travaux dirig es d’automatique commande des syst emes lin

Travaux Diriges d’Automatique–

Commande des SystemesLineaires Continus

� M1 �

UE ICCP – module CSy

Les seances de Travaux Diriges de commande des systemes lineaires continus –notees TD5, TD6,. . . dans votre emploi du temps – sont reparties sur 11 creneaux de 1h30.La sequence conseillee est la suivante :

— Probleme no1 : Analyse d’un procede chimique

TD5 → modelisation et debut de la correction proportionnelle ;TD6 → fin de la correction proportionnelle ; etude d’une perturbation ;TD7 → debut de la correction integrale ;TD8 → fin de la correction integrale et correction PI ;TDM2→ Analyse et simulation a l’aide de Matlab jusqu’a la correction PI incluse ;TDM3 → Analyse et simulation a l’aide de Matlab, correction PID.

— Probleme no2 – Regulation de temperature

TD9

— Probleme no3 – Asservissement de niveau dans un bac, Synthese de correcteurs P.I.

TD10 → jusqu’a la question 5 incluse ;TD11 → de la question 6 a la fin.

— Probleme no4 – Asservissement de position angulaire, Synthese d’un correcteurAvance de Phase

TD12→methode du modele et debut des caracteristiques harmoniques de l’avancede phase ;TD13 → fin caracteristiques harmoniques et application a l’asservissement.

Probleme no1

Analyse d’un procede chimique

Le procede chimique considere est compose de deux cuves chauffees, agitees et disposeesen serie. L’objectif du systeme de commande est de maintenir la temperature θ2(t) de sor-tie de la deuxieme cuve a une temperature de consigne θc(t) en agissant sur les tensionsu1(t) et u2(t) des rechauffeurs electriques. Le principe de fonctionnement de ce procede estrepresente sur la figure 1.1.

Figure 1.1 – Schema fonctionnel du procede chimique

On considere que

— le systeme est en equilibre du point de vue des debits : tous les debits entrants etsortants sont constants (egaux a Q0), le volume de liquide dans chaque cuve etantalors egalement constant ;

— la temperature du liquide d’entree de la premiere cuve est constante et egale a θ0 ;

— le thermocouple (capteur de la temperature θ2(t) renvoyant la mesure vmes(t)) estparfaitement lineaire et se comporte comme un gain Kt = 0.15 V/ C.

4 1. ANALYSE D’UN PROCEDE CHIMIQUE

Ce systeme n’est pas lineaire dans son fonctionnement global (echanges thermiques). Tou-tefois, en considerant un point de fonctionnement du systeme et des petites variations desdifferents signaux autour de ce point, l’analyse peut raisonnablement se faire sur un modelelinearise. C’est dans cette hypothese que nous travaillons ici.

1.1 Modelisation (modele de representation autour

d’un point de fonctionnement)

Plusieurs experiences ont ete menees sur le procede a partir de l’etat d’equilibre choisicomme point de fonctionnement (on notera d’une ? les variations autour de ce point) :

— une variation de type echelon de 0.1 volt sur l’entree u1(t) a conduit a l’evolutionde la temperature θ1(t) representee sur la figure 1.2 ;

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 35000

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

temps (sec)

rép

on

se

θ1(t

)

Figure 1.2 – Reponse θ1(t) a un echelon d’amplitude 0.1 volt

— une augmentation de u2(t) de 10 a 12 volts a pour consequence une augmentationde la temperature θ2(t) de 85 a 90 C avec un comportement semblable a celui d’unmodele du premier ordre ; θ2(t) atteint 95% de sa variation totale (variation de4.75 C) au bout de 30 minutes (1800s) ;

— on donne la fonction de transfert G3(p) =Θ?2(p)

Θ?1(p)= 1

1+1200p.

1. Ecrire les fonctions de transfert G1(p) =Θ?1(p)

U?1 (p)et G2(p) =

Θ?2(p)

U?2 (p);

2. Commenter la fonction de transfert G3(p) ;

3. Dessiner le schema-blocs du procede.

IMT Mines Albi (version 2019) CSy – P2

1.2. ASSERVISSEMENT EN TEMPERATURE DU PROCEDE 5

1.2 Asservissement en temperature du procede

1.2.1 Correction proportionnelle sur la commande u2(t)

On souhaite asservir le systeme avec une correction elementaire (correction proportionnellede gain K) sur le signal u2(t). Le signal de consigne sera note θc(t).L’analyse se fait autour du point de fonctionnement.

