Considérons le tableau triangulaire suivant constitué de cases empilées : La case située au sommet de ce « triangle » reçoit la valeur 1. Chaque case recevra comme valeur la somme des valeurs des cases situées au dessus. Généralement, il y a deux cases. Sinon, nous pouvons considérer qu’il existe une case virtuelle contenant la valeur 0.

THEME :

LE TRIANGLE DE PASCAL

Exercice 1 : Faites un tableau similaire ( 6 ou 7 lignes ) et complétez-le. � Autre présentation du tableau triangulaire dit triangle de Pascal ou triangle arithmétique

Il suffit, pour le compléter, de faire la somme du nombre situé juste au-dessus avec le nombre ( s’il existe, sinon, nous prenons 0) situé juste au-dessus, à gauche

Exercice 2 : Faites un tableau similaire ( 6 ou 7 lignes ) et complétez-le.

1

1 1

2

Blaise Pascal (19 juin 1623, Clermont-Ferrand - 19 août 1662, Paris) est un mathématicien et physicien, philosophe et théologien français. Enfant précoce, à onze ans, il compose un court Traité des sons des corps vibrants. Son père réagit en interdisant à son fils toute poursuite de ses études en mathématiques jusqu’à quinze ans, afin qu’il puisse étudier le latin et le grec. Pascal rédige, à seize ans, un traité sur les sections coniques : Essai pour les coniques. La majeure partie en est perdue mais un résultat essentiel et original en reste sous le nom de théorème de Pascal. Le travail de Pascal était si précoce que le scientifique Descartes, quand il a vu le manuscrit, croyait qu’il était de son père. A dix-huit ans, Pascal construit la Pascaline, machine à calculer capable d’effectuer des additions et des soustractions, afin d’aider son père dans son travail. En 1654, il écrit son Traité du triangle arithmétique dans lequel il donne une présentation commode en tableau des coefficients du binôme, le « triangle arithmétique », maintenant connu sous le nom de « triangle de Pascal ». (Il faut noter qu’un mathématicien chinois sous la dynastie des Qin, Yang Hui, avait travaillé quatre siècles plus tôt sur un concept semblable au triangle de Pascal et Omar Khayyam, six siècles plus tôt). Il étudia également la Physique et principalement la pression. Blaise Pascal a réalisé la fameuse expérience des liqueurs (qu'on traduirait aujourd'hui par Expérience des liquides), qui prouva qu'il existait une « pression atmosphérique ». À l'époque, l'Égliserépandait l'idée que « la nature a horreur du vide ». A cette date, la plupart des scientifiques supposaient que quelque invisible matière remplissait cet espace, mais que ce n’était pas un espace vide. Des inondations ayant eu lieu en Italie et en Hollande avaient conduit à des pompages d'eau pour vider les carrières de minerai des deux pays. Mais les pompes énormes fabriquées pour l'occasion laissaient perplexes les hommes de l'Église : la hauteur de l'eau dans les tubes de pompage s'arrêtait à 10,33m . Et cela en des lieux très différents. À Clermont-Ferrand, Blaise Pascal est en train d'écrire un traité sur la mécanique des fluides. Il émet donc l'hypothèse qu'une sorte de « pression atmosphérique » empêche l'eau de monter très haut dans les pompes, et que le vide occupe l'espace supérieur des tubes. Cependant, il se heurte fortement à l'Église, qui fait refaire l'étanchéité des pompes afin de vérifier qu'il ne s'agit pas d'air. Mais leurs travaux leur donnent finalement tort. Blaise Pascal répète, en 1646 avec son père à Rouen, les expériences de Torricelli sur le vide. En 1647, Pascal publie ses Expériences nouvelles touchant le vide et une préface pour un Traité du Vide, où il détaille les règles de base décrivant à quel degré les divers liquides pouvaient être maintenus par la pression de l’air. Il fournit aussi les raisons pour lesquelles un vide se trouvait réellement au-dessus de la colonne de liquide dans le tube barométrique. Il a alors l'idée d'une expérience qu'il va réaliser le 19 septembre 1648 : la pression atmosphérique devrait être différente en ville (à Clermont-Ferrand) et en haut de la montagne la plus proche, le Puy de Dôme, où la pression doit être nettement inférieure qu'au niveau de la ville. Pascal transporte donc 75 cm de mercure (poids de 10m 33 d'eau) en haut du Puy-de-Dôme et à Clermont. Des curés et des savants suivent l'expérience. Grâce au tube-témoin en ville, la présence de vide est démontrée. Il publie le Récit de la grande expérience de l'équilibre des liqueurs. Il invente la presse hydraulique (utilisant la pression hydraulique pour démultiplier la force) et la seringue.

Le tableau est le suivant :

� Autre représentation :

1 1 1 1 1 1 1

1 2 3 4 5 6 7

1 3 6 10 15 21 28

1 4 10 20 35 56 84

1 5 . . . . .

La première ligne est constituée de 1. Chaque autre ligne commence par 1 et les autres nombres sont les sommes de deux nombres : celui qui se trouve à gauche ( sur la même ligne ) avec celui qui se situe juste au-dessus. C’est sous cette forme que Pascal présente son tableau arithmétique.

