tp n°4 contrôle numérique du pendule inversé · tp n°4 contrôle numérique du pendule...
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BUT
Etude d’une loi de commande simplifiée permettant de maintenir le pendule inversé à
la verticale tout en maîtrisant la position de sa masse d’extrémité.
Le travail théorique de préparation
à effectuer avant la séance de manipulation
TP N°4
Contrôle numérique du pendule inversé
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1 – PRESENTATION du PENDULE INVERSE
Le pendule inversé est construit à partir d'un balancier constitué par une masse à
l'extrémité d'une tige que l'on installe sur un chariot mobile. Dans notre application, le
chariot se déplace en translation sur un rail.
Le balancier est relié au chariot par une articulation à un degré de liberté qui lui
permet une rotation dans le sens de déplacement du chariot.
Le pendule est dit inversé car la masse du balancier est au dessus du chariot.
LIAISON
PIVOT SERVO
MOTEUR
COURROIE CRANTEE
PENDULE
f(t)
x(t)
y(t) G
v(t)
(t)
+X
Z
-X 0
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2 - OBJECTIF de la COMMANDE
Maintenir la tige du balancier verticale (t) = 0 tout en maîtrisant la positon y(t) de
sa masse d'extrémité en appliquant une force f(t) pour déplacer le chariot.
Ce système intrinsèquement instable est l'illustration du problème de balistique que
rencontre une fusée constamment perturbée par son système de propulsion, les
changements de gravité, le vent...On maintient son équilibre et on corrige sa course
par action sur ses déflecteurs latéraux.
3- HYPOTHESES et NOTATIONS
Le balancier est supposé être une masse ponctuelle m ramené au centre de gravité G
et animée d'une vitesse v(t).
Les coordonnées du centre de gravité G sont notées xG et zG.
La tige de longueur l est sans masse (l= 0.2 m).
M est la masse du chariot.
g est l'accélération de la pesanteur (g = 9.81 Kg.m2).
4 – MODELE LINEARISE du PENDULE INVERSE
La position de la masse du Pendule y , la position du chariot x , et l’angle établi par la
tige du Pendule θ, sont liés par une équation : y x l sin θ (équation 1).
La hauteur de la masse du Pendule : z = l cosθ (équation 2).
4-1 Donner les équations qui régissent le comportement dynamique du
système en appliquant la relation fondamentale de la dynamique sur les deux axes
(O,X) et (O,Z).
4-2 Les équations [1], [2] et celles obtenues en 4-1 sont non linéaires.
On pose comme hypothèse pour linéariser ces équations que lorsque le pendule est
commandé, le balancier ne s'écarte que peu de sa position verticale :
= sin = , cos = 1.
4-3 Ecrire les équations linéarisées. Montrer que le système Pendule inversé
est décrit par les équations différentielles suivantes :
(équation3)
(équation 4)
4-4 Montrer que le modèle linéarisé du pendule peut se mettre sous la forme :
tfbbx
tfaa
21
21
avec : .1
et ,1
, 2121M
bM
mgb
lMa
l
ga
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4-5 En éliminant f(t) entre ces deux dernières équations, calculer la fonction
de transfert du balancier pX
ppGb
)( , la mettre sous la forme
1
)(
2
2
2
n
bp
pK
pX
ppG
. Avec .1et
1
1 2
n
M
m
l
gw
M
mg
K
4-6 A partir de y = x + l et de la fonction de transfert Gb(p), montrer que la
fonction de transfert du pendule Gp(p)=
2
2
1
1
nw
ppX
pY
que l'on mettra sous la forme
Gp(p)= pppX
pY
bb
11
1. Donner la valeur numérique de b.
Après simplification le schéma fonctionnel définitif du système asservi (en boucle
fermée) se met sous la forme suivante :
(t)
+ _
ycon(t) ymes(t) correcteur pp bb 11
1
u(t)
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TRAVAIL de MANIPULATION
1- Introduction Le système PENDULUM est constitué de deux modules connectés par un câble : La
partie opérative, soit un chariot mobile instrumenté, et la platine de contrôle.
