transmission de chaleur

7/22/2019 Transmission de Chaleur

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Martin Gariépy MEC3200 Transmission de chaleur Chapitre 1 p.1

MEC3200

TRANSMISSION DE CHALEUR

Coordonateur

Jean-Yves Trépanier

Chargé de cours:

Martin Gariépy

Bureau : J-5067 – Pavillon JABTél. : 340-4711, poste 7450

Email :[email protected]




CHAPITRE 1

Introduction à la transmission dechaleur

CHAPITRE 1




Introduction chapitre 1

Qu’est-ce que la chaleur ?

• La chaleur est une forme d’énergie qui s’écoule sous l’effet d’unedifférence de température

• La chaleur se mesure en WATT (JOULE/SECONDE).

Qu’est-ce que la température ?




Les symboles utilisés en transmission de chaleur:

• q exprime un TRANSFERT DE CHALEUR (TDC) en Watt;

• q’ exprime un TDC PAR UNITÉ DE LONGUEUR. On l’utilise surtoutlorsqu’on parle de conduites ou de tiges. Il s’exprime en watt par mètre[W/m];

• q’’ exprime un FLUX DE CHALEUR (par unité d’aire). Il s’exprime enwatt par mètre carré [W/m2];

• 1 watt est en fait une joule par seconde [J/s]






Les modes de transfert de chaleur

Il existe trois modes de transfert de chaleur:1. La conduction: Transfert de chaleur survenant dans un milieu

STATIONNAIRE sous l’effet d’un gradient de température

2. La convection: Transfert de chaleur survenant dans un fluide enMOUVEMENT sous l’effet d’un gradient de température

3. Le rayonnement: Transfert de chaleur induit par l’échange d’ondesélectromagnétiques entre un corps émetteur et un corps récepteur





Identifier le mode principal de transfert de chaleur


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La conduction

La conduction

• Le transfert de chaleur par conduction résulte d’un échange d’énergieentre les particules les plus énergétiques et les moins énergétiquesadjacentes dans un milieu;

• Dans un solide, le transfert de chaleur est causé par les vibrations desstructures inter-moléculaires et le déplacement des électrons libres;

• La température d’un corps est directement liée à l’agitation thermique:quand T augmente, la vitesse d’agitation des particules élémentairesde la matière est plus grande.



• Dans les fluides, le transfert de chaleur est relié aux échangesde quantité d’énergie dû au mouvement aléatoire des

molécules.• La conduction dans un fluide au repos est le phénomène

connu sous le nom de diffusion

La conduction



La conduction

La loi de Fourier

• Selon l’expérience de Fourier, le TDC est proportionnel à:

• A représente l’aire de passage de la chaleur • q représente le transfert de chaleur en Watts• À la limite, on obtient la loi de Fourier :

• Le coefficient de proportionalité k se nomme la conductivitéthermique [W/m2∙K]

• Il s’agit d’une propriété physique du matériau

cond

T q A

x

cond

dT

q kA dx

''cond

dT

q k dx



Le mémoire de Fourier



La convect ion

Transfert d’énergie

Le transfert d’énergie thermique se produit de 2 façons:

1. Le mouvement aléatoire des molécules - il s’agit duphénomène de diffusion

2. Le mouvement du fluide lui-même dans une direction

donnée – il s’agit du phénomène d’advection



La convection

La convection est associée à la présence d’une couche limite (film) oùla vitesse et la température varient rapidement en s’éloignant de lasurface. Plus la vitesse est faible (proche de la surface), plus ladiffusion y est importante. À la paroi, le seul mécanisme en jeu est laDIFFUSION.

Vitesse

y

Température

y

T = Ts

T∞

u(y) T(y)

u∞

Surface solideu = 0

Fluide enmouvement

La convect ion



La convection

La convection regroupe les échanges de chaleur entre la surfacedes matériaux solides et les fluides adjacents en mouvement.

Il peut aussi y avoir de la convection entre deux fluides mais ce sujetn’est pas traité dans le cours

La convect ion

FluideSolide

● T s● T

∞

Film



Convection forcée Convection naturelle

La convect ion

•En convection forcée, l’écoulement est causé par un différentiel depression•En convection naturelle, l’écoulement est causé par les forces deflottaison



La convection• La loi de refroidissement de Newton permet de calculer le TDC par

convection:

• h [W/m2·K] est le coefficient de convection. ATTENTION: ce n’est pas unepropriété du fluide ou du solide. Il dépend de plusieurs paramètres dont lavitesse de l’écoulement, les propriétés thermodynamiques, la géométrie,etc. Le calcul de ce coefficient fera l’objet des chapitres 6 à 9.

• A est l’aire de la surface mouillée, c’est-à-dire la surface du solide encontact avec le fluide

La convect ion

( )conv sq hA T T

'' ( )conv sq h T T



La convection

La convect ion



Le rayonnementLe mode de transfert de chaleur par rayonnement diffère fondamentalement

des deux premiers modes.

• La chaleur se propage via des ondes électromagnétiques. Celles-ci nenécessitent pas un contact entre les corps qui échangent.

• Contrairement aux autres modes de transmission de chaleur, lerayonnement ne nécessite pas de milieu, il peut donc s’effectuer dans levide.

LOI FONDAMENTALE

• Tout corps à température absolue non-nille, émet des ondesélectromagnétiques vers son environnement

Le rayonnement




Le rayonnement

La quantité de chaleur maximale pouvant être émise par un objet estdonnée par la loi de Stefan-Boltzmann:

où : T s : Température de la surface [Kelvin]

q" : flux de chaleur par unité de surface [Watts/m²]

σ : constante de Stefan-Boltzmann

= 5.67 E -8 Watts/m² K4

Le rayonnement

'' 4

r b sq E T




Le rayonnement

Le rayonnement

• Le TDC et le flux radiatif peuvent se calculer par:

ou ε est l’émissivité du corps tandis que α est l’absorptivité.

• Il est commode de linéariser cette équation pour sa résolution:

• hr est le coefficient de rayonnement et peut se calculer ainsi:

'' 4 4

rad s surr q T T '' 4 4

rad s surr q A T T

''

rad r s surr

q h T T

4 4

s surr

r

s surr

T T h

T T




Le rayonnement

Exemple: perte de chaleur d’un piscine par convection,conduction et rayonnement




Exemple

Exemple:

Soit un tuyeau transportant de la vapeur d’eau à 200⁰C et soit un

écoulement d’air à 25⁰C dont le coefficient de convection est estimé à 5

W/m2·K. Si α=ε=0.8 et que le diamètre du tuyau est de 0.07m, on vous

demande de:

1. Le TDC par unité de longueur perdu par rayonnement;

2. Le TDC par unité de longueur perdu par convection;

3. Le TDC par unité de longueur total dissipé dans la chambre

L i




Les régimes

Régime permanent

En régime permanent, le temps n’est pas une variableintervenant dans les problèmes: la distribution de températureest indépendante du temps ainsi que les flux de chaleur.

Régime transitoire

En régime transitoire, les flux de chaleur ainsi que lesdistributions de température sont des fonctions du temps.Nous verrons seulement la conduction en régime

transitoire au chapitre 5

L ti d l’é i




La conservation de l’énergie

1ière loi de la thermodynamique:

Conservation d’énergieLe taux d’accroissement de l’énergie emmagasinée dans unvolume de contrôle doit égaler le taux auquel l’énergie entre dansle volume de contrôle moins le taux d’énergie sortant du volume

de contrôle plus le taux d’énergie générée à l’intérieur desfrontières du volume de contrôle.

in out g st E E E E

L’énergie emmagasinée:

[W]

L’énergie générée par une source:

[W]

st p

T E Vc

t

g E Vq

L ti d l’é i




Exemple

Considérez un tissu humain avec une température interne T 1 = 308 K , unetempérature extérieure de T ∞

=297 K , un coefficient de convection externede h=2 W/m 2 K , une épaisseur de t=3 mm et une conductivité thermique dek=0.3 W/m·K . En supposant que l’indivudu émet une irradiation nette deqrad=15.41 W/m 2 et que l’aire d’échange est de A=1.8 m 2 , trouvez latempérature de la peau.

La conservation de l’énergie




CHAPITRE 2 Introduction à la conduction

L l i d F i




La loi de Fou rier

La loi de Fourier

• Le flux de chaleur est perpendiculaire à l’aire de passage

• Le flux de chaleur est une quantité vectorielle

• La loi de Fourier peut donc s’énoncer ainsi:

[W/m2]

[W]

• k est la conductivité thermique en W/m·K

• A est l’aire de passage normale au flux de chaleur (isotherme)

''

T T T

q k T k i j k x y z

T T T q kA T kA i j k

x y z



L d ti i t th i




• La conductivité thermique dépend de la température

La conduc tiv itétherm ique

La conductivité thermique

L d ti i t th i




La conduc tiv itétherm ique

La conductivité thermique

Soit une tige d’un diamètre de 0.1 mètre isolé sur sa surface latérale avecune face à une température de 100⁰C et l’autre à 27⁰C. En supposant unevariation linéaire de la température dans la tige, calculez le TDC en Wattspour un longueur de tuyau si la tige est:

a. En cuivre (k = 400 W/m·K)b. En bois (k = 0.16 W/m·K)

Solution:

Le cuivre laisse passer 2500 fois plus la chaleur que le bois

22 1

2

2

4

100 23*0.025 *0.16 0.06054 0.1

100 23*0.025 *401151.6

4 0.1

bois

cuivre

T T dT d k q kA

dx L

q W

q W

L’équation de diffusion de la chaleur




L’équation de diffusion de la

chaleur

• La loi de Fourier nous permet de calculer le TDCou le flux de chaleur dans un solide ou un fluide aurepos.

• La loi de Fourier ne permet pas de connaître ladistribution de température dans le solide.

• La résolution de l’équation de diffusion de la

chaleur permet de trouver cette distribution:


2 2 2

2 2 2(2.19) p

T T T T k q c

x y z t





• En coordonnées cylindriques

• En coordonnées sphériques



2

1 1(2.26) p

T T T Tkr k k q c

r r r r z z t

2

2 2

2

1 1 sinsin

1sin

sin

(2.29)

p

T T kr k r r r r

T T k q c

r t

Les cond it io ns f ron tières et in it iales




Conditions frontières et initiales

Pour résoudre l’équation de diffusion de la chaleur et ainsi déterminer la

distribution de température T dans un milieu, il faut spécifier des conditionsaux frontières:

1. Deux conditions pour chaque direction x, y, et z

2. Une condition initiale sur le temps

Les cond it io ns f ron tières et in it iales

2 2 2

2 2 2

(2.19) p

T T T T k q c

x y z t

Les cond it io ns fron tières




• Condition frontière de type Dirichlet (température imposée)

• Condition de Neumann (flux de chaleur imposé)

• Condition mixtes

sT t T ),0(

Les cond it io ns fron tières

Type de conditions à la frontière

'' x

x o

dT q k dx

'' ( ) xq h T T

'' 4 4( ) x sq T T

'' 4 4( ) ( ) x sq h T T T T

Exemple




Exemple

La distribution de température dans un mur de 1 m à un certaintemps t 0 est donnée par:

avec a = 900 ºC, b = -300 ºC/m et C = -50 ºC/m 2 . De plus, une

source de 1000 W/m 3 est présente à l’intérieur du mur de 10 m 2 d’aire. Ce mur possède les propriétés suivantes:

ρ = 1600 kg/m3, k = 40 W/m·K, Cp = 4000 J/kg·K

1)Déterminez le taux de transfert de chaleur entrant ( x = 0 ) et

sortant (x = 1 )

2)Déterminez le taux d’accumulation d’énergie dans le mur

en Watts

3)Déterminez le taux de refroidissement du mur en ⁰C/s

2

0( , )T x t a bx cx

Exemple 2.3

Exemple




Exemple

Une conduction 1D en régime permanent avec génération dechaleur se produit dans un mur plan d’une épaisseur de 50 mm etd’une conductivité thermique de 5 W/m·K . Pour ces conditions, ladistribution de température est de la forme suivante:

À x = 0 , la surface à une température de 120 ºC et expérimente uneconvection avec le fluide à une température de 20 ºC et ayant uncoefficient de convection de 500 W/m 2·K . La surface à x = L estbien isolée.

1. En appliquant un bilan d’énergie sur le mur, calculer lagénération d’énergie interne;

2. Déterminez les coefficients a, b, et c en appliquant lesconditions aux frontières à la distribution de température.

2( )T x a bx cx

Exercice 2.34

TD Problème 2 16




TD – Problème 2.16

Une conduction 1D en régime permanent prend place à l’intérieur d’une tigede conductivité thermique k constante mais d’une aire variable

ou A 0 et a sont des constantes. La surface latérale de la tige estadiabatique.

1. Écrire une expression pour le transfert de chaleur. Utilisez cetteexpression pour déterminer la distribution de température T(x) . Vous

pouvez supposer que T 1 est connue.2. Considérez maintenant les conditions pour lesquelles de l’énergie

thermique est générée dans la tige à une fréquence de (enW/m 3 et avec constant).Obtenez une expression pour le transfert dechaleur lorsque la face de gauche (x=0 ) est bien isolée.

