ulysse lorganisation didactique dune théorie mathématique1 introduction à la théorie des...

ULYSSE L’organisation didactique d’une théorie mathématique

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Introduction à laIntroduction à laThéorie des situationsThéorie des situations

Les situations mathématiques à usage Les situations mathématiques à usage didactique: TSMdidactique: TSM

Les situations didactiques en mathématiques Les situations didactiques en mathématiques TSDMTSDM

But : Assurer la consistance logique et But : Assurer la consistance logique et expérimentale de l’ingénierie didactique:expérimentale de l’ingénierie didactique:


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Les situations Les situations mathématiques mathématiques

à usage didactiqueà usage didactique

L’organisation didactique d’une L’organisation didactique d’une théorie mathématique : - des théorie mathématique : - des

axiomes aux théorèmes axiomes aux théorèmes

- des théorèmes aux problèmes- des théorèmes aux problèmes-des problèmes aux situationsdes problèmes aux situations


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1. 1. L’organisation L’organisation

didactique d’une didactique d’une théorie théorie

mathématiquemathématique


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Théories et ThéorèmesThéories et Théorèmes• UneUne Théorie Mathématique Théorie Mathématique (Logique)(Logique) est une collection amorphe, est une collection amorphe,

finie ou non, d’énoncés (propositions et prédicats) qui sont vrais finie ou non, d’énoncés (propositions et prédicats) qui sont vrais ensemble. Pour une utilisation ensemble. Pour une utilisation ésotériqueésotérique, la Théorie peut n’être , la Théorie peut n’être qu’une collection amorphe de résultats vrais (les démonstrations sont qu’une collection amorphe de résultats vrais (les démonstrations sont ignorées ou oubliées). ignorées ou oubliées).

• Mais la vérification publique et l’utilisation coopérative (Mais la vérification publique et l’utilisation coopérative (exotérique) exotérique) imposent que les énoncés soient exposés en imposent que les énoncés soient exposés en théories théories (collections (collections ordonnées), de façon que chacun puisse être, soit accepté (axiome), ordonnées), de façon que chacun puisse être, soit accepté (axiome), soit prouvé par une chaîne de déductions à partir des axiomes ou des soit prouvé par une chaîne de déductions à partir des axiomes ou des énoncés déjà démontrés. énoncés déjà démontrés.

• L’organisation d’un corpus de savoirs en une théorie est une réponse L’organisation d’un corpus de savoirs en une théorie est une réponse à une contrainte didactique liée à la communication et au contrôle. à une contrainte didactique liée à la communication et au contrôle. Suivant le choix des axiomes et l’organisation des chaînes de Suivant le choix des axiomes et l’organisation des chaînes de démonstrations, l’exposé d’une théorie est plus ou moins facile à démonstrations, l’exposé d’une théorie est plus ou moins facile à admettre, à comprendre et à apprendre. admettre, à comprendre et à apprendre.

• Le travail qui consiste à réorganiser les résultats pour en faciliter la Le travail qui consiste à réorganiser les résultats pour en faciliter la transmission, la fécondité et l’utilisation est, par nature, transmission, la fécondité et l’utilisation est, par nature, didactiquedidactique. Il . Il a été sa principale forme pendant des siècles. L’importance de ce a été sa principale forme pendant des siècles. L’importance de ce travail pour le développement des mathématiques elles-mêmes s’est travail pour le développement des mathématiques elles-mêmes s’est révélée à partir du 19révélée à partir du 19ièmeième siècle. siècle. Il fait désormais partie de l’activité et Il fait désormais partie de l’activité et des savoirs mathématiquesdes savoirs mathématiques..