La partie opérative est constituée d’un chariot supportant une tige sur laquelle est fixé
une masse. Ces éléments sont guidés sur un rail de 500 mm de long, par un
motoréducteur et une courroie crantée. Le motoréducteur est accouplé à un
tachymètre. Lorsque la masse est tenue en équilibre au-dessus du chariot, le système
est alors appelé pendule inversé. Lorsque l’on retourne le système, la tige et la masse
représentent alors un système comparable à celui d.une grue. Dans les deux cas, le
pendule, dans son comportement, allie la combinaison de caractéristiques linéaires et
oscillantes. Lorsque le pendule est en mode inversé, les deux caractéristiques sont
combinées et le comportement du système est mieux étudié à travers l’étude de la
position de la masse sur la tige. Lorsque le pendule est retourné, ces deux
caractéristiques sont séparées et le comportement du système est mieux étudié à
travers l’étude de la position du chariot et de l’angle de la tige. La position du chariot
et le comportement de l’ensemble tige/masse sont mesurés à l’aide de capteurs. La
position de la masse sur la tige est calculée par le logiciel.
La platine de contrôle comprend un schéma fonctionnel clair sérigraphié sur le dessus
de la platine. Les connexions sur la platine des signaux de contrôle/mesure sont
facilement accessibles via des douilles 4mm de couleurs. Le code utilisé pour les
couleurs est le suivant :
- Connecteurs Rouges : entrées ou sorties analogiques.
- Connecteurs Bleus : Points de mesures des capteurs.
- Connecteurs Jaunes : Connexion des composants analogiques de
compensation.
- Connecteurs Verts: Masse.
Le PENDULUM peut être contrôlé de deux façons différentes : en contrôle
analogique en étant relié à son module de contrôle, ou en contrôle numérique en étant
alors relié à un ordinateur. Ces deux modes de contrôles sont indépendants l’un de
l’autre. Pour commencer, nous recommandons de démarrer avec le contrôle
analogique, afin de se familiariser avec la compréhension des problèmes d’instabilité
du système.
2- Utilisation du PENDULUM en contrôle analogique
La procédure décrite ci-dessous permet une mise en route rapide du pendule, avec un
contrôle de position linéaire, puis en tant que système de pendule inversé instable.
1. Positionner le système sur une table avec la partie opérative en position pendule
inversé (c’est à dire le chariot au-dessus du rail et le motoréducteur sur la droite).
2. Positionner le curseur de consigne du chariot sur la position centrale (0V).
3. Avec un cordon 4mm, raccorder le « Set Point » (consigne) sur l’amplificateur du
motoréducteur.
4. Mettre le système sous tension.
5. Le système est maintenant configuré en contrôle de la position linéaire. La position
du curseur du potentiomètre de consigne va déterminer la position du chariot sur l’axe
x.
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6. Pour optimiser le contrôle de la position, le gain de l’amplificateur et le temps de
réaction du système doivent être étalonnés. Valeurs approximatives pour avoir le
système fonctionnel sont du maximum pour le gain du motoréducteur et des trois
quarts maximum pour le temps de réaction du système.
7. Maintenant, le système est opérationnel et le balancement du pendule peut
commencer. Déconnecter l’entrée du motoréducteur du point de consigne, et
connecter temporairement cette entrée à la masse GND pour limiter les perturbations
dans le signal.
8. Afin de trouver le point d’équilibre du pendule, les variables « a », le gain et la
compensation doivent toutes être calculées. Les valeurs approximatives du système
sont :
a) La masse est positionnée en haut de la tige (à régler avec le rail de réglage fourni
avec le pendule).
b) Régler « a » à 2,7.
c) Régler le gain à 1,2.
d) Commuter le gain en négatif.
e) Pour permettre une mise en route rapide, les composants pré calculés sont fournis
avec le PENDULUM.
Positionner soigneusement ces platines dans les douilles 4mm jaunes.
9. Maintenir la masse à la verticale, au-dessus du chariot. Connecter la sortie du
contrôleur à l’entrée du motoréducteur, à l’aide des douilles 4mm. Puis, doucement
libérer la masse : le pendule doit être en équilibre au dessus du chariot.
10 a) Donnez de petits à-coups manuellement sur la masse et constatez l’effet de
compensation du pendule, qui retrouve son équilibre au-dessus du chariot.
b) Essayez d’ajuster le gain dans une valeur allant de 0 à 3; et trouvez quel est son
effet sur la compensation, et le balancement du pendule.