1. Dessiner le schema-blocs de l’asservissement ;

2. Discuter des notions d’asservissement et de regulation du systeme ;

3. Ecrire la fonction de transfert en boucle fermee F2(p) =Θ?2(p)

Θ?c(p).

L’ecrire sous forme canonique et en faire l’analyse en fonction de la valeur de cor-rection K.Illustrer le propos en vous servant du resultat de la figure 1.3.

0 500 1000 1500 2000 25000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Step Response

Time (sec)

Am

plit

ud

e

Figure 1.3 – Reponse indicielle de l’asservissement pour K = 1 et K = 5

1.2.2 Correction proportionnelle sur la commande u1(t)

On asservit desormais le procede en temperature en reglant le signal u1(t) qui devient si-gnal de commande.

1. Dessiner le schema-blocs de l’asservissement ;

2. Discuter des notions d’asservissement et de regulation du systeme ;

CSy – P2 IMT Mines Albi (version 2019)


3. Ecrire la fonction de transfert en boucle fermee F1(p) =Θ?2(p)

Θ?c(p).

L’ecrire sous forme canonique ;

4. Donner l’expression du gain statique de F1(p) en fonction de K. Commenter ;

5. A partir de l’application numerique, calculer les poles de la fonction de transfertF1(p). Discuter de leur nature (et du comportement dynamique de l’asservisse-ment) en fonction de la valeur de K. Tracer succinctement, dans le plan complexe,l’evolution des poles de F1(p) en fonction de K. Analyser le comportement dyna-mique de l’asservissement en fonction du gain de correction K ;

6. Pour les trois valeurs de K = 1, 5 et 20, donner la valeur du gain statique, despoles et de l’amortissement (note ξ) de l’asservissement. Interpreter ces resultats enutilisant les reponses indicielles reportees sur la figure 1.4.

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 45000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4Step Response

Time (sec)

Am

plit

ud

e

Figure 1.4 – Reponse indicielle de l’asservissement F1(p) en fonction de K


1.2. ASSERVISSEMENT EN TEMPERATURE DU PROCEDE 7

1.2.3 Comparaison

Comparer qualitativement la correction sur u1(t) et sur u2(t).



1.3 Etude d’une perturbation sur l’asservissement

On considere le dernier asservissement etudie de fonction de transfert F1(p). L’effet de lavariation du signal u2(t) sur la temperature θ2(t) est interprete ici comme une perturbationsur l’asservissement ; on le note ω(t).

1. Ecrire l’expression de la sortie Θ?2(p) en fonction de la consigne et de la perturbation ;

2. Quel serait, en regime permanent, l’effet d’une perturbation de type echelon d’am-plitude ω0 sur la sortie de l’asservissement 1.Donner les valeurs numeriques pour des corrections proportionnelles K = 1, 5 et 20et pour une perturbation d’amplitude ω0 =1 C.

1.4 Analyse d’une correction integrale

On pose :

G(p) = G1(p)G3(p) =Θ?

2(p)

U?1 (p)

=4

(1 + 600p)(1 + 1200p)

On realise l’asservissement de temperature du procede comme indique sur le schema-blocsde la figure 1.5 avec une correction integrale pure : D(p) = K

p.

Figure 1.5 – Schema-blocs de l’asservissement

1. Donner l’expression de la fonction de transfert T (p) en boucle ouverte.

2. Donner l’expression de la fonction de transfert F (p) en boucle fermee.

3. Calculer l’erreur de position de cet asservissement. Qu’apporte la caracteristiqueintegrale de la correction a l’asservissement ?

4. Calculer l’erreur de vitesse (de traınage) de l’asservissement. Conclure.

5. La reponse harmonique en boucle ouverte pour K = 2 est donnee sur la figure 1.6.Donner la valeur des marges de stabilite.

6. L’asservissement est-il stable pour K = 2 ? Justifier.

7. A l’aide du trace harmonique en boucle ouverte et en donnant la demarche, donnerla condition que doit remplir K pour que l’asservissement soit stable.