0( )ax

x A x A e

0

axq q e

0q

TD 2.16

TD Problème 2 42




TD – Problème 2.42

Une mince couche de charbon d’une épaisseur de 1 m expérimente une

génération volumétrique de chaleur de 20 W/m 3 due à l’oxydation lente desparticules de charbon. Une moyenne journalière a permis de déterminer que lacouche de charbon perd de la chaleur au profit de l’environnement pendant qu’elle

reçoit un flux solaire de 400 W/m 2 . L’absorptivité solaire α s ainsi que l’émissivité dela surface sont évaluées à 0.95 . En considérant que l’environnement est à 25 ºC etavec un coefficient de convection estimé à 5 W/m 2 K ,

1. Écrivez l’équation de la diffusion de la chaleur en régime permanent. Vérifiezque est bien une solution de cette équation.

2 2

2( ) (1 )

2 s

qL xT x T

k L

TD 2.42

2. Obtenir une expression pour le fluxde chaleur par conduction à x = L . Enappliquant un bilan énergétiqueautour de l’interface de la couchede charbon avec l’environnement,

obtenir une expression pour T s .

Finalement, calculez numériquementla valeur de T

s et de T(0) .




CHAPITRE 3

C onduction Unidimensionnelle

Sect ion 3 1 Conduct ion axiale




Hypothèses en conduction axiale1) La chaleur se propage principalement le long de l’axe x

2) Nous supposons un régime permanent;3) La conductivité thermique est constante;4) Il n’y a pas de terme source;

L’équation de diffusion de la chaleur se résume à:

La distribution de température est :

Le TDC est:

Sect ion 3.1, Conduct ion axiale

2

2(3.1) 0d T

dx

2 1 1(3.3) T(x)=(T )x

T T L

1 2( )(3.4)

T T dT q kA

Ldx

kA

T1

T2

L

Ch it 3 d t i i l




Chapitre 3, conduct ion axiale

Analogie entre la résistance électrique et thermique

• La résistance s’exprime en K/W ou ⁰C/W si on calcul un TDC et en

m2·K/W ou m2·⁰C/W si on calcul un flux

• Le transfert de chaleur peut donc être vu comme un écoulement d’énergie

qui est “ralenti” par une résistance géométrique

versuscond électrique L L R RkA A

''cond

L R

k

T1

T2

L

Exemple: la fenêtre àvit rage sim p le




Exemple: la fenêtre à vit rage sim p le

Lame de verre

Intérieur

T = 23°C

Extérieur

T = -20°C

L=6mmconductivité

thermique

k=1.4 Wat t/m·K

Exemple

A = 1m2

1 2( )10033 Watts

T T q

L

kA

Est-ce réaliste ?

Exemple: la fenêtre àvit rage sim p le




Exemple: la fenêtre à vit rage sim p le

Lame de verre

Intérieur

T = 23°C,

h = 10W/m2·K Extérieur T = -20°C

h = 20W/m2·K

Convection Convection

Exemple



Les médias poreux




Les médias poreux

Les médias poreux

Pour un média poreux, il est possible de définir une conductivité thermiqueéquivalente par:

1

1eff

s f

k

k k

Conduct ion Axiale - exemple




Conduct ion Axiale exemple

Exemple 3.2

Une puce en silicone est fixée par une couche d’epoxy de 0.02 mm d’épaisseur à

un substrat de 8 mm d’épaisseur. La puce et le substrat (profondeur de 10mm),sont refroidis avec de l’air à 25⁰C, le coefficient de convection est alors estimé à 100

W/m2·K. Si la puce dissipe 104 W/m2, est-ce quelle opère sous la températuremaximale fixée par le fabriquant de 85⁰C ? La résistance au travers de l’expoxy peut-

être approximée par R’’= 0.9x10-4 K·m2/W

Conduct ion radiale en coordonnées cy lind riques




Conduct ion radiale en coordonnées cy l ind riques

Hypothèses en conduction radiale (coor. cyl.)1) La chaleur se propage principalement dans la direction radiale

2) Nous supposons un régime permanent;3) La conductivité thermique est constante;4) Il n’y a pas de terme source;5) Le cylindre est creux (r > 0)



Le TDC est:

,1 ,2

22 2

1

(3.31) ( ) ln

ln

s s

s

T T r T r T

r r

r

(3.28) 0k d dT r r dr dr

1 2

2

1

(3.32)

ln

2

s sr

T T q

r r

kL

C d t i di l d l i d i




Conduct ion radiale en coordonnées cy l ind riques

Rayon cr i t ique




Rayon cr i t ique

T , h

k

r

r i

Isolant

thermique

• Ts,1

• Ts,2

IsolantSoit un tuyau auquel on ajoute une couche d’isolant d’épaisseur t=( r – r 1)

Ajouter de l’isolant augmente la résistance conductive mais diminue la

résistance convective: Existe-t-il une épaisseur optimale d’isolant?

1ln / 1' ( )2 2

tot r r R r

k rh

Rayon cr i t ique




Rtot

Rcond Rconvrayon

R é s i s t a n c ePoint d’inflexion

Rayon cr i t ique

Le rayon critique

-Le rayon critique r c correspond au minimum de la fonction R’tot(r)- Pour un cylindre, r c = k/h- L’épaisseur est donnée par: t = 2(r c – r 1)

Conduc t ion rad iale en coordonnées sphériq ues




é p éq

Hypothèses en conduction radiale (coor. sphé.)1) La chaleur se propage principalement dans la direction radiale

2) Nous supposons un régime permanent;3) La conductivité thermique est constante;4) Il n’y a pas de terme source;5) Le sphère est creuse (r > 0)



Le TDC est:

1,1 ,1 2

1 2

1 /( )

1 / s s s

r r T r T T T

r r

1 2

1 2

(3.40)1 1 1

4

s sr

T T q

k r r

2

2

1(2.29) 0

d dT kr

r dr dr

RésuméConduct ion 1D




RésuméConduct ion 1D

Remarquez la dépendance du flux à «r » pour le

cylindre et la sphère, il n’est donc pas constant!

Exemple




e p e

Une sphère contenant de l’azote liquide est insérée dans unécoulement d’air à une température de 300 K . Le coefficient deconvection de l’écoulement est estimé à 20 W/m 2 *K . Le diamètreinterne de la sphère est de 0.5 m l’épaisseur de l’isolant, deconductivité thermique k = 0.0017 W/m*k , est de 25 mm . Si la

température de l’azote est de 77 K a) Déterminez le transfert de chaleur de l’écoulement à la

sphère en Watts;b) Calculez la température de la surface de la sphère.

Exemple

Sources de chaleur vo lumétr iques




é q

Dans cette section, on se penche sur le cas où il y a générationd’énergie thermique à l’intérieur du médium, cette génération

provenant d’une conversion d’énergie d’une autre forme telle que:

1) Électrique: causée par le passage d’un courant électriqueau travers d’une résistance;

2) Nucléaire: réactions chimiques, décélération ou absorptionde neutrons etc;

3) Électromagnétique: absorption de rayon gamma àl’intérieur du médium

4) Etc

Génération de chaleur





•Une source peut également absorbée de la chaleur (négatif)comme par exemple dans le cas d’une réaction endothermique

•On ne peut inclure une source dans un circuit thermiqueautrement qu’en l’insérant comme un flux. Nous verrons un

exemple un peu plus loin.

é q

Génération de chaleur





Hypothèses en conduction axiale avec génération de chaleur 1) La chaleur se propage principalement le long de l’axe x2) Nous supposons un régime permanent;3) La conductivité thermique est constante;



Le TDC est:

2

2(3.44) 0

d T q

dx k

2 2

2 1 1 2

2

qL(3.46) T(x)= 1

2k 2 2

T T T T x x

L L

(3.53) sqL h T T

é q

Exemp le 3.7




p

Un mur plan est composé de deux matériaux A et B. Le mur A contient unesource de chaleur de 1.5x106 W/m3, une conductivité thermique kA = 75W/m·K et une épaisseur de LA = 50mm. Le mur B a une conductivitéthermique kB = 150 W/m·K et une épaisseur LB = 20 mm. Le côté droit dumur A est bien isolé tandis que le côté gauche du mur B est soumis à unécoulement d’eau à 30⁰C avec un coefficient de convection estimé à 1000 W/m2·K.

On vous demande de déterminez la température de la surface isolée et la

température de la surface refroidie.

Exemple 3.7

L A LB

h, T∞

Autres cas 1D avec source volumétrique




Hypothèses en conduction radiale avec générationde chaleur – coord. Cyl.

1) La chaleur se propage principalement le long durayon

2) Nous supposons un régime permanent;3) La conductivité thermique est constante;


La distribution de température pour un cylindre plein:

Si le cylindre plein est dans un écoulement, alors:

éq

1(3.54) 0d dT kr qr dr dr

2 2

0

2

0

(3.58) ( ) 14

s

qr r T r T

k r

0(3.60)2

s

qr T T

h

Autres cas 1D avec source volumétrique




éq

Cylindre creux

sphère creuse

TD – Prob lème 3.10




è

Le facteur éolien que l’on ressent les journées froides et venteuses d’hiver, est

relié à l’augmentation du taux de transfert de chaleur du corps humain exposé àl’air ambiant. Considérez un tissu humain de 3 mm d’épaisseur et dont la surface

intérieure (du tissu) est maintenue à 36°C . Lors d’une journée calme, le coefficient

de convection est estiméà 25 W/m 2 K mais avec des vents de 30 Km/h , il atteint 65 W/m 2 K . Dans les deuxcas, on considère que la température extérieure est de -15°C .

1. Quel est le ratio de chaleur perdue par unité d’aire de la peau pour une journée

calme par rapport à la chaleur perdue pour une journée venteuse?

2. Quelle sera la température de la peau pour la journée calme? Pour la journéeventeuse?

3. Quelle doit être la température de l’air ambiant lors d’une journée

calme pour que la perte de chaleur soit équivalente à celle d’une journée venteuse à -15°C

TD 3.10





Soit un mur tel que décrit sur la figure ci-dessous, trouvez larésistance thermique total sachant qu’il y a dix traverses commecelle-ci. (Le mur à une profondeur de 2.5 mètres ).

è

Ka = 0.094 W/m·KKb = 0.16 W/m·KKc = 0.17 W/m·KKd = 0.038 W/m·K

1

TD 3.15

TD – Prob lème 3.53 (6 ième édition )




è é

TD 3.53 (6ième édition)

Un revêtement de bakélite recouvre une tige conductrice de10 mm

de diamètreet d’une longueur de 1m dont la surface est maintenue à 200°C par le passaged’un courant électrique. La tige se trouve dans un fluide à 25°C et dont lecoefficient de convection est estimé à 140 W/m 2·K .

1. Quel est le rayon critique associé à ce revêtement?

2. Quel est le transfert de chaleur pour la tige avec un revêtement debakélite qui correspond au rayon critique et le transfert de chaleur s’il n’y a aucun revêtement?

3. Combien d’épaisseur de bakélite doit-on appliquée sur la tige pour réduire le taux de transfert de chaleur de 25% ?





è

Une tige d’oxide d’uranium de 6 mm de rayon (kf = 2 W/m∙K) est munid’un revêtement de 3 mm d’épaisseur (kc = 25 W/m∙K). Le processusde désintégration de l’uranium génère un flux volumétrique de 2x108 W/m3. Un liquide caloporteur récupère alors la chaleur. Le coefficientde convection est estimé à 2000 W/m2·K et sa température à 23⁰C.Estimez la température maximale de la tige et la température de la

surface du revêtement.

TD 3.98

Les ailettes




Processeur

Aluminium

Surfaces étendues

Comment diminuer la température du processeur?

1. Diminuer T∞ 2. Augmenter h∞

3. Augmenter Ae

Les ailettes




Configuration géométrique d’ailettes

Les ailettes




Échangeurs de chaleur munis d’ailettes (Chap. 11)

L’équation différentielle des ailettes




2

2

1(3.66) ( ) ( ( ) ) 0c s

c c

dA dAd T dT hT x T

dx A dx dx kA dx

Surfaces étendues

L’équation suivante représente le principe de conservation

d’énergie:

Les ailettes




Si l’aire de passage est constante:

En substituant par

On obtient l’équation différentielle d’ordre deux:

2

2

1(3.66) ( ) ( ( ) ) 0c s

c c

dA dAd T dT hT x T

dx A dx dx kA dx

22

2(3.69) 0

d m

dx

2

( ) ( )

c

x T x T

hP m

kA

Surfaces étendues d’aire de passage constante

Les ailettes




Il faut deux conditions spatiales pour résoudre cetteéquation:

1) À x=0, on utilise une condition de Dirichlet

2) À x=L, on utilise une des 4 conditions suivantes:

i. Convection (Neumann)

ii. Adiabatique (Neumann, cas particulier)iii. Dirichletiv. La longueur tends vers l’infini (Neumann, cas

particulier


2 2

2(3.69) 0d m

dx

Les ailettes





Dans le cas d’une ailette à aire de section de passage constante, il est doncpossible de trouver la distribution de température et le TDC total sedissipant dans l’ailette en fonction de la condition imposée à x=L:

Exemp le p rob lème No . 3.126




Une ailette de turbine est soudée après le rotor d’une turbine à gaz. Cette ailette

est exposée à un écoulement de gaz à T ∞ = 1200 ºC et dont le coefficient deconvection est estimé à h = 250 W/m 2·K . Les ailettes, fabriquées en Inconel (k = 20 W/m·K ) ont une hauteur de 50mm . Le profil a une section constante de6x10 -4 m 2 et un périmètre de 110 mm . Un système de refroidissement internepermet de maintenir la base de l’ailette à 300 ºC .

