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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINASInstituto de Matematica, Estatıstica e Computacao

Cientıfica - IMECC

Teoria dos Nos

Aluno: Henrique Silva de OliveiraOrientador: Gabriel Ponce

CampinasDezembro de 2018

Agradecimentos

Gostaria de agradecer, primeiramente, ao meu professor e orientador GabrielPonce, que aceitou desenvolver um projeto de iniciacao cientıfica ao meu ladoe sempre prestou toda a ajuda necessaria para a realizacao dos estudos e dorelatorio. Se tornou, sem duvida, alem de um grande amigo, uma inspiracaopara o meu futuro. Gostaria de agradecer tambem ao meu amigo e um futurootimo professor, Valdiney Mauricio Batista por ter me instigado sempre umacuriosidade sobre matematica e, alem disso, ajudado a achar o meu orientador.Fico grato do mesmo modo a Lucas de Jesus da Silva, que sempre me tirouas duvidas em relacao a producao do relatorio. Presto meus ultimos agradeci-mentos a minha famılia e aos meus amigos do ProFIS. Para todos, desejo umabrilhante carreira e um forte abraco.

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Resumo

Neste projeto de Iniciacao Cientıfica estuda-se a Teoria dos Nos e Topologiado ponto de vista da matematica pura. A Teoria dos Nos e muito aplicavel,por exemplo, em quımica e biologia, por isso e de grande importancia estudaralgo que contribui para varias areas do conhecimento. Alem disso, ha poucomaterial sobre isso em portugues, entao este estudo tambem cria um materialde estudo para pessoas que se interessarao por este assunto no futuro. Esteestudo foi realizado a partir de uma ampla gama de materiais auxiliares, masprincipalmente com base no livro “The Knot Book”[2]. Na primeira secao saoapresentadas as informacoes basicas sobre a teoria dos nos, ou seja, o que eum cruzamento, projecao e um no e alguns invariantes de nos. Na segundasecao, estudamos um pouco da historia e notacao de nos. Na terceira secao,vemos mais profundamente os invariantes de nos. No capıtulo quatro, o focoe apresentar o conceito de topologia e superfıcies na topologia. Finalmente noultimo capıtulo sao mostradas algumas aplicacoes da teoria dos nos.

ii

Abstract

In this project of Scientific Initiation it is studied the Theory of Knots andTopology from the point of view of pure mathematics. The Knot Theory is veryapplicable, for example in chemistry and biology, so it is of great importanceto study something that contributes to several areas of knowledge. In addition,there is few material about this in portuguese, so this study also creates a studymaterial for people who will be interested by this subject matter in the future.This study was accomplished from a wide range of auxiliary materials, butmainly based on the book “The Knot Book”[2]. In the first section is intendedto present the basic information about knot theory that is what is a crossing,projection and a knot and some of knot invariants. At the second section westudy some history and notation of knots. In the third section we see moredeeply the knots invariants. At chapter four the focus is to present the conceptof topology and surfaces in topology. Finally in the last chapter we show verysuperficially some applications of the knot theory.

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Sumario

Agradecimentos i

Resumo ii

Abstract iii

Lista de Figuras v

1 Preliminares 11.1 Projecoes, cruzamentos e nos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Composicao dos Nos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Movimentos de Reidemeister . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4 Links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.5 Tricolorabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2 Tabulando os nos 112.1 Historia da tabulacao dos nos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2 Notacao de Dowker para nos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.3 Notacao de Conway para nos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.4 Nos e grafos planares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3 Invariante de nos 243.1 Numero de desembaracamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.2 Numero de ponte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.3 Numero de cruzamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4 Superfıcies e Nos 314.1 Superfıcies sem fronteiras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.2 Superfıcies com fronteiras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.3 Genus e superfıcies Seifert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

5 Aplicacoes 535.1 DNA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535.2 Sıntese de moleculas atadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

Referencias Bibliograficas 55

iv

Lista de Figuras

1.1 Um no no R3 (Adaptado de: https://bit.ly/2BdoIGZ). . . . . . . 21.2 Como e originada uma projecao (Adaptado de: https://bit.ly/2BdoIGZ). 21.3 Cruzamentos de uma projecao (Adaptado de: https://bit.ly/2BdoIGZ). 21.4 Construindo um no composto[2]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.5 Criacao de cruzamentos nao requisitados[2].Adaptado. . . . . . . 31.6 1o Movimento de Reidemeister[2].Adaptado. . . . . . . . . . . . . 41.7 2o Movimento de Reidemeister[2].Adaptado. . . . . . . . . . . . . 41.8 3o Movimento de Reidemeister[2].Adaptado. . . . . . . . . . . . . 51.9 A figura continua a mesma[2].Adaptado. . . . . . . . . . . . . . . 51.10 Projecao espelhada de um no obtida atraves de movimentos de

reidemeister[2]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.11 Projecoes espelhadas do no de trevo nao sao equivalentes[1]. . . . 61.12 Whitehead Link[2]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.13 Enlace Borromeano[2]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.14 Link decomponıvel[2]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.15 Link trivial e Hopf Link[2]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.16 Cruzamento do primeiro e do segundo tipo, respectivamente[2]. . 71.17 Link com linking number 2[2]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.18 Link de Brunn (Retirado de: https://bit.ly/2G1YHyH) . . . . . 91.19 Duas projecoes do no de trevo[2].Adaptado. . . . . . . . . . . . . 91.20 Um no nao tricoloravel[2].Adaptado. . . . . . . . . . . . . . . . . 101.21 Movimentos de reidemeister no conceito de tricolorabilidade[2].Adaptado. 10

2.1 Par de Perko[2]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2 Criando uma projecao com 14 cruzamentos . . . . . . . . . . . . 132.3 Projecao de um no alternado[2]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.4 Projecao de um no alternado com a notacao de Dowker[2]. . . . . 142.5 Pares de cada cruzamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.6 Pares de cada cruzamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.7 Transformando a notacao em um no[2]. . . . . . . . . . . . . . . 152.8 Transformando a notacao em um no[2]. . . . . . . . . . . . . . . 152.9 No composto e anfiquiral[2].Adaptado. . . . . . . . . . . . . . . . 162.10 Projecao numerada[2]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.11 Emaranhados[2]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.12 “Blocos de construcao” para formar nos ou links[2]. . . . . . . . . 172.13 Emaranhados equivalentes[2]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.14 (a)Emaranhado infinito. (b)Emaranhado 0. (c)Emaranhado 3.[2].Adaptado. 182.15 Realizando o processo[2].Adaptado. . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

v

LISTA DE FIGURAS vi

2.16 Transformando o emaranhado 3[2].Adaptado. . . . . . . . . . . . 182.17 Inclinacao positiva e negativa nos emaranhados[2].Adaptado. . . 192.18 Multiplicando emaranhados[2]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.19 Somando emaranhados[2]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.20 Mutacao de emaranhados[2]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.21 Grafos planares[2]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.22 Sombreando a projecao[2]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.23 Colocando e ligando os vertices[2]. . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.24 Definindo os sinais do cruzamento[2]. . . . . . . . . . . . . . . . . 222.25 Sinalizando os cruzamentos[2]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.26 Transformando um grafo planar sinalizado em um no ou link[2]. . 23

3.1 Sinalizando o cruzamento que deve ser mudado[2]. . . . . . . . . 243.2 (a)Projecao original. (b)Projecao alterada.[2] . . . . . . . . . . . 253.3 (a)Projecao alterada. (b)Visao parcial de lado. (c)Visao lateral.[2] 253.4 No composto[2]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.5 Projecao de 10 cruzamentos com numero de desembaracamento

10[2]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.6 Projecao de 14 cruzamentos (do mesmo no) com numero de de-

sembaracamento 2[2]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.7 (a)Um 5-movimento. (b)Um -5-movimento.[2] . . . . . . . . . . . 263.8 (a)No de trevo. (b)No da figura oito.[2] . . . . . . . . . . . . . . 273.9 (a)Overpass. (b)Overpass maximo.[2] . . . . . . . . . . . . . . . . 273.10 No 2-ponte (visao lateral)[2]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.11 No 2-ponte redesenhado[2]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.12 O no 2-ponte e um no raciona[2].l . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.13 O no 73 tem como numero de cruzamento 7[2]. . . . . . . . . . . 293.14 Cruzamentos facilmente removıveis[2].Adaptado. . . . . . . . . . 293.15 Projecao reduzida de no alternado com 23 cruzamentos[2]. . . . . 30

4.1 Planeta Terra e sua superfıcie(Adaptado de: https://bit.ly/2A4Rqs2e https://bit.ly/2QRwBqU). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.2 Os discos formados por um ponto[2]. . . . . . . . . . . . . . . . . 324.3 Objetos que nao sao superfıcies[2]. . . . . . . . . . . . . . . . . . 324.4 Superfıcies equivalentes[2]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324.5 Superfıcies isotopicas[2]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.6 Superfıcies nao isotopicas[2]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.7 A triangulacao nao pode feita dessas formas[2].Adaptado. . . . . 334.8 A triangulacao de uma esfera de do toro[2]. . . . . . . . . . . . . 334.9 Orientando as bordas dos triangulos[2]. . . . . . . . . . . . . . . . 334.10 Duas superfıcies homeomorfas[2]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.11 Outro exemplo de superfıcies homeomorfas[2]. . . . . . . . . . . . 344.12 O 2-toro e o 3-toro nao sao homeomorfos[2]. . . . . . . . . . . . . 344.13 (a)E = V −A+F = 5−7+3 = 1 (b)E = V −A+F = 6−9+4 = 1 354.14 (a)T1(b)T2(c)T1UT2[2] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.15 (a)T1 (b)Adicionando vertices (c)Adicionando pares de vertices e

arestas[2] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.16 (a)Adicionando mais um vertice (b)Adicionando o resto de T2

(c)Triangulando o resultente[2] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.17 Soma conexa de dois toros[2]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

LISTA DE FIGURAS vii

4.18 Soma conexa de dois toros triangulados[2]. . . . . . . . . . . . . . 384.19 Subdivisao de um toro[2]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.20 Plano e toro com um buraco[2]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.21 O complemento do no e tudo alem do no[2]. . . . . . . . . . . . . 394.22 Uma esfera no complemento de um link divisıvel[2]. . . . . . . . . 404.23 Um no de trevo contido em um toro[2]. . . . . . . . . . . . . . . . 404.24 Um superfıcie compressıvel no R3−L e sua derivacao mais simples[2].Adaptado. 404.25 Esse toro e imcompressıvel[2]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.26 Toro com fronteiras[2]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.27 Toro com uma fronteira[2]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.28 Superfıcies com a mesma caracterıstica de euler[2]. . . . . . . . . 424.29 (a)Um lado. (b)Dois lados[2]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.30 Fita de Mobius (Retirado de: https://bit.ly/1JosoC3). . . . . . . 424.31 Esfera (Adaptado de: https://bit.ly/2qTc8H8). . . . . . . . . . . 434.32 Cubo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.33 Um annulus[2]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.34 Esfera de Conway[2]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.35 Fita de Mobius com no de trevo em sua fronteira[2]. . . . . . . . 444.36 Toro com um compoennte de fronteira[2]. . . . . . . . . . . . . . 454.37 Eliminando os cruzamentos[2]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.38 Os cırculos estao em diferentes alturas[2]. . . . . . . . . . . . . . 464.39 Conectando os discos por fitas trancadas[2]. . . . . . . . . . . . . 464.40 Essa superfıcie tem dois lados que podem ser pintados de cores

diferentes[2]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.41 Outras superfıcies Seifeirt para o mesmo no[2]. . . . . . . . . . . 474.42 O unknot tem genus 0[2].Adaptado. . . . . . . . . . . . . . . . . 474.43 g(J# K) ≤ g(J) + g(K)[2]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.44 S e F[2]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.45 Remova intercecoes de um unico ponto[2]. . . . . . . . . . . . . . 494.46 Todas as intersecoes de curvas sao, tambem, cırculos ou arcos[2]. 494.47 Tem apenas um arco de intersecao[2]. . . . . . . . . . . . . . . . 494.48 Tres maneiras de pensar sobre a intersecao de curvas[2]. . . . . . 494.49 Cada loop de intersecao limita um disco nao perfurado em F[2]. . 504.50 Formando um novo S[2]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.51 F divide S em uma superfıcie Serfert para J e uma supercıcie

Seifert para K[2]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514.52 O no trivial nao e a composicao de dois nos nao triviais[2]. . . . . 51

5.1 Tres acoes que as enzimas podem fazer no DNA[2]. . . . . . . . . 535.2 DNA circular sob microscopio eletronico (de Wasserman et al.,

1985 [9]). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545.3 Duas moleculas feitas do mesmo conjunto de atomos e ligacoes,

porem com diferentes arranjamentos no espaco[2]. . . . . . . . . . 54

Capıtulo 1

Preliminares

Na decada de 1880, acreditava-se que uma substancia chamda Eter permeavatodo o espaco. Na tentativa de explicar os diferentes tipos de materia, a hipotesede Lork Kelvin (William Thomson, 1824 - 1907) eram nos nos tecidos deste Eter.Cada no diferente no tecido desta materia, representava um elemento diferente.