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Le choix des axiomes est déjà Le choix des axiomes est déjà essentiel essentiel

• En géométrie élémentaire, dans l’axiomatique d’En géométrie élémentaire, dans l’axiomatique d’Euclide-HilbertEuclide-Hilbert « il fallait ériger tout un échafaudage complexe et artificiel de « il fallait ériger tout un échafaudage complexe et artificiel de constructions de triangles auxiliaires afin de se ramener vaille constructions de triangles auxiliaires afin de se ramener vaille que vaille aux sacro-saints cas d’égalité ou cas de similitude des que vaille aux sacro-saints cas d’égalité ou cas de similitude des triangles, points d’appui de toute la technique traditionnelles. » triangles, points d’appui de toute la technique traditionnelles. » (Dieudonné)(Dieudonné)

• Après les travaux de Après les travaux de Grassmann et CayleyGrassmann et Cayley elle devient un espace elle devient un espace affine muni d’un espace vectoriel, que affine muni d’un espace vectoriel, que ChoquetChoquet introduit avec introduit avec quelques axiomes synthétiques (d’incidence, d’ordre, de quelques axiomes synthétiques (d’incidence, d’ordre, de structure affine, d’espace vectoriel et d’espace métrique) pour structure affine, d’espace vectoriel et d’espace métrique) pour arriver immédiatement aux méthodes les plus puissantes et les arriver immédiatement aux méthodes les plus puissantes et les plus simples. plus simples.

• DieudonnéDieudonné au contraire détaille ce qui est apporté par chacun au contraire détaille ce qui est apporté par chacun des nombreux axiomes les plus faibles – les plus simples à des nombreux axiomes les plus faibles – les plus simples à introduire - de façon à fonder la géométrie sur une base introduire - de façon à fonder la géométrie sur une base commune à toutes les mathématiques. commune à toutes les mathématiques.

• Mais les axiomatiques (équivalentes) d’une même théorie Mais les axiomatiques (équivalentes) d’une même théorie mathématique peuvent avoir des propriétés didactiques très mathématique peuvent avoir des propriétés didactiques très différentesdifférentes. .

• Et… suffit-il de « connaître » les références pour résoudre les Et… suffit-il de « connaître » les références pour résoudre les problèmes ?problèmes ?


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L’organisation des textes, aussiL’organisation des textes, aussi

• Dans le cadre d’une même axiomatique, les définitions et les Dans le cadre d’une même axiomatique, les définitions et les théorèmes peuvent s’articuler en chaînes et en réseaux de façons théorèmes peuvent s’articuler en chaînes et en réseaux de façons assez diverses par des relations comme « Tassez diverses par des relations comme « T11 figure dans la figure dans la démonstration de Tdémonstration de T2 2 » »

• Les définitions et les théorèmes d’un exposé sont accompagnés Les définitions et les théorèmes d’un exposé sont accompagnés d’identifications (numéro ou hommage à un mathématicien), de d’identifications (numéro ou hommage à un mathématicien), de justifications (références, méthode de démonstration…) et de justifications (références, méthode de démonstration…) et de commentaires. Le tout constitue un texte de mathématiques de commentaires. Le tout constitue un texte de mathématiques de style standard. style standard.

• Le choix plus ou moins habile des « Le choix plus ou moins habile des « théorèmes fondamentauxthéorèmes fondamentaux » » détermine des exposés plus ou moins faciles à enseigner et à détermine des exposés plus ou moins faciles à enseigner et à comprendre. Ce choix est donc d’ordre « didactique » comprendre. Ce choix est donc d’ordre « didactique »

• Un des objets de la didactiqueUn des objets de la didactique consisterait donc à distinguer a consisterait donc à distinguer a priori les propriétés de ces exposés pour l’enseignement et pour priori les propriétés de ces exposés pour l’enseignement et pour l’apprentissage afin de les comparer : prévoir les temps l’apprentissage afin de les comparer : prévoir les temps d’exploration, les difficultés, les possibilités d’erreurs, en les d’exploration, les difficultés, les possibilités d’erreurs, en les rapportant à la longueur des démonstrations où à leur fréquence rapportant à la longueur des démonstrations où à leur fréquence d’utilisation… Nous en donnerons des exemples dans ce cours. d’utilisation… Nous en donnerons des exemples dans ce cours.

• Ce genre d’études est actuellement utilisé pour caractériser Ce genre d’études est actuellement utilisé pour caractériser certains programmes informatiques. certains programmes informatiques.


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2. 2. Des théories Des théories

mathématiques aux mathématiques aux problèmes problèmes


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Propriétés didactiques des Propriétés didactiques des théories mathématiques théories mathématiques

• 1. Initier les élèves aux mathématiques pourrait 1. Initier les élèves aux mathématiques pourrait consister à seulement leur faire apprendre le texte des consister à seulement leur faire apprendre le texte des énoncés énoncés vrais, en fonction de leur utilité pratique par vrais, en fonction de leur utilité pratique par exemple. Chacun fonctionne alors comme un exemple. Chacun fonctionne alors comme un axiomeaxiome. .