1. Si la température maximale de l’ailette est de 1050 ºC et que l’extrémité

de l’ailette peut être considéré adiabatique, est-ce que le système derefroidissement est efficace?2. Quel est le transfert de chaleur entre l’ailette et son environnement?

Problème 3.126

Exemp le 3.9




Une très longue tige de 5 mm de diamètre a une extrémitémaintenue à une température de 100 ºC . La surface de la tigeest exposé à l’air ambiant à 25 ºC et le coefficient de convectionpeut être estimé à 100 W/m 2 K .

1. Déterminez la distribution de température dans la tige si

celle-ci est en cuivre (k = 398W/mK ).

2. Estimez quelle longueur doit avoir la tige pour que celle-ci puisse être considérée comme infiniment longue.

Exemple 3.9

L’efficacité des ailettes




Reprenons l’équation d’énergie:

• Pour une ailette de section de passage non-constante,

la résolution de cette équation est complexe• À titre d’exemple, la solution analytique pour une ailette circulaire est:

• Il faut trouver un autre moyen de calculer la distribution de

température et le TDC

Ailettes de section de passage non-constante

2

2

1(3.66) ( ) ( ( ) ) 0c s

c c

dA dAd T dT hT x T

dx A dx dx kA dx

0 1 2 0 1 2

0 1 1 2 0 1 1 2

1 2 1 1 1 2 1 11

1 2 0 1 0 1 1 2

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )2

( ) ( ) ( ) ( )

b

f b

I mr K mr K mr I mr r

I mr K mr K mr I mr

I mr K mr K mr I mr q kr t m

I mr K mr I mr K mr





T , h • T b

T ∞

T b

x L

T(x

)

L’efficacité d’une ailette exprime lerapport entre le TDC maximal (non-physique) et le TDC réel:

Il est possible de retrouver uneéquation analytique pour l’efficacité. Àtitre d’exemple, l’efficacité d’aire depassage constante avec q=0 à x=L

est:

f

max

(3.91)( )

finreel

f b

qq

q hA T T

f

tanh( ) tanh( )(3.92)

b

M mL mL

hPL mL




Efficacité des ailettes circulaires





Efficacité des ailettes

Attention, si l’extrémité de l’ailette est soumise à la convection, alors prendre

Lc = L, si le bout est adiabatique, prendre la définition de Lc.

Exemple p robb lème No . 3.134




Comparez l’efficacité et le TDC d’une ailette rectangulaire versus

une ailette triangulaire de mêmes paramètres géométriques et demême conductivités thermiques. Chacune de deux ailettes a unebase de 3mm, une longueur de 15 mm et une conductivitéthermique de k = 185 W/m·K. La température de la base est de100⁰C et celle de l’écoulement est de 20⁰C. Le coefficient de

convection est estimé à 50 W/m2·K.

Problème 3.134

Les systèmes d’ailettes




Rendement d’un système d’ailettes

0

max

(3.107) 1 1( )

fin base f total f

t b t

Nq q NAq

q hA T T A

L’efficacité du système est donnée par

2 circuits thermiquespossibles

Exemp le p rob lème No . 3.144




Problème 3.144

Une puce en silicone de 20 mm x 20 mm est soudée à un système d’ailettes

en aluminium (k = 180 W/m·K). L’épaisseur de la base est de 3 mm et chaqueailette rectangulaire à une longueur de 15 mm. De l’air circule entre les ailettes

à une température de 20⁰C. Le coefficient de convection est estimé à 100W/m2K. Il y a 6 ailettes de 1 mm d’épaisseur et l’espace entre chaque ailette

est de 2.8 mm. En considérant une résistance de contact de 2x10-6 m2·K/W etque le bout de chaque ailette peut être considéré adiabatique, calculez

la puissance maximale en Wattspouvant alimenter le système si latempérature maximale à l’interface

entre la puce et le système ne doit pasdépasser 85⁰C.





Des tuyaux de cuivre sont soudés à une plaque absorbante. Cette plaque

est faite d’aluminium 2024-T6, est de 6 mm d’épaisseur et est isolée ducoté non exposé à l’irradiation solaire. Chaque tuyau est espacé d’une distance de 0.20 m centre à centre et de l’eau circule à l’intérieur pour collecter l’énergie. Cette eau peut être considérée à température constanteet uniforme de 60 °C . Sous un régime permanent pour lequel le flux de

chaleur net solaire est de 800 W/m 2

, quelle est la température maximale dela plaque et quel est le taux de transfert de chaleur par unité de longueur?Vous pouvez supposer que la température de la plaque directement sur letuyau est de 60 °C .

TD 3.108





Une très longue tige de 5 mm de diamètre et d’une conductivité

thermique de 25 W/m·K est sujette à un procédé de surchauffe.Une partie de 30 mm du centre de la tige est sujette à unegénération de chaleur de 7.5x10 6 W/m 3 . Les parties gauches etdroites du centre sont soumises à de la convection avec l’air à unetempérature de 20 ºC et un coefficient estimé à 10 W/m 2 K .

1. Calculez la température de la tige à une extrémité de la zonesurchauffée.

2. Calculez la température au centre de la zone surchauffée.

TD 3.124





Les cylindres (k = 50 W/m·K ) d’une chambre à combustion de moto

sont refroidis par un système d’ailettes en aluminium de formeannulaires (k = 240 W/m·K ). L’écoulement d’air est à 320 K avec uncoefficient de convection estimé à 100 W/m 2 K . On assume un flux dechaleur constant sur la surface interne du cylindre de 10 5 watts/m 2 .

• Déterminez la température de la base;• Déterminez la température du cylindrede la moto s’il n’y a pasde système d’ailettes.

TD 3.160

L’ÉQUATION BIO-THERMIQUE




2 SOURCES RÉGULARISENT LA TEMPÉRATURE:

1. Chaleur générée par le métabolisme:

2. Échange de chaleur entre l’écoulement de sang et les tissushumains environnants:

L’équation bio-thermique qui régit la distribution de températuredans le tissu humain est:

Avec:

L’ÉQUATION BIO-THERMIQUE




Soit l’ensemble muscle/peau présenté à la figure ci-dessous. À une profondeur de Lm =

30 mm dans le muscle, la température interne du corps peut-être assumé à T c = 37 ⁰C . Lemuscle a une conductivité thermique de k m = 0.5 W/(mK). Le taux de métabolisme dansle muscle est de qm = 700 W/m3. Le taux de perfusion est de ω = 0.0005s-1; la densité etla chaleur spécifique du sang étant de ρ = 1000 kg/m3 et cp = 3600J/(kgK). Latempérature artérielle est de T a = 37⁰C . L’épaisseur, la conductivité thermique ainsi quel’émissivité de la couche de peau sont de Ls = 3 mm, k s = 0.3 W/(mK), ε = 0.95. Calculez

la perte de chaleur lorsque le corps est soumis à un écoulement d’air (h = 2 W/mk ) et àun écoulement d’eau (h = 200 W/mk ) pour une température de T ∞=297K . On peutconsidérer une aire de contact de 1.8 m2.




CHAPITRE 4C onduction en 2D et 3D



Conduc t ion 2D




La solution de l’équation (4.3) pour un rectangle est:

avec

Il s’agit d’une série convergente !

1

1

1 1 sinh /2(4.19) (x,y)= sinsinh( / )

n

n

n y Ln xn L n w L

1

2 1

T(x,y)-T=T T

T1

T2

L

W

Distribution de température

dans le rectangle

Exemp le p rob lème 4.2




Problème 4.2Une plaque rectangulaire est sujette aux conditions aux frontières décrites sur

la figure ci-dessous. En utilisant la solution analytique pour une plaque plane,calculez la température au point p(1; 0.5) en ne considérant que les cinq

premiers termes NON-NULS de la série. Déduire l’erreur approximative

lorsqu’on considère uniquenent les trois premiers termes de la série non-nuls.

SOLUTION

1

1

1 1 sinh / 42(1,0.5)= sin

2 sinh( / 2)

2(1,0.5) 0.755 0.063 0.008 0.001 0.000 0.445

n

n

nn x

n n w

Exemp le p rob lème 4.2




Problème 4.2 – Solution

On trouve T = 94.5⁰C en considérant les 5 premiers termes et

T = 94.6⁰C en considérant seulement les trois premiers, soit

une erreur de moins de 0.2%

1

1

1 1 sinh / 42(1,0.5)= sin

2 sinh( / 2)

50 20.755 0.063 0.008 0.001 0.000 0.445

150 50

n

n

nn x

n n w

T

Facteurs de forme




Facteurs de forme

• Cette méthode est peu pratique car

1) Il faut résoudre l’équation pour chaque géométrique

2) Il faut travailler avec des séries infinies

• Il est possible de démontrer que la résistance est une fonction de la

conductivité thermique ET d’un paramètre géométrique, cette

résistance étant déduite de la solution analytique:

• Ainsi, si le facteur S est connu, le TDC peut se calculer ainsi:

1 2(4.20) q Sk T T

1( , )

conductive R f k S

Sk

Facteurs de forme




Facteurs de forme




Exemple p rob lème 4.23




Problème 4.23

Un pipeline servant à transporter de l’huile est enfoui sous terre tel que

son centre est à une distance de 1.5 mètre sous la surface. Le pipeline

à un diamètre de 0.5 mètre et possède un isolant d’une épaisseur de

100 mm . Quel est le transfert de chaleur par mètre de pipeline perdu

pour de l’huile circulant à une température de 120 ºC si la surface de la

terre est au point de congélation ? Vous pouvez prendre k = 0.069W/m·K pour l’isolant et k = 0.52 W/m·K pour la terre noire.

Exemple Prob lème 4.32




Problème 4.32

Une longue ailette en aluminium (d = 5mm) est soudée à une base en

acier dont la température s’élève à 100⁰C. La conductivité de la base estde 15 W/m·K et celle de l’ailette est de 240 W/m·K. Si l’écoulement d’air

est à 25⁰C et que le coefficient de convection pour être estimé à 50

W/m2·K, calculez la chaleur dissipée ainsi que la température à la jonction

entre l’ailette et la base.

Exemple Prob lème 4.36




Problème 4.36

Une plinthe électrique est composée d’une longue tige de diamètre D = 20 mm dans laquelle de

l’énergie thermique est générée par le passage d’un courant électrique. Cette tige est

encapsulée dans des manchons munis de 16 ailettes (k ailette = 240 W/m·K). Chaque ailette a une

épaisseur t = 4 mm et une longueur L = 20mm. Le manchon est carré de longueur w = 40 mm.

En régime permanent, la génération d’énergie thermique est égale au transfert de chaleur du

manchon à l’air ambiant. En considérant un écoulement d’air de T ∞ = 35⁰C dont le coefficient de

convection est estimé à h = 50 W/m2·K et que la température de surface de la tige est de

T s=300 ⁰ C , on vous demande de:

1. Calculez le TDC en Watts si la profondeur du manchon est de 1mm;

2. Si la tige est en cuivre (k cuivre = 400 W/m·K), calculez la source requise en W/m3 ainsi que la

température maximale au centre de la tige.

Facteurs de forme




Facteurs de forme déduit numériquement

On peut déduire un facteur géométrique numériquement à partir de

Workbench:

a) On impose à Workbench les températures T1 et T2

b) On impose une conductivité thermique du matériau

c) On effectue la simulations et on trouve le TDC en WATTS calculépar WorkBench

d) On peut ainsi trouver le facteur de forme:

T1

T2

1 2

qS

k T T




CHAPITRE 5C onduction en régime transitoire

Régime trans ito ire




Distribution de température dans le temps: T(x,y,z,t)

Comment déterminer la distribution de température d’un solide subissant unetrempe dans le temps?

Il existe 3 méthodes de résolution:

1. Résolution numérique (Workbench, Matlab, etc)2. La méthode LCM

3. L’approximation de la solution exacte

Méthode LCM




Méthode LCM

La méthode LCM émet l’hypothèse très restrictive que le gradient detempérature dans le solide est négligeable.

1) Pour calculer la température d’un solide après un certain intervallede température:

où est la constante de temps

2) Pour calculer le temps requis pour refroidir unsolide:

i

T(t)-T(5.6)

Tt

t

eT

t

p

s

Vc

hA

(5.5) ln it

f

T T t T T

La méthode LCM




Méthode LCM

Pour calculer l’énergie totale transférée durant le processus de

refroidissement:

0 0 0dt ( ) dt dt

(5.8) 1 [Joules]

t

t

t t t t

s s i

t

p i

Q q hA t hA e

Q Vc e

La méthode LCM




Méthode LCM

Si , alors la théorie indique que

( )T t

T

( )T t T

t t

Temps en seconde

Effet du nombre de B iot

Mé h d CM




Méthode LCM

L’hypothèse que le gradient de température dans le solide est négligeable est

valide si et seulement si:

où Lc est une longueur caractéristique:

(5.10) 0.1chL

Bik

c

s

V L

A

Prob lème 5.15




Problème 5.15

Pour augmenter la résistance d’un arbre à came d’un moteur 4 cylindres,ce dernier est chauffé et refroidi séquentiellement dans une fournaise à gasà 1200K . Le coefficient de convection est estimé à 100 W/m 2 ·K . Si l’arbre entre dans la fournaise à une température de 300K, combien de temps doit-il rester pour atteindre une température de 800K ? L’arbre est fait d’acier AISI 1010 et à un diamètre de 0.1 mètre.