Rang 0 1

Rang 1 1 1

Rang 2 1 2 1

Rang 3 1 3 3 1

Rang 4 1 4 6 4 1

Rang 5 1 5 10 10 5 1

Rang 6 1 6 15 20 15 6 1

La Pascaline

Le triangle de Yang Hui (13ième siècle )

� Développement de n) b a ( + :

Si n = 1 , alors b a ) b a ( 1

+=+

Si n = 2 , alors 222

b 2ab a ) b a ( ++=+

Si n = 3 , alors ) b 2aba )( b a ( ) b a )( b a ( ) b a (2223

+++=++=+

3222233

b 2abbaab b2a a ) b a ( +++++=+

soit 32233

b 3ab b3a a ) b a ( +++=+ Prenons , pour étude, ce dernier cas.

Nous constatons que les différents termes contiennent des expressions du type qp

ba avec p + q = 3. 3

b 2

3ab b2

3a 3

a +++

3

b 0

a 2

b1

a 1b2

a 0

b 3

a

car 1 b0

= car 1 a0

= Maintenant les coefficients de ces quatre termes sont :

3b

23ab b

23a

3a +++

1 3 3 1 Ces coefficients sont les différents nombres du triangle de Pascal situés dans la ligne de rang 3. � Autre exemple : Développement de

4) b a ( + :

� Nous pouvons décomposer 4

) b a ( + sous la forme d’un produit de 2

) b a ( + par 2

) b a ( + .

224

) b a ( ) b a ( ) b a ( ++=+

)b 2ab a ( )b 2ab a ( ) b a (22224

++++=+ = …………….

� En utilisant le triangle de Pascal :

Les différents termes de ce développement seront, comme précédemment de la forme qp

ba avec ici p + q = 4 ( 4 étant la puissance )

Quels sont les différentes possibilités ( en ordonnant la recherche ) ?

q p + = 4 + 0 = 4 donc 04

ba soit 4a

Rang 0 1

Rang 1 1 1

Rang 2 1 2 1

Rang 3 1 3 3 1

Rang 4 1 4 6 4 1

Rang 5 1 5 10 10 5 1

Rang 6 1 6 15 20 15 6 1

Rappel : 1 ba00

== si a et b sont non nuls (0

0 n’existe pas )

De même b b et aa 11

==

q p + = 3 + 1 = 4 donc 13

ba soit ba3

q p + = 2 + 2 = 4 donc 22

ba

q p + = 1 + 3 = 4 donc 31

ba soit 3ab

q p + = 0 + 4 = 4 donc 40

ba soit 4b

Nous pouvons donc écrire ( attention, l’égalité est pour l’instant fausse ) : 4322344

b ab ba ba a ) b a ( ++++=+ Afin de déterminer les coefficients de ce développement, nous devons regarder la ligne de rang 4 du triangle de Pascal. Ces nombres sont dans l’ordre : 1 ; 4 ; 6 ; 4 et 1 Par conséquent, nous pouvons enfin écrire :

4322344

b ab ba ba a ) b a ( 14641 ++++=+

soit 4322344

b ab 4 ba 6 ba 4 a ) b a ( ++++=+

Exercice 3 :

Quel est le développement de 7

) b a ( + ?

Exercice 4 :

Développer 33

) 1 2x ( , ) 1 x ( ++

� Développement de n) b a ( − :

Il suffit de constater que : nn

) ) b - ( a ( ) b a ( +=− Par exemple :

2222) b - ( ) b - ( a 2 a) ) b - ( a ( ) b a ( +××+=+=−

222

b b a 2a ) b a ( +−=− Autre exemple :

) b - ( ) b - ( a 3 ) b - ( a 3 a) ) b - ( a ( ) b a ( 322333

+××+××+=+=−

Comme 2

) b - ( = b² et ( - b )3 = - b3 , nous avons :

32233 b b a 3 ba 3 a ) b a ( −+−=−

Nous constatons que le développement de 3

) b a ( − est identique au développement de 3

) b a ( + aux signes près. Le signe – apparaît devant un terme lorsque l’exposant du nombre b est impair. Lorsque l’exposant de b est pair, le signe qui précède le terme est + .( Une puissance d’exposant pair est toujours positif )

Exercice 5 :

Développer 33

) 3 2x ( , ) 1 x ( −−

� Un peu plus loin avec le triangle de Pascal

( x + 1 ) 3 = x3 + 3 . x² . 1 + 3 . x . 1² + 1 3

donc

( x + 1 ) 3 = x

3 + 3 x² + 3x + 1

( 2x + 1 ) 3 = ( 2x ) 3 + 3 . ( 2x )² . 1 + 3 . 2x . 1² + 1 3

( 2x + 1 ) 3 = 23x

3 + 3 . 2²x² . 1 + 3 . 2x . 1 + 1 donc

( 2x + 1 ) 3 = 8x

3 + 12x²+ 6x + 1

Le Pascal : Billet de 500 Francs

� � Remarque 1 :

Exercice 5 : Dans le triangle de Pascal disposé, comme suit, faites la somme des nombres par ligne .