• 2. Les présenter dans un ordre axiomatique permet de 2. Les présenter dans un ordre axiomatique permet de les exposer comme des les exposer comme des théorèmesthéorèmes, avec le texte de , avec le texte de leur démonstration et ainsi de faire l’élève juge de leur démonstration et ainsi de faire l’élève juge de leur validité. Les théorèmes sont alors organisés en leur validité. Les théorèmes sont alors organisés en théoriesthéories

• Les théories mathématiques issues d’un même Les théories mathématiques issues d’un même ensemble consistant d’énoncés ont déjà des propriétés ensemble consistant d’énoncés ont déjà des propriétés didactiques propres, intrinsèques, indépendantes des didactiques propres, intrinsèques, indépendantes des conditions d’enseignement: le choix des théorèmes de conditions d’enseignement: le choix des théorèmes de référence, la référence, la longueurlongueur des démonstrations, la des démonstrations, la densitédensité locale en théorèmes etc. (comparer la géométrie et la locale en théorèmes etc. (comparer la géométrie et la statistique par exemple).statistique par exemple).


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Théorèmes et problèmesThéorèmes et problèmes• 3. Cependant l’activité mathématique ne se réduit pas à la 3. Cependant l’activité mathématique ne se réduit pas à la

récitation des théorèmes avec leur démonstration et à leur récitation des théorèmes avec leur démonstration et à leur utilisation opportune. Être mathématicien consiste aussi à utilisation opportune. Être mathématicien consiste aussi à établir la démonstration de textes nouveaux. Pour provoquer les établir la démonstration de textes nouveaux. Pour provoquer les élèves à une activité mathématique similaire, une tradition élèves à une activité mathématique similaire, une tradition ancienne a transformé certains théorèmes en ancienne a transformé certains théorèmes en problèmes problèmes ou en ou en exercicesexercices, et certains autres en , et certains autres en théorèmes de référencethéorèmes de référence enseignés comme tels. enseignés comme tels.

• Un Un exposé didactique d’une théorieexposé didactique d’une théorie mathématiquemathématique crée donc crée donc dans cette théorie quatre catégories d’énoncés vrais dans cette théorie quatre catégories d’énoncés vrais (assertions) :(assertions) :– les les AxiomesAxiomes,, propositions acceptées textespropositions acceptées textes– les les théorèmesthéorèmes,, propositions démontrées de propositions démontrées de

références références – les les problèmesproblèmes, propositions étudiés, mais qui ne seront pas , propositions étudiés, mais qui ne seront pas

des référencesdes références– Les Les propositionspropositions ignoréesignorées par cetpar cet exposéexposé

• Les problèmes sont théorèmes qui ne serviront pas de référence Les problèmes sont théorèmes qui ne serviront pas de référence et qui par divers procédés formels seront dissociés en une et qui par divers procédés formels seront dissociés en une « demande » et en une « réponse »« demande » et en une « réponse »


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L’activité mathématiqueL’activité mathématique• Remarque : ce procédé ne représente pas bien l’activité Remarque : ce procédé ne représente pas bien l’activité

mathématique réellemathématique réelle• - Il ne prépare pas les élèves à poser eux-mêmes ces - Il ne prépare pas les élèves à poser eux-mêmes ces

questions.questions.• - Il ne demande aux élèves que de produire des textes - Il ne demande aux élèves que de produire des textes

empruntés à une théorie de référence : les savoirs. empruntés à une théorie de référence : les savoirs. • - Il ignore de ce fait le rôle des connaissances encore ni - Il ignore de ce fait le rôle des connaissances encore ni

vraies ni fausses nécessaires à la réflexionvraies ni fausses nécessaires à la réflexion• - Il induit ainsi une conception de l’activité mathématique - Il induit ainsi une conception de l’activité mathématique

réduite à la production mécanique d’un texteréduite à la production mécanique d’un texte• Conclusion Ce procédés donne de l’activité Conclusion Ce procédés donne de l’activité

mathématique une image stéréotypée et déformée, mathématique une image stéréotypée et déformée, réduite à des textes et à des mécanismes mathématiques réduite à des textes et à des mécanismes mathématiques et mentaux généraux (universels)et mentaux généraux (universels)


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La transformation de théorèmes La transformation de théorèmes en problèmesen problèmes

• Tout problème est un ensemble d’énoncés de Tout problème est un ensemble d’énoncés de mathématiques dont l’élève a la charge d’établir mathématiques dont l’élève a la charge d’établir la consistance avec ce qui lui a été enseigné. la consistance avec ce qui lui a été enseigné.