L’arbre à came permet de transformer

le mouvement rotatif en mouvement

longitudinal

Exemp le 5.1




Exemple

Un thermocouple, qui peut-être approximé comme une sphère, est utilisé pour mesurer la température dans un écoulement de gaz. Le coefficient deconvection entre le thermocouple et le gaz peut être estimé à 400 W/m 2 *K .Les propriétés du thermocouple sont k = 20 W/m*K , c p = 400J/kg *K et ρ =

8500kg/m 3 . Déterminez le diamètre du thermocouple requis pour avoir uneconstante de temps de 1 s . Si ce thermocouple est à 25ºC et est placé dans

un écoulement de gaz à 200ºC , quel est le temps requis pour qu’il atteigne199ºC ? Pour qu’il atteigne 200ºC ?

Méthode LCM générale

Méth d LCM é é li é




Méthode LCM généralisée

1. La méthode LCM tel que présentée est valide lorsqu’on ne considère que

la convection comme mécanisme de transfert de chaleur;

2. La méthode LCM généralisée tiens compte de tout les phénomènes

pouvant avoir lieu lors du processus de refroidissement:

• Rayonnement

• Convection• Conduction

• Génération de chaleur

Effets combinés

Méth d LCM é é li é




4 41 2

(5.15) ( ) p s su r

dT Vc q A h T T T T A q V

dt

Méthode LCM généralisée

En émettant l’hypothèse que le gradient de température est négligeable, il est

possible de trouver une équation différentielle générale pouvant tenir compte deplusieurs phénomènes:

Méth d LCM é é li é Q l l ti

Effets combinés




Méthode LCM généralisée – Quelques solutions

Si le seul mécanisme en jeu est le rayonnement:

Si on néglige le rayonnement:

avec

La solution est:

4 4

1 1

3

(5.16)

5.18 ln ln 2 tan tan4

p su r

p su r su r i i

su r su r su r i su r su r

dT Vc A T T

dt

Vc T T T T T T t

A T T T T T T T

(5.20) 0d

a bdt

''

p p

q A qV hAa et b

Vc Vc

/

(5.25) exp( ) 1 exp( )

i i

T T b aat at

T T T T

Prob lème 5.34




Problème 5.34

Une bille de diamètre D = 50 mm est retirée d’un four et est suspenduedans une chambre froide où un ventilateur génère un écoulement d’air à T ∞ et dont le coefficient de convection peut être estimé à h . Les murs de lachambre froide sont à T surr . En émettant l’hypothèse que le gradient detempérature dans la bille est négligeable:

a) Écrivez l’équation différentielle permettant de trouver la distribution detempérature;

b) En négligeant la convection, trouvez la distribution de température enfonction du temps;

c) En utilisant un coefficient de rayonnement hr et en émettantl’hypothèse que T surr = T ∞, trouvez la distribution de température enfonction du temps.

T.D. numéro 5.18




Problème 5.18

Un contenant sphérique en acier (k = 170 W/m ∙K ) utilisé comme un réacteur pour

produire des produits pharmaceutiques a une épaisseur de 5 mm et un diamètreintérieur de 1.0 m . Durant la production, le contenant est rempli de réactifs d’une densité de 1100 kg /m 3 et d’une chaleur massique de c p = 2400J/kg ∙K pendantqu’une réaction exothermique libère de l’énergie thermique à un taux de 1x10 4

W/m 3 . L’extérieur du contenant est dans un écoulement d’air (T ∞ = 25ºC, h = 6W/m 2 ∙K ). Si la température initiale des réactants est de 25ºC , quelle sera leur

température après 5 heures ? Quelle sera la température de la surface ducontenant ? (Vous pouvez supposer une chaleur spécifique nulle pour l’acier

ainsi que négliger le gradient de température des réactifs).

T.D. numéro 5.22




Problème 5.22Le mur d’une fournaise est fait en acier (k = 60W/m ∙K , ρ = 7850kg/m 3 , c p =

430J/kg ∙

K ) d’une épaisseur de 10 mm . Pour protéger le mur des effets corrosifs dela combustion des gaz, on recouvre sa surface d’un revêtement de céramique dontla résistance thermique est évaluée à 0.01 m 2 ∙K /W . L’autre coté est adiabatique. Audépart, la température est de 300K et les gaz sont à 1300K (h = 25W/m 2 ∙K ). Enémettant l’hypothèse que le c p de la céramique soit nul et que le gradient detempérature dans le mur est négligeable, combien de temps faudra-t-il pour que la

surface intérieur de l’acier atteigne 1200K ? Quelle sera alors la température durevêtement de céramique à ce moment?

Approximation de la solution exacte





Approximation de la solution exacte

Dans le cas ou la méthode LCM n’est pas valide (Bi > 0.1) ou encore si l’ondésire connaître la distribution de température À L’INTÉRIEUR du solide,alors on doit résoudre l’équation de diffusion de la chaleur:

En émettant l’hypothèse d’une conduction axiale sans terme source:

On peut résoudre cette équation pour obtenir la solution exacte

2 2 2

2 2 2(2.19)

p

T T T T k q c

x y z t

2

2

1(5.29)

T T

x t

Conduction axiale sans terme source






L’équation de diffusion de la chaleur 1D sans terme source sous formeadimensionelle est:

où et Fo est le nombre de Fourier:La solution exacte de cette équation est:

2

2

*

* 1 *(5.37)

Fo x

*

x x

L

2Fo

t

L

* 2 *

1

n

(5.42 ) exp( ) cos( )

4 sin( )(5.42 )

2 sin(2 )

(5.42 ) tan

n n n

n

n

n

n n

n

a C Fo x

b C

c Bi







Il est possible de démontrer que pour Fo > 0.2 , la solution peut êtreapproximée par le premier terme de la série convergente:

Les coefficients C1 et ζ1 sont tabulés dans le tableau 5.1.

Le transfert d’énergie peut être calculé par:

2Fo

t

L

* 2 *

1 1 1

* 2

0 1 1

(5.43 ) exp( ) cos( )

(5.42 ) exp( )

a C Fo x

b C Fo

1 *

1

sin(5.49) 1 [Joules] et

o oQ Q

o i

Q Vc T T

So lu tion à un terme




Conduction radiale sans terme source (géo cylindrique)

Solu tion à un terme, cy lind re in fin ie




Conduction radiale sans terme source (géo cylindrique)

Pour une géométrie cylindrique, l’approximation de la solution exacte donne:

Les coefficients C1 et ζ1 sont tabulés dans le tableau 5.1.

Les valeurs de J (fonction de Bessel) sont tabulés à l’annexe B-4

* 2 *

1 1 0 1

* 2

0 1 1

*

01 1

0 1

(5.52 ) exp( ) ( )

(5.52 ) exp( )

2Q(5.54) 1 ( )Q

a C Fo J r

c C Fo

J



Exemple 5 5

Solu tion à un terme, cy lind re in fin ie




Exemple 5.5

Considérez un pipeline en acier d’un diamètre de 1 mètre et d’une

épaisseur de 40 mm . Le tuyau est bien isolé et ses murs sont à unetempérature initiale de -20 ⁰C . À un certain moment, une pompe est mise enmarche et de l’huile chaude à une température de 60 ⁰C commence àcirculer dans le pipeline, créant ainsi une condition convective évaluée à h

= 500 W/m 2 ∙K .a) Quelle est la température de la surface externe du pipeline après 8

minutes ?b) À cet instant (t = 8 m inutes ), quel est le flux surfacique de l’huile vers

le pipeline?c) Combien de joules par unité de longueur de pipeline ont été transferrés

du pipeline à l’huile durant ces 8 minu tes ?

La paroi du pipeline peut être considérée comme un mur plan.

Solide sem i-inf in i

Conduction axiale géométrie semi-infinie




Conduction axiale, géométrie semi-infinie

Si le solide est semi-infini, on doit résoudre:

Deux conditions aux frontières sont possibles:

1)

2) Condition à la surface: trois choix possible:

i. Température imposéeii. Flux de chaleur imposéiii. Convection

2

2

1(5.29)

T T

x t

(5.56) ,i

T x t T


CAS #1: Température imposée




Ici, erf est la fonction d’erreur de Gauss Cette erreur est dueau fait que l’intégrale du carré de l’exponentielle ne possèdepas de primitive, ce qui est contraire au théorème fondamentaldu calcul différentiel et intégral. Ces valeurs sont tabulés àl’annexe B-2.

CAS #1: Température imposée

La solution exacte est:

s

i

,,

T(x,t)-T(5.60)

T 2

(5.61)

s

s i

s

xerf

T t

k T T

q t

2

0

2exp duerf u


CAS #2: Flux imposé




CAS #2: Flux imposé


Et la fonction Gaussienne complémentaire est:

1erfc erf n

12 22 /

(5.62) , exp erfc4 2

o o

i

q t q x x xT x t T

k t k t


CAS #3: Surface soumise à la convection




CAS #3: Surface soumise à la convection


Et la fonction Gaussienne complémentaire est:

1erfc erf n

2

2

,

2 2

i

i

T x t T x hx h t x h t erfc exp erfc

T T k k k t t

Exemple





Exemple

Lors de l’installation de tuyaux transportant de l’eau, l’ingénieur doit se

préoccuper de la profondeur minimale requise pour éviter le gel durantl’hiver . Pour modéliser un hiver rigoureux et les pires conditionspossibles, on suppose que l’eau est stagnante, donc qu’elle gèle à 0°C et on suppose une température de surface du sol de -15°C pendant 60 jours .

Quelle distance recommanderiez-vous pour la pose d’un nouveausystème d’égouts si on suppose que la température du sol estinitialement à 20°C ?

T.D. numéro 5.52

P blè 5 52




Problème 5.52

L’acier est séquentiellement chauffé et refroidi pour augmenter saductilité et diminuer les contraintes internes. Considérez une plaque de100 mm d’épaisseur (k = 45 W/m ∙K, ρ = 7800kg/m 3 , c p = 500J/kg ∙K ),initialement à une température de 300ºC qui est chauffée des deuxcôtés) dans une fournaise aux gaz à 700ºC et dont le coefficient deconvection peut être estimé à 500 W/m 2 ∙K .

1. Estimez le temps requis pour que la plaque atteigne 550ºC en soncentre.

2. Durant cette intervalle de temps, calculez le rapport entre l’énergie

emmagasinée et le transfert de chaleur maximal possible.

T.D. numéro 5.61

Problème 5 61




Problème 5.61

Pour cristalliser un acier en martensite, on doit effectuer une tremperapide. Considérez une longue tige de 30 mm de diamètre, initialementà une température de 1000 K , qui est refroidie dans un bain d’huile à350 K . Le coefficient de convection peut être estimé à 50 W/m2

∙K.Calculez le temps requis pour que la température de la surfaceextérieure atteigne 500 K . À ce moment, quelle sera la température au

centre de la tige?

Vous pouvez prendre les propriétés suivantes pour la tige: ρ = 400 kg /m 3 , c p = 1600 J/kg*K , k = 1.7 W/m*K .

T.D. numéro 5.72

P blè 5 72




Problème 5.72

Des recherches scientifiques ont démontré que pour augmenter larésistance des billes destinées à des roulement à billes, on doit extraire70% de l’énergie thermique initiale lors de leur moulage pour appliquer un revêtement anti-corrosif. Considérez des billes de 0.2 m de diamètreà une température initiale de 400ºC qui traversent sur un convoyeur unechambre froide maintenue à -15ºC et dont le coefficient de convectionpeut-être estimé à 1000 W/m 2 ∙K . Si le convoyeur a une longueur de 5

mètres , recommendez une vitesse pour le convoyeur.

T.D. numéro 5.90




Problème 5.90

Un processus pour déterminer la conductivité thermique d’un solideconsiste à l’insertion d’un thermocouple profondément dans ce solidepour mesurer la réponse au changement de température soudain de lasurface. Considérez un arrangement pour lequel un thermocouple estinséré à 10 mm de profondeur dans un solide dont la température de

surface est soudainement amenée à 100ºC par une exposition à del’eau bouillante. Si la température initiale du solide est de 30ºC et que lethermocouple mesure une température de 65ºC après 2 minutes:

1. Quelle est la conductivité thermique?

Notez que le thermocouple est beaucoup plus petit que le solide.Les propriétés du solide sont: ρ = 2200kg /m 3 et c p = 700J/kg ∙K .