8. Retrouver ce resultat en utilisant le critere de Routh.

1. Le choix d’une telle perturbation etant ici l’effet d’une variation sur le signal u2(t) n’est certespas realiste mais permet d’apprehender la problematique de regulation c’est a dire du comportement del’asservissement face a une perturbation


1.4. ANALYSE D’UNE CORRECTION INTEGRALE 9

Bode Diagram

Frequency (rad/s)

10−4

10−3

10−2

10−1

−270

−225

−180

−135

−90

Ph

ase

(d

eg

)

−50

0

50

Ma

gn

itu

de

(d

B)

Figure 1.6 – Reponse harmonique de T (p) pour K = 2

9. Determiner la valeur de K pour que l’asservissement ait une marge de phase de 45 .Donner sa marge de gain.

10. Determiner la valeur de K pour que l’asservissement ait une marge de gain de 6 dB.Donner sa marge de phase.

11. A titre de synthese, on remplira le tableau suivant et on en fera ensuite l’analyse :

Mϕ Mg stabilite εp(+∞) εv(+∞)

K = 2

Klim= limite

K1 = 45

K2 = 6 dB

12. Commenter les resultats de la figure 1.7.

13. Montrer que ce type de correction permet de rejeter les perturbations de typeechelon. On se basera sur le travail fait a la question 1.3.



0 10000 20000 30000 400000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8Step Response

Time (sec)

Am

plit

ude

Figure 1.7 – Reponses indicielles de l’asservissement avec correction integrale pour K =10−3, K = 2.10−3 et K = 3.10−3


1.5. CORRECTION PROPORTIONNELLE-INTEGRALE (PI) 11

1.5 Correction Proportionnelle-Integrale (PI)

Pour que l’asservissement presente une erreur de position nulle et des caracteristiquesdynamiques (temps de montee, de reponse et premier depassement) acceptables – commepar exemple celles obtenues pour une correction proportionnelle K = 5 (paragraphe 1.2.2)– nous proposons de faire la synthese du correcteur PI de fonction de transfert :

D(p) =K

Ti p(1 + Ti p)

avec K = 5 et Ti = 2000. La reponse harmonique de la fonction KtG(p) est reportee surla figure 1.8.

−60

−40

−20

0

20

40

Ma

gn

itu

de

(d

B)

10−5

10−4

10−3

10−2

−180

−135

−90

−45

0

Ph

ase

(d

eg

)

Bode Diagram

Frequency (rad/s)

Figure 1.8 – Lieu de transfert de KtG(p)

1. A quoi correspond le lieu de transfert represente sur la figure 1.8 ?

2. Tracer le comportement asymptotique de D(p) sur le meme graphique ;

3. Deduire le lieu de transfert en boucle ouverte. Mesurer la marge de phase ;

4. La reponse indicielle de l’asservissement est reportee sur la figure 1.9. Commenterles performances dynamiques et en precision de cet asservissement. Comparer lecorrecteur proportionnel integral aux correcteurs etudies precedemment.



0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 80000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Step Response

Time (seconds)

Am

plit

ude

Figure 1.9 – Reponse indicielle de l’asservissement

1.6 Synthese d’un correcteur PI

On se propose de regler le correcteur PI en compensant le pole dominant de G(p).

1. Calculer la valeur de Ti qui permet de realiser la compensation ;

2. Calculer la FTBO du systeme apres compensation ;

3. Calculer la valeur de Ki qui confere au systeme asservi une marge de phase de 50 ;

4. Existe-t-il une valeur de Ki qui peut destabiliser le systeme asservi ?

5. Pour une consigne qui varie sous forme d’un echelon unite, calculer le 1er depassementrelatif et le temps de reponse a 5% de la reponse. Comparer avec la reponse de lafigure 1.9.

1.7 Analyse et simulation a l’aide de MATLAB

On considere le procede linearise en considerant la correction sur la commande u1(t). Lafonction de transfert du procede a commander s’ecrit :

G(p) = G1(p)×G3(p) =K1

(1 + τ1p)× K3

(1 + τ3p)

avec K1 = 4, τ1 = 600s, K3 = 1 et τ3 = 1200s.Le capteur est assimilable a un gain Kt = 0, 15V/ C.Trois correcteurs de fonctions de transfert D1(p), D2(p) et D3(p) vont etre etudies etcompares.

