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Travaux dirigés de propagation des ondes mécaniques Année 2014-2015

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Travaux dirigés de propagation des ondes

mécaniques

Année 2014-2015

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Travaux dirigés de propagation des ondes mécaniques page 2

Arnaud LE PADELLEC [email protected]

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Travaux dirigés de propagation des ondes mécaniques page 3

P r é s e n t a t i o n

Tous les exercices de propagation des ondes mécaniques qui seront abordés en Travaux Dirigés

cette année sont regroupés dans ce fascicule. Ces exercices sont regroupés par thème. Il est

demandé aux étudiants de préparer la séance de travaux dirigés.

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Travaux dirigés de propagation des ondes mécaniques page 4

Thème 1 : Ondes - généralités

Exercice 1 : Onde et ses paramètres (A faire avant le TD)

On considère le montage présenté sur la figure 1.

Fig. 1

Un générateur sinusoïdal alimente un haut-parleur qui crée une onde sonore. On supposera que l’onde sonore est à une dimension entre le haut-parleur et le microphone, situé à une distance x du haut-parleur. Le signal capté par le microphone est visualisé sur un oscilloscope et reproduit sur la figure 2. La base de temps est réglée à 10 µs par division.

Fig. 2

Signal capté par le microphone. La trace supérieure a été enregistrée à une distance x = 20,0 ± 0,05 cm du haut-

parleur. La trace inférieure correspond à une distance x de 20,84 ± 0,05 cm. Les deux traces intermédiaires

correspondent à des distances intermédiaires.

1. Quelle est la fréquence de l’onde ? Évaluer une incertitude.

2. Interpréter les phases successives des traces de la figure 2. En déduire la longueur d’onde.

3. Déduire la vitesse du son dans l’air le jour des mesures, avec son incertitude. Que proposeriez-vous pour améliorer la précision de ces mesures ?

Exercice 2 : Onde sur une corde

On considère une corde tendue comme sur la figure 3. La masse vaut m = 1 kg. On prendra g = 9,81 m.s-2. On note y(x,t) le déplacement de la corde par rapport à sa position au repos. On peut

montrer que la vitesse de propagation des ondes est µTv = , où T = mg est la tension de la corde

et µ = 50 g.m-1 est la masse par unité de longueur de la corde.

1. Quelle est la vitesse de propagation de l’onde ?

Oscilloscope

Microphone Haut-parleur

Générateur

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x

y

m Fig. 3

Schéma de la corde : l’extrémité de gauche est fixée à un mur, celle de droite passe sur une poulie et supporte une masse, ce qui permet de considérer que la tension de la corde est constante et égale à mg.

2. A l’instant t = 0, on observe une impulsion de la forme

−=

2

2

exp)0,(b

xaxy où a = 5 cm et

b = 10 cm sont deux longueurs données. Pourquoi ne peut-on conclure sur la forme de l’impulsion à 0≠t ? Que faudrait-il connaître en plus pour cela ?

3. On suppose que l’onde se déplace vers la droite. Donner la forme de l’impulsion pour 0≠t . Pouvez-vous définir une longueur d’onde ? Que faudrait-il pour cela ?

4. Dans une autre expérience, en plus de l’impulsion précédente que l’on notera y1(x,t), une autre impulsion y2(x,t) de même forme mais avec une amplitude opposée ( 0<a ), se déplace vers la gauche. Donner la forme générale de y2(x,t). En déduire celle du déplacement dû aux deux impulsions y(x,t). Que pensez-vous de la fonction y(x,0) au temps 0=t ? Cela vous étonne-t-il ?

Exercice 3 : Equation des cordes vibrantes

Une corde souple, de masse linéique constante µ est tendue suivant un axe Ox avec une tension T0 comme indiqué sur la figure 4. On note y(x, t) le déplacement vertical d’un point d’abscisse x à l’instant t et T(x, t) la tension subie par un élément de corde de longueur dx, en x.

Fig. 4

1. En supposant le poids de la corde négligeable, montrer que y(x,t) est solution d’une équation de propagation et donner l’expression de la célérité de l’onde.

