(techniques de l'ingénieur - af 503) approche variationnelle pour la méthode des Éléments finis

Approche variationnelle pour la mthode des lments finis

par Pierre SPITERIDocteur s sciences mathmatiquesProfesseur lcole nationale suprieure dlectronique, dlectrotechnique,dinformatique, dhydraulique et de tlcommunication de Toulouse (ENSEEIHT)

epuis lavnement des ordinateurs il y a maintenant plus dun demi-sicleet, compte tenu en particulier de laugmentation de leur puissance de calcul,

la simulation numrique a remplac lexprimentation directe trop coteuse etlongue mettre en uvre ; celle-ci nest plus, de nos jours, quun moyen de vri-fication des calculs effectus sur machine. Sur le plan mathmatique, la simula-tion numrique ncessite essentiellement la rsolution numrique dquationsaux drives partielles qui conduisent lobtention de solutions approches. Ilexiste de nombreuses mthodes dapproximation qui prsentent toutes desavantages et des inconvnients ; citons, titre illustratif, la mthode des diff-rences finies, la mthode des volumes finis, les mthodes spectrales, etc.

Dans les trois articles qui composent cet ensemble, nous nous intressons lamthode des lments finis qui est trs utilise dans lindustrie, en particulier enaronautique, dans lindustrie automobile, en mtorologie, etc. Cette mthode

1. Prsentation gnrale............................................................................. AF 503 2

2. Modlisation dun problme dlasticit simple ............................. 2

3. Analyse mathmatique du problme ................................................. 5

4. Formulation variationnelle pour diverses EDP monodimensionnelles. .......................................................................... 7

5. Extension au cas de problmes dEDP bidimensionnels .............. 9

6. Conclusion ................................................................................................. 13

Rfrences bibliographiques ......................................................................... 13

DToute reproduction sans autorisation du Centre franais dexploitation du droit de copie est strictement interdite. Techniques de lIngnieur, trait Sciences fondamentales AF 503 1

est intressante, compte tenu de sa souplesse dutilisation, en particulier vis--visde lapproximation des divers oprateurs modlisant des phnomnes en physi-que-mathmatique et galement pour la prise en compte de conditions aux limi-tes portant sur les gradients de la fonction calculer. Cette souplesse apparatgalement dans le fait que les domaines o sont dfinies les quations aux dri-ves partielles peuvent tre approchs au mieux et, en particulier, il peut tre tenucompte du caractre courbe des frontires de ces domaines ; de plus, les nudsde la discrtisation, cest--dire les points o sont approches les fonctions calculer, peuvent tre rpartis de faon arbitraire, ce qui permet davoir unmaillage serr dans les zones forte variation de la solution et un maillage relati-vement grossier dans les rgions o cette solution varie peu ; dans le mmeordre dide, il nest pas ncessaire dutiliser des maillages uniformes pas cons-tant, la dfinition dlments de dimension variable seffectuant sans difficult ;cela est particulirement apprciable lors de ltude des phnomnes dfinisdans des milieux htrognes. Enfin, sur le plan informatique, la mthode deslments finis conduit lcriture de code de calculs les plus gnraux possible,ce qui correspond certes un avantage mais aussi un inconvnient, comptetenu de la difficult pratique de programmation de cet algorithme ; il convient denoter cependant que le schma de principe du code est relativement simple, lacomplexit dcoulant des innombrables possibilits quoffre la mthode. Deplus, le dveloppement dun tel code ncessite de longs mois de programmation.

APPROCHE VARIATIONNELLE POUR LA MTHODE DES LMENTS FINIS __________________________________________________________________________

Toute reproduction sans autorisation du Centre franais dAF 503 2 Techniques de lIngnieur, tra

Une autre difficult de comprhension de la mthode des lments finis rsidedans le formalisme mathmatique pralable et sous-jacent la mise en uvrealgorithmique. En effet, compte tenu de la complexit croissante des modlesmathmatiques permettant la comprhension de phnomnes de plus en pluscompliqus expliquer, il a t ncessaire de sappuyer sur des rsultats dana-lyse fonctionnelle labors [1] pour formuler cette mthode dapproximation.Paradoxalement, ce cadre conceptuel abstrait permet de ne pas imposer auxsolutions ventuelles dtre indfiniment drivables mais au contraire de recher-cher la drivabilit minimale que lon doit imposer afin que les critures math-matiques aient un sens. Cela permet dobtenir une formulation du problme quipeut sinterprter sur le plan physique soit comme la solution dun problme deminimisation dnergie, condition toutefois que certaines proprits de sym-trie soient vrifies (ce qui nest pas toujours le cas), soit grce une analogieavec le classique thorme des travaux virtuels. Ce second point de vue a tprfr laspect minimisation du fait de sa plus grande facilit dexposition etde sa plus grande gnralit. Cette partie thorique sera aborde de manireprogressive, les aspects conceptuels tant essentiellement exposs en dimen-sion un mais de telle sorte que la gnralisation la dimension deux ou troisseffectue de manire naturelle.