[Entre crochets seront donnees les commandes MATLAB a utiliser – leur syntaxe peut etreobtenue grace a l’aide en ligne avec la commande help]


1.7. ANALYSE ET SIMULATION A L’AIDE DE MATLAB 13

1.7.1 Correction Proportionnelle – D1(p) = K

1. Apres avoir proprement defini les differents parametres et les differentes fonctions detransfert sous MATLAB, ecrire les fonctions de transfert T (p) en boucle ouverte etF (p) en boucle fermee [feedback ] pour une correction proportionnelle de gain K = 5,K = 20 et K = 50.

2. Faire l’analyse de la correction proportionnelle a partir du lieu des racines [rlocus ].

3. Quelle est la fonction de transfert utilisee pour le critere des marges de stabilite ?Quel est l’objectif de ce critere ?Donner les marges de stabilite [margin] pour les trois cas.Quelle conclusion peut-on tirer du resultat de marge de gain ?

4. Donner les poles [pole] de la fonction de transfert en boucle fermee, le coefficientd’amortissement [damp] et tracer les reponses indicielles [step] de l’asservissementpour les 3 valeurs de K.

5. Etablir le lien entre le premier depassement, le coefficient d’amortissement et lamarge de phase.

6. Demontrer que l’erreur de position est finie, qu’elle egale 11+KK1K3Kt

θ0 et que savaleur correspond aux resultats obtenus sur les traces indiciels.

7. Demontrer que l’erreur de vitesse est infinie. En faire une illustration a l’aide deMATLAB.

1.7.2 Correction Integrale – D2(p) = K ′

p

1. Pour K ′ = 1, ecrire la nouvelle fonction de transfert T (p) en boucle ouverte.

2. Tracer le lieu de Bode du correcteur.

3. Tracer l’evolution des poles de la fonction de transfert en boucle fermee [rlocus ] enfonction de K ′.Discuter de la stabilite de l’asservissement en fonction de K ′.

4. Refaire la demarche de l’analyse de la stabilite de l’asservissement a partir de lamesure des marges de stabilite.

5. Pour deux ou trois valeurs de K ′ representatives, tracer la reponse indicielle del’asservissement. Commenter les resultats obtenus en terme de caracteristiques dy-namiques et de performances en precision de l’asservissement.

6. Demontrer que l’erreur de vitesse est finie. En faire une illustration a l’aide deMATLAB.

1.7.3 Correction Proportionnelle Integrale – D3(p) = K ′′

Tip(1 + Tip)

On pose K ′′ = 20 et on considere trois valeurs de Ti : Ti = 1000s, 2600s et 7000s.

1. Faire l’analyse du correcteur seul dans le plan de Bode (savoir positionner la pulsa-tion 1

Ti).

Quel est l’interet de ce correcteur ? Qu’apporte-t-il aux basses frequences ? Aux



hautes frequences ?Ce type de correcteur peut-il ameliorer le degre de stabilite de l’asservissement ?

2. Comparer les marges de phase obtenues avec le correcteur D3(p) pour les differentesvaleurs de Ti a celle obtenue pour une correction proportionnelle D1(p) = K de gainK = 20.

3. Tracer les reponses indicielles de l’asservissement pour les correcteursD3(p) ainsi quepour la correction proportionnelle K = 20 ; faire le lien avec la question precedente.

4. Discuter du compromis temps de reponse/degre de stabilite sur le choix de Ti. Endeduire une methode de placement de P.I.

1.7.4 Placement d’un P.I.D. par synthese dans le plan de Bode

On souhaite placer un correcteur qui satisfasse le cahier des charges :

— le temps de montee (raideur) de l’asservissement doit correspondre a celui mesureepour un gain proportionnel de valeur 20 ;

— l’erreur de position de l’asservissement doit etre nulle ;

— la marge de phase doit etre de 70 .

Pour repondre a ce cahier des charges, on propose de calculer le correcteur :

D4(p) = 20× K

Tip(1 + Tip)(1 + Tdp)

que l’on comparera a la correction proportionnelle de gain 20.

