l'é art type du pro essus au temps t, pour t 2 Z. Ainsi, pour un retard k�xé, le nombre �(k) 2 [�1; 1℄ mesure la orrélation linéaire entre les variables Xt etXt+k.On rappelle la dé�nition d'un pro essus du se ond ordre (Xt)t2Z faiblement station-naire, ou stationnaire en ovarian e, ou stationnaire.Dé�nition 1.1 Un pro essus (Xt)t2Z est dit faiblement stationnaire si :(1) la moyenne du pro essus est onstante au ours du temps,

CHAPITRE 1. OUTILS D'ANALYSE 5i.e. : pour tout t 2 Z, E(Xt) = �,(2) la ovarian e du pro essus est invariante au ours du temps,i.e. : pour tout t 2 Z et k 2 Z, (k) ne dépend que de k.A partir de maintenant, nous ne onsidérerons dans e hapitre uniquement des pro- essus stationnaires. Dans la pratique, à é hantillon �ni, on estime la moyenne dupro essus à l'aide de la moyenne empirique de la série, dé�nie par �XT = T�1PTt=1Xt.Cette moyenne empirique, ainsi que les 4 premiers moments empiriques, s'obtientdans RATS par la fon tion statisti s(). La fon tion d'auto ovarian e d'un pro es-sus au retard k est estimée par la fon tion d'auto ovarian e empirique, (:), dé�nie,pour 0 � k < T , par : (k) = 1T T�kXt=1 (Xt � �XT )(Xt+k � �XT ): (1.3)On remarque que (k) est divisée par le nombre total d'observations T , et non paspar T � k. Par onséquent, et estimateur est biaisé mais la matri e de varian e- ovarian e estimée � = [ (i � j)℄i;j=1;:::;T , al ulée à partir de et estimateur, estalors dé�nie positive et inversible.De même, l'ACF est estimée par l'ACF empirique, notée �(:) et dé�nie, pour 0 �k < T , par : �(k) = (k)^ (0) : (1.4)On remarque également que la matri e de orrélation estimée, R = [�(i�j)℄i;j=1;:::;T ,est dé�nie positive.Un autre outil de diagnosti intéressant est la fon tion d'auto orrélation partielle,que l'on note PACF (Partial ACF). La PACF au retard k, notée r(k), est dé�niepour tout k 2 Z, de la manière suivante :r(k) = ov(Xt �X�;Xt+k �X�t+k)var(Xt �X�)1=2var(Xt+k �X�t+k)1=2 ; (1.5)où, pour tout t, X�t est la régression a�ne de Xt sur Xt+1;Xt+2; : : : ;Xt+k�1 et X�t+kest la régression a�ne de Xt+k sur Xt+k�1;Xt+k�2; : : : ;Xt+1.Ainsi, pour un retard k �xé, le nombre r(k) est le oe� ient de orrélation linéaireentre la variable Xt �E(XtjXt+1;Xt+2; : : : ;Xt+k�1) et la variableXt�E(Xt+kjXt+1; : : : ;Xt+k�2;Xt+k�1). Ce oe� ient mesure en fait la liaison entreles variables Xt et Xt+k, une fois que l'on a retran hé l'in�uen e des variables in-termédiaires. La proposition suivante permet de al uler fa ilement r(k), pour unretard k �xé.Proposition 1.1 Le oe� ient r(k) dé�ni par l'équation 1.5 est le oe� ient de Xtdans la régression linéaire de Xt+k sur 1;Xt;Xt+1; : : : ;Xt+k�1.

CHAPITRE 1. OUTILS D'ANALYSE 6

1960 1964 1968 1972 1976 1980 1984 1988-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0.00

0.02

0.04

Fig. 1.2 � Rendements de la série du taux de hange mensuel Canadian Dollar / USDollar, de janvier 1960 à mars 1990 (série ret).Le logi iel RATS permet d'obtenir l'auto ovarian e empirique, l'ACF empirique etla PACF empirique à l'aide de la même instru tion orrelate. Cette instru tions'utilise de la manière suivante : orrelate(options) série début �n a fsérieoù a fsérie est le nom que l'on donne à la série des auto orrélations ou des auto o-varian es. L'option ovarian es permet d'obtenir l'auto ovarian e au lieu de l'ACF(par défaut no ovarian es) et l'option partial= permet d'obtenir la PACF. Deplus, l'option par défaut print a� he les séries en sortie et l'option number permetde �xer le nombre maximum de retards.Par exemple, on s'intéresse à nouveau à la série anusxsr. Plus parti ulièrement,on s'intéresse à la série des rendements de ette série, dé�nie par Rt = log(Xt) �log(Xt�1), où Xt est la valeur de la série du taux de hange au temps t. Ce typede transformation est lassique dans l'analyse des séries �nan ières. On obtient eton tra e ette série (voir Figure 1.3), que l'on appelle ret, à l'aide des ommandessuivantes :set ret = log( anusxsr)-log( anusxsr{1})graph# retOn obtient les 10 premières valeurs de l'ACF et la PACF de la série des rendementsà l'aide de la ommande suivante : orr(number=10,partial=retpa f) ret / reta fLes résultats suivants s'a� hent alors sur la fenêtre d'output :

CHAPITRE 1. OUTILS D'ANALYSE 7ACF

25 50 75 100-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Fig. 1.3 � ACF empirique de la série des rendements mensuels du taux de hangeCanadian Dollar / US Dollar.Correlations of Series RETMonthly Data From 1960 :02 To 1990 :03Auto orrelations1 : -0.0529340 -0.0742793 0.0610969 0.0309579 0.0703153 -0.01443317 : -0.0224910 0.1140178 0.0385587 0.0326157Partial Auto orrelations1 : -0.0529340 -0.0772979 0.0532358 0.0318610 0.0832107 -0.00474417 : -0.0164537 0.1018877 0.0451163 0.0520415On peut tra er l'ACF empirique de la série ret, pour un retard maximum de k = 100,de la manière suivante (voir Figure 1.4) : orr(noprint,number=100) ret / reta fgraph(nodates,style=bar,header="ACF")# reta fDans le Chapitre 2, nous verrons que l'instru tion orrelate permet également detester la nullité de l'ACF et de la PACF aux di�érents retards et de tester la non orrélation d'une série à l'aide du test "Portmanteau" de Ljung-Box.Les quatre premiers moments de la série sont renvoyés par l'instru tion statisti s,qui permet ainsi de al uler le skewness (%skewness) et la kurtosis (%kurtosis),respe tivement dé�nis par : Sk = T 2(T � 1)(T � 2)m3s3 ; (1.6)et Ku = T 2(T � 1)(T � 2)(T � 3) (T + 1)m4 � 3(T � 1)m22s4 ; (1.7)

CHAPITRE 1. OUTILS D'ANALYSE 8où s est l'é art-type empirique non biaisé tel que :s2 = 1(T � 1) TXt=1(Xt � �X)2; (1.8)et le moment d'ordre k, mk, est dé�ni par :mk = 1T TXt=1(Xt � �X)k: (1.9)On note que la valeur de la varian e empirique s2 est légérement di�érente de lavaleur de l'auto ovarian e empirique au retard k = 0 donnée par l'équation (1.3), ar le dénominateur est di�érent ((T � 1) pour la varian e empirique et T pour la ovarian e empirique).1.2 Analyse spe traleDans e paragraphe, on e�e tue quelques rappels sur l'analyse spe trale d'un pro- essus stationnaire et on présente en détail les instru tions RATS orrespondantes.Pour une présentation fouillée des di�érentes te hniques d'analyse spe trale, on seréfére à la monographie de Priestley (1981).On onsidère toujours le traje toire �nie X1; : : : ;XT , issue du pro essus stationnaire(Xt)t2Z , de ovarian e notée . La densité spe trale f de e pro essus est dé�nie omme étant la transformée de Fourier de la fon tion d'auto ovarian e du pro essus,i.e., pour toute fréquen e � appartenant à l'intervalle [0; 2�[ :f(�) = 12� 1Xk=�1 (k)e�i�k: (1.10)RATS permet d'estimer la densité spe trale d'un pro essus à l'aide de la pro édurespe trum, ontenue dans le � hier SPECTRUM.SRC fourni par Estima. Pour pou-voir utiliser ette pro édure, il est don né essaire d'importer ette pro édure dansla session RATS, à l'aide de l'instru tion sour e. Cette pro édure s'utilise de la ma-nière suivante :�spe trum(options) série début �nCette pro édure utilise la méthode du périodogramme lissé, qu'on se propose de dé-tailler maintenant.Le prin ipal outil d'analyse dont on dispose pour estimer empiriquement la densitéspe trale théorique du pro essus est le périodogramme IT , dé�ni sur l'intervalle [0; 2�[par : IT (�) = 12�T ����� TXt=1 e�i�tXt�����2 ; (1.11)

CHAPITRE 1. OUTILS D'ANALYSE 9En général, on onsidère des pro essus entrés pour lesquels la moyenne empiriqueest nulle. On note que, dans la pratique, les fréquen es � sur l'intervalle [0; 2�[ sontrempla ées par les fréquen es de Fourier, �j, dé�nies, pour j = 0; : : : ; T � 1, par :�j = 2�j=T .RATS permet de traiter des séries à valeurs dans le plan omplexe, e qui autorisele al ul du périodogramme, de manière simple, à l'aide de la Transformée de Fou-rier Rapide (Fast Fourier Transform) que l'on al ule à l'aide de l'instru tion fft.Par exemple, les ommandes suivantes permettent de al uler le périodogramme surl'intervalle [0; �℄, et les fréquen es de Fourier orrespondantes, pour les résidus dela série anusxsr, traitée dans le paragraphe pré édent, du mois de janvier 1960 aumois de dé embre 1989 (voir Figure 1.5). Le graphe de ette série des résidus, notéeresids est présentée sur le bas de la Figure 1.2.smpl 60 :01 89 :12linreg anusxsr / resids# onstant datesta resids om nn = %nobs/2+1* Cal ul des fréquen es de Fourier sur [0,2pi[set freqs 1 %nobs = 2*%pi*(t-1.0)/%nobs* Cal ul du périodogrammefrequen y 1 %nobsrto 60 :01 89 :12 1# resids# 1fft 1 mult(s ale=1.0/(2.0*%pi*%nobs)) 1 1 tor 1 nn 1# 1# periodos atter(sty=lines,header='Periodogramme de la serie :resids') 1# freqs periodo 1 nnsmplOn note que la valeur du périodogramme pour la fréquen e zéro est nulle, ar lamoyenne empirique des résidus est égale à zéro. De plus, on observe que le pério-dogramme augmente lorsque les fréquen es tendent vers zéro. Ce phénomène a étéobservé en premier par Granger (1966) et est présent dans de nombreuses séries à ara tère é onomique. Une manière de modéliser e phénomène est présentée dansle Chapitre 3 de e do ument.Les deux prin ipales propriétés du périodogramme en tant qu'estimateur de la den-sité spe trale sont les suivantes :1. il est asymptotiquement sans biais

CHAPITRE 1. OUTILS D'ANALYSE 102. il est non- onsistant :limT!1Cov(IT (�); IT (�0)) = 0 si � 6= �0; (1.12)et limT!1V ar(IT (�)) = (f2(�) si � 2 [0; 2�[�f0; �g;2f2(�) si � 2 f0; �g. (1.13)Il importe don de her her à améliorer les performan es du périodogramme en tantqu'estimateur de la densité spe trale. Nous présentons rapidement deux te hniques lassiquement utilisées dans l'analyse spe trale des séries hronologiques a�n d'amé-liorer ette estimation : la méthode de l'e�lage des données (dite du "tapering") etl'utilisation d'un périodogramme lissé. L'instru tion spe trum permet d'utiliser enoption es deux te hniques.La méthode de l'e�lage des données permet d'améliorer la pré ision du périodo-gramme dans l'estimation de la densité spe trale, en parti ulier, ette méthode per-met de réduire le "leakage e�e t", que l'on peut traduire en français par l'e�et deperte. Cet e�et intervient lorsque la densité spe trale possède un ou plusieurs pi s. A e moment-là, les autres valeurs estimées de la densité spe trale sont surélevées parrapport à leurs vraies valeurs. La méthode de l'e�lage des données se fait à l'aided'une transformation préliminaire sur les données. On rempla e alors l'é hantilloninitial X1; : : : ;XT par l'é hantillon e�lé suivant : h1X1; : : : ; hTXT , où (ht)t=1;:::;Test une suite onvenable de onstantes. RATS propose deux suites (ht)t=1;:::;T di�é-rentes : une suite dite trapézoidale, qui vaut 1 pour la partie entrale de la série etdé roît linéairement vers zéro pour les m premières et dernières valeurs de la série,et une suite dite de lo he en osinus (" osine bell"), respe tivement dé�nies de lamanière suivante :� Suite Trapézoidale :h(t) = 8><>:t=m si 1 � t � m;1 si m+ 1 � t � T �m;(T � t+ 1)=m) si T �m+ 1 � t � T ; (1.14)� Suite en Cosinus :h(t) = 8><>:0:5(1 � os(�t=m)) si 1 � t � m;1 si m+ 1 � t � T �m;0:5(1 � os(�(T � t+ 1)=m)) si T �m+ 1 � t � T ; (1.15)Le paramètre m tel que 1 � m � T permet de ontr�ler la proportion de la série surlaquelle on e�e tue la transformation. Lorsqu'on utilise l'instru tion spe trum, l'op-tion taper=trapezoidal permet d'utiliser une suite trapézoidale et l'option taper= osinepermet d'utiliser une suite en osinus. L'option par défaut taper= osine n'e�le pasles données. L'option permet wtaper permet de donner une valeur au paramètre m,en tant que fra tion de la taille d'é hantillon T . Par défaut, ette valeur est de 0.25.

CHAPITRE 1. OUTILS D'ANALYSE 11Log-periodogramme lisse de la serie:resids

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

-4

-2

0

2

4

6

Fig. 1.4 � Périodogramme lissé de la série des résidus resids.Une expression du périodogramme e�lé est alors donnée par l'équation suivante :ItapT (�) = 12�PTt=1 h2t ����� TXt=1 e�i�thtXt�����2 : (1.16)Le périodogramme lissé, que l'on note fL(�), orrespond à moyenne mobile entréepondérée du périodogramme. fL(�) est donné par l'équation suivante :fL(�j) = 12� (m�1)Xh=�(m�1)WT (h)IT (�j+h); (1.17)où IT (�j) est le périodogramme pour la fréquen e de Fourier �j , et où m est unentier positif ou nul qui ontr�le la longueur de la moyenne mobile. Lorsque m = 1,on remarque alors que le périodogramme lissé est le périodogramme brut. Pour ettemoyenne mobile, il existe de nombreuses suites de poids (WT (h))h, proposées par desstatisti iens élèbres (Bartlett, Parzen, Bla kman-Tukey, Daniell, ...) et on renvoieau hapitre 6 du livre de Priestley (1981) pour une dis ussion approfondie sur e sujet.La pro édure spe trum propose deux suites de poids di�érentes, pour h = �m +1; : : : ;�1; 0; 1; : : : ;m � 1. L'option par défaut window=flat utilise la suite dé�niepar : WT (h) = 1; (1.18)et l'option window=tent utilise la suite dé�nie par :WT (h) = T � jhj: (1.19)RATS standardise automatiquement es poids, de manière à e que la somme soitégale à 1. L'instru tion spe trum ontr�le le lissage par l'intermédiaire de l'op-tion width. La valeur de l'entier, obligatoirement impair, a�e tée à width permetde ontr�ler la longueur de la moyenne mobile utilisée, de la manière suivante :

CHAPITRE 1. OUTILS D'ANALYSE 12m = (width+ 1)=2. Ainsi, si width=1, alors m = 1, et le périodogramme lissé est lepériodogramme brut. L'option width=0.75 T1=2, est l'option par défaut dans l'ins-tru tion spe trum.En�n, il est important de noter que l'instru tion spe trum ne renvoie pas la valeurexa te du périodogramme al ulé, mais son logarithme.La ommande suivante permet d'obtenir et de tra er un estimateur de la densitéspe trale de la série resids (voir �gure 1.4).�spe trum(taper=none,window=tent,header='Log-periodogramme lissede la serie :resids') resids 60 :01 89 :121.3 FiltrageA l'image de la série du taux de hange pré édente, de nombreuses séries hronolo-giques, en é onomie et en �nan e possédent une tendan e, roissante ou dé roissante.La série est alors non stationnaire (voir hapitre suivant pour les di�érents types denon stationnarité). Il est souvent utile de retran her ette tendan e de long termequi peut masquer ertains e�ets onjon turels, en parti ulier y liques. L'é onométriefourmille de méthodes de dé omposition tendan e- y le, de type Hodri k-pres ott,Beveridge-Nelson, Baxter-King, ... En pratique, il est relativement di� ile de savoirquelle est la bonne méthode à utiliser, ha une ayant des défauts et des qualités (voirGay et Saint-Amand, 1997).Le �ltre HP permet de dé omposer une série (Xt) en deux omposantes orthogonales,la tendan e (Tt) et le y le (Ct). La méthode onsiste à minimiser la varian e y liquepénalisée, ie :Tt = argminXt (Xt � Tt)2 + �Xt f(Tt+1 � Tt)� (Tt � Tt�1)g2 (1.20)La paramètre � permet de régler l'importan e raltive des deux termes à minimiser.Au plus � est élevé, au plus la omposante tendan ielle est lisse. Lorsque � tend versl'in�ni, la tendan e appro he une droite linéaire. Pour des données trimestrielles, ilgénéralement onseillé de prendre � = 1600. Une estimation du y le (appelé y lede roissan e) est donnée par Ct = Xt � Tt. Ave RATS, un �ltrage HP est obtenuà l'aide la fon tion �hpfilter.sr . De même, un �ltrage Baxter-King est obtenu àl'aide la fon tion �bpfilter.sr .Une appro he triviale peut être de onsidérer que ette tendan e est linéaire. D'unpoint de vue te hnique, il su�t d'e�e tuer une régression linéaire sur la tendan e.D'une manière générale, ave RATS, l'opération de régression linéaire sur des va-riables exogènes se fait à l'aide de l'instru tion linreg. Les ommandes suivantespermettent d'ajuster une droite à la série anusxsr et d'obtenir la série estimée( anusxsrhat) et les résidus (resids).set date = t

CHAPITRE 1. OUTILS D'ANALYSE 13linreg anusxsr / resids# onstant dateprj anusxsrhatEn sortie, on obtient les résultats suivants sur la régression e�e tuée :Linear Regression - Estimation by Least SquaresDependent Variable CANUSXSRMonthly Data From 1960 :01 To 1990 :03Usable Observations 363 Degrees of Freedom 361Centered R**2 0.542319 R Bar **2 0.541051Un entered R**2 0.995580 T x R**2 361.395Mean of Dependent Variable 0.9008063361Std Error of Dependent Variable 0.0890803141Standard Error of Estimate 0.0603481431Sum of Squared Residuals 1.3147253136Regression F(1,361) 427.7588Signifi an e Level of F 0.00000000Durbin-Watson Statisti 0.024915Variable Coeff Std Error T-Stat Signif***************************************************************1. Constant 1.014586647 0.006348023 159.82718 0.000000002. DATE -0.000625167 0.000030227 -20.68233 0.00000000On observe que les paramètres estimés sont signi� ativement di�érent de zéro, mêmeave un risque de première espè e extrêmement faible. En parti ulier, la pente de ladroite de régression est non-nulle. L'instru tion linreg possède di�érentes options,permettant par exemple d'obtenir la matri e de varian e- ovarian e des estimateurs(option v v) ou d'omettre ertaines valeurs de la régression (option smpl). On seréfére au manuel fourni par Estima (Doan, 1992) pour un des riptif omplet de esoptions.On peut alors tra er la série anusxsr, la droite de régression et les résidus obtenus,à l'aide des ommandes suivantes :spgraph(vfields=2)graph(header='Serie anusxsr') 2# anusxsr# anusxsrhatgraph(header='Residus')# residsspgraph(done)Notons que l'instru tion linreg permet d'a éder à plusieurs renseignements relatifsà l'opération de régression. Ces valeurs (ve teurs et s alaires) sont présentées en page14-144 du guide fourni par Estima. Par exemple, on obtient le ve teur des oe� ients

CHAPITRE 1. OUTILS D'ANALYSE 14Serie canusxsr

1960 1963 1966 1969 1972 1975 1978 1981 1984 1987 199070

75

80

85

90

95

100

105

110

Residus

1960 1963 1966 1969 1972 1975 1978 1981 1984 1987 1990-15

-10

-5

0

5

10

15

Fig. 1.5 � Série anusxsr et la tendan e linéaire ajustée et la série des résidus.par la ommande %beta, le R2 par %rsquared et la somme des arrés des résidus par%rss.