Il convient de noter pour terminer que la mise en uvre informatique na past volontairement aborde dans la mesure o la prsentation de limplantationde cette mthode aurait considrablement alourdi lexpos ; cependant lesaspects abords dans cet article facilitent la comprhension des phases de pro-grammation de la mthode des lments finis.

Cet ensemble se compose de trois articles : [AF 503] Approche variationnelle pour la mthode des lments finis ; [AF 504] Introduction la mthode des lments finis ; [AF 505] Prsentation gnrale de la mthode des lments finis.

1. Prsentation gnrale

Cette phase de transformation du problme est certainement laplus dlicate et la plus difficile traiter car, en toute rigueur, ellencessite lutilisation de notions mathmatiques trs fines et trsabstraites, comme la thorie des distributions. Dans cet article, nousnous sommes efforcs daplanir les difficults en considrant pourcommencer dune part la modlisation dun problme simple, ce quipermet de vrifier lquivalence de la formulation de divers probl-mes, et dautre part des quations aux drives partielles dfiniesdans un domaine monodimensionnel. La gnralisation desdomaines inclus dans ou seffectue en toute rigueur grce lutilisation de la thorie des distributions ; pour notre part, nousavons prfr utiliser la formule de Green, qui gnralise la formuledintgration par parties utilise dans le cas prcdent simple o

. Par ailleurs, la formulation variationnelle dune quation auxdrives partielles ncessite lutilisation despaces fonctionnels, lesespaces de Sobolev, que nous dfinissons de la faon la plus simplepossible ; ces espaces sont importants car ils rendent compte en faitde la rgularit des fonctions approcher au mieux. Enfin on donnequelques indications sur la formulation du problme dquation auxdrives partielles qui, dans certains cas, peut sexprimer sousforme dun problme doptimisation, ce qui conduit la mthode deRitz, que nous ne dvelopperons pas ici.

2. Modlisation dun problme dlasticit simple

On considre une corde lastique de longueur unit, fixe en sesextrmits, qui au repos occupe une position qui concide avec laxe

La mthode des lments finis est une mthode dapproxima-tion des solutions dquations aux drives partielles qui estconstruite partir dune formulation quivalente du problme rsoudre ; cette dernire est appele formulation variationnelledu problme et ncessite le minimum de rgularit de la solution.

2 3

exploitation du droit de copie est strictement interdite.it Sciences fondamentales

Ox. On soumet cette corde une force de densit par unit de lon-gueur dont la direction est perpendiculaire laxe Ox. Sousleffet de cette force, la corde subit un dplacement , perpendi-culaire laxe Ox. Dans la suite, on supposera que ce dplacementest petit. Le problme revient dterminer , en tous points

. Soit lnergie totale du systme mcanique consi-dr pour un dplacement v de la corde. On sait que le dplacement

minimise pour tous les dplacements admissibles, cest--dire pour tous les dplacements nuls aux points et ,tels que lnergie ait un sens physique, cest--dire que soit finie. Soit V lespace des dplacements admissibles, cest--direlespace qui rend compte des contraintes du problme, savoir :

et (nergie finie)

Lnergie est la somme de lnergie de dformation etde lnergie potentielle drivant de la force pour un dpla-cement . crivons en dtail le bilan dnergie : lnergie estlnergie des contraintes intrieures et lon sait quelle est propor-tionnelle la variation de la longueur de la corde ; par consquent,cette quantit est donne par la relation :

f x( )u x( )

u x( )x ]0 1[, E v( )

u x( ) E v( )x 0= x 1=

E v( ) E v( )

v V v 0( ) v 1( ) 0= = E v( ) +,=

du 0( )dx

---------------- g0=du 1( )

dx---------------- g1=,

g0 g1

q0

H01 0 1,[ ]( )

H 1 0 1,[ ]( )

E v H 1 0 1,[ ]( ) dv 0( )dx

---------------- g0=dv 1( )

dx---------------- g1=, ,

=



Cependant, ce choix nest pas possible. En effet, sans rentrer dansdes dtails thoriques :

dune part, sauf si , lespace E nest pas un espacevectoriel, condition rendue ncessaire pour lutilisation du tho-rme de Lax-Milgram ;

dautre part, si v est une fonction quelconque de , sadrive est simplement continue par morceaux et sa valeur en unpoint prcis (par exemple, ou ) peut ne pas tre dfi-nie.