1. Pour quelle raison le correcteur D4(p) peut-il satisfaire le cahier des charges ?

2. En utilisant l’algorithme de reglage vu en cours, calculer le bon parametre Td ;

3. Deduire la valeur d’ajustement K ;

4. Quel choix est-il judicieux de faire pour Ti ;

5. Definir, sous Matlab, le correcteur D4(p) ;

6. Comparer, dans le plan de Bode, la marge de phase dans le cas de la correctionproportionnelle et dans celui du correcteur D4(p) ;

7. Illustrer l’effet du correcteur dans le plan de nyquist comparativement a la correctionproportionnelle ;

8. Comparer les reponses indicielles des deux asservissements consideres.Commenter.

1.7.5 Placement d’un P.I.D. par la methode du modele

On souhaite placer un correcteur qui satisfasse le cahier des charges :

— l’erreur de position de l’asservissement doit etre nulle ;


1.7. ANALYSE ET SIMULATION A L’AIDE DE MATLAB 15

— le premier depassement doit etre de l’ordre de 5% ;

— le temps de reponse de l’asservissement ne doit pas exceder 1/4 d’heure (900s).

Pour repondre a ce cahier des charges, on propose de calculer le correcteur :

D5(p) =K

Tip(1 + Tip)(1 + Tdp)

1. On choisit de compenser le pole rapide du systeme pour obtenir une fonction detransfert en boucle fermee d’ordre 2.Quelle valeur doit prendre Ti ? Justifier ;

2. Pour quelle raison le correcteur D5(p) peut-il satisfaire le cahier des charges ?

3. Traduire les specifications desirees en terme de ξ et de ωn (tels que definis dans lecours) ;

4. Deduire les parametres K et Td ;

5. Definir, sous Matlab, le correcteur D5(p) ;

6. Comparer les reponses indicielles des deux asservissements consideres.Commenter.


Probleme no2

Regulation de temperature

On dispose d’une enceinte dont on souhaite reguler la temperature par le controle d’undebit de vapeur.Le systeme represente sur le schema fonctionnel de la figure 2.1 decrit le fonctionnementd’une enceinte a chauffage indirect. Il est constitue d’une vanne que l’on va commander(application d’une tension u(t) sur un servomoteur permettant d’ouvrir ou de fermer lavanne), d’un echangeur eau–vapeur, d’une enceinte dont on veut commander la temperatureen agissant sur la vanne et d’une pompe a debit constant. De l’ouverture de la vanne vadecouler le debit de vapeur, la temperature de l’eau dans l’echangeur, le debit de vapeuret la temperature de l’enceinte.

Figure 2.1 – Enceinte a chauffage indirect

Suite a une ouverture rapide de la vanne, l’evolution de la temperature T o(t) est decritepar un comportement du second ordre – premier ordre au carre – dont le gain statiqueKe =20 C/(m3/s) et la constante de temps τe = 1200s (20 min).

Le modele du servomoteur est donne :

X(p)

U(p)=

Kp

p(1 + τpp)

18 2. REGULATION DE TEMPERATURE

pour lequel x(t) est la position lineaire de la soupape montee sur l’arbre du moteur. Ondonne Kp = 2.10−4m/V et τp = 0.5s.

La fonction de transfert de la vanne est assimilable a un gain de valeur Kv = 100(m3/s)/m.

L’organe de mesure de la temperature est un capteur de gain Kc = 5.10−2V/ C.

1. Representer le schema blocs de la chaıne directe du procede ;

2. Un regulateur proportionnel K est implante pour commander la temperature del’enceinte par action sur la tension u(t). Representer le schema blocs de l’asservis-sement ;

3. Ecrire la fonction de transfert en boucle ouverte ;

4. Pourquoi cette fonction de transfert peut-elle se simplifier ?

5. Faire une analyse de la stabilite de l’asservissement par le critere algebrique deRouth.Retrouver analytiquement ce resultat a partir du module et de l’argument de lafonction de transfert en boucle ouverte ;

6. Le lieu de transfert de la boucle ouverte pour K = 1 represente dans le plan deBode est donne figure 2.2. Retrouver le resultat de la question precedente dans ceplan.

7. Pour quelle(s) raison(s), dans le cas d’une correction proportionnelle, l’erreur deposition de l’asservissement est-elle nulle ?

