textes-exercices

7/25/2019 Textes-exercices

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Vibrations des systmes mcaniques

Textes des exercices non corrigs

TEXTES DES EXERCICES NON CORRIGS................................................................................................1

MILIEUX DISCRETS .........................................................................................................................................3EXERCICE MEC-1:PRCONTRAINTES DANS UN RESSORT ............................................................................................................. 3EXERCICE MEC-2:MISE EN QUATIONS PAR LE PFDET PAR LE PTV ...........................................................................................3EXERCICE MEC-3:PETITS MOUVEMENTS DUN SATELLITE GOSTATIONNAIRE............................................................................ 3EXERCICE MEC-4:MODLISATION LMENTAIRE DUNE FUSE .................................................................................................... 4EXERCICE MEC-5:TAMBOUR DUNE MACHINE LAVER ............................................................................................................... 4EXERCICE MEC-6:PETITS MOUVEMENT 3DDUNE BALANOIRE ................................................................................................. 5

MILIEUX CONTINUS.......................................................................................................................................7

EXERCICE MMC-1:MODLISATION SIMPLE DUNE CHAUSSE ....................................................................................................... 7EXERCICE MMC-2:IMMEUBLE SOUMIS UNE SECOUSSE SISMIQUE ............................................................................................... 7

SYSTMES 1 DDL..........................................................................................................................................9

EXERCICE VIB1-1:LIMITE DE LHYPOTHSE DES PETITS MOUVEMENTS.......................................................................................... 9EXERCICE VIB1-2:EXCITATION DUN AMORTISSEUR EN DPLACEMENT IMPOS ......................................................................... 9EXERCICE VIB1-3:PASSAGE DUNE REMORQUE SUR UNE BOSSE ..................................................................................................10

SYSTMES N DDL.......................................................................................................................................11

EXERCICE VIBN-1:PROBLME DE LA CORDE TENDUE .................................................................................................................11EXERCICE VIBN-2:DTERMINATION DE LA BASE MODALE .........................................................................................................11EXERCICE VIBN-3:MODES MULTIPLES...........................................................................................................................................11EXERCICE VIBN-4:MATRICE DE FLEXIBILIT .................................................................................................................................12EXERCICE VIBN-5:OSCILLATIONS LIBRES DUES UNE PERTE DE MASSE ....................................................................................12EXERCICE VIBN-6:MODLISATION DUNE SUSPENSION .............................................................................................................12EXERCICE VIBN-7:BOITE DE VITESSE ............................................................................................................................................13

VIBRATION DES MILIEUX CONTINUS.....................................................................................................15

EXERCICE VIB-MMC-1:MODES DE VIBRATION DUNE BARRE ....................................................................................................15EXERCICE VIB-MMC-2:RPONSE DYNAMIQUE DUNE BARRE ....................................................................................................15EXERCICE VIB-MMC-3:RPONSE FORCE DUNE BARRE .............................................................................................................15EXERCICE VIB-MMC-4:RSIDUS PONDRS POUR UN PB DE FLEXION .....................................................................................16EXERCICE VIB-MMC-5:APPROXIMATION DE LA RPONSE DUNE CHAUSSE ...........................................................................16EXERCICE VIB-MMC-6:APPROXIMATION EFPOUR UN BARREAU .............................................................................................17EXERCICE VIB-MMC-7:PB DE RVISION DISQUE-POUTRE ...................................................................................................17EXERCICE VIB-MMC-8:PB DE RVISION SECOUSSE SISMIQUE ..............................................................................................18EXERCICE VIB-MMC-9:PB DE RVISION POUTRE -MASSE ....................................................................................................18


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Vibrations des systmes mcaniques Mise en quations


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Vibrations des systmes mcaniques Exercices dapplication : Mise en quations

Milieux discrets

Exercice MEC-1 : Prcontraintes dans un ressortThme : Dveloppement limit de lnergie de dformation dun ressort prcontraint dans le cadre de lhypothse des

petits mouvements. Influence sur les vibrations du systme mcanique.