Cest pourquoi, faute de pouvoir introduire explicitement lesconditions aux limites de type Neumann dans lespace du travail onchoisit comme espace de fonctions tests. Soit v unefonction de ; multiplions la premire quation par v etintgrons par partie ; il vient, compte tenu de la dfinition desconditions aux limites de Neumann non homognes :

Posons :

et

avec ces notations le problme (5) scrit :

(6)

On peut, partir de la formulation (6), retrouver le problme (5)par simple remonte des calculs et identification.

Considrons, prsent, un autre type de conditions aux limites,par exemple un problme de Poisson avec conditions aux limitesmles de type Dirichlet-Neumann :

(7)

o la solution est connue au point et le flux est impos lavaleur en . Soit E lespace des fonctions tests dfini par :

Comme lors de ltude des exemples prcdents, multiplions lapremire quation par et intgrons par partie ; il vient,compte tenu de la dfinition des conditions aux limites mles detype Dirichlet-Neumann non homognes :

Posons :

et

le problme (7) scrit :

(8)

et, comme prcdemment, par simple remonte des calculs, lesproblmes (7) et (8) sont quivalents.

Considrons un problme de type Poisson un peu plus gnral,dfini dans un domaine , coefficients non homognes etcomportant des conditions aux limites de type Fourier (ou de Robin) :

(9)

avec , (espace des fonctions continment dri-vables sur ) et . On choisit comme espace de fonctions tests. Soit v une fonction de ;multiplions la premire quation par v et intgrons par parties ; ilvient :

et, compte tenu de la dfinition des conditions aux limites :

Comme prcdemment, posons :

et

Le problme (9) scrit alors sous la forme standard :

(10)

et, comme prcdemment, par simple remonte des calculs, lesproblmes (9) et (10) sont quivalents.

g0 g1 0= =

H 1 0 1,[ ]( )

x 0= x 1=

E H 1 0 1,[ ]( )=H 1 0 1,[ ]( )

udxd

-------

vdxd

------- q x( )uv+ xd01 fv xd01 g1v 1( ) g0v 0( )+ v H 1 0 1,[ ]( ),=

a u v,( ) udxd

-------

vdxd

------- q x( )uv+ xd01= L v( ) fv xd01 g1v 1( ) g0v 0( )+=

dterminer u H 1 0 1,[ ]( ) tel que :a u v,( ) L v( )= v H 1 0 1,[ ]( ),

d 2u x( )dx 2

------------------- f x( ) x ]0 1[,,=

u 0( ) 0 du 1( )dx

---------------- g1=,=

x 0=g1 x 1=

E v H 1 0 1,[ ]( ) v 0( ) 0=,{ }=

v E

udxd

-------

vdxd

------- xd0

1 fv xd01 g1v 1( )+ v E,=a u v,( ) ud

xd-------

vdxd

------- xd0

1= L v( ) fv xd01 g1v 1( )+=dterminer u E tel que :

a u v,( ) L v( )= v E,

0 1,[ ]=

ddx------- c x( )d u x( )

dx----------------- u x( )+ f x( ) x ]0 1[ ,,=

c 0( )d u 0( )dx

----------------- k u 0( ) g0 + 0= c 1( )d u 1( )dx----------------- k u 1( ) g1 + 0=,

k 0> c x( ) C1 0 1,[ ]( )0 1,[ ] 0 c0< c x( ) c1 E H 1 0 1,[ ]( )=

H 1 0 1,[ ]( )

c x( )d u x( )dx

-----------------

d v x( )dx

---------------- uv+ x d01

fv xd0

1 c 1( )d u 1( )dx-----------------v 1( )+ c 0( )d u 0( )dx-----------------v 0( ) v H 1 0 1,[ ]( ), ,=c x( )d u x( )

dx-----------------

d v x( )dx

---------------- uv+ x d01

fv xd0

1 k g1 u 1( )( )v 1( )+ k g0 u 0( )( )v 0( )= v H 1 0 1,[ ]( ),a u v,( ) c x( ) u x( )d

xd----------------

v x( )dxd

--------------- uv+ xd01 ku 1( )v 1( ) ku 0( )v 0( )+=

L v( ) fv xd0

1 kg1v 1( ) kg0v 0( )+=dterminer u H 1 0 1,[ ]( ) tel que :

a u v,( ) L v( )= v H 1 0 1,[ ]( ),exploitation du droit de copie est strictement interdite.it Sciences fondamentales

Pour terminer de passer en revue les diverses conditions auxbords, considrons un problme aux limites muni de conditions auxlimites de type priodique, ce qui se traduit, dans le cas du probl-mes de Poisson monodimensionnel, par le problme suivant :