Chapitre 2Pro essus ARMADans e hapitre, on s'intéresse à la mise en oeuvre d'une modélisation linéairede série hronologique par la méthodologie de Box et Jenkins (1970). Dans le premierparagraphe, nous e�e tuons quelques rappels sur les pro essus de type autorégressifmoyenne-mobile, ou ARMA. Dans le deuxième paragraphe, nous détaillons les di�é-rentes étapes de la modélisation et les instru tions RATS asso iées, et le troisièmeparagraphe ontient un exemple d'appli ation sur une série saisonnière. En�n, le der-nier paragraphe présente la méthode d'analyse d'intervention de Box et Tiao (1975),qui permet de modéliser l'e�et d'un événement extérieur sur un pro essus ARMA.2.1 Introdu tion aux pro essus ARMAOn rappelle dans un premier temps la dé�nition d'un pro essus de type autoré-gressif moyenne-mobile, ou ARMA.Dé�nition 2.1 Un pro essus du se ond ordre (Xt)t2Z est dé�ni omme étant unpro essus ARMA(p; q), s'il est stationnaire et si et seulement si, pour tout t 2 Z, ilvéri�e l'équation aux di�éren es suivante :�(B)(Xt � �) = �(B)"t; (2.1)où � est la moyenne du pro essus, où B est l'opérateur retard tel que, 8t, BXt = Xt�1et pour tout entier b, BbXt = Xt�b, où �(z) = I � �1z � : : : � �pzp et �(z) =I + �1z + : : : + �qzq sont deux polyn�mes et où ("t)t2Z est un pro essus bruit blan entré de varian e �2" .Si q = 0, on dit que (Xt)t2Z est un pro essus AR(p), et si p = 0, on dit que (Xt)t2Zest un pro essus MA(q). Il est important de remarquer la manière dont sont dé�nisles polyn�mes �(z) et �(z). Nous les avons dé�nis de manière ohérente ave RATS,mais il arrive souvent que le polyn�me �(z) soit égal à �(z) = 1� �1z � : : : � �qzq.On rappelle un résultat relatif aux propriétés de linéarité, de ausalité et d'inversi-bilité.15

CHAPITRE 2. PROCESSUS ARMA 16Proposition 2.1 Soit (Xt)t2Z un pro essus ARMA(p; q) dé�ni par la dé�nition 2.1.(i) Si le polyn�me �(z) ne s'annule pas sur le er le dé�ni par jzj = 1, alors lepro essus (Xt)t2Z est un pro essus linéaire stationnaire.(ii) Si le polyn�me �(z) ne s'annule pas sur le er le dé�ni par jzj � 1, alors lepro essus (Xt)t2Z possède une représentation ausale.(iii) Si le polyn�me �(z) ne s'annule pas sur le er le dé�ni par jzj � 1, alors lepro essus (Xt)t2Z possède une représentation inversible.On généralise maintenant la dé�nition 2.1 au as des pro essus ARMA(p; q) intégrésd'ordre d, ou ARIMA(p; d; q).Dé�nition 2.2 Un pro essus du se ond ordre (Xt)t2Z est dé�ni omme étant unpro essusARIMA(p; d; q), si le pro essus ((I � B)dXt)t2Z est un pro essus ARMA dé�ni parla dé�nition 2.1.On généralise à nouveau les deux dé�nitions pré édentes au as des pro essus sai-sonniers SARIMA (Seasonal ARIMA).Dé�nition 2.3 Un pro essus du se ond ordre (Xt)t2Z est dé�ni omme étant unpro essusSARIMA(p; d; q)(P;D;Q)S , si et seulement si, pour tout t 2 Z, il véri�e l'équationaux di�éren es suivante :�(B)�(BS)(I �B)d(I �BS)D(Xt � �) = �(B)�(BS)"t; (2.2)où S est la saisonnalité du pro essus, où d et D sont deux entiers orrespondant res-pe tivement aux ordres de di�érentiation et de di�érentiation saisonnière, où �(z) =I � �1z � : : : � �P zP et �(z) = I ��1z � : : : ��QzQ sont deux polyn�mes, et où�, �(z), �(z) et ("t)t2Z sont dé�nis dans la dé�nition 2.1.Le logi iel RATS permet de simuler des traje toires �nies engendrées par un pro essusARMA. Par exemple, on s'intéresse au pro essus entré ARMA(2,1), tel que :(I � 0:4B � 0:2B2)Xt = (I + 0:3B)"t;où le pro essus ("t)t est un bruit blan Gaussien de varian e unitaire. Les ommandessuivantes permettent de générer et de tra er une traje toire de longueur 1000, issuede e pro essus ARMA (voir �gure 2.1).set eps = %ran(1)set x 1 2 = 0set x 3 1100 = 0.4*x{1}+0.2*x{2}+eps+0.3*eps{1}smpl 101 1100graph(header='Simulations d'un pro essus ARMA(2,1)',subheader='T=1000')# x

CHAPITRE 2. PROCESSUS ARMA 17Simulations processus ARMA(2,1)

T=1000

200 400 600 800 1000-6

-4

-2

0

2

4

6

Fig. 2.1 � Simulation d'un pro essus ARMA(2,1).2.2 La méthodologie Box et Jenkins pas à pasLa méthodologie de Box et Jenkins (1970) repose sur une modélisation de la séried'étude par un pro essus de type ARIMA(p; d; q). Cette méthodologie est basée surles 4 étapes suivantes :1. Spé i� ation du pro essus.2. Estimation des paramètres du pro essus.3. Validation du pro essus par tests.4. Utilisation du pro essus en prévision.Nous allons maintenant détailler es 4 di�érentes étapes.2.2.1 Spé i� ationL'étape de la spé i� ation d'un pro essus ARIMA(p; d; q) onsiste à hoisir l'ordredes parties AR ( hoix de l'entier p) et MA ( hoix de l'entier q), ainsi que l'ordre dudegré d'intégration ( hoix de l'entier d).Choix de l'entier dCe hoix est un problème déli at à régler et est à l'origine d'une littérature ex-pansive dans le domaine des statistiques et de l'é onométrie. Ce hoix est lié à unedes toutes premières questions que doit se poser le statisti ien désireux de mettreen oeuvre la méthodologie de Box et Jenkins (1970), à savoir, si la traje toire qu'ilobserve est issue d'un pro essus faiblement stationnaire. Si tel est le as, on diraalors que le pro essus (Xt)t2Z est intégré d'ordre 0 ; sinon, on suppose qu'il existeun entier d > 0 tel que (I �B)dXt est asymptotiquement faiblement stationnaire, Bétant l'opérateur retard. On dira alors que le pro essus (Xt)t2Z est intégré d'ordre d.Cependant, dans la majorité des as ren ontrés en pratique l'entier d orrespondantà l'ordre d'intégration est égal à l'unité. Ainsi, le problème du statisti ien revientalors à se demander quel est l'ordre d'intégration du pro essus, e qui est équivalent

CHAPITRE 2. PROCESSUS ARMA 18à tester l'hypothèse H0 : fd = 0g ontre l'hypothèse H1 : fd = 1g. On renvoie auChapitre 3 de e do ument pour le as où 0 < d < 1.De nombreux tests d'hypothèses ont été développés depuis le milieu des années 1970dans la littérature statistique et é onométrique a�n d'aider le prati ien dans le hoixdu paramètre d, à partir des données dont il dispose. On itera en parti ulier, les testsde ra ine unitaire de Fuller (1976), Di key et Fuller (1979, 1981), Phillips (1987), Phil-lips et Perron (1988), Kwiatkowski, Phillips, S hmidt et Shin (1992) et Zivot et An-drews (1992). Ces di�érents tests de ra ine unitaire peuvent être utilisés dans RATSà l'aide de plusieurs di�érentes pro édures ontenues dans les � hiers ADF.SRC,DFUNIT.SRC, PPUNIT.SRC ou ZIVOT.SRC.En pratique, on retiendra que la présen e d'une tendan e linéaire entraîne le hoixd = 1 et qu'une moyenne onstante entraîne le hoix d = 0. On se limitera don àdes ritères de hoix empiriques, tel que l'évolution de la moyenne empirique, pourdéterminer le hoix de l'entier d.Choix des entiers p et qLe hoix des entiers p et q se fait à l'aide de l'ACF empirique et la PACF empi-rique. On rappelle la propriété suivante :Proposition 2.2 Soit (Xt)t2Z un pro essus faiblement stationnaire.(i) Si (Xt)t2Z � AR(p), alors rX(k) = 0, si k > p.(ii) Si (Xt)t2Z �MA(q), alors �X(k) = 0, si k > q.On her he alors le retard k à partir duquel rX(k) = 0 ou �X(k) = 0. Cette re her hese fait à l'aide du test de Bartlett qui permet de tester statistiquement l'hypothèseH0 : �X(k) = 0 ontre l'hypothèse H1 : �X(k) 6= 0. De même le test de Quenouillepermet de tester statistiquement l'hypothèse H0 : rX(k) = 0 ontre l'hypothèseH1 : rX(k) 6= 0. On rappelle es deux tests basés sur les théorèmes suivants :Théorème de BartlettSoit (Xt)t2Z un pro essus MA(q) stationnaire. Sous l'hypothèse H0 : �X(k) = 0,pour k � q + 1, on a quand T !1 :T 1=2�X(k)! N(0; 1 + 2 qXi=1 �X(i)) (2.3)Théorème de QuenouilleSoit (Xt)t2Z un pro essus AR(q) stationnaire. Sous l'hypothèse H0 : rX(k) = 0,pour k � p+ 1, on a quand T !1 :T 1=2rX(k)! N(0; 1) (2.4)

CHAPITRE 2. PROCESSUS ARMA 19Ainsi, en se plaçant au retard k, sous l'hypothèse H0 : �X(k) = 0, les bornes de on�an e asymptotiques de �X(k) au risque � = 5% sont données par :�X(k) 2 [0� 1:96(1 + 2Pk�1i=1 �X(i))1=2T 1=2 ℄: (2.5)De même, en se plaçant au rang k, sous l'hypothèse H0 : rX(k) = 0, les bornes de on�an e asymptotiques de rX(k) au risque � = 5% sont données par :rX(k) 2 [0� 1:96 1T 1=2 ℄: (2.6)On remarque que, lorsque le nombre k de retards augmente, les bornes de on�an e de�X(k) vont en s'évasant, alors que les bornes de on�an e de rX(k) restent onstantes.On note ependant que la propriété 2.2 ne on erne que des pro essus AR et MA"purs". En présen e simultanée d'une partie AR et d'une partie MA, le hoix de p etq devient plus déli at. Il arrive souvent que l'on séle tionne plusieurs modèles, quel'on pressent apable d'ajuster orre tement la série d'étude. Cha un de es modèlessera alors estimé puis validé. La phase de validation permettra de retenir un seulmodèle, à utiliser ensuite en prévision.Une manière e� a e de pro éder pour hoisir les ordres des parties AR et MA,est de hoisir les ordres p et q de telle sorte qu'ils optimisent un ertain ritèred'intérêt, déterminé a priori. Un des ritères les plus utilisés en statistique est le ritère d'information d'Akaike (1977), dénoté AIC, dé�ni de la manière suivante :AIC = T log(�2") + 2(p+ q); (2.7)où �2" est la varian e résiduelle estimée. Un modèle possédant une bonne qualitéd'ajustement fournira une varian e résiduelle faible, don un AIC faible. On her heradon à minimiser le ritère AIC.Il est à noter qu'il existe d'autres ritères d'information dans la littérature statis-tique, tels que les ritères de Bayes (BIC), de Hannan (HIC) ou de Akaike orrigé(AICC). On se référe, par exemple, à Hamilton (1994) pour une dé�nition de es ritères. On note également que es ritères sont relatifs à la qualité d'ajustement dumodèle, mais on peut envisager une re her he automatique de p et de q relativementà la qualité de prédi tion du modèle par validation roisée.Dans RATS, on peut al uler l'intervalle de on�an e asymptotique de l'ACF (équa-tion (2.5)), à l'aide de l'option stderrs de l'instru tion orrelate. En e�et, etteoption renvoie la valeur T�1=2(1 + 2Pk�1i=1 �X(i))1=2, pour k � 1, ontenue dansl'expression (2.5). Dans l'exemple suivant, nous allons simuler une traje toire de lon-gueur T = 1000, issue d'un pro essus AR(2) de paramètres �1 = 0:3 et �2 = 0:2, etnous al uler son ACF et ses bornes de on�an e au risque � = 0:05.all 1100seed 123 ; set eps = %ran(1)set xar2 1 2 = 0.0set xar2 3 1100 = 0.3*xar2{1}+0.2*xar2{2}+eps

CHAPITRE 2. PROCESSUS ARMA 20 orr(stderrs=xse,number=10,partial=xpa f) xar2 101 1100 xa fprint / xse xa f xpa fset i 1 = 1.96*xseset i 2 = -1.96*xseDe même, on peut al uler l'intervalle de on�an e asymptotique de la PACF (équa-tion (2.6)), de la manière suivante :sta xar2set pi 1 = 1.96/sqrt(%nobs)set pi 2 = -1.96/sqrt(%nobs)On peut alors tra er simultanément l'ACF et la PACF de ette série simulée xar2,ainsi que les intervalles de on�an e asymptotiques respe tifs, permettant d'e�e tuerles tests de non nullité pré ités (voir �gure 2.2).spgraph(vfields=2,header='Serie : xar2')graph(style=bar,overlay=line,ov ount=2,omax=1,omin=-1, $max=1,min=-1,number=1) 3# xa f# i 1# i 2graph(style=bar,overlay=line,ov ount=2,omax=1,omin=-1, $max=1,min=-1,number=1) 3# xpa f# pi 1# pi 2spgaph(done)On peut alors observer visuellement si les valeurs de l'ACF et de la PACF sont àl'intérieur de l'intervalle de on�an e et déterminer ainsi les ordres p et q. Dans le as présent, on peut soit hoisir un pro essus AR(2), soit un pro essus MA(3). Ce-pendant, le prin ipe de par imonie nous re ommande de hoisir un pro essus AR(2).2.2.2 Estimation des paramètresIl existe de nombreuses méthodes on urrentes d'estimation des paramètres d'unpro essus ARIMA. On se référe à Box et Jenkins (1970), Bro kwell et Davis (1987)ou Hamilton (1994) pour une revue des di�érentes méthodes d'estimation. Les mé-thodes d'estimation des paramètres dans un pro essus ARMA(p; q) sont pour la plu-part basées sur l'expression de la vraisemblan e onditionnelle du pro essus. Dansla littérature statistique, il existe de nombreuses méthodes permettant de al uler ette vraisemblan e onditionelle. Nous présentons elle utilisée par RATS, baséesur la méthode de Box et Jenkins (1976,p.211). On suppose don que le pro essus onsidéré est Gaussien et � = (�; �2" ; �1; : : : ; �p; �1; : : : ; �q) est le paramètre à estimer.La méthode pré onisée par Box et Jenkins (1976, p.211) onditionne la vraisemblan edu pro essus sur les p premières valeurs observées du pro essus (Xt)t, X1; : : : ;Xp,

CHAPITRE 2. PROCESSUS ARMA 21Serie : xar2

ACF

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1.00

-0.75

-0.50

-0.25

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

-1.00

-0.75

-0.50

-0.25

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

PACF

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1.00

-0.75

-0.50

-0.25

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

-1.00

-0.75

-0.50

-0.25

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

Fig. 2.2 � ACF et PACF de la série simulée xar2, issue d'un pro essus AR(2).et sur les q valeurs du pro essus ("t)t, telles que :"p = "p�1 = : : : = "p�q+1 = 0:Ainsi, à partir de la suite X1; : : : ;XT , on peut alors al uler par itérations la suite"p+1; "p+2; : : : ; "T , de la manière suivante, pour t = p+ 1; : : : ; T , :"t = ��(1� pXi=1 �i) +Xt � �1Xt�1 � : : : � �pXt�p � �1"t�1 � : : : � �q"t�q: (2.8)La log-vraisemblan e onditionnelle est alors donnée par l'équation suivante :LBJ (�) = log f(XT ; : : : ;Xp+1jXp; : : : ;X1; "p = : : : = "p�q+1 = 0) (2.9)= �T � p2 log(2�) � T � p2 log(�2")� TXt=p+1 "2t2�2" : (2.10)L'estimateur du maximum de vraisemblan e (EMV), noté �EMV , est le paramètrequi maximise la log-vraisemblan e, i.e. :�EMV = Argmax� L(�) (2.11)

CHAPITRE 2. PROCESSUS ARMA 22La résolution numérique de e problème de maximisation se fait à l'aide d'un algo-rithme du gradient onjugué de type Newton-Raphson. Ces algorithmes e�e tuentune re her he de maximum global, par "des ente" vers e maximum à partir d'unevaleur initiale. De nombreux algorithmes de e type sont onnus dans la littératurestatistique, et varient selon la dire tion de des ente. En parti ulier, RATS utilise laméthode de dite de Gauss-Newton présentée. Ces méthodes de maximisation né es-sitent la spé i� ation par l'utilisateur de valeurs initiales pour l'algorithme. Le hoixde es valeurs initiales n'est pas sans onséquen e, ar un mauvais hoix peut faireatterrir l'algorithme sur un maximum lo al, et non pas global. Une solution à eproblème est de hoisir empiriquement di�érentes valeurs initiales et d'observer le omportement du résultat et les valeurs de la varian e résiduelle ou du ritère AIC.Notons également que lorsque le nombre de paramètres est faible, en général inférieurou égal à 3, on peut résoudre e problème de maximisation en utilisant une pro é-dure par maillage ("grid-sear h pro edure"). Cette pro édure onsiste à al uler lalog-vraisemblan e pour di�érentes valeurs su essives des paramètres, appartenantà un intervalle �ni, et de retenir alors les valeurs des paramètres pour lesquellesla log-vraisemblan e est maximale. Lorsque le nombre de paramètres du pro essusaugmente ette pro édure devient très lente. De plus, elle ne permet pas d'obtenirl'é art-type des estimateurs. On se référe, par exemple, à Hamilton (1994, hapitre5) pour un des riptif de es méthodes de résolution numérique.Ave RATS, l'estimation des paramètres d'un pro essus ARMA se fait à l'aide del'instru tion boxjenk, qui s'utilise de la manière suivante :boxjenk(options) série début �n résidusCette instru tion permet de spé i�er les ordres saisonniers et non saisonniers du mo-dèle, à l'aide des options ar=, ma=, sar= et sma=. De plus, les degrés d'intégrationsaisonnier et non saisonnier sont spé i�és par les options diffs= et sdiffs=. Pardéfaut, les ordres du modèle sont nuls. Dans l'exemple suivant, on onsidère la sériexar2, que l'on a simulée, et on ajuste un pro essus AR(2).boxjenk(no onstant,ar=2) xar2 101 1100 residsOn obtient alors les résultats suivants :Dependent Variable XAR2 - Estimation by Box-JenkinsIterations Taken 2Usable Observations 1000 Degrees of Freedom 998Centered R**2 0.135253 R Bar **2 0.134387Un entered R**2 0.135258 T x R**2 135.258Mean of Dependent Variable -0.002639775Std Error of Dependent Variable 1.116592696Standard Error of Estimate 1.038859357Sum of Squared Residuals 1077.0703052Durbin-Watson Statisti 2.000817Variable Coeff Std Error T-Stat Signif

CHAPITRE 2. PROCESSUS ARMA 23******************************************************1. AR{1} 0.2959591252 0.0313249410 9.44803 0.000000002. AR{2} 0.1389769914 0.0313396456 4.43454 0.00001025L'instru tion boxjenk renvoie de nombreuses informations relatives à l'opérationd'estimation. Par exemple, la variable %beta ontient le ve teur des paramètres etla variable %rss ontient la somme des arrés des résidus. L'option input permet demettre en oeuvre l'analyse d'intervention (voir paragraphe 2.4).En�n, il est intéressant de noter que l'instru tion boxjenk permet d'estimer despro essus ARMA à "trous". Par exemple, si on désire estimer le pro essus AR(4)suivant : (I � �1B � �4B4)Xt = "t;on spé i�e un modèle à l'aide de l'option ar=||1,4|| de la manière suivante :boxjenk(no onstant,ar=||1,4||) xar2 101 1100De manière identique, on spé i�e un modèle MA à "trous", à l'aide de l'option ma=.2.2.3 Validation par testsLa validation du pro essus estimé se fait à l'aide d'un test de signi� ativité desparamètres et d'une analyse sur les résidus estimés.Signi� ativité des paramètresIl est important de déterminer si les paramètres du modèles sont signi� ativementdi�érent de zéro. Pour ela on e�e tue un test de Student en omparant la valeurabsolue de ha un des paramètres estimés ave sa varian e. Ainsi, si la valeur absoluedu paramètre est plus grande que 1.96 � l'é art-type du paramètre, alors on rejette,au risque � = 0:05, l'hypothèse de nullité du paramètre. L'instru tion boxjenk ren-voie un tableau ontenant l'é art-type des paramètres, les T-stat et les probabilités ritiques ontenues dans la olonne Signif. Si ette valeur est inférieure à 0.05, onrejette alors au risque � = 5%, l'hypothèse de nullité des paramètres. Ainsi, dansl'exemple pré édent, on peut alors on lure à la signi� ativité des paramètres dumodèle, au risque � = 0:05.Analyse des résidusSi le modèle est orre tement spé i�é, les résidus estimés doivent former unetraje toire issue d'un pro essus bruit blan . Il est don important de regarder at-tentivement la traje toire des résidus, l'ACF et la PACF des résidus et de tester la orrélation des résidus.Pour analyser les résidus, on les ré upère à l'aide de l'instru tion boxjenk et pour ob-tenir l'ACF et la PACF des résidus on utilise l'instru tion orrelate. Par exemple,la ommande suivante :

CHAPITRE 2. PROCESSUS ARMA 24 orr(stderrs=rse,number=10,partial=rpa f,qstats,span=1) $resids 101 1100 ra frenvoie les résultats suivants :Correlations of Series RESIDSAuto orrelations1 : -0.0007693 0.0041912 0.0083685 -0.0204107 0.0048092 0.00213447 : -0.0511083 -0.0087062 -0.0062567 -0.0466030Partial Auto orrelations1 : -0.0007693 0.0041906 0.0083751 -0.0204170 0.0047121 0.00224417 : -0.0508321 -0.0092998 -0.0056797 -0.0458186Ljung-Box Q-Statisti sQ(1) = 5.9364e-004. Signifi an e Level 0.98056169Q(2) = 0.0182. Signifi an e Level 0.99092625Q(3) = 0.0886. Signifi an e Level 0.99316788Q(4) = 0.5077. Signifi an e Level 0.97274501Q(5) = 0.5310. Signifi an e Level 0.99094370Q(6) = 0.5356. Signifi an e Level 0.99737787Q(7) = 3.1713. Signifi an e Level 0.86871279Q(8) = 3.2479. Signifi an e Level 0.91785119Q(9) = 3.2875. Signifi an e Level 0.95179904Q(10) = 5.4856. Signifi an e Level 0.85647018On peut alors obtenir la traje toire des résidus et les graphes de l'ACF et de la PACF(voir �gure 2.3) à l'aide des ommandes suivantes :set ri 1 = 1.96*rseset ri 2 = -1.96*rsesta resids 101 1100set rpi 1 1 11 = 1.96/sqrt(%nobs)set rpi 2 1 11 = -1.96/sqrt(%nobs)spgraph(vfields=2,hfields=2,header='Serie : resids')graph# residsgraph(style=bar,overlay=line,ov ount=2,omax=0.2,omin=-0.2, $max=0.2,min=-0.2,number=1,header='ACF') 3# ra f 2 11# ri 1 2 11# ri 2 2 11graph(style=bar,overlay=line,ov ount=2,omax=0.2,omin=-0.2, $max=0.2, min=-0.2,number=1,header='PACF') 3# rpa f 2 11# rpi 1 2 11# rpi 2 2 11spgraph(done)

CHAPITRE 2. PROCESSUS ARMA 25Serie : resids

200 400 600 800 1000-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

ACF

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.20

-0.15

-0.10

-0.05

-0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

-0.20

-0.15

-0.10

-0.05

-0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

PACF

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.20

-0.15

-0.10

-0.05

-0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

-0.20

-0.15

-0.10

-0.05

-0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

Fig. 2.3 � Traje toire, ACF et PACF de la série resids.Commentons maintenant les di�érents résultats que l'on peut obtenir sur les résidus.� Traje toire des résidusCe graphe permet d'observer si les résidus sont issus d'un pro essus bruit blan .Ce graphe est utile pour déte ter la présen e de valeurs aberrantes.� ACF des résidusCe graphe représente l'ACF des résidus, �"(k), pour un retard k allant de 1 àun entier spé i�é par l'option number= de l'instru tion orrelate, et permetde tester ainsi la présen e d'une orrélation pour un ertain retard. Si l'ACFdes résidus sort de l'intervalle de on�an e pour un ertain retard k0, ave 1 � k0 < p ou 1 � k0 < q, alors ela signi�e qu'il faut rajouter une partieMA(k0) au pro essus spé i�é initialement. Si k0 � p ou k0 � q, alors elasigni�e que les ordres de parties AR et/ou MA ont été mal hoisis lors del'étape de spé i� ation du pro essus.� PACF des résidusCe graphe représente la PACF des résidus, r"(k), pour un retard k allant de 1à un entier spé i�é par l'option number= de l'instru tion orrelate, et permetde tester ainsi la présen e d'une orrélation partielle pour un ertain retard. Demême que dans le as pré édent, si la PACF des résidus sort de l'intervalle de on�an e pour un ertain retard k0, ave 1 � k0 < p ou 1 � k0 < q, alors elasigni�e qu'il faut rajouter une partie AR(k0) au pro essus spé i�é initialement.Si k0 � p ou k0 � q, alors ela signi�e que les ordres de parties AR et/ou MAont été mal hoisis lors de l'étape de spé i� ation du pro essus.� Test "Portmanteau"

CHAPITRE 2. PROCESSUS ARMA 26Au lieu de tester si haque valeur de l'ACF tombe dans l'intervalle de on�an e,on peut tester la signi� ativité globale des ACF, à l'aide d'une statistique. Letest utilisé par le logi iel est le test "Portmanteau" de Ljung-Box, basée sur lastatistique suivante : QK = T (T + 2) KXk=1 �2(k)T � k : (2.12)Sous l'hypothèse de non orrélation des K premières auto orrélations des per-turbations (H0 : �"(1) = �"(2) = : : : = �"(K) = 0), ette statistique suitasymptotiquement une loi du Chi-2 à (K � p� q) degrés de liberté. L'adéqua-tion du modèle est rejetée au risque �, si :QK > X21��(K � p� q):Les di�érentes valeurs des probabilités ritiques sont renvoyées par l'instru tion orrelate. Si es dernières valeurs, pour di�érents entiers K, sont toutes supé-rieures à 0.05, on a epte alors l'hypothèse H0 de non- orrélation. Par exemple,dans le pré édent de la série resids, les probabilités sont toutes supérieuresà 0.05, don au risque � = 5%, on a epte l'hypothèse dite de blan heur desrésidus. Le hoix de l'entier K est à dis uter, mais en pratique, il est souventintéressant de faire varier e nombre et d'observer le résultat du test pour esdi�érentes valeurs de K.En�n, si l'on a e�e tué l'hypothèse de Gaussianité sur le pro essus bruit blan ("t)t2Z ,il est intéressant d'observer la distribution empirique des résidus estimés. Pour elaon tra e l'histogramme et la densité non paramétrique de distribution des résidusstandardisés à l'aide (dans la version 4.X du logi iel) respe tivement des pro édures�hist et �density, de la manière suivante :�hist(nbar=20) residsNormalized Estimated Unconditional Distribution of RESIDS

-4 -2 0 2 4

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40

Fig. 2.4 � Estimation de la densité de probabilité normalisée de la série resids et omparaison ave la densité de probabilité de la loi Normale.

