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Lycée Chaptal (8°) – PTx sur 17

Travaux dirigés Moteurs ASynchrones

1 EXERCICE : Dimensionnement d’un moteur asynchrone La plaque signalétique d’un moteur asynchrone triphasé est la suivante :

220 V / 380 V 50 Hz

17 A / 9,8 A nn = 1440 tr/min

Les pertes autres que celles par effet joule dans le rotor sont négligées dans tout le sujet.

1.1 Etude du moteur alimenté par un réseau 220 V / 380 V, 50 Hz : Calculer la vitesse de synchronisme ns en tr/min. Q1.

ns = 1500 tr / min

Donner le nombre de pôles. Q2.

p = 2 (4 pôles)

Indiquer le couplage, justifier votre réponse. Q3.

Couplage étoile pour qu’un enroulement soit soumis à 220 V

Donner l’intensité efficace du courant nominal en ligne. Q4.

I = 9,8 A

Donner l’intensité efficace du courant nominal dans un enroulement. Q5.

Dans un enroulement, même courant que dans un fil de ligne car couplage en étoile

On mesure la puissance active par la méthode des deux wattmètres, et on obtient Pa = 5490W

Calculer le glissement pour le fonctionnement nominal. Q6.

𝑔 =𝑛𝑠 − 𝑛

𝑛𝑠 = 4 %

Calculer les pertes rotoriques PjR Q7.

PjR = g.Ptr = 22O W car Ptr = Pa

Calculer le moment du couple nominal Tn. Q8.

Tn = = 35 Nm

1.2 Etude du moteur alimenté à fréquence f réglable avec le rapport U / f constant : U désigne la tension d’alimentation du moteur. Les fréquences de rotation ns et n, sont exprimées en tr / min.

Exprimer la différence de rotation ∆n = ns – n, en fonction de g, f et p le nombre de paires de pôles. Q1.

Δ𝑛 = 𝑔. 𝑓𝑝

En régime permanent, pour un couple de moment fixé, on montre que le produit g.f reste constant quand la Q2.fréquence f varie. Monter que dans ce cas ∆n reste constant quand f varie.

Le couple est fixé donc g.f = cte donc Δn = cte

Calculer la valeur de ∆n pour le couple nominal, vous prendrez Tn = 35 Nm. Q3.

Δn =60 tr/min

Compléter le tableau ci-dessous, en donnant les valeurs de la fréquence de rotation en tours par minute Q4.pour les fréquences 10 Hz et 30 Hz.


Fréquence f en Hz 10 30 50

A vide : ns en tr / min 300 900 1500

A Tn : n en tr / min 240 840 1440

Sur le graphique ci-dessous, tracer pour les fréquences 10 Hz, 30 Hz et 50 Hz, les caractéristiques T = f (n).

On admettra que dans leur partie utile ces caractéristiques sont des droites.

Déterminer la fréquence minimale permettant d’obtenir au démarrage un couple égal au couple nominal. Q5.

ns=60 tr/ min donc fmin = 2 Hz

n (tr/min)

5

100

T (Nm)

900 1500

35


2 EXERCICE : Étude d’un moteur asynchrone Les essais d'un moteur asynchrone triphasé, 220 /380 V, 50 Hz, alimenté par un réseau triphasé 220 /380 V 50 Hz, ont permis de réunir les résultats suivants :

- Essai à vide : Uo = 380V ; Io = 15 A ; Pao = 800 W

- Essai en charge : U = 380 V ; I = 40 A ; Pa = 12 kW ; n = 1440 tr / min

- Résistance entre deux bornes de phases du stator : R = 0,2 Ω . - Les pertes mécaniques considérées comme constantes : Pméca = 400 W. - La caractéristique mécanique du moteur est rectiligne dans sa partie utile.

Calculer le nombre de pôles, le glissement en charge Q1.

P=4 ; g=4%

Quel doit être le couplage des enroulements statoriques ? Q2.

Couplage étoile pour qu’un enroulement soit soumis à 220 V

Calculer le facteur de puissance en charge Q3.

cos 𝜙 =𝑝𝑎

𝑈. 𝐼. √3= 0.46

Evaluer les pertes par effet Joule statoriques à vide : Pjso. Q4.

𝑃𝐽𝑠𝐽 =32

𝑅 𝐼02 = 67.5𝑊

En déduire les pertes dans le fer du stator : Pfs. Q5.

𝑃𝑓𝑠 = 𝑃𝑎0 − 𝑃𝑓𝑠 − 𝑃𝑚𝑚𝑚𝑎 = 332𝑊

Calculer les pertes par effet Joule statoriques en charge : Pjs. Q6.

𝑃𝐽𝑠 =32

𝑅 I2 = 480𝑊

Calculer la puissance transmise au rotor : Ptr. Q7.

𝑃𝑡𝑡 = 𝑃𝑎 − 𝑃𝑓𝑠 − 𝑃𝑗𝑠 = 11187𝑊

En déduire les pertes par effet Joule rotoriques en charge : Pjr. Q8.

𝑃𝑗𝑡 = 𝑃𝑡𝑡 . 𝑔 = 447𝑊

Calculer la puissance utile : Pu. Q9.

𝑃𝑢 = 𝑃𝑎 − 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 = 10430 𝑊

Calculer le rendement η. Q10.

𝜂 =𝑃𝑢

𝑃𝑎= 86.7%

Calculer le couple électromagnétique : Tem. Q11.

𝑇𝑚𝑚 =𝑃𝑡𝑡

Ω𝑠= 71.2 𝑁𝑁

Calculer le couple utile : Tu. Q12.

𝑇𝑢 =𝑃𝑢

Ω= 68.6 𝑁𝑁

Tracer la caractéristique mécanique Tu = f (n) avec n en tr/min. Q13.

Voir figure

Ce moteur entraîne une charge dont le couple résistant est constant et égal à 35 Nm.

Donner la fréquence de rotation de l’ensemble. Q14.

N=1470 tr/min


3 ACTIVITE : Etude de la motorisation de la broche verticale d’une fraiseuse 5 axes

3.1 Présentation La firme DECKEL-MAHO-GILDMEISTER commercialise la fraiseuse 5 axes, DMU ev50 (cf. photo), pour l'usinage grande vitesse (UGV).