8. Dessiner le comportement indiciel de l’asservissement pour K = 0.08.

On propose de remplacer le correcteur proportionnel par une correction proportionnellederivee (PD) de fonction de transfert :

D(p) = K (1 + Tdp)

avec K = 0.08 et Td = 2539.

1. Quelle est l’influence de ce correcteur sur la precision de l’asservissement ?

2. Faire le trace de la reponse harmonique de D(p) sur le graphique 2.3. Deduire celuide la nouvelle fonction de transfert en boucle ouverte ;

3. Faire apparaıtre la marge de phase du systeme corrige et conclure sur l’utilite ducorrecteur D(p). Pour etayer votre propos la reponse indicielle de l’asservissementcorrige est reportee sur la figure 2.4.


19

−80

−60

−40

−20

0

20

40

Ma

gn

itu

de

(d

B)

10−4

10−3

10−2

−270

−225

−180

−135

−90

Ph

ase

(d

eg

)

Bode Diagram

Frequency (rad/s)

Figure 2.2 – Boucle ouverte pour K = 1


20 2. REGULATION DE TEMPERATURE

−80

−60

−40

−20

0

20

40

Ma

gn

itu

de

(d

B)

Bode Diagram

Frequency (rad/s)

10−4

10−3

10−2

−270

−225

−180

−135

−90

−45

0

45

90

Ph

ase

(d

eg

)

Figure 2.3 – Boucle ouverte pour K = 1

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 70000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Step Response

Time (seconds)

Am

plit

ude

Figure 2.4 – Reponse indicielle de l’asservissement corrige par D(p)


Probleme no3

Asservissement de niveau dans unbac – Synthese de correcteurs P.I.

On considere le systeme hydraulique a ecoulement libre etudie dans un T.D. d’ASLC.On considere ici que le modele de l’ensemble vanne/bac, linearise autour d’un point defonctionnement choisi, s’ecrit :

G(p) =H?s (p)

U?(p)=

1.5

1 + 50p

Le capteur de niveau est suppose parfaitement lineaire et de gain Kc = 1V/cm.La fonction de transfert du correcteur sera notee D(p).

On va etudier le comportement du systeme asservi en presence de 3 types de correcteurs.

Au fur et a mesure, on completera le tableau de synthese fourni a la fin duprobleme.

Dans un premier temps, on considere une correction proportionnelle D(p) = K.

1. Dessiner l’asservissement. Donner l’expression des fonctions de transfert T (p) enboucle ouverte et F (p) en boucle fermee.

2. Donner l’expression de l’erreur de position de l’asservissement ?

3. Cet asservissement est-il destabilisable par action sur K ? On pourra utiliser lareponse harmonique de G(p), figure 3.1.

On remplace la correction proportionnelle par une correction integrale pure de fonction detransfert D(p) = K

p.

4. Quel est l’interet de cette correction ?

5. On souhaite calculer les deux valeurs de K pour lesquelles la pulsation ωn (tellequelle est definie dans le cours) de l’asservissement egale 0, 1 rad/s et 1 rad/s.Quelles sont les differences attendues pour les deux valeurs de K ?En deduire l’amortissement, le premier depassement et le temps de reponse.

6. Quel type de correcteur peut permettre d’apporter a cet asservissement une precisioninfinie en position et un bon comportement dynamique ?

22 3. ASSERVISSEMENT DE NIVEAU DANS UN BAC – SYNTHESE DE CORRECTEURS P.I.

On pose desormais D(p) = KTip

(1 + Tip)

7. La reponse frequentielle de G(p) est reportee sur la figure 3.1. Proposer un correcteurD(p) construit a partir de la plus grande valeur de gain trouvee a la question 5.