CHAPITRE 2. PROCESSUS ARMA 27�density resids 101 1100 xdens ydenss atter(style=3) 1# xdens ydensDans la version 5 du logi iel, l'estimateur non paramétrique de la densité de distri-bution par la méthode des noyaux s'obtient par la fon tion density qui est intégréedans le logi iel. La pro édure �kernel permet également de tra er la densité de dis-tribution non paramétrique des résidus à l'aide de la méthode des noyaux. Le noyaupeut être hoisi Gaussien (option kernel=gaussian) ou d'Epane hnikov (option pardéfaut kernel=optimal). De plus, ette pro édure permet de tra er simultanémentla densité de distribution de la loi Normale (voir Figure 2.4) et e�e tue le test deJarque-Bera qui permet de tester l'adéquation de la loi de distribution des résidus àla loi Normale. Dans la version 5 du logi iel, le test de normalité de Jarque-Bera est ontenu dans la fon tion statisti s. La statistique de Jarque-Bera est dé�nie parl'équation suivante : JB = T (Sk)26 + T (Ku)224 ; (2.13)où Sk et Ku sont respe tivement le Skewness et le Kurtosis, dé�nis par les équa-tions (1.6) et (1.7). Sous l'hypothèse de Normalité, la statistique de Jarque-Bera suitune loi du �2(2). En général, RATS renvoie la P-value issue du test. La pro édure�kernel s'utilise de la manière suivante :�kernel(kernel=gaussian,ngraph,style=dots,gridsize=128) $resids 101 1100 xr yrOn rappelle également que les tests sur le Skewness et sur le Kurtosis renvoyés parl'instru tion statisti s permettent de se faire une idée sur l'adéquation de la loides résidus à la loi Normale. En parti ulier, les P-values issues du test de nullité duskweness et de la Kurtosis sont renvoyées.Si plusieurs modèles passent ave su ès l'étape de la validation, un arbitrage doitêtre e�e tué pour retenir le modèle que l'on utilisera en prévision. Pour ela, on peut,par exemple, omparer les ritères d'information fournis par ha un des modèles etretenir le modèle pour lequel le ritère d'information AIC est minimum. Le al ul du ritère AIC se fait de la manière suivante :dis 'AIC :' %nobs*log(%seesq)+2*%nregOn peut également utiliser la règle de par imonie qui re ommande de hoisir un mo-dèle paramétrique pour lequel le nombre de paramètre est le plus faible possible. Ilfaut également savoir que dans une optique prévisionelle, il est préférable d'utiliserun pro essus AR pur, plut�t qu'un pro essus MA pur. Cependant, si plusieurs mo-dèles paraissent valides, on peut alors tester le omportement de ha un en prévisionou utiliser une méthode de type validation roisée. Il faut toutefois savoir que denombreuses études empiriques ont souligné le fait que le modèle qui ajuste le mieuxles données n'est pas for ément elui qui fournit les meilleures prévisions.

CHAPITRE 2. PROCESSUS ARMA 282.2.4 PrévisionUne fois que l'on a spé i�é et estimé un pro essus ARIMA, qui a passé ave su ès les tests de validation, on désire l'utiliser pour e�e tuer des prévisions sur lasérie. On dispose don des données X1; : : : ;XT , et on désire prédire la valeur de lasérie à l'horizon h, ave h > 0, à savoir XT+h. On note alors XT (h) le prédi teurpour l'horizon h. Il est onnu que le prédi teur linéaire qui minimise l'erreur qua-dratique moyenne à l'horizon h = 1, dé�nie par E(XT (1) �XT+1)2, est l'espéran e onditionelle de XT+1, sa hant le passé de la série, donné par :XT (1) = E(XT+1jXs; s � T ): (2.14)Dans le as d'un pro essus ARMA dé�ni par l'équation (2.1), e prédi teur est donnépar l'égalité suivante :XT (1) = �1XT + : : :+ �pXT�p+1 + �1"T + : : : + �q"T�q: (2.15)Lorsque l'horizon h est stri tement supérieur à 1, on réitére l'opération en rempla-çant les valeurs in onnues de la série par les valeurs prédites aux pas pré édents, eten remplaçant les valeurs in onnues des résidus par leur moyenne onditionelle, àsavoir zéro.Ave RATS, la prévision se fait à l'aide de l'instru tion boxjenk, qui permet despé i�er une équation, puis à l'aide de l'instru tion fore ast, qui prend ommeargument ette dernière équation et le nombre de pas de prédi tion. De plus, lesintervalles de on�an e des prévisions se al ulent à l'aide de l'instru tion errors,qui permet de al uler les valeurs de l'é art-type du prédi teur.Par exemple, on onstruit les prévisions à l'horizon h = 20, et un intervalle de on�an e à 95% pour la série simulée xar2 (voir Figure 2.5), de la manière suivante :boxjenk(print,no onstant,ar=2,define=eqxar2) xar2 101 1100 residsfore ast 1 20 1101# eqxar2 prevxar2errors(noprint) 1 20# eqxar2 errxar2 1101set i sup 1101 1120 = 1.96*errxar2+prevxar2set i inf 1101 1120 = -1.96*errxar2+prevxar2graph(header='Serie XAR2') 4# xar2 1061 1100# prevxar2# i sup 1101 1120# i inf 1101 1120Il est à souligner que la prédi tion se fait sans tenir ompte de la variabilité induitepar l'estimation des paramètres. On suppose en e�et que les valeurs estimées sontles vraies valeurs des paramètres. De plus, on notera que les prédi tions e�e tuéespar l'instru tion fore ast sont al ulées de manière ré ursive.

CHAPITRE 2. PROCESSUS ARMA 29Serie XAR2

1070 1080 1090 1100 1110 1120-2.4

-1.6

-0.8

-0.0

0.8

1.6

2.4

Fig. 2.5 � Prévisions à l'horizon h = 20 et intervalle de on�an e à 95% de la sériex1.2.3 Un exemple d'appli ationDans ette se tion, nous fournissons un exemple d'appli ation de modélisationBox et Jenkins (1970) sur une série réelle, à l'aide d'un pro essus saisonnier ARIMA(SARIMA). On s'intéresse à la série de tra� passagers de l'ensemble des bus debanlieue de la RATP ( et exemple est issu du livre de Ferrara et Guégan, 2002).Cette série est mensuelle ; elle débute en janvier 1984 et �nit en dé embre 1995 (voirFigure 2.6). Nous allons modéliser ette série en utilisant les données à partir dumois de janvier 1984 jusqu'au mois de dé embre 1994, puis nous e�e tuerons desprévisions sur la période janvier 1995 - dé embre 1995, que nous omparerons ave les données réelles observées a�n de pouvoir juger de la pré ision de es prévisions.On note (Xt)t=1;:::;T ette série, où T est la taille de l'é hantillon, égale à 132.

1984 1986 1988 1990 1992 1994800

1000

1200

1400

1600

1800

2000

Fig. 2.6 � Evolution de la série mensuelle busban. ts, du mois de janvier 1984 aumois de dé embre 1995.

CHAPITRE 2. PROCESSUS ARMA 30Analyse des donnéesLa série de tra� (Xt)t=1;:::;T est représentée sur la Figure 2.6. On observe que ettesérie possède une tendan e linéaire ainsi qu'une forte saisonnalité de 12 mois. Cetteforte saisonnalité est également observable sur le graphe de l'ACF empirique (Figure2.7), que l'on obtient par les ommandes suivantes : orrelate(std=bse,number=50,partial=bpa f,noprint) $bus 84 :01 94 :12 ba fset bi 1 = 1.96*bseset bi 2 = -1.96*bsesta(noprint) bus 84 :01 94 :12set bpi 1 = 1.96/sqrt(%nobs)set bpi 2 = -1.96/sqrt(%nobs)spgraph(vfields=2,header='Serie : bus')graph(style=bar,overlay=line,ov ount=2,omax=1,omin=-1, $max=1,min=-1,number=1,header='ACF') 3# ba f 2 50# bi 1 2 50# bi 2 2 50graph(style=bar,overlay=line,ov ount=2,omax=1,omin=-1, $max=1, min=-1,number=1,header='PACF') 3# bpa f 2 50# bpi 1 2 50# bpi 2 2 50spgraph(done)Il onvient don de stationnariser asymptotiquement ette série a�n de pouvoir lamodéliser par un pro essus de type ARMA. Au préalable, on retran he à ette sériesa moyenne empirique et on étudie par la suite la série entrée (Xt � �X)t, où �X estla moyenne empirique de ette série, égale à 1551.997. On obtient ette série entréepar la ommande suivante :set bus = bus-%meanPour stationnariser la série, on applique su essivement un �ltre de la forme (I �B)et un �ltre de la forme (I � B12). Dans un premier temps, le �ltre (I � B) permetd'enlever la tendan e linéaire de la série. On note que e i revient don à hoisirl'entier d du pro essus ARIMA égal à 1.diff bus / dbus La série di�éren iée est représentée sur le graphe en haut à gau he de la Figure 2.8.On observe qu'il existe toujours une saisonnalité que l'on fait disparaître, dans unse ond temps, à l'aide du �ltre saisonnier (I �B12).diff(sdiffs=1) dbus / dd12bus

CHAPITRE 2. PROCESSUS ARMA 31La série résultante que l'on obtient, notée dd12busban , est représentée sur le grapheen haut à droite de la Figure 2.8. Cette série résultante que l'on note (Yt)t est don la série telle que, pour tout t = 14; : : : ; T , :Yt = (I �B)(I �B12)Xt= Xt �Xt�1 �Xt�12 +Xt�13:On va alors her her à modéliser ette série (Yt)t, asymptotiquement stationnaire, àl'aide d'un pro essus ARMA.Spé i� ation du modèleDans une première étape, on va her her à spé i�er le modèle ARMA. On va don her her les ordres p et q des polyn�mes AR et MA à l'aide de l'ACF et de la PACF.sta dd12bus 85 :02 94 :12 orrelate(std=dd12se,number=50,partial=dd12pa f,noprint) $dd12bus 85 :02 94 :12 dd12a fdis %nobsset dd12i 1 = 1.96*dd12seset dd12i 2 = -1.96*dd12seset dd12pi 1 = 1.96/sqrt(%nobs)Serie : bus

ACF

5 10 15 20 25 30 35 40 45-1.00

-0.75

-0.50

-0.25

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

-1.00

-0.75

-0.50

-0.25

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

PACF

5 10 15 20 25 30 35 40 45-1.00

-0.75

-0.50

-0.25

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

-1.00

-0.75

-0.50

-0.25

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

Fig. 2.7 � ACF et PACF empiriques de la série bus.

CHAPITRE 2. PROCESSUS ARMA 32set dd12pi 2 = -1.96/sqrt(%nobs)spgraph(vfields=2,hfields=2)graph(header='dbus ')# dbus graph(style=bar,overlay=line,ov ount=2,omax=1,omin=-1, $max=1,min=-1,number=1,header='ACF',subheader='dd12bus ') 3# dd12a f 2 50# dd12i 1 2 50# dd12i 2 2 50graph(header='dd12bus ')# dd12bus graph(style=bar,overlay=line,ov ount=2,omax=1,omin=-1, $max=1, min=-1,number=1,header='PACF',subheader='dd12bus ') 3# dd12pa f 2 50# dd12pi 1 2 50# dd12pi 2 2 50spgraph(done)On observe que l'ACF est en dehors de l'intervalle de on�an e à 95% pour les re-tards 1, 11, 12 et 13. Ce i nous porte à supposer que le modèle devra omporter unepartie MA(1) non saisonnière et une partie MA(1) saisonnière, de période 12. Endbusc

1984 1986 1988 1990 1992 1994 1996 1998-500

-250

0

250

500

750

1000

ACFdd12busc

5 10 15 20 25 30 35 40 45-1.00

-0.75

-0.50

-0.25

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

-1.00

-0.75

-0.50

-0.25

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

dd12busc

1985 1987 1989 1991 1993 1995 1997 1999-125

-100

-75

-50

-25

0

25

50

75

100

PACFdd12busc

5 10 15 20 25 30 35 40 45-1.00

-0.75

-0.50

-0.25

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

-1.00

-0.75

-0.50

-0.25

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

Fig. 2.8 � Evolution de la série dbus (haut gau he) et de la série dd12bus (hautdroite) et représentation de l'ACF de dd12bus (bas gau he) et sa PACF (bas droite).

CHAPITRE 2. PROCESSUS ARMA 33 e qui on erne la PACF, on observe que les valeurs sont en dehors de l'intervallede on�an e à 95% pour les retards 1, 2, 10, 11 et 12. Don on peut penser que lemodèle omportera également une partie AR(2) non saisonnière et une partie AR(1)saisonnière. Ainsi, en tenant ompte de es informations, on retient plusieurs modèlespossibles auxquels nous feront passer les di�érents tests de validation.Estimation des paramètresLe modèle que l'on retient �nalement est un modèle SARIMA(011)(011)12 . L'es-timation des paramètres de e modèle se fait à l'aide de l'instru tion boxjenk, de lamanière suivante :box(no onstant,ar=0,diffs=1,ma=1,sar=0,sdiffs=1,sma=1,span=12, $define=buseq) bus 85 :02 94 :12 resbusOn obtient alors les résultats suivants :Dependent Variable BUSC - Estimation by Box-JenkinsIterations Taken 13Monthly Data From 1985 :02 To 1994 :12Usable Observations 119 Degrees of Freedom 117Centered R**2 0.989541 R Bar **2 0.989451Un entered R**2 0.989583 T x R**2 117.760Mean of Dependent Variable 15.36000626Std Error of Dependent Variable 242.56967255Standard Error of Estimate 24.91337650Sum of Squared Residuals 72619.130457Durbin-Watson Statisti 1.853524Q(29-2) 22.639120Signifi an e Level of Q 0.70423937Variable Coeff Std Error T-Stat Signif*******************************************1. MA{1} -0.482198486 0.081037646 -5.95030 0.000000032. SMA{12} -0.473196053 0.093345610 -5.06929 0.00000151Le modèle estimé que l'on obtient est don le suivant :(I �B)(I �B12)(Xt � 1552) = (I � 0:4800B)(I � 0:4641B12)"tValidation du modèleDans un premier temps, on teste la signi� ativité des paramètres ave un risque� = 0:05. Les probabilités ritiques renvoyées par le logi iel sont toutes les deuxinférieures à 0.05, on peut don on lure ques les paramètres sont statistiquementsigni� atifs, au risque � = 0:05.

CHAPITRE 2. PROCESSUS ARMA 34Dans un se ond temps on s'intéresse aux résidus du modèle. Tout d'abors, la statis-tique de Ljung-Box al ulée par le logi iel possède une probabilité ritique supérieureà 0.05. Ce test permet d'a epter, au risque � = 0:05, l'hypothèse de blan heur desrésidus. Examinons dans un se ond temps l'ACF et la PACF des résidus. orr(stderrs=rse,number=25,partial=rpa f,qstats,span=1) $resbus 85 :02 94 :12 ra fset ri 1 = 1.96*rseset ri 2 = -1.96*rseset rpi 1 1 25 = 1.96/sqrt(%nobs)set rpi 2 1 25 = -1.96/sqrt(%nobs)spgraph(vfields=2,hfields=2,header='Serie : resbus')graph# resbusgraph(style=bar,overlay=line,ov ount=2,omax=1,omin=-1, $max=1,min=-1,number=1,header='ACF') 3# ra f 2 25# ri 1 2 25# ri 2 2 25graph(style=bar,overlay=line,ov ount=2,omax=1,omin=-1, $max=1, min=-1,number=1,header='PACF') 3# rpa f 2 25Serie : resbus

1985 1987 1989 1991 1993-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

ACF

5 10 15 20-1.00

-0.75

-0.50

-0.25

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

-1.00

-0.75

-0.50

-0.25

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

PACF

5 10 15 20-1.00

-0.75

-0.50

-0.25

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

-1.00

-0.75

-0.50

-0.25

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

Fig. 2.9 � Graphiques de diagnosti sur la série des résidus, notée resbus.

CHAPITRE 2. PROCESSUS ARMA 35

J F M A M J J A S O N D1995

750

1000

1250

1500

1750

2000

BANBUSPREVICINFICSUPFig. 2.10 � Prévisions mensuelles de la série bus pour l'année 1995 et intervalle de on�an e à 95%.# rpi 1 2 25# rpi 2 2 25spgraph(done)Le graphique en haut à gau he de la Figure 2.9 représente l'évolution des résidus. Onobserve une très faible valeur des résidus pour le mois de janvier 1987. En fait, e mois orrespond à une forte grève des agents ayant eu lieu sur l'ensemble du réseau de laRATP. Ce mois peut don être onsidéré omme une valeur aberrante. L'ACF et laPACF (Figure 2.9) des résidus montrent que l'hypothèse d'indépendan e des résidusest valide, ar au une valeur ne se trouve en dehors des intervalles de on�an e deBartlett et Quenouille. Ainsi, on a epte, au risque � = 0:05, l'hypothèse nulle debruit blan pour les résidus.Prédi tionLa prédi tion du pro essus SARIMA, sur un horizon de 12 mois, se fait à l'aidede la manière suivante :fore ast 1 12 95 :01# buseq bus prevsta(noprint) ban 84 :01 94 :12set busprev = bus prev+%meanSi on suppose que le prédi teur suit une loi Normale, on peut alors onstruire unintervalle de on�an e pour e prédi teur. On désire alors tra er simultanément lasérie réelle, la série prévue et son intervalle de on�an e au risque � = 0:05.errors 1 12# buseq buspreverr 95 :01set i sup 95 :01 95 :12 = 1.96*buspreverr+busprevset i inf 95 :01 95 :12 = -1.96*buspreverr+busprev

CHAPITRE 2. PROCESSUS ARMA 36graph(key=lol) 4# bus 95 :01 95 :12# busprev# i inf 95 :01 95 :12# i sup 95 :01 95 :12Les prévisions obtenues sont présentées sur la Figure 2.5. Les résultats semblentêtre assez bons, ar les prédi tions se trouvent toutes à l'intérieur de l'intervalle de on�an e à 95%.2.4 Analyse d'interventionLorsqu'on travaille sur des séries hronologiques à ara tère é onomique, on estsouvent amené à tenir ompte d'événements de nature diverse, extérieurs au modèle,qui viennent perturber les séries. L'e�et de es évènements se fait sentir soit par laprésen e d'un ou plusieurs points dits aberrants, qui o asionnent une rupture pon -tuelle dans la série, soit par un hangement sensible durable dans l'évolution de lasérie. La théorie de l'analyse d'intervention développée par Box et Tiao (1975) permetde prendre en ompte, lors de la modélisation SARIMA d'une série hronologique,des interventions extérieures au modèle. On apporte ainsi au modèle statistique uneinformation supplémentaire de type qualitatif, qui est intégrée de manière additive aumodèle à l'aide de variables déterministes exogènes de type binaire. On espère ainsifournir une "meilleure" modélisation en terme d'ajustement du modèle aux données,grâ e à l'utilisation d'un ensemble informationnel plus grand.On note (Xt)t2Z la suite de variables aléatoires à modéliser, perturbée par une in-tervention extérieure. Le modèle d'intervention proposé par Box et Tiao (1975) seprésente alors ous la forme suivante :Xt = C + !(B)bbÆ(B) �t +Nt; (2.16)où (Nt)t2Z est supposé suivre un pro essus SARIMA dé�ni par la Dé�nition 2.3, où!(z) est un polyn�me de degré l tel que : !(z) = !0 + !1z + : : :+ !lBl, où Æ(z) estun polyn�me de degré r tel que : Æ(z) = 1 � Æ1z � : : : � ÆrBr et b est un entier quireprésente un retard à determiner.La fon tion déterministe Æ�1(B)!(B)Bb�t, représente l'e�et de l'intervention quivient s'ajouter de manière additive au bruit (Nt)t2Z ; elle est appelée fon tion d'in-tervention. Dans l'équation (2.16), la suite de variable aléatoire (�t)t2Z représentel'e�et d'une intervention extérieure à la date t0, mis sous la forme d'une variabledéterministe qui prend pour valeur 1 ou 0 selon la présen e ou l'absen e de l'inter-vention. Cette variable est en général modélisée par deux lasses de fon tions :� une fon tion en forme de saut :�t = S(t0)t = (0 si t < t0;1 si t � t0 (2.17)

CHAPITRE 2. PROCESSUS ARMA 37� une fon tion en forme d'impulsion :�t = P (t0)t = (0 si t 6= t0;1 si t = t0 (2.18)On remarque ependant que grâ e à l'égalité suivante : (I �B)S(t0)t = P (t0)t , on peuttoujours passer d'un saut à une impulsion.Plus généralement, la série hronologique peut être perturbée par k interventions denatures di�érentes. Ave les notations pré édentes, le modèle d'intervention (2.16) aalors une représentation plus générale donnée par :Xt = C + kXj=1 !j(B)bbjÆj(B) �(Tj)t +Nt; (2.19)où, pour j = 1; : : : ; k, !j(z) est un polyn�me de degré lj , où Æj(z) est un polyn�mede degré rj et bj est un entier qui représente un retard à determiner.Une hypothèse fondamentale lors de l'utilisation de l'analyse d'intervention est que lastru ture du modèle, par exemple SARIMA, soit la même avant et après l'interven-tion. Ainsi, après avoir déterminé la date d'intervention, on �xe alors les deux sous-ensembles de données orrespondant à l'évolution du pro essus avant et après l'inter-vention. On ajuste ensuite le même modèle sur ha un de es deux sous-ensembles.Dans notre adre, omme nous nous intéressons aux pro essus linéaires, nous her- herons à ajuster un pro essus SARIMA à l'aide des outils lassiques que sont lesfon tions d'auto orrélation et d'auto orrélation partielle. En e qui on erne la formede la fon tion d'intervention, il n'existe pas de méthode automatique �able permet-tant de la déterminer. Cependant Box et Tiao (1975) ont proposé di�érents typesde fon tions permettant de s'adapter à la forme graphique que prend la série, suiteà l'e�et de l'intervention extérieure, d'où l'importan e d'une analyse graphique ougéométrique de la série à étudier. Cette analyse graphique né essite don une ap-pro he lo ale de la série qui s'éloigne de l'analyse souvent globale utilisée quand onfait une modélisation paramétrique d'un pro essus. On se réfère également à l'arti lede Ferrara et Guégan (2000a) pour une des ription des quelques types de fon tionsd'intervention que l'on ren ontre en pratique.Le logi iel RATS permet d'estimer un modèle d'intervention à l'aide de l'instru -tion boxjenk. Cette instru tion possède l'option inputs, qui permet de spé i�er lenombre k d'interventions extérieures. La série (�t)t et les entiers l, r et b de l'équation(2.15), sont spé i�és par une arte supplémentaire.Par exemple, si on s'intéresse à nouveau à l'appli ation présentée dans le paragraphe2.3, on peut améliorer la modélisation et la prévision en prenant en ompte la fortevaleur de la série des résidus pour le mois de janvier 1986. On rappelle que ettefaible valeur du tra� sur le réseau des bus de banlieue est due à une grève desagents RATP. L'analyse d'intervention va alors nous servir à mesurer l'impa t de ette grève sur le tra� . On suppose que ette grève a un e�et pon tuel sur le tra� et on spé i�e alors la fon tion d'intervention par une impulsion en date de janvier