Cette technologie consiste à augmenter notablement les vitesses de coupe (de 5 à 10 fois supérieure aux valeurs traditionnelles) et de rotation de l'outil (de 103 à 105 tr/min) de manière à privilégier l'enlèvement de matière par de fortes avances et des profondeurs de coupe plus faibles.

Cette méthode d'usinage permet, suivant les cas, de réduire les temps d'usinage ou d'améliorer l'état de surface de la pièce usinée.

On se propose d'étudier dans ce problème la motorisation de la broche verticale. Celle-ci est entraînée directement (sans réducteur) par un moteur asynchrone triphasé à rotor en court-circuit. Le schéma de principe de la commande à vitesse variable de ce moteur est donné ci-dessous :


Les grandeurs commandées sont la vitesse et le courant en ligne absorbé par le moteur.

L'efficacité de cette commande nécessite le contrôle, donc la mesure d'un certain nombre de paramètres : position et vitesse du rotor, courants statoriques. La qualité des informations issues de ces capteurs est prépondérante.

La documentation technique de la machine a permis de relever les grandeurs nominales suivantes :

• Couple utile nominal : Cun = 87 Nm ; • Tension d'alimentation composée, efficace, nominale: Un= 418 V; • Fréquence nominale des courants statoriques: fn = 97,5 Hz; • Fréquence de rotation nominale : Nn = 2800 tr.min-1 ; • Couplage de la machine : étoile.

Le modèle équivalent par phase de la machine est donné figure 1.

Notation : On note g, le nombre complexe associé à la grandeur sinusoïdale g(t).

- L0 est l'inductance d'une phase statorique. - L2 est l'inductance de fuite d'une phase du rotor ramenée au stator. - R2 est la résistance d'une phase du rotor, ramenée au stator. - g est le glissement. - V1 est la tension efficace aux bornes d'une phase. - ω = 2πf est la pulsation des courants statoriques. - On posera X2 = L2ω et X0 = L0ω. - Des essais ont permis de déterminer les valeurs de L0 et L2 : L0 =16,6 mH; L2 =1,3 mH. - Toutes les pertes de la machine sont négligées, excepté les pertes Joules rotoriques.

3.2 Détermination des grandeurs électriques du moteur de broche au point nominal. Identification au modèle

Dans cette partie la machine asynchrone est alimentée par un système de tensions sinusoïdales, triphasées, équilibrées de fréquence fixe: U1 = Un = 418 V et f = fn = 97,5 Hz.

On utilise le modèle équivalent par phase de la figure 1.

3.2.1 Calcul des grandeurs nominales du moteur Pour une utilisation au point nominal de la machine, déterminer les grandeurs suivantes : Q1.


• le nombre de paires de pôles p de la machine ;

𝑝 ≈60𝑓𝑛

𝑁𝑛≈ 2

• la fréquence de rotation Ns, exprimée en tr.min-1 du champ statorique ;

𝑁𝑠 = 60.𝑓𝑛

𝑝= 2925 𝑝𝑝/𝑁𝑚𝑛

• le glissement nominal gn ;

𝑔𝑛 = 4.27%

• la puissance Pn transmise du stator au rotor;

𝑃𝑛 = 𝐶𝑢𝑛. Ω𝑠 = 26.65𝑘𝑊

• les pertes Joules rotoriques Pjn ;

𝑃𝑗𝑛 = 𝑔𝑛. 𝑝𝑛 = 1.14𝑘𝑊

• la puissance utile Pun fournie par le moteur

𝑃𝑢𝑛 = 𝑃𝑛 − 𝑃𝑗𝑛 = 25.5𝑘𝑊

• le rendement η du moteur.

𝜂 =𝑃𝑢𝑛

𝑃𝑛= 0,96

3.2.2 Détermination de l'expression du courant moteur Déterminer l'expression I2 de la valeur efficace du courant I2 en fonction de V1, X2, R2 et g. Q1.

𝐼2 = 𝑉1

𝑍 ; 𝐼2 = 𝑉1

𝑅𝑔

2+𝑋2

2

= 𝑔.𝑉1𝑅2+(𝑔.𝑋2)2

3.2.3 Détermination de l'expression de la puissance transmise Déterminer l'expression de la puissance transmise au rotor Ptr en fonction de V1, X2, R2 et g. Q1.

𝑃𝑡𝑡 = 3.𝑅2

𝑔. 𝐼2

2 = 3.𝑅2. 𝑔. 𝑉1

2

𝑅22 + (𝑔. 𝑋2)2

3.2.4 Détermination de l'expression du couple utile Déterminer l'expression du couple utile Cu en fonction de V1, X2, R2, g, f et p. Q1.

𝐶𝑢 = 𝑃𝑡𝑡Ωs

= 3p2.π.f

. 𝑅2.𝑔.𝑉12

𝑅22+(𝑔.𝑋2)2

Simplifier l'expression précédente si le terme g2.X22 est négligeable devant R22. Q2.

Si 𝑔 ≪ 𝑔𝑚 alors 𝑅2𝑔

2

≫ 𝑋22

𝐶𝑢 =3p

2. π. f.𝑔. 𝑉1

2

R2

3.2.5 Calcul de la résistance R2 A l'aide de l'expression précédente, de la valeur du glissement nominal et de la valeur fournie par le Q1.

constructeur pour le couple nominal, calculer la valeur numérique de R2.

𝑅2 =3p

2. π. fn.𝑔𝑛. 𝑉1

2

Cu= 0.28 Ω

3.3 Calcul des intensités et des puissances nominales Calculer I2n, et I0, à partir du schéma de la figure 5 (sans approximation). Q1.

𝐼2 = 𝑔𝑛.𝑉1𝑅2+(𝑔𝑛.𝑋2)2 = 36.5𝐴 et 𝐼0 = 𝑉1

𝐿02𝜋𝑓𝑛= 23.7𝐴


Calculer les puissances actives Pa et réactive Qa consommées par la machine au point de fonctionnement Q2.nominal.

𝑃𝑎 = 𝑃𝑛 = 26.65𝑘𝑊

𝑄𝑎 = 3. 𝐿2𝜔𝐼2𝑛2 + 3.

𝑉12

𝐿0𝜔= 20,4𝑘𝑉𝐴𝑅

Calculer l'intensité efficace I1 du courant en ligne, ainsi que le facteur de puissance de la machine pour le Q3.point de fonctionnement nominal.