Soit un ressort linaire de raideur k, de longueur vide o . Le dplacement relatif

de lextrmit est dfini par rapport une position dquilibre du systme

mcanique, la longueur du ressort lquilibre est e .

u

u

v

e Pour des dplacements plan ( , )u v , supposs du premier ordre, montrez que lexpression de lnergie de dformation

dveloppe jusquau deuxime ordre, est de la forme :

E k u u vp e ee

e

= + + +

1

220

2 2

0

0 2( ) ( )( )

Application

Considrons une plaque carre de masse m de cot a . Cette plaque articule en O,est relie au btit par deux ressorts identiques de raideur ket de longueur

vide o . A lquilibre, dans le champ de pesanteur, la plaque est horizontale et le

ressort1

k nest pas contraint.

crivez lquation des petits mouvements par rapport lquilibre.

yoO x

o

k1 k

2

P

g

Exercice MEC-2 : Mise en quations par le PFD et par le PTVThme : Exercice de mise en quations par les deux principes PFD et PTV

Considrons une tige T de masse ngligeable articule en O tournant une vitesseangulaire constante. Un point matriel P de masse m est astreint se dplacer sansfrottement le long de cette tige. Ce point est reli au btit par un ressort linaire de

raideur kde longueur vide o . Dterminer lquation du mouvement et la valeur du

couple moteur ncessaire pour obtenir une vitesse de rotation constante.

yo

O

xo

km g

PT

u

t

Effectuez la mise en quations par le Principe Fondamental de la Dynamique.

Effectuer la mise en quations par le Principe des Travaux Virtuels.

Exercice MEC-3 : Petits mouvements dun satellite gostationnaireThme : La mise en quations avec, prise en compte des forces gravitationnelles, et linarisation des vitesses danslnergie est intressante.

On se propose dtudier le comportement dun satellite gostationnaire

lgrement cart de sa trajectoire thorique. Le repre ( , , , )o o oT x y z

est

suppos galilen. Le satellite est assimil un point matriel de masse m . A

lquilibre il dcrit un cercle de rayonR daxe ( , )oT z

avec la mme vitesse

angulaire que la terre, sa position est repre par oTS Ru=

.

On utilise comme paramtres de position deux angles , et une translation

telle que ( )1TS R u= +

.

zo

xo

y0

v1

u1

u

S0

S

t+

tablir les quations des petits mouvements par rapport la trajectoire thorique du satellite.


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Exercice MEC-4 : Modlisation lmentaire dune fuseThme : Mise en quations dun systme plusieurs degrs de libert. Linarisation et criture matricielle des quations.

La figure ci contre reprsente une modlisation lmentaire dune fuse (structurelastique lance). Les deux tiges identiques, masse m , longueur 2a sont relies

par un pivot parfait et un ressort de torsion de raideur k. Le ressort est noncontraint lorsque les tiges sont alignes.

La propulsion est modlise par une force F

de module constant faisant un angle constant avec ltage du bas de la fuse (dfaut dans la propulsion).

Effectuez la mise en quations de ce modle.

z

o

g

2

F

k

1

Linariser les quations en supposant que tous les dplacements autres que le dplacement en z restent petits.Donnez la forme matricielle des quations en

Exercice MEC-5 : Tambour dune machine laverThme : Mise en quations dun problme avec couplage gyroscopique, lintrt de cet exercice porte sur la linarisation de lnergie cintique

On se propose dtudier le comportement vibratoire dune machine montesur un support lastique.

La machine est modlise par le support (S2) de masse2

m , dinertieIpar

rapport laxe ( , )oA z

. Elle repose sans frottement sur le plan

horizontal ( , , )o oO x y

. Elle est ramene vers sa position dquilibre

( , , ) (0,0,0)A Ax y = par deux ensembles ressorts - amortisseurs

identiques de raideur2

k et de coefficient damortissement2

b

S1

S2

2a

2b

xo

y0

zo

A

Le tambour ou rotor est un solide de rvolution (S1) de masse

1m , de centre de masse 1G avec 1AG h= , ses moments

dinertie en 1G sont nots ( , , )A A C . Ce solide mont sur une rotule en A est ramen vers sa position dquilibre

( , ) (0,0) = par deux ensembles ressorts - amortisseurs identiques de raideur1k et de coefficient

damortissement1b . La vitesse de rotation par rapport son axe de rvolution est impose constante.