Isso convenceu o fısico escoces Peter Guthrie Tait (1831 - 1901) de que, se eleestivesse listando todos os elementos possıveis, ele estaria criando uma tabelados elementos. Ele passou muito tempo fazendo isso, ao mesmo tempo que omatematico C. N. Little trabalhava em suas proprias tabulacoes.

Kelvin estava errado, entao nos anos seguintes os quımicos perderam o inte-resse pelos nos. Contudo, em 1980, os bioquımicos descobriram que os nos esta-vam presentes nas moleculas de DNA. Simultaneamente, os quımicos sinteticosperceberam que poderiam criar moleculas noadas, onde o tipo de no determinaas propriedades da molecula. Nasce um campo da matematica que ajuda aquımica e a biologia.

Mas, afinal, o que e um no? Um no e um loop de cordas noadas, em que suaspontas nao podem ser separadas. Se pensarmos que a corda nao tem espessura,sua transversal e um unico ponto.

O no mais simples que existe e o no trivial (em ingles, unknot), o qual eliteralmente apenas um cırculo. A corda utilizada para forma-lo e apenas umsegmento de corda que foi atado o final. O segundo no mais simples que exitee o no de trevo (em ingles, trefoil knot).

Uma vez que se acreditava que os nos representavam elementos quımicos, atabulacao de elementos se traduz naturalmente na tabulacao, isto e, na classi-ficacao de nos. Porem como podemos diferenciar um no de outro. Por exemplo,como podemos diferenciar o no trivial do no de trevo? Para isso, introduziremosalgumas maneiras de diferenciar os nos. Contudo, antes precisamos de algumasnocoes e definicoes basicas explanando sobre o conceito de nos.

1.1 Projecoes, cruzamentos e nosPassaremos agora a tratar com as definicoes formais referentes ao assunto.

Definicao 1.1. Um no e uma curva fechada no R3 . Uma curva e, nada maisnada menos, do que uma funcao contınua do intervalo [0, 1] em R3.

1

1.2 Composicao dos Nos 2

Figura 1.1: Um no no R3 (Adaptado de: https://bit.ly/2BdoIGZ).

Definicao 1.2. Uma projecao e a representacao de um no em um plano 2D.

Duas projecoes podem ser quivalentes se o no que elas representarem foremo mesmo. A projecao, neste caso, e como utilizada na matematica quandoprecisamos fazer a projecao de um ponto, o qual e como se pegassemos umalanterna e representassemos sua sombra. Com os nos e da mesma forma, e comose pegassemos o no e projetassemos ele atraves de uma lanterna: a sombra serasua projecao.

Figura 1.2: Como e originada uma projecao (Adaptado de:https://bit.ly/2BdoIGZ).

Definicao 1.3. Um cruzamento e o local da projecao onde dois segmentos deum mesmo no se cruzam.

Figura 1.3: Cruzamentos de uma projecao (Adaptado de:https://bit.ly/2BdoIGZ).

1.2 Composicao dos NosDadas duas projecoes de nos, nos podemos definir um novo no removendo

um pequeno pedaco de qualquer ponto da projecao e, entao conectar os 4 pontosque restaram.

Nos escolhemos arcos da parte externa da projecao dos nos, afim de evitara criacao de novos cruzamentos.

Chamamos o no resultante de no composto, pois pode ser representadocomo a composicao de dois nos, os quais nenhum e trivial.

A razao do no trivial nao modificar o no composto resultante e simples,podemos fazer uma analogia com o uso de numeros inteiros. Quando qualquer

1.2 Composicao dos Nos 3

Figura 1.4: Construindo um no composto[2].

Figura 1.5: Criacao de cruzamentos nao requisitados[2].Adaptado.

numero inteiro e multilpicado por 1, ele continua sendo ele mesmo, ou quandoqualquer numero inteiro e somado com 0, ele tambem continua sendo ele mesmo.Dado o no resultante, os nos que compoem o no maior sao chamados de nos defator.

Se um no nao e a composicao de dois nos nao triviais, ele e chamado deno primo. Podemos entender os nos primos fazendo uma analogia com osnumeros primos. Por exemplo, o numero 3 e um numero primo porque naopode ser dividido por nenhum fator, exceto ele mesmo e o numero 1. Com osnos primos e a mesma coisa, se um no e primo ele nao pode ser decomposto emdois nos que nao sejam triviais. O no de trevo e, por exemplo, um no primo.

Nos podemos decidir de onde tirar o pedaco de arco dos nos para formaro no composto, porem dependendo de onde o pedaco e tirado, o no compostopode ser diferente. E muito provavel que existam diferentes nos compostos quesejam formados pelos mesmos nos de fator.

Para descobrir se os nos podem ser iguais ou nao, utilizaremos uma tecnica.Primeiramente, precisamos definir uma orientacao para os nossos nos. Orien-tar um no e dar uma direcao para ele viajar, a orientacao permanece a mesmaao longo de toda a projecao. Quando formamos uma composicao de dois nosorientados, existem duas possibilidades. Ou as orientacoes sao iguais e corres-pondem, ou elas diferem. Todas as projecoes onde as orientacoes correspondem,produzirao o mesmo no composto, pois podemos encolher um no de fator e des-lizar em torno do outro para obter os nos equivalentes. Todas as projecoes ondea orientacao e contraria, produzirao um unico no composto.

Ou seja, podemos concluir que:

• Todos os nos obtidos a partir de uma colagem que corresponde a ori-entacao, sao equivalentes.

• Todos os nos obtidos a partir de uma colagem que nao corresponde aorientacao, sao equivalentes entre si.

1.3 Movimentos de Reidemeister 4

1.3 Movimentos de ReidemeisterSuponha que tenhamos duas projecoes do mesmo no. Se fizermos um no

de corda que modelou a primeira das duas projecoes, poderemos rearranjara corda para se assemelhar a segunda projecao. Os teoricos do no chamamo rearranjamento da corda, isto e, o movimento da corda atraves do espacotridimensional sem deixa-lo passar atraves de si, uma isotopia de ambiente. Apalavra “isotopia” refere-se a deformacao da corda. A palavra “ambiente” refere-se ao fato de que a corda esta sendo deformada atraves do espaco tridimensionalem que ela se encontra. Observe que em uma isotopia ambiente, nao podemosencolher uma parte do no para um ponto a fim de se livrar do no. E mais facilpensar em um no feito de corda. Assim como voce nao pode se livrar de um noem uma corda, puxando-o mais e mais, portanto, uma isotopia de ambiente naonos permite se livrar de um no dessa maneira. Ou seja, e impossıvel reduzir umno a um unico ponto, pois ele persiste por isotopia.

Uma deformacao de uma projecao de no e chamada de isotopia planar se de-forma o plano de projecao como se fosse feito de borracha. A palavra “planar” eusada aqui porque estamos apenas deformando o no dentro do plano de projecao.Tenha em mente que a projecao e uma borracha altamente deformavel.

O movimento de reidemeister e uma das 3 maneiras de mudar a projecao deum no, mudando a relacao entre seus cruzamentos. O movimento de reidemeiternunca ira alterar o no, apenas a projecao do no.

O primeiro movimento de reidemeister nos permite torcer ou destorcer umpedaco da corda, de forma que facamos ou removemos 1 cruzamento (Figura1.6).

Figura 1.6: 1o Movimento de Reidemeister[2].Adaptado.

O segundo movimento de reidemeister nos permite passar uma corda porcima ou por baixo da outra, de modo que criamos ou removemos 2 cruzamentos(Figura 1.7).


O terceiro movimento de reidemeister nos permite deslizar uma corda de umlado para outro lado do cruzamento, de modo que o numero de cruzamentoscontinue o mesmo (Figura 1.8).

1.3 Movimentos de Reidemeister 5


Note que a projecao do no muda, mas ele continua o mesmo no.

Figura 1.9: A figura continua a mesma[2].Adaptado.

Se, a partir de uma sequencia de movimentos de reidemeister voce conseguechegar de uma projecao de um no ate a sua espelhada, o no e chamado deanfiquiral, assim como mostra a figura 1.10.

Figura 1.10: Projecao espelhada de um no obtida atraves de movimentos dereidemeister[2].

Podemos dizer entao, que o no de trevo nao e equivalente a sua projecaoespelhada, assim como e mostrado na figura 1.11. [1]

1.4 Links 6

Figura 1.11: Projecoes espelhadas do no de trevo nao sao equivalentes[1].

1.4 LinksUm link e um conjunto de lacos noados, todos amaranhados juntos. Dois

links sao considerados os mesmos se pudermos transformar um no outro atravesde movimentos de reidemeister, sem que um link se intercepte ou intercepteo outro no processo de deformacao. Aqui estao duas projecoes do link maissimples, conhecido como Whitehead Link (Figura 1.12).

Figura 1.12: Whitehead Link[2].

Se o link e composto por n lacos, temos um link de n componentes, isto e, seum link e composto por dois lacos, ele e chamado de link de duas componentes.Por exemplo, o enlace Borromeano e um link de 3 componentes.

Figura 1.13: Enlace Borromeano[2].

Um no e considerado um link de uma componente. Praticamente tudo oque fazemos para nos e equivalente para os links. Por exemplo, duas projecoes

1.4 Links 7

representam o mesmo link, se pudermos aplicar uma sequencia de movimentosde reidemeister para transformar uma projecao na outra.

Um link e chamado de decomponıvel se ele pode ser decomposto, assimcomo na figura 1.14.

Figura 1.14: Link decomponıvel[2].

Existe uma maneira de distinguir certos links, basta contar o numero decomponentes de um link. Se o numero e diferente, entao os links tem que serdiferentes. Entao, obviamente, o no de trevo, o Whitehead Link e o EnlaceBorromeano tem que ser diferentes.

Se tivermos duas projecoes de links, as duas com a mesma quantidade decomponentes, assim como os nos, eles podem ser iguais. Aqui estao os doislinks mais simples de duas componentes. O primeiro e chamado de link trivialde duas componentes e o segundo e chamado de Hopf link. A diferenca entreeles e que o link trivial pode ser decomposto, pois as duas componentes podemser separadas no plano. Nos veremos um metodo para medir numericamente oquao ligadas duas componentes de um link estao, chamaremos isso de LinkingNumber

Figura 1.15: Link trivial e Hopf Link[2].

Denotaremos M e N para serem as nossas duas componentes de um link.De uma orientacao para cada uma delas. Contamos +1 para cada cruzamentodo primeiro tipo e -1 para cada cruzamento do segundo tipo. As vezes e difıcildeterminar atraves da figura se o cruzamento e do primeiro ou do segundo tipo.Note que se o cruzamento for do primeiro tipo, entao a corda de baixo recebeum movimento no sentido horario para se equiparar a corda superior. Para ocruzamento do segundo tipo, a corda de baixo recebe um movimento no sentidoanti-horario para se equiparar com a superior.

Figura 1.16: Cruzamento do primeiro e do segundo tipo, respectivamente[2].

Agora, somaremos os +1’s e −1’s que obtivemos atraves dos tipos dos cru-zamentos e dividiremos por 2. Esse numero sera o linking number do link. Nos

1.5 Tricolorabilidade 8

nao contamos os cruzamento em que a corda se cruza, apenas consideraremosos cruzamentos obtidos atraves de duas cordas distintas, de duas componentesdistintas. Para o link trivial, o linking number e 0. Para o Hopf link, o linkingnumber e 1 ou −1, dependendo da orientacao das duas componentes. A figura1.17 representa um link com linking number 2.

Figura 1.17: Link com linking number 2[2].

Note que se invertessemos a orientacao de uma das componentes do link, olinking number seria multiplicado por -1. Se olharmos para o valor absoluto dolink, potanto, ele sera independente da orientacao das compenentes.

Computar o linking number nao e algo facil, porem para um link especıficoo linking number sempre sera o mesmo, nao importa a projecao que ele assume.Provaremos isso mostrando que os movimentos de reidemeister nao mudam olinking number.

O primeiro movimento de reidemeister nao muda o linking number, pois ecriado ou desfeito um cruzamento de uma corda com ela mesma (Figura 1.6).Para alterar o linking number, deve haver cruzamento de uma corda de umacomponente com a outra de outra componente.

O segundo movimento de reidemeister (Figura 1.7) nao altera o linking num-ber, pois ocorre uma soma e uma subtracao ao mesmo tempo, ou seja, +1−1 = 0.

O terceiro movimento de reidemeister (Figura 1.8) nao altera o linking num-ber, pois ocorre uma soma e uma subtracao ao mesmo tempo, ou seja, +1−1 = 0.

Ou seja, e possıvel transformar a projecao de um link em outra projecao,sem alterar o link.