𝐼1 =𝑆𝑎

√3 . 𝑈𝑛=

𝑃𝑎2 + 𝑄𝑎

2

√3 . 𝑈𝑛= 46.4𝐴

𝑐𝑐𝑝𝜑𝑛 =𝑃𝑎

𝑆𝑎= 0.79

3.4 Détermination des caractéristiques mécaniques du moteur de broche, alimenté par son variateur

Afin de faire varier la fréquence de rotation de la broche, on alimente le moteur à l'aide de tensions triphasées de fréquence f variable. On suppose que ces tensions forment un système de tensions triphasées sinusoïdales équilibrées. On note :

V1 : tension efficace aux bornes d'une phase ;

g : glissement du moteur;

f: fréquence des tensions d'alimentation ;

p : nombre de paires de pôles de la machine.

Le modèle d'une phase statorique est toujours celui de la figure 5. On donne 𝑅2 = 0,3 Ω .

3.4.1 Choix de la loi V1/f Quelle relation doit-on avoir entre V1 et f afin de conserver le courant I0 constant? Q1.

On doit conserver le rapport 𝑉1𝑓

constant : 𝐼0 = 𝑉1𝐿0.2.𝜋.𝑓

Quel est le rôle du courant I0 ?

Le courant de valeur efficace I0 sert à la production du champ tournant statorique.

Exprimer g en fonction de f, fr (fréquence de rotation du rotor exprimée en Hz ou tr/s) et p. Q2.

𝑔 =𝑁𝑠 − 𝑁

𝑁𝑠=

𝑓𝑝 − 𝑓𝑡

𝑓𝑝

=𝑓 − 𝑝. 𝑓𝑡

𝑓

On pose Δf= f- p.fr,

Exprimer dans ces conditions g en fonction de Δf et f. Q3.

𝑔 =Δ𝑓𝑓

À partir du modèle de la figure 5, montrer que lorsque le rapport K = V1 / f reste constant, la valeur efficace Q4.du courant I2 ne dépend que de Δf. Quelle est la condition nécessaire pour que l'on puisse écrire I2 = K. Δf/R2 ?

𝐼2 =𝑔. 𝑉1

𝑅2 + (𝑔. 𝑋2)2=

Δ𝑓𝑓 . 𝑉1

𝑅2 + Δ𝑓𝑓 . 𝐿2. 2 . 𝜋. 𝑓

2=

Δ𝑓𝑓 . 𝑉1

𝑅2 + (Δ𝑓. 𝐿2. 2 . 𝜋)2

Si 𝑉1𝑓

est constant et si 𝑅 ≫ Δ𝑓. 𝐿2. 2 . 𝜋 alors 𝐼2 = 𝑉1𝑓

. Δ𝑓𝑅2

= 𝐾. Δ𝑓𝑅2


On suppose cette condition réalisée pour les questions qui suivent.

3.4.2 Détermination de l'expression du couple utile Montrer que le couple Cu est proportionnel à K.l2. Calculer ce coefficient de proportionnalité. Q1.

𝐶𝑢 =𝑃𝑡𝑡

Ω𝑠=

3Ω𝑠

. 𝑅2

𝑔 . 𝐼2

2 =3. p

2. π. f.

𝑅2

𝑔 . 𝐾.

Δ𝑓𝑅2

2

=3. 𝑝

2𝜋𝑓. 𝑔

𝐾2Δ𝑓2

𝑅2 =

3. 𝑝2. 𝜋

. (𝐾. 𝐼2). Δ𝑓𝑓

.1𝑔

=3. 𝑝2. 𝜋

. (𝐾. 𝐼2)

Pour la suite, on posera : Cu = 0,95.K.I2

Afin de ne pas dépasser la température admissible par les enroulements du moteur, on fixe la limite de I2 à I2max = 37 A. La machine est alimentée de la façon suivante : Couplage étoile.

• Première plage de variation de fréquence: Le rapport K reste constant pour f variant de 10Hz à 97,5 Hz. La valeur de K est celle correspondant au point nominal : U1 = 418V et f = 97,5 Hz.

• Deuxième plage de variation de fréquence : V1 = 241,5 V pour f variant de 97,5 Hz à 627 Hz.

3.4.3 Détermination des caractéristiques mécaniques de la broche Indiquer en tr.min-1 la vitesse de synchronisme Ns correspondant aux fréquences suivantes des tensions Q1.

d'alimentation de la machine: f =10Hz, f = 97,5 Hz et f =627Hz.

𝑁𝑠 = 60𝑓𝑝

= 30. 𝑓 car 𝑝 = 2

F en Hertz 10 97.5 627

Ns en tr/min 300 2925 18810

Pour des raisons d'échauffement de la machine, on limite le courant I2 à l2max = 37 A.

Pour les deux plages de variation de fréquence précisées ci-dessus, déterminer l'expression Cumax du couple Q2.utile maximal que peut développer la machine. Vous exprimerez, le cas échéant, Cumax en fonction de Ns.

Première plage de fréquence :

𝐾 =𝑉1

𝑓=

𝑈1

√3. 𝑓= 2.48 𝑉/𝐻𝐻 , 𝑐𝑛 𝑝𝑛 𝑑é𝑑𝑑𝑚𝑝 𝑞𝑑𝑝 𝐶𝑢max = 0.95𝐾. 𝐼2 = 87.2 𝑁. 𝑁

Le couple utile est constant.

Deuxième plage de fréquence :

𝐾 =𝑉1

𝑓=

241,5𝑓

=7245

𝑁𝑠 , 𝑐𝑛 𝑝𝑛 𝑑é𝑑𝑑𝑚𝑝 𝐶𝑢max = 0,95. 𝐾. 𝐼2max =

2,55.105

𝑁𝑠

Le couple utile maximal developpé par la machine est inversement proportionnel à Ns.

Pour ces deux plages de variation de fréquence, déterminer aussi l'expression Pmax de la puissance absorbée Q3.maximale. Vous exprimerez, le cas échéant, Pumax en fonction de Ns

Première plage de fréquence :

Pmax absorbée correspond à la puissance maximale transmise au rotor puisque les pertes joules et fer sont négligées. De plus Cem = Cu car Cp = 0

Ainsi on a 𝑃max = 𝐶𝑢max. Ω𝑠 = 𝐶𝑢max. 𝜋. 𝑁𝑠30

= 9,1. 𝑁𝑠

Deuxième plage de fréquence :

𝑃max = 𝐶𝑢max. Ω𝑠 = 𝐶𝑢max. 𝜋.𝑁𝑠

30= 26,7 𝑘𝑊; 𝐿𝐿 𝑝𝑑𝑚𝑝𝑝𝐿𝑛𝑐𝑝 𝑝𝑝𝑝 𝑐𝑐𝑛𝑝𝑝𝐿𝑛𝑝𝑝

Représenter sur le même graphique, les courbes Cumax et Pmax en fonction de Ns Q4.Vous indiquerez les valeurs remarquables de ces deux courbes.