• Tout théorème peut être transformé en un couple Tout théorème peut être transformé en un couple ‘question- réponse attendue’. La question ‘question- réponse attendue’. La question détermine est à la charge du professeur, la détermine est à la charge du professeur, la réponse est à la charge de l’élève. réponse est à la charge de l’élève.

• La question est elle-même est formée de données La question est elle-même est formée de données et de conclusions qui forment ensemble l’énoncé et de conclusions qui forment ensemble l’énoncé d’un théorème dont la réponse attendue d’un théorème dont la réponse attendue constitue la démonstration. constitue la démonstration.

• Un problème est donc constitué de trois parties : Un problème est donc constitué de trois parties : une question, une réponse et un moyen d’établir une question, une réponse et un moyen d’établir la seconde à partir de la première. la seconde à partir de la première.


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ExemplesExemples• L’élève doit rétablir un texte, L’élève doit rétablir un texte, • qu’il connaît de mémoire (la « qu’il connaît de mémoire (la « clôsureclôsure ») ») • ou grâce à un ou grâce à un algorithmealgorithme mathématiquemathématique appris et convenu appris et convenu

(exercices) (exercices) • ou par une ou par une démonstrationdémonstration avec les théorèmes de son répertoire avec les théorèmes de son répertoire

(problèmes) et des relations logiques(problèmes) et des relations logiques

• A partir d’un énoncé AA partir d’un énoncé A B dans une théorie T on peut obtenir par B dans une théorie T on peut obtenir par exemple: exemple: a) Étant donné A et B, établir A a) Étant donné A et B, établir A B; (les éléments de B; (les éléments de ont été ont été

enseignés) enseignés) b) Étant donné A b) Étant donné A C et B C et B C, montrer que A C, montrer que A C (dans ce cas C (dans ce cas

précis)précis)c) trouver une condition nécessaire de A; c) trouver une condition nécessaire de A; d) trouver une condition suffisante de B Etc. d) trouver une condition suffisante de B Etc.

• Mais l’élève, comme le professeur, peut aussi le faire aussi parfois Mais l’élève, comme le professeur, peut aussi le faire aussi parfois par des procédés non mathématiques (par analogie par exemple). par des procédés non mathématiques (par analogie par exemple).


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Problèmes et RaisonnementsProblèmes et Raisonnements

• « Savoir » une théorie c’est : {pouvoir réciter les théorèmes, les « Savoir » une théorie c’est : {pouvoir réciter les théorèmes, les démontrer et les utiliser pour résoudre des problèmes} démontrer et les utiliser pour résoudre des problèmes}

• Résoudre un Résoudre un problèmeproblème c’est : c’est :– identifier le théorème correspondant (données et demande), identifier le théorème correspondant (données et demande), – le prouver en choisissant et en organisant les théorèmes convenus,le prouver en choisissant et en organisant les théorèmes convenus,

• Un Un raisonnement raisonnement est formé de tout ce qui n’était pas convenu : est formé de tout ce qui n’était pas convenu : le choix et l’organisation des théorèmes intermédiaires, les le choix et l’organisation des théorèmes intermédiaires, les raisons de leur choix (vraies ou fausses) etc. raisons de leur choix (vraies ou fausses) etc.

• Après coup, la Après coup, la démonstrationdémonstration exprime le moyen de preuve exprime le moyen de preuve standard. standard.

• Elle n’est donc que le résultat de raisonnements effectifs, plus Elle n’est donc que le résultat de raisonnements effectifs, plus complexes, qui ont permis de l’établir et dont elle est complexes, qui ont permis de l’établir et dont elle est l’explication. Elle en est le résumé, pour préparer son emploi à l’explication. Elle en est le résumé, pour préparer son emploi à l’avenir. Elle n’en est pas la description. l’avenir. Elle n’en est pas la description.