A lquilibre les ressorts sont non contraints. On notera{ } ( , , , , )T

A AX x y = le vecteur des 5 paramtres du

mouvement que lon suppose petits.

Effectuez la mise en quations de ce problme.

Le rotor a maintenant un dfaut dquilibrage. Celui ci est modlis par une surcharge m place en P tel

que 1 12

AP z dx= +

. Nous supposerons que la masse m est ngligeable devant1m et 2m . Donnez la nouvelle quation

matricielle des petits mouvements.


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Exercice MEC-6 : Petits mouvement 3D dune balanoireThme : Prise en compte et linarisation des quations de liaison. criture matricielle des quations du mouvement

Considrons un pendule bifilaire constitu dune tige T de masse m , de

longueur2b reli au btit par deux fils inextensibles de longueur .Pour dcrire les mouvements en trois dimensions du pendule, nous proposons les

cinq paramtres primitifs suivants : A

g

yo

T

zo

A' B'

B

2a

G

Position du centre de masse G : , ,x y z

et deux angles dEuler /oz

et / n

.

Exprimer, dans le cadre de lhypothse des petits mouvements, les deux quations de liaison.En dduire les expressions de z et en fonction de , ,x y .

Calculer lnergie cintique et lnergie potentielle du systme.En dduire les quations des petits mouvements.


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Milieux continus

Exercice MMC-1 : Modlisation simple dune chausseThme : Mise en quations dun modle poutre sur un support viscolastique.

Nous cherchons la rponse dynamique dune chausse excite par unecharge F se dplaant une vitesseV . La chausse est modlise par unepoutre lastique reposant sur un sol modlis par une rpartition uniformedappuis viscolastiques de raideur k, et damortissementb .

F

v

Chausse

Mise en quations

crivez le systme dquations diffrentielles rgissant ce problme.

crivez la forme intgrale correspondant au PTV de ce modle

Montrer lquivalence de ces deux formulations

En dduire lexpression de lnergie cintique et de lnergie de dformation de ce modle

Exercice MMC-2 : Immeuble soumis une secousse sismiqueThme : Mise en quations dun modle poutre avec un dplacement impos.

Nous nous intressons aux vibrations en flexion de la structure reprsente par lafigure ci contre. Le dplacement de la masse m est impos (secousse sismique). La

poutre lastique est de longueur schmatise le comportement en flexion dun

building.

Mise en quations

crivez le systme dquations diffrentielles rgissant ce problme.

crivez la forme intgrale correspondant au PTV de ce modle

g

y

o

xo

M

( , E, I, S)

tu

Montrer lquivalence de ces deux formulations

En dduire lexpression de lnergie cintique et de lnergie de dformation de ce modle


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Vibrations des systmes mcaniques Exercices dapplication : Systmes 1 DDL

Systmes 1 DDL

Exercice VIB1-1 : Limite de lhypothse des petits mouvements

tudions le mouvement dun disque homogne de masse m de rayon a quiroule sans glisser dans une gouttire cylindrique de rayon a+ .Le repre ( , , , )o o oO x y z

li la gouttire est suppos galilen.

Le champ de pesanteur est dfini par og g x=

.

yo

xo

e

r

e

O

P

D

I

g

A linstant initial le disque est lch sans vitesse initiale depuis une position / 2o <

Effectuez la mise en quations par le Principe Fondamental de la Dynamique.

Effectuer la mise en quations par le Principe des Travaux Virtuels.a) En utilisant des dplacements virtuels compatibles.

b) En introduisant un multiplicateur de Lagrange pour la condition de roulement sans glissement.Donnez lquation rgissant les petits mouvements en , en dduire la priode oT des petites oscillations.

Comparaison avec la solution obtenue pour quelconque.

Exprimer en fonction de , en dduire lintgrale donnant lexpression de la priodeT.

Pour exprimer cette intgrale sous forme dune intgrale elliptique complte de premire espce, utilisezle changement de variable suivant:

sin( / 2) sin( / 2)sin( )o q = On donne :

( )

2/ 2

2

2 2200

2 !

