master modélisation statistique m2 finance - chapitre 4 ...· master modélisation statistique m2

Master Modlisation Statistique M2Finance - chapitre 4

Mouvement Brownien et modle de Black-Scholes

Clment Dombry,Laboratoire de Mathmatiques de Besanon,

Universit de Franche-Comt.

C.Dombry (Universit de Franche-Comt) Finance - chapitre 1 Anne 2014-2015 1 / 23

Motivations et objectif du cours

Il sagit de modliser un march financier en temps continu. Le modleest plus raliste, car les cours des actions sont gnralement cots demanire continue : par exemple pour le CAC40.Le modle principal est le modle de Black-Scholes et se base sur lemouvement Brownien.Aprs avoir dfinit le mouvement Brownien, on tudiera quelquesproprits et on verra que le mouvement Brownien apparat comme limitede marches alatoires renormalises.Finalement, on introduira le modle de Black-Scholes comme limite dumodle de Cox-Ross-Rubinstein.On tablira la formule de Black-Scholes donnant le prix des optionseuropennes (call et put).

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Plan du cours

1 Le mouvement Brownien

2 Le modle de Black-Scholes comme limite du modleCox-Ross-Rubinstein

3 La formule de Black-Scholes pour le prix des options europennes

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Notion de processus stochastique

Un processus stochastique reprsente lvolution alatoire dune quantitdans le temps : la valeur Xt () reprsente la quantit au temps t pour laralisation .

DfinitionSoit (,F ,P) un espace probabilis.

On appelle processus stochastique X = (Xt )t0 une collection Xt devariables alatoires (i.e. pour tout t 0, 7 Xt () est mesurable).On dit que le processus X = (Xt )t0 est trajectoires continues si ilexiste un ensemble de probabilit nulle N tel que pour tout \ Nlapplication t 7 Xt () est continue.

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Notion de processus stochastique

Un processus stochastique reprsente lvolution alatoire dune quantitdans le temps : la valeur Xt () reprsente la quantit au temps t pour laralisation .

DfinitionSoit X = (Xt )t0 un processus stochastique.

On appelle accroissement de X entre les temps t1 et t2 la variablealatoire Xt2 Xt1 .On dit que le processus X = (Xt )t0 est accroissements indpendantssi pour tout k 2, 0 = t0 < t1 < t2 < < tk , les variables Xti Xti1 ,1 i k sont indpendantes.

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Notion de mouvement Brownien

DfinitionOn appelle mouvement Brownien standard B = (Bt )t0 un processusstochastique trajectoires continues vrifiant

i) B0 = 0 p.s.,ii) pour tout 0 t1 < t2, Bt2 Bt1 N (0, t2 t1),iii) pour tout k 2, 0 = t0 < t1 < t2 < < tk , les accroissements

(Bti Bti1 )1ik sont indpendants.

Par dfinition du mouvement Brownien, les accroissements sont Gaussiens(ii) et indpendants (iii). Remarquons que lexistence du mouvementBrownien est non triviale, notamment la continuit des trajectoires.

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Simulation dun mouvement BrownienAvec un ordinateur, on peut simuler trs simplement les valeurs duprocessus (Bt )t0 en un nombre fini de points.Par exemple, pour tk = kTn , 0 k n variant entre t0 = 0 et tn = T , oncommence par simuler les accroissements k = Btk Btk1 , 0 k n,qui sont i.i.d. de loi N (0,T/n) et on pose

B0 = 0, Btk =k

i=1

(Bti Bti1 ) =k

i=1

k , 1 k N.

Avec le logiciel R :

T

Simulation dun mouvement Brownien

Attention, cette reprsentation est trompeuse car le logiciel fait uneinterpolation linaire ! On a donc une reprsentation approche dumouvement Brownien.Evidemment la qualit de cette reprsentation est meilleure lorsque Nest grand :

0 2 4 6 8 10

1

01

23

4

N=10

temps t

mou

vem

ent B

row

nien

B_t

0 2 4 6 8 10

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

N=100

temps t

mou

vem

ent B

row

nien

B_t

0 2 4 6 8 10

1

01

23

4

N=1000

temps t

mou

vem

ent B

row

nien

B_t

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Proprits du mouvement Brownien

PropositionSoit B = (Bt )t0 un mouvement brownien :

(covariance) pour tout t1, t2 0, Cov(Bt1 ,Bt2 ) = min(t1, t2) ;(symtrie) le processus (Bt )t0 est aussi un mouvement Brownien ;(proprit de Markov) pour tout a > 0 le processus (Ba+t Ba)t0 est unmouvement Brownien ;(autosimilarit) pour tout c > 0 (c1/2Bct )t0 est un mouvementBrownien.