• Puisque les textes de mathématiques ne décrivent que le Puisque les textes de mathématiques ne décrivent que le résultat réorganisé de raisonnements et de réflexion différents résultat réorganisé de raisonnements et de réflexion différents et non écrit, et non écrit, comment susciter cette activité chez les élèves comment susciter cette activité chez les élèves qui ne la produisent pas bien spontanément?qui ne la produisent pas bien spontanément? Comment Comment modéliser et susciter une véritable activité modéliser et susciter une véritable activité mathématique? mathématique?


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3. 3. Des Problèmes aux Des Problèmes aux

SituationsSituations


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Problèmes et définitionsProblèmes et définitions • Considérons une forme habituelle de « Considérons une forme habituelle de « problèmeproblème » : Le » : Le

professeur propose des professeur propose des données:données: « voici A et B », et une « voici A et B », et une question:question: « démontrez que A « démontrez que A B » B »

• Généralement « AGénéralement « A B » est un théorème qui n’a pas été B » est un théorème qui n’a pas été démontré dans le cours, et la solution demandée consiste à en démontré dans le cours, et la solution demandée consiste à en donner la démonstration. Celle-ci combine des théorèmes de donner la démonstration. Celle-ci combine des théorèmes de référence (qui ont été « enseignés » par le professeur) en une référence (qui ont été « enseignés » par le professeur) en une chaîne déductive. chaîne déductive.

• La responsabilité de l’élève consiste à choisir et à organiser les La responsabilité de l’élève consiste à choisir et à organiser les éléments de cette démonstration. éléments de cette démonstration.

• Remarque. L’énoncé ARemarque. L’énoncé A B pourrait s’exprimer sans faire B pourrait s’exprimer sans faire apparaître de déduction : « non(A et non(B)) » est équivalent à apparaître de déduction : « non(A et non(B)) » est équivalent à AA B. Un des moyens de construire des questions consiste à B. Un des moyens de construire des questions consiste à utiliser les différentes expressions équivalentes d’un même utiliser les différentes expressions équivalentes d’un même énoncé. Mais inversement tout énoncé bien formé peut se mettre énoncé. Mais inversement tout énoncé bien formé peut se mettre sous la forme d’une implication. sous la forme d’une implication.

• Mais pour pouvoir effectivement manipuler les énoncés d’une Mais pour pouvoir effectivement manipuler les énoncés d’une théorie, il est nécessaire de les raccourcir en remplaçant théorie, il est nécessaire de les raccourcir en remplaçant certains gros assemblages de signes fréquemment utilisés par certains gros assemblages de signes fréquemment utilisés par des plus petits à l’aide de des plus petits à l’aide de définitionsdéfinitions


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• Une définition Une définition expliciteexplicite est constituée par une équivalence telle est constituée par une équivalence telle que : déf: A que : déf: A assemblage de signes déjà définis assemblage de signes déjà définis

• Mais dans le cas ou l’explicitation de A pose un problème, une Mais dans le cas ou l’explicitation de A pose un problème, une définition définition impliciteimplicite permet une forme de définition plus permet une forme de définition plus générale (opération de Hilbert): A est l’objet qui rend valide un générale (opération de Hilbert): A est l’objet qui rend valide un énoncé.énoncé.

• A : = A : = (X) où (X) où (X) est une expression comprenant plusieurs (X) est une expression comprenant plusieurs occurrence d’un signe (X)occurrence d’un signe (X)

• L’objet est alors défini par sa place et son rôle dans une L’objet est alors défini par sa place et son rôle dans une expression au lieu d’être défini par sa constitution elle-même. expression au lieu d’être défini par sa constitution elle-même.

• La méthode mathématique consiste ainsi à définir un objet par La méthode mathématique consiste ainsi à définir un objet par une liste de conditions qu’il doit satisfaire. une liste de conditions qu’il doit satisfaire.

• Exemple : la définition des nombres naturels par les axiomes de Exemple : la définition des nombres naturels par les axiomes de Peano. Peano.