O linking number e uma invariante de um link, veremos isso mais afrenteneste mesmo relatorio.

Podemos usar o linking number para diferenciar links, isto e, se o valorabsoluto de dois links forem iguais, entao eles podem ser iguais. Se o valorabsoluto de dois links forem diferentes, com certeza eles sao links distintos. Porexemplo, o valor absoluto do linking number do link trivial e 0, mas o valorabsoluto do Hopf link e 1, portanto com certeza sao links diferentes.

Um link e chamado de link de Brunn (Brunnian link), quando o link em sinao e trivial, porem se retirada uma das componentes dele, ele fica trivial.

1.5 TricolorabilidadeNos temos conversado muito sobre nos e links, porem nao falamos do princıpio

basico da teoria dos nos. Nos ainda nao provamos que existe um outro no alemdo no trivial. Pelo que sabemos ate agora, qualquer projecao de um no pode seruma projecao alternativa do no trivial embarassado. Talvez qualquer projecao


Figura 1.18: Link de Brunn (Retirado de: https://bit.ly/2G1YHyH)

de um no pode ser transformada no no trivial atraves de uma sequencia demovimentos de reidemeister. A questao e que, de fato, eles podem nao ser,porem temos que provar isso. Nos provaremos que existe pelo menos um no quee distinto do no trivial, atraves do conceito de Tricolorabilidade.

Diremos que, se uma projecao de um no ou de um link sao tricoloraveis, secada cruzamento da projecao recebe apenas uma cor ou tres cores diferentes.Por exemplo, o no de trevo e tricoloravel.

Figura 1.19: Duas projecoes do no de trevo[2].Adaptado.

Temos algumas regras para o conceito de tricolorabilidade:

• A projecao nao pode ser preenchida por apenas uma cor.

• Na projecao, nao pode haver um cruzamento que nao seja preenchido por1 ou 3 cores diferentes.

Como provamos se um no e tricoloravel ou nao? A resposta e simples.Escolhemos um cruzamento na projecao e comecamos a colorir por ele. Pri-meiramente, fazemos com que desse cruzamento parta apenas uma cor. Agora,partimos do mesmo cruzamento escolhido, porem com tres cores se encontrandonele. Portanto, provamos assim se um no e tricoloravel ou nao.

Na primeira projecao, o no recebe em cada cruzamento, tres cores diferentes.Ja na segunda, ele recebe ou tres cores diferentes ou apenas uma em cadacruzamento. Portanto sao tricoloraveis. Alem disso, e mostrado que se umaprojecao de um no for tricoloravel, todas as outras projecoes existentes serao,tambem, tricoloraveis.

Mas e quanto aos movimentos de reidemeister, eles preservam a tricolorabi-lidade do no? A resposta e sim, veja na figura abaixo.


Figura 1.20: Um no nao tricoloravel[2].Adaptado.

Figura 1.21: Movimentos de reidemeister no conceito detricolorabilidade[2].Adaptado.

Portanto, uma vez que os movimentos de reidemeister nao afetam a trico-lorabilidade, se a projecao e tricoloravel ou nao depende apenas do no corres-pondente a projecao. Cada projacao de um no e tricoloravel ou nenhuma dasprojecoes desse no e tricoloravel. Por exemplo, nenhuma das projecoes do notrivial e tricoloravel, uma vez que o no trivial nao e tricoloravel. O no de trevoe tricoloravel, todas as suas projecoes sao tricoloraveis. Podemos dizer, entao,que o so de trevo e o no trivial sao nos distintos. Acabamos de provar que existepelo menos um no diferente do no trivial.

Capıtulo 2

Tabulando os nos

2.1 Historia da tabulacao dos nosA Teoria dos nos comecou a serio em torno do final do seculo XIX. An-

teriormente, varios matematicos tinham se envolvido com nos, incluindo CarlFriedrich Gauss (1777-1855), um dos maiores de todos os matematicos. Mas foia teoria de Lorde Kelvin de que os atomos eram emaranhados no eter, o quedespertou serio interesse em determinar os possıveis nos. O primeiro trabalhode tabulacao de projecoes de nos foi feito na decada de 1880, pelo reverendoThomas P. Kirkman. Essas primeiras exploracoes na teoria dos nos sofreramcom o estilo de escrita opaca de Kirkman (traducao nossa):

“Por um no de N cruzamentos, eu entendo uma reticulacao de qual-quer numero de malhas de duas ou mais bordas, cujos cumes, todasas tessaraces, sao cada um cruzamento unico, como quando vocecruza seus dedos indicadores em linha reta ou levemente curvados,para nao ligar eles, e tais malhas que cada fio ou e visto, quando aprojecao do no com seus N cruzamentos e nao mais e desenhada emlinhas duplas, ou concebida pelo leitor de seu curso, quando dese-nhada em uma unica linha, para passar alternadamente sob e sobreos fios a que se chega em cruzamentos sucessivos.”

Apesar da obnubilacao de Kirkman, suas ideias foram aplicadas por um fısicoescoces chamado Peter Guthrie Tait, a fim de listar todos os nos alternados emate 10 cruzamentos. Esta foi a primeira tabulacao bem sucedida de nos.

Um professor da Universidade de Nebraska chamado C. N. Little foi o pri-meiro a atacar o problema de enumerar os nos nao-alternados. Em 1899, aposseis anos de trabalho, publicou uma tabela de 43 nos nao-alternados de 10 cru-zamentos. Acreditava-se que sua tabela estava correta por 75 anos. Ate queem 1974 foi descoberto que dois dos nos na tabela de Little eram na verdade omesmo no e que havia apenas 42 nos distintos de 10 cruzamentos. A duplicacaofoi descoberta por um matematico de meio perıodo e um advogado de Nova Yorkchamado Kenneth A Perko. As duas projecoes que realmente correspondem aomesmo no agora sao chamadas de par de Perko.

Little passou a publicar um censo de 11 nos alternados, eventualmente desco-berto para conter onze omissoes e uma duplicacao. Em 1917, Mary G. Haseman

11

2.1 Historia da tabulacao dos nos 12

Figura 2.1: Par de Perko[2].

listou todos os nos anfiqueirais (lembre-se, isso significa nos que sao equivalentesas suas imagens espelhadas) de 12 cruzamentos em sua tese de doutorado.

Durante esse perıodo inicial da tabulacao de nos, houve poucas tentativasde provar rigorosamente que os nos que se afirmavam distintos nas tabelas eramrealmente distintos. Na verdade, nao foi ate 1927, que dois matematicos chama-dos Alexander e Briggs forneceram a primeira prova de que os nos de ate novecruzamentos nas tebelas eram realmente distintos, com apenas alguns pares denos com os quais nao conseguiam lidar. Seus metodos utilizaram o primeiropolinomio aplicado a nos, agora conhecido como o polinomio de Alexander.Permaneceu o unico polinomio para nos ate 1984.

Kurt Reidemeister concluiu a classificacao rigorosa de nos em nove travessiasem 1932. Houve um longo perıodo de inatividade na tabulacao de nos.

Em 1969, um ingles chamado John H. Conway inventou uma nova notacaopara nos e usou-a para determinar todos os nos primos de 11 ou menos cruza-mentos e todos os links primos nao separaveis de 10 ou menos cruzamentos. Suatabulacao foi toda feita a mao, sem o auxılio de um computador. Conway se in-teressou por nos pela primeira vez enquanto cursava o ensino medio e formuloumuitas de suas ideias na epoca. Mas por causa de seus interesses matematicosmais amplos, nao foi ate muitos anos depois que ele aplicou essas ideias anteri-ores a classificacao de nos.

Em 1978, Alain Caudron, da Universidade de Paris, produziu a primeira listacorreta de todos os nos primos em 11 cruzamentos, corrigindo alguns erros databela de Conway. Nesse meio tempo, um canadense chamado Hugh Dowker in-ventou uma nova notacao para nos que era vagamente baseada nas ideias de Taitdo seculo anterior. Um algoritmo para gerar nos que utilizou esta notacao foiimplementado no computador por um ingles chamado Morwen Thistlethwaite.Este programa de computador resultou em uma tabela de todos os nos primosatraves de 12 cruzamentos em 1981, e uma tabela de todos os nos primos atravesde 13 cruzamentos em 1982. Ninguem trabalhou em estender a lista ate dez anosmais tarde, quando Jim Hoste comecou a trabalhar com um grupo de estudan-tes do ensino medio que tiveram acesso a um supercomputador. Ao mesmotempo, Morwen Thistlethwaite comecou novamente a trabalhar na tabulacao,estendendo as tabelas ate quinze cruzamentos. Para enfrentar os 16 nos decruzamento, dois grupos trabalharam independentemente. Hoste recrutou JeffWeeks, um especialista em nos hiperbolicos, enquanto Thistlethwaite trabalhavasozinho. Usando metodos diferentes, as duas equipes criaram o mesmo numerode nos de 16 cruzamentos. O papel que eles co-autoraram tem o tıtulo maravi-lhoso, “Os primeiros 1.701.936 nos” [5].

Aqui esta uma lista dos numeros de nos que foram determinados ate agora:

2.2 Notacao de Dowker para nos 13

Nessa lista de numeros, nao contamos um no e sua imagem espelhada. Nocaso em que um no e equivalente a sua imagem no espelho (isto e, o no e umanfiquiral), nenhuma informacao e perdida. No caso em que o no nao e equiva-lente a sua imagem no espelho, no entanto, um unico no nesta lista representadois nos distintos. Hoste, Thistlethwaite e Weeks determinam exatamente quaisnos sao anfiquirais, dando uma resposta a essa questao tambem.

Como e um no de 14 cruzamentos? Vamos desenhar um. Comece a desenharuma curva em um pedaco de papel, permitindo que ele se cruze, mas mantendoo controle de quantas vezes isso acontece a medida que voce avanca. Quandovoce chegar perto de 14 cruzamentos, comece indo para o ponto em que vocecomecou. Tente fechar a curva depois de exatamente 14 cruzamentos. Vocenem sempre podera fechar depois de exatamente 14 cruzamentos, mas depoisde alguns treinos, voce ficara melhor. Agora vamos fazer a projecao alternada.Para fazer isso, escolha o seu cruzamento favorito e decida em qual linha docruzamento vai passar por cima e qual passa por baixo. Depois, siga uma dascordas daquele cruzamento ate o proximo cruzamento, onde voce faz a cordafazer o oposto do que fez na ultima cruzamento. Continue desta maneira ateque voce tenha um no alternado de 14 cruzamentos. Isso lhe da uma sensacaode quantos nos de 14 cruzamentos pode haver. Qualquer curva cruzada de14 cruzamentos corresponde a um no alternado de 14 cruzamentos. Observeque se o no precisa ser alternado, voce tem 214 opcoes de como colocar oscruzamentos em qualquer projecao, pois para cada um dos 14 cruzamentos haduas possibilidades.

Figura 2.2: Criando uma projecao com 14 cruzamentos

Ha tambem milhoes de diferentes projecoes que poderıamos desenhar. Pareceque ha muito mais nos de 14 cruzamentos do que poderıamos catalogar. Masmuitas das projecoes e escolhas de cruzamentos correspondem, na verdade, aosmesmos nos.

2.2 Notacao de Dowker para nosA notacao de Dowker e uma maneira extremamente simples de descrever um

no. Comecaremos com as projecoes dos nos alternados.


Figura 2.3: Projecao de um no alternado[2].

Primeiramente, damos uma orientacao para a projecao. Em seguida esco-lhemos qualquer cruzamentos e rotulamos ele como o cruzamento 1, e a partirdisso achamos o 2, 3, 4... Faca isso ate chegar novamente no cruzamento 1.

Figura 2.4: Projecao de um no alternado com a notacao de Dowker[2].

Assim, cada cruzamento nos da um numero par e um numero ımpar.

Figura 2.5: Pares de cada cruzamento

Como taquigrafia, podemos apenas escrever 14, 12, 10, 2, 18, 16, 8, 6, 4 emanter na nossa mente que signifca que 1 e pareado com 14, 3 e pareado com12, 5 e pareado com 10, e assim por diante. Portanto, de uma projecao de umno, nos obtemos uma sequencia de numeros inteiros pares, onde o numero deinteiros pares e exatamento o numero de cruzamentos do no.

Agora, vamos na direcao contraria, isto e, partir da notacao para achar ono correspondente. Dada a sequencia de inteiros pares que representa umaprojecao de um noo alternado, como nos desenhamos a projecao? Digamos quea sequencia dada e a seguinte: 8, 10, 12, 2, 14, 6, 4. Isso e uma taquigrafia para:

Figura 2.6: Pares de cada cruzamento


Comece primeiro desenhando uma reta horizontal no plano. Faca o primeirocruzamento, numerado por 1 e 8 e escolha qual corda passa por cima e por baixono cruzamento. Faca isso para o proximo cruzamento, que corresponde por 2 e7, e assim por diante. Continue ate que o proximo inteiro que deve enumerar ocruzamento, ja tenha aparecido antes.

