ondes electromagnétiques et applications travaux dirigés

L3 PAPP / L3 DLPC 2019-2020

O n d e s E l e c t r o m a g n é t i q u e s e t A p p l i c a t i o n s

T r a v a u x D i r i g é s 2 0 1 9 - 2 0 2 0

Agnès Barthélémy, Marcello Civelli, Olivier Plantevin, Carole Vouille

TD 1

Ondes planes dans le vide TD 2

Energie ; antennes

TD 3

Réflexion d’une onde électromagnétique sur un métal

TD 4

Guide d’onde métallique

TD 5

Réflexion totale à l’interface de milieux diélectriques

TD6 Fibres optiques

L3 PAPP/ L3 DLPC Ondes Electromagnétiques et Applications

2


3

TD 1 Ondes planes dans le vide

James Clerk Maxwell Cadre permettant de trouver la direction d'un signal radio (radiogoniométrie) en détectant sa composante magnétique

Laser rouge (660 & 635 nm), vert (532 & 520 nm) et bleu (445 & 405 nm)

I. Application des équations de Maxwell dans le vide 1. Soit un champ électrique E de la forme E = E0 ei(kz-ωt)ux se propageant depuis un laser dans le vide.

a) Que représentent le module, l’argument, la partie réelle et la partie imaginaire de E ? Ecrire E sous forme réelle.

b) Expliquer pourquoi ce champ E correspond à une onde plane, monochromatique et homogène. Définir sa longueur d’onde λ, sa fréquence ν et sa période T.

c) Tracer l’allure de E en fonction de z à différents instants, et expliquer pourquoi l’onde est progressive.

d) Cette onde est-elle polarisée ? Si oui, que peut-on dire de sa polarisation ? e) Déterminer le champ magnétique B correspondant, à partir d’une des équations de

Maxwell. f) Représenter les vecteurs E et B en différents points de l’espace à un instant donné,

puis décrire comment ils varient en un point donné au cours du temps. g) Vérifier les autres équations de Maxwell pour E et B.

2. Cas général Soit le champ électrique E d’une onde électromagnétique plane progressive monochromatique homogène (d’amplitude E0), et polarisée rectilignement selon un vecteur unitaire u(α, β, γ), de vecteur d’onde k associé.

a) Ecrire en notation complexe le champ E associé à cette onde. b) Montrer que dans ce cas,

divE = i k . E rotE = i k ˄ E ∆Ε = − k2 E

c) En utilisant ces relations, écrire ce que deviennent les équations de Maxwell.


4

d) En déduire que, pour une onde plane progressive caractérisée par un champ E polarisé rectilignement, les vecteurs (k,E,B) forment un trièdre direct. Exprimer le champ B en fonction de k et de E. e) Retrouver à partir des équations de Maxwell l’équation de propagation pour E et B, et en déduire la valeur de k/ω. En déduire le rapport E/B des amplitudes des champs électrique et magnétique. Ces résultats restent-ils valables pour toute onde électromagnétique ?

II. Polarisation rectiligne, circulaire et elliptique d’une onde Une onde électromagnétique n’est pas toujours polarisée rectilignement (en fait, elle n’est même pas toujours polarisée, à l’instar de la lumière naturelle par exemple) ! D’autres types de polarisation existent, et peuvent par exemple se trouver dans le commerce, lorsqu’on achète un laser : la polarisation circulaire, et la plus générale, la polarisation elliptique. On considère un champ électrique E (Aei(kz-ωt)

, Bei(kz-ωt+ϕ),0), où A et B sont des constantes

réelles. Déterminer la polarisation de E (rectiligne, circulaire ou elliptique) dans les cas suivants :

a) ϕ = 0 b) ϕ = π/2 et A = B c) ϕ = π/2 et A ≠ B d) 0 < ϕ < π/2 et A ≠ B e) On se place dans le cas où ϕ = π/2. On place en z = 0 un analyseur dont l’axe

passant fait l’angle θ avec l’axe Ox. Déterminer l’amplitude de l’onde émergente en sortie de l’analyseur.