• Mais cette méthode est elle utilisable à l’école primaire? Mais cette méthode est elle utilisable à l’école primaire?

Celle-ci utilise plus volontiers des définitions ostensivesCelle-ci utilise plus volontiers des définitions ostensives (des sortes de descriptions). (des sortes de descriptions).

Des définitions explicites aux Des définitions explicites aux implicitesimplicites


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Des définitions implicites aux Des définitions implicites aux situationssituations

• La définition des objets et des propriétés mathématiques par La définition des objets et des propriétés mathématiques par une situation est un moyen comparable à celui de l’opération de une situation est un moyen comparable à celui de l’opération de Hilbert pour définir un objet mathématique.Hilbert pour définir un objet mathématique.

• Une Une situationsituation met en scène des met en scène des personnages fictifspersonnages fictifs (mathématiciens ou élèves en théorie des situations (mathématiciens ou élèves en théorie des situations mathématiques) que nous appelons mathématiques) que nous appelons actantsactants ou joueurs. ou joueurs.

• Ils agissent dans un Ils agissent dans un milieumilieu (objets, actants, textes), avec (objets, actants, textes), avec l’intention de réaliser un certain l’intention de réaliser un certain projetprojet, en respectant des , en respectant des règlesrègles qui leur sont données ou de nécessités qu’ils découvrent. qui leur sont données ou de nécessités qu’ils découvrent. Les décisions qu’ils prennent sont commandées par des Les décisions qu’ils prennent sont commandées par des connaissancesconnaissances. (comme nous l’avons vu dans qui dira 20?) . (comme nous l’avons vu dans qui dira 20?)

• Seules certaines décisions permettent de parvenir au but Seules certaines décisions permettent de parvenir au but recherché. recherché.

• Les connaissances qui – seules - permettent d’obtenir le résultat Les connaissances qui – seules - permettent d’obtenir le résultat sont dites « déterminées » par la situation. sont dites « déterminées » par la situation.

• Les connaissances sont déterminées pour l’observateur, mais le Les connaissances sont déterminées pour l’observateur, mais le résultat n’est pas certain pour l’actant. Cette définition élargit résultat n’est pas certain pour l’actant. Cette définition élargit la notion de « problème ». la notion de « problème ».

• Note : En Intelligence Artificielle, les situations sont appelées Note : En Intelligence Artificielle, les situations sont appelées « modèles à agents » « modèles à agents »


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Situation : consigne et milieuSituation : consigne et milieu • Il s’agit donc de déterminer des conditions qui susciteront chez les Il s’agit donc de déterminer des conditions qui susciteront chez les

élèves une activité aboutissant à l’établissement d’une connaissance élèves une activité aboutissant à l’établissement d’une connaissance mathématique. mathématique.

• Si cette activité pouvait se limiter à la production d’un texte de Si cette activité pouvait se limiter à la production d’un texte de mathématique, elle serait la solution classique d’un problème mathématique, elle serait la solution classique d’un problème classique, … et une assez mauvaise représentation de l’activité classique, … et une assez mauvaise représentation de l’activité mathématique effective. mathématique effective.

• La résolution d’un problème requiert certainement de l’élève La résolution d’un problème requiert certainement de l’élève l’agitation d’un flot de connaissances, mais celles qui ne participent l’agitation d’un flot de connaissances, mais celles qui ne participent pas au texte final, en particulier celles qui sont fausses, sont pas au texte final, en particulier celles qui sont fausses, sont considérées comme des erreurs. Elles sont imputables à l’élève et à ce considérées comme des erreurs. Elles sont imputables à l’élève et à ce titre, elles ne doivent pas laisser de trace. titre, elles ne doivent pas laisser de trace.

• Toutes les raisons recevables doivent être internes aux Toutes les raisons recevables doivent être internes aux mathématiques. De sorte qu’à travers les problèmes, les mathématiques. De sorte qu’à travers les problèmes, les mathématiques ne rencontrent jamais officiellement ni question ni mathématiques ne rencontrent jamais officiellement ni question ni difficulté autre que l’insuffisance humaine.difficulté autre que l’insuffisance humaine.