(11)

Choisissons comme espace de fonctions tests lespace suivant :

La mise sous forme variationnelle du problme (11) conduit, pardes techniques similaires, la formulation suivante :

(12)

d 2u x( )dx 2

------------------- qu x( )+ f x( ) x ]0 1[, q 0>( ), ,=

du 0( )dx

----------------

du 1( )dx

----------------=

u 0( ) u 1( )=

E v H 1 0 1,[ ]( ) v 0( ) v 1( )=,{ }=

dterminer u E tel que :

a u v,( ) L v( )= v E,

__________________________________________________________________________ APPROCHE VARIATIONNELLE POUR LA MTHODE DES LMENTS FINIS

avec :

et

les problmes (11) et (12) tant, dans ce cas, encore quivalents.

Par ailleurs, il existe dautres types doprateurs aux drivespartielles que le laplacien. Considrons, par exemple, les cas du pro-blme de convection-diffusion avec conditions aux limites de Diri-chlet homognes :

(13)

Compte tenu des conditions aux bords, lespace des fonctionstests tant , la formulation variationnelle du problme (13)scrit alors :

(14)

avec :

et

et lon peut vrifier directement lquivalence des problmes (13) et(14).

Pour terminer considrons la formulation variationnelle dunproblme de double laplacien suivant :

(15)

On introduit les espaces de Sobolev dordre 2, nots et

la formulation variationnelle du problme (15) scrit alors :

(16)

Remarque

Dans les problmes prcdents, nous avons simplement mis lesproblmes forts sous forme variationnelle. Nous navons pas cher-ch effectuer lanalyse du problme, qui consisterait vrifierlexistence et lunicit de la solution ; cette dmarche peut se faire enappliquant le thorme de Lax-Milgram ; la dmarche nest pas tou-jours simple et ncessite lutilisation de rsultats danalyse fonction-nelle. Nous renvoyons le lecteur [5] pour des renseignementscomplmentaires sur ce type de question.

5. Extension au cas de problmes dEDP bidimensionnels

Soit m un entier naturel, dfinissant la dimension despace duproblme dquation aux drives partielles considr. On consi-dre la situation o (en pratique ou ) ; onnote de manire gnrale la frontire de , qui correspond une varit de dimension ; on supposera dans la suite quedune part est born, cest--dire quil peut tre inclus dans uneboule de rayon fini et que dautre part est rgulire , parexemple continue et variation continue et ne comportant pas depoints de rebroussement.

Dans ce paragraphe, nous allons tendre aux quations aux drivespartielles dfinies dans un domaine les rsultats obtenus auxparagraphes prcdents pour des problmes en dimension 1 ; le pro-blme considr sera transform en une formulation faible de manire pouvoir utiliser le thorme de Lax-Milgram. Cette transformation at obtenue en dimension 1 grce lutilisation systmatique de la for-mule dintgration par parties ; il sera donc ncessaire de gnralisercette formule au cas dune dimension suprieure 1. De la mmefaon, il sera ncessaire de dfinir, dans ce cas, les espaces de Sobolevet, en particulier, les drives dordre lev qui apparaissent dans cesespaces de fonctions tests dont la dfinition est ncessaire lcriture

a u v,( ) dudx-------

dvdx------- quv+ xd0

1= L v( ) fv xd01=

d 2u x( )dx 2

------------------- cdu x( )dx

---------------- bu x( )+ + f x( ) x ]0 1[, b 0, ,=

u 0( ) u 1( ) 0= =

H01 0 1,[ ]( )

dterminer u H01 0 1,[ ]( ) tel que :

a u v,( ) L v( )= v H01 0 1,[ ]( ),

a u v,( ) dudx-------

dvdx------- c du

dx-------v buv+ + xd0

1= L v( ) fv xd01=

d 4u x( )dx4

-------------------

d 2u x( )dx 2

------------------- u x( )+ f x( ) x ]0 1[,,=

u 0( ) u 1( ) 0= =d 2u 0( )

dx 2------------------- =

d 2u 1( )dx 2

-------------------, =

H 2 0 1,[ ]( )

dterminer u H02 0 1,[ ]( ) tel que :

a u v,( ) L v( ) dv 1( )dx

---------------- dv 0( )

dx----------------+= v H0

2 0 1,[ ]( ),

m m 2= m 3=

m 1

mToute reproduction sans autorisation du Centre franais dexploitation du droit de copie est strictement interdite. Techniques de lIngnieur, trait Sciences fondamentales AF 503 9

et dfinis par :

Multiplions (15) par et intgrons deux fois par par-ties le terme du quatrime ordre, une fois par parties le terme dusecond ordre ; compte tenu des valeurs aux bords des drivessecondes, il vient :

Posons :

et

de la formulation variationnelle associe lquation aux drives par-tielles considre. On mesure la difficult thorique laquelle on estconfront et, en toute rigueur, il faudrait utiliser la thorie des distribu-tions, ce qui compliquerait lexpos pour prsenter la mthode des l-ments finis des ingnieurs non mathmaticiens.