3.4.4 Synthèse Pour cette question, on utilise la machine à fréquence de rotation variable et à couple utile Cu fourni constant: Cu = 10 Nm. On s'intéresse exclusivement au régime établi (vitesse constante).

On rappelle que R2 = 0,3Ω, 𝐼2 = 𝐾 ∆𝑓𝑅2

et Cu = 0,95.K.I2.

Pour 3 fréquences différentes des courants d'alimentation: f = 10 Hz, f = 80 Hz et f = 627 Hz, déterminer : Q1.• la valeur efficace I2 du courant ; • la fréquence de rotation N de la machine, exprimée en tr.min-1 ; • les puissances utile fournie Pu et absorbée Pa; • les valeurs efficaces I0 et I1 des courants (avec la condition utilisée en 3.1, les courants I0 et I2, sont en

quadrature) ; • le facteur de puissance de la machine.

Les résultats seront présentés dans un tableau.

f 10Hz 80Hz 627Hz

K (V/Hz) 2,48 2,48 0,385

𝑁𝑠 = 30. 𝑓 𝑝𝑛 𝑝𝑝. min−1 300 2400 18810

𝐼2 =𝐶𝑢

0,95 𝐾 𝑝𝑛 𝐴 4,2 4,2 27,3

Δ𝑓 =𝑅2𝐼2

𝐾 𝑝𝑛 𝐻𝐻 0,51 0,51 21,3

𝑁 = 1 −Δ𝑓𝑓

. 𝑁𝑠 𝑝𝑛 𝑝𝑝. min−1 285 2385 18171

𝑃𝑢 = 𝐶𝑢.𝜋. 𝑁30

𝑝𝑛 𝑊 298 2498 19029

𝑃𝑎 = 𝐶𝑢.𝜋. 𝑁𝑠

30 𝑝𝑛 𝑊 314 2513 19698

𝐼0 =𝐾

2𝜋. 𝐿0 𝑝𝑛 𝐴 23,8 23,8 3,7

𝐼1 = 𝐼02 + 𝐼2

2 𝑝𝑛 𝐴 24,2 24,2 27,5

𝑈1 = √3 . 𝑉1 = √3. 𝐾. 𝑓 𝑝𝑛 𝑉 43 344 418


𝑐𝑐𝑝𝜑 =𝑃𝑎

√3. 𝑈1𝐼1 0,17 0,17 0,99

Δ𝑓. 𝐿2. 2. 𝜋 ≪ 𝑅2 0,0042 << 0,3

Sans problème

0,0042 << 0,3

Sans problème

0,174 << 0,3

Trop juste

Vérifier que la condition établie en 3.1 est justifiée. Q2.

Voir ci-dessus.

Pour f variant de 10 Hz à 97,5 Hz, si le couple utile demandé est faible, conserver le rapport K constant n'est pas forcément la meilleure solution. On se place dans la condition du 3.1, donc I0 et I2 sont en quadrature.

Exprimer la valeur efficace de I1 en fonction de L0, K et Cu. Q3.

𝐼1 = 𝐼02 + 𝐼2

2 = 𝐾

2𝜋. 𝐿0

2

+ 𝐶𝑢

0,95 𝐾

2

Déterminer la valeur K0 qui minimise la valeur de I1 en fonction de Cu. Q4.

La valeur efficace du courant I1 est minimale pour la vaeur K0 de K qui rend minimale la somme 𝐾2𝜋.𝐿0

2

+ 𝐶𝑢0,95 𝐾

2

. Or

le produit de ces deux termes est constant et vaut 𝐶𝑢2

(1,9.𝜋.𝐿0)2. Cette somme est donc minimale lorsque les deux termes sont égaux.

𝐾

2𝜋. 𝐿0

2

= 𝐶𝑢

0,95 𝐾

2

→ 𝐾0 = 𝐶𝑢. 2. 𝜋. 𝐿0

0,95

Application numérique: Pour Cu = 10 Nm et Cu = 86 Nm, déterminer K Q5.

𝑃𝑐𝑑𝑝 𝐶𝑢 = 10 𝑁. 𝑁, 𝑐𝑛 𝐿 ∶ 𝐾0 = 1,04 𝑉. 𝐻𝐻−1 𝑝𝑝 𝐼1 = 14,2 𝐴

𝑃𝑐𝑑𝑝 𝐶𝑢 = 86 𝑁. 𝑁, 𝑐𝑛 𝐿 ∶ 𝐾0 = 3,07 𝑉. 𝐻𝐻−1 𝑝𝑝 𝐼1 = 41,7 𝐴

ACTIVITE : Etude de la motorisation de broche tour transmab 200

3.5 Présentation L'étude porte sur la commande de vitesse de la broche du tour Transmab

200 de la société Somab-Cazeneuve. On fournit quelques informations issues de la notice technique:

• La broche est entraînée par un moteur asynchrone LEROY SOMER de 3 kW: LS 100 L - 3 kW B14 - 230 / 400 V - 50 Hz - 1500 tr/min

• La vitesse maximum est de 4000 tr/min. • La transmission moteur- broche, en attaque directe, est assurée par deux courroies type spz.


Diamètre primitif de la poulie motrice: 125 mm, celui de la poulie réceptrice: 130 mm. • Le couple disponible à la broche entre 200 et 1420 tr/min est de 20 Nm.

On s'intéresse dans ce problème aux propriétés du couple moteur ainsi qu'au comportement de la motorisation lors d'une phase d'usinage.

3.6 Détermination de quelques caractéristiques du moteur asynchrone La documentation technique de la machine porte les indications suivantes : Couplage étoile : U =400 V I=7,1 A cosφ = 0,79 Couplage triangle : U =230V I=12,3 A cosφ = 0,79

P=3kW N = 1420 tr/min La machine est alimentée par un réseau triphasé 400 V/50 Hz.