Figura 2.7: Transformando a notacao em um no[2].

Nos continuamos dessa maneira. Se nenhum dos numeros no proximo cru-zamento ocorreu antes, entao fazemos um novo cruzamento. Mas se um dosnumeros ocorreu antes, nos circulamos o no atraves do cruzamento. Durantetodo o tempo, teremos a certeza de que os cruzamentos se alternam a medidaque progredimos ao longo do no. Finalmente, acabamos com uma imagem donosso no.

Figura 2.8: Transformando a notacao em um no[2].

Agora, o que corresponde a ambiguidade de poder escolher como circularo no atraves do cruzamento? Nossa escolha pode mudar o no resultante. Porexmplo, a sequencia 4, 6, 2, 10, 12, 8 representa dois nos distintos. Note queos dois nos sao nos compostos, e isso se reflete no fato de que a sequencia 4 62 10 12 8 e na verdade um embaralhamento dos tres numeros 2, 4, 6 e entaoum embaralhamento dos tres numeros 8, 10 e 12. Quando a permutacao dosnumeros pares pode ser dividida em duas subpermutacoes separadas, os nosresultantes sao compostos (assumindo que cada um dos nos dos fatores e naotrivial) e o no nao e completamente determinado pela notacao de Dowker. Noentanto, se nos restringirmos a sequencias de numeros pares que nao podemser divididos em subpermutacoes, um no resultara em um no particular ou suaimagem espelhada. Quando o no e um anfiquiral, apenas um no pode ser oresultado.

O jeito que nos explicamos ate agora trabalha muito bem para os nos alter-nados. Mas e a respeito dos nos nao alternados? Nos adicionamos os sinais + e- em nossa sequencia de numeros inteiros pares. Se o inteiro par e atribuıdo ao


Figura 2.9: No composto e anfiquiral[2].Adaptado.

cruzamento enquanto estamos por cima naquele cruzamento, deixamos o inteiropar positivo. Mas se o inteiro par e atribuıdo ao cruzamento enquanto esta-mos por baixo daquele cruzamento, nos deixamos o numero par correspondentenegativo. Entao, por exmplo, os numeros 14, 12, 4, 8 sao negativos.

Figura 2.10: Projecao numerada[2].

A notacao de Dowker nos permite chegar a projecoes de nos no computadorsimplesmente como uma sequencia de numeros. Em particular, suponha quequisessemos tentar uma classificacao de nos de 14 cruzamentos. O numero desequencias dos 14 numeros e 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28 e14!, que e cerca de 87 bilhoes. Entao podemos colocar +1 ou −1 na frente decada um dos numeros pares, dando-nos outro fator de 214. Claro, nao existemmuitos nos diferentes com 14 cruzamentos. Muitas das sequencias representamo mesmo no. De fato, muitas das sequencias representam a mesma projecao domesmo no.

2.3 Notacao de Conway para nos 17

2.3 Notacao de Conway para nosA notacao de Conway tem sido utilizada para provar inumeros resultados

e recentemente aplicada para o estudo do DNA. E particularmente adequadapara calculos envolvendo os chamados emaranhados.

Um emaranhado em um no ou link e a regiao do plano da projecao rodeadapor um cırculo, tal que o no ou link cruze esse cırculo quatro vezes. Nos iremossempre usaros quatro ponto cardeais NO, NE, SO e SE.

Figura 2.11: Emaranhados[2].

Nos usamos os emaranhados como se fossem blocos de construcao que cons-tituem algo maior, os nos e links.

Figura 2.12: “Blocos de construcao” para formar nos ou links[2].

Nos diremos que dois emaranhados sao equivalentes se for possıvel chegar deum a outro por uma sequencia de movimentos de reidemeister.

Figura 2.13: Emaranhados equivalentes[2].

Observe que, se formarmos um no a partir de um unico emaranhado, co-lando as pontas em pares, entao dois desses nos serao equivalentes sempre que osemaranhados correspondentes forem equivalentes. Um dos emaranhados maissimples sao duas cordas na vertical, chamado de emaranhado infinito (a). O


emaranhado composto por duas cordas na horizontal e chamado de emaranhado0 (b). Nos podemos girar duas cordas verticais ao redor uma da outra, chama-mos de emaranhado 3 (c). Se tivessemos girado na outra direcao, ele seria oemaranhado -3. Observe que para uma torcao positiva, a corda que passa porcima tem uma inclinacao positiva.

Figura 2.14: (a)Emaranhado infinito. (b)Emaranhado 0. (c)Emaranhado3.[2].Adaptado.

Vamos montar um emaranhado mais complexo, a partir do emaranhado 3.Primeiro, vamos refletir o emaranhado atraves da diagonal representada pelosponto cardeais NO e SE. Pense que esta reflexao foi feita por um espelho que eperpendicular ao plano da projecao. Para descomplicar, basta girar a projecaoem 90o em sentido horario e inverter todos os cruzamentos. Observe que mesmodepois da reflexao, os cruzamentos com inclinacao positiva continuam com in-clinacao positiva.

Agora, nos criamos duas torcoes na corda, de forma que adicionamos umemaranhado 2. O emaranhado resultante e denotado por 3 2.

Figura 2.15: Realizando o processo[2].Adaptado.

Agora, se pegarmos o emaranhado 3 2, realizar o mesmo processo de de-flexao e adicionar 4 torcoes na corda com inclinacao negativa, temos o seguinteemaranhado:

Figura 2.16: Transformando o emaranhado 3[2].Adaptado.


Figura 2.17: Inclinacao positiva e negativa nos emaranhados[2].Adaptado.

Nos chamamos de emaranhado racional, o emaranhado que pode ser cons-truıdo dessa maneira.

Teorema 2.1. Se as fracoes contınuas de dois emaranhados forem equivalentes,o no ou link correspondente sera o mesmo.

Demonstracao. E muito simples dizer se dois emaranhados racionais sao equiva-lentes. Suponha que dois emaranhados sao dados pelas sequencias de inteiros -23 -2 e 3 -2 3. Nos provamos isso atraves de fracoes contınuas. A fracao contınuacorrespondente a -2 3 2 e:

2 + 13 + 1

−2

Nos colocamos o -2 no local do denominador da fracao com numerador 1.Adicionamos ao 1

−2 o proximo numero 3, e colocamos o resultado no denomina-dor da fracao com numerador 1. Entao adicionamos o ultimo numero. Observeque a fracao fica assim:

2 + 13 + 1

−2

2 + 152

2 + 25

125

A fracao contınua correspondente a 3 -2 3 e:

3 + 1−2 + 1

3

em que o resultado tambem e 125 . Ou seja, desde que as fracoes contınuas

sejam equivalentes, o emaranhado racional e, consequentemente, o no tambemsao equivalentes.

Se nos ligarmos as extermidades de um emaranhado racional, chamamos olink resultante de link racional. Entao, por exemplo, o no da figura oito e um


no racional, com emaranhado 2 2. Podemos usar a notacao de Conway paraemaranhados racionais para encontrar o no racional correspondente.

Podemos utilizar emaranhados racionais para construir emaranhados maiscomplicados. Por exemplo, vamo definir uma maneira de multiplicar dois ema-ranhados para obter um novo emaranhado. Defletimos o emaranhado atravesda diagonal NO e SE e ligamos com o outro emaranhado.

Figura 2.18: Multiplicando emaranhados[2].

Podemos, tambem, somar emaranhados. A soma e feita a partir da juncaodas extremidades dos emaranhados, sem fazer a deflexao de nenhum deles.

Figura 2.19: Somando emaranhados[2].

Portanto, nos temos as operacoes de multiplicacao e soma de emaranha-dos. Chamaremos qualquer emaranhado obtido a partir de qualquer uma dessasoperacoes de emaranhado algebrico.

Um link algebrico e simplesmente um link formado quando ligamos asextremidades NO com a NE e SO com a SE em um emaranhado algebrico.

Os emaranhados algebricos tem um comportamento similar ao dos numeroreais. Podemos somar ou multiplicar 2 deles. Mas os numeros reais tem oelemento 0, e somando 0 nao muda o numero. Chamamos de 0 uma identidadeadiditiva para os numeros reais.

Os numeros reais tambem tem o numero 1, que multiplicando qualquernumero por ele, nao o muda. Chamamos 1 de identidade multiplicativa.

Existem diferencas entre as propriedades dos numeros reais e dos emaranha-dos algebricos. Por exemplo, a multiplicacao de dois emaranhados nao e comu-tativa. Nao e verdade que ab = ba para todos os emaranhados. (ab)c = a(bc)tambem nao e verdade. Alem do mais, emaranhados nao tem inversas. Para osnumeros reais, se existe c, existe −c e, se somados, +c − c = 0. Os emaranha-dos nao tem inverso, nao existe um emaranhado −T que somado com T de oemaranhado trivial 0.

Outra maneira de modificar nos e atraves da chamada mutacao. A mutacaoconsiste em mecher com o emaranhado, de forma que altere o no correspondente.Por exemplo:

Embora a mutacao possa transformar um no em outro, ela nao pode transfor-mar um no nao trivial no no trivial. Pelo menos, nao precisamos nos preocuparcom essa possibilidade. Ainda assim, os nos mutantes sao alguns dos nos maisdifıceis de distinguir.

2.4 Nos e grafos planares 21

Figura 2.20: Mutacao de emaranhados[2].

2.4 Nos e grafos planaresEsta notacao para as projecoes de nos foi muito util no passado da tabulacao

dos nos. Ela permitiu a criacao da ponte a teoria dos nos e teoria dos grafos.O que e um grafo? Um grafo consiste em um conjunto de pontos chamados

vertices e um conjunto de arestas que vai conecta-los.Aqui, estamos interessadom em grafos planares, ou seja, os que se encontram

no plano, como o seguinte exemplo:

Figura 2.21: Grafos planares[2].

A partir de uma projecao de um no ou de um link, criamos um grafo daseguinte maneira. Primeiramente, sombreamos todas as regioes da projecao deforma alternada, sem que a parte externa infinita seja sombreada.

Figura 2.22: Sombreando a projecao[2].

Coloque um vertice no centro de cada regiao sombreada e, em seguida, co-necte com uma aresta quaisquer dois vertices que estejam em regioes que com-partilhem um cruzamento. Este e o grafo correspondente a nossa projecao.

Existe apenas um problema. Nao depende de forma alguma se um cruza-mento passa por cima ou por baixo. Por essa causa, definimos cruzamentoscomo positivos ou negativos, dependendo de como eles se cruzam.


Figura 2.23: Colocando e ligando os vertices[2].

Figura 2.24: Definindo os sinais do cruzamento[2].

Agora, sinalizamos cada aresta no grafo planar com + ou -, dependendodo cruzamento. Note que a aresta nao precisa, necessariamente, ser compostaapenas por retas, mas tambem por curvas.

Figura 2.25: Sinalizando os cruzamentos[2].

Chamamos, entao, de grafo planar sinalizado, podendo transformar qualquerprojecao de link em um grafo planar sinalizado.

Podemos fazer o processo na direcao contraria? A resposta e sim.Dados os grafos planares sinalizados, coloque um X em cada aresta. Conecte

as arestas nos X’s. Sombreie as arestas que contem um vertice. Entao, em cadaX, coloque o cruzamento correspondente (se e + ou -).

Portanto, agora nos temos oportunidade de transformar projecoes de nos oulinks em grafos planares sinalizados ou vise-versa. Por exemplo, um dos proble-mas ainda abertos na teoria dos nos e encontrar um algorıtimo para determinarse a projecao e uma projecao do no trivial. Isso e equivalente a perguntar seuma sequencia de movimentos de reidemeister pode nos levar ou nao a umaprojecao do no trivial.

Mas podemos transformar projecoes de nos e links em grafos planares si-lalizados. Podemos transformar moviemtos de reidemeister em operacoes nosgrafos planares sinalizados.


Figura 2.26: Transformando um grafo planar sinalizado em um no ou link[2].

Capıtulo 3

Invariante de nos

Na matematica, no campo da teoria do no, uma invariante de no e a quan-tidade, definido para cada no que e o mesmo para os nos equivalentes a ele. Aequivalencia e muitas vezes determinado pelo ambiente isotopico. A investigacaosobre o calculo de invariantes nao e apenas motivada pelo problema basico dedistincao de um no de outro, mas tambem para compreender propriedades fun-damentais dos nos e das suas relacoes com outros ramos da matematica.

3.1 Numero de desembaracamentoO numero de desembaracamento (em ingles, unknotting number), e o numero

mınimo de mudancas de cruzamentos, com objetivo de transformar o no corres-pondente no no trivial. Denotamos o numero de desembaracamento de um nopor u(K). Por exemplo, o seguinte no tem o numero de desembaracamento 1,pois ao mudar esse cruzamento, o no se torna o no trivial.

Figura 3.1: Sinalizando o cruzamento que deve ser mudado[2].