La faon la plus simple de gnraliser la formule dintgration parparties est dutiliser la formule de Green suivante, qui se dduit dela formule dOstrogradski :

et :

avec normale dirige vers lextrieur, est la drive

normale dfinie par :

H 02 0 1,[ ]( )

H 2 0 1,[ ]( ) v v L2 0 1,[ ]( ) dvdx------- L2 0 1,[ ]( ), d

2v

dx 2---------- L2 0 1,[ ]( ),

=

H02 0 1,[ ]( ) v v H 2 0 1,[ ]( ) v 0( ) v 1( ) 0= =,{ }=

v H02 0 1,[ ]( )

d 2u

dx 2-----------

d 2v

dx 2----------

dudx-------

dvdx------- uv+ +

xd

0

1 fv xd01 dv 1( )dx---------------- dv 0( )dx---------------- ,+= v H0

2 0 1,[ ]( )

a u v,( ) d2u

dx 2-----------

d 2v

dx 2----------

dudx-------

dvdx------- uv+ +

xd

0

1= L v( ) fv xd01=

u x( )xi

---------------

v x( )xi

--------------- xdi 1=

m

v x( )u x( ) xd v x( ) u x( ) n--------------- sd +=x x1 xm, ,( )=

u x( ) u x( )2

x 2i------------------

i 1=

m

=n u

n------



et :

On peut crire la formule de Green, en criture condense commesuit :

Si, par exemple, , la formule de Green scrit :

et lorsque , on obtient :

Si lon considre le problme analogue au problme de la cordetudi au paragraphe 2, mais cette fois-ci en dimension , cor-respondant la situation o lon calcule le dplacement dunemembrane lastique occupant au repos un domaine de frontire

, fixe sur sa frontire et soumise une force perpendi-culaire au plan , on est amen rsoudre le problme dePoisson avec conditions aux limites de Dirichlet homognessuivant :

(17)

avec ,

intrieur du domaine .

On considre lespace , dfini par :

et lespace , sous-espace de dont les fonctionssont nulles sur le bord . Soit v une fonction test lment de

; multiplions le laplacien par v et intgrons sur . Comptetenu de la formule de Green, il vient, dans le cas :

Or et la trace de cette fonction sur le bord est nulle ;donc lintgrale curviligne disparat. Posons :

et

la relation prcdente scrit alors :

Rciproquement, partant de la relation prcdente, et en remon-tant les calculs, grce notamment lutilisation de la formule deGreen, on constate que le problme (17) est quivalent au problmevariationnel suivant :

Remarque

On montre que les espaces et munis du produitscalaire :

sont des espaces prhilbertiens (cf. [3]). De plus ces espaces sontcomplets pour la norme associe au produit scalaire < .,. >,donc et sont des espaces de Hilbert et on vrifie que,sous les hypothses prcdentes, on est dans le cadre du thormede Lax-Milgram (cf. [3]).

Considrons, toujours dans un domaine bidimensionnel, leproblme aux limites comportant des conditions aux limites deNeumann non homognes suivant :

(18)

o et ; la mise sous forme variationnelleseffectue comme prcdemment. On choisit ici ; onmultiplie lquation dfinie dans le domaine par une fonction testv de et on intgre sur tout le domaine ; lapplication de laformule de Green conduit la relation :

soit, compte tenu des conditions aux limites :

u x( )n---------------

u x( )xi

--------------- Oxi n ,( ) cos i

1

=

m

u x ( ) n = =

u x( ) u x( )x1

---------------

u x( )xm

---------------, , t

=

u x( ) v x( ) xd

v x( )u x( ) xd v x( ) u x( ) n--------------- sd +=m 3=

u x( )xi

---------------

v x( )xi

--------------- xdi 1=

3

vu xd v un------ sd +=m 2=

u x( )xi

---------------

v x( )xi

--------------- xdi 1=

2

vu xd v un------ sd +=m 2=u x( )

f x( )

x1Ox2

u x( ) f x( ) sur 0,=u x( ) 0 sur ,=

f x( ) L2 ( )

0

H1 ( )

H1 ( ) v v L2 ( ) vxi

-------- L2 ( ) i 1 m, ,=, ,

=

E H01 ( )= H1 ( )

