Terminale S Physique – Partie D – Chapitre 11 : Mouvements plans – Page 1 sur 5

x

y

£i £j

£k

G

O

z coordonnées

cartésiennes

1. Mouvement de projectiles dans un champ de pesanteur uniforme Un projectile est lancé, avec une vitesse initiale de direction quelconque.

Quel est le mouvement de ce projectile ? Quelle est l’équation de sa trajectoire et

les équations horaires paramétriques de sa vitesse et de sa position ?

Définition du système :

Le système étudié est le {projectile} dans le référentiel terrestre supposé galiléen ;

Bilan des forces extérieures :

Le {projectile} est soumis à son poids £P (chute libre).

Utilisation de la seconde loi de Newton :

£Fext = m.£a £P = m.£a m.£g = m.£a £a = £g.

Rem. : L’accélération est indépendante de la masse de

l’objet (et de sa forme, si l’on néglige les

frottements de l’air et la poussée d’Archimède) :

elle ne dépend que du champ de pesanteur £g,

uniforme pour un mouvement s’effectuant sur une

distance faible devant le rayon de la Terre.

Conditions initiales :

Le projectile est lancé depuis le point O, choisi comme

origine. Le plan d’étude choisi est le plan contenant le

vecteur vitesse initial £v0 : (xOz)

_OG0

x

y

z

et £v0

vx v.cos

vy

vz v.sin

L’accélération a pour expression : £a = – g.£k, donc les coordonnées du vecteur accélération sont : £a

ax 0

ay

az – g

1.1. Équations horaires du vecteur vitesse

Or d£vdt

= £a, donc la vitesse £v étant la primitive de £a, il vient pour £v :

£a

dvx

dt = 0

dvy

dt = 0

dvz

dt = – g

donc £v

vx

vy

– g.t vz

soit £v

v.cos

0

– g.t vsin

La coordonnée vx de la vitesse est vx = vx0 = v0.cos : vx est indépendant du temps.

La coordonnée vz de la vitesse est vz = – g.t + v0.sin : vz est une fonction affine du temps.

1.2. Équations horaires du vecteur position De même _OG est la primitive de £v :

_OG

v.cos .t + x0

y0

– 1

2g.t2 vsin .t + z0

soit _OG

v.cos .t

0

– 1

2g.t2 vsin .t

Ainsi l’équation horaire de l’abscisse x(t) du projectile est :

x(t) = v0.cos .t : fonction linéaire

L’équation horaire de l’altitude z(t) du projectile est :

z(t) = – 1

2g.t2 + v0.sin .t : fonction parabolique

Chapitre 11 : Étude du cas des mouvements plans

vx0 0

z

x

£i

£k

£v0 vz0

0

x

t

z

0

vx vz

t

Terminale S Physique – Partie D – Chapitre 11 : Mouvements plans – Page 2 sur 5

1.3. Équation de la trajectoire du projectile L’équation de la trajectoire est une fonction de la forme z = f(x), puisque le mouvement a lieu dans le plan (xOz). Il

est nécessaire d’éliminer le paramètre t, en utilisant l’équation horaire x(t) établie précédemment : t = x

v.cos . En

injectant cette expression dans la seconde équation horaire, il vient :

z(x) = –

.g.

x

v.cos

2

+ v0.sin .x

v.cos et finalement :

z(x) = – g

.v.cos

.x2 + tan .x

1.4. Importances des conditions initiales : la flèche La flèche correspond à l’altitude atteinte lorsque le

projectile est au sommet S de sa trajectoire. Pour déterminer

la valeur de la flèche zS, on peut remarquer :

– la composante verticale de la vitesse est nulle : vz = 0.

– la tangente à la courbe en S est horizontale, donc dz

dx = 0 ;

Première méthode :

vz(tS) = 0, or vz(tS) = – g.tS + v0.sin = 0 ainsi tS = v.sin

g

z(tS) = – 1

2g.tS

2 + v0.sin .tS = – 1

2g.

v.sin

g

2

+ v0.sin .v.sin

g = –

v.sin

.g +

v.sin

g, donc :

zS = v

.sin

.g Cette méthode est plus rapide, elle est donc à privilégier !

Rem. : Plus v0 est grand plus la flèche sera importante, plus l’angle est proche de 90°, plus la flèche sera élevée !

