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Licence 3 ESEA, Option Robotique / Vision, semaine 8 1

UE Robotique et VisionAnalyse des images – Transformations ponctuelles


Plan du cours

1 – Histogramme

Définition et interprétationHistogrammes normalisé et cumulé

2 – Principe des transformations d'images

Types de transformations d'imagesTransformations ponctuelles : table de correspondance (LUT)Lien avec l'histogramme

3 – Transformations ponctuelles pour l'amélioration du contraste

Transformations linéairesTransformations non linéairesÉgalisation d'histogramme

4 – Autres transformations ponctuelles

Opérations logiquesOpération algébriques

Histogramme Transformations Amélioration du contraste Opérations algébriques


Histogramme : définition

Définition et notation

L'histogramme d'une image en niveau de gris dénombre les occurrences de chacun des niveaux.Notation : h(i) = nombre de pixels dans l'image ayant le niveau de gris i.Cas considéré : image codée sur m=8 bits 256 niveaux de gris disponibles

I 100×100



Histogramme : interprétation (1/4)

Informations issues de l'histogramme

luminance de l'image = moyenne µ des niveaux de gris.

variance σ ² ou écart-type σ = amplitude moyenne de la variation des niveaux de part et d'autre de la moyenne.

=1

N x×N y∑i=0

255

h i×i , 2=

1N x×N y

∑i=0

255

h i× i−2

0 µ=152.8 255

σ=16.5 σ

0 µ=143.7 2550 µ=76.4 255

Luminance faible Luminance élevée




Informations issues de l'histogramme (suite)

gamme dynamique de l'image : différence entre le plus haut et le plus bas niveau présents dans l’image i

max - i

min (cf. plage tonale [i

min , i

max]).

contraste de l'image : peut être estimé par l'écart-type σ . Il est d'autant plus élevé que l'histogramme est « étalé » horizontalement.


Contraste faible Contraste élevé

500

0

500

0

0 imin

=3 imax

=2550 imin

=66 imax

=191 255



Informations issues de l'histogramme (suite)

présence de pics significatifs pour certaines plages de niveaux de gris (appelées modes), correspondant à des ensembles de pixels intéressants.

Exempled'histogramme

bimodal




Remarque importante

L'histogramme donne une information sur les occurrences (fréquences d'apparition) des niveaux de gris des pixels de l'image, mais ne donne aucune indication sur la répartition (fréquences spatiales) de ces niveaux de gris au sein de l'image.Exemple : ces 4 images ont même histogramme, lequel ?



Histogrammes normalisé et cumulé (1/2)

Histogramme normalisé

La probabilité d'apparition d'un niveau de gris i dans l'image est

La fonction correspondante hn est l'histogramme normalisé.

Histogramme cumulé

L'histogramme cumulé dénombre les occurrences cumulées de chacun des niveaux :

Il est défini de façon récursive par

La probabilité qu'un pixel ait un niveau de gris inférieur ou égal à i est

hn i=hi

N x×N y

, hn i∈[0,1]

hc i =∑k=0

i

hk , hci ∈[0, N x×N y ]

{hc0 = h0

hc i = hc i−1h i

hci

N x×N y

, avechc255

N x×N y

=1



Histogrammes normalisé et cumulé (2/2)

Exemple

Image de dégradé à 8 niveaux successifs

Image Histogramme h (échelle G) Histogramme cumulé hc

Histogramme normalisé hn (D)

I 100×100



Transformations d'images : principe et types (1/2)

Principe

Changer la valeur de chaque pixel d'une image I pour obtenir une nouvelle image I'. Cette image résultat a même taille que I, mais des propriétés plus intéressantes.

Notation

La transformation est notée t :

Types de transformations

Ponctuelles (ou pixel à pixel) : la nouvelle valeur I'(x,y) est obtenue à partir de I(x,y) seulement.Locales (ou de voisinage) : la nouvelle valeur I'(x,y) est obtenue à partir de l'ensemble des valeurs initiales I(V (x,y)) dans un voisinage autour du pixel de coordonnées (x,y).Globales : la nouvelle valeur I'(x,y) est obtenue à partir de l'ensemble des valeurs de l'image initiale I.

I N x×N yt

I ' N x×N y



Transformations d'images : principe et types (2/2)

Transformations ponctuelles

Ex. seuillage, ajustement luminosité/contraste

opérations algébriques, manip. d'histogramme

Transformations locales

Ex. filtrage

Transformations globales

Ex. transformation dans l'espace de Fourier

I x , y t

I ' x , y =t I x , y

I x , y t

I ' x , y =t I

x

y

x

y

t

t

x

y

t

I I'


I x , y t

I ' x , y =t I V x , y

x

y

x

y

t

V x , y

I I'


Transformations ponctuelles : LUT (1/2)

Principe

Une transformation ponctuelle t change un niveau de gris i dans l'image initiale I en un niveau de gris i' pour obtenir l'image résultat I'.Elle est donc définie par une table de correspondance ou LUT (Look-Up Table) qui définit, pour chaque niveau de gris i, le nouveau niveau i'=t(i).