−100

−80

−60

−40

−20

0

20

40

Ma

gn

itu

de

(d

B)

10−3

10−2

10−1

100

101

102

103

−90

−60

−30

0

Ph

ase

(d

eg

)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

G(p)

33,3 G(p)

Figure 3.1 – Reponse frequentielle de G(p)

8. Calculer un nouveau correcteurD(p) repondant aux specifications : temps de reponsetr = 20s et amortissement ξ = 0.8.


23

0 50 100 150 200 250 300 350 4000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2Step Response

Time (sec)

Am

plit

ud

e

Figure 3.2 – Reponse indicielle de l’asservissement avec D(p) = 0.33p

et D(p) = 33.3p

0 5 10 15 20 25 30 35 40 450

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4Step Response

Time (sec)

Am

plit

ud

e

Figure 3.3 – Reponse indicielle de l’asservissement avec D(p) = 33,310p

(1 + 10p) et D(p) =9,57,9p

(1 + 7, 9p)



−60

−40

−20

0

20

40

60

80

Ma

gn

itu

de

(d

B)

10−3

10−2

10−1

100

101

102

−135

−90

−45

0

Ph

ase

(d

eg

)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

Figure 3.4 – Illustration dans Bode du correcteur P.I. de la question 7


25

9. Completer le tableau de synthese suivant :

Mϕ Mg εp(+∞) εv(+∞) D1% tr5%

D(p) = 1

D(p) = 33, 3

D(p) = 0,33p

(*)

D(p) = 33,3p

(*)

D(p) = 33, 3(1 + 110p

)

D(p) = 9, 5(1 + 17,9p

)

(*) faire le calcul algebrique de la marge de phase

10. Analyser et commenter le tableau.


Probleme no4

Asservissement de position angulaire– Synthese d’un correcteur Avancede Phase

Nous considerons un asservissement de position angulaire. La fonction de transfert dusysteme a commander (modele du moteur a courant continu dont on neglige la constantede temps electrique) est :

G(p) =K

p(1 + Tmp)=

1.69

p(1 + 0.16p)

Le schema bloc de l’asservissement est represente sur la figure 4.1.

Figure 4.1 – Asservissement de position angulaire du moteur

Le capteur de position angulaire est lineaire et de gain Ks = 10V/tr.

D(p) est la fonction de transfert d’un correcteur que nous allons synthetiser ; on proposede faire l’etude du correcteur :

D(p) =1 + τ1p

1 + τp

Ce correcteur est de type avance de phase lorsque τ1 > τ .

284. ASSERVISSEMENT DE POSITION ANGULAIRE – SYNTHESE D’UN CORRECTEUR AVANCE DE

PHASE

Synthese du correcteur D(p) par la methode du modele

On appelle methode du modele la methode qui permet d’obtenir, par identification, lesparametres d’un correcteur afin d’obtenir un modele desire en boucle fermee.

Nous proposons de calculer les parametres τ1 et τ du correcteur D(p) afin que le systemeasservi se comporte comme un systeme du second ordre avec un amortissement ξ = 0.7.

1. Quel effet peut avoir le correcteur D(p) sur la precision de l’asservissement ? Argu-menter.

2. Nous avons deux parametres a regler pour repondre a une specification (amortisse-ment) ; le degre de liberte va etre utilise en faisant une compensation du pole liea la constante de temps mecanique : on pose τ1 = Tm.Montrer que le modele fonction de transfert du systeme asservi est, dans ce cas, unmodele du second ordre.

3. Calculer le parametre τ qui permet d’avoir un facteur d’amortissement ξ = 0.7.

4. Completer le tableau suivant :

ξ wn D1% tr5% tm tpic

D(p) = 1

D(p) = 1 + τ1p1 + τp

5. Esquisser l’allure de la reponse indicielle de l’asservissement 1 et la comparer quali-tativement a celle obtenue pour D(p) = 1.

Synthese d’un correcteur avance de phase

On pose τ1 = aτ avec a > 1. Le correcteur avance de phase s’ecrit alors :

D(p) =1 + aτp

1 + τp, a > 1

Caracteristiques harmoniques de l’avance de phase

1. Tracer le comportement frequentiel asymptotique de D(p) dans le plan de Bode.

2. Ecrire le module et l’argument de D(jω).

3. Montrer que l’argument est maximal 2 pour la pulsation ωmax = 1τ√a. Placer cette

pulsation sur le trace asymptotique.

1. On rappelle que pour un modele du second ordre, les caracteristiques dynamiques sont : tr ' 3σ (−σ

partie reelle du pole dominant) ; tm ' 1.8ωn

; D1 = e−πξ√1−ξ2 .