5

TD 2

Energie - antennes

Une antenne Télé et Radio

Une série d’antennes pour l’astronomie

RadioTéléscope d’Arecibo

A. Puissance et ordres de grandeurs

1. Calculer le vecteur de Poynting Rur

pour une onde plane sinusoïdale homogène polarisée rectilignement se propageant dans le vide le long de l’axe Oz vers les z croissants et dont le champ électrique est polarisé selon l’axe Ox d’amplitude E0. Que représentent physiquement l’amplitude et la direction de ce vecteur ? Exprimer la norme de < R

ur> (moyenne temporelle

de Rur

) en fonction de E0, c, et µ0 ou ε0. 2. Un petit laser hélium néon (λ = 633 nm) produit typiquement 1 mW dans un faisceau d’1 mm de diamètre. Estimer l’amplitude des champs électrique et magnétique dans le faisceau laser. 3. Une station radio émet une puissance moyenne de 105 Watts. Cette émission est uniforme sur une demi-sphère concentrique avec la station. En un point situé à 10 km de la station, calculer l’amplitude du champ électrique. 4. Un téléphone portable (1 GHz) émet une puissance de 1 W de façon sensiblement uniforme dans l’espace. Calculer la puissance rayonnée par unité de surface à 10 cm.


6

5. Un mètre carré de la surface de la Terre sous incidence normale reçoit du soleil un flux d’énergie de 1,35.103 Watt. La rétine de l’œil ne peut pas supporter une puissance supérieure à 1 mW sans dommage. Peut-on regarder le soleil en face, en l’absence de nuages ? La pupille peut être assimilée à un cercle de 1 mm de rayon. Qu’en est-il du laser du 2 ?

B. Le champ émis par une antenne

On considère une antenne placée suivant un axe Oz qui rayonne une onde électromagnétique sinusoïdale de fréquence ν=87.8 MHz dans le vide. Le champ rayonné a pour composantes dans une base sphérique :

3 ( )0 3 3 2 2

3 ( )0 3 3 2 2

12 cos

1 1sin

0

i kr tr

i kr t

iE E k ek r k r

iE E k ek r k r kr

E

ω

ωθ

φ

θ

θ

−

−

= −

= − −

=

où l’exponentielle complexe a pour argument le produit k r et non pas le produit scalaire k ⋅ r . Le div et le rot s’expriment, en coordonnées sphériques :

2

2

( )(sin )( )1 1 1sin sin

r AAr AdivAr r r r

ϕθθθ θ θ ϕ

∂∂∂= + +

∂ ∂ ∂

ur

(sin ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1sin sin

r rr

A rAA rAA Arot A u u ur r r r r

ϕ ϕθ θθ ϕ

θθ θ ϕ θ ϕ θ

∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ = − + − + − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

ur uur uur uur

1. On veut se placer à une distance r très grande de l’antenne afin de simplifier l’expression

du champ électromagnétique. À quoi faut-il comparer r pour savoir si la distance peut être considérée comme grande ? Calculer numériquement λ, la longueur d’onde associée à l’onde. Que devient E au premier ordre en λ/r ?

2. Donner l’expression du champ magnétique B correspondant. Dessiner E et B en un point

r éloigné de l’antenne.

Dans ce cas, que peut-on dire de la structure de l’onde électromagnétique par rapport à une onde plane se propageant dans le vide ? 3. Exprimer le vecteur de Poynting R associé à cette antenne. Quelle est la signification

physique de la direction et de la norme de ce vecteur ? Quelle est l’unité associée à cette grandeur ? Dans quelle direction R est-il maximum ? Minimum ?