H0

1 ( ) m 2=

v x( )u x( ) xd

u x( ) v x( ) xd v x( ) u x( ) n--------------- sd = f x( )v x( ) xd

v H01 ( ),=v H0

1 ( )

a u v,( ) u x( ) v x( ) xd

= L v( ) f x( )v x( ) xd =a u v,( ) L v( ) v H01 ( ),=

dterminer u H01 ( ) tel que :

a u v,( ) L v( ) v H01 ( ),=

H1 ( ) H01 ( )

, u x( )v x( ) xd

u x( ) xi--------------- v x( ) xj--------------- xd i 1=m

+=

. 1,H1 ( ) H01 ( )

u x( ) u x( )+ f x( ) sur 0,=u x( )

n--------------- g x( ) sur ,=

f x( ) L2 ( ) g x( ) L2 ( )E H 1 ( )=

H 1 ( )

u x( ) v x( ) u x( )v x( )+ xd v x( ) u x( ) n--------------- s d

f x( )v x( ) xd

v H1 ( ),=u x( ) v x( ) u x( )v x( )+ xd

= v x( )g x( ) s d

f x( )v x( ) xd v H1 ( ),+

exploitation du droit de copie est strictement interdite.

it Sciences fondamentales

Posons :

et

avec ces notations, le problme (18), est alors transform en unproblme variationnel :

Rciproquement, partant de la relation prcdente, on peutremonter les calculs et, via lutilisation de la formule de Green, onobtient la formulation forte (18). Finalement, par ce biais, on vrifiedonc lquivalence du problme (18) avec le problme variationnelsuivant :

pour lequel, sous les hypothses prcdentes, le thorme de Lax-Milgram est applicable.

a u v,( ) u x( ) v x( ) u x( )v x( )+ xd =

L v( ) v x( )g x( ) s d

f x( )v x( ) xd +=a u v,( ) L v( ) v H1 ( ),=


a u v,( ) L v( ) v H1 ( ) ,=


Soit le domaine born , de frontire ; on suppose deplus que ; on considre le problme de Poisson avecconditions aux limites mles de type Dirichlet-Neumann suivant :

(19)

o et . La mise sous forme variationnelledu problme (19) ncessite la dfinition dun espace de travail Eadapt la situation, notamment compte tenu des conditions auxlimites considres ; on choisira comme espace E un sous-espacede . La condition aux limites de Dirichlet homogne sur pourra tre introduite dans lespace de travail ; cependant la condi-tion aux limites sur dfinit la valeur de la drive normale surcette partie de la frontire et ne peut tre dfinie pour toutes lesfonctions de lespaces . On travaillera donc sur lespace :

Soit v une fonction test appartenant E ; on multiplie lquationdfinie dans le domaine par une fonction test v de E et on intgresur tout le domaine ; lapplication de la formule de Green conduit la relation suivante :

Or, en appliquant les rsultats classiques sur la thorie de lint-gration, on peut dcomposer lintgrale curviligne en la somme dedeux intgrales curvilignes dfinies respectivement sur et ,soit :

Or v appartenant lespace E, lintgrale curviligne dfinie sur est nulle ; de plus, la drive normale de la fonction u sur estgale ; donc :

Finalement, la transformation prcdente du problme (19),

Remarque

Compte tenu, dune part, de la dfinition de lespace des fonctionstests et, dautre part, de celle de la forme bilinaire a(.,.) et de laforme linaire L(.), le problme variationnel associ au problme dePoisson avec conditions aux limites mles de type Dirichlet-Neu-mann rentre, sous les hypothses prcdentes, dans le cadre delutilisation du thorme de Lax-Milgram ; cependant la vrificationdes hypothses de ce rsultat reste dlicate et ncessite lutilisationdestimations fines danalyse fonctionnelle (cf. [3]).

Le dernier type de conditions aux limites rencontres pour lesquations aux drives partielles elliptiques sont les conditions deFourier (ou de Robin) ; considrons donc le problme suivant, dfinidans un domaine born , de frontire :

(20)

avec , et . Compte tenu des condi-tions portant sur la drive normale, on choisit, comme espace detravail, lespace . On opre de manire analogue ce quia t tabli prcdemment ; soit v une fonction test de lespace

; on multiplie par v et on intgre sur ; compte tenu de laformule de Green, on obtient :

Or, sous le signe , la drive normale est gale

; on a donc :

2 01=

u x( ) f x( ) sur 0,=u x( ) 0 sur 0,=

u x( )n--------------- g x( ) sur 1,=

f x( ) L2 ( ) g x( ) L2 1( )

H 1 ( ) 01

H 1 ( )

