tout de sismique refrac

7/28/2019 Tout de Sismique Refrac

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Chapitre 2

Prospection sismique

La prospection sismique est basee sur la propagation des ondes elastiques dans le sous-sol.Nous avons indique dans la section precedente que lon sinteressait essentiellement aux ondesde volume, a savoir les ondes de dilatation-compression (ondes P) et de cisaillement (ondesS).

Vous avez vu lors de notre sortie de terrain comment on met en oeuvre la prospectionsismique. On provoque un impact avec une source (e.g. un fusil ou un coup de masse) et lesondes sismiques qui sont generees par la source se propagent dans le sous-sol. Lorsquellesarrivent sur un interface entre deux couches de vitesses differentes, une partie des ondes sontreflechies vers la surface, lautre partie etant transmise dans les couches plus profondes.

Les angles dincidence, de reflexion et de transmission sont relies par le parametre de

rai, p, qui est constant pour chaque rayon

p =sin i

Vi=

sin rVr

=sin t

Vt

ou i,r,t et Vi,r,t sont les angles et les vitesses dans les milieux incident, reflechi etrefracte.

Nous nous interesserons ici dans un premier temps aux ondes reflechies, puis aux ondestransmises.

2.1 Sismique-reflexion

Soit une onde sismique emanant dune source S et incidente sur un interface entre deuxmilieux de vitesses constantes V1 et V2. La couche de vitesse V1 a une epaisseur h. Londereflechie est enregistree par un recepteur (i.e. un geophone ou un hydrophone) a une distancex de la source (cf. Figure 2.1).

Nous allons resoudre ce probleme en se basant sur la theorie des rais, ce qui a pouravantage de ramener ces problemes a de simples questions de geometrie. Notez que les raisnont pas dexistence physique: ce nest pas le passage dun rai quon enregistre avec ungeophone, mais bien celui dun front donde. On peut bien sur resoudre ces problemes enfaisant appel a des fronts donde, mais le formalisme est plus complique.

Nous allons chercher a calculer le temps de parcours aller-retour entre la source et lerecepteur. Pour ce faire, comme la vitesse est constante dans la couche, on na qua prendre


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Figure 2.1: Geometrie pour le probleme de la sismique-reflexion. S: source, R: recepteur.

la distance parcourue que lon divise par la vitesse. Suivant la Figure 2.1, on trouve quecette distance est donnee par

d = 2

x

2

2

+ h2 =

x2 + 4h2

donc le temps de parcours est

t = 1V1

x2 + 4h2

t2 =

x

V1

2

+

2h

V1

2

Cette courbe decrivant la relation entre le temps de parcours et la distance source-recepteur est connue sous le nom dhodochrone. Lhodochrone caracteristique dune ondereflechie est une hyperbole, i.e. si vous apercevez une hyperbole sur un tir sismique, vousavez affaire a une onde reflechie.

On remarque que seul le premier terme depend de la distance x. Le second termene depend que des parametres de la couche: il sagit en fait du temps aller-retour entre lasurface et le bas de la couche defini par t0 = 2h/V1. Notre hodochrone devient donc:

t2 =

x

V1

2

+ t20

Le cas dune couche plane est relativement simple. Que se passe-t-il si on est en presencedune une couche pentee? La geometrie du probleme est presentee sur la Figure 2.2. Onremarque que dans ce cas le point de reflexion (Q) nest pas exactement a mi-chemin entrela source et le recepteur.

Pour resoudre ce probleme, on procede comme dans le cas precedent, cest-a-dire quondetermine la distance parcourue que lon divise par la vitesse du milieu. Pour se faciliter les


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Figure 2.2: Geometrie pour le probleme de la sismique-reflexion pour une couche penteedun angle .

choses, on tourne le parcours SQ par rapport au plan reflecteur: le trajet total est alors du

croisement des deux lignes pointillees (P) au point R.On trouve cette distance PR en applicant la Loi des Cosinus, car le triangle SPR necontient pas dangle droit.

(P R)2 = d2 = x2 + (2h)2 4hx cos(/2 + )

d2 = x2 + 4h2 + 4hx sin

d2 = x2 + 4hx sin + 4h2 sin2 + 4h2 cos2

d2 = (x + 2h sin )2 + (2h cos )2

dou on tire le temps de parcours

t2 =

x + 2h sin

V1

2

+

2h cos

V1

2

On voit que lhodochrone decrit encore une hyperbole. Regardons le second terme:comme dans le cas precedent, il ne depend pas de x. On voit quen fait ce terme nest autreque le t0 du cas precedent divise par cos ; autrement dit, il sagit du t0 pour une vitesse depropagation Vv = V1/ cos . Vv est la vitesse apparente verticale plus elevee que V1.

Lanalyse dune hodochrone nous donne donc des informations sur la vitesse de lacouche (qui controle sa courbure) et sur son epaisseur. Mais nous avons vu lors du campde terrain que les signaux sismiques etaient de plus ou moins grande amplitude. Peut-onutiliser celle-ci pour en savoir un peu plus?


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Lamplitude dune onde reflechie depend essentiellement du contraste dimpedance en-tre les deux milieux. Limpedance est definie comme le produit de la vitesse et de la densiteZ = V. Le coefficient de reflexion R, pour une onde incidente normalement sur un interfaceest donne par

R =Z2 Z1Z2 + Z1

=2V2 1V12V2 + 1V1

donc, plus la difference entre deux milieux est grande, plus R sera important. Notezaussi que R est positif dun milieu lent vers un milieu rapide et vice-versa.