2 2 ( !)1 sin

n

nn

dq nk

nk q

=

=

En dduire la valeur de Tet comparer avec oT

Exercice VIB1-2 : Excitation dun amortisseur en dplacement imposThme : Rgime permanent harmonique dun systme avec amortissement.

Soit un solide (S) de masse m, de moment dinertie I par rapport laxe

( , )oG z

.

Ce solide est reli au bti par lintermdiaire dun dispositif dexcitation (E)articul en B, et dun amortisseur de coefficient damortissement b articul surle solide en A. Le ressort de raideur k ramne le solide dans sa position

dquilibre dfinie par 0= .Toutes les liaisons sont supposes parfaites, le champ de pesanteur est pris encompte, et nous nous placerons dans le cadre de lhypothse des petitsmouvements.

G

g

xo

b

(S)

B

A

ad

c

k

(E)

yo

Le dispositif dexcitation est anim dun mouvement sinusodal u(t) = h cost

Effectuez la mise en quations de ce problme.

Dterminer la rponse force en rgime permanent.

Tracez la courbe damplitude pour d = 0.

Donnez la forme de la rponse complte sachant qu linstant initial le systme est lquilibre.

Justifiez la notion de rgime permanent.


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Vibrations des systmes mcaniques Exercices dapplication : Systmes 1 DDL

Exercice VIB1-3: Passage dune remorque sur une bosseThme : Vibrations verticales dune remorque, recherche de la solution gnrale.

On se propose dtudier les oscillations verticales dune remorque automobile se dplaant avec une vitessehorizontale constante V. A linstant initial la remorque est en quilibre et passe sur la bosse ( 0)x= .

La remorque est schmatise par une masse m, relie lessieu par un ressort

linaire ket un amortisseur de coefficient visqueux b. La masse de la roue etde lessieu est nglige. Les pneus sont supposs indformables et la roue resteconstamment en contact avec le sol.

Le profil de la route est dfini par : ( )0 ( ) 1 cos(2 / )x Y x a x =

g

x

o

b

(S)

k

m

V

Effectuez la mise en quations en utilisant comme paramtre le dplacement par rapport la position dquilibre.

En dduire lquation des petites oscillations de la remorque.

Rsoudre ces quations pour dterminer la rponse dynamique de la remorque pour t > 0.

Donnez lexpression de leffort de contact pneu - route


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Vibrations des systmes mcaniques Exercices dapplication : Systmes N DDL

Systmes N DDL

Exercice VIBN-1 : Problme de la corde tendueThme : La mise en quation est intressante, criture des quations de liaison. On montre que les pulsationspropres sont fonctions de la tension dans le fil (vibrations dune corde tendue)

Trois surcharges de masse m chacune, sont places de faon rgulire sur un filinextensible de longueur 4a. Une force constante F est applique lextrmit A du fil,lextrmit B restant fixe. On se place dans le cadre de lhypothse des petits mouvements,et on nglige le champ de pesanteur.

crivez lquation des mouvements sous forme matricielle.

Calculez les frquences et les modes propres du systme. Donnez une reprsentation dechaque mode.

m

m

m

xo

A

B

F

Exercice VIBN-2 : Dtermination de la base modaleThme : Mise en quations avec une condition de roulement sans glissement. Recherche de la base modale et despulsations propres. Rponse en rgime libre.

Le support (S) de masse m est reli au bti par un ressort de raideur k1 et sedplace sans frottement par rapport au bti. Le cylindre (C) de masse M de rayonr, a son axe reli au support par un ressort de raideur k2, et roule sans glisser surle support

g(S)

k2

(C)

k1

Effectuez la mise en quations en utilisant un multiplicateur de Lagrange pour la condition de roulement sans

glissement.Donnez la forme matricielle des quations du mouvement en conservant comme paramtres les translations dusupport et du cylindre.Dterminez la base modale du systme. Vrifiez la K et M orthogonalit des modes.Dterminez les oscillations libres du systme, lorsque le support est cart de sa position dquilibre et lch sansvitesse initiale.

Exercice VIBN-3 : Modes multiplesThme : Construction dune base modale K et M orthogonale.

Intressons nous aux frquences propres dune plaque carre, de masse m de cot2a, sur appuis lastiques. Un systme de guidage parfait nautorise que 3mouvements : une translation verticalez , et deux rotations notes et .