• Une situation au contraire peut déléguer officiellement à un Une situation au contraire peut déléguer officiellement à un milieumilieu le le rôle de porter certaines conditions rôle de porter certaines conditions non dévoilées dans les règlesnon dévoilées dans les règles. Il se . Il se révèle alors comme une sorte de « réalité » qui laisse un espace révèle alors comme une sorte de « réalité » qui laisse un espace propice aux aventures, aux expériences, à un questionnement, à une propice aux aventures, aux expériences, à un questionnement, à une histoire légitime et honorable des actes du sujet. Il reste à déterminer histoire légitime et honorable des actes du sujet. Il reste à déterminer les plus fructueuses et les plus signifiantes. les plus fructueuses et les plus signifiantes.

• « Ouvrir » les problèmes n’est pas une nouveauté. Mais contrôler cette « Ouvrir » les problèmes n’est pas une nouveauté. Mais contrôler cette ouverture et lui donner un statut change beaucoup le rapport des ouverture et lui donner un statut change beaucoup le rapport des activités et des textes, les rôles de activités et des textes, les rôles de connaissances et des savoirsconnaissances et des savoirs. .


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Modèles mathématiques, Modèles mathématiques,

situations et jeuxsituations et jeux • Une situation et un actant constituent un Une situation et un actant constituent un « automate »« automate » dont le dont le

type reste à déterminer: S-R model, automate fini, automate à type reste à déterminer: S-R model, automate fini, automate à pile de mémoire (machine de Türing) etc. (réf.) pile de mémoire (machine de Türing) etc. (réf.)

• La situation et l’actant peuvent rester invariants et produire La situation et l’actant peuvent rester invariants et produire un résultat de façon déterministe ou probabiliste. un résultat de façon déterministe ou probabiliste.

• Mais ils peuvent aussi évoluer, l’un et l’autre. Les Mais ils peuvent aussi évoluer, l’un et l’autre. Les actantsactants étant alors « instruits » par leurs actions sur le étant alors « instruits » par leurs actions sur le milieu :milieu : ils ils s’adaptent comme nous l’avons vu avec la C20. s’adaptent comme nous l’avons vu avec la C20.

• Dans ce cas la situation est dite « Dans ce cas la situation est dite « d’apprentissaged’apprentissage ». ». • L’apprentissage peut concerner des savoirs, des langages ou L’apprentissage peut concerner des savoirs, des langages ou

des réactions des habitudes inconscientes des connaissances des réactions des habitudes inconscientes des connaissances non explicitables. non explicitables.

• Si le milieu est une société humaine l’adaptation à sa culture Si le milieu est une société humaine l’adaptation à sa culture sera dite « acculturation ». sera dite « acculturation ».

• Encouragés par les travaux du logicien Paul Lorenzen, nous Encouragés par les travaux du logicien Paul Lorenzen, nous avons étudié des situations interprétables comme des avons étudié des situations interprétables comme des situations de jeusituations de jeu. (réf.). (réf.)


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Ouverture des problèmes à des Ouverture des problèmes à des paramètres nouveauxparamètres nouveaux

• Cette définition permet de représenter l’activité mathématique en Cette définition permet de représenter l’activité mathématique en référence avec des personnages qui l’exercent, dans des conditions, référence avec des personnages qui l’exercent, dans des conditions, et avec des intentions qu’il est possible de représenter. et avec des intentions qu’il est possible de représenter.

• Elle permet donc d’introduire et étudier formellement et Elle permet donc d’introduire et étudier formellement et expérimentalement, comme nous l’avons vu, des caractères de cette expérimentalement, comme nous l’avons vu, des caractères de cette activité qui n’apparaissent pas dans les textes de mathématiques : activité qui n’apparaissent pas dans les textes de mathématiques :

• - Caractères du milieu : états permis ou non, incompatibilités, - Caractères du milieu : états permis ou non, incompatibilités, • - Caractères des activités concevables : inventaire et évaluation des - Caractères des activités concevables : inventaire et évaluation des

stratégies et des tactiques (longueur des solutions, incertitude, stratégies et des tactiques (longueur des solutions, incertitude, fatigue, effets, …) fatigue, effets, …)

• - Caractères des actants et de leurs enjeux : répertoires - Caractères des actants et de leurs enjeux : répertoires linguistiques ou mathématiques, et leur taille, fatigue, possibilités linguistiques ou mathématiques, et leur taille, fatigue, possibilités d’erreur etc. d’erreur etc.