Si le pendule n’est pas en équilibre avec les valeurs indiquées, remonter doucement la
masse dans une position légèrement plus élevée. La compensation devrait être
meilleure. Si non, vérifier toutes les connexions et les réglages, spécifiquement ceux
du compensateur, comme indiqué sur la Figure 2.
Cette application permet simplement d’avoir une première approche rapide de
l’utilisation du PENDULUM en utilisant la platine de contrôle analogique.
3- Contrôle numérique du Pendule en « Balancier »
3-1 Appareillage
Pour la réalisation de ce TP, le matériel nécessaire est : le PENDULUM et sa platine
de contrôle analogique, le logiciel du PENDULUM, et la carte d’acquisition sur slot
PCI.
3-2 DESCRIPTION de l’ARCHITECTURE INFORMATIQUE
Un calculateur P.C. équipé d’une carte d’E/S analogique pilote le pendule.
Par l’intermédiaire du C.A.N. le calculateur reçoit à chaque période d’échantillonnage
les échantillons ymes(kT).de ymes(t).
Par l’intermédiaire du C.N.A. le calculateur renvoie, à ces mêmes instants, la
commande u(kT) image de la position x(t) du chariot. Cette commande est constante
pendant la durée de la période d’échantillonnage.
Un logiciel de commande en temps réel de processus permet à l’utilisateur de rentrer
le correcteur numérique C(z).
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Ce logiciel calcule à chaque période d’échantillonnage l’équation récurrente associée
à C(z) et assure la gestion de la consigne ainsi que la visualisation des signaux
d’entrée/sortie.
Compte tenu de cet environnement informatique, on adapte le schéma fonctionnel
analogique précédent.
4 – CHOIX de la PERIODE d’ECHANTILLONNAGE
Le calculateur commande l’actionneur du pendule qui est le moteur du chariot asservi
en position.
Cet asservissement a été identifié avec une pulsation 0c d’environ 60 rds/s.
Cette pulsation est la plus grande pulsation identifiée sur le système.
En appliquant le théorème de Shannon on fixe ech = 2 x 0c = 120 rds/s.
La valeur normalisée la plus proche imposée par le logiciel pour la période
d’échantillonnage est T = 0.055s.
5 – PRINCIPE de MISE en ŒUVRE du CORRECTEUR NUMERIQUE
On souhaite imposé au système un comportement dynamique en boucle fermée
équivalent à une fonction de transfert )z(y
)z(y)z(F
con
mes .
Avec : .
5-1 Calculer C(z) en fonction de F(z) et Gp(z), d’après le schéma fonctionnel
représenté ci-dessus.
On donne
21
21
211
zz
z
zG p avec bτ
T
1 eλ
et bτ
T
2 eλ , on prend la valeur
de la pulsation naturel :
.
5-2 Faire l’application numérique pour Gp(z), remarquer le pôle instable.
(t)
+ _
ycon(t) ymes(t) C(z) p1p1
1
bb
u(t) B0 T T
CALCULATEUR P.C.
F(z) ycon(z) ymes(z)
ycon(z) (z)
+ _
ymes(z) C(z) zGP
u(z)
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Le modèle simplifié du pendule étant du 2ième
ordre, il est possible d’imposer un
comportement en boucle fermée correspondant à une fonction de transfert F(z) du
2ième
ordre.
Des essais montrent que cela produit des oscillations violentes sur le système
impossibles à contrôler.
Compte tenu de ces phénomènes, on impose un comportement en boucle fermée
correspondant à une fonction de transfert
DF3DF2DF1 zzzzzz
zN)z(F
du 3
ième
ordre.
Pour simplifier les calculs, on choisit un pôle triple
3DFzz
zN)z(F
.
On place le pôle triple pour qu’il corresponde dans le domaine temporel à une
constante de temps F = 0.25 s.
5-3 Calculer la valeur du pôle pF associé à F.
Un système continu avec un pôle pF à les mêmes caractéristiques dynamiques qu’un
système échantillonné avec un pôle Tp
DFFez .
5-4 Calculer zDF.
6 – CALCUL de C(z)
On souhaite que le système en boucle fermée ne présente pas d’erreur statique :
(kT) = 0 pour k >>0.