Représentationsde la LUT

tableauougraphe(souvent continubien que tsoit discrète)



Transformations ponctuelles : LUT (2/2)

Exemplesidentité i'=i négatif i'=255-i seuillage i '={ 0 si i127

255 si i127


i i'=t(i) i i'=t(i) i i'=t(i)

0 0 0 255 0 0

1 1 1 254 ... ...

2 2 2 253 126 0

3 3 3 252 127 1

... ... ... ... ... ...


Transformations ponctuelles et histogramme

Lien avec l'histogramme

Une LUT définit la transformation t des niveaux de gris entre l'image initiale et l'image finale.Cette transformation change la distribution statistique des niveaux de gris,caractérisée par l'histogramme de chaque image



Transformation linéaire simple

Expansion de la dynamique

Soit [imin

, imax

] la plage

tonale de l'image initiale.Fonction de transformation

Effet : rehaussementdu contraste parexpansion de la dynamiqueRemarque : pas d'effet siimin

=0 , imax

=255

i '= 255imax−imin

(i−imin)

aveci−i min

imax−imin∈[0,1]



Autres transformations linéaires

Transformation linéaire avec saturation

Définie par 2 seuils : imin

< Smin

< Smax

< imax

Effet : rehaussement du contrastedes niveaux i tels que S

min < i < S

max

et saturation à 0 des niveaux i tels que i

min < i < S

min

à 255 des niveaux i tels que Smax

< i < imax

Transformation linéaire par morceaux

Effet : selon la pente locale (gain), expansion ou compression de la dynamique

rehaussement du contraste si gain > 1diminution du contraste si gain < 1



Quantification et transformations non-linéaires

Quantification

Transformation linéaire par morceauxutilisant des paliers.Ex. : paliers de mêmes largeurs et dehauteurs réparties uniformément.Résultat : seuls les niveaux de ces palierssont conservés dans le résultat.

Transformation non-linéaire gamma

L'intensité mesurée par une caméra est unefonction logarithmique de l'intensité réelle.L'intensité rendue par un moniteur CRT est une fonction exponentielle de l'intensité en entrée.

Correction γ de ces défauts : 1/γ < 1 éclaircit principalement les parties foncées

1/γ > 1 assombrit principalement les parties claires

caméraécran

i '=255 i255 1/

fonction de correction

écran corrigé

fonction de

rendu initiale



Égalisation d'histogramme : Principe (1/2)

Principe

On cherche à obtenir une image où les niveaux de gris sont répartis de manière la plus égalitaire possible (contraste maximal).L'histogramme de l'image résultat I' est donc plat (idéalement) :

histogramme histogramme cumulé



Égalisation d'histogramme : Principe (2/2)

Principe (suite)

On cherche une fonction de transformation t : i → i'croissante (i.e. préservant l'ordre des niveaux de gris)qui génère (autant que possible) un histogramme h'(i') « plat », c'est-à-dire une distribution uniforme des niveaux de gris

t ?



Égalisation d'histogramme : Formule

Formule d'égalisation

La transformation t : i → i' cherchée est :

Exemple simplifié avec 12 niveaux (non 256) et NxxN

y=120 pixels

i '=E ( 256N x×N y

hc(i)−1) , avec hc(i)=∑k=0i h (k )

i h(i) hc(i) i'=t(i)

0 3 3 0

1 3 6 0

2 4 10 0

3 4 14 1

4 3 17 1

5 1 18 1

6 20 38 2

7 22 60 5

8 30 90 8

9 5 95 8

10 4 99 8

11 21 120 11

i' h'(i')

0 10

1 8

2 20

3 0

4 0

5 22

6 0

7 0

8 39

9 0

10 0

11 21

paliers



Égalisation d'histogramme : Exemples (1/2)



Égalisation d'histogramme : Exemples (2/2)



Égalisation d'histogramme : Résumé

Résumé de la méthode et remarques

L'égalisation de l'histogrammeconsiste à regrouper des ensembles de niveaux de gris de valeurs voisines, pour obtenir un nouveau niveau de gris en quantité approchant N

xxN

y / 256 ;

fournit de nouveaux niveaux uniformément répartis sur [0, 255].

Remarques sur l'amélioration par égalisation d'histogramme :On obtient une image améliorée pour la visualisation (amélioration subjective).Il est impossible d'obtenir une égalisation parfaite.Peut améliorer une image quand la correction de dynamique est inefficace.

Le regroupement de niveaux initiaux (paliers de t ) implique :une perte objective d'information ;que cette transformation n'est pas réversible.

Variante : spécification d'histogrammePrincipe : déterminer la transformation permettant d'approcher un histogramme de forme prédéfinie.But : « favoriser » certaines plages d'intensité où l'on recherche des détails.