CHAPITRE 2. PROCESSUS ARMA 381987. Dans RATS, la spé i� ation et l'estimation du modèle se font de la manièresuivante :set P8701 84 :01 95 :12 = T==87 :01box(no onstant,ar=0,diffs=1,ma=1,sar=0,sdiffs=1,sma=1,span=12, $define=buseq2,inputs=1,apply) bus 85 :02 94 :12 resbus2# P8701 0 0 0On obtient alors le résultat suivant :Dependent Variable BUSC - Estimation by Box-JenkinsIterations Taken 14Monthly Data From 1985 :02 To 1994 :12Usable Observations 119 Degrees of Freedom 116Centered R**2 0.990651 R Bar **2 0.990489Un entered R**2 0.990688 T x R**2 117.892Mean of Dependent Variable 15.36000626Std Error of Dependent Variable 242.56967255Standard Error of Estimate 23.65590274Sum of Squared Residuals 64913.801171Durbin-Watson Statisti 1.873671Q(29-2) 23.190264Signifi an e Level of Q 0.67474964Variable Coeff Std Error T-Stat Signif*********************************************************1. MA{1} -0.49465185 0.08122314 -6.09004 0.000000022. SMA{12} -0.41946909 0.09517685 -4.40726 0.000023493. N_P8701{0} -65.03550992 17.38301277 -3.74133 0.00028614Ainsi, le modèle que l'on obtient est donné par l'équation suivante :Xt = 1552 � 65:036P 8701t + (I � 0:4947B)(I � 0:4195B12)(I �B)(I �B12) "t (2.20)On onstate don que ette grève des agents a entraîné une perte d'environ 65036passagers en moyenne par jour ouvrable du mois de janvier 1987. La valeur du pa-ramètre !0 est signi� ativement non nulle, au risque � = 0:05. De plus, on amélioréla qualité d'ajustement du modèle aux données, ar si on ompare l'é art-type desrésidus ave l'é art-type des résidus obtenus par le SARIMA, on onstate que l'onpasse de 24.91 à 23.66. De même, si on s'intéresse aux prévisions sur un horizon de12 mois, on ompare alors la apa ité prédi tive à l'aide du ritère de la moyennedes erreurs relatives de prévision (MER), dé�ni par :MER = 1h hXl=1 (Xt+l � Xt(l))Xt+l ; (2.21)où h est l'horizon de prévision et Xt(l) est la valeur prédite de Xt+l. Le modèled'analyse d'intervention fournit un MER égal à -0.6718, alors que le modèle SARIMA

CHAPITRE 2. PROCESSUS ARMA 39fournit un MER égal à -0.7275. Ainsi, le modèle d'analyse d'intervention permet éga-lement d'améliorer la qualité des prévisions. Un autre exemple d'appli ation, pourlequel le gain en qualité d'ajustement et en qualité de prévision est substantiel, setrouve dans l'arti le de Ferrara et Guégan (2000a).On retiendra que la méthode d'analyse d'intervention est un outil fort intéressantpour un prati ien, ar elle permet de mesurer de manière �able l'impa t d'un événe-ment extérieur sur une série.

Chapitre 3Pro essus longue mémoireFARIMADans e hapitre, on s'intéresse à la modélisation non linéaire d'une série hronolo-gique par un pro essus à mémoire longue. Dans le premier paragraphe, nous intro-duisons la notion de dépendan e de long terme dans une série. Dans le deuxièmeparagraphe, nous présentons le pro essus longue mémoire FARIMA (Fra tionally In-tegrated ARMA) qui permet de modéliser ette dépendan e de long terme, et nousdéveloppons dans le troisième paragraphe, les méthodes d'estimation des paramètresd'un pro essus FARIMA. En�n, le dernier paragraphe ontient un exemple d'appli- ation.3.1 Introdu tion à la dépendan e de long termeLorsqu'on her he à modéliser une série hronologique, on est souvent onfrontéau phénomène de longue mémoire ou de dépenden e à long terme entre les obser-vations de ette série. Depuis les travaux en hydrologie de Hurst (1951), relatifs àl'analyse des séries de débit du Nil, l'analyse des séries hronologiques à travers lespro essus longue mémoire s'est élargie à de nombreux autres hamps d'appli ationsdes statistiques. Cependant, la majeure partie des appli ations ré entes des pro es-sus longue mémoire se situe dans le domaine de la �nan e. Par exemple, la présen ed'une omposante longue mémoire a été déte tée dans des séries de taux d'in�ation(Delgado et Robinson (1994), Hassler et Wolters (1995), Baillie et al. (1996), Franseset Ooms (1997)), dans des séries de prix d'a tions en bourse (Ding et al. (1993),Crato et Lima (1994), Cheung et Lai (1995), Chow et al. (1995), Willinger et al.(1999)) ou dans des séries de taux de hange (Cheung (1993b), Bisaglia et Guégan(1998), Beran et O ker (1999), Velas o (1999), Ferrara et Guégan (2000b)).On rappelle qu'un pro essus stationnaire est dit à mémoire longue s'il possède unefon tion d'auto orrélation (FAC), notée �(k), qui dé roît omme une fon tion puis-san e de k et qui est appro hée omme suit :�(k) � C�(k)k�� quand k !1; (3.1)où � représente l'équivalen e asymptotique, où C�(k) est une fon tion qui varie len-tement à l'in�ni et où � est un réel appartenant à l'intervalle ℄0; 1[. On dira qu'une40

CHAPITRE 3. PROCESSUS FARIMA 41fon tion g varie lentement à l'in�ni (ou en zéro), si pour tout réel a, g(ax)=g(x) ! 1quand x!1 (ou x! 0).On remarque alors que la série des auto orrélations est absolument divergente, i.e. :P1k=0 j�(k)j =1.Dans le domaine spe tral, un pro essus stationnaire est dit à mémoire longue si sadensité spe trale, notée f , est appro hée omme suit :f(�) � Cf (�)j�j�� quand �! 0+; (3.2)où Cf (�) est une fon tion qui varie lentement en zéro et où � est un réel appartenantà l'intervalle ℄0; 1[.Notons que Beran (1994) montre l'équivalen e des dé�nitions dans le domaine tem-porel et dans le domaine spe tral. Cependant, une troisième dé�nition, plus généraleque la pré édente, d'un pro essus stationnaire à mémoire longue basée sur la densitéspe trale du pro essus, est donnée dans l'arti le de Gray, Zhang et Woodward (1989).Ces derniers auteurs a�rment qu'un pro essus stationnaire est dit à mémoire longuesi sa densité spe trale possède la propriété suivante :9�0 2 [0; �℄ tel que : f(�0) non bornée: (3.3)Cette dernière dé�nition est utilisée pour ara tériser les pro essus longue mémoiregénéralisés, voir par exemple Woodward et al. (1998) ou Ferrara et Guégan (2000b,2000 ).3.2 Pro essus longue mémoireUne façon lassique de modéliser une série présentant un omportement longuemémoire est d'utiliser un pro essus FARIMA (Fra tionally Autoregressive Integra-ted Moving-Average), introduit dans la littérature statistique par Granger et Joyeux(1980) et Hosking (1981). On rappelle dans un premier temps la dé�nition d'un pro- essus FARIMA(p; d; q).Dé�nition 3.1 Un pro essus (Xt)t2Z est dé�ni omme étant un pro essus FARIMA(p; d; q)stationnaire et inversible s'il véri�e l'équation suivante :�(B)(I �B)d(Xt � �) = �(B)"t; (3.4)où d est un nombre fra tionnaire, où � est la moyenne du pro essus, où �(B) =I��1B� : : :��pBp et �(B) = I+�1B+ : : :+�qBq sont deux polyn�mes n'ayant pasde ra ines ommunes et ayant leurs ra ines en dehors du er le unité et où ("t)t2Zest un bruit blan entré de varian e �2" .On remarque que si d est un entier positif ou nul, alors l'équation (3.4) dé�nit unpro essus ARIMA(p; d; q) à mémoire ourte tel qu'il est dé rit par les dé�nitions(2.1) et (2.2).

CHAPITRE 3. PROCESSUS FARIMA 42On s'intéresse maintenant aux propriétés statistiques de e pro essus FARIMA. Lethéorème suivant résume quelques propriétés statistiques d'un pro essus FARIMA,présentées par exemple dans Hosking (1981).Théorème 3.1 On onsidère un pro essus FARIMA(p; d; q), noté (Xt)t2Z .(i) (Xt)t2Z est stationnaire si d < 1=2.(ii) (Xt)t2Z est inversible si d > �1=2.(iii) (Xt)t2Z est à mémoire longue si 0 < d < 1=2.De plus, si d = 0 le pro essus est alors à mémoire ourte (pro essus ARMA) et si dappartient à l'intervalle ℄� 1=2; 0[, ertains auteurs dé�nissent le pro essus (Xt)t2Z omme étant un pro essus à mémoire intermédiaire.On rappelle que la fon tion Gamma, notée �(:), est dé�nie de la manière suivante,pour tout réel a positif ou nul :�(a) = Z 10 xa�1e�x dx;et que de plus, l'extension de ette fon tion pour des valeurs négatives de a est baséesur le fait que : �(a+ 1) = a�(a).En utilisant ette fon tion Gamma, le polyn�me (I�B)d se développe sous la formesuivante : (I �B)d =Xk�0 bk(d)Bk; (3.5)où, pour k � 0, on a : bk(d) = �(k � d)�(k + 1)�(�d) : (3.6)Sous la ondition de stationnarité : d < 1=2, il existe alors une solution stationnaireunique à l'équation (3.4), et dans le as d'un pro essus fra tionnaire intégré (i.e. :�(B) = �(B) = I), le pro essus (Xt)t2Z dé�ni par Dé�nition 3.1 peut s'é rire soussa forme moyenne mobile in�nie :Xt =Xk�0 ak(d)"t�k ; (3.7)où ak(d) = �(k + d)�(k + 1)�(d) : (3.8)En utilisant l'approximation de Stirling, on obtient alors que :ak(d) � kd�1 1�(d) ; quand k !1: (3.9)

CHAPITRE 3. PROCESSUS FARIMA 43De même, sous la ondition d'inversibilité : �1=2 < d, le pro essus (Xt)t2Z dé�nipar la Dé�nition 3.1 peut s'é rire sous sa forme autorégressive in�nie :Xk�0 bk(d)Xt�k = "t; (3.10)où les (bk(d))k sont donnés par l'équation (3.6), ave :bk(d) � k�d�1 1�(�d) ; quand k !1: (3.11)La généralisation des é ritures moyenne mobile in�nie et autorégressive in�nie d'unpro essus fra tionnaire intégré au as d'un pro essus FARIMA(p; d; q) se fait à l'aidedu développement du polyn�me �(B)�(B)�1 ou �(B)�(B)�1. Sous la ondition delongue mémoire : 0 < d < 1=2, il est intéressant de remarquer que :Pk�0 a2k(d) <1, e qui ara térise la stationnarité du pro essus, et de plus Pk�0 jak(d)j =1, e qui ara térise la propriété de longue mémoire. Ainsi, par opposition à un pro essus li-néaire, par exemple de type ARMA, pour lequel par dé�nitionPk�0 jak(d)j <1, unpro essus longue mémoire FARIMA peut revendiquer son appartenan e à la lassedes pro essus non linéaires.Lorsqu'on travaille sur une série hronologique du se ond ordre supposée suivre unpro essus stationnaire, la FAC empirique et la densité spe trale empirique, obtenuesà partir de l'é hantillon �ni disponible, onstituent des outils fort utiles pour obtenirdes informations sur le pro essus sous-ja ent. Ainsi, il est intéressant d'avoir une idéepré ise du omportement théorique de es deux fon tions dans le as d'un pro essusFARIMA(p; d; q). Les deux propositions suivantes fournissent la densité spe trale etla FAC d'un FARIMA(p; d; q).Proposition 3.1 Si (Xt)t2Z est un pro essus FARIMA(p; d; q) stationnaire et in-versible dé�ni par l'équation (3.4), alors sa densité spe trale fX est donnée par :fX(�) = �2"2� j�(ei�)j2j�(ei�)j2 j1� e�i�j�2d (3.12)= �2"2� j�(ei�)j2j�(ei�)j2 j2 sin(�=2)j�2d; (3.13)et lorsque �! 0 : fX(�) � �2"2� j�(1)j2j�(1)j2 j�j�2d: (3.14)Ainsi, si 0 < d < 1=2, d'après la Proposition 3.1, le pro essus FARIMA(p; d; q) est àmémoire longue au sens de la dé�nition dans le domaine spe tral.La FAC d'un pro essus FARIMA(p; d; q) est simple à exprimer lorsqu'on s'intéresseà un pro essus fra tionnaire intégré, à savoir : p = q = 0. Dans e as pré is, la FACest donnée par l'égalité suivante :�(k) = �(1� d)�(k + d)�(d)�(k + 1� d ): (3.15)

CHAPITRE 3. PROCESSUS FARIMA 44Dans le as général, l'expression exa te de la FAC s'obtient à l'aide du développementdu polyn�me �(B)�(B)�1 (voir Beran (1994, p.64)), et l'expression asymptotique dela FAC est donnée par la proposition suivante :Proposition 3.2 Si (Xt)t2Z est un pro essus FARIMA(p; d; q) stationnaire et in-versible, alors sa FAC véri�e :�(k) � Ck2d�1 quand k !1; (3.16)où C > 0Ainsi, si 0 < d < 1=2, d'après la Proposition 3.2, le pro essus FARIMA est à mémoirelongue au sens de la dé�nition dans le domaine temporel. De plus, on remarque quela densité spe trale d'un pro essus FARIMA est dé�nie de manière simple sur toutl'intervalle [0; 2�[ alors que l'ACF est dé�nie de manière asymptotique. Ce i justi�el'intérêt de se pla er dans le domaine spe tral lors de l'analyse de séries hronolo-giques à mémoire longue.Le logi iel RATS permet de simuler des traje toires �nies engendrées par un pro es-sus FARIMA(0; d; 0), à l'aide de la pro édure arfsim, programmée par Rob S hoen.Cette pro édure implémente la méthode proposée par Davis et Harte (1987), égale-ment dé rite en détail par Beran (p. 216). Notons que la pro édure xgamma doit êtresour ée au préalable. Cette pro édure prend omme arguments su essifs, la valeurdésirée du paramètre de longue mémoire d, la longueur de la traje toire et le nomde la série. Par exemple, on obtient une traje toire de longueur 2000 issue d'un pro- essus FARIMA(0; 0:4; 0), à l'aide des ommandes suivantes :100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

ACF

5 10 15 20 25 30 35 40 45 500.00

0.25

0.50

0.75

1.00

Fig. 3.1 � Simulations d'un pro essus FARIMA : traje toire et ACF estimée.

CHAPITRE 3. PROCESSUS FARIMA 45Log-periodogramme

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

-3.0

-2.5

-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

Fig. 3.2 � Simulations d'un pro essus FARIMA : densité spe trale estimée.all 5000frequen y 1 10000�arfsim 0.4 2000 xlmLes ommandes suivantes permettent d'obtenir les graphes de la série simulée et deson ACF empirique (Figure 3.1), ainsi que le log-periodogramme (Figure 3.2) orr(number=50) xlm 1 2000 xa fspgraph(vfields=2)graph# xlmgraph(style=bar,header='ACF')# xa fspgraph(done)�spe trum(header='Log-periodogramme') xlm 1 2000On observe ainsi sur le graphe du bas de la Figure 3.1, une dé roissan e lente de laFAC et sur la Figure 3.2 un pi du log-périodogramme lorsque les fréquen es tendentvers zéro. On observe également que la série (graphe du haut de la Figure 3.1) sembleprésenter des y les de di�érentes périodes, bien que globalement, la série semble êtrestationnaire. Ce dernier point est un des traits ara téristiques d'une série issue d'unpro essus longue mémoire. Notons que la simulation d'un pro essus FARIMA dontles parties AR et MA sont non nulles se fait de manière identique à la simulationd'un pro essus ARMA, mais en prenant omme pro essus d'innovation la série gé-nérée par la pro édure �arfsim.3.3 Méthodes d'estimations des paramètresOn s'intéresse maintenant au problème de l'estimation des paramètres dans un pro- essus FARIMA(p; d; q). On peut répartir les méthodes d'estimation des paramètres

CHAPITRE 3. PROCESSUS FARIMA 46en trois lasses di�érentes : les méthodes heuristiques, les méthodes semiparamé-triques et les méthodes de maximum de vraisemblan e.3.3.1 Méthodes heuristiquesDe nombreuses méthodes heuristiques, que l'on peut également quali�er d'empi-riques ou de non-paramétriques, se sont développées pour permettre de déte ter laprésen e d'une omposante longue mémoire dans les données, sans avoir à faire l'hy-pothèse d'un modèle statistique sur la série. En e�et, la présen e de orrélation delong terme a été déte tée de manière empirique dans ertaines séries hronologiques,en parti ulier dans le domaine de l'hydrologie grâ e aux fameux travaux de HaroldEdwin Hurst (1951), bien avant le développement des pro essus sto hastiques longuemémoire. Cependant, e type de méthodes permet uniquement l'estimation du pa-ramètre de longue mémoire d d'un pro essus FARIMA(p; d; q).Une des méthodes heuristiques des plus élèbres est elle proposée par Hurst (1951)et ra�née plus tard par Mandelbrot (1972, 1975) et Mandelbrot et Wallis (1969),basée sur la statistique R/S. Une dé�nition de la statistique R/S est donnée parexemple dans les monographies de Beran (1994, p.33) et de Guégan (1994, p.230).Cette méthode a été reprise par Lo (1991) qui a suggéré une statistique R/S modi�éea�n d'en améliorer la robustesse en présen e d'une omposante ourte mémoire. Depar sa fa ilité de mise en oeuvre, ette méthode de déte tion de présen e d'une om-posante longue mémoire dans la série d'étude a été fortement utilisée en pratique,voir par exemple les arti les de Cheung et Lai (1995), Chow et al. (1995) et Willingeret al. (1999).On itera également omme méthodes heuristiques d'estimation, la méthode d'Hi-gu hi (1988) et la méthode la varian e agrégée qui été ré emment reprise par denombreux auteurs, voir par exemple les arti les de Taqqu, Teverovsky et Willinger(1995), Teverovsky et Taqqu (1997) et Giraitis, Robinson et Surgailis (1998).Le logi iel RATS permet d'estimer le paramètre de mémoire par la méthode R/S deHurst, à l'aide de la pro édure �hurst, programmée par Thomas May o k et Tho-mas Doan. Cette pro édure est intera tive et permet à l'utilisateur de hoisir ertainsparamètres lors de son exé ution. En e�et, l'estimateur du paramètre de mémoire estla pente dans la régression du logarithme de la statistique R/S sur le logarithme dunombre d'observations. La pro édure demande don à l'utilisateur de hoisir le pointde début et le point de �n de la régression. Par exemple, on estime le paramètre delongue mémoire de la série simulée, notée xlm, par la méthode de Hurst, à l'aide dela ommande suivante :�hurst xlm 1 2000En hoisissant 1.0 et 2.5 respe tivement omme point de début et point de �n de larégression, on obtient omme estimateur dRS = 0:3382.Les autres méthodes heuristiques d'estimation du paramètre de mémoire ne sont

CHAPITRE 3. PROCESSUS FARIMA 47pas programmées dans le logi iel. Toutefois, on peut implémenter fa ilement es dif-férentes méthodes. Pour ela, nous référons aux auteurs pré ités ainsi qu'à Beran(1994), Guégan (1994) ou Baillie (1996) et une étude omparative de es méthodesse trouve dans Bisaglia (1998) et Bisaglia et Guégan (1998).3.3.2 Méthodes semiparamétriquesLes méthodes d'estimation semiparamétriques sont basées sur l'expression de la den-sité spe trale du pro essus FARIMA(p; d; q) lorsque les fréquen es tendent vers zéro ;on s'intéresse ainsi à la densité spe trale d'une manière lo ale. On é onomise alorsl'hypothèse d'un modèle paramétrique statistique sur l'ensemble des données, mais,de même qu'ave les méthodes heuristiques, e type de méthodes permet d'estimeruniquement le paramètre de longue mémoire d d'un pro essus FARIMA(p; d; q). Ge-weke et Porter-Hudak (1983) (GPH par la suite) sont à l'origine du développement de es méthodes par leur travail sur l'estimateur obtenu à partir du log-périodogramme.Etant donné la simpli ité de mise en oeuvre et ses bonnes propriétés asymptotiques( onsistan e et Normalité asymptotique), l'estimateur GPH a ren ontré un fran su ès dans la ommunauté statistique et a engendré de nombreux travaux sur lesujet. On se réfère par exemple aux travaux de Robinson (1994a, 1995a), Hurvi h etBeltrao (1993, 1994), Hurvi h et al. (1998) ou Hurvi h et Deo (1999).D'une manière générale, on onsidère un pro essus s alaire entré (Xt)t2Z faiblementstationnaire, dont la densité spe trale est de la forme suivante sur l'intervalle [0; 2�[ :f(�) = j2 sin(�=2)j�2df�(�); (3.17)où d est le paramètre de mémoire ompris dans l'intervalle ouvert ℄ � 1=2; 1=2[ etoù f� est une fon tion ontinue bornée sur tout l'intervalle [0; 2�[. Le paramètre d ontr�le le omportement de la densité spe trale dans un voisinage de zéro alors quef� ontr�le le omportement ourte mémoire.En évaluant l'équation (3.17) aux fréquen es de Fourier �j = 2�j=T , pour j =0; : : : ; T � 1, où T est la taille de l'é hantillon, et par passage aux logarithmes, onobtient alors :log IT (�j) = �2d log j2 sin(�j=2)j+ log f�(0) + log f�(�j)f�(0) + log I(�j)f(�j) ; (3.18)où IT (�j) est le périodogramme évalué à la fréquen e �j, ave �XT = 0.On onsidère alors l'équation (3.18) lorsque T tend vers l'in�ni, j étant �xé. L'estima-teur GPH né essite à e niveau deux hypothèses ru iales, relatives au omportementasymptotique des éléments de l'équation (3.18). Ces hypothèses seront dis utées dansla suite du paragraphe.(H1) : On suppose que pour des fréquen es su�samment basses, le terme log f�(�j)f�(0)est négligeable.