7

4. Calculer la puissance électromagnétique moyenne Pe sortant d’une sphère de rayon L centrée sur l’antenne (c’est-à-dire le flux de < R

ur> à travers cette sphère). Commenter la

dépendance en L de Pe.

on utilisera : sin3

0

43

θπ

=∫

On caractérise une antenne en la comparant à une antenne virtuelle qui aurait la même puissance moyenne Pe, mais dont le rayonnement serait totalement isotrope. Pour une direction (θ, φ) de l’espace, on définit alors la directivité d’une antenne D(θ, φ) comme étant le rapport de la norme du vecteur de Poynting de l’antenne dans cette direction avec celui de l’antenne virtuelle. 5. Justifier la formule suivante : D = 4πL2 ||< R

ur>|| / Pe . Calculer D dans ce cas. La directivité

de l’antenne dépend-elle de L ?

6. À l’aide d’un diagramme polaire, représenter la directivité D(ϕ) de cette antenne dans un plan horizontal (θ = π/2). Pourquoi parle-t-on alors d’antenne omnidirectionnelle ? Cette antenne est-elle adaptée à son rôle d’antenne émettrice ?

7. De la même façon, tracer la directivité de cette antenne dans un plan vertical. Dans quelle

direction D est-elle la plus forte ? Que vaut D dans la direction de l’axe z ? Calculer l’angle d’ouverture vertical, c’est-à-dire l’angle qui intercepte les directions où la directivité vaut ½ Dmax.

D en fonction de θ

D en fonction de φ

Diagrammes polaires à compléter.


8

8. Voici les courbes de directivité d’une antenne Wifi murale, de la société RadioLabs.

Déterminer les angles d’ouverture horizontal et vertical de cette antenne. S’agit-il d’une antenne omnidirectionnelle ? Quelle précaution faut-il prendre au moment de l’installation ? Quel est l’avantage de ce type d’antenne par rapport à une antenne omnidirectionnelle ?

Antenne RadioLabs

Diagramme de rayonnement de l’antenne, dans le plan horizontal (H-plane) et vertical (E-plane). Les échelles sont logarithmiques : -3 correspond à –3 dB, c’est-à-dire un facteur ½.

Des liens web : Comment marchent les satellites : http://electronics.howstuffworks.com/satellite.htm Quelques notions sur les antennes : http://www.electronics-tutorials.com/antennas/antenna-basics.htm Animations sur le GPS : http://www.sciences.univ-nantes.fr/physique/perso/gtulloue/Meca/Planetes/3spheres.html

http://electronics.howstuffworks.com/satellite.htm

http://www.electronics-tutorials.com/antennas/antenna-basics.htm


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TD3 Réflexion d’une onde électromagnétique sur un métal

On rappelle que dans un métal conducteur, on a la loi d'Ohm Ej γ= , où j est la densité de courant volumique et γ est la conductivité électrique. Une onde électromagnétique plane progressive monochromatique incidente se propage suivant l'axe Oz dans le vide. Le champ électrique correspondant iE , d'amplitude E0, est polarisé rectilignement selon Ox. Un métal est placé dans la partie de l'espace z>0. Dans un premier temps (I), on considèrera que ce métal est parfait, c'est-à-dire que sa conductivité est infinie (ce qui revient à dire qu'on négligera les pertes par effet Joule dans le métal). Dans un deuxième temps (II), on considèrera un métal réel (de conductivité grande mais non infinie), et on s'intéressera à l'onde transmise dans celui-ci.

Métal Vide z

x

O


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I. Réflexion sur un métal parfait et pression de radiation On suppose dans cette partie que le métal est parfait, c’est-à-dire que sa conductivité est infinie. Dans ce cas, l’onde incidente se réfléchit totalement et ne pénètre pas dans le métal (cette affirmation sera justifiée au II). 1. Ecrire les composantes de iE et iB .