1.5. Importances des conditions initiales : la portée On appelle portée la distance maximale parcourue par le projectile, horizontalement.

Pour déterminer la portée xP, il suffit de remarquer que l’altitude z(xP) = 0.

Or z(x) = – g

.v.cos

.x2 + tan .x = (– g

.v.cos

.x + tan ).x : factorisation par x !

z(x) = 0 pour x = 0 (point d’origine) et pour xP tel que : – g

.v.cos

.xP + tan = 0 soit :

– g

.v.cos

.xP + sin

cos = 0 xP =

.v.sin .cos

g or 2.sin .cos = sin 2 donc xP =

v.sin

g

Rem. : Plus v0 est grand plus la portée est important.

Si le lancer est effectué au niveau du sol, la portée est maximale pour sin 2. = 1, donc 2. = 90 = 45°

Seconde méthode : dz

dx =

d

dx(–

g

.v.cos

.x2 + tan .x)

dz

dx =

d

dx(–

g

.v.cos

.x2) + d

dx(tan .x)

Ainsi : dz

dx = –

g

.v.cos

.dx

dx + tan .

dx

dx

dz

dx = –

g

.v.cos

.2x + tan

dz

dx xS

= 0 – g

.v.cos

.2xS + tan = 0 g

.v.cos

.xS = sin

cos xS =

v.sin .cos

g

L’abscisse du sommet S de la trajectoire est xS, ainsi la flèche de la trajectoire est zS = – g

.v.cos

.xS2 + tan .xS

zS = – g

.v.cos

.

v

.sin .cos

g

2

+ tan .v

.sin .cos

g

= – g

.v.cos

.v

42.sin2 .cos2

g2 + sin

cos .v

.sin .cos

g

= – v

.sin

.g +

v.sin

g donc : zS =

v.sin

.g

xP O

z

x

£i

£k

S

xS

zS

http://pagesperso-orange.fr/Gilbert.Gastebois/java/balistique/balistique.html

Terminale S Physique – Partie D – Chapitre 11 : Mouvements plans – Page 3 sur 5

2. Mouvement des planètes et des satellites 2.1. Référentiels héliocentrique et géocentrique

Le référentiel héliocentrique est un référentiel, de centre le

centre du Soleil, constitué de trois axes orthogonaux pointant

vers trois étoiles infiniment éloignés et considérées comme

fixes. C’est un référentiel galiléen.

Le référentiel géocentrique est un référentiel, de centre le

centre de la Terre, constitué de trois axes orthogonaux et

parallèles aux axes du référentiel héliocentrique. C’est un

référentiel galiléen.

Rem. : on appelle mouvement de révolution le mouvement

que possède un astre, tel la Terre, autour d’un corps central

(comme le Soleil). La période de révolution de la Terre

autour du soleil est de 365,25 jours.

La période de rotation propre est la durée nécessaire à un astre pour

effectuer une rotation complète sur lui-même (la période de rotation propre

de la Terre est de 23 h 56 min : c’est la valeur d’un jour sidéral).

2.2. Les lois de Kepler 2.2.1. Première loi : loi des orbites

Le point P décrit une trajectoire elliptique si FP + PF’ = Cte = 2a.

Le Soleil occupe l’un des foyers de l’ellipse.

On définit l’excentricité de l’ellipse par le rapport : e = c

a.

Si l’excentricité est nulle (e = 0), c = 0 : la trajectoire est un cercle.

Dans le cas d’une ellipse 0 < e < 1. http://www.sciences.univ-nantes.fr/physique/perso/gtulloue/Coniques/Dessiner/Ellipse_ficelle.html

http://www.sciences.univ-nantes.fr/physique/perso/gtulloue/Meca/Planetes/Nature.html

http://astro.unl.edu/classaction/animations/renaissance/ellipsedemo.swf

http://astro.unl.edu/classaction/animations/renaissance/kepler.swf

2.2.2. Deuxième loi : loi des aires

http://www.sciences.univ-nantes.fr/physique/perso/gtulloue/Meca/Planetes/Aires.html

http://astro.unl.edu/classaction/animations/renaissance/kepler.swf cliquer sur Kepler’s 2nd