Quelle est la fréquence de rotation Ns, du champ tournant ainsi que le nombre de paires de pôles de la Q1.machine

𝑁𝑆 = 60. 𝑓𝑝

= 1500 𝑝𝑝. min−1 donc p=2

Pour le point de fonctionnement nominal, calculer le glissement gn, le couple Cn et le rendement ηn· Q2.

𝑔𝑛 =Ns − 𝑁

𝑁𝑠=

1500 − 14201500

= 0,053; 𝐶𝑛 =𝑃𝑢𝑛

Ω𝑛=

3000

1420. 𝜋30

= 20,2 𝑁. 𝑁 ; 𝜂𝑛 =𝑃𝑢𝑛

𝑃𝑎𝑛=

3000√3400.7,1.0,79

= 0,77

3.7 Détermination des éléments du schéma équivalent, étude du couple On étudie les propriétés du couple moteur à partir du schéma équivalent par phase ramené au stator. On exploite

les données de la documentation technique pour déterminer les impédances du schéma. On rappelle ci-dessous ce schéma avec :

• R’2 résistance d'une phase du rotor ramenée au stator. • X'2 réactance cyclique d'une phase du rotor ramenée

au stator, avec X'2 = L'2ω, ω = 2πf où f est la fréquence des courants statoriques.

• La résistance et la réactance cyclique de fuites d'une phase du stator sont négligées.

• Ωs est la vitesse angulaire de rotation du champ tournant.

• V1 : tension simple, I1:courant en ligne Montrer que le couple électromagnétique développé par Q1.

la machine peut se mettre sous la forme:

Voir cours

Montrer que la courbe Cm(g) passe par un maximum CM pour une valeur gM du glissement. Q2.

𝑔𝑀 =𝑅2

′

𝑋2′ → 𝐶𝑀 =

3. 𝑉12

Ω𝑆.

12. 𝑋2

′

Monter que CM est proportionnel à (V1/f)2. Comment cette propriété est-elle exploitée dans les variateurs de Q3.vitesse pour moteur asynchrone ?

𝐶𝑀 =3. p. 𝑉1

2

ω.

12. L2

′ 𝜔=

3. p.8π2𝐿2

′ .𝑉1

2

f 2

Cette relation prouve que CM est proportionnel à (V1/f)2 .

Montrer que Cm peut s'écrire : Q4.


On pose 𝑥 = 𝑔𝑔𝑀

= 𝑔.𝑋2′

𝑅2′ : on retrouve l’expression demandée.

La documentation technique donne la valeur du couple de démarrage : Cd = 2,8 Cn.

Calculer gM et CM. Tracer l'allure de Cm(g). Q5.

𝐶𝑚 = 𝐶𝑑 = 2,8 . 20,2 = 56,6 𝑁. 𝑁 𝑝𝑐𝑑𝑝 𝑥 =1

𝑔𝑀 ; 𝑝𝑝 𝐶𝑚 = 𝐶𝑛 = 20,2 𝑁. 𝑁 𝑝𝑐𝑑𝑝 𝑥 =

𝑔𝑛

𝑔𝑀

On a donc un système de deux équations à deux inconnues :

56,6 = 2. 𝐶𝑀.𝑔𝑀

1 + 𝑔𝑀2

20,2 = 2. 𝐶𝑀.𝑔𝑀

1 + 𝑔𝑀2 𝑐ù 𝑔𝑛 = 0,053 → 𝐶𝑀 = 80𝑁. 𝑁 𝑝𝑝 𝑔𝑀 = 0,41

On peut faire le calcul en faisant l’hyppothèse que 𝑔𝑛 ≪ 𝑔𝑀 𝑑𝐿𝑛𝑝 𝑙𝐿 𝑝𝐿𝑝𝑝𝑚𝑝 𝑙𝑚𝑛é𝐿𝑚𝑝𝑝.

Déterminer R'2 et X'2. En déduire I'2n valeur de I'2 au point nominal. Q6.

𝐶𝑀 = 3. 𝑉12

Ω𝑆. 1

2.𝑋2′ = 80𝑁. 𝑁 𝑑′𝑐ù 𝑋2

′ = 6,3 Ω et gM = 𝑅2′

𝑋2′ =

0,41 𝑑𝑐𝑛𝑐 𝑐𝑛 𝑐𝑜𝑝𝑚𝑝𝑛𝑝 𝑅2′ = 2,6 Ω

On pose 𝑍 l’impédance complexe équivalente à 𝑅2′

𝑔 en série avec 𝑗. 𝑋2

′ .

Au point nominal, en prenant la tension V1 comme origine des phases, on peut écrire que :

𝐼2𝑛′ = 𝑉1

𝑍=

𝑉1𝑅2

′

𝑔𝑛+𝑗.𝑋2

′=

⎣⎢⎢⎡

𝑉1

𝑅2

′

𝑔𝑛

2+𝑋2

′2

; − arctan 𝑔𝑛. 𝑋2′

𝑅2′

⎦⎥⎥⎤

= [4,6 𝐴; −7,3 °]

A partir du point de fonctionnement nominal, déterminer I*0. En déduire R0 et Q7.X0

𝐼1 = [7,1 𝐴; −37,8°] 𝑐𝐿𝑝 cos 𝜑 = 0,79 𝐿𝑑 𝑝𝑐𝑚𝑛𝑝 𝑛𝑐𝑁𝑚𝑛𝐿𝑙

𝑑′𝐿𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑙𝐿 𝑙𝑐𝑚 𝑑𝑝𝑝 𝑛𝑐𝑝𝑑𝑑𝑝, 𝐼0 = 𝐼1 − 𝐼2 = [7,1; −37,8°] − [4,6; −7,3] = [3,9; −75,2°]

𝐼𝑂𝑎𝑚𝑡𝑂𝑂𝑚 =230𝑅0

= 𝐼0 cos 75,2° = 1𝐴 𝑑′𝑐ù 𝑅0 = 230Ω

𝐼𝑂𝑡é𝑎𝑚𝑡𝑂𝑂𝑚 =230𝑋0

= 𝐼0 sin 75,2° = 3,8𝐴 𝑑′𝑐ù 𝑋0 = 61Ω

Que représente la puissance dissipée dans R0 ? Q8.

La puissance dissipée dans R0 représente les pertes fer au stator du moteur.

• On utilisera au choix Z =ρejφ ou Z = ρ ; φ pour l'écriture des nombres complexes.