2. On cherche ici à déterminer la forme de l'onde réfléchie, dont on notera rE et rB les

champs respectivement électrique et magnétique. De plus, on notera E et B les champs électrique et magnétique de l'onde résultante dans le vide. a) Rappeler les relations de passage pour le champ électrique à l'interface entre deux milieux

quelconques. b) Que vaut le champ électrique tE dans un conducteur parfait? En déduire ce que devient la

relation de passage pour le champ électrique à l'interface entre celui-ci et le vide. c) Déduire de ce qui précède la forme de rE .

d) Ecrire la forme de l'onde résultante E dans le vide. La tracer à différents instants. De quel type d’onde s’agit-il? 3. a) Calculer le champ magnétique total dans le vide. b) Calculer le vecteur de Poynting moyen R dans le vide. Commentaire?

c) Rappeler les relations de passage pour le champ magnétique. En déduire le courant surfacique Sj engendré par l’onde à la surface du conducteur. d) Du fait de l’existence de ce courant, quel type de force s’exerce sur la surface ? Pourquoi parle-t-on de pression électromagnétique (ou pression de radiation) ? Calculer cette pression en fonction de ε0, et de l’amplitude E0 du champ électrique, après être repassé en notations réelles. e) Ordre de grandeur de la force de pression de radiation. On considère une mince feuille d'aluminium (masse volumique 2.7 g/cm3) d'épaisseur 10 µm et de surface 1 mm2. Est-il possible de la maintenir en lévitation à l'aide d'un laser ? Quelle doit être la puissance de celui-ci?

II. Réflexion sur un métal normal, étude de la profondeur de peau

Une onde électromagnétique plane incidente polarisée rectilignement suivant Ox se propage suivant l’axe Oz dans le vide. Un métal normal (c’est-à-dire non parfait), de conductivité électrique γ, est placé sur la partie de l’espace z>0. On cherche à déterminer la nature de l’onde électromagnétique quand elle pénètre dans le métal.


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Dans le cas du métal normal, on fait les hypothèses suivantes :

(a) L’équation de Maxwell-Gauss peut s’écrire dans le métal .

(b) La loi d’Ohm est valable dans le métal (c) Le champ dans le métal s’écrit sous une forme semblable à celle du vide :

, où est un vecteur réel et parallèle à Ox, mais où peut être un nombre complexe.

1. Ecrire le champ incident dans le vide (on notera k le module du vecteur d’onde et ω sa pulsation). 2. On veut justifier l’hypothèse (a) . Pour cela, on suppose qu’on crée un supplément de charge de densité volumique dans tout le métal à un instant t=0. Trouver la loi d’évolution de au cours du temps. Exprimer le temps au bout duquel la charge initiale

devient négligeable. A.N. : Calculer pour le cuivre ( ). L’hypothèse (a) est-elle justifiée dans le domaine des radiofréquences ? Des hyperfréquences ? 3. Ecrire les trois autres équations de Maxwell que satisfont dans le métal et et montrer que dans l’équation de Maxwell-Ampère, on peut négliger un des termes à fréquence suffisamment basse. 4. A partir de ces équations, trouvez l’équation de propagation pour et en déduire la relation de dispersion liant et . 5. Exprimer et montrer que est atténuée suivant Oz. Définir la distance caractéristique

pour cette atténuation et justifier l’appellation « épaisseur de peau ».


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6. Calculer pour le cuivre pour les fréquences et . Décrire qualitativement l’onde dans le métal dans ces deux cas (basse fréquence et radio fréquence) en supposant que le métal a une profondeur de 1 mm selon Oz. En admettant que , que se passe-t-il si ? 7. Quelle est la vitesse de phase dans le métal ? La comparer à celle dans le vide. 8. Calculer le champ magnétique associé à dans le métal. En déduire le vecteur de Poynting dans le métal. Calculer sa moyenne temporelle en z=0 et z=a. En déduire la puissance moyenne dissipée dans un métal d’épaisseur et de section unité dans le plan xOy. Sous quelle forme cette énergie se dissipe-t-elle ?

9. On considère qu’un métal est parfait lorsque . Que deviennent , et ?


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TD 4 Guides d’ondes rectangulaires

Les ondes électromagnétiques ont de nombreux usages courants (radars, télécom, radios, etc…). D’un point de vue pratique, il est souvent nécessaire de guider l’onde d’un point à un autre (par exemple, d’un générateur à une antenne, voir la figure suivante). Différents guides sont utilisés, selon la fréquence, et la puissance de l’onde transmise, ou selon la distance. Nous allons ici nous intéresser aux guides d’ondes métalliques à section rectangulaire, qui sont utilisés notamment dans la gamme des micro-ondes sur de courtes distances (alimentation d’antennes, satellites, four à micro-ondes).