• L’objet de la modélisation n’est pas de décrire finement les élèves… L’objet de la modélisation n’est pas de décrire finement les élèves… Au contraire ce sont les cohortes d’élèves qui révèlent les Au contraire ce sont les cohortes d’élèves qui révèlent les propriétés didactiques d’une situations, et des savoirs qui s’y propriétés didactiques d’une situations, et des savoirs qui s’y rapportent. rapportent.


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Situations effectives et Situations effectives et

métaphoresmétaphores • Les situations peuvent être Les situations peuvent être utilisées réellementutilisées réellement: les sujets sont des : les sujets sont des

actants qui cherchent effectivement à atteindre les objectifs actants qui cherchent effectivement à atteindre les objectifs donnés dans les conditions données. donnés dans les conditions données.

• Comme nous l’avons montré dans l’expérience C20, les Comme nous l’avons montré dans l’expérience C20, les connaissances esquissées dans ces situations – dites d’action- connaissances esquissées dans ces situations – dites d’action- doivent être suivies assez rapidement d’une formulation et elles doivent être suivies assez rapidement d’une formulation et elles doivent voir explicitée et établie leur valeur de vérité. Des doivent voir explicitée et établie leur valeur de vérité. Des situations de formulation et des situations de « validation » situations de formulation et des situations de « validation » peuvent conduire les élèves à franchir eux-mêmes ces étapes. peuvent conduire les élèves à franchir eux-mêmes ces étapes.

• Mais les situations peuvent évidemment aussi servir comme Mais les situations peuvent évidemment aussi servir comme métaphoresmétaphores pour la définition d’une connaissance. Elles ne sont pour la définition d’une connaissance. Elles ne sont alors que décrites ou même seulement qu’évoquées. Par exemple alors que décrites ou même seulement qu’évoquées. Par exemple elles permettent de vérifier ou de doubler l’interprétation d’une elles permettent de vérifier ou de doubler l’interprétation d’une autre forme de définition. autre forme de définition.

• L’utilisation des situations effectives est soumise à une L’utilisation des situations effectives est soumise à une règle règle d’économie.d’économie.

• Elle est souvent très coûteuses en temps de mise en scène, elles Elle est souvent très coûteuses en temps de mise en scène, elles doivent être réservées aux doivent être réservées aux connaissances fondamentalesconnaissances fondamentales et et complexes, difficiles à comprendre ou souvent appliquées de façon complexes, difficiles à comprendre ou souvent appliquées de façon erronée. La rapport entre le temps de la mise en scène et le temps erronée. La rapport entre le temps de la mise en scène et le temps passés par les élèves à une réflexion mathématique utile est un passés par les élèves à une réflexion mathématique utile est un indicateur essentiel. indicateur essentiel.


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Conclusions Conclusions • Nous avons utilisé l’analyse de situations Nous avons utilisé l’analyse de situations • a. Pour déterminer les conditions typiques des a. Pour déterminer les conditions typiques des

principaux concepts mathématiques de principaux concepts mathématiques de l’enseignement commun (TSM)l’enseignement commun (TSM)

• b. Pour déterminer les conditions dans lesquelles des b. Pour déterminer les conditions dans lesquelles des observateurs pouvaient construire des connaissances observateurs pouvaient construire des connaissances objectives relatives à l’enseignement, en particulier objectives relatives à l’enseignement, en particulier pour construire notre dispositif d’observation le pour construire notre dispositif d’observation le COREMCOREM

• c. Pour décrire et analyser les situations c. Pour décrire et analyser les situations d’enseignement spécifiques des questions de d’enseignement spécifiques des questions de mathématiques (TSDM)mathématiques (TSDM)


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Exercice de recherche en TSMExercice de recherche en TSM

• Sujet 1.Sujet 1. • Dans tout quadrilatère convexe inscriptible dans un cercle, Dans tout quadrilatère convexe inscriptible dans un cercle,

les produit des diagonales est égal à la somme des les produit des diagonales est égal à la somme des produits des côtés opposés.produits des côtés opposés. (« théorème de Ptolémée ») (« théorème de Ptolémée »)

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RéférencesRéférences

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