Opérations logiques et arithmétiques : introduction

Principe

Appliquer, pixel à pixel, les opérations logiques et arithmétiques classiques à deux (ou plusieurs) imagesLes images opérandes

doivent être de même taille ;peuvent être des images constantes.

Exemplesaddition, soustraction, ...ET logique, OU logique, ...

Problèmesdébordements de [0, 255]normalisation...

I 1 x , y , I 2 x , y t

I ' x , y=t I 1 x , y , I 2 x , y

x

yx

y

t

I1

I'

x

y

I2



Opérations logiques : ET/OU logiques (1/2)

Principe

Images binaires : ET/OU logique entre les pixels.

Images en niveaux de gris : ET/OU logique bit à bit entre les 8 bits codant les valeurs des pixels.

I1(x,y) I

2(x,y) ET(I

1,I

2)(x,y) OU(I

1,I

2)(x,y) XOR(I

1,I

2)(x,y)

0 0 0 0 0

0 1 0 1 1

1 0 0 1 1

1 1 1 1 0

bit n° 7 6 5 4 3 2 1 0

I1(x,y) = 73 0 1 0 0 1 0 0 1

I2(x,y) = 141 1 0 0 0 1 1 0 1

ET(I1,I

2)(x,y) = 9 0 0 0 0 1 0 0 1

OU(I1,I

2)(x,y) = 205 1 1 0 0 1 1 0 1

XOR(I1,I

2)(x,y) = 196 1 1 0 0 0 1 0 0



Opérations logiques : ET/OU logiques (2/2)

Utilisations principales

Images binaires (surtout) :ET logique : intersection logique

OU logique : union logique

OU exclusif : exclusion logique

Masquage

I2 (masque)I

1

t

ET ( I1 , I

2 ) OU ( I

1 , I

2 )

I1

I2

ET ( I1 , I

2 )

OU ( I1 , I

2 )

XOR ( I1 , I

2 )



Opérations arithmétiques : Addition

Addition d'images

Principe : I'(x,y)=I1(x,y)+I

2(x,y) pour tout pixel de coordonnées (x,y)

Stratégies si dépassement de capacitéDécalage des valeurs dans [0, 127] avant addition (perte du bit de poids faible)Saturation : I'(x,y) = min ( I

1(x,y)+I

2(x,y), 255)

Pré-calcul des valeurs finales (théoriques) minimale et maximale

puis recadrage de la dynamique :

Utilisations principalesAugmentation de la luminance d'une image (par addition d'une constanteou d'une image avec elle-même)Diminution du bruit dans une série d'images

i 'min= min x, y∈ I

I 1x , y I 2 x , y et i ' max= maxx , y∈ I

I 1x , yI 2x , y

I ' x , y=255

i ' max−i 'min I 1x , y I 2x , y



Opérations arithmétiques : Soustraction

Soustraction d'images

Principe : I'(x,y)=I1(x,y) - I

2(x,y) pour tout pixel de coordonnées (x,y)

Stratégies si dépassement de capacitéSaturation : I'(x,y) = max ( I

1(x,y) - I

2(x,y), 0)

Différence absolue : I'(x,y) = | I1(x,y) - I

2(x,y) |

Utilisations principalesDiminution de la luminance d'une imageDétection de changements entre images

défauts (par comparaison avec une image de référence)

mouvements (par comparaison avec une autre image de la séquence)

source : H.-H. NagelIAKS , Karlsruhe


http://i21www.ira.uka.de/image_sequences/


Opérations arithmétiques : Autres opérations (1/2)

Multiplication

Principe : I'(x,y) = I1(x,y) x I

2(x,y) ou, plus souvent, I'(x,y) = k x I(x,y)

Stratégies si dépassement de capacité : saturationUtilisations principales : amélioration du contraste et de la luminosité d'une image (changement d'échelle des niveaux de gris)

Combinaison linéaire

Principe : I'(x,y) = k x I1(x,y) + (1-k) x I

2(x,y)

Le facteur k définit la contribution relative de I1 et I

2 au résultat I'.

Utilisation principale : superposition d'images

Division

Principe : I'(x,y)=I1(x,y) / I

2(x,y) ou, plus souvent, I'(x,y)=I(x,y) / k

Problème : éviter la division par 0 ; comment normaliser ?Utilisation principale : détection des changements et de leur amplitude



Opérations arithmétiques : Autres opérations (2/2)

Exemples

Réduction du bruitpar moyennage d'une série temporelle d'images d’objets fixes

Source : Max Mignotte (Montréal)

Superposition

I ' x , y =1n∑k =0

n

I k x , y

Ik

I' (n=2) I' (n=8)

I' (n=16) I' (n=32) I' (n=128)

I1

I2

0,5.I1

+0,5.I2

0,25.I1

+0,75.I2


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