Des guides d'onde rectangulaires


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On considère ici un guide d’onde rectangulaire constitué de parois métalliques de largeur b et hauteur a, de longueur infinie suivant z. On cherche la forme des ondes électromagnétiques qui peuvent s’y propager, et les caractéristiques de cette propagation.

1. On cherche une solution pour Eur

qui soit progressive selon z et stationnaire selon y, de polarisation selon x. Ecrire la forme de E

ur correspondante. L'onde est-elle TE (transverse

électrique) ? Est-elle plane ?

2. On suppose les parois constituées de métal parfait (conductivité infinie). Qu’est-ce que cela implique pour le transport de l’énergie électromagnétique dans ce guide ? (à vérifier à la fin de l’exercice)

Ecrire les conditions aux limites que doit satisfaire Eur

sur chaque paroi métallique. Qu'appelle-t-on les différents « modes » du guide ? Dessiner l’allure de E

ur dans un plan

Oxy pour différents modes, puis selon Oz pour le mode 1. 3. Calculer B

ur. L’onde est-elle TM (transverse magnétique) ?

En appliquant l’autre équation de Maxwell reliant Bur

et Eur

, déduire la relation liant ω et k. 4. Représenter graphiquement k(ω). Que peut-on dire du nombre de modes possibles en

fonction de ω ? Montrer qu’il existe une pulsation de coupure ωc en dessous de laquelle aucun mode n’existe. Que se passe-t-il si on essaie d’introduire une onde à une fréquence telle que ω<ωc ? Y a-t-il alors dissipation d’énergie ?

5. vitesse de phase et vitesse de groupe. On envoie dans le guide une onde qui est la

superposition de 2 ondes planes de même amplitude (E1 = E2): )(

2)(

12211),( tzkitzki eEeEtxE ωω −− += . Supposons que ω1 et ω2 sont proches d’une fréquence

ω0 tels que ω1 = ω0 - δω et ω2 = ω0 + δω. Ecrire le développement limité de k1 et k2 au voisinage de ω0.

Exprimer l’onde totale. Quelle est la vitesse de propagation de l’énergie transportée par cette onde ? Calculer alors la vitesse de phase vϕ et de groupe vg dans le guide d’onde et montrer comment les lire directement sur le graphique représentant k(ω).

z

x

y

b

a


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6. Les spécifications techniques des

guides d’ondes dans les catalogues comprennent une gamme de fréquence d’utilisation. À quoi correspond cette gamme ? Quelle est la condition sur a pour qu’il ne puisse pas y avoir de polarisation perpendiculaire qui se développe dans cette gamme ? Commenter les photos de la page précédente.

Guide d’un four à micro ondes, au-dessus de la

cavité du four. La forme en croix sert à distribuer la puissance.

A.N : Un four à micro-onde travaille à 2.45 GHz. Déterminer les dimensions d’un guide qui puisse

relier le magnétron à la cavité du four.

7. Calculer le vecteur de Poynting pour en déduire dans quelle direction se propage l’énergie. Calculer la puissance moyenne à travers une section du guide d’onde. Cette puissance dépend-elle de z ? En pratique, on ne peut pas considérer le métal comme parfait : qualitativement, que se passe-t-il alors ?

En réalité, d’autres modes TE peuvent exister, ainsi que des modes TM. Les résultats de ce TD sont néanmoins valides.