2. On rappelle que d arctanudω = 1

1+u2dudω


29

4. On note Φmax, l’argument maximal. Montrer que :

Φmax = arctan√a − arctan

1√a

En utilisant les egalites trigonometriques adequates 3, montrer que l’on a la relation :

sin Φmax =a− 1

a+ 1

5. Montrer que pour la pulsation ωmax, le module en decibels egale 10 log a.

6. Deduire des calculs precedents le trace reel de la reponse harmonique de D(p).

7. De maniere generale, quel est l’apport de ce correcteur sur le lieu de transfert de laboucle ouverte ?

Application a l’asservissement de position

Soient T1(p) la fonction de transfert en boucle ouverte pour D(p) = 1 et TAvφ(p) la fonctionde transfert en boucle ouverte pour D(p) = 1 + aτp

1 + τp.

La reponse harmonique de T1(p) est representee sur la figure 4.2.

1. Mesurer la marge de phase et la pulsation ω0dB.

L’objectif de l’exercice est de placer l’avance de phase D(p) pour ameliorer le degre destabilite de l’asservissement et obtenir une marge de phase de 65 . Le correcteur D(p) doitdonc etre calcule pour apporter :

Marge de phase a apporter = Marge de phase desiree − Marge de phase avant correction

soit :

Φmax = 65 − 35 = 30

2. Calculer le parametre a qui garantit Φmax = 30 .

3. Sur la boucle ouverte apres correction notee TAvφ(p), on souhaite que la pulsation demesure de la nouvelle marge de phase corresponde a celle que nous avons note ωmax,c’est a dire a la pulsation ou le correcteur apporte le maximum Φmax de phase.Determiner graphiquement la valeur de ωmax.

4. Deduire des resultats precedents la valeur de τ .

5. Esquisser la reponse harmonique de ce correcteur considere seul en notant les valeursremarquables.

6. A partir de cette esquisse, tracer, sur la figure 4.4, la reponse harmonique de lafonction de transfert TAvφ(p), boucle ouverte apres correction.

3. On s’en sort rapidement en utilisant les egalites pratiques cos(arctanx) = 1√1+x2

, sin(arctanx) =x√

1+x2et sin(a− b) = sin(a) cos(b)− sin(b) cos(a)



PHASE

−40

−30

−20

−10 0

10

20

30

40

Gain en dBB

od

e D

iagra

m

Fre

que

ncy (ra

d/s

ec)

10

−1

10

010

11

02

−1

80

−1

35

−90

Phase (deg)

Figure 4.2 – Reponse harmonique de T1(p)

7. Mesurer la nouvelle marge. Pourquoi ce resultat est-il un peu inferieur a la margeescomptee ?

8. Afin de mettre en œuvre la demarche de placement d’un correcteur avance de phasedans son integralite, calculer un nouveau correcteur avance de phase tel que la margede phase egale 77 (travailler sur la figure 4.4).


31

Remarque : pour anticiper la diminution de la marge de phase, on aurait aussi pucalculer Φmax en prenant un facteur d’elargissement (65 − 35 )× 1, 4.

La figure 4.3 illustre les reponses indicielles de l’asservissement pour le correcteur D(p) = 1,l’avance de phase no1 de fonction de transfert D(p) = 1+0.133p

1+0.044pet l’avance de phase no2 de

fonction de transfert D(p) = 1+0.15p1+0.03p

.

9. Calculer l’erreur de vitesse de l’asservissement.

10. Completer le tableau suivant :

Mϕ Mg D1% εp(+∞) εv(+∞)

D(p) = 1

D(p) = 1 + 0,133p1 + 0,044p

D(p) = 1 + 0,15p1 + 0,03p

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4Step Response

Time (sec)

Am

plit

ud

e

D(p)=1

avance de phase n°1

avance de phase n°2

Figure 4.3 – Reponses indicielles de l’asservissement corrige par avance de phase



PHASE

−40

−30

−20

−10 0

10

20

30

40

Gain en dB

Bod

e D

iagra

m

Fre

que

ncy (ra

d/s

ec)

10

−1

10

010

11

02

−1

80

−1

35

−90

Phase (deg)

Figure 4.4 – Reponse harmonique de T1(p)


travaux dirig es d’automatique commande des syst emes lin

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