Que constatez-vous ? Les résultats sont 1 , 2 , 4 , 8 , 16 , 32 , 64 , …. Ces nombres sont les puissances successives de 2.

Démonstration partielle ( étude du rang 3 – Une démonstration n’est valable que si elle étudie tous les cas ) 1 + 3 + 3 + 1 = ?????

Reprenons le développement de 3

) b a ( + .

Nous avons 32233

b 3ab b3a a ) b a ( +++=+ En remplaçant a et b par la valeur 1 , nous obtenons :

32233

1 11 3 11 3 1 ) 1 1 ( +××+××+=+

soit 1 3 3 1 23

+++= � � Remarque 2 : Problème du taxi

Considérons une ville dont les voies de communication sont rectilignes et perpendiculaires. Pour une meilleure compréhension , nous disposerons le dessin ci-contre comme suit :

Rang 0 1 = Rang 1 1 1 = Rang 2 1 2 1 = Rang 3 1 3 3 1 = Rang 4 1 4 6 4 1 = Rang 5 1 5 10 10 5 1 = Rang 6 1 6 15 20 15 6 1 =

Rang 0 1 = 1 02

Rang 1 1 1 = 2 12

Rang 2 1 2 1 = 4 22

Rang 3 1 3 3 1 = 8 32

Rang 4 1 4 6 4 1 = 16 42

Rang 5 1 5 10 10 5 1 = 32 52

Rang 6 1 6 15 20 15 6 1 = 64 62

Exercice 6 : Inscrivez, à chaque croisement, le nombre de possibilités pour se déplacer de A à ce point mais avec un chemin minimal ( c’est à dire le plus court possible ) Par exemple, pour aller de A à I, il y a 3 chemins possibles.

La solution est la suivante. Nous retrouvons les nombres figurant dans le triangle de Pascal. � � Remarque 3 : Somme des n premiers nombres entiers

Rang 0 1

Rang 1 1 1

Rang 2 1 2 1

Rang 3 1 3 3 1

Rang 4 1 4 6 4 1

Rang 5 1 5 10 10 5 1

Rang 6 1 6 15 20 15 6 1

Suites des nombres entiers Somme des n premiers nombres entiers

1 est la « somme » du premier nombre entier. 3 est la somme des 2 premiers nombres entiers . 1 + 2 = 3 6 est la somme des 3 premiers nombres entiers . 1 + 2 + 3 = 6 10 est la somme des 4 premiers nombres entiers . 1 + 2 + 3 + 4 = 10 etc. Ces nombres 1 , 3 , 6 , 10 , …. s’appellent des nombres triangulaires ( C .f. Thème : Somme des n premiers entiers ) � � Remarque 4 : Disposition des nombres

Exercice 7 : Dans le triangle de Pascal ci-dessous, coloriez les nombres pairs.

La disposition des nombres pairs, dans ce triangle, n’est pas quelconque. Constatez sur le dessin ci-contre.

� � Remarque 5 : La suite de Fibonacci Reprenons le triangle de Pascal et sommons en diagonale :

Les nombres 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , … sont les premiers nombres de la suite de Fibonacci ( C.f . Thème Suite de Fibonacci ). � � Remarque 6 : Choisir des personnes dans un groupe � Comment choisir 3 personnes dans un groupe de 3 personnes ? Réponse : Il n’y a qu’une seule possibilité ! � Comment choisir 3 personnes dans un groupe de 4 personnes ? En appelant, pour les différencier, les 4 personnes du groupe A , B , C et D , nous avons comme possibilités : Avec A A , B , C A , B , D A , C , D ( 3 choix ) Sans A B , C , D ( 1 seul choix ) Il y a donc 4 possibilités pour choisir 3 personnes dans un groupe de 4 personnes.

Exercice 7 : Comment choisir 3 personnes dans un groupe de 5 personnes ?

Il y a 1 façon de choisir 3 personnes parmi un groupe de 3 personnes. Il y a 4 façons de choisir 3 personnes parmi un groupe de 4 personnes. Il y a 10 façons de choisir 3 personnes parmi un groupe de 5 personnes. Il y a 20 façons de choisir 3 personnes parmi un groupe de 6 personnes.

Pour déterminer le nombre de façons de choisir 4 personnes parmi 4 , 5 , 6 , … personnes , il suffit de lire la colonne suivante. Il y a 15 façons de choisir 4 personnes parmi 6 personnes.

Et ainsi de suite ….

Rang 0 1 1 2

Rang 1 1 1 3 5

Rang 2 1 2 1 8 13

Rang 3 1 3 3 1 .. ..…

Rang 4 1 4 6 4 1 .. ..

Rang 5 1 5 10 10 5 1 ..

Rang 6 1 6 15 20 15 6 1

Rang 0 1

Rang 1 1 1

Rang 2 1 2 1

Rang 3 1 3 3 1

Rang 4 1 4 6 4 1

Rang 5 1 5 10 10 5 1

Rang 6 1 6 15 20 15 6 1