CHAPITRE 6Introduction à la convection

Object i fs

Objectifs des chapitres 6 à 9




j p

1. Comprendre l’origine de la convection;

2. Comprendre le rôle de la couche limite fluide et de la couche limitethermique

3. Estimer le coefficient de convection pour diverses situationsd’ingénierie

Les cou ches l imi tes

La couche limite fluide




δ: épaisseur de la couche limite

τ : cisaillement

0

(6.1) ( )w w

y

u x

y

2

(6.2) C0.5

w f

u

Coefficient de friction local:Cisaillement:

Les cou ches l imi tes thermiques

La couche limite thermique




Par un bilan surfacique à la paroi (y=0):

Le coefficient de convection se définit donc ainsi:

q

δT: épaisseur de lacouche limite thermique

''

0

(6.4) s f s

y

T q k h T T

y

0

1(6.5) f

s y

T h k

y T T

Coeffic ient de convect ion moyen

Transfert de chaleur en Watts total:




Si on définit un coefficient de convection moyen par:

La loi de refroidissement de Newton est:

''(6.10) ( ) s s

A A

q q dA T T hdA

1(6.13)

A

h hdA A

(6.14) ( ) sq hA T T

Régime d’écoulement

Les écoulements laminaires et turbulents




Laminaire:

•Écoulement ordonné dont on peut voir les lignes de courant

Turbulent:

•Écoulement chaotique hautement désorganisé caractérisé par le mouvementaléatoire de tourbillons;•Les tourbillons prennent naissance proche des parois;•L’écoulement turbulent est rotationnel


La couche limite turbulente




La couche limite turbulente est composée de trois sous-couches:

1. Sous-couche visqueuse (Laminar sublayer)2. Couche tampon (Buffer Layer)3. Couche turbulente (Turbulent region)


Caractéristique d’un écoulement turbulent




q

L’étude d’un écoulement turbulent se fait via des variables moyennées:

•

• u’ est la vitesse dite de fluctuation

( , , ) 'u x y z u u

Pro fi l de v itesse et séparat ion

Profil de vitesse laminaire versus turbulent:

http://www.wiley.com/college/incropera/0471457280/image_gallery/appendices/pages/un_B_01tbl.html




La couche limite turbulente possède plus de quantité de mouvementque la couche limite laminaire



Séparat ion de la couche lim ite

Solutions ?




Balles de golf avec ruguosité

Générateur de turbulence -)

Transit ion

La transition sur une plaque plane




Sur une plaque plane, la transition estfixée à :

(6.23) Re L

U L

(6.24) Re 500000c

xc

U x

Le nombre de Reynolds exprimele rapport entre les forcesvisqueuses et les forces d’inertie

Le coefficient de convection est affectépar la turbulence: il augmente --------)

Les équations de conservatio n

Système d’équations de Navier -Stokes bidimensionel et




incompressible

• Conservation de la masse

• Conservation du momentum

• Conservation d’énergie

(6.27) 0u v

x y

2 2

2 2

2 2

2 2

1(6.28)

1

u u p u uu v

x y x x y

v v p v vu v x y y x y

2 2

2 2

2 22

(6.29)

2

T T T T u v

x y x y

u v u v

y x x y

La couche l im i te lam inaire sur une plaque plane

Hypothèses de la couche limite laminaire




1) L’accélération en ‘x’ est

négligeable comparée àl’accélération dans la direction ‘y’

2 2

2 2

u u

x y

v u

(6.27) 0u v

x y

2

2

1(6.28)

u u dp uu v

x y dx y

2

2(6.29)

T T T u v

x y y

2) La vitesse ‘v’ est négligeable:

Après simplification, les équations de lacouches limites sont:

Les équations de conservatio n

Les équations de la couche limite




L’adimensionalisation de ces équations donnent:

Le nombre de Prandtl et le nombre de Reynold sont respectivement:

2

* * * ** * 2

* * * *

1(6.35)

Re L

u u dp uu v

x y dx y

2

* ** * 2

* *

1(6.36)

Re Pr

L

T T T u v

x y y

Re

Pr

L

U L

* * * *

* s

s

x y u v x y u v

L L V V

T T T

T T

Paramètres de similitude

Les équations couche lim ite

Adimensionalisation des équations




Le coefficient de convection est définit par:

L’analyse dimensionnelle permet de trouver le nombre de Nusselt

** * *

*

(6.44) ( , , Re ) L

dpu f x y

dx

2

* * * ** * 2

* * * *

1(6.35)

Re L

u u dp uu v

x y dx y

2

* ** * 2

* *

1(6.36)

Re Pr

L

T T T u v

x y y

*

* * **

(6.47) , ,Pr,Re , L

dpT f x y

dx

*

*

* 0

f

y

k T h

L y

*

* **

(6.47) , , , ,Pr,Re , f L

dph f k L x y

dx

x *(6.48) Nu ( ,Re ,Pr) et (6.50) (Re ,Pr)

L L L

f f

hx hL f x Nu f

k k

Le nombre de Nussel t

Le nombre de Nusselt:




1) Ce nombre exprime une mesure du transfert de chaleur

convectif à la surface;

2) Remarquez la similitude entre le coefficient de convection et lecisaillement pariétal:

3) L’objectif des chapitres 7 à 9 est d’estimer le nombre de Nusseltpour différents écoulements et géométries.

*

*

x* 0

(6.48) Nu

f y

T hx

k y

*

*

* 0

w

y

U u

L y

*

*

* 0

f

y

k T

h x y

Le nombre de Prandt l

Le nombre de Prandtl




• Il s’agit du rapport entre la dissipation visqueuse et la diffusivité thermique. C’est donc une espèce de mesure d’efficacité du transport

par diffusion à l’intérieur des couches limites fluides et thermique.

• Pour les gaz, Prandtl est proche de 1 ce qui signifie que le taux dedissipation visqueuse est comparable au taux de diffusion de l’énergie.

• Pour l’huile, Prandtl est beaucoup plus grand que 1, ce qui signifie que le taux de dissipation visqueuse est beaucoup plus grand que le tauxde diffusion de l’énergie.

Pr p

c

k

Le nombre de Prandt l

Mét E l l H il




10-2 10-1 1 10 102 103 104

Fluides peu visqueux et/ou trèsbon conducteurs :

couche limite thermique >>couche limite fluide

Fluides très visqueux et/outrès mauvais conducteurs:

couche limite thermique <<

couche limite fluide

Métauxliquides

Gaz Eau, alcool,etc…

Huiles,goudrons, etc..

Analogie de Reyno lds

t




t t

Pr <<1 Pr =1 : analogie de Reynolds Pr >>1

1) L’analogie de Reynold indique l’égalité de l’épaisseur des coucheslimites thermique et fluide (Pr=1);

2) Elle est très utile comme 1ière approximation du transfert de chaleur si lecisaillement à la paroi est connu (nous y reviendrons au chapitre 7);

Chapitre 7 – Convect ion externe




CHAPITRE 7

Convection externe


Estimation du coefficient de convection externe




Il existe trois méthodes pour estimer le coefficient de convection:

1. Expérimentalement;2. Numériquement à l’aide de la CFD; 3. Analytiquement en résolvant les équations de la couche limite présentées

au chapitre précédent

Comme mentionné précédemment, le but sera d’estimer le nombre deNUSSELT:

L’analyse dimensionnelle nous révèle que:

Ainsi, on s’attend à trouver des solutions du style:

où C, m et n sont des constantes à déterminer

(6.50) (Re,Pr) N u f

x

h x N u

k

R e P r m n

N u C






1. Expérimentalement

* ( )

*

( )

L s s

L

s s

E I q h A T T

E I h

A T T

E: Potentiel électrique (Volts);I: Courant électrique (Ampères)

L’expérimental confirme que:

Plusieurs corrélations sontprésentées plus loin dans letexte

R e P r m n

N u C


Chapitre 7 – Solut ion analyt ique




1. Analytiquement : Écoulement LAMINAIRE sur une PLAQUE PLANE ISOTHERME

Solution hydrodynamique de BLASIUS

L’équation du momentum est donnée par:

En utilisant les fonctions courants:

l’équation de continuité est obligatoirement respectée

2

2(7 .5 )

u u uu v

x y y

(7 .8) ;u v y x

( ) ; x f yu

xuu






On peut alors définir deux nouvelles variables:

À l’aide de ces deux nouvelles variables, on peut exprimer les autres variables u, v,du/dx, du/dy, etc:

(7 .9 ) ( )

(7 .10)

f

xuu

x yu

2

2

(7 .12)

(7 .13) 0 .5

(7 .14)2

d f u

d

u d f v f

x d

uu d f

x x d

2

2

22 3

2 3

(7 .15)

(7 .16)

uu d f u

y x d

uu d f

y x d






Par substitution dans l’équation du momentum:

La résolution de cette équation nous donne:

2

2(7 .5 )

u u uu v

x y y

(7 .1 7 ) 2 ''' '' 0 f ff

0 5

U

U

0

1

0 .99U

U

0

0 . 3 32

U

U

y

d

d

Écoulement LAMINAIRE sur une plaque plane isotherme

La couche l im ite lam inaire su r une plaque




Solution de Blasius

Épaisseur de la couche limite

Cisaillement à la paroi

Coefficient de friction local

5(7 .19)

R e x

x

(7 .20 ) 0 .332 /w a l l

u u x

0 .5

, 2( 7 .2 0 ) 0 .6 6 4 R e

0 .5

w a l l

f x xC

u






Solution de Blasius – THERMIQUE

L’équation d’énergie est donné par:

Sous forme adimensionnelle et avec les variables f et η proposées par Blasius:

La solution de cette équation permet de trouver que:

Ce qui est conforme avec l’analyse dimensionnelle

2

2

T(7 .6 ) u

x

T T v

y y

2

2

d T(7 .2 1) 0 .5 P r 0

d T f

d d

1 / 2 1 / 3

x(7 .23) N u 0.332 R e P r

x

1(7 .24)

3t






Pour trouver les coefficients moyens, il suffit d’intégrer sur la longueur de la plaque:

et 0 .5 1 / 3(7 .3 0 ) 0 .6 64 R e P r

L x

h L N u

k

0 .5

,(7 . 2 9 ) 1 . 3 2 8 R e

f L LC

Résumé: plaque plane LAMINAIRE ET ISOTHERME

5(7 .19)

R e x

x

(7 .20 ) 0 .332 /w a l l

u u x

0 .5

,

( 7 .20 ) 0 .664R e f x x

C

1 / 2 1 / 3

x(7 .23) N u 0.332 R e P r

x

1(7 .24)

3t

0 .5

,(7 .2 9 ) 1 . 3 28 R e

f L LC

0 .5 1 / 3(7 .3 0 ) 0 .6 64 R e P r

L x

h L N u

k

Exemple

Exemple 7.1




De l’air à une pression de 6 kPa et une température de 300°C s’écoulelentement à une vitesse de 10 m/s sur une plaque plane de 0.5 mètre de long.Estimez le taux de refroidissement de la plaque par unité de largeur pour maintenir la surface à 27°C constante.

Exemple

Problème 7.2




De l’huile à moteur à 100°C et 0.1 m /s s’écoule sur les deux cotés d’uneplaque plane de 1 m de long qui est maintenue à 20°C .

1. Déterminez l’épaisseur de la couche limite fluide et thermique aubord de fuite;

2. Déterminer le transfert de chaleur local et le cisaillement à la paroilocal au bord de fuite;

3. Déterminez la traînée visqueuse et le transfert de chaleur total par unité de largeur.

Exemple

Problème 7.3




Considérez un écoulement d’air sur une plaque plane. L’air est à 300K et 25 m/s .

1. Évaluez l’épaisseur de la couche limite fluide à x = 100 mm du bordd’attaque.

2. Si une plaque est disposée 3 mm plus haut que la plaque, à quelledistance du bord d’attaque les couches limites fusionnerons-t-elles?

3. Évaluez la composante de vitesse verticale à x = 100mm et à la hauteur de la couche limite.

Plaque plane – Écou lement tu rbu lent

Écoulement TURBULENT sur une plaque plane isotherme




Corrélations empiriques

1 / 5(7 .3 5) 0.3 7 R e

x x

1 / 5 8

,(7 .34 ) 0 .0592 R e Re R e 10

f x x cr xC

4 / 5 1 / 3

x(7 .23) N u 0 .0296 R e P r 0 .6 P r 60

x

Plaque plane – Écoulement mixte laminaire/turbulent

Écoulement MIXTE sur une plaque plane ISOTHERME




Corrélations empiriques

NOTES

1) Dans le cadre du cours, la transition est fixée à 500 000, ainsi A = 871

2) Si la turbulence est forcée par un générateur de turbulence, alors A = 0.Notez que dans ce cas, on retrouve le nombre de Nusselt MOYEN d’unécoulement purement turbulent.

4 / 5 1 / 3

4 / 5 1 / 2

8

(7 .3 8 ) 0 .0 3 7 R e P r

0 .0 3 7 R e 0 .6 6 4 R e

0 .6 P r 6 0 e t R e R e 1 0

L L

c r c r

c r L

N u A

A

Plaque plane, f lux de chaleur impos

Écoulement sur une plaque plane, FLUX CONSTANT




Écoulement laminaire:

Écoulement turbulent:

Pour trouver une température moyenne sur la plaque:

Où Nusselt dépend du régime de l’écoulement (7.45 ou 7.46)

1 / 2 1 / 3(7 .4 5) 0 .4 5 3 R e P r P r 0 .6

x x N u

4 / 5 1 / 3(7 .4 6 ) 0 .0 3 0 8 R e P r 0 .6 P r 6 0

x x

N u

''

0

(7 .4 8) ( ) d x N u

L s

s

x

q xT T

L k

Cylindre dans un écoulement

Cy lin dre dans un écou lement



Martin Gariépy MEC3200 Transmission de chaleur Chapitre 7 p 16

Le nombre de Reynolds est basé sur le DIAMÈTRE

Le nombre de Nusselt peut être calculé par une corrélation empirique de Hilpert:

avec

R e D

U D

1 / 3

D(7 .5 2 ) N u R e P r

m

d

h DC

k

Objet émoussé dans un écoulement

Cy lin dre dans un écou lement




Le nombre de Nusselt peut être calculé par

1 / 3

D(7 .5 2 ) N u R e P r

m

d

h DC

k

Sphère dans un écou lemen t

Sphère dans un écoulement




Le nombre de Nusselt peut être estimé par la corrélation de Whitaker:

1 / 2 2 / 3 0 .4

4

(7 .5 6 ) 2 0 .4 R e 0 .0 6 R e P r

0 .7 1 P r 3 8 0

3 .5 R e 7 .6 1 0

D D D

D

N u

x

Exemple 7.4

Exemple




Une expérience a été faite sur un cylindre de 12.7 mm de diamètre et d’une longueur de 94 mm . Le cylindre, chauffé électriquement de l’intérieur, est soumis à unécoulement transversal d’air d’une température de 26.2 ⁰C et d’une vitesse de 10 m/s .La puissance dissipée est alors de 46 W et la température de la surface du cylindreest constante à 128.4 ⁰C . Il est estimé que 15% de la puissance est dissipée enrayonnement. Déterminez le coefficient de convection

1) En effectuant un bilan2) En utilisant les corrélations.