Les quatre ressorts identiques de raideur k, restent verticaux. A lquilibre laplaque est horizontale dans le champ de pesanteur. Les mouvements sontsupposs petits.

xo

g

(S)

k

yo

zo

k

k

k

z

Effectuez la mise en quations et dterminer les frquences et modes propres du systme


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Exercice VIBN-4 : Matrice de flexibilitThme : Matrice de flexibilit, calcul itratif des frquences et modes propres.

Soit une plaque rectangulaire de masse m=49 Kg, de cot (2a, 4a) qui repose sur des

appuis lastiques. Un systme de guidage parfait nautorise que 3 mouvementssupposs petits : une translation verticalez , et deux rotations notes et

Des essais statique nous donnent les informations suivantes aux quatre angles de laplaque (point Ai)

x

o

(P)

y

o

zo

z

Forces appliques en [N] Dplacements mesurs en [10-4m]f1 f2 f3 f4 z1 z2 z3 z4

essai 1 : 5 5 5 5 2 18 18 2essai 2 : 0 5 5 0 -8 26 26 -8essai 3 : 0 0 5 5 -7 1 17 9

Dterminez la matrice de flexibilit[ ] (inverse de la matrice raideur) telle que :

{ } [ ]{ }X = avec { }T

X z a b =< >

Dterminez la matrice masseCalculez par la mthode itrative la plus petite frquence propre.En dduire les trois frquences propres de la structure.Comparez avec la solution exacte

Exercice VIBN-5 : Oscillations libres dues une perte de masseThme : bonne illustration dun problme doscillations libres.

Considrons le systme ci contre constitu de deux tiges de longueurs 2aeta, et dune charge en P de masse m. On ngligera la masse des tiges devantcelle de la charge.

Les liaisons en A et B sont des pivots parfaits auxquels sont adjoints desressorts de torsion de raideur respective 3C et C. Ces ressorts sont non

contraints pour1 2

0 = = .

1 Effectuez la mise en quations dans le cadre de lhypothse des petits

mouvements, dterminer la position dquilibre statique1 2

( , )e e . Donnez la

condition satisfaire pour vrifier lhypothse des petits mouvements. Endduire sous forme matricielle lquation des petits mouvements.

xo

A

B

2a

a

c

3c

1

m

2

yo

g

2 La moiti de la masse m se dtache brusquement alors que le systme tait lquilibre. Dterminez lesnouvelles quations du mouvement, et calculer la rponse dynamique du systme

Exercice VIBN-6 : Modlisation dune suspensionThme : Exercice complet : oscillations libres et solution particulire force.

On sintresse aux petits mouvements dune suspension schmatise par lesystme reprsent ci-contre. Le champ de pesanteur est nglig, et toutes lesliaisons sont parfaites.

Le solide1

( )S de longueur est reli au btit par un pivot daxe (0, )oz

, son

moment dinertie par rapport cet axe estI . Il est rappel vers sa position

dquilibre 0= par un ressort spiral de raideur1k .

x

o

(S2)

yo

zo

(S1)

k1

k2

x1

z2

P

mQ

Le solide

2( )S peut tourner par rapport laxe

1(0, )x

. Il est rappel vers sa position dquilibre 0= par un


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ressort spiral de raideur2

k . Il est constitu dune charge ponctuelle place en Q de masse m , et dun corps de

longueur2a , de masse Mde centre de masse P et dont la matrice dinertie sur la base 1 2 2( , , )x y z

est diagonale,

on note ( )A B C les moments principaux dinertie.

Effectuez la mise en quations, montrez que la matrice masse est [ ]2

2

( )I C M m maM

ma A ma

+ + + =

+

Par construction : 211 1 /m k= ,2

22 2 /m k= , et 12 1 22m k k

=

a - Calculez les pulsations propres du systme.

b - On impose maintenant2 14k k= , dterminez les modes propres.

c - Montrez que pour chaque mode il existe un point de laxe PQ li au solide S2 qui reste fixe, donnezune reprsentation graphique des modes.

tude des oscillations libres : Une force constanteo

F F y=

est applique en Q

a - Dterminer la rponse statique de la structure.b - Le systme tant lquilibre, la force est supprime. Dterminer la rponse dynamique du systme.