Des liens web:

Cours + applet : http://www.univ-lemans.fr/enseignements/physique/02/electri/guiderec.html Four à micro-ondes : http://membres.lycos.fr/dkpat/rdet/Web-rdet/dom/dom.html Visualisation des modes : www.falstad.com/embox/guide.html

http://membres.lycos.fr/dkpat/rdet/Web-rdet/dom/dom.html


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TD 5 Réflexion totale à l’interface de milieux diélectriques

Effet miroir dû à la réflexion totale Fontaine lumineuse : guidage par réflexion totale

Réflexions totales successives

Une onde plane progressive de vecteur d’onde k1 se propageant dans un milieu diélectrique d’indice n1 (partie z < 0) arrive sur la surface z = 0 la séparant d’un diélectrique d’indice n2<n1. Le vecteur d’onde k1 fait un angle d’incidence θ1 avec l’axe Oz, et est entièrement contenu dans le plan yOz, comme représenté ci-dessous.


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Une partie de l'onde est transmise dans la partie 2 de l’espace (z > 0 ) sous forme d’onde plane progressive de vecteur d’onde k2 également entièrement contenu dans le plan yOz. Par contre, ce vecteur peut avoir une composante complexe. On le note donc :

k2 = k’2 + i k’’2 où k’2 et k’’2 sont deux vecteurs à composantes réelles contenus dans le plan yOz.

1. Exprimer l’angle critique θc de la loi de Descartes en fonction de n1 et n2. Dans la suite, on se placera dans le cas d’une réflexion au-delà de l’angle limite θc. Il s’agit d’une réflexion totale, ce qui implique que k’’2 est non nul.

2. Donner l’équation de propagation dans le milieu 2. A partir de cette équation, démontrer que la relation de dispersion peut s’écrire sous la forme :

k’2 . k’’2 = 0

( ) ( )2

222

22 '''

=−

cnkk ω

3. Ecrire les composantes de k1 en fonction de n1, θ1 et ω. Rappeler la condition de passage pour E en z = 0. En déduire une condition pour les composantes de k2 en fonction de celles de k1.

4. A partir de cette relation, en déduire que :

k’2 =

11 sinθωc

n uy

k’’2 =

−± 2

2122

1 sin nnc

θω uz

5. Sachant que le champ électrique est une onde plane polarisée suivant ux dans le milieu 2, exprimer E2 en fonction de son amplitude E02 en z = 0, de sa pulsation ω, du vecteur position r et de k2, puis en fonction de y, z, k’2 et k’’2, ω. Cette onde est-elle homogène ? Progressive ? Si oui, dans quelle direction ? S’atténue-t-elle ? Si oui, dans quelle direction ? On choisira le signe de la composante de k’’2 selon Oz pour avoir une situation physique quand z tend vers l’infini.


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6. Définir à partir de l’expression de E2 une profondeur de pénétration δ en fonction

de n1, n2, ω et c. Représenter graphiquement δ quand θ1 appartient à

2;πθc .

Quelle est la situation analogue dans un métal ? A.N. : calculer δ dans le cas d’une réflexion verre-air, pour θ1 = 45°, une longueur d’onde incidente dans le vide λ1 = 0.6 µm ; nverre=1.5

7. Déterminer le champ magnétique dans le milieu 2, noté B2. 8. Calculer le vecteur de Poynting R2 associé à l’onde transmise (on gardera k’2 et k’’2 dans les expressions de R2 sans les développer). Exprimer la moyenne temporelle de chaque composante de ce vecteur. En déduire le sens de propagation de l’énergie moyenne associée à l’onde transmise. Que vaut la puissance moyenne incidente traversant la surface qui sépare les deux

milieux par unité de surface ? Y a-t-il dissipation d’énergie dans le diélectrique ? Comparer avec un métal non parfait.


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TD 6 Fibres optiques

I. Approche géométrique On considère une fibre constituée d’un cœur de rayon a et d’indice n0 entouré d’une gaine d’indice n1 plus faible.

Fibre optique à saut d’indice

1. Un rayon lumineux est envoyé dans la fibre avec un angle θ0. A quelle condition sur θ0 le rayon se propage-t-il dans la fibre par réflexions successives ? On appelle ouverture numérique de la fibre (ON) la valeur sinθmax, qui définit l’ouverture maximale du cône de lumière pouvant être propagé par la fibre. Que vaut ON en fonction de n0 et n1 ? Faire l’application numérique pour n0 = 1.5 et n1 = 1.49.