E v v H 1 ( ) v 0( ) 0 sur 0=,{ }=

u x( ) v x( ) xd

v x( ) u x( ) n--------------- sd f x( )v x( ) xd v E,=0 1

v x( ) u x( )n--------------- sd

v x( ) u x( ) n--------------- sd0 v x( ) u x( ) n--------------- sd1 +=0

1g x( )

v x( ) u x( )n--------------- sd

v x( ) u x( ) n--------------- sd1 v x( )g x( ) sd1 v E,= =


a u v,( ) L v( ) v E ,=

2

u x( ) u x( )+ f x( ) sur 0,=u x( )

n--------------- b0u x( )+ g x( ) sur ,=

b0 0> f x( ) L2 ( ) g x( ) L2 ( )

E H 1 ( )=

H 1 ( )

u x( ) v x( ) u x( )v x( )+ xd v x( ) u x( ) n--------------- s d

f x( )v x( ) xd

v H1 ( ),= u x( ) n---------------

g x( ) b0u x( )

u x( ) v x( ) u x( )v x( )+ xd b0 v x( )u x( ) s d +

f x( )v x( ) xd v x( )g x( ) s v H1 ( ),d +=Toute reproduction sans autorisation du Centre franais dexploitation du droit de copie est strictement interdite. Techniques de lIngnieur, trait Sciences fondamentales AF 503 11

conduit lcriture suivante :

Posons

et

on a donc la relation suivante :

Rciproquement, de la mme faon que lors de ltude des pro-blmes prcdents, et grce la formule de Green, on aboutit, enpartant de la relation prcdente et en remontant les calculs, la for-mulation forte (19) et on vrifie lquivalence de ce problme avec leproblme variationnel suivant :

Posons :

et

La transformation considre, conduit au problme variationnelsuivant :

Comme lors des tudes prcdentes, on peut partir de la relationprcdente, et via lutilisation de la formule de Green, remonter lescalculs pour retomber sur le problme (20), ce qui montre lquiva-lence de ce problme avec le problme variationnel suivant :

u x( ) v x( ) xd

F x( )v x( ) xd v x ( ) g x ( ) s d 1 v E , +=a u v,( ) u x( ) v x( ) xd

=L v( ) f x( )v x( ) xd

v x( )g x( ) sd1 +=a u v,( ) L v( ) v E,=

a u v,( ) u x( ) v x( ) u x( )v x( )+ xd b0 v x( )u x( ) sd +=

L v( ) f x( )v x( ) xd

v x( )g x( ) sd +=a u v,( ) L v( ) v H1 ( ),=

dterminer u H1 ( ) tel que : a u v,( ) L v( ) v H1 ( ) ,=


Toute reproduction sans autorisation du Centre franais dAF 503 12 Techniques de lIngnieur, tr

qui, sous les hypothses prcdentes, rentre dans le cadre formeldu thorme de Lax-Milgram.

Remarque

Ce contexte dtude peut bien videmment tre tendu dessituations plus gnrales doprateurs elliptiques gnraux dusecond ordre, dfinis dans des domaines borns ; soit A unoprateur aux drives partielles du type :

avec et fonctions continues et bornes sur ledomaine .

On suppose de plus vrifies les hypothses dellipticit suivantes :

la dernire relation traduisant le fait que la matrice detype m m, est dfinie positive. Soit et une fonc-tion dfinie sur , frontire du domaine ; soit C un oprateurdiffrentiel linaire dfini sur et dcrivant lune quelconque desconditions aux limites prcdemment rencontres. On considre leproblme suivant :

et soit E un espace de fonctions tests convenablement choisi, et muni dune norme identique celle de lespace

; on peut associer au problme diffrentiel prcdent une for-mulation variationnelle du type :

o :

avec :

avec normale , dirige vers lextrieur,

angle entre laxe et .

Compte tenu de lexpression de loprateur A, on peut transfor-mer la forme bilinaire comme suit :

Pour terminer, considrons lquation dune plaque encastre,soumise des charges et dont la dformation est donne parlquation biharmonique suivante :

(21)

On considre, prsent les espaces fonctionnels suivants :

Soit v une fonction test de ; en multipliant lquationbiharmonique (21) dfinie sur , puis en intgrant sur , onobtient :

Appliquons une premire fois la formule de Green au premierterme :

et comme sur le bord et par consquent lint-grale curviligne sannule. Appliquons de nouveau la formule deGreen au terme prcdent, il vient, :

et comme sur le bord, par consquent lintgrale curviligne

sannule. Finalement lquation aux drives partielles (21) se trans-forme alors comme suit :

qui correspond la formulation variationnelle associe au problmede plaque. Posons :

m

Auxi bi j, x( )

u x( )xj

--------------- b0 x( )u x( )+j 1=

m

i 1=

m

=bi j, x( ) b0 x( )

b0 x( ) 0 0 x ,>

bi j, x( )i j i2i 1=

m

m 0>( ), ,j 1=

m

i 1=

m

B bi j, x( )( )=

f x( ) L2 ( ) g x( )