Prob lème 7.8

Problème 7.8




Une plaque plane de 1 mètre est maintenue à une température uniforme de Ts = 150°C

en utilisant des petits modules chauffants contrôlés de façon indépendante. Chaquepetit module a une épaisseur a = 10mm et une longueur de b = 50mm . Chaque moduleest isolé de ses voisins. En considérant que l’écoulement d’air atmosphérique est à25°C et à une vitesse de 30 m/s et que les propriétés du module sont:k = 5.2 W/mK, c p = 320 J/kgK et ρ = 3200kg /m 3 :

1. Déterminez la génération de puissance requise pour alimenter un module à 700 mm du bord (Vous pouvez supposer une variation linéaire du coefficient deconvection sur le module).

2. Déterminez la températuremaximale dans le module.

Prob lème 7.20

Problème 7.20




Le toit d’un camion réfrigéré est formé d’une couche isolante d’uréthane de 50 mm

d’épaisseur (conductivité thermique de 0.026 W/m ∙K ) insérée entre deux plaquesd’aluminium d’une épaisseur de 5 mm ( conductivité thermique de 180 W/m ∙K ). Le toitfait 10x3.5 m 2 , la température sur la surface interne est de -10°C , le camion roule à 105

km/h , la température ambiante est de 32°C et le flux solaire est estimé à 750 W/m 2 . Laturbulence est forcée sur le toit du camion. Pour une absorptivité de 0.5 et uneémissivité de 0.5 :

1. Quelle est la température sur la surface du toit ?

2. Quel est le transfert de chaleur de l’extérieur vers l’intérieur qui est réfrigéré?

Prob lème 7.85

Problème 7.85




Un thermocouple sphérique de 1.0 mm de diamètre est inséré dans une chambre à

combustion pour mesurer la température T ∞ des produits de la combustion. Les gazchauds ont une vitesse de 5 m/s . Si le thermocouple est à la température ambianteT i lorsqu’il est inséré dans la chambre à combustion, estimez le temps requis pour que la différence de température, T ∞-T , atteigne 2% de la différence de températureinitiale, T

∞-T i .

Les propriétés du thermocouple sont:k = 100 W/mK , c p = 385 J/kgK, ρ = 8920kg/m 3 .

Les propriétés du gaz chaud sont:k = 0.05W/mK , ν = 50x10 -6 m 2 /s et Pr = 0.69 .

CHAPITRE 8

L’écoulement interne




CHAPITRE 8

La convection interne


Considérations hydrodynamiques




Xpdh: Longueur pour atteindre la région pleinement développé au

niveau hydrodynamique

Pour un écoulement LAMINAIRE:

Pour un écoulement TURBULENT:

(8.3) X 0.05 Re pdh D D

(8.4) X 10 pdh D

D

Considérations hydrodynamiques





4(8.6) Re D

m

D

(8.1) Re m D

u D

• Le nombre de Reynolds est basé sur le diamètre:

• Le débit massique est donné par:

• Pour un conduite circulaire :

Laminaire versus Turbulent

• Laminaire si

• Turbulent si

• En transition si

(8.5) mm u A

Re 2300 D

Re 10000 D

2300 Re 10000 D

Profil de vitesse pour écoulement laminaire





Bilan des forces sur l’anneau différentiel

mais

et après une double intégration, on obtient:

2 2 2 2 2 2 0

( )

r r r

r

d d rdx rdx rdx dx p rdr p rdr p rdr

dr dx

d dpr r

dr dx

r

du

dr

d du dpr

r dr dr dx

2

2

0

0

1(8.14) ( ) 1

4

dp r u r r

dx r

Profil de vitesse pour écoulement laminaire





La vitesse moyenne de l’écoulement peut être obtenue par:

2

2

00

1(8.13) ( ) 1

4

dp r u r r

dx r

2

01

(8.14) 8m

c

r dp

u u r dA A dx

Gradient de pression et perte de charge





La perte de charge est calculée à l’aide du facteur de friction de Moody:

La puissance est donnée par:

Pour un écoulement laminaire:

Pour un écoulement turbulent dans une conduite lisse:

Pour un écoulement turbulent dans une conduite rugueuse, il faut

utiliser le diagramme de Moody.

2

2(8.16)

0.5 2

m

m

dp D

dx u f p f x

u D

64(8.19)

Re D

f

2

(8.21) 0.790 ln Re 1.64 D

f

m(8.22b) W= p

Pertes de charge

Diagramme de Moody




Prob lème 8.3

Problème 8.3




Problème 8.3

De l’eau à 27°C circule à une vitesse moyenne de 1 m/s le long d’une conduitede 1 km de long avec un diamètre de 0.25 m .

1. Déterminez la perte de pression le long de cette conduite et la

puissance requise de la pompe dans le cas ou le matériau de la

conduite est lisse.

2. Déterminez encore une fois la perte de pression et la puissance

requise en considérant maintenant que le matériau de la conduite est

du fer.

Vous pouvez prendre les propriétés suivantes:3 6 2997 kg/m et 855 10 N s/m


Considérations thermiques




Xpdt: Longueur pour atteindre la région pleinement développé au

niveau thermique

Pour un écoulement LAMINAIRE:

Pour un écoulement TURBULENT:

(8.23) X 0.05 Re Pr pdt D D

X 10 pdt D


Considérations thermiques




La température moyenne Tm dépend de x --)

Il s’agit d’une différence majeure comparativement à la vitesse moyenne!

( )m mT T x


Calcul du TDC et du flux de chaleur en conduite




En connaissant la température moyenne, il est possible d’effectuer un bilan

thermodynamique entre l’entrée la sortie pour obtenir:

Il est aussi possible de calculer un flux local:

(8.34) p mo miq mc T T

(8.27) ''( ) ( ) ( ) s mq x h x T T x

Exemple

Exemple




En Alaska, le pipeline transportant de l’huile est soumis à d’intenses pertes de

charges. Considérons un pipeline de 100 km de long avec un diamètre de 1.2 m , et un débit massique de 500 kg /s .

Les propriétés de l’huile sont :

ρ = 900 kg / m 3 , c p = 2000 J/KgK , μ = 0.765 Ns/m 2 .

• Calculez la perte de pression, le travail requis et l’augmentation de latempérature causé par le travail requis. Vous pouvez supposer qu’il n’y

a aucune perte de chaleur de l’huile vers l’environnement.


Variation de la température moyenne Tm




Par un bilan, on obtient:

Or en utilisant la loi de Newton:

Et donc:

(8.35) conv p m m m p mdq mc T dT T mc dT

( )( ) ( )conv p m s m s mdq mc dT h x T T dA hP T T dx

(8.37) ( )m s m

p

dT hP T T

dx mc


Condition de flux constant




Si le flux est constant, alors:

Variation linéaire de la température moyenne

( )

0

''( )

''

''(8.40) ( )

m

mi

m s m

p p

T x xm

T p

m mi

p

hP PqdT T T dx dx

mc mc

PqdT dxmc

q P T x T x

mc

Condition de température constante





Si la température Ts est constante, en posant

0

0

0

0

0

(8.37)

1dx

1ln dx

ln

i

p

T L

T p

L

i p

i p

d T P h T

dx mc

P d T h

T mc

T PLh

T mc L

T PLh

T mc

s mT T T

0(8.41b) exp s mo

i s mi p

T T T PLh

T T T mc

La variation de température décroit

exponentiellement!

Condition de température constante





Si la température Ts

est constante

mais

En égalisant 8.41b et 8.34, on obtient:

0(8.41b) exp s mo

i s mi p

T T T PLh

T T T mc

(8.34)

i o

p

T T mc

q

(8.43) conv s lmq hA T

0

0

(8.44)

ln

ilm

i

T T T

T T

Condition de température constante, cas spéciaux





Si la température Ts

est constante

0(8.45b) expmo s

i mi p

T T T UA

T T T mc

(8.46a) conv s lmq UA T

Exemp le 8.2

Exemple 8.2




Un système pour chauffer de l’eau a une température à l’entrée de T mi = 20°C et une température de sortie de T mo = 60°C . Le système est

composé d’un tube de diamètre interne et externe de respectivement 20 et 40mm . Le tube est bien isolé de l’extérieur et une source génère de la

chaleur dans la partie solide du tube à un taux de 10 6 W/m 3 .

1. Pour un débit massique de 0.1 kg /s , quelle longueur doit avoir letube pour obtenir la température en sortie ?

2. Si la température de l’intérieur du tube est de 70°C en sortie, quel

est le coefficient de convection local h ?

Exemp le 8.3

Exemple 8.3




De la vapeur condense sur la surface extérieure d’un conduit circulaire

d’un diamètre de D = 50mm et de longueur L = 6m ou la surface

extérieure du tube est maintenu à 100°C . L’eau circule à un débit

massique de 0.25 kg /s et la température moyenne en entrée est de T mi =

15°C et de T mo = 57°C en sortie.

Quel est le coefficient de convection moyen associé à l’écoulement

d’eau ?

Vous pouvez négliger la conduction au travers de la paroi du tube et

prendre c p = 4178 J/kg∙K .


Corrélation pour convection interne LAMINAIRE




Pour un écoulement LAMINAIRE, on a:

1) Température constante:

2) Flux constant

Vu que le coefficient de convection local est constant, alors

Pour un écoulement avec Ts constant, alors le coefficient de convection moyen

dans la zone d’entrée est :

où

(8.53) Nu 4.36 D

hD

k

(8.55) Nu 3.66 D

hD

k

( )h x h

2/ 30.0668(8.57) Nu 3.661 0.04

D D

D

Gz hDk Gz

(8.56) Gz Re Pr D D

D

x

Re 2300 D

Re 2300 D


Corrélation pour convection interne TURBULENT




Pour un écoulement COMPLÈTEMENT TURBULENT dans une conduite lisse, on a:

où

Pour un écoulement TURBULENT dans une conduite lisse ou rugueuse, on a:

4/5(8.60) Nu 0.023Re Pr n

D D

hD

k 0.3 si

0.4 si

s m

m s

T T n

T T

0.5 2/ 3

/ 8 Re 1000 Pr (8.62) Nu

1 12.7 / 8 Pr 1

D

D

f

f

Re 10000 D

Re 2300 D

Exemple 8.6

Exemp le 8.6




De l’air chaud circule avec un débit de 0.050 kg /s à l’intérieur d’une

conduite d’un diamètre de 0.15 m située dans un grenier. L’air

chaud entre à 103 ⁰C et en ressort à 85 ⁰C après 5 mètres . Le

coefficient de convection dans le grenier peut être estimé à 6

W/m 2 ∙K pour une température ambiante de 0 ⁰C .

1) Calculer le transfert de chaleur en Watts dissipé dans le grenier 2) Calculer le flux de chaleur à x = L et la température de la

conduite


Corrélation pour conduite non-circulaire




Dans le cas d’une conduite non-circulaire, on base le nombre de Reynolds sur le diamètre hydraulique:

Pour un écoulement LAMINAIRE,on utilise le tableau 8.1:

Dans le cas d’un écoulement

TURBULENT, on peut utiliser les

même corrélations que définiesprécédemment ( 8.60 & 8.62)basées sur le diamètre hydraulique

4(8.66) c

h

A D

P


Corrélation pour conduite annulaire




Dans le cas d’une conduite annulaire, on base le nombre de Reynolds sur le

diamètre hydraulique:

Pour un écoulement LAMINAIRE, avec une surfaceisolée et l’autre à température constante:

Pour un écoulement TURBULENT, les corrélations 8.60 et 8.62 peuventêtre utilisées basées sur le diamètre hydraulique

(8.71) h o i D D D

Exemp le 8.99

Exemple 8.99

U ti d b tibl lé i t f idi f i t i l d l’




Une tige de combustible nucléaire est refroidie en faisant circuler de l’eau

dans un anneau (D i = 80 mm et D o = 100 mm ). La tige fait 1 mètre de longet génère 10 5 W/m 3 de chaleur. Le débit massique de l’eau est de 0.2 kg /s .

Déterminer T mo et T m i qui maintiendra une température constante de 37 ⁰ C

sur la surface externe de la tige. Vous pouvez supposer un régime

pleinement développé et prendre les propriétés de l’eau à 300 K.

TD 8.74

TD #8.74




De l’eau à 290K et 0.2 kg /s circule dans un tube en teflon (k = 0.35 W/m∙K )

d’un rayon intérieur de 10 mm et extérieur de 13 mm . Un fil électrique enrobela surface extérieure, provoquant ainsi un flux de chaleur de 2000 W/m 2 . Un

écoulement d’air possédant dont le coefficient de convection est estimé à 25

W/m 2 ∙K ainsi qu’une température de 300K circule autour du cylindre extérieur.