Dada uma projecao de um no, suponhamos que o numero de desembaracamentoseja 11. Podemos ter certeza de que o numero de desembaracamento desse noe, no maximo, 11. Porem, podemos encontrar outras projecoes que tenham umnumero de desembaracamento menor. Portanto, quando achamos o numero dedesembaracamento de um no, ele pode ser apenas menor (de acordo com as ou-tras projecoes desse no), pois o numero de desembracamento sempre se baseiano menor numero possıvel.

Todo no tem um numero de desembaracamento finito, pois nao faz sentidomudar o mesmo cruzamento por mais de 1 vez.

24

3.1 Numero de desembaracamento 25

Vamos aprender como encontrar o numero de desembaracamento. Dadauma projecao, escolha um ponto inicial que nao seja um cruzamentoe de umaorientacao para o no. Mude os cruzamento, de modo que a corda sempre passepor cima, sem alterar os cruzamentos que ja foram alterados. O numero decruzamentos que foram alterados corresponde ao numero de desembaracamento.

Figura 3.2: (a)Projecao original. (b)Projecao alterada.[2]

Para provar isso, vamos utilizar o espaco tridimensional. O ponto inicialsera, agora, denotado por Z, em quem Z=1 e o ponto inicial e Z=0 e o pontofinal. Quando olhamos a projecao com uma visao de cima, ela parece inalterada,porem quando temos a visao lateral, percebemos que nao ha mais cruzamentos.

Figura 3.3: (a)Projecao alterada. (b)Visao parcial de lado. (c)Visao lateral.[2]

Em geral, e difıcil encontrar o numero de desembaracamento de um no, poisnao ha como provar que existe uma projecao do mesmo no que nao possui umnumero de desembaracamento menor.

Um no composto pode ser desembaracado com apenas uma mudanca decruzamento? A resposta e que nao. Com apenas uma mudanca, e possıveldesembaracar apenas um dos dois nos de fator, fazendo com que o no ainda naoseja desembaracado.

Um outro ponto e que nem sempre uma projecao com o menor numerode cruzamentos possui o menor numero de desembaracamento. Isso pareceum pouco contra-intuitivo, mas pode ser mostrado pelas duas projecoes de ummesmo no seguintes:

Dada uma projecao de um no, definimos um K-movimento por uma mu-danca local na projecao, que substitui duas cordas desembaracadas por duas

3.1 Numero de desembaracamento 26

Figura 3.4: No composto[2].

Figura 3.5: Projecao de 10 cruzamentos com numero de desembaracamento10[2].

Figura 3.6: Projecao de 14 cruzamentos (do mesmo no) com numero de desem-baracamento 2[2].

cordas emaranhadas uma na outra (a corda de cima possui uma inclinacao po-sitiva). Um -K-movimento e a mesma coisa, exceto pelo fato de possuir umainclinacao negativa (na corda que passa por cima).

Figura 3.7: (a)Um 5-movimento. (b)Um -5-movimento.[2]

3.2 Numero de ponte 27

Dizemos que dois nos ou links sao K-equivalentes se nos podemos chegar deuma projecao a outra atraves de uma serie de k-movimentos ou -k-movimentos.

3.2 Numero de ponteO numero de ponte (em ingles, bridge number), e o numero mınimo de arcos

que cortam um no. Isto e, imaginemos que a parte escurecida do no esta acimado plano, e a parte mais clara do no esta abaixo do plano. Cada no intersectao plano em quatro vertices. Em ambos nos, existem dois arcos de cada noacima do plano, portanto o numero de ponte e 2, pois e menor numero de arcosdesembaracados dessa projecao.

Figura 3.8: (a)No de trevo. (b)No da figura oito.[2]

Em geral, dada uma projecao de um no em um plano, definimos um over-pass um sub-arco do no que passa por cima, no mınimo, de um cruzamento eque nunca passa por baixo de nenhum cruzamento. Um overpass maximo e omaior overpass possıvel, ele passa por cima de todos os cruzamentos disponıveis,mas nunca por baixo de nenhum cruzamento.

Figura 3.9: (a)Overpass. (b)Overpass maximo.[2]

O numero de ponte e, portanto, o numero mınimo de maximal overpassesde um no, denotado por b(K). Lembrando que dada uma projecao de um noou link, o numero de ponte encontrado e sempre o maior possıvel, pois podemhaver outras projecoes do mesmo no com um numero de ponte menor.

Nos com numero de ponte 2, sao de uma classe especial, os nos 2-pontes.Suponha que cortemos o no 2-pontes ao longo do plano da projecao. Os maximaloverpasses vao acima do plano e os arcos embaracados vao abaixo do plano.Observe que eles estao desembaracados e nao-noados, desde que eles nao podemter cruzamentos um com o outro. Todos os cruzamento vem de algum maximal

3.2 Numero de ponte 28

overpass e de um desses arcos. Entao se queremos construir todos os nos 2-pontes possıveis, apenas colamos as extremidades das duas desembaracadas enao-noadas abaixo do plano. A parte complicada e que apesar das cordas decada lado do plano estarem individualmente desembaracadas, elas podem giraruma em torno da outra. Em uma visao de lado, vemos algo parecido com isso:

Figura 3.10: No 2-ponte (visao lateral)[2].

Dada uma imagem de um no 2-ponte, como na figura acima, podemos semprelivrar uma das cordas e redesenhar nossa projecao, como na figura abaixo.

Figura 3.11: No 2-ponte redesenhado[2].

Agora, podemos ver que os no 2-pontes sao, de fato, simplesmente umno racional, rodando todos os outros inteiros emaranhados horizontalmente,comcando com o inferior.

Figura 3.12: O no 2-ponte e um no raciona[2].l

3.3 Numero de cruzamento 29

3.3 Numero de cruzamentoO numero de cruzamento (em ingles, crossing number), e o menor numero

de cruzamentos que uma projecao de um no pode ter, e e denotado por c(K).Como determinamos o menor numero de cruzamentos de um no? Encontra-

mos um projecao do no com n cruzamentos. Sabemos, entao, que o notem n oumenos cruzamentos. Se os nos com menos de n cruzamentos sao conhecidos, ese o no nao aparece na lista de nos com menos que n cruzamentos, entao o notem que ter n cruzamentos.

Por exemplo, o no 73 tem 7 cruzamentos, ja que sua projecao tem 7 cruza-mentos e e diferente de todos os nos com menos de 7 cruzamentos.

Figura 3.13: O no 73 tem como numero de cruzamento 7[2].

Em geral, e difıcil determinar o numero de cruzamento, pois como provarque uma projecao de 15 e 14 cruzamentos nao sao equivalentes, sendo que naose sabem nem todos os nos de 14 cruzamentos.

As vezes, ainda podemos determinar o numero de cruzamentos. Em 1986,Lou Kauffman (da Universidade de Illinois em Chicago), Kunio Murasugi (daUniversidade de Toronto) e Morwen Thistlethwaite (da Universidade do Ten-nessee) provaram, de maneira independente, o primeiro grande resultado emrelacao ao numero de cruzamentos. Chame uma projecao de um no reduzidase nao houver cruzamentos facilmente removıveis.

Figura 3.14: Cruzamentos facilmente removıveis[2].Adaptado.

Kauffman, Murasugi e Thistlethwaite provaram que um no alternado emuma projecao alternada reduzida de N cruzamentos tem o numero de cruza-mento N. Nao pode haver uma projecao de tal no com menos cruzamentos. Elesutilizaram o polinomio de Jones para nos, a fim de provar isso. Discutimos opolinomio de Jones mais afrente neste mesmo relatorio.

Uma vez que podemos dizer apenas olhando para uma projecao alternada,seja ela reduzida ou nao, e como podemos diminuir o numero de cruzamentos,se nao for reduzido, podemos dizer o numero de cruzamento de qualquer noalternado. Por exemplo, o numero de cruzamento do no 73 e, de fato, 7. Aquiesta um no alternado em uma projecao alternada reduzida de 23 cruzamentos(Figura 3.15). Consequentemente o seu numero de cruzamentos e 23. Nao podehaver uma projecao deste no com menos de 23 cruzamentos.

3.3 Numero de cruzamento 30

Figura 3.15: Projecao reduzida de no alternado com 23 cruzamentos[2].

A questao de determinar o numero de cruzamento em um no nao-alternadoainda continua muito aberta ate hoje.

Capıtulo 4

Superfıcies e Nos

Vamos, agora, usar superfıcies para relacionar Topologia com a Teoria dosNos.

4.1 Superfıcies sem fronteirasAntes de entrar mais a fundo no conteudo, temos que definir o basico. O que

e uma superfıcie?

Definicao 4.1. Superfıcie e a parte mais externa de um objeto. Sendo ela, umapelıcula infinitamente fina.

A superfıcie e infinitamente fina, pois sao objetos organizados em 2 di-mensoes. Quando representamo-os em 3 dimensoes “perdemos” um dimensao.Se pensarmos no Planeta Terra, sua superfıcie sera a porcao mais externa dacrosta terrestre.

Figura 4.1: Planeta Terra e sua superfıcie(Adaptado de: https://bit.ly/2A4Rqs2e https://bit.ly/2QRwBqU).

Qual a propreedade que as superfıcies tem em comum? Em qualquer pontoda superfıcie, ha uma pequena regiao que circunda um ponto, parecido comum disco. Esse disco nao precisa ser plano, pois mesmo sendo deformado elecontinua sendo um disco (Figura 4.2).

Esses sao exemplos de figuras que nao sao superfıcies (Figura 4.3). Isso ocorreporque existe pelo menos um ponto em que nao ha um disco para circundar.

31

4.1 Superfıcies sem fronteiras 32

Figura 4.2: Os discos formados por um ponto[2].

Figura 4.3: Objetos que nao sao superfıcies[2].

Um outro nome para superfıcies e variedade diferenciavel de dimensaodois.

Para que possamos aplicar o estudo de superfıcies para a Teoria dos Nos,temos que determinar as possibilidades para as superfıcies. Pensamos na su-perfıcie como se fosse om objeto de borracha altamente deformavel. Portanto,podemos considerar uma esfera e um cubo como superfıcies iguais, desde quepossamos deformar uma a outra.

A ideia de que os objetos sao feitos de borrachas e altamente deformaveise o conceito central da Topologia. Os topologos estao interessados nas carac-terısticas que os objetos preservam, mesmo sob deformacoes.

Podemos dizer que as seguintes superfıcies sao equivalentemente colocadasno espaco, pois podemos transformar uma ate a outra por meio de deformacoes.

Figura 4.4: Superfıcies equivalentes[2].

Essas deformacoes das superfıcies atraves do espaco sao chamadas de isoto-pia. Duas superfıcies no espaco que sao equivalentes por meio de deformacoessao chamadas de Superfıcies isotopicas.

No intuito de trabalhar melhor com as superfıcies, nos vamos triangula-las. Os triangulos precisam se encaixar bem ao longo de suas bordas, por issoevitamos os casos da Figura 4.7.


Figura 4.5: Superfıcies isotopicas[2].

Figura 4.6: Superfıcies nao isotopicas[2].

Figura 4.7: A triangulacao nao pode feita dessas formas[2].Adaptado.

Alem disso, os triangulos nao precisam, necessariamente, serem planos combordas retas. Assim como todos os objetos da Topologia, eles sao deformaveis.Assim como na figura 4.8, onde os triangulos sao deformados.

Figura 4.8: A triangulacao de uma esfera de do toro[2].

Dada uma superfıcie triangulada, podemos cortar individualmente os triangulos,mantendo a superfıcie original rotulando as bordas que devem ser coladas no-vamente, atraves de flechas indicando quais pares devem ser recolados.

Figura 4.9: Orientando as bordas dos triangulos[2].

Dizemos que duas superfıcies sao homeomorfas se uma delas pode ser tri-angulada, depois cortada ao longo de um subconjunto das bordas em pedacos, edepois coladas novamente ao longo das bordas de acordo com as instrucoes dadas


pelas orientacoes e rotulos nas bordas, a fim para obter a segunda superfıcie.Por exemplo, aqui estao duas copias homeomorficas do toro. Simplesmentecortamos ao longo de um subconjunto de bordas de uma triangulacao que for-mam um cırculo, fazemos um no no cilindro resultante e depois colamos os doiscırculos juntos. Note que nem sequer desenhamos o resto da triangulacao, poise claro que podemos encontrar uma triangulacao do toro de modo que o cırculoque acabamos de cortar esteja contido dentro das bordas da triangulacao.

Figura 4.10: Duas superfıcies homeomorfas[2].

A Figura 4.11 mostra outro exemplo de duas superfıcies que nao sao isotopicas,mas que sao homeomorfas. Podemos ver a corrente de corte e colagem que nosleva de uma superfıcie a outra. Novamente, na verdade, nao precisamos deuma triangulacao completa, mas sim de um conjunto de cırculos e arestas queabrimos a superfıcie. Sempre poderıamos encontrar uma triangulacao que con-tivesse esse conjunto de cırculos e arestas como parte da uniao do conjunto dearestas.

