1res STI Gnie Civil McaniqueLes deux types dactions mcaniques Lyce Le Corbusier1/9 CHAPITRE 3 LES DEUX TYPES DACTIONS MECANIQUES Onrappellequelesdeuxtypesdactionsmcaniquessontlesactionsdistanceetlesactionsde contact. I - MODELISATION D'UNE ACTION MECANIQUE A DISTANCE : I - 1 Nature des actions mcaniques distance : NousavonsdjvuauChapitre2quelesactionsmcaniquesdistancepeuventtreduesdes champsdepesanteur,magntique,lectromagntique,lectrostatique...maisqueseullechampde pesanteur, cest dire le poids, est utilis en BTP. Dans chacun de ces cas, on remarque que la force sexerce sans que les solides ne soient en contact. I - 2 Modlisation d'une action mcanique de pesanteur : L'action mcanique distance de pesanteur est l'action mcanique exerce par la terre sur un solide. Cette action correspond au poids dun solide. Eneffet,touslescorpssattirentgrceuneforcedattractiondpendantdesmassesdechaque solide et de la distance les sparant. Ainsi, la terre attire tous les corps. On modlise le poids par une force note P : - de direction verticale (direction : objet - centre de la terre), - de sens vers le bas ( vers le centre de la terre), - de point d'application G, centre de gravit du solide, - d'intensit P = m . g, avec m : masse du solide en kg et g = 9,81 m/s2, acclration de la pesanteur. g varie suivant l'altitude et la latitude entre 9,78 et 9,84 m/s2. On prend souvent g = 10 m/s2. - d'unit : le Newton, not N. Le torseur d'une action mcanique de pesanteur est donc un glisseur. REMARQUE : Il ne faut pas confondre masse et poids. La masse d'un solide reste constante partout dans l'univers, contrairementaupoids.Surlaterre,unsolideaunpoidsP=m.g.Danslespace,unsolideala mmemassemaisunpoidsquasi-nul,etainsilescorpsflottent.Surlalune,lemmesolideaun poids dix fois plus faible que sur la terre, car il s'agit de l'action de la lune sur le solide. Ainsi, la masse caractrise la quantit de matire du solide, et le poids, l'action exerce par la terre sur le solide. 1res STI Gnie Civil McaniqueLes deux types dactions mcaniques Lyce Le Corbusier2/9 I 3 Calcul dun poids (Rappels) : = m / vavec : masse volumique du solide en kg/m3 m : masse du solide en kg etv : volume du solide en m3 = P / vavec : poids volumique en N/m3

P : poids du solide en N et v : volume du solide en m3. avec = . g d = / 0 avecd : densit du solide (pas d'unit) 0 : masse volumique de leau (rfrence) = 1000 kg/m3 D'o,pourcalculerlepoidsdunsolide,suivantcequiestdonndanslnonc,cestdiremasse, masse volumique, poids volumique ou densit, on choisit parmi les formules suivantes celle qui est utiliser : P = m . gP = . v . gP = . vP = d . 0 . v . g I - 4 Dtermination du centre de gravit d'un solide : I 4 - 1 centre de gravit : Le centre de gravit dun solide est not G et est le point d'application du poids, rsultante de tous lespoidslmentairesdespetitesquantitsdematirequiconstituentlesolide.Gesttoujoursau mme endroit sur le solide. Mais G est aussi le barycentre de tous les points Gi, centre de gravit de chaquepetitequantitdematire,affectsdescoefficientspoidsPi,poidsdechaquepetitequantit de matire. Si lon prend un repre dorigine O, alors OG = ( Pi . OGi ) / P avec P = Pi Ce qui se traduit dans le repre ( O, x, y, z), en nommant les coordonnes de G, xG, yG et zG et celles des points Gi, xGi, yGi et zGi par xG = ( Pi . xGi) / PyG = ( Pi . yGi) / P zG = ( Pi . zGi) / P I 4 - 2 centre de masse : Le centre de masse est le barycentre de tous les points Gi affects des coefficients masse mi. On sait que Pi = mi g P = m getm = mi Ainsi sur laxe des x xG = ( (mi g) xGi ) / ( mi g ) = [ g ( mi xGi ) ] / [ g mi ] = [ ( mi xGi ) ] / [ mi ] 1res STI Gnie Civil McaniqueLes deux types dactions mcaniques Lyce Le Corbusier3/9 On obtient la mme chose sur les axes y et z. Ce qui se traduit dans le repre ( O, x, y, z), en nommant les coordonnes de G, xG, yG et zG et celles des points Gi, xGi, yGi et zGi par xG = ( mi . xGi) / myG = ( mi . yGi) / mzG = ( mi . zGi) / m Ainsi les centres de masse et de gravit sont toujours confondus. On peut donc trs bien dterminer un centre de masse quand on demande un centre de gravit. I 4 - 3 centre de volume : (pour les solides homognes) Le centre de volume est le barycentre de tous les points Gi affects des coefficients volume vi. Un solide homogne possde une masse volumique constante partout. Ainsi,i = etmi = i vi = vi avec v = vi xG = (( vi) xGi) / ( vi) = [ (vi xGi) ] / [ vi ] = [ (vi xGi) ] / [ vi ] On obtient la mme chose sur les axes y et z. Ce qui se traduit dans le repre ( O, x, y, z), en nommant les coordonnes de G, xG, yG et zG et celles des points Gi, xGi, yGi et zGi par xG = ( vi . xGi) / vyG = ( vi . yGi) / vzG = ( vi . zGi) / v Dans le cas d'un solide homogne, les centres de volume, de masse et de gravit sont confondus. Ainsiquandondemandelecentredegravitd'unsolidehomogne,ilestplusfacilede dterminer son centre de volume puisque cela revient au mme. Enexercices,certainssolidesdonnsdanslesnoncssontdessolideshomognescompossde plusieursvolumessimples.Ilsuffitdoncdedcomposerlesvolumesdonnsenplusieursvolumes simples et utiliser les 2 thormes suivants valables pour dterminer les centres de volumes simples (paralllpipde, sphre, cylindre) : Si un volume possde un axe ou un plan de symtrie, le centre de volume se trouve dessus.Si un volume possde un diamtre, le centre de volume se trouve dessus. * cas d'un paralllpipde : G 1res STI Gnie Civil McaniqueLes deux types dactions mcaniques Lyce Le Corbusier4/9 * cas d'une sphre : G * cas d'un cylindre : G Exemples : 1) Soit un plancher compos d'une plaque et deux poutres, 123la dalle et les deux poutresforment trois paralllpipdes. 2) Soit un mur dans lequel il y a un trou, Il faudra considrer un paralllpipdemoins un cylindre. 1res STI Gnie Civil McaniqueLes deux types dactions mcaniques Lyce Le Corbusier5/9 I 4 - 4 centre de surface : (cas des solides homognes ayant mme section sur toute leur longueur) Le centre de surface est le barycentre de tous les points Gi affects des coefficients surface Si. Or, vi = Si L et que v = S L,La longueur du solide est L.et S = Si xG = ( (Si L) xGi ) / ( Si L ) = [ L ( Si xGi ) ] / [ L Si ] = [ ( Si xGi ) ] / [ Si ] Onobtientlammechosesurlesaxesyetz.Cequisetraduitdanslerepre(O,x,y,z),Ose trouvantuneextrmitdusolide,etennommantlescoordonnesdeG,xG,yGetzGetcellesdes points Gi, xGi, yGi et zGi par : xG = ( Si . xGi) / SyG = ( Si . yGi) / S