Law

2.2.3. Troisième loi : loi des périodes

Rem. : La constante ne dépend que de l’astre attracteur. http://astro.unl.edu/classaction/animations/renaissance/kepler.swf cliquer sur Kepler’s 3

rd Law

Mercure Venus Terre Mars Jupiter

Période T (année) 0,241 0,615 1,00 1,88 11,9

demi-grand axe a (uA.) 0,387 0,723 1,00 1,52 5,20

Rapport T

a (an2.uA–3) 1,00 1,00 1,00 1,01 1,01

Rem. : u.A. représente l’unité astronomique. 1 u.A. = 149,6.109 m (distance moyenne Terre–Soleil) http://fr.wikipedia.org/wiki/Lois_de_Kepler http://fr.wikipedia.org/wiki/Johannes_Kepler

Le rapport entre le carré de la période de révolution T et le cube de la moitié du

grand axe a de l’ellipse est le même quelque soit la planète considérée :

T

a = cte

Pendant des durées t égales, le segment de droite reliant les

centres du Soleil et d’une planète balaye des aires égales.

Dans le référentiel héliocentrique, la trajectoire du centre P des

planètes est une ellipse dont l’un des foyers est le centre S du Soleil.

a

b

O A’ A

B

B’

F = S F’

2a

P

2c

2a = AA’ : grand axe

2b = BB’ : petit axe

2c = FF’ : distance focale

S

Les aires A1 et A2 balayées

pendant des durées identiques

sont les mêmes

Johannes Kepler

1571 – 1630

Terminale S Physique – Partie D – Chapitre 11 : Mouvements plans – Page 4 sur 5

2.3. Étude d’un mouvement circulaire uniforme Le mouvement des planètes du système solaire est quasiment circulaire (à l’exception de mercure : e = 0,206).

planète Mercure Vénus Terre Mars Jupiter Saturne Uranus Neptune

excentricité 0,2056307 0,0067732 0,0167102 0,0934123 0,0483927 0,0541506 0,0471677 0,0085859

Lorsque l’on étudie un mouvement à force centrale on utilise fréquemment, pour simplifier les calculs, un repère

appelé « repère de Frenet ». Ce repère est centré sur l’objet en mouvement. Ici, il est centré en P. Il possède un

vecteur unitaire £T tangent à la trajectoire (en général son sens est celui du

mouvement), et un second vecteur unitaire £n (normal) perpendiculaire à £T (donc à la

trajectoire en P), et s’appuyant sur le rayon de courbure de la trajectoire en ce point.

Dans ce repère on a donc : £v = v.£T (le vecteur vitesse est toujours tangent à la

trajectoire) et £a = aT.£T + an.£n.

On peut montrer (hors programme) que la dérivée du vecteur vitesse £v, dans le

repère de Frenet donne une accélération £a, dans le repère de Frenet, de la forme :

£a = d£vdt

= dv

dt.£T +

v

r.£n

Si le mouvement circulaire est uniforme, dv

dt = 0 (

d£vdt

£0 !) : les vecteurs vitesse £v et accélération £a sont

perpendiculaires. Le vecteur accélération £a est radial et dirigé vers le centre attracteur : £a = £an = v2

r.£n.

D’après la 2nde loi de Newton, résultante des forces et accélération ont même direction et même sens.

Ainsi un mouvement est circulaire et uniforme, si :

– la résultante des forces est radiale et orientée vers le centre de la trajectoire circulaire ;

– La vitesse initiale de l’objet est une constante non nulle, adaptée à la valeur de la force centrale.

2.4. Rappel de la loi de gravitation universelle Isaac Newton a énoncé, en 1687 (Principes Mathématiques de la

philosophie naturelle), la loi de gravitation universelle entre deux

corps A et B de masse respective mA et mB.

Si les corps A et B ont des répartitions de masse à symétrie

sphérique, et si la distance r qui les sépare est grande devant leur

taille, les corps A et B exercent l’un sur l’autre des forces d’attraction gravitationnelle :

£FA/B = – £FB/A = – G.mA.mB

r.£uAB

ou £FA/B = G.mA.mB

r.£uBA

FA/B : valeur de la force de gravitation exercée par A sur B (N)

FB/A : valeur de la force de gravitation exercée par B sur A (N)

mA et mB : masse respective des corps A et B (kg)

r : distance entre les centres d’inertie des corps A et de B (m)

G : constante de gravitation universelle G = 6,67.10–11 m3.kg–1.s–2

2.5. Application de la seconde loi de Newton au mouvement des planètes 2.5.1. Expression de la vitesse d’une planète

On considère une planète P de masse m, en mouvement autour du Soleil de masse MS.