3.8 Caractéristique du couple lors d'une phase d'usinage La motorisation permet un fonctionnement dans les limites suivantes :

• Couple constant égal à sa valeur nominale pour des vitesses inférieures à sa vitesse nominale ; • Puissance constante égale à sa valeur nominale pour des vitesses supérieures à sa vitesse nominale et

inférieures à sa vitesse maximale Nmax = 4000 tr/min. Le rapport de transmission sera pris égal à 1. L'inertie de l'ensemble des parties tournantes ramenées au moteur est J = 0,1 kg.m2.

Tracer les courbes de puissance P(N) et de couple C(N) que peut fournir la motorisation en fonction de la Q1.fréquence de rotation N en tr/min.

Fonctionnement à couple constant :


Le moteur peut fournir en régime établi sans échauffement excessif, le couple nominal Cn pour toute vitesse comprise entre 0 et Ωn.

𝐶 ≤ 𝐶𝑛

𝑃 ≤𝐶𝑛(𝜋𝑁)

30 𝐿𝑎𝑝𝑐 𝐶𝑛 = 20,2 𝑁. 𝑁

Fonctionnement à puissance constante

La puissance que peut fournir le moteur en régime établi est constate et égale à sa valeur nominale.

𝐶 ≤

𝑃𝑛𝜋𝑁30

𝑃 ≤ 𝑃𝑛 𝐿𝑎𝑝𝑐 𝑃𝑛 = 3 𝑘𝑊

Lors d'une phase de dressage d'une face, on programme une avance de l'outil f de 0,1 mm/tr (soit 1,59.10-5 m/rad) ainsi qu'une vitesse de coupe constante Vc= 240 m/min (soit 4 m/s), dans la limite de Nmax· Le diamètre de la pièce est D = 60 mm. La projection suivant la direction de V, de la réaction de l'outil sur la pièce est constante et vaut F = 600 N. La position de l'outil est repérée par la variable R.

Quelle est la fréquence de rotation N0 en tr/min de la pièce au début de l'usinage? Q2.

𝑅0𝑝𝑝𝑝𝑝é𝑝𝑝𝑛𝑝𝑝 𝑙𝑝 𝑝𝐿𝑟𝑐𝑛 𝑑𝑝 𝑙𝐿 𝑓𝐿𝑐𝑝 𝑑𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝: 𝑅0 =𝐷0

2= 30 𝑁𝑁

𝐿𝑑 𝑑é𝑜𝑑𝑝 𝑑𝑝 𝑙′𝑑𝑝𝑚𝑛𝐿𝑔𝑝 : 𝑉𝑚 = 𝑅0. Ω0 → 𝑁0 =30. 𝑉𝑚

𝜋. 𝑅0= 1273 𝑝𝑝. min−1

Pour quelle valeur R1 de la position de l'outil atteindra-t-on la vitesse de 4000 tr/min ? Q3.

𝑂𝑛 𝐿𝑝𝑝𝑝𝑚𝑛𝑝 𝑙𝐿 𝑎𝑚𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑑𝑝 4000 𝑝𝑝. min−1𝑙𝑐𝑝𝑝𝑞𝑑𝑝 𝑅1 =30𝑉𝑚

𝜋. 𝑁max= 9,55 𝑁𝑁

Dans la phase à vitesse de coupe constante, montrer que R(t) peut se mettre sous la forme : Q4.

𝐷𝐿𝑛𝑝 𝑙𝐿 𝑝ℎ𝐿𝑝𝑝 𝑑𝑝 𝑐𝑐𝑑𝑝𝑝 à 𝑎𝑚𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑐𝑐𝑛𝑝𝑝𝐿𝑛𝑝𝑝, 𝑙𝐿 𝑝𝑝𝑙𝐿𝑝𝑚𝑐𝑛 𝑙𝑚𝐿𝑛𝑝 𝑙′𝐿𝑎𝐿𝑛𝑐𝑝 𝑑𝑝 𝑙′𝑐𝑑𝑝𝑚𝑙𝑓 à 𝑙′𝐿𝑛𝑔𝑙𝑝𝑑𝑝 𝑝𝑐𝑝𝐿𝑝𝑚𝑐𝑛 𝜃 𝑑𝑝 𝑙𝐿 𝑜𝑝𝑐𝑐ℎ𝑝 𝑝𝑝𝑝:

𝑑𝑅 = −𝑓. 𝑑𝜃 𝐿𝑎𝑝𝑐 Ω =𝑑𝜃𝑑𝑝

=𝑉𝑚

𝑅 𝑑′𝑐ù 𝑑𝑅 . 𝑅 = −𝑓. 𝑉𝑚

𝑃𝐿𝑝 𝑚𝑛𝑝é𝑔𝑝𝐿𝑝𝑚𝑐𝑛 𝑝𝑛𝑝𝑝𝑝 𝑝 = 0 (𝑅 = 𝑅0) 𝑝𝑝 𝑝, 𝑐𝑛 𝑐𝑜𝑝𝑚𝑝𝑛𝑝:

𝑅(𝑝) = 𝑅0. 1 −𝑝𝑝0

𝐿𝑎𝑝𝑐 𝑝0 =𝑅0

2

2𝑓. 𝑉𝑚

Donner l'expression littérale de t0. En déduire l'expression de Ω(t). Q5.

𝑂𝑛 𝑝𝑛 𝑑é𝑑𝑑𝑚𝑝 Ω(𝑝) = 𝑉𝑐𝑅(𝑡)

= 𝑉𝑐

𝑅0.1− 𝑡𝑡0

Montrer que le couple développé par le moteur pendant la phase à Q6.

vitesse de coupe constante peut se mettre sous la forme :

𝐽.𝑑Ω𝑑𝑝

= 𝐶𝑚 − 𝐶𝑡 − 𝐹. 𝑅 𝑑′𝑐ù 𝐶𝑚 = 𝐽.𝑑Ω𝑑𝑝

+ 𝐹. 𝑅

𝑑Ω𝑑𝑡

= 𝑑𝑑𝑡

𝑉𝑐𝑅0

. 1 − 𝑡𝑡0

−1

2 = 𝑉𝐶2.𝑅0.𝑡0

. 1 − 𝑡𝑡0

−3

2 = 𝑓𝑉𝑐

. 𝑉𝐶3

𝑅03 . 1 − 𝑡

𝑡0

−32 =

𝑓𝑉𝑐

. Ω3 𝑑′𝑐ù𝑙′𝑝𝑥𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑚𝑐𝑛 𝑑𝑝𝑁𝐿𝑛𝑑é𝑝

Calculer la fréquence de rotation pour laquelle le couple atteint une Q7.valeur limite. Que se passe-t-il au-delà ?