6-1 En appliquant le théorème de la valeur finale, montrer que l’on arrive à la
condition F(1) = 1.
En reprenant la formule donnant C(z), on s’aperçoit que la stabilité du correcteur
impose : - que (1-F(z)) ait un zéro qui compense le pôle instable de Gp(z),
- que F(z) ait un zéro qui compense le pôle sur le cercle unité.
On en déduit
3DF
NF
zz
zz1zzF
6-2 En calculant (1-F(z)) et en mettant à profit l’ensemble des conditions
précédentes, trouver et zNF.
6-3 Mettre (1-F(z)) sous la forme de produits de facteurs.
6-4 En déduire C(z) que l’on mettra sous la forme
DC
NC2NC1
zz1z
zzzzkzC
.
7 – REGLAGE du PUPITRE ANALOGIQUE
Régler sur le pupitre les potentiomètres «gain» et «vitesse» de l’asservissement du
chariot aux valeurs optimales suivantes G=1.2 (commuter le gain en négatif) et le
potentiomètre «a» à la valeur 2.7.
Relier la masse du bornier d’entrée/sortie analogique du P.C.(borne noire) à la masse
du pupitre (borne verte).
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Relier l’entrée du C.A.N.(borne verte du bornier d’entrée / sortie du P.C.) à la mesure
de y (borne«y» du pupitre).
Relier la sortie du C.N.A.(borne rouge du bornier d’entrée / sortie du P.C.) à l’entrée
de consigne de l’asservissement du chariot(borne «E» du pupitre).
8 – PRESENTATION du LOGICIEL de COMMANDE en TEMPS REEL
Mettre en marche le calculateur, le chariot part en butée à droite.
Taper «victor» à l’invite du D.O.S. Après les initialisations, l’écran de contrôle
apparaît.
Pour que l’environnement de travail soit associé à la carte d’E/S analogique,
sélectionner par «F4» «Change to external», valider par «Entrée».
8-1 L’oscilloscope intégré
Sur son écran, on remarque 3 traces :
- la trace rouge qui correspond à la mesure y(t),
- la trace verte qui correspond à la commande u(t) envoyée au chariot,
- la trace bleue qui correspond à la consigne lorsque l’asservissement est en boucle
fermée.
L’abscisse de l’écran est graduée en temps (seconde par carreau).
L’ordonnée de l’écran est graduée en %. Les valeurs par défaut à l’initialisation sont
définies comme suit :
0% correspond à –10V sur le C.A.N. d’entrée
50% correspond à 0V ou
100% correspond à +10V sur le C.N.A. de sortie
8-2 Les principales commandes
8-2-1 Choix de la période d’échantillonnage
Sélectionner par «F3» «Sample time».
Rentrer 0.055 pour la période d'échantillonnage, valider par «Entrée».
Sortir du menu par «Esc», une fenêtre apparaît :
«Sample time changed, clear recorder buffer ?», taper «Y».
8-2-2 Changement des paramètres d’enregistrement
Sélectionner par «F6» «Recorder».
Choisir une «duration» de 10s.
Mettre «graticule» sur «Off»
Sortir du menu par «Esc»
8-2-3 Gestion des signaux de consigne et de commande
La touche «U» du clavier fixe le point de fonctionnement de la commande.
La séquence «U» «50» «Entrée» met le chariot au milieu de sa course, c’est le point
de fonctionnement choisi.
La touche «S» du clavier fixe le point de fonctionnement de la consigne.
La séquence «S» «50» «Entrée» met la consigne au même niveau que la commande.
A ce stade, en manoeuvrant le balancier à la main, la trace rouge évolue autour de ce
point de fonctionnement.
La touche «X» du clavier définit la nature du signal d’excitation.
Par exemple une sinusoïde d’amplitude 5 volts à la pulsation de 10 rds/s est générée
par la séquence «X» «12.5*sin(10*t)» «Entrée».
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La touche «G» du clavier rend active l’excitation, un nouvel appui sur «G» la
désactive.
8-2-4 Gestion de l’enregistrement
La touche «F» du clavier fige le balayage, un nouvel appui sur «F» le relance.
La combinaison «Alt + D» recopie l’écran sur l’imprimante laser du poste de
manipulation.