Figura 4.11: Outro exemplo de superfıcies homeomorfas[2].

Uma esfera e um toro nao sao homeomorfos. Nao ha triangulacao de qualqueruma que possa ser rearranjada e repensada para criar a outra superfıcie. Um2-toro e um 3-toro tambem nao sao homeomorfos.

Figura 4.12: O 2-toro e o 3-toro nao sao homeomorfos[2].

Como poderıamos continuar aumentando o numero de furos em nossos toro,ha um numero infinito de superfıcies distintas (nao homeomorfas). Nos chama-mos o numero de buracos no toro de genus da superfıcie. Portanto, a esferatem o genus 0 e o toro tem o genus 1. As superfıcies na figura 4.12 tem genus2 e 3. Cada uma dessas superfıcies pode ser colocada no espaco de maneiras


diferentes. Por exemplo, vimos duas maneiras de colocar um toro no espaco nafigura 4.10. Embora ambas as superfıcies fossem toros (plural para toro), elasnao eram isotopicas, pois nao havia deformacao da borracha que nos levasse deuma para a outra. No entanto, eles ainda eram superfıcies homeomorfas, apenascolocadas no espaco de duas maneiras diferentes. Nos chamamos uma escolhade como colocar uma superfıcie no espaco uma incorporacao da superfıcie.A figura 4.12 mostra duas incorporacoes distintas do toro em tres espacos.

Dada uma superfıcie aleatoria no espaco, como podemos dizer qual e a su-perfıcie? (Na linguagem da Topologia, qual e o seu tipo de homeomorfismo?)Pode ser uma esfera ou um toro, mas e tao destrocada que nao a reconhecemos.Uma opcao e cortar e colar para simplificar a aparencia da nossa superfıcie ateque possamos identifica-la. Mas essa tecnica exige que facamos uma escolhainteligente de como cortar a superfıcie e rearranjar as pecas antes de recola-las. Seria melhor se houvesse um metodo para reconhecer superfıcies que naoexigissem a tecnica de recortar e colar.

Vamos dar uma triangulacao a superfıcie. Seja V o numero de vertices natriangulacao. Seja A o numero de arestas e seja F o numero de faces. Definimosa caracterıstica de Euler da triangulacao como sendo: X = V −A+F . Assim,por exemplo, no caso da primeira triangulacao da esfera na figura 4.8, V = 6,A = 12 e F = 8, entao X = 6 − 12 + 8 = 2.

A caracterıstica de Euler independente da triangulacao, depende apenas dasuperfıcie.

Figura 4.13: (a)E = V −A+F = 5−7+3 = 1 (b)E = V −A+F = 6−9+4 = 1

Ha um metodo alternativo usado por alguns matematicos para se chegar aogenus de uma superfıcie [3]. Seja S uma superfıcie fechada e com caracterısticade Euler x(S), seu genus e dado por:

g = 2 − x(S)2 ,

se S e orientavelg = 2 − x(S),

se S nao e orientavel

Suponha que tenhamos duas triangulacoes diferentes da mesma superfıcie S,chamamos de T1 e T2. Vamos colocar os dois na superfıcie ao mesmo tempo,para que eles se sobreponham (figura 4.14). Vamos construir uma nova trian-gulacao T3 de S que “contem” cada um dos T1 e T2 dentro dele. A medidaque o construımos, mostraremos que ele tem a mesma caracterıstica de Eulerque T1. Como o mesmo argumento pode ser usado para mostrar que ele tem a


mesma caracterıstica de Euler que T2, teremos mostrado que T1 e T2 possuema mesma caracterıstica de Euler.

Figura 4.14: (a)T1(b)T2(c)T1UT2[2]

Assumiremos que cada aresta do T1 intercepta cada uma das arestas do T2em um numero finito de vezes. Tambem assumiremos que os vertices de T2 naoestao no topo de um vertice ou borda de T1, o que pode ser feito movendo T1ligeiramente.

Comecamos a construir a nova triangulacao T3 iniciando com T1 (comona figura 4.15a). Um de cada vez, adicionamos aos vertices de T1 um novoconjunto de vertices correspondentes a onde as arestas de T2 cruzam as arestasde T1. Cada novo vertice tambem corta uma aresta em pelo menos duas arestas.Como ao calcular a caracterıstica de Euler, o numero de vertices e adicionadoe o numero de arestas e subtraıdo, a caracterıstica de Euler e inalterada poresta operacao (Figura 4.15b). Tambem adicionamos cada vertice na segundatriangulacao T2 a T3, junto com uma aresta que corre daquele vertice ate umdos vertices que ja esta em T3, como na figura 4.15c. Nos escolhemos cada umadessas novas arestas para ser um subconjunto de uma das arestas de T2. Notetambem que a adicao de cada novo vertice e borda nao muda a caracterıstica deEuler, uma vez que o numero de faces nao mudou, enquanto o numero de verticese o numero de bordas se foram, um por um. As vezes, precisamos adicionaruma cadeia de arestas para conectar um vertice de T2 e T3; no entanto, acaracterıstica de Euler permanece inalterada.

Figura 4.15: (a)T1 (b)Adicionando vertices (c)Adicionando pares de vertices earestas[2]

Agora adicionamos todas as partes de arestas de T2 que ainda nao foramadicionadas, cada uma das quais se torna uma aresta separada em T3. Ob-serve que a medida que adicionamos uma dessas arestas, como na figura 4.16a,cortamos uma face em duas. Assim, o numero de arestas e o numero de facessobe por um, deixando a caracterıstica de Euler inalterada. Agora temos umaimagem como na figura 4.16b. Claro, neste momento, como e o caso da nossa


imagem, podemos nao ter uma triangulacao. Algumas das faces podem nao sertriangulos. Entao, agora apenas adicionamos arestas para cortar as faces emtriangulos, como na figura 4.16c. Quando adicionamos essa borda, ela cortauma face existente em duas partes, de modo que tanto o numero de arestasquanto o numero de faces subam por um, deixando a caracterıstica de Eulerinalterada. Assim, mostramos que existe uma terceira triangulacao, T3, com amesma caracterıstica de Euler como T1, de tal forma que “contem” tanto T1quanto T2. Como poderıamos te-lo construıdo comecando com T2, ele tambemtem a mesma caracterıstica de Euler que o T2. Assim, mostramos que T1 e T2devem ter a mesma caracterıstica de Euler.

Figura 4.16: (a)Adicionando mais um vertice (b)Adicionando o resto de T2(c)Triangulando o resultente[2]

Otimo, entao a caracterıstica de Euler depende apenas do tipo de superfıcieque temos, e nao da triangulacao particular. Qualquer triangulacao da esferatem caracterıstica de Euler 2, e qualquer triangulacao do toro tem caracterısticade Euler 0. Mas o que dizer da caracterıstica de Euler de uma superfıcie de genus2? Poderıamos apenas fazer uma triangulacao da superfıcie e depois calcular suacaracterıstica de Euler. Mas em vez disso, vamos ser um pouco mais inteligentes.Uma maneira de obter uma superfıcie do genus 2 e remover um disco de cadaum de dois toro e depois colar os toros juntos ao longo dos limites do cırculoresultante (Figura 4.17). Isso e chamado de tomar a soma conexa dos toros.(Em matematica, especificamente na topologia, a operacao de soma conexa euma modificacao geometrica de superfıcies. Seu efeito e juntar duas superfıciesperto de um ponto escolhido em cada um. Esta construcao desempenha umpapel fundamental na classificacao de superfıcies fechadas.)

Figura 4.17: Soma conexa de dois toros[2].

Suponha que ja tenhamos triangulacoes dos dois toros. Entao, podemos pen-sar em pegar sua soma conectada como removendo o interior de um triangulode cada toro e, em seguida, colando os limites dos dois triangulos que faltam,juntando os vertices e arestas (figura 4.18). O resultado e uma superfıcie trian-gulada de genus 2. Como temos uma triangulacao para isso, podemos descobrirqual sera a caracterıstica de Euler.


Figura 4.18: Soma conexa de dois toros triangulados[2].

O numero total de vertices, arestas e faces na triangulacao de S e apenas onumero total de vertices, arestas e faces em T1 e T2, com menos tres vertices,pois identificamos tres vertices em T1 com tres vertices em T2, menos tresarestas, ja que identificamos tres arestas em T1 com tres arestas em T2 e duasfaces a menos, uma vez que jogamos fora os interiores de dois triangulos paraconstruir a soma conexa. Mas como V e adicionado a formula e A e subtraıdoda formula, a perda de tres vertices e tres arestas nao tem efeito lıquido nacaracterıstica de Euler. Ou seja, o unico efeito e a perda de duas faces. Portanto,obtemos:

X(S) = X(T1) + X(T2)–2Como sabemos que a caracterıstica de Euler de um toro e 0, isso diz X(S) =

−2.A caracterıstica de Euler de uma superfıcie de genus g e necessariamente

2 − 2g? Usaremos inducao para provar tal fato.

Teorema 4.2. Seja M uma superfıcie orientavel de genus g, entao sua carac-terıstica de Euler e dada por X(M) = 2 − 2g.

Demonstracao. Para um toro, temos g = 1 e E = 0. Sabemos que

X(M1) = 0 = 2 − 2 × 1 = 2 − 2g.

Suponhamos que vale para genus g = n, ou seja,

X(Mn) = 2 − 2n

X(Mn+1) = X(Mn# T2)X(Mn) + X(T2) − 2 = 2 − 2n + 0 − 2

2 − 2n − 2 = 2 − 2(n + 1).

Vamos tornar o calculo da caracterısticas de Euler ainda mais facil. Nos naoinsistimos mais que as faces sejam triangulos. Em vez disso, podemos subdividira superfıcie em vertices, arestas e faces, onde uma face e simplesmente um discocom seu limite formado por uma sequencia de arestas conectando os vertices(polıgono). Nossa unica restricao em uma face e que seja uma peca unica quenao tenha buracos. Por exemplo, poderıamos subdividir o toro em uma unicaface, com um vertice e duas arestas, obtendo X = 0 (Figura 4.19).

Uma pergunta permanece: Como sabemos que toda superfıcie tem uma tri-angulacao? Isto acaba por ser um fato tecnico difıcil que foi provado na decadade 1930. No entanto, embora todas as superfıcies tenham uma triangulacao,nem todas as superfıcies tem uma com um numero finito de triangulos.


Figura 4.19: Subdivisao de um toro[2].

Dizemos que uma superfıcie e compacta se tiver uma triangulacao com umnumero finito de triangulos. Portanto, a esfera e o toro sao certamente su-perfıcies compactas. Mas nem o plano nem um toro com um furo (Figura 4.20)e compacto, ja que nenhum deles pode ser triangulado com numero finito detriangulos. No caso do plano, isso e obvio. No caso do toro com um buraco,terıamos que usar infinitos triangulos, ficando cada vez menores a medida quenos aproximamos da fronteira do buraco ausente. Note que tanto o plano quantoo toro com um buraco satisfazem a definicao de uma superfıcie.

Figura 4.20: Plano e toro com um buraco[2].

Estamos, principalmente, interessados em superfıcies compactas. Eles tema vantagem de podermos calcular sua caracterıstica de Euler.

Onde as superfıcies aparecem na teoria dos nos? No espaco ao redor do no.Seja R3 o espaco tridimensional em que o no K se encontra. O espaco ao redordo no e tudo, menos o no, que denotamos M = R3 − K. Chamamos M decomplemento do no. E o que sobra se fizermos o no do espaco (Figura 4.21).Todas as superfıcies que olhamos vivem no complemento do no.

Figura 4.21: O complemento do no e tudo alem do no[2].

A figura 4.22 mostra um exemplo de uma superfıcie no complemento de umlink quando o link e divisıvel. Como podemos extrair os componentes do link,podemos pensar que existe uma esfera que separa os componentes um do outro.De fato, uma maneira alternativa de definir um link divisıvel e simplesmentedizer que e um link de tal forma que existe uma esfera no complemento de linkque tem componentes do link em ambos os lados dela.

O no de trevo pode estar contido em um toro, como na figura 4.23.Estamos particularmente interessados em superfıcies com nos e links que nao

podem ser decompostos. Em particular, seja L um link em R3 e seja F uma


Figura 4.22: Uma esfera no complemento de um link divisıvel[2].

Figura 4.23: Um no de trevo contido em um toro[2].

superfıcie no complemento R3 − L. Dizemos que F e compressıvel se houverum disco D em R3 − L tal que D cruze F exatamente em seu limite e seu limitenao se liga a outro disco em F . Note que D nao pode cruzar L.