2. Si l’on tient compte du poids de la corde, comment les résultats précédents sont-t-ils modifiés ?

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Travaux dirigés de propagation des ondes mécaniques page 6

Thème 2 : Ondes progressives - superposition

Exercice 1 : Ondes stationnaires et mathématiques (A faire avant le TD)

On va chercher toutes les solutions de l’équation des ondes qui sont des ondes stationnaires c’est-à-dire de la forme ).()(),( tgxftxy =

1. Montrer que l’équation des ondes s’écrit alors .)(

)(1

)(

)(2 tg

tg

vxf

xf &&=

′′

2. Comme l’équation ci-dessus doit être vérifiée pour tout x et tout t, on va d’abord fixer 0=t . En

déduire que ,)(

)(C

xf

xf=

′′où C est une constante indépendante de x et t. Déduire alors

que .)(

)( 2Cvtg

tg=

&&

3. Trouver les solutions générales des deux dernières équations. Il est souhaité que ),( txy reste fini pour toutes les valeurs de x et t. Montrer que cela impose que C soit négatif.

4. En déduire la forme la plus générale d’une onde stationnaire. On posera 2kC −= et .kv=ω

Exercice 2 : Mouvement d’une corde

On reprend la corde de l’exercice 2, thème 1. Un opérateur situé près de la poulie crée une onde de fréquence 10=f Hz se déplaçant vers la gauche et de la forme ( ).cos),(1 kxtatxy += ω

1. Exprimer ω et k en fonction de f et v, la vitesse de propagation de l’onde.

2. L’extrémité de la corde fixée au mur au point d’abscisse 0x ne peut pas bouger, c’est-à-dire que

l’on a 0),( 0 =txy , quel que soit le temps t. Montrer que cette dernière condition est incompatible

avec le fait que l’on ait seulement une onde se déplaçant vers la gauche.

3. On cherche donc une solution de l’équation des ondes avec une onde qui se déplace vers la droite en plus de l’onde initiale ( ) )./(cos),( vxtgkxtatxy −++= ω On posera vxtt /0−=′ . En

écrivant la condition 0),( 0 =txy en fonction de t ′ , montrer que )(tg ′ est une fonction sinusoïdale

de même fréquence que y1 et donner l’expression de g. En déduire la forme de l’onde réfléchie.

4. Montrer que l’onde obtenue ),( txy est une onde stationnaire et donner son expression. Quelle est la distance entre le point x0 et le premier nœud.

Exercice 3 : Ondes stationnaires sur une corde de guitare

1. Quelle est l’équation différentielle caractéristique d’une onde qui se propage selon un axe Ox ? Cette équation ressemble à une équation de diffusion. En quoi en est-elle fondamentalement distincte ?

2. Qu’appelle-t-on onde stationnaire ? Donner sans démonstration l’expression générale d’une telle onde le long d’un axe Ox. Les ondes stationnaires, le long d’une corde, peuvent être considérées comme un ensemble d’oscillateurs harmoniques. Pourquoi ?

3. Une corde de guitare, de longueur l = 60 cm, est fixée à ses deux extrémités. Quelle est la plus grande longueur d’onde possible pour une onde stationnaire sur cette corde ? Sachant que la fréquence correspondante est celle du la, soit f = 440 Hz, trouver la vitesse de propagation de l’onde progressive associée.

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Travaux dirigés de propagation des ondes mécaniques page 7

Quel est l’ordre de grandeur de la vitesse de propagation dans l’air de l’onde acoustique émise par une guitare ? Comparer cette célérité à celle dans l’eau. Commenter.

Exercice 4 : Propagation d’une onde mécanique (A faire après le TD)

Une onde mécanique S, de fréquence ν, se propageant dans un espace cartésien Oxyz avec une vitesse V constante.

1. Ecrire l’équation de propagation de S

2. Déterminer les solutions de l’équation différentielle par la méthode de séparation des variables. On définit le vecteur d’onde ko et la pulsation ω.

3. En déduire la forme de la solution générale.

4. Donner une relation entre ko et ω. L’espace de propagation est une cavité parallépépidique de dimension (a, b, c). On considère qu’à l’instant initial S˙ (t = 0) = 0.

5. Déterminer les solutions finales.

Exercice 5 : Principe du radar Doppler (A faire après le TD)

Un radar servant à mesurer la vitesse des voitures et schématisé figure 5, fonctionne sur le principe suivant. Un émetteur envoie une onde (qui sera supposée plane dans la suite) vers l’objet dont on veut mesurer la vitesse ; celui-ci réfléchit l’onde qui sera également supposée plane. On a donc une onde « stationnaire » entre l’émetteur et le réflecteur, dont les nœuds se déplacent à la vitesse V du véhicule. Le détecteur est sensible à l’onde ainsi formée, somme de l’onde incidente et de l’onde réfléchie.

Fig. 5

Schéma d’un radar Doppler

1. La fréquence de l’onde émise par l’émetteur est 1=f GHz, la pulsation ω et la vitesse de

l’onde est 8103×=c ms-1. Quelle est la longueur d’onde ?