CHAPITRE 3. PROCESSUS FARIMA 48(H2) : On suppose que la séquen e de termes �log IT (�j)f(�j) �j pour j = 1; : : : ;m estasymptotiquement indépendante et identiquement distribuée (i.i.d. par la suite) ; lenombre m de fréquen es onsidérées est alors appelé la largeur de bande.Sous les hypothèses (H1) et (H2), l'estimateur GPH du paramètre de mémoire d, notédGPH , s'obtient alors en onsidérant la régression linéaire simple, pour j = 1; : : : ;m :log IT (�j) = �+ �Zj + �j; (3.19)où : 8><>: � = log f�(0)� ;Zj = �2 log j2 sin(�j=2)j;�j = log IT (�j)f(�j) :L'estimateur GPH est alors expli itement dé�ni par l'égalité suivante :dGPH = Pmj=1(Zj � �Z) log IT (�j)Pmj=1(Zj � �Z)2 : (3.20)Geweke et Porter-Hudak (1983) établissent la onsistan e et la normalité asympto-tique de l'estimateur dGPH , lorsque d < 0 et lorsque le nombre de fréquen es m est hoisi tel que m = g(T ) où lim g(T ) = 1 et lim g(T )=T = 0. En suivant les sug-gestions de GPH (1983), le nombre de fréquen es m est hoisi de telle manière quem = T �, ave � = 0:5; 0:6; 0:7. Voir par exemple les arti les de Diebold et Rudebus h(1989), Porter-Hudak (1990), Cheung (1993), Cheung et Lai (1993), Crato et Lima(1994) ou Barkoulas et Baum (1997).Il apparaît ependant, voir par exemple Hurvi h et Beltrao (1993), que l'estima-teur GPH présente un biais asymptotique, dû au fait que l'hypothèse (H2) n'estpas véri�ée dans le as d'un pro essus FARIMA. Robinson (1995a) a proposé unestimateur asymptotiquement non biaisé du paramètre de mémoire d, obtenu sousl'hypothèse relativement restri tive de Gaussianité du pro essus. L'estimateur dulog-périodogramme de Robinson (1995a), noté i i dR(l;m), est issu de l'équationde régression (3.18), mais il ne prend pas en ompte les l premières fréquen es. Lenombre entier l est appelé dans la littérature anglo-saxonne le "trimming number" ;il orrespond au nombre de basses fréquen es qui ont été retran hées de l'équationde régression (3.18).En utilisant les mêmes notations que pour l'équation (3.19), l'estimateur dR(l;m)est expli itement donné par l'équation suivante, pour 0 � l < m < T :dR(l;m) = Pmj=l+1(Zj � �Z) log IT (�j)Pmj=l+1(Zj � �Z)2 : (3.21)L'estimateur GPH, dGPH , apparaît alors omme un as parti ulier de l'estimateur deRobinson (1995a), dR(l;m), orrespondant au as l = 0. Sous ertaines hypothèsesde régularité, Robinson (1995a) montre la onsistan e et la Normalité asymptotiquede son estimateur. En parti ulier, le pro essus est supposé Gaussien et on suppose

CHAPITRE 3. PROCESSUS FARIMA 49que l tend vers l'in�ni ave m mais moins vite que m, et à son tour m tend versl'in�ni mais moins vite que T .En pratique, Robinson (1995a) note qu'il ne semble pas exister de théorie optimalepour guider le hoix de l, e qui onstitue un handi ap ertain pour la mise en oeuvrede ette pro édure d'estimation. De plus, la vitesse de onvergen e de dR(l;m) estplus lente que la vitesse de onvergen e usuelle de T�1=2, qui est atteinte dans le adre de l'estimation par maximum de vraisemblan e. Cependant, l'estimateur dulog-périodogramme de Robinson (1995a) a déjà été utilisé dans des études empi-riques, le hoix de l s'e�e tuant a priori, voir par exemple Smith (1993) ou Delgadoet Robinson (1994).Dans la pratique, il apparaît ependant que le hoix des valeurs de m et de l ondi-tionne fortement la valeur de l'estimateur de Robinson du paramètre de longue mé-moire, mettant ainsi en éviden e le manque de robustesse de et estimateur.Le logi iel RATS permet d'estimer le paramètre de longue mémoire d par la méthodeGPH, à l'aide de la pro édure �gph. Cette pro édure prend omme arguments le nomde la série et les dates de début et de �n. De plus, l'option power permet de spé i�erla largeur de bande m, telle que m = T power, où T est le nombre d'observations. Pardéfaut, on a power=0.5. Par exemple, dans le as de la série simulée xlm, l'estimateurGPH est obtenu par la ommande suivante :�gph(power=0.6) xlm 1 2000Dans le adre d'un pro essus FARIMA(p; d; q), il est ependant à noter que les mé-thodes d'estimation heuristiques et semiparamétriques ne permettent pas l'estima-tion simultanée du paramètre de mémoire d et des paramètres des parties autore-gressive et moyenne mobile. L'estimation se fait alors en deux temps, et après avoirestimé le paramètre de mémoire d, l'estimation des paramètres �1; : : : ; �p; �1; : : : ; �qse fait sur la série pré�ltrée (I�B)dXt à l'aide des méthodes lassiques de la théoriedes pro essus ARMA (Box et Jenkins (1970)). On notera i i que l'utilisation du �ltre(I � B)d pose un problème, ar en théorie le �ltre implique des polyn�mes retardsd'ordre in�ni (voir équation (3.5)), or on ne dispose que d'un é hantillon �ni. Ainsi,il faut don tronquer la somme in�nie des polyn�mes et on n'obtient alors qu'uneapproximation d'un pro essus ARMA.De plus, es méthodes d'estimation heuristiques et semiparamétriques n'apportentpas non plus d'information ni sur l'estimation d'un paramètre d'é helle éventuel, quipourrait être la varian e du pro essus, ni sur l'estimation du paramètre de lo ali-sation. Don , malgré la fa ilité de mise en oeuvre de es méthodes, les méthodesd'estimation des paramètres par maximum de vraisemblan e restent très utilisées enpratique.3.3.3 Méthodes par maximum de vraisemblan eLes méthodes paramétriques d'estimation par maximum de vraisemblan e tiennentune forte pla e parmi les méthodes d'estimation des paramètres d'un pro essus

CHAPITRE 3. PROCESSUS FARIMA 50FARIMA(p; d; q). Par opposition aux méthodes pré édentes, e type de méthodeexige don , dans le domaine spe tral, la spé i� ation de la densité spe trale sur l'en-semble du domaine des fréquen es [0; 2�[ et non plus simplement sur les basses fré-quen es. Sous l'hypothèse d'une spé i� ation orre te du modèle paramétrique, l'esti-mateur obtenu par maximum de vraisemblan e onverge plus vite que l'estimateur se-miparamétrique. On her he don à estimer le paramètre ve toriel (�; �2" ; d; �1; : : : ; �p; �1; : : : ; �q)d'un pro essus FARIMA(p; d; q), dé�ni par la Dé�nition 3.1, et supposé Gaussien.Le as de l'estimation de la moyenne � du pro essus est réglé en prenant omme es-timateur la moyenne empirique du pro essus. En e�et, di�érents auteurs (Adenstedt(1974), Taqqu (1975), Yajima (1985) ou Hosking (1996)) ont montré que la moyenneempirique est un estimateur onsistant de la moyenne et que sa vitesse de onver-gen e est en T�1=2+d.La moyenne étant �xée, on s'intéresse à l'estimation du paramètre = (�2" ; d; �1; : : : ; �p; �1; : : : ; �q) d'un pro essus FARIMA(p; d; q), où 2 �Rp+q+2.La log-vraisemblan e LT (X; ) d'un pro essus Gaussien FARIMA(p; d; q), (Xt)t2Z ,basée sur T réalisations du pro essus, est donnée par l'égalité suivante :LT (X; ) = �T=2 log(2�)� 1=2 log j�( )j � 1=2Xt��1( )X; (3.22)où �( ) = [ (i � j)℄i;j=1;:::;T est la matri e de varian e- ovarian e du pro essus, dedimension T �T . L'estimateur du maximum de vraisemblan e de , noté EMV , estobtenu par l'équation suivante : EMV = Argmax 2 LT (X; ); (3.23)où LT (X; ) est donnée par l'équation (3.22).Yajima (1985) et Dahlhaus (1989) ont montré la onsistan e et la Normalité asympto-tique de l'estimateur EMV. Sowell (1992) donne également un algorithme pré is per-mettant d'implémenter informatiquement ette méthode d'estimation. Cependant, ette méthode d'estimation demande un temps de al ul assez élevé, et di�érentsauteurs se sont alors pen hés sur des méthodes utilisant une approximation de lalog-vraisemblan e d'un pro essus FARIMA. Parmi es méthodes dites de pseudo-maximum de vraisemblan e, on itera en parti ulier la méthode spe trale de Whittle(Yajima (1985), Fox et Taqqu (1986), Dahlhaus (1989) et Giraitis et Surgailis (1990))et la méthode des moindres arrés onditionnels (Hosking (1984), Beran (1995)). Sion note � = (d; �1; : : : ; �p; �1; : : : ; �q), la pro édure de Whittle permet d'obtenir unestimateur de � en minimisant par rapport à �, la fon tion dis rète suivante :Q( �) = n�Xj=1 IT (�j)fX(�j ; �) ; (3.24)où n� est la partie entière de (T �1)=2, les �j, pour j = 1; : : : ; n�, sont les fréquen esde Fourier, fX est la densité spe trale du pro essus et IT est le périodogramme brut.

CHAPITRE 3. PROCESSUS FARIMA 51Puis, on obtient l'estimateur de la varian e, noté �2W , par l'égalité suivante :�2W = 4�T Q( �W ): (3.25)La pro édure �whittle programmée par Laurent Ferrara permet de al uler l'esti-mateur de Whittle. Cette pro édure prend omme argument le nom de la série etles dates de début et de �n. De plus, il est obligatoire de spé i�er l'option initial,qui est le ve teur des valeurs initiales, né essaire pour initialiser l'algorithme de mi-nimisation. Les options ar et ma permettent de spé i�er les ordres des parties ARet MA ; es ordres sont obligatoirement inférieurs ou égaux à 2 et sont nuls par dé-faut. L'option par défaut graph renvoie le graphe du périodogramme. La pro édurerenvoie en sortie le ve teur des paramètres (estimate), la varian e estimée (sigma2)et les valeurs de di�érents ritères d'information (AICC, BIC, HIC). Par exemple, la ommande suivante al ule l'estimateur de Whittle du paramètre de mémoire de lasérie simulée xlm.�whittle(initial=||0.4||,nograph) xlm 1 2000On a� he alors les paramètres estimés à l'aide des ommandes suivantes :write estimatewrite sigma23.4 Un exemple d'appli ationOn se propose d'étudier la série du ours de loture journalier de l'a tion DeltaAirlines, otée à la bourse de New York. On étudiera ette série du 2 janvier 1985au 20 dé embre 1999, soit une traje toire de longueur T=3783. Cette série, ainsi quede nombreuses autres séries de ours boursiers, peut être télé hargée à partir du siteInternet situé à l'adresse URL suivante :http ://www.ab bourse. om/historiques.htmlDans la plupart des séries �nan ières, on s'intéresse à l'évolution du rendement (re-turn) (Rt)t de l'a tif �nan ier dé�ni par : Rt = log(Xt)� log(Xt�1), où (Xt)t est lavaleur de l'a tif. L'évolution de la série (Rt)t est représentée sur la Figure 3.3. Enobservant ette série, on onstate qu'à l'instar de nombreuses séries de rendementsd'a tifs �nan iers, ette série possède une forte hétéros édasti ité et une leptokur iténon négligeable (voir Figure 3.4). On mesure la volatilité de ette série à l'aide dela série des rendements au arré, notée (R2t )t. La FAC de la série des rendementsau arré est présentée sur la Figure 3.5. On observe lairement une persisten e de lavolatilité, e qui est un fait stylisé de nombreuses séries �nan ières.Dans ette partie, on se propose de mesurer la persisten e de la volatilité, en estimantle paramètre de longue mémoire de la série des rendements au arré et en modéli-sant ette série par un pro essus FARIMA. La série (Rt)t2Z présente un dé roissan elente de la FAC, et de plus, la densité spe trale estimée (Figure 3.6) présente un pi

CHAPITRE 3. PROCESSUS FARIMA 52

1000 2000 3000-0.20

-0.15

-0.10

-0.05

-0.00

0.05

0.10

Fig. 3.3 � Rendements journaliers de l'a tion Delta Airlines.Normalized Estimated Unconditional Distribution of RET

-10.0 -7.5 -5.0 -2.5 0.0 2.5 5.0

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Fig. 3.4 � Densité de distribution de la série des rendements journaliers de l'a tionDelta Airlines.lorsque les fréquen es tendent vers zéro. Ces deux phénomènes suggèrent que ettesérie hronologique puisse être modélisée par un pro essus longue mémoire FARIMA.Dans RATS, on suppose que l'on a importée la série delta, et on note ret la série desrendements et ret2 la série des rendements au arré. On obtient les graphes relatifsà es séries à l'aide des ommandes suivantes :set ret = log(delta)-log(delta{1})graph 1# ret�kernel(ngraph) ret 2 3783set ret2 = ret**2sta ret2 om nn = %nobs

CHAPITRE 3. PROCESSUS FARIMA 53set ret2 = ret2-%mean orr(number=150) ret2 2 nn+1 ret2a fgraph(style=bar,max=0.2)# ret2a f 2 150�spe trum(win=tent) ret2 2 nn+1Une première appro he onsiste à tester la présen e de longue mémoire à l'aide de laméthode heuristique de Hurst, basée sur la statistique R/S. Le al ul de l'estimateurde Hurst se fait de la manière suivante :�hurst ret2 2 nn+1En prenant 1.0 omme point de début et 3.0 omme point de �n, on obtient alorsdRS = 0:2084.Une deuxième appro he onsiste à tester la présen e de longue mémoire à l'aide dela méthode semiparamétrique du log-périodogramme de la manière suivante :�gph(power=0.6) ret2 2 nn+1On obtient alors omme valeur de l'estimateur dGPH = 0:2335. Ces deux méthodesd'estimation on�rment don la présen e de longue mémoire dans la séries des ren-dements au arré.Une troisième appro he onsiste à ajuster un pro essus FARIMA(p; d; q) à ette sé-rie, en estimant les paramètres par la méthode de Whittle. Le hoix des ordres p etq des polyn�mes AR et MA, se fait en évaluant toutes les ombinaisons possiblespour 0 � p; q � 2. On retient alors le modèle dont l'algorithme de minimisation onverge, dont les paramètres sont signi� ativement di�érents de zéro, et dont lavaleur des ritères d'information est la plus faible possible. On retient alors un pro- essus FARIMA(1; d; 0), et l'estimation des paramètres se fait de la manière suivante :�whittle(ordinate=nn,initial=||0.2,-0.1||,ar=1,ma=0) ret2 2 nn+1write estimateAinsi, le pro essus FARIMA obtenu est dé�ni par l'équation suivante :(I + 0:1127B)(I �B)0:1553(R2t � 0:0004) = "t: (3.26)Le pro essus FARIMA étant spé i�é et estimé, on peut alors l'utiliser pour e�e tuerdes prévisions sur la série des rendements au arré, (R2t )t2Z . On se réfère par exempleà l'arti le de Ferrara et Guégan (2000b) pour un algorithme pré is de prévision. Cetalgorithme est basé sur le al ul des poids de la représentation AR(1) du pro essusFARIMA(p; d; q), dé�nie par :"t = �(B)�(B) (I �B)dXt (3.27)= 1Xj=0 �j(d; �; �)Xt�j ; (3.28)

CHAPITRE 3. PROCESSUS FARIMA 54

25 50 75 100 125-0.20

-0.15

-0.10

-0.05

-0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

-0.20

-0.15

-0.10

-0.05

-0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

Fig. 3.5 � ACF empirique de la série des rendements journaliers au arré de l'a tionDelta Airlines.

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

-17.0

-16.5

-16.0

-15.5

-15.0

-14.5

-14.0

Fig. 3.6 � Densité spe trale empirique de la série des rendements journaliers au arréde l'a tion Delta Airlines.où les poids (�j(d; �; �))j2Z sont tels que, pour jzj � 1 :1Xj=0 �j(d; �; �)zj = �(z)�(z) (1� z)d: (3.29)Ces poids (�j(d; �; �))j2Z sont alors donnés par �0(d; �; �) = 1, et pour j � 1 :�j(d; �; �) = bj(d)� min(j;p)Xi=1 �ibj�i(d) + min(j;q)Xi=1 �i�j�i(d; �; �); (3.30)où les poids (bj(d))j2Z sont donnés par l'équation (3.6).

Chapitre 4Pro essus de type GARCHDans e hapitre, on s'intéresse à la modélisation non linéaire d'une série hronolo-gique par un pro essus autorégressif onditionnellement hétéros édastique (ARCH).Depuis leur introdu tion en 1982 par Robert Engle, es pro essus ont onnu unlarge su ès dans la littérature é onométrique, permettant ainsi à Engle d'obtenirle prix Nobel d'E onomie en 2003. Le grand nombre de modèles statistiques dérivésdu pro essus ARCH ainsi que les multiples appli ations en �nan e et en é onomietémoignent également du su ès ren ontrés par e type de pro essus. En �nan e,les appli ations des pro essus ARCH ont permis par exemple de mesurer la volati-lité d'un a tif, d'estimer diverses Value-at-Risk (VaR) d'un portefeuille, d'estimer lerisque systématique des modèles du mar hé, de développer des stratégies dynamiquesde hedging et d'option pri ing ou de modéliser des prime de risques. En é onomie,les pro essus de type ARCH ont également permis de mesurer l'in ertitude sur l'in-�ation, d'étudier les e�ets des dé isions des banques entrales ou de ara térises ertaines relations entre l'é onomie et les mar hés d'a tifs �nan iers.Dans le premier paragraphe de ette partie, nous mettons en éviden e les prin i-paux faits stylisés des séries �nan ières. Dans le se ond paragraphe, nous soulignonsl'intérêt des pro essus ARCH et nous donnons les prin ipales dé�nitions et proprié-tés statistiques, illustrées par des simulations. Dans le troisième paragraphe, nousprésentons les prin ipales extensions de e type de pro essus proposées dans la lit-térature é onométrique. Dans le quatrième paragraphe, nous nous intéressons à l'in-féren e statistique ave e type de pro essus. Nous présentons des tests statistiquespermettant de tester la présen e d'une omposante ARCH dans une série, nous déve-loppons la méthode d'estimation des paramètres d'un tel pro essus par la méthodede pseudo-maximum de vraisemblan e et nous montrons omment obtenir des pré-visions de volatilité. En�n, le dernier paragraphe présente un exemple d'appli ationoriginal sur des données �nan ières.55

CHAPITRE 4. PROCESSUS GARCH 564.1 Faits stylisés des séries �nan ièresDe nombreuses études empiriques ont souligné que la plupart des séries hronolo-giques à ara tère �nan ier ont tendan e à exhiber des omportements statistiques ara téristiques. On se propose de lister es faits stylisés, dont ertains pourront êtrepris en ompte par les pro essus de type ARCH.4.1.1 Non stationnaritéLa plupart des séries de prix d'a tifs �nan iers présente une non stationnarité entendan e, i.e. l'espéran e du pro essus sous-ja ent n'est pas onstante au ours dutemps. En parti ulier, les tests de ra ine unitaire lassiques (Di key-Fuller, Phillips-Perron, KPSS, ...) montrent que l'hypothèse nulle de non stationnarité de la série esta eptée la plupart du temps. Par onséquent, a�n de stationnariser la série, l'étudeest menée sur les taux de roissan e ou les log-rendements de la série. Ainsi, si onobserve une série (Xt)t=1;:::;T , la série des taux de roissan e est donnée pour toutt par Yt = (Xt �Xt�1)=Xt�1 et la série des log-rendements est donnée pour tout tpar Rt = log(Xt) � log(Xt�1). Comme Rt = log(1 + Yt), les deux expressions sontsemblables pour des petites variations. Un des avantages des log-rendements est quele log-rendement al ulé sur plusieurs périodes onsé utives est la somme des log-rendements al ulés sur ha une des périodes. C'est ette série des log-rendementsque l'on onsidère dans la suite de ette partie.4.1.2 Non NormalitéLorsqu'on estime la distribution non onditionnelle d'une série �nan ière (soitpar un histogramme, soit par un estimateur non paramétrique à noyaux), on observeque la distribution empirique possède des queues de distribution plus épaisses que elles de la loi Normale. Cela est du à une fréquen e plus élevée que e qu'on pouvaitattendre d'évènements ex eptionnels. Une mesure de l'épaisseur des queues est four-nie par la kurtosis (un estimateur des moments d'ordre 4) qui est systématiquementsupérieure à elle de la loi Normale (égale à 3). De plus, la dsitribution de nombreuxa tifs �nan iers, en parti ulier les prix d'a tions, n'est pas symétrique. En e�et, lemoment d'ordre 3 de la distribution non onditionnelle mesuré par le skewness estsouvent négatif. Cela signi�e que la queue gau he de la distribution est plus épaisseque la queue droite, i.e. les forts rendements négatifs ont tendan e à se produireplus souvent que les forts rendements positifs. Ainsi, la plupart des tests statistiquesd'adéquation (Jarque-Bera, Chi-2, Kolmogorov-Smirnov, ...) rejettent l'hypothèsenulle de Gaussianité de la distribution non onditionnele, même ave un très faiblerisque de première espè e. Or, ette hypothèse de Normalité est né essaire pour denombreux modèles en �nan e tels que le CAPM ou le modèle de Bla k et S holes.4.1.3 Non onstan e de la varian eOn observe que la varian e des séries subit une évolution au ours au ours dutemps, en parti ulier sous l'e�et de ho s exogènes tels que les rises �nan ières. Cefait empirique avéré remet alors en ause l'hypothèse d'homos édasti ité (varian e onstante), que l'on utilise lassiquement lors d'une modélisation de série hrono-logique, en parti ulier dans le as des pro essus de type ARMA. Il semble don

CHAPITRE 4. PROCESSUS GARCH 57né essaire de proposer des modèles prenant en ompte ette hétéros édasti ité.4.1.4 Agrégats de volatilitéNon seulement les séries �nan ières ne présentent pas une varian e onstante au ours du temps, mais on s'aperçoit également que ette varian e évolue égalementde manière ara téristique. En e�et, les séries �nan ières présentent des su essionsde phases de relative tranquillité et de phases de forte volatilité. On dit égalementque les séries présentent des agrégats de volatilité (volatility lustering).4.1.5 E�et de levierOn observe une orrélation négative entre les variations des prix d'a tifs et lesvariations de la volatilité. Toutefois, il existe une asymétrie sur les mar hés dans lamesure où ette orrélation varie selon le sens de la variation. En e�et, on observe quela volatilité augmente fortement lorsque les prix baissent fortement (par exemple dansle as d'une mauvaise nouvelle é onomique ou sur la santé �nan ière des entreprisesou dans le as plus général d'une rise �nan ière). En revan he, lors des périodesd'expansion des prix ( as d'une bonne nouvelle), la volatilité a� he une plus grandestabilité.4.1.6 Auto-CorrélationsLorsqu'on al ule les auto orrélations des séries �nan ières, on observe une trèsfaible auto orrélation. Généralement, la série est blan hie par un pro essus AR(p)oùp est relativement petit (p � 3). Il arrive même souvent que la série soit supposéesuivre un bruit blan (non indépendant). En revan he, les auto orrélations de la sérieau arré ou élevée à une ertaine puissan e présentent une forte persistan e.4.1.7 Co-mouvements de volatilitéSi on s'intéresse aux indi es synthétiques relatifs à des mar hés di�érents (CAC40,FTSE100, DAX, SP500, ...), on observe des mouvements de volatilité ommuns auxpla es �nan ières, du fait d'une forte dépendan e entre les mar hés. En fait, lesmouvements de forte volatilité s'explique par des fa teurs exogènes qui s'appliquentà l'ensemble des pla es �nan ières.4.2 Introdu tion aux pro essus ARCHDans ette se tion, nous donnons les prin ipales dé�nitions et propositions rela-tives aux pro esssus ARCH. Nous allons montrer dans quelle mesure es pro essuspermettent de prendre en ompte ertains des faits stylisés des séries �nan ièressoulignés dans la se tion pré édentes. Il est toutefois intéressant de noter que l'idéeoriginale d'appli ation des pro essus ARCH ne provient pas de la �nan e, mais del'é onomie. En e�et, omme l'explique lui-même Engel dans son dis ours à l'A adé-mie des S ien es de Suède lors de la remise de son prix Noble (Engle, 2004), son idéeoriginale était de tester une hypothèse émise par l'é onomiste Milton Friedman en1977 selon laquelle les in ertitudes des hefs d'entreprises sur l'évolution de l'in�ation

CHAPITRE 4. PROCESSUS GARCH 58poussaient es derniers à ne pas investir, ausant ainsi les y les d'a�aires de l'é o-nomie (les fameux business y les) dont la phase basse orrespond à une période deré ession é onomique. Rappelons qu'à l'époque les é onomies des pays industrialisésvenaient de subir un premier ho pétrolier en 1974 et allaient en subir un se onden 1979-80. L'in�ation galopante était la préo upation prin ipale des a teurs é o-nomiques. Ainsi, a�n de tester ette hypothèse, Engel proposa en 1982 un modèlesur l'in�ation du Royaume-Uni pour lequel la varian e onditionnelle n'était pas ontante au ours du temps, i.e. un modèle onditionnellement hétéros édastique,l'évolution de la varian e onditionnelle de l'in�ation étant ensuite mise en parallèleave elle du y le d'a�aires.On rappelle dans un premier temps la dé�nition d'un pro essus ARCH(p) tel quedé rit par Engle (1982).Dé�nition 4.1 Un pro essus (Yt)t2Z est dé�ni omme étant un pro essus ARCH(p)s'il véri�e l'équation suivante : Yt =pht"t; (4.1)où ht = a0 + pXi=1 aiY 2t�i; (4.2)et où ("t)t2Z est un bruit blan Gaussien entré de varian e unitaire.Dans la suite, nous désignons par Ft�1 la �-algèbre engendrée par tout le passé dupro essus Ys, pour s < t, i.e. : Ft�1 = �(Ys; s < t). Le pro essus ARCH(p) dé�ni parla dé�nition 4.1 possède alors les propriétés statistiques suivantes (voir par exempleEngle (1982) ou Guégan (1994)) :Proposition 4.1 Si (Yt)t2Z est un pro essus ARCH(p), donné par la dé�nition 4.1,alors on montre que :(i) E(YtjFt�1) = 0 (4.3)(ii) E(Y 2t jFt�1) = ht (4.4)(iii) La loi onditionnelle de (Yt)t2Z est une loi Normale entrée de varian e ht,i.e. : L(YtjFt�1) � N(0; ht) (4.5)(iv) Si on pose ut = Y 2t � ht, alors on a :Y 2t = a0 + pXi=1 aiY 2t�i + ut (4.6)où (ut)t2Z est un pro essus entré, non orrélé et de varian e non onstante. Ainsi,le pro essus (Y 2t )t2Z admet une représentation pro he d'un pro essus AR(p).