Por exemplo, a superfıcie F na figura 4.24 e compressıvel ja que o disco De um disco em R3 que nao cruza o link L, cruza F exatamente em seu limite,e seu limite nao vincula um disco em F . Uma superfıcie compressıvel pode sersimplificada, cortando-a ao longo do limite do disco e depois colando duas copiasdo disco nas duas curvas resultantes. Obtemos uma superfıcie mais simples (ou,as vezes, um par de superfıcies) que ainda esta no complemento do link. Essaoperacao simplificadora e chamada de compactacao da superfıcie original.

Figura 4.24: Um superfıcie compressıvel no R3 − L e sua derivacao maissimples[2].Adaptado.

Se uma superfıcie nao e compressıvel, dizemos que ela e incompressıvel.Por exemplo, o toro na figura 4.25 e incompressıvel. Observe que qualquer discoque cruze o toro em seu limite parece que ele deve cruzar o link L ou seu limitedeve cortar um disco do toro.

Um toro incompressıvel como o da figura 4.25 existe sempre que temos umno composto. Chama-se swallow-follow torus (toro que seque e engole) porqueengole um dos nos de dois fatores e segue o outro.

Todas as superfıcies que analisamos ate agora sao superfıcies que nao temfronteiras. Agora queremos ver superfıcies com fronteiras.

4.2 Superfıcies com fronteiras 41

Figura 4.25: Esse toro e imcompressıvel[2].

4.2 Superfıcies com fronteirasA fim de obter superfıceis com fronteiras, podemos apenas remover do interior

discos da superfıcie que ja temos (Figura 4.26). Os especos deixados pelosdiscos serao as fronteiras dessa superfıcie. O chamaremos de componente defronteira. Continuamos a pensar que as superfıcies sao feitas de borrachas, porisso podemos levar do 1o ao 2o toro (Figura 4.27).

Figura 4.26: Toro com fronteiras[2].

Figura 4.27: Toro com uma fronteira[2].

Como calculamos a caracterıtica de euler de uma superfıcie com fronteiras?Podemos pensar como se o disco removido fosse uma face uma face de umtriangulo na triangulacao, portanto o numero da caracterıtica de euler cai em 1.Em uma superfıcie com 5 componentes de fronteira, o numero de euler cai em5. Preencher componentes de fronteira ao anexar discos e chamado cappingoff (termo em ingles) de uma superfıcie com fronteira.

Ao contrario de superfıcies sem fronteira no espaco tridimensional, superfıciescom fronteiras nao podem ser todas distinguidas pela caracterıstica de euler. Porexemplo, as duas superfıcies da figura 4.28 possuem a mesma caracterıstica deeuler, porem nao sao homeomorfas. Isso ocorre pois sao superfıcies diferentes,mas com uma certa quantidade de componente de fronteiras que as fez ter amesma caracterıstica de euler.

Podemos calcular a caracterıtica de euler de superfıcies com fronteira assimcomo fazemos para superfıcies sem fronteiras, adicionando vertices e arestaspara cortar a superfıcies em um numero finito de faces.


Figura 4.28: Superfıcies com a mesma caracterıstica de euler[2].

Deve haver alguma outra caracterıstica, alem da de euler para distinguiressas superfıcies (Figura 4.29). Introduziremos o conceito de orientabilidade.Se uma superfıcie possuir apenas um lado dizemos eu ela nao e orientavel(Figura4.29a). Se uma superfıcie possuir dois lados distintos, dizemos que ela euma superfıcie orientavel (Figura4.29b). Desse modo, temos mais um modo,alem da caracterıstica de euler para diferenciar superfıcies.

Figura 4.29: (a)Um lado. (b)Dois lados[2].

A Fita de Mobius (Figura 4.30) e um outro exemplo de superfıcies naoorientaveis. Isso ocorre pois se escolhermos um ponto, conseguimos percorrertoda a superfıcie e voltar para esse ponto (Podemos observar que a Fita deMobius tem um numero ımpar de meias-voltas).

Figura 4.30: Fita de Mobius (Retirado de: https://bit.ly/1JosoC3).

Teorema 4.3 (Massey, 1967[7]). Se duas superfıcies possuırem o mesmo numerode componentes de fronteiras, caracterıstica de Euler e ambas forem igualmenteorientaveis, elas sao equivalentes.

Demonstracao. Dissemos que na topologia podemos deformar os objetos. Porexemplo, uma esfera e um cubo sao equivalentes por meio de deformacoes, masvamos mostrar isso matematicamente. Temos que, basicamente responder essastres perguntas:

1 -) A superfıcie e oriventavel?2 -) Possui quantos componentes de fronteira?3 -) Qual sua caracterıstica de euler?


No caso da efera:

1 -) A esfera e orientavel.2 -) Nenhum componente de fronteira.3 -) Euler = Vertice - Arestas + Faces = 2.

Figura 4.31: Esfera (Adaptado de: https://bit.ly/2qTc8H8).

No caso do cubo:

1 -) O cubo e orientavel.2 -) Nenhum componente de fronteira.3 -) Euler = Vertice - Arestas + Faces = 2.

Figura 4.32: Cubo.

Como as tres caracterıticas sao iguais, podemos afirmar que essas superfıciessao equivalentes. Se qualquer uma das tres caracterısticas fosse diferente, essassuperfıcies seriam distintas.

Se a superfıcie tem fronteira, definimos o seu genus correspondentemente asuperfıcie com fronteira que obetemos se taparmos os buracos com discos(cappingoff ).

Vamos agora aplicar o conceito de superfıcies com fronteiras para os nos. Porexemplo, uma maneira de definir o unknot e que ele sempre forma as fronteiras deum disco. Assim como com os nos, algumas projecoes podem ser bem complexase nao obvias.

Outro exemplo de uma superfıcie com fronteira na teoria de nos vem dosnos compostos. Como na figura 4.33, se temos um no composto, existe umaesfera com dois componentes de fronteira que fica fora do no. Essa superfıcietambem e chamada de annulus (coroa circular, anel). Note que nos engros-samos o no um pouco nesta imagem. Caso contrario, se tivessemos deixado ono infinitamente fino, terıamos dito que a superfıcie era uma esfera com duasperfuracoes, ocorrendo as perfuracoes em que o no passava pela esfera. Assim,


uma definicao alternativa de um no composto e um no tal que ha uma esferano espaco perfurada duas vezes pelo no, de modo que o no nao e trivial dentroe fora da esfera.

Figura 4.33: Um annulus[2].

Outro ponto que surgiu por aı foi quando discutimos emaranhados. La pen-samos em um emaranhado como uma regiao no plano de projecao com quatrocordoes de saıda. Podemos tambem considera-lo como uma porcao do no ro-deado por uma esfera com quatro furos, a perfuracao em que o no passa pelaesfera. Tal esfera e apropriadamente chamada de esfera de Conway (Figura4.34). Se engrossarmos o no, as perfuracoes se tornarao buracos e teremos umaesfera com quatro componentes de fronteira.

Figura 4.34: Esfera de Conway[2].

Um terceiro exemplo de uma superfıcie na teoria de nos aparece na figura4.35. Nos vemos uma fita Mobius com fronteira de um no do trevo. Mesmo quea fita tenha tres giros em vez de um, ainda e uma fita de Mobius (lembremosdo numero ımpar de meias-voltas).

Figura 4.35: Fita de Mobius com no de trevo em sua fronteira[2].

Estaremos particularmente interessados em superfıcies orientaveis com umcomponente de fronteira, de tal forma que o componente de fronteira seja umno.

4.3 Genus e superfıcies Seifert 45

4.3 Genus e superfıcies SeifertVimos que as superfıcies aparecem na teoria dos nos de varias maneiras.

Tipos particulares de nos possuem tipos particulares de superfıcies em seuscomplementos. No entanto, surpreendentemente, existe um tipo de superfıcieque aparece no complemento de qualquer no. Em 1934, o matematico alemaoHerbert Seifert criou um algoritmo para que, dado qualquer no, se pudesse criaruma superfıcie orientavel com um componente de fronteira, de tal forma que ocırculo na fronteira fosse aquele no. No primeiro pensamento, e difıcil imaginarcomo obter qualquer superfıcie orientavel com um componente de fronteira, detal forma que o componente de fronteira seja um no. Devemos ter uma superfıciecomo um toro com um componente de fronteira e encaixa-lo no espaco de modoque o cırculo de fronteira seja atado (Figura 4.36).

Figura 4.36: Toro com um compoennte de fronteira[2].

O algoritmo de Seifert nos diz que nao so podemos incorporar superfıcies noespaco com um componente de fronteira atado, mas podemos faze-lo para obterqualquer tipo de no. Suponha que nos queremos construir tal superfıcie para umno especıfico K. Comecando com uma projecao do no, escolha uma orientacao emK. Em cada cruzamento da projecao, dois fios entram e dois fios saem. Elimine ocruzamento ligando cada um dos fios que entram no cruzamento ao fio adjacente,eliminando o cruzamento (Figura 4.37). Agora, todos os fios resultantes nao secruzarao mais. O resultado sera um conjunto de cırculos no plano. (Eles naosao cırculos redondos no sentido usual, mas podem ser deformados em cırculosredondos. Entao, para nos, topologos, eles sao cırculos.) Esses cırculos saochamados cırculos de Seifert. Cada cırculo ligara um disco no plano. Comonao queremos que os discos se cruzem, os escolheremos em alturas diferentes,em vez de te-los todos no mesmo plano (Figura 4.38).

Figura 4.37: Eliminando os cruzamentos[2].

Agora gostarıamos de conectar os discos uns aos outros nos cruzamentos dono por fitas trancadas (Figura 4.39). O resultado e uma superfıcie com umcomponente de fronteira de forma que o componente de fronteira seja o no.

De fato, as superfıcies que estamos gerando sao sempre orientaveis. Paraver isso, precisamos mostrar que cada superfıcie tem dois lados distintos, que


Figura 4.38: Os cırculos estao em diferentes alturas[2].

Figura 4.39: Conectando os discos por fitas trancadas[2].

podem ser pintados em duas cores diferentes. Vamos dar a cada cırculo Seiferta orientacao que ela herda do no, no sentido horario ou anti-horario. Para cadadisco que tem uma orientacao no sentido horario em seu cırculo Seifert delimi-tador, pintamos sua face apontando para cima em branco e sua face apontandopara baixo em preto. Para cada disco que tem uma orientacao no sentido anti-horario em seu cırculo Seifert delimitador, pintamos sua face apontando paracima em preto e sua face apontando para baixo em branco.

Em cada cruzamento no no, conectamos dois dos discos delimitados peloscırculos de Seifert por uma faixa contendo uma meia torcao. Se um dos doisdiscos e adjacente ao outro, os dois discos tem orientacoes opostas em seuslimites. Assim, a torcao na fita nos permite estender a tinta preta e brancapelas duas faces da fita, de modo que elas se encaixem consistentemente nosdiscos. Se um dos dois discos estiver em cima do outro, os dois discos teraoa mesma orientacao em suas fronteiras. Mais uma vez, a torcao na fita nospermite estender a tinta de forma consistente em toda a fita. Assim, toda asuperfıcie pode ser pintada de preto e branco de modo que nenhuma tinta pretatoque em qualquer tinta branca e, portanto, a superfıcie e orientavel (Figura4.40).

Figura 4.40: Essa superfıcie tem dois lados que podem ser pintados de coresdiferentes[2].

Observe que o algoritmo de Seifert pode ser usado para gerar varias su-perfıcies diferentes para o mesmo no (Figura 4.41). Poderıamos alterar a projecaodo no e depois obter uma superfıcie que pelo menos parece diferente.


Figura 4.41: Outras superfıcies Seifeirt para o mesmo no[2].

Dado um no K, uma superfıcie Seifert para K e uma superfıcie orientavelcom um componente de fronteira, de tal modo que o componente de fronteira dasuperfıcie e o no K. Acabamos de descrever uma maneira de obter uma superfıcieSeifert para um no. No entanto, pode haver outras superfıcies Seifert para omesmo no.

Nos definimos o genus de um no para ser o menor genus de qualquer su-perfıcie Seifert para esse no. Por exemplo, o unknot e a fronteira de um disco.Quando terminamos o disco, obtemos uma esfera, que tem o genus 0, portanto,o unknot tem o genus 0 (Figura 4.42). Note que o unknot e o unico no com ogenus 0.

Figura 4.42: O unknot tem genus 0[2].Adaptado.

E quanto ao no da figura-oito? Pelo algoritmo de Seifert, obtemos umasuperfıcie Seifert com o genus 1. Como o no da figura-oito nao e trivial, elenao pode se ligar a uma superfıcie do genus 0, entao 1 e o menor genus de umasuperfıcie Seifert para o no da figura-oito. Assim, o genus do no figura-oito e 1.

A definicao para uma superfıcie incompressıvel aplica-se sem alteracao asuperfıcies com limite.

E verdade que o algoritmo de Seifert sempre produzira a superfıcie Seifertdo genus mınimo? Isso e um pouco demais para esperar. Nos poderıamos fazeruma projecao muito desagradavel de um no e nao poderıamos esperar obter asuperfıcie mınima do genus Seifert aplicando o algoritmo de Seifert neste no. Noentanto, no caso de nos alternados, podemos usar o algoritmo de Seifert paraencontrar o genus mınimo.