2. Quel est le retard de ce rayon par rapport à un rayon qui se propage suivant l’axe z pour une même distance d parcourue le long de l’axe Oz ? Quelle déduction peut-on faire pour le débit possible d’impulsions lumineuses (et donc d’information) qu’on peut faire passer dans cette fibre ? A.N. : n0 = 1.5 ; n1 = 1.49 ; d = 1 km


20

Fibre optique à gradient d’indice Dans la réalité, la réflexion de l’onde sur les parois n’est pas totale. Pour diminuer les pertes d’énergie à chaque réflexion, on réalise des fibres dites « à gradient d’indice », c’est-à-dire que l’indice n varie avec la distance r à l’axe central de la fibre. On considère la même fibre, mais l’indice dans le cœur n’est plus constant. Il suit la loi :

∆−= 2

2

0 1)(arnrn

où a est le rayon du coeur. 1. Tracer l’allure de n(r). 2. Tracer qualitativement l’allure de la trajectoire d’un rayon lumineux quelconque. 3. Qualitativement, le retard calculé précédemment pour la fibre à saut d’indice va-t-il être plus grand ou plus petit ? Le débit sera-t-il amélioré ou non ?

II. Approche électromagnétique

Pour faciliter les calculs, on considère un modèle de fibre optique non cylindrique, c’est-à-dire une couche infinie de diélectrique d’indice n0 coincée entre deux couches d’indice n1, d’équations x = ± a. Cette géométrie planaire est aussi utilisée dans certains composants optiques. On cherche à caractériser la forme de l’onde électromagnétique correspondant à un champ électrique E se propageant dans la fibre.

1. Ecrire l’équation de propagation satisfaite par le champ E dans les deux milieux

d’indices n0 et n1. 2. On suppose que le champ électrique est progressif selon z, de vecteur d’onde k dans

cette direction, et polarisé selon y. Par contre, on ne sait rien de sa dépendance en x, qu’on notera f(x). Ecrire l’équation différentielle satisfaite par la fonction f.

3. Quels types de fonctions f peuvent satisfaire cette équation ? Qu’attend-on comme solution pour f dans le milieu d’indice n0 et dans le milieu d’indice n1 respectivement ? On utilisera les variables intermédiaires β0 et β1 réelles définies par les relations suivantes :

n0

n1


21

22

020 k

cn

−

=

ωβ et

2122

1

−=

cnk ωβ

4. Pour des raisons de symétrie, f doit être soit une fonction paire, soit une fonction impaire. Expliquer en quoi cela simplifie l’expression de f dans le cœur et dans la gaine.

5. On ne s’intéresse désormais qu’aux solutions paires. En utilisant la condition de passage pour le champ électrique au niveau des interfaces, exprimer f en fonction de k, β0, β1, a et d’une amplitude E0 dans les deux milieux. Dessiner l’allure du champ électrique dans une section de la fibre. Les fabricants de fibres optiques fournissent un « diamètre effectif de mode », qui varie avec la longueur d’onde. A quoi correspond cette notion ?

6. En déduire le champ magnétique B dans le milieu d’indice n0. 7. Toujours dans le milieu d’indice n0, exprimer le vecteur de Poynting puis sa moyenne

temporelle. En déduire de quelle façon l’énergie se propage dans la fibre. 8. La détermination des modes pouvant se propager dans la fibre ne peut se résoudre

facilement de manière analytique. Il faut donc utiliser une résolution graphique en

utilisant les variables )( 2

120

2

22

nnkcb−

=ω

et 21

20 nn

caV −=ω . Les courbes de dispersion

b(V) sont tracées sur la figure ci-dessous :

Dans quelle gamme de fréquences la fibre est-elle monomode ? Quel est le nombre de modes pour V = 5 ?

ondes electromagnétiques et applications travaux dirigés

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