𝐿’é𝑝𝑑𝑑𝑝 𝑑𝑝 𝑙𝐿 𝑓𝑐𝑛𝑐𝑝𝑚𝑐𝑛 𝐶𝑚(𝑝)𝑝𝑐𝑑𝑝 𝑁

=30Ω

𝜋 𝑎𝐿𝑝𝑚𝐿𝑛𝑝 𝑑𝑝 1273𝑝𝑝. min−1 à 4000 𝑝𝑝. min−1𝑁𝑐𝑛𝑝𝑝𝑝 𝑞𝑑𝑝 𝑙𝑝 𝑐𝑐𝑑𝑚𝑝𝑙𝑝 𝑙𝑚𝑁𝑚𝑝𝑝 𝑝𝑝𝑝𝑁𝑚𝑝 𝑝𝑝𝑝 𝐿𝑝𝑝𝑝𝑚𝑛𝑝 𝑑𝐿𝑛𝑝 𝑙𝐿 𝑝ℎ𝐿𝑝𝑝 𝑑𝑝

𝑓𝑐𝑛𝑐𝑝𝑚𝑐𝑛𝑛𝑝𝑁𝑝𝑛𝑝 à 𝑝𝑑𝑚𝑝𝑝𝐿𝑛𝑐𝑝 𝑐𝑐𝑛𝑝𝑝𝐿𝑛𝑝𝑝. 𝑂𝑛 𝐿 𝐿𝑙𝑐𝑝𝑝 𝑁 = 1882 𝑝𝑝. min−1𝑝𝑝 𝐶𝑚 = 15,2 𝑁. 𝑁


4 ACTIVITE : Etude de la motorisation d’un extracteur de minerai La production de houille nécessite, outre son extraction, un nombre important de traitements (déferraillage, concassage des morceaux de charbon trop gros, tri, calibrage, ... ). Après son extraction, le minerai est remonté en surface et stocké dans une trémie.

L'extracteur est un tapis roulant (cf. figure ci-dessous), formé de plaques d'acier, qui transfère en continu le minerai de la trémie vers la zone de déferraillage (suppression des morceaux de ferraille mélangés au minerai).

Le minerai provenant de la trémie est déversé sur un tapis fixe. Des raclettes sont réparties à intervalles réguliers sur trois chaînes d'entraînement à maillons. Elles évacuent le minerai par un mouvement de "balayage" continu sur le tapis. L'ensemble chaînes + raclettes est entraîné par un groupe moto réducteur.

La motorisation de l'extracteur est assurée par une machine asynchrone triphasée.

4.1 Etablissement du modèle du moteur asynchrone La machine est un moteur asynchrone triphasé à cage, 230 V I 400 V, 50 Hz. On a fait deux essais sous tension et fréquence nominales en fonctionnement moteur et on a observé :

• A vide, un courant de ligne 10 = 5 A et une puissance absorbée P0 négligeable. • Sous charge nominale, un courant de ligne ln= 28 A, une puissance absorbée Pn = 16,5 kW et une vitesse du

rotor Nn = 1455 tr/min.

Dans toute cette partie, on néglige les résistances et inductances de fuites statoriques, ainsi que les pertes mécaniques.

Le réseau d'alimentation triphasé est un réseau 230 V/ 400 V, 50 Hz. Q1.Préciser le couplage du stator.

Couplage étoile car la tension aux bornes d’un enroulement est de 230 V (tension simple)

Préciser le nombre de paire de pôles p de cette machine. Justifier votre réponse. Q2.

𝑝 ≈50.60

Ω𝑛≈ 2


Dans l'essai sous charge nominale, calculer: Q3.- le glissement gn ;

𝑔𝑛 =1500 − 1455

1500= 0.03 (3%)

- le facteur de puissance 𝒄𝒄𝒄 𝝓𝒏 ;

𝑐𝑐𝑝𝜙𝑛 =Pn

3VIn=

16.5.103

3 ∗ 230 ∗ 28= 0.854

- la puissance réactive absorbée Qn ;

𝑄𝑛 = 𝑃 tan 𝜙𝑛 = 10.1 103𝑘𝑉𝐴𝑅

- le couple électromagnétique nominal Cn ;

𝐶𝑛 =𝑃𝑡𝑡

Ω𝑠=

𝑃𝑛

Ω𝑠=

16.15.103

1500. 𝜋30

= 105 𝑁. 𝑁

- les pertes joules rotoriques Pjn

𝑃𝑗𝑛 = 𝑃𝑡𝑡 . 𝑔𝑛 = 𝑃𝑛 . 𝑔𝑛 = 495 𝑊

Dans l'essai à vide, calculer la puissance réactive absorbée Q0. Q4.

𝑄0 = 𝑆0 = 3. 𝑉. 𝐼0 = 3450 𝑉𝐴𝑅

La figure 1 donne un modèle équivalent d'une phase de la machine. Q5.Rappeler la signification de V, Rs, Xs, R1, Xm, R, X et g.

V : tension simple

Rs : Résistance statorique

Xs : Réactance de fuite d’une phase du stator

Rf : resistance perte fer

Xm : Réactance magnétisante

X : Réactance de fuite du rotor ramenée au stator

R/g : résistance de phase du rotor ramenée au rotor

G : glissement

Compte tenu des approximations faites, on utilise le modèle simplifié proposé en figure 2. Q6.Calculer les valeurs numériques de Xm, R et X.

A vide : 𝑄0 = 3. 𝑋𝑚. 𝐼0

2 d’où 𝑋𝑚 = 𝑄03.𝐼0

2 = 46 Ω

En nominal : 𝑃′ = 𝑃𝑛 = 16,5 𝑘𝑊 𝑄′ = 𝑄𝑛 − 𝑄0 = 10200 − 3450 = 6750 𝑉𝐴𝑅

𝑆′ = 𝑃′2 + 𝑄′2 = 17800 𝑉𝐴 𝐼′ = 𝑆′

3𝑉= 25,8𝐴

𝑃′ = 3. 𝑅𝑔

. 𝐼′2 𝑅 = 𝑃′.𝑔3.𝐼′2 = 0,25Ω

𝑄′ = 3. 𝑋. 𝐼′2 𝑋 = 𝑄′

3.𝐼′2 = 3,4Ω


4.2 Caractéristique mécanique du moteur asynchrone On utilise le modèle simplifié de la figure 2 et on donne Xm = 50 Ω, R = 0,3 Ω et X= 3,3 Ω.

