trigo geometrie complexes
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7/17/2019 Trigo Geometrie Complexes
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M1 : GEOMETRIE ET NOMBRES COMPLEXES.
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GEOMETRIE, TRIGONOMETRIE ET NOMBRES COMPLEXES.
L’alphabet grec :
Il existe 24 lettres en grec classique qui sont les suivantes :
Α α alpha Β β bêta Γ γ gamma Δ δ delta Ε ε epsilon Ζ ζ dzeta
Η η êta Θ θ thêta Ι ι iota Κ κ kappa Λ λ lambda Μ μ mu
Ν ν nu Ο ο omicron Ξ ξ xi Π π pi Ρ ρ rhô Σ σ sigmaΤ τ tau Υ υ upsilon Φ φ (ϕ) phi Χ χ khi Ψ ψ psi Ω ω oméga
On utilise aussi la lettre : ϖ appelée « pi dorien ».
I : Géométrie.1°) Aires :
Figure rectangle parallélogramme triangle trapèze
forme
Surface ab ah2
hb
( )
2
h b B+
h b
ah
B
h b
b a
Figure ellipse disque sphère cylindre
forme a b r r r
h
Surface abπ 2r π 24 r π S. lat. = 2 rhπ
2°) Volumes :Figure cube cône boule cylindre
forme
volume3a
3d a=
2
3
r hπ
34
3
r π 2r hπ
3°) A propos de triangles :Triangle quelconque Triangle rectangle
α β γ π + + = 2
π α β + = 2 2a b c+ = 2
sin( ) sin( ) sin( )
a b c
α β γ = = cosinus
adjacent
hypoténuse= ; sinus
opposé
hypoténuse=
2 2 2 2 .cos( )a b c bc α = + − tangente opposé
adjacent = ;
1cotangente
tangente=
A
B
c
a
b
β
α
γ C
hrd
rh
r a
A
C
c (hypoténuse)
a
b
α
β B
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II : Trigonométrie.Dans le cercle de rayon unité ci-contre, on a, en fonction de l’angle orienté θ :
tan( ) OQ π
sin( )OQ θ =cos( )OP θ = k OP
θ = , θ 2
π ≠ + .
Valeurs remarquable
s :
O
⊕ cercle de rayon06
π 4
π 3
π 2
π π
sin 01
2 2
2
3
2 1 0
cos 1 3
2
2
2
1
2 0 -1
tan 01
3 1 3 ∞ 0
Relat u elles ions su :
La fonction cosinus est paire impaires.
Les fonctions sinus et tangente sont
2 2cos ( ) sin ( ) 1θ θ + = .2
2
2
1 cos(2 ) tan ( )sin ( )
2 1 tan ( )
θ θ θ
θ
−= =
+
sin( )tan( )
cos( )
θ θ
θ = 2
2
1 cos(2 ) 1cos ( )
2 1 tan ( )
θ θ
θ
+= =
+
Angles remarquables :
( )
( )a
aπ
π −
+ sin( ) sincos( ) cos
tan( ) tan
a aa a
a a
π π
π
+ = −+ = −
+ =
sin( ) sincos( ) cos
tan( ) tan
a aa a
a a
π π
π
− =− = −
− = −
2a
a2
π
π
+
−
sin( ) cos2
cos( ) sin2
1tan( )
2 ta
a a
a a
aan
π
π
π
+ =
+ = −
+ = −
sin( ) cos2
cos( ) sin2
1tan( )
2 ta
a a
a a
aan
π
π
π
− =
− =
− =
Addition :cos( ) cos . cos sin .sina b a b a b+ = − . cos( ) cos . cos sin .sina b a b a b− = +
sin(a b) sin . cos cos . sina b a b+ = + sin( ) sin . cos cos .sina b a b a b− = − 2 2
2
2
cos sin ( )
cos(2 ) 2cos 1
1 2sin ( )
a a
a a
a
⎧ −⎪
= −⎨⎪ −⎩
sin(2 ) 2sin .cosa a a=
tan( ) tan( )tan( )
1 tan( ) tan( )
a ba b
a b
++ =
−
tan( ) tan( )tan( )
1 tan( ) tan( )
a ba b
a b
−− =
+
unité
P
Q
cosinus
sinus tangente
M T
θ
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Linéarisation :
[ ]1
cos .cos cos( ) cos( )2
a b a b a b= + + − 2 1 cos(2 )cos ( )
2
aa
+=
[ ]1
sin .sin cos( ) cos( )2
a b a b a b= − − + 2 1 cos(2 )sin ( )
2
aa
−=
[ ]1
sin .cos sin( ) sin( )2
a b a b a b= + + − 1
sin . cos sin(2 )2
a a a=
Factorisation :
cos cos 2cos .cos2 2
p q p p q
+ −⎛ ⎞ ⎛ q+ = ⎜ ⎟ ⎜
⎝ ⎠ ⎝ ⎞⎟
⎠ cos cos 2sin .sin
2 2
p q p p q
+ −⎛ ⎞ ⎛ − = − ⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝
q ⎞⎟
⎠
sin sin 2sin .cos2 2
p q p p q
+ −⎛ ⎞ ⎛ + = ⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝
q ⎞
⎟ ⎠
sin sin 2sin .cos2 2
p q p p q
− +⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
q
III : Nombres complexes.1°) Les représentations d’un nombre complexe.
Forme algébrique Forme trigonométrique Représentation de Fresnel
ei z r = θ , avec r > 0 z a ib= + ,
avec 21i = − .
Remarque : souvent, enphysique, l’imaginaire pur iest noté j.
Module : 2 2 z a b= + .
2 2r z a b= = + .
arg( )θ = soit :
arctan 0
arctan 0
b si a
a
b si aa
⎧ ⎛ ⎞ >⎜ ⎟⎪⎪ ⎝ ⎠= ⎨
⎛ ⎞⎪ + <⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎩
θ
π
.
z est représenté dans le plancartésien xOy par le point M :
tel que : x yOM ae be= +
M
axe réelx
y
r
θ
O
axeimaginaire
a
b
2°) Conjugué d’un complexe.
Soit z le nombre complexe : i z a ib re θ = + = .
On note le nombre complexe conjugué de z , avec : ia ib re θ −= − = z .
Remarque : en physique, le complexe conjugué est souvent noté z* au lieu de . C’est
dû au fait que la notation X peut désigner aussi en physique la valeur moyenne de X .
3°) Opérations sur les nombres complexes :
' ' z z z z + = + ' . zz z z = '2
z z z = ( ) arg( )arg z z = −
'). ' . ' 'e' (i i i z z re r e rr += =θ θ θ θ ' . zz z z = ' ( '
' e
' ' '
ii
i
z re r
z r e r
−= =θ
)θ θ
θ
' '
z
z z =
Formule de Moivre : m( )cos sin cos( ) sin( )m
i m iθ θ θ + = + θ .
Formules d’Euler :exp( ) ( )
cos( )2
ix exp ix x
+ −= et
exp( ) ( )sin( )
2
ix exp ix x
i
− −= .