1) Quelle est la fraction de la puissance dissipée transférée à l’eau par le fil

électrique?

2) Quelle est la température de la surface externe du tube?

TD 8.59

TD #8.59




Les gaz chauds provenant de la combustion d’un four industriel s’échappent

par une grande cheminée. La cheminée a une hauteur de 6 m pour undiamètre de 0.5 m . Le débit massique des gaz est de 0.5 kg /s , et la

température des gaz chauds entrant dans la cheminée est de T mi = 600 ⁰C . En

considérant une température et une vitesse du vent extérieure de

respectivement 4 ⁰C et 5 m/s , estimez :

a) La température des gaz chauds en sortie, Tmo ;

b) La température de la surface de la cheminée à

la sortie, Tso .

Pour les propriétés thermodynamiques des gaz

chauds, prenez les propriétés de l’air à 800 K , et

pour les conditions extérieures, prenez les

propriétés de l’air à 400 K .

CHAPITRE 9




CHAPITRE 9

La Convect ion Naturelle

Phys ique de la convect ion naturel le

Convection naturelle




Le mouvement du fluide est induit par des forces de flottaison --) la convection

est donc initiée par un changement de densité

Le changement de densité est induit par un gradient de température


Exemples de convection naturelle




Non-traité dans le cours


Convection Naturelle – Variables importantes

3Force de flottaisonsg T T L




Nombre de Grashof :

L est une longueur caractéristique pertinente au développement de la couche limite

β est le coefficient d’expansion thermique:

Pour un liquide: On trouve le coefficient dans les tables

Pour un gaz idéal:

Nombre de Rayleigh:

2

Force de flottaison(9.12)

Force visqueuse

s

L

g T T LGr

1

pT

1

filmT

3

(9.23) Pr s L L g T T L Ra Gr

Équations gouvernantes Convection Naturelle sur une plaque plane chaude




2

2

2

2

(9.6) 0

(9.7) ( )

(9.8)

s

u u x y

u u uu v g T T

x y y

T T T v

x y y

Il existe une solution analytique à l’écoulement laminaire sur une

plaque plane verticale chaude

La transition est fixée à

L’analyse dimensionnelle montre que:

39( )

10 s cr cr

g T T x Ra

(Gr,Pr) (Ra) L Nu f f

Plaque p lane vert icale chaude Corrélations empiriques – Plaque plane verticale chaude




1) Laminaire:

2) Turbulent:

3) Valide pour laminaire & turbulent:

2

1/ 6

8/27

9/16

0.387(9.26) 0.825

1 0.492 / Pr

L L

Ra Nu

0.25(9.24) 0.59 L L Nu Ra

1/3(9.24) 0.10 L L Nu Ra

Exemp le 9.2

Exemple 9.2




Une porte coupe-feu a une hauteur de0.71m

et une largeur de1.02m

. Lors

d’un incendie, elle atteint une température de 232 ⁰C . Si la pièce adjacente

est à une température de 23 ⁰C , estimez le transfert de chaleur total si

l’émissivité et l’absorptivité de la plaque peuvent être estimé à 1.

1

6 2

6 2 3

400.5 0.0025

Pr 0.69, 38.63 10 /

26.4 10 / , 33.8 10 /

f T K K

x m s

x m s k x W mK

Plaques horizon tales

Surface chaude pointant vers le haut OÙ surface froide pointant vers le bas

Corrélations empiriques – Plaques horizontales




Laminaire:

Turbulent:

Longueur caractéristique:

sT T

sT T

1/ 4 4 7(9.30) 0.54 10 10c c L L L Nu Ra Ra

1/3 7 11(9.31) 0.15 10 10c c L L L Nu Ra Ra

sc

A L p

Plaques horizon tales

Surface chaude pointant vers le bas OÙ surface froide pointant vers le haut

Corrélations empiriques – Plaques horizontales




Longueur caractéristique:

1/5 4 9(9.32) 0.52 10 10c c L L L Nu Ra Ra

sc

A L p

Exemp le 9.3

Exemple 9.3

De l’air chaud circule dans un conduit de ventilation et maintient la




De l air chaud circule dans un conduit de ventilation et maintient la

température de ses parois à 45⁰C. Si le conduit passe dans une pièce à15⁰C, quelle est la perte de chaleur par unité de longueur?

1

6 2

6 2

303 0.0033

Pr 0.71, 22.9 10 /

16.2 10 / , 0.0265 /

f T K K

x m s

x m s k W mK

Corrélations empiriques – Le cylindre horizontal

(9 33) nhDNu CRa

Cyl indre ho r izon tal




(9.33) D D Nu CRa

k

Corrélations empiriques – La sphère

1/ 4

4/99/16

0.589(9.35) 2

1 0.469 / Pr

D D

RahD Nu

k



Cavités rec tangu laires 3D Cavités fermées – Corrélations empiriques




3

2

s

L g T T LGr

TD: no. 9.60 TD #9.60

Un câble électrique de 25 mm de diamètre dissipe 30 Watts de chaleur

èt d fil Si l t é t bi t té i t d 27 C t




par mètre de fil. Si la température ambiante extérieure est de 27°C est

que le câble est en position horizontale, quelle est la température à la

surface du câble?

TD no . 9.36 TD #9.37

Un petit appareil de chauffage, de la forme d’un disque horizontal de

400 de diamètre est tilisé po r cha ffer le desso s d’ n




400 mm de diamètre, est utilisé pour chauffer le dessous d’un

réservoir rempli d’huile à 5°C . Calculez la puissance requise pour

maintenir la surface du disque à 70°C .

Chapitre 11 – Les échangeurs de chaleu r




Les types d’échangeurs de chaleur




1) Échangeur simple co-courant 2) Échangeur simple contre-courant

3) Échangeur cross-flow non mélangé 4) Échangeur cross-flow mélangé





1) Échangeur coques et tubes, 1passage dans le tube et un passagedans la coque.

2) Échangeur coques et tubes, 2passage dans le tube et 1 passagedans la coque.





1) Échangeur de chaleur compact

i) Ces échangeurs sont souvent utilisés en milieu industriel. Ils offrent une trèsgrande surface d’échange.

ii) Généralement, l’écoulement circulant dans l’échangeur est laminaire

Coefficient global

Coefficient de transfert de chaleur global U [W/m2∙K]

i) Le coefficient U de l’échangeur co-courant est:




i) Le coefficient U de l échangeur co courant est:

NOTES

i. C’est le produit UA qui est important et non U , ainsi on peut utiliser A i

ou A o sans distinction;

i i . R’’ f représente une résistance

d’encrassement qui augmente avec

le temps (facultatif)

1

'' ''

, ,

ln1 1

2

o

f c f hi

i

i i i o o o

D R R D

UAh A A kL A h A

Valeurs du coefficient global

Valeurs représentatives du coefficient U




Analyse des échanges thermiques

Analyse des échanges thermiques – bilan thermodynamique




En effectuant un bilan thermodynamique entre l’entrée et la sortie d’un conduit:

Où i représente l’enthalpie, ek l’énergie cinétique et e p l’énergie potentielle. Après

simplification, on obtient:

in out out in k pq q w w m i e e

, , ,

, , ,

(11.6 )

(11.7 )

h p h h i h o

c p c c o c i

b q m c T T

b q m c T T


Analyse des échanges thermiques – Échangeur co-courant

Pour un échangeur co courant il est possible de calculer le TDC par la méthode de




Pour un échangeur co-courant, il est possible de calculer le TDC par la méthode dela température moyenne logarithmique (LMTD):

où :

La capacité thermique est définie par:

2 1

2

1

(11.14)

(11.15)

ln

lm

lm

q UA T

T T T

T T

1 , ,

2 , ,

h i c i

h o c o

T T T

T T T

[W/K] pC mc


Analyse des échanges thermiques – Échangeur contre-courant

Pour un échangeur contre courant il est possible de calculer le TDC par la méthode




Pour un échangeur contre-courant, il est possible de calculer le TDC par la méthodede la température moyenne logarithmique (LMTD):

où :

2 1

2

1

(11.14)

(11.15)

ln

lm

lm

q UA T

T T T

T T

1 , ,

2 , ,

h i c o

h o c i

T T T

T T T

Exemp le 11.1

Un échangeur de chaleur à contre-courant est utilisé pour refroidir l’huile d’une

Exemp le 11.1




turbine à gaz industriel. Le débit massique de l’eau froide, circulant dans letube intérieur d’un diamètre de 25 mm , est de 0.2 kg /s , tandis que le débit

massique de l’huile, circulant dans une conduite de 45 mm , est de 0.1 kg/s . La

température en entrée de l’huile est de 100°C tandis que celle de l’eau est de

30 ° C . Quelle doit-être la longueur du tube pour obtenir une température en

sortie de l’huile de 60 ° C ?

Huile

Eau

TD #11.5

Un récupérateur de chaleur consiste à récupérer l’énergie d’un gaz chaud

T.D. no . 11.5




traversant un anneau par de l’eau pressurisé s’écoulant à l’intérieur d’un tube.L’eau circule à un débit massique de 0.161 kg /s et que le coefficient de

convection des gaz peut être estimé à 100 W/m 2 K . En considérant les données

géométriques données sur la figure, déterminez le coefficient global d’échange.

TD #11.20

TD #11.20

Considérez un échangeur de chaleur à tubes concentriques avec une aire de contact de50 m2 L’échangeur opère sous les conditions suivantes:




50 m . L échangeur opère sous les conditions suivantes:

1. Déterminez la température de sortie du fluide chaud.

2. Est-ce que l’échangeur opère en mode co-courant ou contre-courant?3. Calculez le coefficient de TDC global.

Fluide chaud Fluide Froid

C (capacitémassique)

6000 3000 W / K

Température entrée 60 30 ⁰C

Température sortie - 54 ⁰C

Méthode eps i lo n -NTU

Méthode epsilon-NTU

• La méthode LMTD peut être appliquée à des échangeurs de chaleur simples (co-




courant et contre-courant)

• La méthode LMTD peut être appliquée à des problèmes de design pour lesquelles lesdébits massiques ainsi que les températures d’entrée et minimalement une

température de sortie sont connues ;

• Dans le cas ou la méthode LMTD est utilisée dans des calculs de performances pourlesquelles les deux températures en sortie sont inconnues, la méthode devientcomplexe car la solution est itérative;

• Pour les deux types de problèmes (design ou performance), la méthode epsilon-NTUpeut être utilisée.


Méthode epsilon-NTU

Le transfert de chaleur maximal pouvant être transmis par un échangeur est:




L’efficacité d’un échangeur de chaleur est:

Le TDC d’un échangeur peut donc être déterminé par:

Pour un échangeur donné, il est possible de démontrer que:

où

NTU est un indicateur de la grosseur d’un échangeur (Number of Transfer Unit )

max min(11.18)

hi ciq C T T

max

(11.19)q

q

min(11.22) q= C

hi ciT T

min

max

(11.24) ,C

f NTU C

min

(11.24) NTU =UA

C


Calcul si epsilon est inconnu





Calcul si NTU est inconnu





Graphiques des relations epsilon - NTU




Exemple Exemple

Un échangeur de chaleur à contre courant réchauffe de l’eau de 20 ° C à 80 ° C .

Celle-ci circule avec un débit massique de 1.2 kg /s . Le chauffage provient




Ce e c c cu e a ec u déb t ass que de g /s e c au age p o e t

d’une source d’eau géothermale à un débit de 2 kg/s et à 160 ° C . Le diamètre

de la conduite est de 1.5 cm . et on peut considérer que c p = 4200 J/kg∙K pour

les deux fluides. Si le coefficient de transfert global est de 640 W/m 2∙K , on vous

demande de déterminer la température en sortie de l’eau de source

géothermale ainsi que la longueur de l’échangeur par:

a) La méthode LMTD;

b) La méthode ε-NTU.

Exemple

Exemple 11.3

Des gaz chaud entrent dans un échangeur de type cross-flow à 300 ° C et




en sortent à 100 ° C . Ceux-ci sont utilisés pour chauffer de l’eau de 35 à125 ° C circulant à un débit de 1.2 kg /s . Le coefficient global d’échange des

gaz est évalué à U h = 100 W/m 2 ∙K. Déterminez l’aire en contact requise

pour un tel type d’échangeur . Vous pouvez supposer que les gaz chaud

sont mélangés et que Cp,c = 4197 J/kg∙K .

Exemple

Exemple 11.4

Reprenons l’exemple précédent d’un échangeur de type cross-flow avec un2 2




coefficient évalué à U h = 100 W/m ∙K et une aire d’échange de A = 50.4 m L’eau entre toujours à un débit de 1.2 kg /s et une température de 35 ° C

mais un changement dans la fournaise fait en sorte que les gaz entrent

maintenant avec un débit de 1.5 kg /s et une température de 250 ° C .

Déterminer les nouvelles températures de sortie ainsi que le transfert de

chaleur (vous pouvez prendre les mêmes capacités thermiques que

l’exemple précédent pour les gaz et l’eau).

TD: 11.72

TD #11.72

Un échangeur de chaleur de type coques et tubes (une coquille et deux tubes)




g y ( )

est utilisé pour transférer la chaleur d’un mélange d’eau – éthylène glycol (côté

coquille) à de l’eau pure (côté tube) où la chaleur a été recueilli par un capteur

solaire. Les tubes ont un diamètre intérieur de 3.6 mm et extérieur de 3.8 mm .

