unite 5 : proportionnalité

UNITE .

UNITE 5 : Proportionnalité

Objectifs : Utilisation de repère orthogonal

Etre capable :

Utiliser une graduation sur un axe pour repérer des points

Donner les coordonnées des points

Placer des points dans un repère orthogonal

PARTIE B : REPERAGE SUR UN AXE, REPERAGE SUR UN PLAN ET REPRESENTATION GRAPHIQUE NUMERIQUES A SIMPLE ET DOUBLES ENTREES

Lycé

e P

ierr

e A

nd

ré C

hab

ann

e

An

né

e 2

01

2-2

01

3 :

Mat

hé

mat

iqu

es

1èr

e a

nn

ée

CA

P

1 Unite 1 : Repérage

B. Repérage sur un axe, repérage dans un plan et représentation graphique

I. Activités d’approche

1. Définir une situation de proportionnalité



2. Reconnaître des situations de proportionnalité



3. Calculer une quatrième proportionnelle

4. Représenter graphiquement une situation de proportionnalité



5. Bilan

Activité 1 :

La balance d’un commerçant affiche à la fois la quantité de denrées achetées, le prix

unitaire et le prix total à payer en €.

J’achète 2,020 kg de pommes à 2 € le kg ; je verrai donc s’afficher :



Appel n°1

Dans les trois cas, prix à payer = quantité x 2.

Le prix à payer est proportionnel à la quantité achetée ; le coefficient de

proportionnalité est 2.

La machine a effectué l’opération suivante : 1,100 2 = ……..

La machine a effectué l’opération suivante : 3,080 …. = 6,16

La machine a effectué l’opération suivante : 2,020 2 = 4,04



Exemples :

Activité 2 : supposons maintenant que les pommes soient vendues par

sachets et que les

prix des sachets soient les suivants :

Quantité (kg) 1,000 2,500 5,000

Prix (€) 2,20 5,00 8,50

Le prix payé est-il proportionnel à la quantité ?

………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………

Activité 3 : depuis le 1er janvier 2002, l’euro a définitivement remplacé le franc.

Un guide de conversion donne le tableau suivant :

Anne vend des gâteaux au prix de 3 € l’un.

1. Jean achète 3 gâteaux : elle lui demande 6 €.

Pierre achète 5 gâteaux:

elle lui demande 15 €.

2. Jacques achète 10 gâteaux : elle lui demande 25 €.

Le prix à payer est-il proportionnel au nombre de

gâteaux achetés ? Pourquoi ?

2x3 = 6

5x3 = 15

Pour Jean et Pierre, le prix à payer est bien

proportionnel au nombre de gâteaux achetés.

10x3 = 30

Pour Jacques, le prix à payer n'est pas proportionnel

au nombre de gâteaux achetés, puisqu'il aurait dû

payer 30 € et qu'il en a payé 25.



Nombre d’euros 10 20 30 40 50

Nombre de francs 65,60 131,20 196,80 262,40 328

Ces deux suites de nombres sont-elles proportionnelles ? Si oui quel est le

coefficient de proportionnalité ?

………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………

Quelle est la valeur, en francs, d’un euro ? …………………………………

Appel n°2

Activité 4 : pour préparer des cookies aux pépites de chocolat, on utilise des sachets

de « préparation pour gâteaux ALSA » et des oeufs .

J’ai la recette pour 20 cookies et je veux en fabriquer 60 ; que me faudra-t-il ?

………………………………………………………………..……………………………………..

………………………………………………………………..……………………………………..

………………………………………………………………..……………………………………..

Pour fabriquer 60 cookies, il me faudra

………………………………………………………………..

Activité 5 : sur une carte au

150 000

(1 cm sur la carte représente en réalité 50 000 cm soit

500 m), quelle sera la distance réelle entre deux villes A et B distantes de 15 cm sur la

Nombre de sachets 1

Quantité de cookies 20

Quantité d'oeufs 2

Quantité de cookies 20



carte ?

Les grandeurs « distance réelle » et « distance sur la carte » sont proportionnelles.

50 000 cm = 500 m

………………………………………………………………..……………………………………..

………………………………………………………………..……………………………………..

II. DEFINITION

Reprenons les deux exemples précédents : on peut regrouper les quantités achetées

et les prix correspondants dans un tableau :

Exemple des pommes :

Calculons les rapports : (exemple des pommes)

4,042,020

= 2

2,201,100

= 2

6,163,080

= 2

Il y a égalité entre les trois rapports : les suites

de nombres « prix à payer » et « quantité »

sont des suites proportionnelles.

Conclusion : Les deux grandeurs « prix à

Exemple des gâteaux : ce tableau n’est pas un

tableau de proportionnalité car les rapports

sont différents.

Calculons les rapports :

= 3

155

= 3

2510

= 2.5

Il n'y a pas égalité entre les rapports : les suites

de nombres « prix à payer » et « quantité » ne

sont pas des suites proportionnelles.