zG =L / 2 Pour un solide homogne possdant une mme section S sur toute une longueur L, les centres de surface, de volume, de masse et de gravit sont confondus. Ainsi quand on demande le centre de gravit d'un solide homogne ayant mme section sur toute sa longueur, il est plus facile de dterminer son centre de surface puisque cela revient au mme. En exercices, la plupart des solides donns dans les noncs seront des solides homognes ayant sur touteleurlongueurmmesectioncomposedeplusieurssurfacessimples.Lessurfacessimples rencontres sont des cercles, des rectangles et des triangles dont les centres de surface sont donns ci-dessous.Ilsuffitdoncdedcomposerlessectionsdonnesenunminimumdesurfacessimpleset appliquer les formules ci-dessus pour xG et yG.GGG D/ 2 a b b/ 2 a/ 2 a bb/ 3 a/ 3 Remarques : 1)Attentionpourlecalculdescoordonnes,xGetyGdoiventtrecalculscommeladistance horizontale pour x et verticale pour y partir de O. 2)Silexisteunaxedesymtrie,Gsetrouvedessus.Ilfautdoncrecherchertouslesaxesde symtrie ds le dbut. Car sil y en a, cela vite des calculs. Si Oy est axe de symtrie, cest xG qui nest pas calculer. Si cest Ox qui est axe de symtrie, cest yG qui nest pas calculer. 3) Pour rendre les calculs plus faciles, on place lorigine O du repre le plus gauche et le plus bas sur la figure, car sinon, il ne faut pas oublier le signe - des coordonnes situes gauche de O pour x et en dessous de O pour y. Sil existe un axe de symtrie, il peut tre utile de placer O sur cet axe. 1res STI Gnie Civil McaniqueLes deux types dactions mcaniques Lyce Le Corbusier6/9 I 4 5 exemple d'application : 1)Soitlesolidesuivanthomogne,dterminezl'emplacementdeGenutilisantledcoupage suivant. y+ y 100 1 L 2 Ox 200 z O x 200 100 On remarque que ce solide est homogne et a une mme section en forme de L sur toute sa longueur. On peut donc dterminer un centre de surface puisquil est confondu avec le centre de gravit. On remarque sur la figure que zG = - L/2. SixGiyGiSi . xGi Si . yGim2mmm3m3 10,2 x 0,10,10,250,0020,005 = 0,02 20,1 x 0,30,250,150,0075 0,0045 = 0,03 Si0,05 Si . xGi = 0,0095 Si . yGi = 0,0095 do,xG = 0,0095/0,05 = 0,19 metyG = 0,0095/0,05 = 0,19 m Il est logique dobtenir la mme chose pour xG et yG car il existe un axe de symtrie situ 45 partir de O. On place G sur le dessin et on remarque que G n'est pas forcment sur le solide. 1res STI Gnie Civil McaniqueLes deux types dactions mcaniques Lyce Le Corbusier7/9 2) Soit le mme solide homogne, dterminez l'emplacement de G en utilisant cet autre dcoupage. y +1 correspond au carr 300 x 300 et 2 au carr200 x 200. Il faut faire 1 2. 1 2 O x On remarque que ce solide est homogne et a une mme section en forme de L sur toute sa longueur L. On peut donc dterminer un centre de surface puisquil est confondu avec le centre de gravit. On remarque sur la figure que zG = - L/2. SixGiyGiSi . xGi Si . yGim2mmm3m3 10,3 x 0,30,150,150,0135 0,0135 = 0,09 - 2- 0,2 x 0,20,10,1- 0,004 - 0,0045 = - 0,04 Si0,05 Si . xGi = 0,0095 Si . yGi = 0,0095 do,xG = 0,0095/0,05 = 0,19 metyG = 0,0095/0,05 = 0,19 m On peut ne pas mettre les rsultats sous forme de tableau mais il faut toujours donner les Si, les xGi et les yGi. Pour cela, on crit