2. On suppose que le réflecteur est tel qu’il impose que l’onde soit nulle sur sa surface. La position du réflecteur est Vtx =1 . En refaisant le même raisonnement que dans l’exercice 2 question 3, montrer que l’onde réfléchie est de la forme )cos(),( xktatxg ′−′−= ω où a est l’amplitude de l’onde incidente, et calculer ω ′ en fonction de ω , V et c.

3. Le détecteur est à la position 0x . Quelle est la forme temporelle du signal reçu sur le détecteur ?

On mettra ce résultat sous la forme d’un produit de deux sinusoïdes, l’une de fréquence proche de f et l’autre de fréquence très inférieure.

V

Emetteur Réflecteur en mouvement (automobile)

Oscilloscope

Détecteur

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4. Montrer qu’en mesurant l’amplitude du signal reçu par le détecteur, on peut connaître la vitesse de la voiture. Discuter la précision que l’on peut atteindre.

5. Effet Doppler : un détecteur (illicite...) est placé sur la voiture. Montrer que le signal reçu de l’onde incidente par ce détecteur est à une pulsation ω ′′ supérieure àω . Pouvez-vous citer d’autres exemples de cet effet ?

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Thème 3 : Dispersion

Exercice 1 : Soliton

Le long d’une corde métallique horizontale Ox, on suspend, à intervalles réguliers, N pendules, (voir figure 6). Chacun des pendules transmet à la corde un angle de torsion égal à l’angle θ qu’il fait avec la verticale. L’analyse montre que θ satisfait à l’équation différentielle suivante, notée

ESG (Equation Sine-Gordon) )sin(1 2

02

2

20

2

2

θθθ

ktvx

=∂

∂−

∂ avec .

20

202

0v

=

Fig. 6

1. Montrer qu’ESG se réduit à son premier membre en l’absence de pendules. Quelle est alors la signification physique de l’équation ? En unité SI, v0 = 0,6 ; de quelle unité s’agit-il ? Commenter cette valeur en rappelant l’ordre de grandeur de la vitesse de propagation des ondes acoustiques le long d’une corde métallique. Calculer k0 en précisant son unité SI.

2. Que devient ESG pour θ << 1 ? Vérifier que l’équation complexe associée à ESG admet alors une solution d’expression ( )[ ].exp kxtim −−= ωθθ

Quelle est la signification physique de cette solution ? A quelle relation, dite de dispersion, doivent satisfaire ω et k. Préciser la nature du graphe donnant ω / ω0 en fonction de k / k0.

3. La solution exacte (réelle au sens mathématique) de ESG est ( )ss

γθ

±=

exp

4

)(tan avec

( )vxts 0 −=ω et .1

2/1

0

−=

v

On appelle soliton le phénomène physique que décrit une telle solution. Le signe plus dans l’argument de l’exponentielle correspond à un soliton de torsion, le signe moins à un soliton d’antitorsion. Donner la signification physique de v, ainsi que sa valeur limite.

Exercice 2 : Corde vibrante (A faire après le TD)

Une corde vibrante homogène et sans raideur, de masse linéique µ, est tendue par une force de tension d’intensité F constante. La corde au repos est horizontale et matérialisée par l’axe Ox. Au cours de la propagation d’une onde, le point M de la corde, d’abscisse x au repos, subit le déplacement transversal y(x, t) à l’instant t. On néglige l’influence de la pesanteur sur la corde, mais on tient compte de la force d’amortissement dirigée suivant l’axe Ox, Ox ⊥ Oy et de valeur algébrique -bV(x, t) par unité de longueur (avec b > 0), où V(x ,t) = ∂y/∂t est la vitesse transversale de l’élément de la corde d’abscisse x à l’instant t.

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Travaux dirigés de propagation des ondes mécaniques page 10

1. Etablir l’équation aux dérivées partielles du déplacement y(x, t). On définit k le vecteur d’onde de cette onde et on supposera l’amortissement faible (b << µω).

2. Etablir la relation de dispersion sous la forme [ ]

.)(1

)(c

jgk

ωωω

−=

3. Exprimer les coefficients g et c en fonction des données F, µ et b.

4. En déduire l’équation de l’onde y(x, t). Que peut on dire sur y(x, t) ? On définit l’impédance

mécanique complexe ,),(

~

txV

TZ

y= où y T désigne la projection sur Oy de la tension de la corde en

M(x).

5. Exprimer l’impédance mécanique complexe Z~

de la corde en fonction de F, µ, b etω.