Définition du système : le système étudié est la {planète} dans le référentiel héliocentrique, galiléen ;

Bilan des forces extérieures : la {planète} est soumise à la force de gravitation £FS/P = G.MS.m

r.£uPS.

Utilisation de la seconde loi de Newton : £Fext = m.£a G.MS.m

r.£uPS = m.£a £a =

G.MS

r.£uPS.

Nous avons vu que dans le repère de Frenet, l’accélération est de la forme £a = dv

dt.£T +

v

r.£n.

Or pour un mouvement circulaire £n = £uPS. Par conséquent dv

dt.£T +

v

r.£n =

G.MS

r.£n.

Nous retrouvons bien le fait que dv

dt = 0 : un mouvement circulaire à force centrale est nécessairement uniforme !

Ainsi : G.MS

r =

v

r, donc v =

G.MS

r . Plus une planète est éloignée du soleil plus, sa vitesse linéaire est faible.

Rem. : pour une trajectoire elliptique : dv

dt 0 : la vitesse est plus grande lorsque la planète est proche du Soleil !

S

£v

£n

£a

£T P

r

Repère de Frenet :

(P, £T, £n)

A

B

£FB/A £FA/B

r

£uAB

Terminale S Physique – Partie D – Chapitre 11 : Mouvements plans – Page 5 sur 5

2.5.2. Expression de la période de révolution

La période de révolution d’une planète en mouvement circulaire et uniforme est T = .r

v, donc T2 =

.r

v2

T2 = .r.r

G.MS

= .r

G.MS

et par suite : T2

r3 =

G.MS

= cte (qui ne dépend que de MS !) 3ème loi de Kepler retrouvé !

Rem. : La connaissance de la période de révolution T et de la distance r (ou demi-grand axe a dans le cas d’une

ellipse) à l’astre attracteur permet d’en déduire la masse de l’astre attracteur. Application au calcul de MS :

MS = ..r

G.T =

..(149,6.109)

6,67.10–11.(365,25243600) = 1,99.1030 kg !

2.6. Application de la seconde loi de Newton au mouvement des satellites On considère un satellite de masse m, en mouvement autour de la Terre de masse MT.

Définition du système : le système étudié est le {satellite} dans le référentiel géocentrique, supposé galiléen ;

Bilan des forces extérieures : le {satellite} est soumis à la force

de gravitation £FT/s = – G.MT.m

r.£uTs = G.

MT.m

r.£usT (chute libre).

Utilisation de la seconde loi de Newton : £Fext = m.£a

G.MT.m

r.£usT = m.£a £a = –

G.MT

r.£usT =

dv

dt.£T +

v

r.£n.

On retrouve pour une trajectoire circulaire, avec r = RT + h (où h

représente l’altitude), l’expression de la vitesse :

v = G.MS

RT + h et T2 =

.RT h

G.MT

Cherchons l’altitude h d’un satellite

géostationnaire, c’est-à-dire dont la période de

révolution T est égale à la période de rotation propre de la terre

T ≈ 24h.

h = T.G.MT

– RT. A.N. : h =

(24×3600)×6,67.10–11×5,98.1024

– 6,38.106 36.000 km (36 milles km).

2.7. Interprétation de l’impesanteur L’impesanteur est caractérisée par une absence apparente de pesanteur, contrairement à l’apesanteur (concept

théorique) qui caractérise une absence totale de pesanteur.

Imaginons un ascenseur en chute libre. Une personne se trouvant dans

l’ascenseur tombe alors à la même vitesse que l’ascenseur dans le référentiel

terrestre. Cette personne tient une balle dans une main et lâche la balle. La

balle tombe à la même vitesse que l’ascenseur et que son occupant dans le

référentiel terrestre. En regardant la balle, l’observateur a l’impression

qu’elle « flotte » : elle est en impesanteur dans le référentiel de l’ascenseur.

L’observateur est également en impesanteur dans le référentiel de

l’ascenseur : il « flotte » dans l’ascenseur : l’ascenseur n’exerce pas d’action mécanique sur lui.

C’est la sensation ressentie par les astronautes en orbite autour de la Terre ou dans un avion « zéro-g », en vol

parabolique.

Application

Plan équatorial

http://science.nasa.gov/Realtime/jtrack/3d/JTrack3D.html

£FT/s £usT