CHAPITRE 4. PROCESSUS GARCH 59On note que, de manière similaire au pro essus d'innovation pour la moyenne ondi-tionnelle, le pro essus (ut)t2Z est interprété omme étant le pro essus d'innovationde la varian e onditionnelle. En pratique, la proposition ?? (iv) sera utilie pourdéte ter la présen e d'hétéros édasti ité onditionnelle à partir de la série des arrés.Le pro essus ARCH le plus étudié dans la littérature statistique est le pro essusARCH(1), dé�ni, pour tout t 2 Z, par Yt = (a0+ a1Y 2t�1)1=2"t. Notons que l'on peutmontrer que les pro essus ARCH(p) sont des pro essus à mémoire ourte et de efait il est peu raisonnable d'envisager d'ajuster sur des données réelles des pro essusARCH(p) d'ordre p élevé. Dans le as où un pro essus ARCH d'ordre p = 1 n'est passu�sant pour prendre en ompte toute la varian e onditionnelle ontenue dans unesérie, il est préférable d'utiliser un pro essus de type GARCH, voire FIGARCH (voirparagraphes suivants). On rappelle quelques propriétés intéressantes relatives au pro- essus ARCH(1), dont les preuves sont fournies dans Engle (1982) ou Guégan (1994).Proposition 4.2 Si (Yt)t2Z est un pro essus ARCH(1), alors on montre que :(i) Si a0 > 0 et 0 < a1 < 1, alors il existe une solution stationnaire etV ar(Yt) = a01� a1 ; (4.7)et V ar(YtjFt�1) = a0 + a1Y 2t�1 (4.8)(ii) Les moments d'ordre 2r existent siar1 rYj=1(2j � 1) < 1 (4.9)(iii) Si l'on note KY la kurtosis du pro essus (Yt)t2Z , dé�nie par :KY = E(Y 4t )E2(Y 2t ) ; (4.10)alors KY est donnée par l'égalité suivante :KY = 3(1� a21)1� 3a21 ; (4.11)et KY est �nie si 3a21 < 1.D'après la proposition 4.2 (i), la varian e non onditionnelle d'un pro essus ARCHest onstante au ours du temps, ontrairement à sa varian e onditionnelle qui estune fon tion quadratique de la série retardée. Par onséquent, il est important desouligner le fait qu'un pro essus ARCH est non onditionnellement homos édastique !Ainsi, la moyenne non onditionnelle et les auto ovarian es (h), pour h > 0, d'unpro essus ARCH étant nulles, e pro essus peut être ara térisé omme étant unpro essus bruit blan non indépendant (ou bruit blan faible). On remarque égale-ment que la proposition 4.2 (iii) nous indique que, sur son intervalle de dé�nition, la

CHAPITRE 4. PROCESSUS GARCH 60kurtosis d'un pro essus ARCH est toujours supérieure à la valeur normale de 3. Laloi non onditionnelle d'un pro essus ARCH est don une loi de distribution à queuesépaisses, lairement non gaussienne. Ainsi, un pro essus de type ARCH permet de apter non seulement l'hétéros édasti ité onditionnelle d'une série, mais égalementla forte leptokurti ité empirique souvent observée dans les séries de rendements d'a -tifs �nan iers.Notons que dans les instru tions RATS, la kurtosis al ulée par l'instru tion statisti sest en fait l'ex ès de kurtosis équivalent à E(Y 4t )E2(Y 2t ) � 3. Don , d'après la proposition4.2(iii), la kurtosis d'un pro essus ARCH(1) al ulé par RATS est stri tement posi-tive.A�n d'illustrer les rappels théoriques pré édents, on s'intéresse maintenant à des si-mulations numériques d'un pro essus ARCH. Ave le logi iel RATS, on peut simulerun pro essus ARCH, de manière ré ursive, en utilisant simplement la dé�nition 4.1.Par exemple, on engendre une traje toire de longueur 1000, issue d'un pro essusARCH(1) de paramètres a0 = 0:1 et a1 = 0:8, à l'aide des ommandes suivantes :all 3000seed 1234set eps = %ran(1) om a0= 0.1, a1 = 0.8set(first=0.0) xar h 1 3000 = sqrt(a0+a1*xar h{1}**2)*epssmpl 2001 3000graph(header='ARCH(1)') 1#xar hNotons que, a�n d'enlever l'in�uen e de la valeur initiale, on simule 3000 valeurs dela série, mais on ne retient que les 1000 dernières. La �gure 4.1 présente la traje -toire obtenue. On observe que le pro essus est entré stationnaire, mais possède desARCH(1)

2200 2400 2600 2800 3000-5.0

-2.5

0.0

2.5

5.0

Fig. 4.1 � Traje toire issue d'une simulation d'un pro essus ARCH(1) (série xar h).

CHAPITRE 4. PROCESSUS GARCH 61périodes de très forte volatilité, suivies de périodes de plus faible volatilité.Les ommandes suivantes permettent d'obtenir la densité de distribution de la sériesimulée, ainsi que l'ACF et la PACF de la série et de la série élevée au arré :�kernel(kernel=gaussian,ngraph,style=line,gridsize=128) $xar h 2001 3000 xv yv orr(qstats,number=100,span=5,partial=xpa f) xar h 2001 3000 xa fset xar h2 = xar h**2 orr(qstats,number=100,span=5,partial=x2pa f) xar h2 2001 3000 x2a fspgraph(vfields=2,hfields=2)graph(style=bar,header='ACF xar h',max=1.0)# xa f 2 100graph(style=bar,header='ACF xar h2',max=1.0)# x2a f 2 100graph(style=bar,header='PACF xar h',max=1.0)# xpa f 2 100graph(style=bar,header='PACF xar h2',max=1.0)# x2pa f 2 100spgraph(done)L'ACF et la PACF de la série simulée (graphes du haut de la �gure 4.2) montrentque le pro essus ARCH ne présente pas de fait stylisé en termes de orrélation. ParACF xarch

25 50 75 100-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

ACF xarch2

25 50 75 100-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

PACF xarch

25 50 75 100-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

PACF xarch2

25 50 75 100-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Fig. 4.2 � ACF et PACF des séries simulées xar h et xar h2.

CHAPITRE 4. PROCESSUS GARCH 62Normalized Estimated Unconditional Distribution of XARCH

-7.5 -5.0 -2.5 0.0 2.5 5.0 7.5

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

Fig. 4.3 � Densité de distribution de la série simulée xar h. ontre, la série au arré (graphes du bas) possède un omportement qui fait forte-ment penser au omportement d'un pro essus autorégressif de type ARMA. Ce faitempirique illustre parfaitement la proposition 4.1 (iv).Le phénomène de leptokurtie présent dans les séries �nan ières est pris en omptepar les pro essus ARCH. Ce fait stylisé est illustré par la �gure 4.3, qui présente ladensité de distribution du pro essus ARCH que l'on a simulé. Ainsi, on observe lefort poids des queues de distribution. De plus, le test de Normalité de Jarque-Bera, al ulé par la pro édure �kernel, rejette lairement l'hypothèse H0 de Normalité dedistribution. Les tests e�e tués par l'instru tion statisti s permettent égalementde on lure à la nullité de la moyenne et à la leptokur ité de la série.4.3 Extensions des pro essus ARCHLe pro essus ARCH a donné lieu à de nombreuses extensions dans la littératurestatistique. Sans prétendre à l'exhaustivité, nous présentons quelques-uns des mo-dèles dérivés du pro essus ARCH.4.3.1 Pro essus GARCHNous avons remarqué que le pro essus ARCH donné par la dé�nition 4.1 admetune réprésentation autorégressive de la varian e onditionnelle (ht)t. De manièresimilaire aux pro essus ARMA, il semble naturel de généraliser l'expression de la va-rian e onditionnelle en permettant à (ht)t de présenter une partie moyenne mobile.Bollerslev (1986) a don introduit les pro essus GARCH(p; q), dont la dé�nition estpré isée i-dessous.

CHAPITRE 4. PROCESSUS GARCH 63Dé�nition 4.2 Un pro essus (Yt)t2Z est dé�ni omme étant un pro essus GARCH(p; q)s'il véri�e l'équation suivante : Yt =pht"t; (4.12)où ht = a0 + pXi=1 aiY 2t�i + qXj=1 bjht�j ; (4.13)et où ("t)t2Z est un bruit blan Gaussien entré de varian e unitaire.On remarque que, d'après la dé�nition pré édente, la moyenne non onditionnelled'un pro essus GARCH(p; q) est nulle et, sous l'hypothèse de stationnarité (voirproposition 4.3), sa varian e non onditionnelle, notée �2, est onstante et égale à :�2 = a0(1 �P ai �P bj)�1. Don , de même qu'un pro essus ARCH, un pro essusGARCH est un pro essus bruit blan faible. De plus, la loi onditionnelle d'un pro- essus GARCH est une loi Gaussienne entrée de varian e ht donnée par l'équation4.13.Proposition 4.3 Si (Yt)t2Z est un pro essus GARCH(p; q), alors on montre que :(i) Une ondition né essaire et su�sante pour que le pro essus (Yt)t2Z ait unesolution stationnaire est : max(p;q)Xi=1 (ai + bi) < 1: (4.14)(ii) Si on onsidère (ut)t2Z , omme étant l'innovation du arré du pro essus, telque, pour tout t 2 Z : ut = Y 2t � ht, alors on a :Y 2t = a0 + max(p;q)Xi=1 (ai + bi)Y 2t�i + ut � qXj=1 bjut�j ; (4.15)ave la onvention ai = 0, pour tout i > q, et bj = 0, pour tout j > p. On obtientainsi une représentation pro he d'une représentation ARMA(max(p; q); q) pour lepro essus (Y 2t )t2Z , mais le terme d'erreur n'est pas for ément de varian e onstante.En posant, a(z) = Ppi=1 aizi et b(z) = Pqi=1 bizi, l'équation (4.13) peut se réé riresous la forme suivante :(I � a(B)� b(B))Y 2t = a0 + (I � b(B))ut; (4.16)où ut = Y 2t � ht. Cette notation nous servira par la suite à introduire les extensionsdu pro essus GARCH.Dans la pratique, la spé i� ation des ordres d'un pro essus GARCH(p; q) est unexer i e di� ile. Pour ontourner e problème, la plupart des appli ations de etype de pro essus onsidère uniquement des modélisations basées sur le pro essusGARCH(1,1). Dans tous les as, il s'avère que les ordres p et q d'un pro essus GARCHsont systématiquement pris inférieurs ou égaux à 2. Le pro essus GARCH(1,1), dé�nipour tout t 2 Z, par Yt = (a0 + a1Y 2t�1 + b1ht�1)1=2"t; (4.17)

CHAPITRE 4. PROCESSUS GARCH 64exprime que la varian e d'aujourd'hui est la pondération de la varian e d'hier etdu ho onstaté la veille sur le pro essus sous-ja ent. Le pro essus GARCH(1,1)possède une solution stationnaire si a1+ b1 < 1 et les moments d'ordre 2 existent si :rXj=0Cjr�jaj1br�j1 < 1; (4.18)où �j =Qjl=1(2l � 1).4.3.2 Pro essus ARMA-GARCHLe pro essus GARCH permet de modéliser la varian e onditionnelle, mais nepropose pas de modéliser la moyenne onditionnelle. On peut alors supposer que lepro essus suit un pro essus de type ARMA et que le pro essus d'innovation suitun pro essus GARCH. Weiss (1984) dé�nit le pro essus (Xt)t2Z omme étant unpro essus ARMA-GARCH s'il véri�e l'équation suivante :�(B)Xt = �(B)Yt; (4.19)où les polyn�mes �(z) et �(z) sont donnés dans la Dé�nition 2.1 et où le pro essus(Yt)t2Z est un pro essus GARCH(p; q) donné par la dé�nition 4.2.On peut également généraliser la dé�nition d'un pro essus ARMA-GARCH en sup-posant que le pro essus (Xt)t2Z dans l'équation pré édente est un pro essus longuemémoire FARIMA(p; d; q). On parle alors de pro essus FARIMA-GARCH (voir sur e point Baillie, Chung et Tieslau, 1996).4.3.3 Pro essus ARCH-MLe pro essus ARCH-M (ARCH in Mean), proposé par Engle, Lilien et Robins(1987) permet de prendre en ompte l'in�uen e de la volatilité du pro essus dansles variations du pro essus. En fait, la varian e onditionnelle se trouve être unevariable expli ative de la moyenne onditionnelle. On dit que le pro essus (Xt)t2Zest un pro essus ARCH-M s'il véri�e l'équation suivante :Xt = �0Zt + Æg(ht) + Yt (4.20)où (Zt)t est un ve teur de variables expli atives, où Æ est un s alaire, où (Yt)t2Zest un pro essus ARCH(p) donné par la dé�nition 4.1, de varian e onditionnelleht. En général, la fon tion g est la fon tion identité, la fon tion arré ou la fon tionlogarithme du arré.4.3.4 Pro essus GARCH asymétriquesLes faits stylisés des séries �nan ières mettent en éviden e une ertaine asymétriedans les séries, impliquant ainsi que l'impa t d'une bonne nouvelle sur les mar hés estdi�érent de l'impa t d'une mauvaise nouvelle. Il serait ainsi intéressant de pouvoirmodéliser es e�ets de levier, par exemple a�n de tester une nouvelle stratégie. Dansun pro essus GARCH, l'impa t du passé joue de manière symétrique sur la varian e

CHAPITRE 4. PROCESSUS GARCH 65 ourante : les valeurs Yt�1 = a et Yt�1 = �a entraînent une même varian e ondi-tionnelle en t. A�n de prendre en ompte e phénomène, di�érents types de pro essusont été proposés à partir des pro essus GARCH. Nous en présentons quelques-uns.Pro essus EGARCHLe pro essus EGARCH (Exponential GARCH) a été introduit par Nelson (1991),il porte sur le logarithme de la varian e onditionnelle, e qui permet de rela herles ontraintes de positivité sur les paramètres. Le pro essus EGARCH est dé�ni àpartir du modèle GARCH de la manière suivante :Yt =pht"t; (4.21)où log(ht) = a0 + pXi=1 ai jYt�ij+ iYt�ipht�i + qXj=1 bj log(ht�j): (4.22)Ainsi, l'impa t d'une bonne nouvelle (i.e. d'un ho positif) sur la varian e est fon -tion de de (1+ i)j(Yt�i)j, alors que l'impa t d'une mauvaise nouvelle (i.e. d'un ho négatif) sur la varian e est fon tion de de (1 � i)j(Yt�i)j. L'e�et de levier dé ritpré édemment implique que i < 0.Pro essus PGARCHLe pro essus PGARCH (Power GARCH) a été proposé par Ding, Granger etEngle (1993), il généralise le pro essus EGARCH de la manière suivante, pour toutd > 0 : hdt = a0 + pXi=1 ai(jYt�ij+ iYt�i)d + qXj=1 bjhdt�j : (4.23)Dans le as où d = 1 on retrouve une variante du pro essus EGARCH et l'e�et delevier implique que i < 0. Le pro essus ave d = 0:5 fournit un modèle pour l'é art-type onditionnel et se trouve être plus robuste aux valeurs aberrantes que pourd = 1. Le paramètre d peut également être estimé par maximum de vraisemblan e.Pro essus ARCH à seuilLe pro essus ARCH à seuil est dé�ni de la manière suivante :Yt =pht"t; (4.24)où ht = a0 + pXi=1(ai + iSt�i)Y 2t�i + qXj=1 bjht�j ; (4.25)où St�i = 1 si Yt�i < 0 et 0 sinon. Ainsi, lorsque Yt�i est positif, l'e�et sur la va-rian e est égal à aiY 2t�1, mais lorsque Yt�i est négatif, l'e�et sur la varian e est égal à(ai+ i)Y 2t�1. Dans e as, l'e�et de levier dé rit pré édemment implique que i > 0.Ce type de pro essus a été proposé par Glosten, Jagannathan et Runkle (1993, pro- essus GJR) et par Zakoian (1994), dénommé pro essus TARCH (Threshold ARCH).Originalement, le pro essus TARCH modélise l'é art-type onditionnel.

CHAPITRE 4. PROCESSUS GARCH 664.3.5 Pro essus GARCH à queues épaissesEn pratique, il arrive souvent que les résidus standardisés issus d'un pro essusGARCH à erreurs Gaussiennes possède toujours une distribution à queues épaisses.Pour remédier à e problème, ertains auteurs ont proposé des pro essus GARCH àerreurs distribuées selon une loi à queues épaisses.Pro essus GARCH à erreurs StudentUne loi de Student possède des queues de distribution plus épaisses que la loiGaussienne et onverge en loi vers une loi Gaussienne lorsque le degré de liberté tendvers l'in�ni. Soit ut une variable aléatoire qui suit une loi de Student à � degrés deliberté et de paramètre d'é helle st. Alors la densité de distribution de ut est donnéepar : f(ut) = �((� + 1)=2)p���(�=2) s�0:5t(1 + u2t =(st�))(�+1)=2 ; (4.26)où �(:) est la fon tion Gamma dé�nie pour tout a > 0 par �(a) = R xa�1 exp(x)dx.La varian e de ut est donnée par V (ut) = st�� � 2 ; (4.27)ave � > 2. Dans le as d'un pro essus GARCH (Yt)t à erreurs Student tel queE �Y 2t jFt�1� = ht alors le paramètre d'é helle est donné par :st = ht(� � 2)� : (4.28)Pro essus GARCH à erreurs GEDNelson (1991) suggère d'utiliser loi de distribution généralisée des erreurs (Ge-neralized Error Distribution, GED), de paramètre �. Cette loi possède la densité dedistribution suivante : f(ut) = � exp(�0:5jut=�j�)�2(�+1)=��(1=�) ; (4.29)où : � =s2�2�(1=�)�(3=�) : (4.30)Lorsque � = 2, on retrouve la distribution Gaussienne, lorsque 0 < � < 2 la GEDa des queues plus épaisses que la Gaussienne et lorsque � > 2 la GED a des queuesplus �nes que la Gaussienne. Lorsque � = 1, la loi est onnue omme étant la loidouble exponentielle de densité f(ut) = 1p(2) exp(�p2jutj)4.3.6 Pro essus GARCH à mémoire longueDe nombreuses études empiriques ont permis de souligner le phénomène de per-sistan e dans la volatilité des séries �nan ières. A�n de prendre en ompte e phé-nomène, di�érents types de pro essus sont disponibles dans la littérature. Nous enprésentons quelques-uns.