Au f sur 0

,=

Cu g sur ,=

E H1 ( )H1 ( )

a u v,( ) L v( ) v E,=

a u v,( ) Au x( )v x( ) xd

u x( ) n---------------v x( ) sd +=u x( )

n--------------- bi j, x( )u x( )

xj--------------- Oxi n ( ) cos

j 1=

m

i 1=

m

=n Oxi n ,( ) Oxi n

a u v,( )

a u v,( ) bi j, x( )u x( )

xi---------------

v x( )xj

-------------- b0 x( )u x( )v x( )+j 1=

m

i 1=

m

x d

= termes de bords +

L v( ) f x( )v x( ) xd

termes de bords+=u x( )

u x( )( ) u x( )+ f x( ) sur 0 2 ,=u x( ) 0 sur ,=u x( )

n--------------- 0 sur ,=

H 2 ( ) v v L2 ( ) vxi

------- L2 ( ) v2

xi xj---------------- L2 ( ) i j 1 n, ,=, , , ,

=

H02 ( ) v v H 2 ( ) v 0 et v

n------ 0 sur ==,

=

H02 ( )

u x( ) v x( ) u x( )v x( )+ xd f x( )v x( ) xd v H02 ( ),=

u x( ) v x( ) xd u x( ) v x( ) xd u x( )( ) n------------------------v x( ) s,d +=

v H02 ( )

v H02 ( ) v, 0=

v H02 ( )

u x( ) v x( ) xd u x( ) v x( ) x d =

u x( )v x( ) xd

u x( ) v x( ) n-------------- sd =v x( )

n-------------- 0=

u x( ) v x( ) u x( )v x( )+ xd f x( )v x( ) xd v H02 ( ),=

exploitation du droit de copie est strictement interdite.ait Sciences fondamentales

et

on aboutit donc lcriture standard :

Et, comme prcdemment, en partant de cette criture et enremontant les calculs, on vrifie lquivalence entre le problme (21)et le problme suivant :

a u v,( ) u x( )v x( ) u x( )v x( )+ xd=L v( ) f x( )v x( ) xd

=a u v,( ) L v( ) v H02 ( ),=


a u v,( ) L v( ) v H02 ( ) ,=


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6. Conclusion

Dans cet article, nous avons transform des classes varies deproblmes dEDP, associes divers oprateurs aux drives par-tielles et aux conditions aux limites classiques, en un problmequivalent. Cette opration correspond la mise sous forme varia-tionnelle du problme dEDP et est formule comme suit :

(22)

o E est un espace fonctionnel (en gnral un espace de Hilbert et,plus gnralement, un espace vectoriel norm), a (.,.) une forme bili-naire continue et coercive, L(.) une forme linaire continue. Dautrestypes dEDP peuvent tre mis sous forme variationnelle. partir dela formulation (22), on construit une mthode dapproximation de lasolution par lments finis en projetant le problme (22) sur un sous-espace de E de dimensions finies.

Cette mthode dapproximation est dcrite dans les articles [AF 504]et [AF 505].

Rfrences bibliographiques


a u v,( ) L v( ) v E ,=

[1] DAUTRAY (R.) et LIONS (J.L.). Analysemathmatique et calcul numrique pour lessciences et les techniques. Tome 1 tome 9,Masson (1988).

[2] BREZIS (H.). Analyse fonctionnelle. Collec-tion Mathmatiques Appliques, Masson(1982).

[3] RAVIART (P.A.) et THOMAS (J.M.). Introduc-tion lanalyse numrique des quations auxdrives partielles. Collection MathmatiquesAppliques, Masson (1983).

[4] CIARLET (P.G.). Introduction lanalysenumrique matricielle et loptimisation.

Collection Mathmatiques Appliques, Mas-son (1982).

[5] CIARLET (P.G.). The finite element methodfor elliptic problems. North-Holland (1978).

Approche variationnelle pour la mthode des lments finis1. Prsentation gnrale2. Modlisation dun problme dlasticit simple3. Analyse mathmatique du problme4. Formulation variationnelle pour diverses EDP monodimensionnelles5. Extension au cas de problmes dEDP bidimensionnels6. ConclusionRfrences bibliographiques

(techniques de l'ingénieur - af 503) approche variationnelle pour la méthode des Éléments finis

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