2.2 Sismique-refraction

Regardons maintenant ce qui se passe dans la couche de vitesse V2. Nous avons vu plushaut que le parametre de rai p est constant. Donc, la trajectoire du rai dans le milieu 2 estdonnee par

sin t =Vt sin i

Vi

On voit donc que si Vt > Vi, le rai sera plus eloigne de la normale dans le milieu 2 quedans le milieu 1. On peut meme imaginer un cas pour lequel sin t = 1, soit t = /2. Cecas se produira quand

sin i = Vi

Vt= sin c

ou c est langle critique, cest-a-dire langle pour lequel le rai se propage le long delinterface dans le milieu 2. On parle donde refractee critiquement ou donde conique.

Figure 2.3: Geometrie pour le probleme de la sismique-refraction.

Nous allons calculer lhodochrone pour une onde conique se propageant le long duninterface plan (cf. Figure 2.3). Notre approche sera de diviser pour regner, i.e. nousregarderons les trajets dans les couches 1 et 2 separement.


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Dans la couche 1, le trajet est

d = SP + QR

d =2h

cos c

donc le temps de parcours est

t1 =d

V1=

2h

V1 cos c

Dans la couche 2, le trajet est

d = P Q

d = x 2h tan c

t2 =x 2h tan c

V2

Combinons les deux temps pour trouver le temps total t

t = t1 + t2

t =2h

V1 cos c+

x 2h tan cV2

t =x

V2+

2h

V1 cos c

1

V1 sin cV2

mais V1/V2 = sin c, dou

t =x

V2+

2h cos cV1

t =x

V2+

2h

V1

1 V1V2

2

On voit quici, lhodochrone est une simple droite de pente 1/V2 et dont lordonneea lorigine ne depend que de lepaisseur de la couche et des vitesses de part et dautre delinterface.

Nous pouvons generaliser cette relation pour un milieu a N vitesses (on ne fera pas lademonstration ici):

tN =x

VN +

N1i=1

2hiVi

1 Vi

VN2


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Figure 2.4: Geometrie pour le probleme de la sismique-refraction.

ou tN est londe conique se propageant a linterface au-dessus de la couche N, i.e.linterface le plus profond. Si on sinteresse a un interface moins profond, on na qua choisirun N immediatement superieur a linterface desiree.

Comme pour le cas de la reflexion, il est souhaitable de calculer lhodochrone pour uninterface pente. La geometrie de ce probleme est donnee dans la Figure 2.4.

Comme dans le cas precedent, divisons pour regner. Le temps de parcours total est lasomme des temps dans chaque milieu. Selon la Figure 2.4,

t = SP + QRV1+ P QV2

SP =Zh

cos c

QR =Zb

cos c

P Q = x cos (Zh + Zb)tan c

t =Zh + ZbV1 cos c

+x cos

V2

(Zh + Zb)tan cV2

t =x cos

V2+

Zh + ZbV1 cos c

1

V1 sin cV2

mais V1/V2 = sin c, dou

t =x cos

V2+

Zh + ZbV1 cos c

1 sin2 c

t = x cos V2+ Zh + ZbV1

cos c


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Nous voici donc confrontes a deux cas de figure: soit le tir est realise de S vers R (tirdirect) ou de R vers S (tir inverse). Determinons les hodochrones pour ces deux cas.

i. Tir en S. On tire alors vers le bas de la pente. Comme on sait que Zh et Zb sontrelies par x et , on va eliminer Zb en utilisant la relation Zb = Zh + x sin

tSR =x cos

V2+

2ZhV1

cos c +x sin

V1cos c

mais sin c = V1/V2 donc

x cos

V2=

x sin c cos

V1

substituons

tSR = xV1

(sin c cos + cos c sin ) + 2Zh

V1cos c

tSR =x

V1sin(c + ) +

2ZhV1

cos c

ii. Tir en R. On tire alors vers le haut de la pente. On elimine Zh en utilisant larelation Zh = Zb x sin . En suivant le meme raisonnement, on retouve

tRS =x cos

V2+

2ZbV1

cos c x sin

V1cos c

tRS =x

V1(sin c cos

cos c sin ) +2Zb

V1cos c

tRS =x

V1sin(c ) +

2ZbV1

cos c

Dans les deux cas, on remarque que lhodochrone est une droite, mais les pentes (i.e.les vitesses) sont differentes

VSR =V1

sin(c + )VRS =

V1sin(c )

Ces vitesses apparentes nous permettent de determiner, sans aucun calcul, ou sont lehaut et le bas de la pente de linterface. En effet, comme c et sont des nombre positifs,

on sait que c + > c et donc que VSR < VRS. Le tir a la vitesse apparente la pluselevee est au-dessus du bas de la pente. Mais on peut aller plus loin et determiner les deuxangles c et a partir de ces vitesses apparentes

c =1

2

arcsin

V1

VSR

+ arcsin

V1

VRS

=1

2

arcsin

V1

VSR

arcsin

V1

VRS

dou on tire ensuite V2, Zh et Zb.On voit donc limportance deffectuer au moins un tir direct et un tir inverse afin de

determiner le pendage. Si on na quun seul tir a notre disposition, on est oblige dinterpreter

nos donnees de sismique-refraction en termes de couches planes.


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Figure 2.5: Exemple dhodochrones de tirs direct et inverse sur une couche pentee. Ou estle bas de la pente?

Figure 2.6: Exemple de tir acquis lors de notre camp de terrain. Y reconnaissez-vous desrefractees, des reflechies?

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