Montrer que le couple électromagnétique Cm développé par la machine peut s'écrire: Q1.

𝑪𝒎 =𝟑. 𝑽𝟐

𝛀𝑺

𝑹𝒈

𝑹𝒈

𝟐+ 𝑿𝟐

où Ωs est la vitesse de synchronisme en rad/s.

𝑃𝑡𝑡 = 3. 𝑅𝑔

𝐼′2 = 𝐶𝑚. Ω𝑠 𝐼′2 = 𝑉2

𝑋2+𝑅𝑔

2 d’où 𝐶𝑚 = 3Ω𝑠

𝑅𝑔

𝑉2

𝑋2+𝑅𝑔

2 = 3.𝑉2.𝑅

Ω𝑠.𝑔.𝑋2+𝑅2𝑔

Montrer que Cm passe par un extremum Cmax pour g =gmax·

Cmax pour g tel que 𝑔. 𝑋2 + 𝑅2

𝑔 minimum

Exprimer gmax et Cmax en fonction de V, ΩS, R et X.

On dérive par rapport à g : 𝑋2 − 𝑅2

𝑔2 = 0 d’où 𝑔𝑚𝑎𝑚 = 𝑅𝑋

𝐶𝑚𝑎𝑚 = 3.𝑉2.𝑅Ω𝑠.2.𝑋.𝑅

= 3.𝑉2Ω𝑠.2.𝑋

= 160 𝑁𝑁

Exprimer le couple électromagnétique de démarrage Cd en fonction de V, Ωs, R et X.

Couple de démarrage pour g=1 : 𝐶𝐷 = 3.𝑉2.𝑅Ω𝑠.(𝑋2+𝑅2)

= 29 𝑁𝑁

Exprimer la valeur efficace I du courant de ligne en fonction de V, Xm. R, X et g. Q2.

𝐼 = 𝑉𝑍

avec 𝑍 =𝑗.𝑋𝑚.𝑅

𝑔+𝑗.𝑋𝑅𝑔+𝑗.(𝑋+𝑋𝑚)

𝐼 = 𝑉𝑋𝑚

.𝑅

𝑔2

+(𝑋𝑚+𝑋)2

𝑅𝑔

2+𝑋2

Tracer les allures de Cm et I en fonction de la vitesse du rotor rom pour 0 < ωm < Ωs. Q3.Préciser les points remarquables.

Insérer courbes

4.3 Etude de l'association du moteur avec un onduleur autonome Le moteur, objet de l'étude précédente, est alimenté par un onduleur autonome triphasé.

L'alimentation triphasée délivrée par l'onduleur au moteur a donc une valeur efficace composée U, une fréquence f et une pulsation ω. Le moteur sera maintenant couplé en étoile. On utilise toujours le modèle simplifié de la figure 2 et on donne Xm = 50 Ω, R = 0,3 Ω et X= 3,3 Ω.

L'onduleur permet à l'utilisateur de régler f tout en conservant le rapport K0 = U/f constant, préciser: Q1.- l'intérêt, pour l'extracteur du réglage de f;

Régler la vitesse du moteur

- l'intérêt, pour le moteur, de garder le rapport U/f constant ;

Travailler à couple max constant

- la valeur numérique du rapport U/f pour la machine étudiée dans la partie 1.

𝐾0 = 𝑈𝑓

= 40050

= 8 𝑉. 𝐻𝐻−1 𝐶𝑚𝑎𝑚 = 32

. 𝑉2

Ω𝑠.𝑋= 3

2. 𝑝. 𝑉2

8.𝜋2.𝑓2.𝐿= 𝑝

8.𝜋2.𝐿. 𝑈

𝑓

2

On pose ΔΩ = Ωs - ωm et X = Lω, exprimer Cm en fonction de K0, p, R, L et ΔΩ. Q2.

𝑔 = ΔΩΩ𝑠

et Ω𝑠 = 𝜔𝑝

= 2.𝜋.𝑓𝑝

𝐶𝑚 = 3.𝑉2.𝑅

Ω𝑠.𝑔.𝑋2+𝑅2𝑔

= 𝐾02

4.𝜋 . 𝑝2.𝑅

𝑅2ΔΩ+𝐿2.𝑝2.ΔΩ


Comment se déduisent alors les courbes du couple Cm en fonction de la vitesse du rotor ωm les unes des autres quand on fait varier la fréquence ?

Lorsque f varie, les courbes glissent car pour un meme ΔΩ on a un Cm qui ne bouge pas.

Sur un même graphe, tracer les allures du couple électromagnétique Cm en fonction de la vitesse du rotor Q3.ωm pour f = 30 Hz, f = 40 Hz et 0 < ωm < Ωs. Préciser les points remarquables.

Insérer courbes

En survitesse (au-delà de f = 50 Hz), on garde U constant, le rapport Ko n'est donc plus constant. Q4.Pourquoi ? Qu'est-ce que cela implique pour l'extremum Cmax? Cela peut-il induire un dysfonctionnement de la machine ?

en survitesse, f>50 Hz , il faut U>400V, il faut donc que K0 diminue donc Cmax diminue.

Quand l'extracteur est chargé, il développe un couple résistant ramené sur l'arbre moteur Cs égal à 40 Nm Q5.(ce couple tient compte de la totalité des charges ainsi que des pertes dans la chaîne cinématique). Calculer f pour que le moteur tourne à 1337 tr/min, puis à 1600 tr/min.

𝑁 = 1337 𝑝𝑝/min donc < 50𝐻𝐻 , on a donc K0 = 8V/Hz

𝐶𝑚 = 40. 𝑁𝑁 donc Ω𝑠 = ΔΩ𝑠 + Ω𝑚 et Ω𝑠 = 2.𝜋.𝑓𝑝

d’où 𝑓 = 45.2𝐻𝐻

𝑁 = 1600 𝑝𝑝/min donc > 50𝐻𝐻 , on calcule Ω𝑠 avec 𝐶𝑚 = 3. 𝑉2

Ω𝑆.

𝑅𝑔

𝑅𝑔

2+𝑋2

avec 𝑔 = Ω𝑠−ΩΩ𝑠

on trouve 𝑓 = 54 𝐻𝐻

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