Dterminez la solution particulire force du systme

a - Pour une force coso oF t y applique directement en Q

b - Lorsque le point P est reli un ressort de raideur kdaxe ( , )oP y

, lextrmit du ressort tant

soumise un dplacement cosA t autour dune position correspondant ltat non contraint duressort.

Exercice VIBN-7 : Boite de vitesseThme : Exercice complet : oscillations libres et solution particulire force une excitation chelon (rponseindicielle)

Soit le rducteur schmatis par la figure ci-contre, il permet de coupler deux

moteurs identiques (1)et (2) un arbre de sortie (4). Les rotations absolues desdisques dinertie Iisont notes i . Les arbres de liaison sont supposs de masse

ngligeable, ils sont assimils des ressorts linaires de torsion de raideur CijOn pose :

I I I I

I I I

I I

1 2 3

5 6

4

88

= = =

= =

=

C C C

C C

15 16

34 8

= =

=

2r

I/8

8I(1)

(3)

(2)

c

(6)

(5)

(4)

r

I

I

I

c

8c

c

Effectuez la mise en quations en considrant quil y non glissement entre les disques, donner lexpression des

matrices sur les variables{ } 1 2 3 4T

X =< >

Dterminez une base modale associe se systme, et donner la forme de la rponse en rgime libre pour des

conditions initiales :{ }oX et { }oX

Un couple constant est appliqu par le moteur 1 sur le disque (1).a - Dterminez la rponse dynamique complte du rducteur pour des conditions initiales nulles.b - Quelle est la dformation de chaque arbre en ne conservant que la solution particulire force.

Une des pulsations propres tant nulle, on cherche liminer la variable correspondante du systme dquations rsoudre. Utilisez le changement de variable adquat. Donnez lexpression des nouvelles matrices K et M, vrifierque vous retrouvez bien les trois pulsations propres non nulles.


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Vibrations des systmes mcaniques Milieux continus et approximation

Vibration des milieux continus

Exercice VIB-MMC-1 : Modes de vibration dune barre

Thme : Mise en quations, rponse statique. Rsolution du problme homogne, orthogonalit des modes.Rponse des conditions initiales non nulles.

Donnez le systme dquations diffrentielles reprsentant lquation locale et lesconditions aux limites du problme reprsent ci-contre.

Nous allons cherchez la solution sous la forme : ( , ) ( ) ( , )s dx t x x tu u u= + .

g

m Dterminer la rponse statique ( )

s xu

Donner les quations que doit satisfaire la rponse dynamique ( , )d x tu

Vrifier que ces quations sont homognes, en dduire lexpression des oprateurs masse et raideur duproblme.

Dterminez les frquences et modes propres du problme homogne. Vrifier lorthogonalit des modes propres.En dduire lexpression des coefficients de masse et raideur gnralises.

Utilisez la base modale pour dterminer la rponse dynamique des conditions initiales non nulles donnes.

Exercice VIB-MMC-2 : Rponse dynamique dune barreThme : Mise en forme du problme. Rponse dynamique par lanalyse modale. Solution particulire force.Comparaison des solutions.

Donnez le systme dquations diffrentielles reprsentant lquation locale et lesconditions aux limites du problme reprsent ci-contre.

Proposer un changement de variables permettant de se ramener unsystme dquations homognes.

(, E, S)

F

Proposer une analyse physique permettant de se ramener un systme dquations ayant des conditionsaux limites homognes.

Dterminez les valeurs et modes propres du problme homogne associ.

Dterminer par analyse modale la rponse dynamique complte pour des conditions initiales non nullesTraiter les excitations suivantes : harmonique, chelon, et impulsion.Dans le cas de lexcitation harmonique F cost, donner lexpression de la rponse dynamique pour desconditions initiales nulles.

Dterminer la solution particulire force pour une excitation harmonique F cost.Dduire des calculs prcdents lexpression correspondant lanalyse modale.Chercher directement la solution harmonique.

Montrer que les deux expressions sont quivalentes.

Exercice VIB-MMC-3 : rponse force dune barreThme : Mise en quations. Solution particulire force.

