A. Venaille

Melange d’unscalaire passif

Motivations

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Modeles

Tests

Perspectives

Circulationoceanique agrande echelle

Motivations

Methode

But

Modele

Resultats

Persecpectives

Un modele pour le melanged’un traceur par la

turbulence

Antoine Venaille , Joel Sommeria

1er juillet 2008

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But

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Plan

• Motivation

• Modeles

• Tests experimentaux

• Conclusion

• Perspectives : melange de fluides stratifies de maniere stable.

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Motivation

1 Modeles pour parametriser l’entrainement dans des courants degravite

2 Plus simple : Modele pour le melange turbulent d’un fluidestratifie de maniere stable.

3 Encore plus simple ! modeliser le melange d’un traceur passif

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But

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But

Comment evolue la distribution de probabilite de mesurer unecertaine concentration d’un colorant lorsque celui-ci estmelange par un ecoulement turbulent ?

On considere ici le cas d’un colorant a tres faible diffusivite :Sc = ν

D � 1

• Sel, Rhodamine Sc ∼ 1000

• Temperature Sc ∼ 10

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Methode

But

Modele

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Persecpectives

Modele : lien entre coarse graininget melange

Un filtrage a des echelles l de plus en plus grandes homogeneise lechamps de concentration. Idee du modele : a l fixee, lesmecanismes de cascade turbulente produisent le meme effet.

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But

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Persecpectives

Modele : lien entre coarse graininget melange

Un filtrage a des echelles l de plus en plus grandes homogeneise lechamps de concentration. Idee du modele : a l fixee, lesmecanismes de cascade turbulente produisent le meme effet.

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But

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Persecpectives

Le melange comme un processusde convolution

Probabilite ρl(σ, t)dσ de mesurerla concentration σ.

Probabilite ρl(σ, t + t2)dσ demesurer la concentrationσ = 1

2 (σ1 + σ2)

ρl(σ, t + t2) = 2

∫ρl(t, σ1)ρl(t, 2σ − σ1)dσ1

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But

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Persecpectives

Evolution de la transformee deLaplace (TL)

ρl(σ, t + t2) = 2

∫ρl(t, σ1)ρl(t, 2σ − σ1)dσ1

On introduit la TL

ρl(κ) =

∫ +∞

0

ρl(σ)e−κσdσ

L’equation precedente devient

ρl(κ, t + t2) = [ρl(κ/2, t)]2

Soit tn le temps tel que la largeur des filaments soit divisee par n.

ρl(κ, t + tn) = [ρl(κ/n, t)]n

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Persecpectives

Hypothese 1 : independance

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Hypothese 2 : Pas de fluctuationde l’etirement moyen

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Persecpectives

Passage a une equation dynamique

Si la largeur des filaments est divisee par n

ρl(κ, tn) = [ρl(κ/n, 0)]n

En pratique, l’etirement est continu :

∂t ρl = s(t) [ρl ln ρl − κ∂κρl ]

Et la solution est ...

ρ(κ, t) =

[ρ

(κ

f, 0

)]f

, f (t) = exp

(∫ t

0

s (t ′) dt ′)

Interpretation de s(t) : taux de dissipation des fluctuations descalaire.

∂tc2 = −s(t)c2

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Persecpectives

Une autre equation dynamique

Modele d’aggregation de filaments de colorant. Villermaux and Duplat,

PRL (2003)

∂t ρ = s(t)[f (t)

[ρ1+1/f − ρ

]− κ∂κρ

]avec

f (t) = exp

(∫ t

0

s (t ′) dt ′)

Dans ce cas, la variance decroit en

∂tc2 = −s(t) [c2 − c1/f (t)]

Ce modele predit une convergence des PDF vers des distributions“gamma” :

γ(σ/〈σ〉) =f f

Γ(f )

σf−1

〈σ〉f−1e−f σ/〈σ〉

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But

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Persecpectives

Un tout autre modele

LMSE Linear mean square estimate Dopazo et O’Brien

IEM Interaction by exchange with the mean Villermaux and Duvillon

∂tρ = s(t)∂σ [ρ (σ − σ)]

Solution explicite : la PDF conserve sa forme initiale aux cours de sonevolution !

ρ (σ, t) = ρ (σ′ + σ, t) =

√c2(0)

c2(t)ρ

(√c2(0)

c2(t)σ′ + σ, 0

)where c2(t) is the variance of the distribution.

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But

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Persecpectives

Resume

• Melange par convolution ∂t ρl = s(t) [ρl ln ρ− κ∂κρl ]

• Processus d’aggregation ∂t ρ = s(t)[f (t)

[ρ1+1/f − ρ

]− κ∂κρ

]• Modeles LMSE, IEM ∂t ρ = s(t) [−κρ− κ∂κρ]

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Persecpectives

Test sur resultats d’une DNS

Eswaran and Pope PoF, 1988

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Test experimental

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Persecpectives

Un resultat anterieur

Villermaux and Duplat PRL, 2003

Sequence de gamma-distributions γ(σ/〈σ〉) = f f

Γ(f )σf−1

〈σ〉f−1 e−f σ/〈σ〉

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Motivation

Ce resultat est-il generique ?

En particulier : depend-il du systeme d’injection ?

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Injecteur “ligne”

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Persecpectives

avec LMSE/IEM

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Effet du filtrage

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Persecpectives

Premiers cumulants

cm(t) = (−∂κ)m ln(ρl(κ, t))∣∣κ=0

cm(t) =cm(0)

[f (t)]m−1

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Injecteur “point”

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Resume

1 Pas de convergence vers des gamma-PDF

2 Le modele d’evolution par convolution marche bien pourl’injecteur ligne, mais pas pour l’injecteur ponctuel.POURQUOI ?

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Rappel des hypotheses

1 On neglige les fluctuations de l’etirement des filaments

2 On suppose qu’il y a independance des concentrations decolorant a des distances separees de l , l’echelle de filtrage

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Independance...

Pouvait-on le prevoir ?

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Critere sur le systeme d’injection

• Section du canal : lsXls

• Section de l’injecteur ponctuel ∼ r2

• Section de l’injecteur ligne : ∼ rls

les filaments de scalaire ont une longueur typique lσ = r/f (t)Les “vides” persistent sur des longueurs l0.Par conservation de σ = lσ/l0 :

• Section de l’injecteur ponctuel l0 ∼ lsf (t)

• Section de l’injecteur ligne : l0 ∼ l2srf (t)

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Conclusion

1 Pas de convergence vers gamma PDF ; role du systemed’injection.

2 Mise en evidences de situations ou les hypotheses du modele nesont pas satisfaites

3 Avantages du modele de melange par convolution

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Perspectives

Application du modele au melange de l’eau salee a l’eau douce ;resultats experimentaux.

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Modele 1D pour melange d’unfluide stratifie de maniere stable

Melange d’un scalaire actif dans un cas non homogene.but decrire l’evolution de la probabilite de mesurer une certaineflottabilite b = g (%− %0) /%0 a une altitude z donnee.

• sedimentation

• diffusion turbulente

• cascade turbulence

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∂tρ = ∂z

(κb le

1/2∂zρ + τbρ (b − 〈b〉))

+D

∂te = ∂z

(κe le

1/2∂ze)

+ le1/2∂z 〈b〉+ τb

⟨b2 − 〈b〉2

⟩− εe l

−1e3/2 + P

l =lf e

1/2

e1/2 + γlf√

∂z 〈b〉

D dissipation par cascade turbulente...ce dont on vient de parler

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Resultats preliminaires