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Proprits du mouvement Brownien

DfinitionSoit (Mt )t0 un processus alatoire et Ft = (Ms; s t) la filtration naturelle.On dit que (Mt )t0 est une martingale si pour tout 0 s t , Mt est intgrableet

E[Mt | Fs] = Ms.

PropositionSoit B = (Bt )t0 un mouvement brownien. Alors :

i) (Bt )t0 est une martingale ;ii) (B2t t)t0 est une martingale ;iii) (exp(Bt t/2))t0 est une martingale.

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Marche alatoire et thorme de DonskerDfinitionSoit (Xi )i1 une suite de v.a.i.i.d.On appelle marche alatoire la suite de variable alatoires (Sn)n0 dfinie par

S0 = 0, Sn =n

i=1

Xi , n 1

Simulation avec R dans le cas Bernoulli Xi B(p) :

N

Marche alatoire et thorme de Donsker

On tend la marche alatoire (Sn)n0 au temps continu par interpolationlinaire

St = Sn + (t n)Xn+1, n t n + 1.

Thorme de DonskerOn suppose les Xi de carr intgrable de moyenne m et variance 2. Alors lamarche alatoire renormalise(

Snt ntm

n

)t0

converge en loi vers un mouvement Brownien standard (Bt )t0.

Ce rsultat gnralise le TCL que lon retrouve lorsque t = 1.

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Illustration du thorme de DonskerAvec R, on simule la marche alatoire (renormalise) de Bernoulli avecp = 1/2 ou p = 1/4, pour N = 10 ou N = 1000.

0 2 4 6 8 10

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

N=10, p=1/2

temps

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

1.

0

0.5

0.0

N=10, p=1/2

temps

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

1.

2

1.0

0.

8

0.6

0.

4

0.2

0.0

N=1000, p=1/2

temps

0 2 4 6 8 10

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

N=10, p=1/4

temps

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.

4

0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

N=10, p=1/2

temps

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

1.

2

0.8

0.

40.

0

N=1000, p=1/2

temps

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Plan du cours

1 Le mouvement Brownien

2 Le modle de Black-Scholes comme limite du modleCox-Ross-Rubinstein

3 La formule de Black-Scholes pour le prix des options europennes

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Modle de Black-Scholes

On cherche modliser le cours dun actif cot en temps continu par unprocessus alatoire (St )t0.

DfinitionLe modle de Black-Scholes de prix initial S0 > 0, rendement instantan etvolatilit > 0 est donn par

St = S0 exp(t

2

2t + Bt

), t 0,

o (Bt )t0 est un mouvement Brownien standard.

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Proprits du processus de Black-Scholes

St = S0 exp(t

2

2t + Bt

), t 0,

PropritsLe processus (St )t0 est trajectoires continues et dmarre en S0 pourt = 0.Pour tout t 0, St suit une loi log normale

ln(St ) N (ln(S0) + ( 2/2)t , 2t)

Lesprance de St est donne par

E(St ) = S0et

ce qui explique linterprtation de comme rendement instantan.

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Proprits du processus de Black-ScholesDe lquation

St = S0 exp

(t

2

2t + Bt

), t 0,

on dduit facilement que pour tout t 0, h > 0

St+h = St e(2/2)he(Bt+hBt ).

Avec un dveloppement de Taylor heuristique, pour h 0

St+h St(

1 + ( 2/2)h)(

1 + (Bt+h Bt ) + 2/2(Bt+h Bt )2).

On va lordre 2 pour la partie Brownienne car E[(Bt+h Bt )2] = h et on peut montrer que les termes 2/2het 2/2(Bt+h Bt )2 se compensent en moyenne ce qui conduit

St+h St + St h + St (Bt+h Bt ).

La formulation rigoureuse se fait par la thorie des quations diffrentielles stochastiques :

dSt = St dt + St dBt .

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Black-Scholes comme limite de Cox-Ross-Rubinstein

Rappels :

Le modle CRR est un modle temps discret n = 0, . . .N o le rendement de lactif chaque pas detemps ne prend que deux valeurs possibles 1 + a et 1 + b, a < b.

Pour que le march soit viable, le taux dintrt par priode r doit vrifier r [a, b].Il existe alors une unique probabilit risque neutre P sous laquelle les variables de rendementRn = Sn/Sn1 1, 1 n N sont i.i.d. et desprance r :

aP(Rn = a) + bP(Rn = b) = r

do

P(Rn = a) = pa + (1 p)b avec p =b rb a

.

Pour n = 0, . . . ,N,