Donnez lquation intgrale dduite du PTV pour le problme reprsent ci-contre.En dduire le systme dquations diffrentielles reprsentant lquation locale et lesconditions aux limites.

(, E, S)

k

u

Dterminer la solution particulire force pour une excitation harmonique ( ) costu a t= .

En dduire les frquences de rsonance du systme.

Donnez lexpression de ladmittance directe ( ) /tu F et de ladmittance croise ( , ) /x tu F.


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Vibrations des systmes mcaniques Exercices dapplication : vibrations des milieux continus

Exercice VIB-MMC-4 : Rsidus pondrs pour un Pb de flexionThme : Mthodes dapproximation : Rsidus pondrs (formulation faible de la mthode de Galerkin) quivalenceavec le PTV.

Nous nous intressons aux vibrations transversales de la poutre reprsente par la

figure ci contre. La masse men bout de poutre est suppose ponctuelle.

mPb de flexion

Pour traiter ce problme nous utiliserons la forme faible associe la mthode de Galerkin avec des fonctions deforme cinmatiquement admissibles (les conditions aux limites sthniques tant non homognes).

Mise en quations - construction dune approximation.crivez le systme dquations diffrentielles rgissant ce problme.

Montrer que les fonctions de forme ( )1 cosn nw C x= sont cinmatiquement admissibles.

Dterminer la valeur denC pour que lapproximation satisfasse toutes les conditions aux limites

homognes du problme.

Mthode des rsidus pondrs.Aprs avoir dfini le rsidu, transformer la forme intgrale par intgration par parties pour faire apparatre

les conditions aux limites.En dduire lquation matricielle du modle ainsi construit.Calculer lexpression des matrices masse et raideur.

Application numrique avec M S= Les 2 premires pulsations de rsonance obtenues analytiquement sont :

1 4

2 4

1557

16,25

=

=

, EIS

EIS

Comparez avec les rsultats obtenus pour une approximation un puis deux paramtres.

Partez de lcriture du PTV de ce problme, pour retrouver la forme matricielle associe lapproximationprcdente.

Variante :

Refaire lexercice en utilisant une approximation cinmatiquement admissible construite sur une basepolynomiale de degr trois.

Exercice VIB-MMC-5 : Approximation de la rponse dune chausseThme : Application de la mthode de Galerkin un problme plus rel.

Nous cherchons la rponse dynamique dune chausse excite par une charge Fsedplaant une vitesse V. La chausse est modlise par une poutre lastiquereposant sur un sol modlis par une rpartition uniforme dappuis viscolastiquesde raideur k, ayant un coefficient damortissement b.

F

v

Chausse

Mise en quations - construction dune approximation.crivez le systme dquations diffrentielles rgissant ce problme.On dcide dutiliser les modes propres de la poutre libre - libre comme fonctions de forme pourconstruire lapproximation, dterminer la base modale.

Appliquez la mthode des rsidus pondrs.Donner lexpression des matrices masse et raideur, et celle de la force dexcitation.Dterminer la rponse dynamique en prenant des conditions initiales nulles.


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Vibrations des systmes mcaniques Milieux continus et approximation

Exercice VIB-MMC-6 : Approximation EF pour un barreauThme : Mise en uvre des mthodes variationnelles discrtises.

Nous nous intressons aux vibrations longitudinales du barreau reprsent par lafigure ci contre. Pb de traction k

Dans cet exercice nous introduisons une approximation deux paramtres linaire par morceau, cest sans le direun modle lments finis.

Mise en quations - Solution analytique.crivez le systme dquations diffrentielles rgissant ce problme, et dterminer les pulsations dersonance. Dans lapplication numrique vous utiliserez un rapport / 10ES k =

Construction des fonctions de formesJustifiez que lapproximation ( , ) ( )x t tu x q= est cinmatiquement admissible.Dterminer une fonction de forme polynomiale de degr 2 satisfaisant toutes les conditions aux limites duproblme.

Approximation un paramtre.Appliquez la mthode des rsidus pondrs pour dterminer les deux modles lmentaires masse -ressort associs aux deux approximations construites sur les deux fonctions de formes prcdentes,comparer les rsultats.

Approximation deux paramtres, soit lapproximation linairepar morceau dfinie par la figure ci contre.

