Travaux dirigés PCSI 1

Feuille d’exercices n� 25 : Champ magnétique (corrigé)

Ex. 1 Cartes de champ

Le champ est le plus intense là où les lignes sont les plus serrées, c’est à dire dans la zone centrale, où les lignes

sont verticales, dans le cas de gauche, et proche des sources, dans le cas de droite.

Les lignes de champ tournent autour des sources. Sur la figure de gauche : on a donc quatre spires, sur celles

du centre et celle de droite, on a deux spires.

Le champ est quasiment uniforme entre les spires pour les figures du centre et de gauche. Il n’y a pas de zone

uniforme sur la figure de droite.

Ex. 2 Champ créé par une bobine

1.L

R= 15� 1, la formule B = µ0ni est valable.

2. B = µ0ni = µ0N

Li donc N = 796 spires.

3. Il s’agit d’un problème d’encombrement spatial. Sur une distance L = 60 cm, on peut enrouler L/d =400 spires de diamètre d = 1,5mm. Il faudra donc 2 couches pour caser les 796 spires.

Ex. 3 Champ magnétique terrestre

La norme du vecteur est k�!Bk =»B2

r+B2

�+B2

. On la note aussi B pour simplifier et on a :

B =

ÃÇ4⇡ ⇥ 10�7

4⇡⇥ 8.1022 ⇥ 2 cos (42�)

(6, 4.106)3

å2

+

Ç4⇡ ⇥ 10�7

4⇡⇥ 8.1022 ⇥ sin (42�)

(6, 4.106)3

å2

= 5⇥ 10�5 T.

Ex. 4 Ordre de grandeur du moment magnétique d’un aimant

1. Pour obtenir un champ magnétique de même intensité que celui créé par l’aimant, il faut :

Bs =1

2µ0

N

Li = 0,1T =) Ni =

2BsL

µ0=

0, 1⇥ 2.10�3

0, 5⇥ 4⇡.10�7= 3⇥ 102 A (1)

2. Pour obtenir Ni = 3⇥ 102 A sachant i < 0,3A, il faut N � 1000 .

3. Le moment magnétique de cette bobine vaut M = ⇡R2iN .

4. Le champ Bs vaut donc Bs =1

2µ0

N

Li =

1

2µ0

⇡R2Ni

⇡R2L=

1

2µ0

MV .

5. On peut en déduire que l’aimant qui donne le même champ possède le même moment magnétique d’où :

Ba = Bs =) M =2VBµ0

=2⇥ ⇡ ⇥ 25.10�6 ⇥ 2⇥ 10�3 ⇥ 0, 1

4⇡.10�7' 2,5⇥ 10�3 A·m2

. (2)

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Ex. 5 Petites oscillations d’un aimant

1. On note ✓ l’angle que fait le moment magnétique de l’aimant par rapport

au champ magnétique et (Oz) l’axe vertical autour duquel l’aimant tourne.−→B

−→M

θ

−→uz

L’aimant est soumis à la réaction du support dont le moment en O est nul puisqu’il s’excerce en O, au poids

de moment nul pour la même raison, et à la force magnétique de moment�!� =

�!M ^ �!B :

�!� = MB sin (�✓)�!uz = �MB sin ✓�!uz. (3)

Attention au signe : pour calculer le produit vectoriel, on part de�!M pour aller vers

�!B , on parcourt l’angle �✓.

Le théorème du moment cinétique, appliqué à l’aimant en O, en projection sur l’axe (Oz), mène à :

Jd✓

dt= �MB sin ✓ =) J

MB

d✓

dt+ ✓ (t) = 0, (4)

dans le cas de petites oscillations pour lesquelles sin (✓) = ✓ au 2ème ordre en ✓. La pulsation caractéristique

vérifie :

1

!20

=J

MB, et la période T =

2⇡

!0= 2⇡

…J

MB. (5)

2. Dans la première expérience, on ajoute�!B

0à�!B : ⌧1 = 2⇡

»J

M(B+B0) ; dans la seconde, le courant est opposé,

on retranche donc�!B

0à�!B . Comme B < B

0: ⌧2 = 2⇡

»J

M(B0�B) .

De ces deux équations : B = B0 1�

�⌧1⌧2

�2

1+�

⌧1⌧2

�2 .

Ex. 6 Balance de Cotton

−→ur

−→uθ

−→B

O−→fL

1. Les conducteurs circulaires sont des arcs de cercles de centre O. Ainsi d’après l’orientation du circuit, le

vecteur i�!d` est porté par ±�!u✓ (� pour le conducteur aller, pour le conducteur retour).

La force de Laplace i�!d`^�!B est portée quant à elle par ±�!ur. Ce sont donc des forces centrales dont le moment

en O est nul (��!OM est porté par

�!ur, comme

�!df , et donc

��!OM ^

�!df =

�!0 ).

Sur le conducteur horizontal de longueur L, la force de Laplace est�!fL = iLB

�!u✓ et son moment par rapport

à O est�!MO = aiLB

�!uz, où le vecteur

�!uz sort perpendiculairement du plan de la feuille (la base cylindrique

ainsi formée est directe).

2. La balance est à l’équilibre à vide donc les moments des forces de gravité dues aux tiges qui supportent le

plateau et le fil électrique se compensent parfaitement. Le moment en O du poids du plateau de masse m

est�!M0

O= �a0mg

�!uz.

À l’équilibre de la balance,�!M0 +

�!M00 =

�!0 d’où : B = a

0mg

aiL.

3. L’énoncé ne donne pas la valeur de g, on prend g = 9, 8 m.s�2; alors B = 1, 6 T.

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