pour lexemple prcdent : S1 = 0,3 x 0,3 = 0,09 m2G1 ( 0,15 m ; 0,15 m) S2 = - 0,2 x 0,2 = - 0,04 m2G2 ( 0,1 m ; 0,1 m) Do,xG = (0,09 x 0,15 0,04 x 0,1) / (0,09 0,04) = 0,19 m yG = (0,09 x 0,15 0,04 x 0,1) / (0,09 0,04) = 0,19 m De toutes faons, il faut avant de faire les calculs donner tous les renseignements sur les Si, les xGi et les yGi. Danslesexercices,lesdcoupagesdessurfacesenunminimumdesectionssimplesnesontpas donnes et ce sera vous de le faire. Il faut donc bien rflchir au dbut de chaque exercice. 1res STI Gnie Civil McaniqueLes deux types dactions mcaniques Lyce Le Corbusier8/9 II - MODELISATION D'UNE ACTION MECANIQUE DE CONTACT : II 1 Contact de deux solides : Le contact entre 2 solides correspond toujours une surface de contact si petite soit-elle. En effet, un solide en contact avec un autre solide exerce dessus, une action qui est en fait lensemble dfini par : -la rsultante de petites forces appliques sur des surfaces lmentaire de somme, la surface de contact,-et le moment de ces petites forces au centre gomtrique de l'assemblage. Cestcettersultanteetcemomentqueloncherchedterminerenlesplaantdansunrepre. (Pour les fluides, voir chapitre hydrostatique) II - 2 Inconnues de liaison : Une liaison est dite "parfaite" s'il n'existe pas de jeu dans les mouvements de la liaison et si le contact des surfaces est sans adhrence. Au chapitre 1, nous avons vu qu'il existait : - dans lespace, 10 liaisons parfaites et 6 mouvements possibles indpendants : 3 translations Tx, Ty, Tz et 3 rotations Rx, Ry, Rz, - et dans le plan, 3 liaisons parfaites et 3mouvements possibles indpendants : 2 translations Tx et Ty et 1 rotation Rz, dans le plan ( O, x, y). Enfait,unsolidepeuteffectuerunmouvementparrapportunautresolidesuivantunaxe,sil n'existerienquil'empchesurcetaxe.Parcontre,silemouvementnestpaspossible,ilexiste quelque chose qui lempche : une force ou un moment. Une force permet d'empcher une translation, et un moment, une rotation. Ces forces et ces moments sont appels inconnues de liaison. Ainsi, si la translation Tx est empche, il existe une inconnue de liaison X, force sur x qui empche ce mouvement. SilatranslationTyestempche,ilexisteuneinconnuedeliaisonY,forcesuryquiempchece mouvement. Si la rotation Rz est empche, il existe une inconnue de liaison N, moment autour de z qui empche ce mouvement. 1res STI Gnie Civil McaniqueLes deux types dactions mcaniques Lyce Le Corbusier9/9 II - 3 Etude des 3 liaisons du BTP : Cestroisliaisonssontsituesdansunplandesymtrie(O,x,y)maisletorseurseradfinidans l'espace, de repre ( O, x, y, z). LIAISONS SCHEMA avec repre Mouvements libres indpendants d Mouvements emp chs indpen dantsnombre d'in-con nues Torseur associ pris au centre gomtrique A de l'assemblage Action correspondant la liaison encastre-ment y A x aucun 0 TxTy Rz 3 XA 0 YA 0 0NA A

XA A NAYA articulation y A x Rz 1 Tx Ty 2 Si on ne connat pas LangleXA 0 YA 0 0 0 A on connat langle de la force A cos0 A sin 0 0 0 A XA A YA A

appui simple y A x

y Ax Tx Rz Ty Rz 2 2 Ty Tx 1 1 0 0 YA 0 0 0 A XA0 00 A0 0 A YA A XA Remarque : On connat toujours la direction de la force correspondant lappui simple puisquelle est dirige vers la pointe du triangle.