CHAPITRE 4. PROCESSUS GARCH 67Les pro essus IGARCHCe pro essus est dé�ni à partir du modèle GARCH. On suppose que la sommedes oe� ients P ai + P bj dans l'expression (4.11) est égale à 1. Dans e as,le pro essus GARCH (Yt)t2Z , donné par la dé�nition 4.2, n'est plus stationnaire.Ainsi, en utilisant la fa torisation 1� a(z)� b(z) = �(z)(1� z) et l'équation (4.14),le pro essus IGARCH(p; q), introduit et étudié par Engle et Bollerslev (1986) etNelson (1990), est solution de l'équation suivante :�(B)(I �B)Y 2t = a0 + (I � b(B))ut; (4.31)où ut = Y 2t � ht et où �(z) est un polyn�me d'ordre : max(p; q) � 1, ave �(z) 6= 0pour jzj � 1.Considérons simplement le as du pro essus IGARCH(1,1), dé�ni par l'équation 4.31,ave a0 � 0 et a1 + b1 = 1. On a alors :E(ht+kjFt�1) = ht + a0k: (4.32)Nous onstatons que lorsque a1 + b1 � 1, l'e�et d'un ho sur la varian e ondi-tionnelle ht ne s'élimine pas asymptotiquement. C'est la propriété de persistan e.L'intérêt de e pro essus IGARCH(1,1), réside dans le fait que, dans la pratique,on est souvent pro he du as limite a1 + b1 = 1, voir par exemple Nelson (1991).Cette non stationnarité de la varian e onditionnelle est un fait stylisé des séries�nan ières, fréquemment observé de manière empirique. On se référe également auxarti les de Bollerslev (1986), Hsieh (1988, 1989) et Baillie et Bollerslev (1989) pourles appli ations de e modèle.Les pro essus FIGARCHLe pro essus IGARCH permet de modéliser un ho sur la varian e ondition-nelle, dont l'e�et ne s'élimine pas asymptotiquement. Il serait alors intéressant depouvoir modéliser un ho dont l'e�et sur la varian e dé roit de manière lente, àun taux hyperbolique. Par analogie ave le pro essus fra tionnaire intégré, Baillie,Bollerslev et Mikkelsen (1996) ont introduit le pro essus FIGARCH(p; d; q), solutionde l'équation suivante :�(B)(I �B)dY 2t = a0 + (I � b(B))ut; (4.33)où d est un réel tel que : 0 � d � 1, les autres valeurs de l'équation étant spé i�éesdans l'équation (4.19). L'expression analytique de la varian e onditionnelle est alorsdonnée par l'équation suivante :ht = a0 + [I � b(B)� �(B)(I �B)d℄Y 2t + b(B)ht; (4.34)ou de manière équivalente, par l'équation suivante :ht = a0I � b(I) + fI � �(B)(I �B)d1� b(B) gY 2t : (4.35)Trivialement, le pro essus FIGARCH(p; d; q) est un pro essus IGARCH(p; q) lorsqued = 1, et est un pro essus GARCH(p; q) lorsque d = 0. Pour des appli ations de emodèle, en parti ulier sur des taux de hange journaliers, on se référe aux arti les de

CHAPITRE 4. PROCESSUS GARCH 68Baillie, Bollerslev et Mikkelsen (1996), Tse (1998) ou Beine et al. (1999).Les pro essus GIGARCHSi la varian e onditionnelle exhibe simultanément de la persistan e et une om-posante périodique, on peut alors, par analogie ave les pro essus longue mémoiregénéralisés, introduire les pro essus GIGARCH (Gegenbauer IGARCH). Ce type depro essus, dé�ni par Guégan (1999, 2000), est solution de l'équation suivante :�(B) kYi=1(I � 2 os(�i)B +B2)diY 2t = a0 + (I � b(B))ut; (4.36)où k est un nombre entier �ni, où les �i sont les k fréquen es de Gegenbauer et où lesdi sont des nombres fra tionnaires, les autres valeurs de l'équation étant spé i�éespar l'équation (4.19). L'expression analytique de la varian e onditionnelle est alorsdonnée par l'équation suivante :ht = a0I � b(I) + fI � �(B)Qki=1(I � 2 os(�i)B +B2)di1� b(B) gY 2t : (4.37)Les propriétés statistiques de e type de pro essus sont en ore sous étude.Il existe de nombreuses autres extensions des pro essus ARCH. On itera, entreautres, les pro essus �-ARCH (Diebolt et Guégan (1991)) ou CHARMA (Tsay (1987).De plus, dans un adre multivarié, de nombreux pro essus GARCH ont été proposéa�n de prendre en ompte les omouvements de volatilité. On itera par exemplele pro essus MVGARCH Multivariate GARCH proposé par Bollerslev (1990) et lepro essus DCC-MVGARCH (Dynami Conditional Correlation) proposé par Engle(2002). Il est ependant important de noter que, plus un modèle est ompliqué, plusl'inféren e statistique sera alors di� ile à mener, e qui de manière pratique, limitefortement son utilisation sur des séries réelles.4.4 Inféren e statistiqueDans e paragraphe, on onsidère les problèmes de test d'hétéros édasti ité, d'es-timation des paramètres et de prévision de la volatilité dans le as d'un pro essus detype ARCH.4.4.1 TestsAvant de her her à ajuster un pro essus de type ARCH sur une série hrono-logique, il est important de déte ter la présen e d'hétéros édasti ité dans la série.Contrairement à une omposante longue mémoire, une omposante hétéros édastiquedans une série est di� ilement déte table à l'aide de l'ACF ou de la densité spe -trale. Une première idée onsiste à s'intéresser aux moments d'ordre supérieur, en

CHAPITRE 4. PROCESSUS GARCH 69parti ulier au kurtosis. Un kurtosis supérieur à zéro peut être un indi ateur d'hété-ros édasti ité. On rappelle que l'instru tion statisti s permet de tester la nullitédu kurtosis. Une se onde idée est de s'intéresser à la série élevée au arré. Commenous l'avons noté pré édemment, en présen e d'hétéros édasti ité, la série au arrépossède une ACF et une PACF pro hes de elles d'un pro essus ARMA. Les tests lassiques sur l'ACF et la PACF, identiques à eux menés dans le as d'un pro essusARMA, permettent alors de se faire une idée sur la présen e d'hétéros édasti ité. Demanière plus formelle, il existe des tests statistiques permettant de tester l'hypothèsenulle d'homos édasti ité ontre l'hypothèse d'hétéros édasti ité. En parti ulier, on itera le test BDS, proposé par Bro k, De hert et S heinkman, et le test du multi-pli ateur de Lagrange, proposé par Engle (1982).La pro édure �bds, programmée par Hideaki Ishigami, permet de al uler la statis-tique BDS et d'e�e tuer le test, sa hant que sous l'hypothèse nulle, la statistiqueBDS suit asymptotiquement une loi Normale. On se référe à Bro k, Hsieh et Leba-ron (1993) pour d'autres détails sur ette statistique. La ommande suivante permetd'e�e tuer le test BDS sur la série simulée xar h :�bds xar h 2001 3000La probabilité ritique renvoyée par la valeur signif étant inférieure à 0.05, on re-jette alors au risque � = 0:05, l'hypothèse nulle d'homos édasti ité.Le test du multipli ateur de Lagrange est intéressant en pratique, ar il peut se mettreen pla e fa ilement. Ce test permet de tester l'hypothèse nulle d'homos édasti ité ontre l'hypothèse alternative d'une omposante ARCH dans la série d'étude, notée(Yt)t. On se référe, par exemple, à Guégan (1994) pour un des riptif pré is du test.Dans la pratique, on utilise le fait que la statistique du multipli ateur de Lagrange,notée FL, est asymptotiquement égale à :FL � TR2; (4.38)où R2 est le oe� ient de détermination issu de la régression linéaire ave onstantede Y 2t sur Y 2t�1; : : : ; Y 2t�p et T est le nombre d'observations utilisées dans la régres-sion. Sous l'hypothèse nulle, la statistique FL suit une loi du Chi-deux à p degrés deliberté. On remarque que si la valeur de FL est élevée, ela signi�e que le oe� ientde détermination R2 est grand, e qui signi�e que le pouvoir expli atif des variablesexogènes dans l'équation de régression de Y 2t sur Y 2t�1; : : : ; Y 2t�p est élevé. Dans e as, on a tendan e à rejeter l'hypothèse nulle d'homos édasti ité. Dans la pratique,il est onseillé de faire varier le nombre p de variables expli atives.Les ommandes suivantes permettent d'e�e tuer un test du multipli ateur de La-grange sur la série simulée xar h, dans lequel on suppose que sous l'hypothèse alter-native, la série d'étude (Yt)t est issue d'un pro essus ARCH(1).linreg xar h2 2001 3000# onstant xar h2{1} om TR2 = %nobs*%rsquared

CHAPITRE 4. PROCESSUS GARCH 70 df hisqr TR2 1De même que dans le test BDS, la probabilité ritique étant inférieure à 0.05, onrejette alors au risque � = 0:05, l'hypothèse nulle d'homos édasti ité.4.4.2 Estimation des paramètresL'estimation des paramètres d'un pro essus de type GARCH, se fait généra-lement à l'aide de la méthode de pseudo-maximum de vraisemblan e, basée surl'expression de la log-vraisemblan e onditionnelle. Cette méthode est identique à elle utilisée dans le as d'un pro essus ARMA (voir Chapitre 2). Par exemple,dans le as d'un pro essus GARCH(p; q), on her he à estimer le paramètre � =(a0; a1; : : : ; ap; b1; : : : ; bq). En supposant que le pro essus (Yt)t2Z est un pro essusGaussien, la log-vraisemblan e du pro essus, basée sur une traje toire de longueurT , est dé�nie par :L(�) = �T � p2 log(2�) � 12 TXt=p+1[log(ht) + Y 2tht ℄: (4.39)Les p valeurs initiales de la varian e onditionelle : hp; hp�1; : : : ; hpq+1, sont priseségales à la varian e non onditionnelle de l'é hantillon. Les paramètres sont exprimésdans la log-vraisemblan e L(�), à l'aide de la varian e onditionnelle ht. L'estimateurde pseudo-maximum de vraisemblan e (PMV), noté �PMV , est le paramètre quimaximise la log-vraisemblan e, i.e. :�PMV = Argmax� L(�) (4.40)Les di�érents pro essus de type ARCH peuvent être estimés à l'aide de ette mé-thode. Il su�t en e�et de plonger la varian e onditonnelle ht adéquate du pro essusdans l'expression de la log-vraisemblan e L(�). Dans le as d'un pro essus ARMA-GARCH, l'estimation des paramètres peut se faire en deux temps. Dans un premiertemps, on estime un pro essus ARMA sur la série d'origine et on ré upére les résidus.Dans un se ond temps, on ajuste un pro essus de type ARCH sur les résidus.L'estimation des paramètres d'un pro essus par pseudo-maximum de vraisemblan eest en général une méthode e� a e d'estimation, mais il s'agit d'une méthode ontrai-gnante, ar elle né essite une hypothèse forte, à savoir la loi de distribution du pro es-sus. L'hypothèse lassique est de hoisir une loi Gaussienne. Cependant, omme nousl'avons vu dans le paragraphe pré édent, dans le as d'un pro essus de type ARCH, ette hypothèse peut être réfutée. A�n de prendre en ompte le poids important desqueues de distribution, ertains auteurs ont proposé d'utiliser la méthode d'estima-tion par pseudo-maximum de vraisemblan e en supposant que la loi de distributiondu pro essus est une loi de Student (Hsieh (1989)), une loi exponentielle (Baillie etBollerslev (1989)) ou une loi de type GED (Generalized Error Distribution).

CHAPITRE 4. PROCESSUS GARCH 71Pour estimer les paramètres d'un pro essus de type ARCH, le logi iel RATS possèdeune pro édure puissante, é rite par Norman Morin, dont la version la plus ré ente(version 6) date du mois de septembre 1999. Cette pro édure, nommée �gar h estdisponible sur le site Internet de la so iété Estima. Cette pro édure s'utilise de lamanière suivante :�gar h(options) série début �n résidus var ondoù résidus est la série des résidus normalisés estimés et var ond est la série de lavarian e onditionnelle estimée. Cette pro édure permet d'estimer au hoix les para-mètres d'un pro essus ARCH, GARCH, IGARCH et EGARCH, à l'aide de l'optionmod= (par défaut mod=gar h). Parmi les options importantes, les options ar= et ma=permettent de hoisir les ordres d'un éventuel pro essus ARMA sur la moyenne ondi-tionnelle, les options P= et Q= permettent de hoisir respe tivement les ordres q et pdu pro essus GARCH sur la varian e onditionnelle et l'option dist= permet de hoi-sir la loi de distribution du pro essus (par défaut dist=normal). Les autres hoix del'option dist= sont dist=tdist, pour une loi de Student, et dist=ged, pour une loide type GED. De plus, l'option aim (par défaut noaim) permet d'estimer un modèleARCH-M, l'option term= permettant de �xer la fon tion g dans l'équation (4.18)(par défaut g est l'identité : term=none). De plus, la pro édure �gar h permet d'in- lure des variables exogènes dans l'expression de la moyenne onditionnelle (optionexog, par défaut noexog) et dans l'expression de la varian e onditionnelle (optionvexog, par défaut novexog). L'option par défaut det= onstant estime une onstantedans l'expression de la moyenne onditionnelle du pro essus. A�n de ne pas prendreen ompte ette onstante, par exemple dans le as d'un pro essus entré, il su�t despé i�er det=none. La pro édure renvoie en output le ve teur des paramètres estimés(% oeffs) et de nombreux tests, en parti ulier le test d'homos édasti ité des sur lesrésidus normalisés. L'option graph renvoie le graphe de la varian e onditionnelleestimée. L'option par défaut intera tive permet de faire les hoix des di�érentesoptions de manière intera tive, à l'aide d'un menu.Square Root of Estimated Conditional Variance

2200 2400 2600 2800 30000.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

4.5

Fig. 4.4 � Estimation de la varian e onditionnelle de la série xar h.

CHAPITRE 4. PROCESSUS GARCH 72

2250 2500 2750 3000-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

Fig. 4.5 � Estimation des résidus normalisés, issus de la modélisation de la sériexar h par un pro essus ARCH(1).Par exemple, dans le as de la série simulée xar h, l'estimation des paramètres dupro essus ARCH(1), se fait de la manière suivante :�gar h(nointera tive,mod=ar h,det=none,Q=1,P=0) $xar h 2001 3000 resids vvLe pro essus estimé est alors donné par l'équation suivante, où (Yt)t représente lasérie xar h, : Yt = (0:1050 + 0:8195Y 2t�1)0:5"t:La varian e onditionnelle estimée est présentée sur la Figure 4.4 et les résidus nor-malisés sont présentés sur la Figure 4.5. Les test e�e tués par la pro édure �gar hsur les résidus normalisés permettent de on lure que l'hypothèse de blan heur desrésidus est validée (test de Ljung-Box) et que l'hypothèse de Gaussianité des résidusnormalisés est validée (test de Jarque-Bera).4.4.3 Prévision de la volatilitéLe pro essus de type ARCH étant spé i�é et estimé, on peut alors l'utiliser poure�e tuer des prévisions de volatilité. Il est intéressant de noter que l'intérêt d'unpro essus de type ARCH dans une optique prévisionnelle se situe au niveau de laprévision de la varian e onditionnelle. En e�et, e type de pro essus propose unemodélisation de la varian e onditionnelle, mais la moyenne onditionnelle d'un telpro essus est nulle. C'est la raison pour laquelle, en pratique, on utilise souventdes pro essus de type ARMA-GARCH. La partie ARMA permet de modéliser lamoyenne onditionnelle, et la partie GARCH permet de modéliser la moyenne ondi-tionnelle. Ainsi, dans une optique prévisionnelle un modèle ARMA-GARCH et unmodèle ARMA vont fournir le même prédi teur, la di�éren e entre les deux modèlesse fait au niveau de l'intervalle de on�an e de e prédi teur. Pour la prédi tion ave un pro essus de type GARCH, on se référe prin ipalement à l'arti le de Baillie et

CHAPITRE 4. PROCESSUS GARCH 73Bollerslev (1992).Le prédi teur de la varian e onditionnelle au pas 1 d'un pro essus GARCH(p; q),dé�ni par la dé�nition 4.2, est don obtenu par :E(ht+1jFt) = a0 + a1Y 2t + : : :+ apY 2t�p+1 + b1ht + : : :+ bqht�q+1: (4.41)Par exemple, dans le as d'un pro essus GARCH(1,1) stationnaire, (i.e. : a1+b1 < 1),le prédi teur optimal de ht+1 est donné par :E(ht+1jFt) = a0 + a1Y 2t + b1ht; (4.42)et le prédi teur optimal de ht+k, pour k � 2, est donné par l'équation suivante (voirEngle et Bollerslev (1986)) :E(ht+kjFt) = �2 + (a1 + b1)k�1(ht+1 � �2); (4.43)où �2 est la varian e non onditionnelle, telle que : �2 = a0(1� a1 � b1)�1.D'après l'équation pré édente, lorsque l'horizon k tend vers l'in�ni, on observe que lavarian e onditionnelle E(ht+kjFt) onverge alors vers la varian e non onditionnelle�2.La pro édure �gar h ne permet pas d'obtenir dire tement les prévisions de la va-rian e onditionnelle. Cependant, es prévisions se al ulent fa ilement, en utilisantl'expression de la varian e onditionnelle ht adéquate, et en e�e tuant des al ulsré ursifs. Par exemple, dans le as de la série simulée xar h2, les ommandes sui-vantes permettent d'e�e tuer des prévisions de volatilité sur un horizon k = 20, àpartir d'un pro essus ARCH(1).equation( onstant,ar=input) eq1 xar h2 1# 1asso iate eq1# 0.1050 0.8195fore ast 1 20 3001# eq1 prevxar h2

CHAPITRE 4. PROCESSUS GARCH 744.5 Un exemple d'appli ationOn se propose d'étudier la série des rendements du ours journalier de loture del'a tion Mi rosoft, otée à la bourse de New York, du 13 mars 1986 au 20 dé embre1999. On note (Xt)t la série brute, pour t = 1; : : : ; 3482, et on note (Rt)t la sériedes rendements, pour t = 2; : : : ; 3482. Les deux séries sont représentées sur la �gure4.6. On observe la similarité entre la traje toire des rendements et la traje toire d'unpro essus ARCH(1) simulé présenté sur la �gure 4.1.L'ACF et la PACF de la série des rendements sont présentées sur la �gure 4.7 et sont al ulées à l'aide des ommandes suivantes : orr(qstats,number=100,span=5,partial=retpa f) ret 2 3482 reta fspgraph(vfields=2)graph(style=bar,header='ACF',max=0.3)# reta f 2 100graph(style=bar,header='PACF',max=0.3)# retpa f 2 100spgraph(done)On observe une orrélation supérieure en valeur absolue à 0.05 pour les deux pre-miers retards uniquement et le test de Ljung-Box déte te la présen e d'auto orré-Microsoft Stock Price

500 1000 1500 2000 2500 30000

20

40

60

80

100

120

Microsoft Returns

500 1000 1500 2000 2500 3000-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

-0.0

0.1

0.2

Fig. 4.6 � Traje toires de la série du ours journalier de l'a tion Mi rosoft et de lasérie des rendements, du 13 mars 1986 au 20 dé embre 1999.

CHAPITRE 4. PROCESSUS GARCH 75ACF

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-0.10

-0.05

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

PACF

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-0.10

-0.05

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

Fig. 4.7 � ACF et PACF empiriques de la série des rendements (Rt)t.lation. On hoisit don de blan hir la série à l'aide d'un pro essus autorégressif,d'ordre peu élevé. Notons que e type de pro essus est souvent utilisé dans la lit-térature statistique pour blan hir une série dans laquelle on soupçonne la présen ed'hétéros édasti ité onditionnelle. Le pro essus retenu pour modéliser la moyenne onditionnelle est don un pro essus AR(2). L'ajustement de la série au pro essusAR(2) se fait de la manière suivante :box(ar=2, onstant) ret 4 3482 resretOn obtient ainsi le pro essus suivant :(I � 0:0550B + 0:0755B2)Rt = 0:0018 +Nt (4.44)On ré upére alors la série (Nt)t, pour t = 4; : : : ; 3482, sur laquelle on va tester laprésen e d'hétéros édasti ité onditionnelle. Dans un premier temps, on al ule lesmoments de la série (Nt)t et on tra e sa distribution empirique, à l'aide des om-mandes suivantes :sta resret�kernel(kernel=gaussian,ngraph,style=line,gridsize=128) $resret 4 3482 xresret yresretOn onstate ainsi une forte kurtosis et un skewness statistiquement di�érent de zéro.Le graphe de la distribution empirique (voir �gure 4.8) souligne les queues de distri-

CHAPITRE 4. PROCESSUS GARCH 76Normalized Estimated Unconditional Distribution of RESRET

-15 -10 -5 0 5 10

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Fig. 4.8 � Distribution empirique de la série (Nt)t.bution épaisses. Ce i est un trait ara téristique d'un pro essus de type ARCH. Dansun deuxième temps, on éléve la série (Nt)t au arré et on observe l'ACF et la PACFde ette série notée (N2t )t. La �gure 4.9 présente l'ACF et la PACF empiriques desséries (Nt)t et (N2t )t, obtenues à l'aide des ommandes suivantes : orr(qstats,number=100,span=5,partial=resretpa f) $resret 4 3482 resreta fset resret2 = resret**2 orr(qstats,number=100,span=5,partial=resret2pa f) $resret2 4 3482 resret2a fspgraph(vfields=2,hfields=2)graph(style=bar,header='ACF N(t)',max=0.3)# resreta f 2 100graph(style=bar,header='ACF N2(t)',max=0.3)# resret2a f 2 100graph(style=bar,header='PACF N(t)',max=0.3)# resretpa f 2 100graph(style=bar,header='PACF N2(t)',max=0.3)# resret2pa f 2 100spgraph(done)On observe ainsi sur la �gure 4.9 la forte orrélation et la forte orrélation partielleprésente dans la série élevée au arré, (N2t )t. Notons que la �gure 4.9 ressemble forte-ment à la �gure 4.2 obtenue à partir de la série simulée issue d'un pro essus ARCH(1).Dans un troisième temps, nous allons tester de manière formelle la présen e d'hé-téros édasti ité onditionnelle dans la série à l'aide du test du multipli ateur deLagrange. On met en pla e e test à l'aide des ommandes suivantes :linreg resret2 4 3482# onstant resret2{1}

CHAPITRE 4. PROCESSUS GARCH 77ACF N(t)

25 50 75 100-0.08

0.00

0.08

0.16

0.24

0.32

ACF N†(t)

25 50 75 100-0.040

0.000

0.040

0.080

0.120

0.160

0.200

0.240

0.280

0.320

PACF N(t)

25 50 75 100-0.08

0.00

0.08

0.16

0.24

0.32

PACF N†(t)

25 50 75 100-0.05

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

Fig. 4.9 � ACF et PACF empiriques de la série (Nt)t et de la série (N2t )t. om TR2 = %nobs*%rsquared df hisqr TR2 1La probabilité ritique renvoyée étant inférieure à 0.05, on rejette don l'hypothèsenulle d'homos édasti ité au risque � = 0:05.La présen e d'hétéros édasti ité onditionnelle dans la série (Nt)t étant avérée, ondé ide alors d'ajuster un pro essus de type ARMA-GARCH sur la série (Rt)t. Lamoyenne onditionnelle étant modélisée par un pro essus AR(2), on dé ide alorsd'ajuster un pro essus GARCH(1,1) sur la série (Nt)t. Notons que la déterminationdes ordres d'un pro essus GARCH est assez subje tive et es ordres sont généralem-ment hoisis inférieurs ou égaux à 1. Dans la pratique, le pro essus utilisé est souventun ARCH(1) ou un GARCH(1,1). L'estimation des paramètres est alors faite de lamanière suivante :�gar h(nointera tive,mod=gar h,Q=1,P=1,det= onstant,ar=2, $iters=300) ret 4 3482 resids vvOn obtient ainsi le modèle suivant pour la série des rendements (Rt)t :(I � 0:0603B + 0:0500B2)Rt = 0:0021 +Nt; (4.45)ave Nt =pht"t; (4.46)

CHAPITRE 4. PROCESSUS GARCH 78Square Root of Estimated Conditional Variance

500 1000 1500 2000 2500 30000.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

0.14

Fig. 4.10 � Estimation de la varian e onditionnelle de la série (Rt)t.où : ht = 0:0001 + 0:1298N2t�1 + 0:7737ht�1: (4.47)La varian e onditionnelle de la série (Rt)t est présentée sur la �gure 4.10 et les rési-dus normalisés sont présentés sur la �gure 4.11. Les tests renvoyés par la pro édure�gar h permettent de on lure à l'absen e de orrélation et à l'homos édasti ité desrésidus normalisés. Cependant, on observe que le Kurtosis est en ore élevé et que leSkewness est statistiquement di�érent de zéro. De plus, le test de Jarque-Bera rejettel'hypothèse de Normalité des résidus et on observe que la distribution empirique desrésidus présente des queues de distribution lourdes et une légère dissymétrie à gau he(voir �gure 4.12). Pour remédier à e problème, on pourrait, par exemple, utiliserune loi de Student ou une loi de type GED pour la distribution du pro essus.Les prévisions hors-é hantillon de la varian e onditionnelle, pour un horizon h = 18,sont obtenues à l'aide des ommandes suivantes : om a0hat = % oeffs(4) om a1hat = % oeffs(5) om b1hat = % oeffs(6)set ondvar 3482 3482 = vvset ondvar 3483 3500 = a0hat+(a1hat+b1hat)* ondvar{1}On peut alors maintenant onstruire un intervalle de on�an e pour les prévisionsde la moyenne onditionnelle, issues du pro essus AR(2), à l'aide des prévisions surla varian e onditionnelle. Cet intervalle de on�an e tiendra ompte de la volatilitéde la série étudiée.