Teorema 4.4 (Gabai, 1986[4]). A aplicacao do algoritmo de Seifert a umaprojecao alternada de um no alternado ou link produz uma superfıcie Seifert degenus mınimo.

Existem varias provas disso, a mais facil das quais se deve a David Gabai,professor da Caltech. De acordo com o teorema, e facil calcular o genus de umno alternado ou link.


Vamos ver o efeito que a composicao tem no genus. Seja g(K) o genus deum no K.

Teorema 4.5. g(J # K) = g(J) + g(K).

Entao, se conhecemos o genus para cada um dos dois nos, podemos simples-mente adiciona-los juntos para obter o genus da composicao dos nos. Vamospassar pela prova disso, pois utiliza tecnicas que ocorrem frequentemente nateoria dos nos.

Demonstracao. E facil ver que g(J# K) ≤ g(J)+g(K). Podemos apenas pegaruma superfıcie Seifert Q do genus g (J) para J e uma superfıcie Seifert R dogenus g (K) para K, remover um pequeno pedaco de cada ao longo de suasfronteiras e costura-los juntos para obter uma superfıcie Seifert de g (J) + g(K) para J # K (Figura 4.43). No entanto, e concebıvel que J # K tenhauma superfıcie Seifert com um genus menor do que isso. Vamos mostrar que naverdade isso nao ocorre.

Figura 4.43: g(J# K) ≤ g(J) + g(K)[2].

Seja S uma superfıcie Seifert de genus mınimo para J # K. Como J # K eum no composto, ha uma esfera F com duas perfuracoes que separa a parte J dono da parte K do no. Esta esfera e perfurada duas vezes pela superfıcie SeifertS (Figura 4.44). Nos deformamos as superfıcies atraves do espaco (realizamosuma isotopia no jargao da matematica) a fim de reorganizar a maneira como asduas superfıcies se cruzam. Quando S apenas toca F em um ponto, podemosmover S levemente para eliminar a intersecao (Figura 4.45). Tambem podemosmover S ligeiramente para que a intersecao seja composta inteiramente de loopse/ou arcos (Figura 4.46).

Figura 4.44: S e F[2].

Embora possamos imaginar situacoes muito mais desagradaveis, em quenosso conjunto de intersecoes era ainda pior (digamos, as duas superfıcies secruzam em um disco ou em um numero infinito de pontos discretos), todas es-sas situacoes podem ser remediadas por uma leve deformacao de S, resultandoem um conjunto de intersecoes contendo apenas arcos e loops. Este ligeiro mo-vimento de S para simplificar a intersecao e chamado de colocar as superfıciesem posicao geral.


Figura 4.45: Remova intercecoes de um unico ponto[2].

Figura 4.46: Todas as intersecoes de curvas sao, tambem, cırculos ou arcos[2].

Ha um arco de interseccao entre F e S que comeca e termina nas perfuracoesde F. Como podemos supor que a fronteira de S cruza as perfuracoes de F exa-tamente duas vezes, pode haver apenas um arco de intersecao entre F e S (Figura 4.47). Todas as outras curvas de interseccao entre S e F sao loops. Noseliminamos cada um dos loops de intersecao um por um ate que nenhum per-maneca. Observe que existem tres lugares onde podemos pensar nessas curvasde intersecao (Figura 4.48). Podemos pensar nelas como curvas no complementodo no, flutuando em tres espacos. Podemos tambem pensar nelas como curvassituadas na superfıcie de Seifert S. La, temos um conjunto de loops de intersecaosituados em S e um arco de intersecao que comeca e termina no componentede fronteira de S. Podemos tambem pensar na intersecao curvas como sobre aesfera duas vezes perfurando F. O arco de uma interseccao comeca em uma dasperfuracoes em F e termina na outra perfuracao.

Figura 4.47: Tem apenas um arco de intersecao[2].

Figura 4.48: Tres maneiras de pensar sobre a intersecao de curvas[2].


Dado um loop de intersecao particular em F, ele deve separar as duas per-furacoes, uma da outra em F ou deve ter ambas as perfuracoes do mesmo ladoem F. No entanto, uma vez que o unico arco de intersecao conecta a unicaperfuracao a outro na superfıcie de F e desde que esse arco nao pode cruzar olaco, deve ser que ambos os furos estejam no mesmo lado do laco em F. O outrolado do laco deve entao ser um disco nao perfurado. Portanto, todo loop deintersecao em F limita um disco nao perfurado em F (Figura 4.49).

Figura 4.49: Cada loop de intersecao limita um disco nao perfurado em F[2].

Deve haver um loop de intersecao que e mais interno em F, ou seja, elelimita um disco em F que nao contem outras curvas de intersecao. Chamamosesta curva de C. Corte S aberto ao longo de C, obtendo duas copias de C nosdiscos abertos de corte e cola para cada uma das novas curvas, onde cada discoe paralelo ao disco delimitado por C em F (Figura 4.50). Agora, F e o novo Snao se cruzam ao longo de C. Este novo S pode ou nao estar conectado. Se naoestiver conectado, jogue fora o pedaco de S que nao toca o no. O S resultanteainda e uma superfıcie Seifert para J # K, mas intercepta F em um cırculo deintersecao a menos.

Figura 4.50: Formando um novo S[2].

Repetimos esta cirurgia ate que S e F nao tenham cırculos de intersecao.Como S ainda e uma superfıcie Seifert para J # K e como as “cirurgias” naoaumentaram o genus, S ainda deve ser uma superfıcie Seifert do genus mınimapara J # K. Existe agora apenas um arco de intersecao entre F e S. Assim,F divide S em uma superfıcie Seifert para J e uma superfıcie Seifert para K(Figura 4.51).

A soma dos genus dessas duas superfıcies de Seifert deve entao ser o genusde S. Portanto, g(J) + g(K) ≤ g(J# K), uma vez que os genus de J e K saocada um menor ou igual a os genus dessas duas superfıcies Seifert. Como javimos a desigualdade inversa, temos que

g(J) + g(K) = g(J# K)

como nos propusemos a provar.


Figura 4.51: F divide S em uma superfıcie Serfert para J e uma supercıcie Seifertpara K[2].

Usando o conceito de isotopia em superfıcies para limpar as intersecoes e, emseguida, realizando “cirurgias” para diminuir o numero de curvas de intersecaoentre as superfıcies ate que nenhuma ou uma curva permanece e um procedi-mento que e relativamente comum na teoria dos nos e no campo mais geral datopologia. Podemos usar esse teorema para provar um fato que declaramos, asaber, que o no trivial nao pode ser a composicao de dois nos nao-triviais (Fi-gura 4.52). Por que nao? Qualquer no nao trivial tem um genus de pelo menos1 (o genus 0 significa que o no delimita um disco e, portanto, e trivial). Assim,a composicao de dois nos nao-triviais tem pelo menos 2 genus e, portanto, naopode ser o no trivial.

Figura 4.52: O no trivial nao e a composicao de dois nos nao triviais[2].

Vamos falar um pouco mais sobre esse fato que o algoritmo de Seifert,quando aplicado a uma projecao alternada, produz uma superfıcie Seifert dogenus mınimo. Podemos nos perguntar se isso e verdade para qualquer outrotipo de no. De fato, Louis Kauffman, da Universidade de Illinois em Chicago,ampliou a classe de links alternados para a classe de “links alternativos” (Kauff-man, 1983[6]). Ele mostrou que o genus de qualquer link nessa classe maiortambem e dado pelo algoritmo de Seifert.

No mınimo, poderıamos esperar que a superfıcie Seifert do genus mınimopossa ser obtida aplicando o algoritmo de Seifert a alguma projecao do no. Mas,surpreendentemente, um matematico israelense chamado Yoav Moriah provouque existem na verdade nos para os quais a superfıcie Seifert do genus mınimonao pode ser obtida aplicando o algoritmo de Seifert a qualquer projecao do no(Moriah, 1987[8]). Ele cria uma sequencia de nos de tal forma que a diferencaentre o genus real e o genus de uma superfıcie obtida do algoritmo de Seifert egrande.

De fato, pode-se definir o genus canonico gc(K) de um no como sendo o genusmınimo de qualquer superfıcie de Seifert obtido pela aplicacao do algoritmode Seifert a uma projecao do no. Em 1996, dois matematicos japoneses, M.Kobayashi e T. Kobayashi encontraram uma famılia infinita de nos com umgenus arbitrariamente alto, tal que gc(K) = 2g(K).


Nos mencionamos que os nos mutantes sao difıceis de distinguir. Em parti-cular, os mutantes Kinoshita-Terasaka enganaram os teoricos dos nos por algumtempo. Francis Bonahon (Universidade do Sul da California) e Lawrence Sie-benmann (Institutos de Altos Estudos Cientıficos) encontraram uma maneirade diferencia-los em 1981. Posteriormente, David Gabai da Caltech conseguiumostrar que esses dois mutantes nao tem o mesmo genus e, portanto, deve serdistinto. Apenas o genus foi o suficiente para capturar a essencia de sua dife-renca.

Capıtulo 5

Aplicacoes

Este capıtulo tem por objetivo apresentar muito brevemente a questao dasaplicacoes ao redor da teoria dos nos e topologia. Tudo aqui sera abordado deforma extremamente superficial.

5.1 DNAAlgumas enzimas manipulam o DNA topologicamente. Na figura 5.1, ve-

mos tres das acoes possıveis que as enzimas podem tomar. No entanto, umaenzima especıfica pode ter uma acao muito mais sofisticada. Concebivelmente,poderia levar dois filamentos de DNA e substituı-los por um emaranhado naotrivial. Uma vez que uma enzima particular tenha sido isolada, os bioquımicosgostariam de determinar como ela age no DNA. Como grande parte do DNA dacelula nao e DNA circular, a enzima pode formar um no em uma fita de DNA,mas como as duas extremidades da fita estao livres, o no pode escorregar daextremidade do filamento de DNA. Os cientistas nao seriam capazes de ver oefeito da enzima. Para resolver este problema, os cientistas utilizam moleculasde DNA circulares. Deixando a enzima agir sobre esse DNA, eles entao exami-nam o resultado. Se a enzima estiver causando nos, esse no sera capturado noDNA circular.

Figura 5.1: Tres acoes que as enzimas podem fazer no DNA[2].

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5.2 Sıntese de moleculas atadas 54

Figura 5.2: DNA circular sob microscopio eletronico (de Wasserman et al., 1985[9]).

5.2 Sıntese de moleculas atadasUma coisa e encontrar nos e links no DNA. O DNA e uma molecula cons-

tituıda de milhoes de atomos individuais e e uma molecula extremamente com-plicada. Mas podemos nos perguntar se moleculas muito mais simples podemformar nos ou se vincular. Talvez pudessemos pegar uma cadeia de atomos quese unem para formar um cırculo. No entanto, essa mesma cadeia de atomoscom as mesmas ligacoes podem, na verdade, formar uma cadeia noada, em vezde unknot. Como quımico, deveriamos distinguir entre essas duas moleculas,certo? Afinal, eles sao compostos do mesmo conjunto de atomos ligados exata-mente na mesma sequencia. De fato, temos que tratar as duas moleculas comodistintas, ja que e possıvel que elas tenham propriedades diferentes. Um podese comportar como um oleo, enquanto o outro se comporta como uma gelatina.

Figura 5.3: Duas moleculas feitas do mesmo conjunto de atomos e ligacoes,porem com diferentes arranjamentos no espaco[2].

Referencias Bibliograficas

[1] Chris Godsil, Gordon Royle, Algebraic Graph Theory, New York, 2001.

[2] Colin C. Adams, The knot book: an elementary introduction to the mathe-matical theory of knots, American Mathematical Soc., 2nd edition, 2004.

[3] Fabricio de Macedo Lira, Triangulacao de superfıcies fechadas e orientaveiscom poucos vertices, Universidade Federal de Alagoas, 2015.

[4] Gabai, D., Genera of the alternating links., Duke Math. Journal 53(3):677-681, 1986.

[5] Hoste, Jim and Thistlethwaite, Morwen and Weeks, Jeff, The first 1,701,936knots, The Mathematical Intelligencer, 4th edition, 1998.

[6] Kauffman, L., Combinatorics and knot theory., Contemp. Math. 20:181-200.,1983.

[7] Massey, W. S., Algebraic Toplogy: An Introduction., Harbrace College MathSeries. New York: Harcourt, Brace & World, 1967.

[8] Moriah, Y., On the free genus of knots., Proc. Amer. Math. Soc. 99, no. 2,373-379, 1987.

[9] Wasserman, S., J. Dungan, and N. Cozzarelli., Discovery of a predicted DNAknot substantiates a model for site-specific recombination., Science 229:171-174, July., 1985.

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