Conclusion : Les deux grandeurs « prix à

payer » et « quantité » ne sont pas des

Distance sur la carte (cm) 1 15

Distance réelle (m) 500 x

Quantité (kg) 2,020 1,100 3,080

Prix (€) 4,04 2,20 6,16



payer » et « quantité » sont des grandeurs

proportionnelles ; le coefficient de

proportionnalité est 2

grandeurs proportionnelles.

l

Deux suites de nombres sont proportionnelles si le rapport des nombres de l’une

aux nombres de l’autre est toujours le même.

Ce rapport a est appelé coefficient de proportionnalité.

III. TABLEAU DE PROPORTIONNALITE

Dans la vie quotidienne, les situations de proportionnalité sont très fréquentes.

Exemple n° 1 : On sait qu’un pot de peinture de 2 kg permet de couvrir une surface

de 9 m² et l’on recherche la quantité de peinture nécessaire pour couvrir 36 m².

1. On construit un tableau de proportionnalité et on calcule le coefficient de

proportionnalité :

2. On utilise ce coefficient pour calculer la valeur manquante :

Quantité de peinture (kg) 2

Surface couverte (m2) 9

X 4,5

Quantité de peinture (kg) 2

Surface couverte (m2) 9 36

X 4,5

÷ 4,5

Quantité 2 5 10

Prix (€) 6 15 25



Il faut acheter 36 ÷ 4,5 = 8 kg de peinture donc 4 pots de peinture.

Remarque : on peut également trouver la quantité de peinture grâce à

l'opération 2 x 369

= 8

IV. PRODUIT EN CROIX

Dans une égalité de la forme d

c

b

a , appelée proportion, les nombres b et d n’étant pas

égaux à 0, les « produits en croix » sont égaux : axd=bxc

Exemple :

Nombre de m² peints 20 73

Prix payé en euros 180 A

On a :

eurosx

DoncA

xxA

A

65720

8073

1807320

73

180

20

V. SITUATION LINEAIRE

Prenons l’exemple suivant :



Quantité (kg) 1 2 3

Prix (€) 2 4 6

Les suites de nombres « prix à payer » et « quantité » sont des suites

proportionnelles ; le coefficient de proportionnalité est 2.

Si on décide que P va désigner le prix et Q la quantité de pommes achetées, on

pourra écrire

P = ……….Q

C'est l’expression algébrique de cette situation de proportionnalité

Plaçons les points de coordonnées

(P ; Q) dans le repère ci-contre :

0 1 2 Q

P

3

1

2

3

4

5

6



On remarque que les points sont

alignés avec le point

(…….. ; ……..)

II. Graduation d’une droite

Les nombres relatifs permettent de graduer une droite des deux côtés du zéro.

La relation existant entre deux grandeurs proportionnelles nommées x et y peut

s’écrire sous la forme d’une expression algébrique dont la forme est y = a x,

a étant le coefficient de proportionnalité des deux suites.

La représentation graphique d’une situation de proportionnalité est une droite qui

passe par le point (0 ; 0), origine du repère.



Exemple :

Soit une droite (xy) orientée à l’aide de la flèche . On place le point O. On peut, en prenant le

point O comme origine et le centimètre comme unité, graduer la droite. On obtient :

0 1

x O I x’

Le point O a pour abscisse 0 et le point I a pour abscisse (+1)

Le segment [OI] est le segment unité.

On dit que le repère de la droite (xx’) est (O,I).

Remarques :

Pour repérer ou placer un point sur la droite, il suffit de donner son abscisse ou de le

placer à l’abscisse qui est donnée

M est repéré par l’entier relatif (+4). P est repéré par le décimal (-1,4). On peut

placer par exemple un point Q en (-3,6)

III. Repère orthonormé

Un repère est formé d’une origine appelée O(0 ;0) et de deux axes :

1 axe vertical appelé axe des ordonnées

1 axe horizontal appelé axe des abscisses

Sur chaque axe, on place les segments unités :

[OI] sur l’axe des abscisses

[OJ] sur l’axe des ordonnées

Particularité des repères :

Si les 2 axes ne sont pas perpendiculaires alors le repère est appelé repère

quelconque

J

0 I



Si les 2 axes sont perpendiculaires et alors le repère est appelé repère

orthogonal

J

O I

Si les 2 axes sont perpendiculaires et alors le repère est appelé repère

orthonormal

J

O I

Nous allons étudier la courbe appelée caractéristique intensité-tension d’une lampe

halogène. L’intensité I, en ampères, est portée en abscisses ; la tension U, en volts, est

portée en ordonnées.

1. Lecture de l’ordonnée d’un point de la courbe connaissant son abscisse

Ouvrir le fichier « lecture_ordonnee_abscisse.ggb ».

Donner les abscisses de A,B,C, D,E :

Donner les coordonnées de F,G,H,I,J :

Que remarque-t-on ?

Travaux pratiques 1 : Utilisation de Géogébra



2. Lecture de l’abscisse d’un point de la courbe connaissant son ordonnée

Donner les ordonnées de A,B,C,D,E :

Donner les coordonnées de K,L,M,N, :

Que remarque-t-on ?

3. Donner les coordonnées de A,B,C,D,E



Exercice 1 :

Exercice 2 :

Travaux dirigés 1 : Repérage sur des axes



Exercice 3 :

A.



B.

Compléter le tableau à l’aide du graphique ci-contre :

unite 5 : proportionnalité

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