Appliquez le PTV discrtis pour dterminer lquationmatricielle de ce modle sur les paramtres u1 et u2 .Comparer les frquences obtenues.

u1

u2

u u2 x

=

1

u u u2x 2x

= +( )1 1 2

x= x +2

sur l'lment 1 :

sur l'lment 2 : on pose

Exercice VIB-MMC-7 : Pb de rvision Disque-poutre Thme : Mise en uvre des mthodes variationnelles discrtises quations de Lagrange .

Nous nous intressons aux vibrations en flexion de la structure reprsente par lafigure ci contre. Une force Fcostest applique au niveau du rayon Rdun disque

indformable dinertie I. La poutre lastique de longueur repose sur un appui au

niveau du disque et est encastre lautre extrmit.

F

Pb de flexion

Construisez une approximation cinmatiquement admissible, utilisant les fonctions de forme suivantes :

n nx nx

nx

( ) sin( ) sin( )( )= + +

1

Exprimer les nergies et le travail virtuel de F en fonction des paramtres de lapproximation. En dduirelquation matricielle du mouvement.

Calculer les coefficients des matrices masse et raideur ainsi que ceux de la force gnraliseEn dduire pour une approximation deux paramtres lexpression des matrices masse et raideur ainsique celle du vecteur force gnralise.En ngligeant la masse du disque, calculer les deux premires frquences propres de la structure,comparer la solution analytique.

Annexe : les 2 premires pulsations de rsonance dune poutre appuye - encastre sont :

1

2

4 2

2

4237 2496,5= =,7 EIS

EIS .


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Vibrations des systmes mcaniques Exercices dapplication : vibrations des milieux continus

Exercice VIB-MMC-8 : Pb de rvision secousse sismique Thme : PTV discrtis - Galerkin.

Nous nous intressons aux vibrations en flexion de la structure reprsente par lafigure ci contre. Le dplacement de la masse m est impos de la forme

( ) costw t= On pose ( , ) ( ) ( , )t x t t x t v w v= + avec tv dplacement absolu, et v flche due ladformation de la poutre

udonn

Pb de flexion

m

Nous allons utiliser les modes propres de la poutre encastre - libre comme base de fonctions de forme pourconstruire lapproximation.

Mise en quations - Solution analytique du problme homogne associ.crivez le systme dquations diffrentielles rgissant ce problme.Dterminer les frquences et modes propres de vibration du problme homogne associ.

Rsolution par GalerkinAppliquez la mthode des rsidus pondrs, en utilisant les modes propres du problme homogneassoci comme fonctions de forme de lapproximation.

En dduire lquation matricielle du mouvement.Les quations tant dcouples calculer la solution particulire force. En dduire lexpression de la forcencessaire pour imposer le mouvement.

Rsolution par le PTV discrtis.Exprimez les nergies et le travail virtuel des efforts extrieurs sur les variables En dduire lquation matricielle du mouvement, et la force ncessaire pour imposer le mouvement.Comparez la mise en uvre des deux mthodes.

Exercice VIB-MMC-9 : Pb de rvision poutre - masse Thme : PTV discrtis - quations de Lagrange.

Nous nous intressons aux vibrations en flexion de la structure reprsente par lafigure ci contre. Le dplacement de la masse M, dinertie Iest impos de la forme

cosV t V tcos

Mise en quations.crivez le systme dquations diffrentielles rgissant ce problme. Exprimez lquation diffrentiellepermettant de calculer leffort ncessaire pour imposer le mouvement.crivez les deux formes intgrales associes au principe des travaux virtuels pour des dplacementsvirtuels cinmatiquement admissibles. Retrouver les conditions aux limites sur les efforts.

On cherche une solution de la forme ( , ) ( , )cosx t x tx

v V t w= +

avec1

( , ) ( )sinn

i

i

x t tx

w i q

=

=

criture du PTV discrtisVrifiez que cette approximation est cinmatiquement admissible.Exprimer lquation matricielle dduite du PTV.Comment modifier ce qui prcde pour pouvoir calculer directement leffort ncessaire pour imposer lemouvement

Retrouver les rsultats prcdents partir des quations de Lagrange.

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