Chacun des 100 tubes a une longueur de 0.8 m et le coefficient de convection

du mélange eau / éthylène glycol peut-être estimé à 11000 W/m 2∙K .

Pour des tubes en cuivre, calculez le TDC si le mélange a un débit massique

de 2.5 kg/s et une température en entrée de 80 ° C et l’eau pure a un débit

massique de 2.5 kg /s mais une température en entrée de 20 ° C. Déterminez

aussi les températures en sortie. Vous pouvez supposer une densité de 1040

kg/m 3 et une chaleur spécifique de 3660 J/kg∙K pour le mélange.

TD: 11.55



Tout corps émet des ondes électromagnétiques vers son

environnement.

Le rayonnement




• L’énergie est émise constamment et est reliée à l’activité moléculaire au

sein du corps

• L’échange de chaleur direct entre deux corps implique que les deux corps

se voient• Le bilan de l’échange sera non nul si les corps sont à des températures

différentes

• La puissance émise maximale est une fonction de la température ducorps

• Le rayonnement peut se propager dans le vide

Dépendance spectrale

Caractérisatio n du rayonnement




Rappel mathématique

Coordonnées sphériquesn




θ

dA1

ϕ

Rappel mathématiq ue, Ang le so lid e




L’intensité du rayonnement n

I,i

dAn




dA1

dω

mSr m

W

d dA

dq I i

..cos

),,(2

1

,

La puissance émissive hémisphérique E (W/m2):

La pu issance émiss ive




Dans le cas d’un émetteur DIFFUS (indépendant des angles) alors la

puissance émissive devient:

2

0

( ) W E E d m

2e

W E I

m

Une petite surface diffuse avec A1 = 10 -3 m2 possède une intensité totale associée àune émission dans la direction normale de I n = 7000 W/m2 *sr . Ce rayonnement émisest intercepté par trois autres surfaces d’aire A2 = A3 = A4 = 10 -3m2 , situé à 0.5 m de

A1 dont l’orientation est montrée sur la figure.

Exemple




1. Quelle est l’intensité associée à l’émission dans chacune des trois directions?

2. Quels sont les angles solides créés par ces surfaces lorsque vue de A1?

3. Quel est le taux auquel les radiations émises par A1 sont interceptés par les trois

autres surfaces ?

A2

A4

A3

A1

60°

45°

L’irradiation totale reçue G(W/m2) est:

Le rayonnement inc ident

( )W

G G d




Si l’irradiation reçu est diffuse (indépendante des angles):

et

2

0

( )G G d m

,( ) ( )iG I

iG I

Exemple La distribution spectrale d’une surface rayonnante est donnée par:




Qu’elle est l’irradiation totale ?

Le flux de radiosité est défini par tout le rayonnement quittant une surface(émis + réfléchi). La radiosité totale J [W/m2]:

Les Rad ios ités

W




Dans le cas d’un émetteur DIFFUS (indépendant des angles) ET d’unesurface réfléchissante DIFFUSE, alors:

2

0

( ) W J J d m

2e r

W J I

m

Le corps no ir

Pouvoir émissif du corps noir

)( 1CTE




1e),(

/51

,2

T C bC T E

K mC

mmW C

.10.439,1

/.10.742,3

4

2

248

1

Loi de Stefan-Boltzmann

K mW

T T E

d T E T E

b

bb

./10.670,5

)(

),()(

28

4

0,




Considérez un réservoir isothermal maintenu à une température uniforme de 2000 K :

1. Calculez la puissance émissive de l’irradiation quittant par une petite ouverture

d l é i

Exemple




dans le réservoir;

2. Quelle est la longueur d’onde pour laquelle 10 % des émissions de rayonnementsont concentrées sur des longueurs d’ondes inférieures ?

3. Quelle est la longueur d’onde pour laquelle 10 % des émissions de rayonnementsont concentrées sur des longueurs d’ondes supérieures ?

4. Déterminez la longueur d’onde associée à la puissance émissive maximale;

5. Quel est le rayonnement incident sur un petit objet placé dans le réservoir ?

Carac téris t iques de matériaux réels

Émissivité spectrale directionnelle

)()( TIT e




),(),,,(),,,(

,

,,

T I T I T

b

e

Émissivité spectrale hémisphérique

),(),(),(

, T E T E T

b

Émissivité totale :

)(

)()(

T E

T E T

b

Émiss iv iténormale des corps réels




Exemple Soit une surface diffuse à 1600 K dont l’émissivité hémisphérique est donné par legraphique ci-bas. Déterminez l’émissivité hémisphérique total et la puissanceémissive total de ce corps réel. Pour quelle longueur d’onde est-ce que lapuissance émissive sera maximum ?




Absorp tion , réflex ion , transm iss ion

, , ,r t aG G G G




Corps réel transparent ou semi-transparent

Absorp tion , réflex ion , transm iss ion

, ( )

( ) ( )

abs absG G

G G

ABSORPTIVITÉ




( ) ( )G G

, ( )( )

( )

tr tr G G

G G

, ( )( )

( )

ref ref G G

G G

RÉFLECTIVITÉ

TRANSMITIVITÉ

Exemple La distribution spectrale de l’absorptivité hémi-sphérique d’une surface opaqueainsi que la distribution spectrale de son rayonnement incident sont présentéesci-bas.

1 Dessinez le graphe de la distribution spectrale de la réflectivité hémisphérique




1. Dessinez le graphe de la distribution spectrale de la réflectivité hémisphérique;2. Calculez l’absorptivité hémisphérique total;

3. Si cette surface est initialement à 500 K et possède une émissivité hémisphériquede 0.8, comment sa température changera-t-elle sous une exposition aurayonnement incident ?

La Lo i de K irchho ff

Ts

Enclos à l’équilibre thermique

O C O




T s

T1

T4

T3

T2 LOI DE KIRCHHOFF

LE CORPS GRIS




Remarquez que :•le rayonnement incident et l’émissivité sontconcentrés dans une zone comprise entre λ1 et λ4.

•Sur cet intervalle, on a αλ=ελ.

Exemple Le mur d’une fournaise est fait de briques. Lorsqu’il est exposé à des charbons ardents à2000 K , sa température monte à 500 K . Le mur peut être considéré comme étant diffuset la distribution spectrale de l’émissivité est présentée ci-bas. Le charbon ardent peut-être considéré comme un corps noir et on peut supposer que la distribution spectrale du

rayonnement incident sur le mur est égal à la distribution spectrale de l’émissivité du




rayonnement incident sur le mur est égal à la distribution spectrale de l émissivité ducorps noir.1. Déterminez l’émissivité hémisphérique total ainsi que la puissance émissive du mur

de brique.2. Quel est l’absorptivité total du mur face au rayonnement incident du charbon ardent

?

Exemple Une petite sphère métallique possède un revêtement opaque et diffus pour lequel α λ

=

0.8 pour λ ≤ 5 et α λ = 0.1 pour λ > 5 . La sphère, qui est initialement à 300 K , estinsérée dans une fournaise dont les murs sont à 1200 K .

•Déterminez l’absorptivité et l’émissivité total pour la condition initiale et la




Déterminez l absorptivité et l émissivité total pour la condition initiale et lacondition en régime permanent.

Rayonnement solai re

Source de flux plane

Terre




Terre

Atmosphère

θ

n

Gs,o=Sc . cos θ

Sc ~ 1353 W/m2

Rayonnement solai re




T.D. no 12.4 Une fournaise, possédant une ouverture de 20 mm de diamètre et une puissanceémissive de 3.72 X 105 W/m2 est utilisé pour calibrer un capteur de flux de chaleur ayantune aire de 1.6 X 10-5 m2.

•À quelle distance, mesuré le long de la normal de l’ouverture, doit être placé le

senseur pour recevoir une irradiation de 1000 W/m2 ?




senseur pour recevoir une irradiation de 1000 W/m ?•Si le senseur est incliné de 20° , quel sera alors son irradiation ?

T.D. no 12.20 Le rayonnement solaire incident à la couche externe de l’atmosphère a été mesuré avecprécision et correspond à 1353 W/m2. Les diamètres respectifs du soleil et de la terresont de 1.39 X 109 et 1.29 x 107 m, respectivement. La distance entre la terre et le soleilest de 1.5 X 1011 m.




1. Quelle est la puissance émissive du soleil ?2. En émettant l’hypothèse que le soleil est un corps noir, quelle est sa

température ?3. Quelle est la longueur d’onde pour laquelle la puissance émissive spectrale est

maximale ?4. En émettant l’hypothèse que la terre est un corps noir et que sa seule source

d’énergie provient du soleil, estimez sa température de surface.

T.D. no 12.44 Un petit objet opaque et diffus à une température de 400 K est suspendu dans une largefournaise dont les murs intérieurs sont à 2000 K . Les murs sont diffus et approximent lecomportement d’un corps gris. De plus, ils ont une émissivité de 0.20. La distributionspectrale de l’émissivité du petit objet est présentée ci-bas.




1. Déterminez l’émissivité et l’absorptivité de l’objet;2. Évaluez le flux réfléchis par l’objet ainsi que le flux net à la surface;3. Quel est la puissance émissive spectrale pour une longueur d’onde de 2 um ?4. Pour quelle longueur d’onde retrouve-t-on la moitié du rayonnement total émis

par l’objet ?

CHAPITRE 13

É h di if l




Échange radiatif entre lessurfaces

Facteur de forme: relations tabulées



Su rfaces composées




( )

1

N

i i j i ik

k

A F A F

( )

1

N

j j i k ki

k

A F A F

Par réciprocité:

1( )

1

N

k ki

k j i N

k

k

A F

F

A

Exemples




Pour le numéro b), trouvez F12 et F21 seulement

Échanges radiat i fs dans une enceinte c lose

Par hypothèse, nous assumons que chaque surface est:

•Isotherme;

•Possède une radiosité et un rayonnement incident uniforme sur la

toute sa surface;




;

•Opaque, diffuse et grise

De plus, on assumera que le medium est non-participant.

( )i i i iq A J G

,

( )

1 /

b i i

i

i i i

E J

q A


,

( )

1 /

b i i

i

i i i

E J q

A

1

1 ( )

N i j

i

j i ij

J J q

A F




,

11

( )

1 / ( )

N i jb i i

ji i i i ij

J J E J

A A F

Utiliser si la température est

connue !

11 ( )

N i j

i j i ij

J J q

A F

Utiliser si le TDC est connu




Exemple

Une fournaise cylindrique de 75 mm de diamètre et d’une hauteur de 150 mm

est ouverte à une extrémité à un environnement ambiant de 27 °C . Les côtés

et le bas peuvent être considérés comme corps noirs et sont chauffés

électriquement à des températures de 1350 et 1650 °C respectivement. Quelest la puissance électrique requise pour maintenir ces conditions ?




est la puissance électrique requise pour maintenir ces conditions ?

Écran ant i-rayonnement




Échange mu lt i-modes




Exemple Considérer un réchauffeur d’air de la forme d’un tube semi-circulaire

pour laquelle la surface plane est maintenu à 1000 K et l’autre surface

est bien isolé. Le rayon du tube est de 20 mm, et les deux surfaces

possèdent une émissivité de 0.8 . Si de l’air circule à un débit de 0.01

kg/s et T m = 400 K , quel est le TDC par unité de longueur requis pour




maintenir la température de 1000 K ? Quelle est la température de la

surface isolée ?

T.D.13.21 Considérez deux disques coaxiaux séparés par une distance de 0.20 m.

Le disque du bas, ayant un diamètre de 0.40 m, est maintenu à 500 K

dans un environnement à 300 K . Quel température le disque du haut,

d’undiamètre de

0.20 m, va-t-il atteindre si on fournit

17.5 W depuissance au disque du bas ?




p q

TD 13.53 Deux sphères concentriques de diamètre D1 = 0.8 m et D2 = 1.2 m on

des températures de surfaces de T1 = 400 K et T2 = 300 K:

1. Si les surfaces sont noires, quel est le TDC entre les deux

sphères ?




p

2. Si les surfaces sont grises et diffuses avec des émissivités de 0.5

(pour la première) et de 0.05 pour la deuxième, quel est

maintenant le TDC ?

T.D.: 13.93 –

Étude de cas La plupart des architectes savent que le plafond d’un aréna doit avoir la

propriété d’être réflecteur car, sinon, de la condensation peut se produire sur

le plafond et des goutelletes d’eau peuvent tomber sur la patinoire, dégradant

ainsi son état. Considérez une patinoire circulaire de 50 m de diamètre et

dont le plafond est situé à L = 10 m. La température de la glace est de -5 °C




tandis que les murs sont à 15 °C . La température ambiante est à 15 °C et l’air

possède un coefficient de convection de 5 W/m2 K (agissant sur le plafond).

L’épaisseur du plafond est de 0.3 m et sa conductivité thermique est de 0.035

W/mK. La température extérieure est estimée à -5 °C . Vous pouvez émettre

l’hypothèse que le plafond est une surface grise diffuse et que les murs et lapatinoire ont le comportement d’un corps noir.

• Pour un plafond ayant une émissivité de 0.05 (CAS A), établissez un

bilan au plafond pour calculer sa température;

• Refaites vos calculs pour une émissivité de 0.94;

• Si l’humidité relative de l’aréna est de 70%, est-ce que de la

condensation va arriver dans une ou l’autre des deux situations ?

T.D.: 13.93 –

Étude de cas - SUITE

transmission de chaleur

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