8-3 Choix du correcteur
Le logiciel propose deux types de correcteurs :
- un P.I.D. numérique,
- un filtre numérique défini par une fraction rationnelle en z.
Sélectionner par «F3» «Change to DDC», valider par «Entrée».
Le tableau suivant apparaît en bas à gauche de l'écran.
Taper «N», rentrer le numérateur sous la forme – k(z-z1NC)(z-z2NC)
Taper «D», rentrer le dénominateur sous la forme (z-1)(z-zDC)
8-4 Boucle Ouverte, Boucle Fermée
La touche «M» du clavier permet d’activer le mode Boucle Ouverte.
La touche «A» du clavier permet d’activer le mode Boucle Fermée.
Maintenir à la main le balancier vertical et appuyer sur «A», le pendule doit trouver
son équilibre sur le point de fonctionnement au milieu de la course.
9 – COMPORTEMENT DYNAMIQUE de l’ASSERVISSEMENT
9-1 Réponse indicielle
Taper «X» «-5» «Entrée», la consigne est alors définie comme un échelon de
–5% déduit sur la valeur du point de fonctionnement.
Taper «G» pour rendre effective cette variation puis à nouveau «G» pour l’annuler.
Taper «F» pour arrêter le balayage lorsque la réponse est satisfaisante (en tapant à
nouveau sur «F», on redémarre le balayage).
Taper «Alt+D» pour recopier l’écran sur l’imprimante du poste de manipulation.
9-2 Réponse à une perturbation du balancier
Reprendre la procédure du paragraphe 9-1, sans variation de consigne en perturbant à
la main, l’équilibre du balancier.
N
D K
Gc(z)=1
1.00
Num
Den
Gain
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9-3 Suivi de Trajectoire
Reprendre la procédure du paragraphe 9-1, avec les paramètres suivants :
- 30s comme durée d’enregistrement du «RECORDER»,
- «X» «20*triwave(2*pi*0.04*t)» «Entrée».
9-4 Interprétation des résultats
Analyser sur les différents enregistrements le mouvement du chariot et celui du
balancier dans sa recherche de l’équilibre en comparaison avec le cahier des charges
imposé.
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Annexe 1
Spécifications techniques
Alimentations 110V ac ou 220-240V ac, sélection par switch.
Fusibles 2 Fusibles principaux de 5Amp
2 Fusibles de sécurité de 250Ma
Alimentations internes
±20V dc non régulée
±15V dc Régulée ±4%
±10V dc Régulée
Motoréducteur avec Tachymètre intégré
Tension d.alimentation nominale 24V dc
Couple continu maximum 14Ncm
Couple nominal de démarrage 36Ncm
Tension constante du moteur 10.3V/1000rpm
Couple constant du moteur 9Ncm/A
Temps mécanique constant 20ms
Inertie du rotor 214gcm²
Inductance du moteur 5mH
Inertie de l.ensemble Tachymètre 10.5gcm²
Amplificateur
Burr Brown OPA541AP avec courant interne de limite réglé à 2.0 Ampères.
Courroie crantée
Largeur 10mm hauteur 5 mm . longueur 1300mm en Kevlar Tressé
Tension de la courroie
Ajustée par rotation du moteur
Angle thêta mesuré en utilisant un capteur angulaire de 5K
Position X mesurée en utilisant un potentiomètre multi tours de 5K
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Annexe 2
Recopie d'un écran graphique sur imprimante
Appuyer sur la touche "Print Screen" (contenu de l'écran dans le "Presse Papier").
Par les touches "Alt+Tab" quitter le logiciel en cours et revenir à Windows.
Exécuter le logiciel "Paint" en enchaînant la séquence :
Edition Coller (contenu du "Presse Papier" dans l'écran de "Paint")
Image Inverser les couleurs (si nécessaire)
Fichier Mise en page Paysage
Fichier Imprimer
Quitter "Paint" sans enregistrer le fichier.
Rappeler le logiciel de départ qui est toujours actif en cliquant sur son nom dans le
cadre du bas de l'écran.
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Annexe 3
Transformée en z
f(t) F(p) F(z)
δ(t) 1 1
δ(t-nT) pTne nz
u(t) p
1
1z
z
t 2
1
p
2)1( z
Tz
2
!2
1t 3
1
p
3
2
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z
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