CHAPITRE 4. PROCESSUS GARCH 79

500 1000 1500 2000 2500 3000-10.0

-7.5

-5.0

-2.5

0.0

2.5

5.0

Fig. 4.11 � Estimation des résidus normalisés issus de la modélisation de la série(Rt)t par un pro essus AR(2)-GARCH(1,1).Normalized Estimated Unconditional Distribution of RESIDS

-10.0 -7.5 -5.0 -2.5 0.0 2.5 5.0

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40

0.45

Fig. 4.12 � Densité de distribution empirique des résidus normalisés issus de lamodélisation de la série (Rt)t par un pro essus AR(2)-GARCH(1,1).

Bibliographie� Adenstedt, R.K. (1974), "On large sample estimation for the mean of a stationary randomsequen e", Annals of Mathemati al Statisti s, 2, 1095-1107.� Akaike, H. (1977), "On entropy maximisation prin iple", in Appli ations of Statisti s, EditionKrisnaiah, 27-41, North-Holland.� Ansley, C.F. (1979), "An algorithm for the exa t likelihood of a mixed autoregressive-movingaverage pro ess", Biometrika, 66, 59-65.� Avouyi-Dovi, S., Guégan, D., Ladou ette, S. (2001), "Appli ation des pro essus longue mé-moire à l'analyse des indi es boursiers", NR GRID 01-12, E ole Normale Supérieure deCa han, Fran e.� Barkoulas, J.T. and Baum, C.F. (1997), "Fra tional di�eren ing modeling and fore asting ofeuro urren y", Journal of Finan ial Resear h, 20, 355-372.� Baillie, R.T. (1996), "Long memory pro esses and fra tional integration in e onometri s",Journal of E onometri s, 73, 5-59.� Baillie, R.T. and Bollerslev T. (1989), "The message in daily ex hange rates : a onditionalvarian e tale", Journal of Business and E onomi s Statisti s, 7, 297-305.� Baillie, R.T. and Bollerslev T. (1992), "Predi tion in dynami s models with time-dependent onditional varian es", Journal of E onometri s, 52, 91-113.� Baillie, R.T., Chung, C.-F. and Tieslau, M.A. (1996), "Analysing in�ation by the fra tionallyintegrated ARFIMA-GARCH model", Journal of Applied E onometri s, 11, 23-40.� Baillie, R.T., Bollerslev, T. and Mikkelsen, H.-O. (1996), "Fra tionally integrated generalizedautoregressive onditional heteroskesdasti ity", Journal of E onometri s, 73, 3-30.� Be ker, R.A., Chambers, J.M. and Wilks, A.R. (1988), The New S Language : A programmingEnvironment for Data Analysis and Graphi s, Chapman and Hall, New York (an iennementWadsworth and Brooks/Cole).� Beine, M., Bénassy-Quéré, A., and Le ourt, C. (1999), "Central Bank intervention and foreignex hange rates : New eviden e from FIGARCH estimations", CEPII Working Paper no 9914.� Beran, J. (1994), Statisti s for Long-Memory Pro esses, Chapman and Hall, London.� Beran, J. and O ker, D. (1999), "SEMIFAR fore asts, with appli ations to foreign ex hangesrates" , Journal of Statisti al Planning and Inferen e, 80, 137-153.� Bisaglia, L. (1998), Pro essi a memoria lunga : problemi di stima, identi� azione e previsione,Dottora di Ri er a in Statisti a, Ci lo X, Universita degli Studi di Padova.� Bisaglia, L. and Guégan, D. (1998), "A omparison of te hniques of estimation in long-memory pro esses : appli ation to intra-day data", Computationnal Statisti s and Data Ana-lysis, 27, 61-81.� Bollerslev, T. (1986), "Generalized autoregressive onditional heteros edasti ity", Journal ofE onometri s, 31, 307-327.� Bollerslev, T. (1987), "A onditionally heteros edasti time series model for spe ulative pri esand rates return", Review of E onomi s and Statisti s, 69, 542-547.� Bollerslev, T. (1990), "Modeling the oheren e in short-run nominal ex hanges rates : Amultivariate generalized ARCH model", Review of E onomi s and Statisti s, 72, 498-505.� Bollerslev, T., Chou, R. and Kroner, K. (1992), "ARCH modeling in �nan e : A review ofthe theory and empiri al eviden e", Journal of E onometri s, 52, 5-59.� Bollerslev, T. and Ghysels, E. (1996), "On periodi autoregression onditional heteroskedas-ti ity", Journal of Business and E onomi Statisti s, 14, 139-152.� Bowman, A.W. and Azzalini, A. (1997), Applied smoothing Te hniques for Data Analysis :the Kernel Approa h with S-Plus Illustrations, Claredon Press.� Box, G.E and Pier e, D. (1970), "Distribution of residual auto orrelation in autoregressive80

CHAPITRE 4. PROCESSUS GARCH 81integrated moving average time series models", Journal of the Ameri an Statisti al Asso ia-tion, 65, 1509-1529.� Box, G.E.P. and Jenkins, G.M. (1976), Time Series Analysis : Fore asting and Control., 2ndedition, Holden-Day, San Fran is o.� Box, G.E.P. and Tiao, G.C. (1975), "Intervention analysis with appli ations to e onomi andenvironmental problems", Journal of the Ameri an Statisti al Asso iation, 70, 70-79.� Bro k, W.A., Hsieh, D.A. and Lebaron, B. (1993), Nonlinear Dynami s, Chaos and Instabi-lity, MIT Press.� Bro kwell, P.J. and Davis, R.A. (1987), Time Series : Theory and Methods, Springer-Verlag,New York.� Burg, J.P. (1967), "Maximum entropy spe tral analysis", paper presented at the 37th AnnualInternational SEG Meeting, Oklahoma City, Oklahoma.� Chambers, J.M. and Hastie, T.J. (1992), Statisti al Models in S, Chapman and Hall, NewYork (an iennement Wadsworth and Brooks/Cole).� Chauveau, T., Damon, J. et Guégan, D. (1999), "Testing for non linearity in intra-day �nan- ial series : the ases of two fren h sto ks", Do . de Travail 1999-06/FI, Caisse des Dép�tset Consignations, Paris.� Cheung, Y.W. (1993), "Long memory in foreign-ex hanges rates", Journal of Business andE onomi Statisti s, 11, 93-101.� Cheung, Y.W. and Lai, K.S. (1993), "A fra tional ointegration analysis of pur hasing powerparity", Journal of Business and E onomi Statisti s, 11, 103-112.� Cheung, Y.W. and Lai, K. (1995), "A sear h of long memory in international sto k marketreturns", Journal of International Money and Finan e, 14, 597-615.� Chow, K.V., Denning, K.C., Ferris, S. and Noronha, G. (1995), "Long-term and short-termpri e memory in the sto k market", E onomi s Letters, 49, 287-293.� Cleveland, R.B, Cleveland, W.S., M Rae, J.E. and Terpening, I. (1990), "STL : a seasonal-trend de omposition pro edure based on loess", Journal of O� ial Statisti s, 6, 3-73.� Collet, J. et Guégan, D. (2002), "Fore asting with non Gaussian long memory pro esses",NR GRID 02-02, E ole Normale Supérieure de Ca han, Fran e.� Crato, N. and de Lima, P.J.F. (1994), "Long-range dependen e in the onditional varian eof sto ks returns", E onomi s Letters, 45, 281-285.� Dahlhaus, R. (1989), "E� ient parameter estimation for self-similar pro esses", Annals ofStatisti s, 17, 1749-1766.� Davies, R.B. and Harte, D.S. (1987), "Tests for Hurst e�e t", Biometrika, 74, 95-101.� Delgado, M.A. and Robinson, P.M. (1994), "New methods for the analysis of long-memorytime series : appli ation to spanish in�ation", Journal of Fore asting, 13, 97-107.� Dennis, J.E., Gay, D.M. and Welsh, R.E. (1980), "An adaptative nonlinear least-squaresalgorithm", ACM Transa tion Mathemati al Software, 7, 348-383.� Di key, D.A. and Fuller, W.A. (1979), "Distribution of the estimators for autoregressive timeseries with a unit root", Journal of the Ameri an Statisti al Asso iation, 74, 427-431.� Di key, D.A. and Fuller, W.A. (1981), "Likelihood ratio statisti s for autoregressive timeseries with a unit root" E onometri a, 49, 1057-1072.� Diebold, F.X. and Rudebus h, G.D. (1989), "Long memory and persisten e in aggregateoutput", Journal of Monetary E onomi s, 24, 189-209.� Diebolt, J. et Guégan, D. (1991), "Le modèle de séries hronologiques �-ARCH", CRAS,Série I, 312, 625-630.� Diebolt, J. and Guégan, D. (1993), "Tail beahaviour of the stationary density of general nonlinear autoregressive pro esses of order 1", Journal of Applied Probability, 30, 315-329.� Ding, Z., Granger, C.W.J. and Engle, R.F. (1993), "A long memory property of sto k marketand a new model", Journal of Empiri al Finan e, 1, 83-106.� Enders, W. (1995), Applied E onometri Time Series, Wiley, New York.� Engle, R.F. (1982), "Autoregressive onditional heteros edasti ity with estimates of the va-rian e of the United Kingdom in�ation", E onometri a, 50, 987-1007.� Engle, R.F. (2002), Dynami onditional orrelation - A simple lass of multivariate GARCHmodels, Journal of Business And E onomi Statisti s, 20, 3, 339-350.� Engle, R.F. (2004), Risk and volatility : E onometri models and �nan ial pra ti e, Ameri anE onomi Review, 94, 3, 405-420.� Engle, R.F. and Bollerslev, T. (1986), "Modelling the persisten e of onditional varian es",E onometri Review, 5, 1-50.

CHAPITRE 4. PROCESSUS GARCH 82� Engle, R.F, Lilien, D.F. and Robins, R.P. (1987), "Estimating time varying risk premia inthe term stru ture. The ARCH-M model", E onomi a, 55, 391-407.� Everitt, B. (1994), A Handbook of Statisti al Analyses Using S-Plus, Chapman and Hall,London.� Ferrara, L. (2000), Pro essus Longue Mémoire Généralisés : Estimation, Prévision et Appli- ations, Thèse de Do torat, Université Paris 13.� Ferrara, L. et Guégan, D. (2000a), "Analyse d'intervention et prévisions : Problématique etappli ations à des données de la RATP", Revue de Statistiques Appliquées, 2, 55-72.� Ferrara, L. and Guégan, D. (2000b), "Fore asting �nan ial time series with generalized longmemory pro esses", in Advan es in Quantitative Asset Management, 319-342, C. Dunis [ed.℄,Kluwer A ademi Publishers.� Ferrara, L. and Guégan, D. (2001a), "Comparison of parameter estimation methods in y li allong memory time series", in Developments in Fore ast Combination and Portfolio Choi e,183-199, A. Timmermann, C.L. Dunis and J. Moody [eds.℄, Wiley, New York.� Ferrara, L. and Guégan, D. (2001b), "Fore asting with k-fa tor Gegenbauer pro esses :Theory and appli ations", Journal of Fore asting, 20, 581-601.� Ferrara, L. et Guégan, D. (2002), Analyser les Séries Chronologiques ave S-Plus : UneAppro he Paramétrique, Presses Universitaire de Rennes, 147 pages.� Fox, R. and Taqqu, M.S. (1986), "Large-sample properties of parameter estimates for stronglydependent stationary Gaussian time series", Annals of Statisti s, 14, 517-532.� Franses, P.H. and Ooms, M. (1997), "A periodi long memory model for quarterly UK in�a-tion", International Journal of Fore asting, 13, 117-126.� Fuller, W.A. (1976), Introdu tion to Statisti al Time Series, Wiley, New York.� Guay, A. and P. Saint-Amand, 1997, "`Do the Hodri k-pre ott and Baxter-King �lters providea good appro imation of business y les ?"', Working paper N. 53, CREFE.� Geweke, J. and Porter-Hudak, S. (1983), "The estimation and appli ation of long-memorytime series models", Journal of Time Series Analysis, 4, 221-238.� Glosten, L., Jagannathan, R. and Runkle, D. (1993), On the relation between expe ted valueand the volatility of the nominal ex ess return on sto ks, Journal of Finan e, 48, 1779-1801.� Giraitis, L. and Surgailis, D. (1990), "A entral limit theorem for quadrati s forms in stronglydependent linear variables and appli ation to asymptoti al normality of Whittle's estimate",Probability Theory and Related Fields, 86, 87-104.� Giraitis, L., Robinson, P. and Surgailis, D. (1998), "Varian e-type estimation of long me-mory", Working paper, London S hool of E onomi s.� Granger, C.W.J. and Joyeux, R. (1980), "An introdu tion to long-memory time series modelsand fra tional di�eren ing", Journal of Time Series Analysis, 1, 15-29.� Granger, C.W.J. and Terasvirta, T. (1993), Modelling Nonlinear E onomi Relationships,Oxford University Press, Oxford.� Gray, H.L., Zhang, N.-F. and Woodward, W.A. (1989), "On generalized fra tional pro esses",Journal of Time Series Analysis, 10, 233-257.� Guégan, D. (1994), Séries Chronologique Non Linéaires à Temps Dis ret, E onomi a, Paris.� Guégan, D. (1999), "Note on long memory pro esses with y li al behavior and heteros edas-ti ity", Do ument de Travail 99.08, Département de Mathématiques, Université de Reims.� Guégan, D. (2000), "A new model : The k-fa tor GIGARCH pro ess", Journal of SignalPro essing, 4, 265-271.� Guégan, D. (2001), "A prospe tive study of the k-fa tor Gegenbauer pro esses with hete-ros edasti errors and an appli ation to in�ation rate", NR GRID 01-13, E ole NormaleSupérieure de Ca han, Fran e.� Guégan D. et Diebolt, J. (1994), "Probabilisti properties of the �-ARCH model", Statisti aSini a, 4, 71-87.� Haerdle, W. (1991), Smoothing Te hniques with Implementation in S, Springer-Verlag, NewYork.� Hamilton, J.D. (1989), "A new approa h to the e onomi analysis of nonstationary timeseries subje t to hanges in regime", E onometri a, 57, 357-384.� Hamilton, J.D. (1994), Time Series Analysis, Prin eton University Press.� Harvey, A.C. (1981), Time Series Models, Wiley, New York.� Hassler, U. and Wolters, J. (1995), "Long memory in in�ation rates : international eviden e",Journal of Business and E onomi Statisti s, 13, 37-46.� Hasslet, J. and Raftery, A.E (1989), "Spa e time modeling with long memory dependen e :

CHAPITRE 4. PROCESSUS GARCH 83assessing Ireland's wind power ressour e", Applied Statisti s, 38, 1-50.� Hauser, M.A. and Res henhofer, E. (1995), "Estimation of the fra tionally di�eren ing pa-rameter with the R/S method", Computational Statisti s and Data Analysis, 20, 569-579.� Hosking, J.R.M. (1981), "Fra tional di�eren ing", Biometrika, 68, 165-176.� Hosking, J.R.M. (1984), "Modeling persisten e in hydrologi al time series using fra tionaldi�eren ing", Water Resour es Resear h, 20, 1898-1908.� Hosking, J.R.M. (1996), "Asymptoti distribution of the sample mean, auto ovarian es, andauto orrelations of long-memory time series", Journal of E onometri s, 73, 261-284.� Hurst, H.E. (1951), "Long-term storage apa ity of reservoirs", Transa tions of the Ameri anSo iety of Civils Engineers, 116, 770-799.� Hurvi h, C.M. and Beltrao, K.I (1993), "Asymptoti s for the low-frequen ies ordinates of theperiodogram of a long-memory time series", Journal of Time Series Analysis, 14, 455-472.� Hurvi h, C.M. and Beltrao, K.I (1994), "Automati semiparametri estimation of the memoryparameter of a long-memory time series", Journal of Time Series Analysis, 15, 285-302.� Hurvi h, C.M., Deo, R., and Brodsky, J. (1998), "The mean-squared error of Geweke andPorter-Hudak's estimates of the memory parameter of a long memory time series", Jornal ofTime Series Analysis, 19, 19-46.� Hurvi h, C.M. and Deo, R. (1999), "Plug-in sele tion of the number of frequen ies in regres-sion estimates of the memory parameter of a long-memory time series ", Journal of TimeSeries Analysis, 20, 331-341.� Jarque, C. and Bera, A. (1987), A test for Normality of observations and regression residuals,International Statisti al Review, 55, 163-172.� Krause, A. and Olson, M. (2000), The Basi s of S and S-Plus, Se ond Edition, Springer-Verlag, New York.� Lam, L. (2001), An Introdu tion to S-Plus for Windows, Se ond Edition, Candiensten, Am-sterdam.� Laroque, G. (1977), "Analyse d'une méthode de désaisonnalisation : le programme X11,version trimestrielle", Annales de l'INSEE, 28, 105-126.� Ljung, G. and Box, G. (1978), "On a measure of la k of �t in time series models", Biometrika,65, 297-303.� Lo, A.W. (1991), "Long term memory in sto k market pri es", E onometri a, 59, 1279-1313.� Mandelbrot, B.B. (1972), "A statisti al methodology for non-periodi y les : From the o-varian e to R/S analysis", Annals of E onomi and So ial Measurement, 1, 259-290.� Mandelbrot, B.B. (1975), "Limits theorems on the self-normaized range for weakly and stron-gly dependent pro esses", Zeits hrift fur Wahrs heinli hkeitstheorie und Vewandte Gebiete,31, 271-285.� Mandelbrot, B.B. and Wallis J.R. (1969), "Robustness of the res aled range R/S in themeasurement of non y li long-run statisti al dependen e", Water Resour es Resear h, 5,967-988.� Mandelbrot, B.B. and Taqqu, M.S. (1979), "Robust R/S analysis of long-run serial orrela-tion", Bulletin of the International Statisti al Institute, 48, 69-99.� Mathsoft (1996), S+GARCH User's Manual, Data Analysis Produ ts Division, Seattle, WA.� Mathsoft (1999), S-PLUS 2000 User's Guide, Data Analysis Produ ts Division, Seattle, WA.� Mathsoft (1999), S-PLUS 2000 Programmer's Guide, Data Analysis Produ ts Division, Seat-tle, WA.� Mathsoft (1999), S-PLUS 2000 Guide to Statisti s, Vol. 1 and Vol. 2, Data Analysis Produ tsDivision, Seattle, WA.� Nelson, D.B. (1990), "Stationary and persisten e in the GARCH(1,1) model", E onometri Theory, 6, 318-334.� Nelson, D.B. (1991), "Conditional heteroskedasti ity in asset returns : A new approa h",E onometri a, 59, 347-370.� Phillips, P.C.B. (1987), "Time series regression with a unit root", E onometri a, 55, 277-301.� Phillips, P.C.B. and Perron, P. (1988), "Testing for a unit root in time series regression",Biometrika, 75, 335-346.� Porter-Hudak, S. (1990), "An appli ation to the seasonal fra tionally di�eren ed model tothe monetary aggregates", Journal of the Ameri an Statisti al Asso iation, 85, 338-344.� Priestley, M.B. (1981), Spe tral Analysis of Time Series, A ademi Press, New York.� Ray, B.K. (1993a), "Modelling long-memory pro esses for optimal long-range predi tion",Journal of Time Series Analysis, 14, 511-526.

CHAPITRE 4. PROCESSUS GARCH 84� Ray, B.K. (1993b), "Long-range fore asting of IBM produ t revenues using a seasonal fra -tionally di�eren ed ARMA model", International Journal of Fore asting, 9, 255-269.� Robinson, P.M. (1994), "Semiparametri analysis of long memory time series", Annals ofStatisti s, 22, 515-539.� Robinson, P.M. (1995), "Log-periodogram regression of time series with long range depen-den e", Annals of Statisti s, 23, 1048-1072.� Shiskin, J., Young, A. and Musgrave, J. (1965), "The X11 variant of the Census method X11seasonal adjustment program", Te hni al paper 15, Bureau of Census.� Smith, J. (1993), "Long range dependen e and global warming", in Statisti s of the Environ-ment, 141-161, V. Barnett and K. Feridun Turkman eds., Wiley, New York.� Sowell, F. (1992), "Maximum likelihood estimation of stationary univariate fra tionally in-tegrated time series models", Journal of E onometri s, 53, 165-188.� Spe tor, P. (1994), An Introdu tion to S and S-Plus, Duxbury Press, Belmont, CA.� Sut li�e, A. (1994), "Time-series fore asting using fra tional di�eren ing", Journal of Fore- asting, 13, 383-393.� Taqqu, M.S. (1975), "Weak onvergen e to fra tional Brownian motion and to the Roseblattpro ess", Zeits hrift fur Wahrs heinli hkeitstheorie und Vewandte Gebiete, 31, 287-302.� Taqqu, M.S. (1977), "Law of the iterated logarithm for sums of non-linear fun tions of Gaus-sian variables that exhibit a long range dependen e", Zeits hrift fur Wahrs heinli hkeitstheo-rie und Vewandte Gebiete, 40, 203-238.� Taqqu, M.S., Teverovsky, V. and Willinger, W. (1995), "Estimators for long-range depen-den e : an empiri al study", Fra tals, 3, 785-798.� Tong, H. (1990), Non Linear Times Series : A Dynami al Systems Approa h, Oxford Uni-versity Press, Oxford.� Tsay, R.S. (1987), "Conditional heteroskedasti ity time series analysis", Journal of the Ame-ri an Statisti al Asso iation, 82, 590-604.� Tse, Y.K., (1998), "The onditional heteros edasti ity of the Yen-Dollar ex hange rates",Journal of Applied E onometri s, 13, 49-56.� Teverovsky, V. and Taqqu, M.S. (1997), "Testing for long-range dependen e in the presen eof shifting mean or a slowly de lining trend, using a varian e-type estimator", Journal ofTime Series Analysis, 18, 279-304.� Velas o, C. (1999), "Gaussian semiparametri estimation of non-stationary time series", Jour-nal of Time Series Analysis, 20, 87-127.� Venables, W.N. and Ripley, B.D. (1999), Modern Applied Statisti s with S-PLUS, ThirdEdition, Springer-Verlag, New York.� Venables, W.N. and Ripley, B.D. (2000), S Programming, Springer-Verlag, New York.� Wallis, K.F. (1974), "Seasonal adjustment and relations between variables", Journal of theAmeri an Statisti al Asso iation, 69, 18-32.� Weiss, A.A. (1984), "ARMA models with ARCH errors", Journal of Time Series Analysis,5, 129-143.� Willinger, W., Taqqu, M.S. and Teverovsky, V. (1999), "Sto k market pri es and long rangedependen e", Finan e and Sto hasti s, 3, 1-13.� Woodward, W.A., Cheng, Q.C. and Gray, H.L. (1998), "A k-fa tor GARMA long-memorymodel", Journal of Time Series Analysis, 19, 485-504.� Yajima, Y. (1985), "On estimation of long-memory time series models", Australian Journalof Statisti s, 27, 303-320.� Yajima, Y. (1989), "A entral limit theorem of Fourier transforms of strongly dependentstationary pro esses", Journal of Time Series Analysis, 10, 375-383.� Zakoian, J.M, (1990), "Threshold heteroskedasti models", Journal of E onomi Dynami sand Control, 18, 931-955.