Universit Claude Bernard - Lyon 1 Semestre de Printemps 2013-2014Math IV - PMI

Feuille dexercices no 6SRIES DE FOURIER

Exercice I : Srie de Fourier - tude dun cas

On considre la fonction f de priode 2pi, dfinie par x 7 ch(x) sur lintervalle [pi, pi].1. Faire un dessin rapide de la fonction.

2. Montrer que f est partout gale la somme de sa srie de Fourier.

3. Dterminer sa srie de Fourier en formulation complexe puis en formulation relle.

4. En dduire la valeur de+n=1

(1)n1 + n2

et de+n=1

1

1 + n2.

Exercice II : Srie de Fourier - tude dun casSoit ]0, 1[ et f la fonction de priode 2pi, dfinie par x 7 cos(x) sur lintervalle [pi, pi].

1. Faire un dessin rapide de la fonction.

2. Montrer que f est partout gale la somme de sa srie de Fourier.

3. Dterminer sa srie de Fourier en formulation complexe puis en formulation relle.

4. Montrer quepi

sin(pi)=

1

2+ 2

+n=1

(1)n2 n2 .

Exercice III : Srie de Fourier - fonction 2-priodiqueSoit la fonction f : R R paire, de priode 2, et dfinie par f(x) = 1 si x [0, 1/2[ et f(x) =1 si x [1/2, 1]. Lorsque cest possible, exprimer f(x) comme la somme dune srie de la forme

(an cos(nx) + bn sin(nx)) avec R et les an, bn des cfficients rels.

Exercice IV : Srie de Fourier - Existence dun coefficient

Existe-t-il une suite relle (an)nN telle que pour tout x [0, pi], sin(x) =+n=0

an cos(nx) ?

Exercice V : Existence dun coefficient

Existe-t-il une suite relle (bn)nN telle que pour tout x [0, pi[, cos(x) =+n=0

bn sin(nx) ?

Exercice VI : Existence dun coefficient

Existe-t-il une suite relle (cn)nN telle que pour tout x [0, 2pi], sin(x) =+n=0

cn cos(nx) ?

1

Exercice VII : Srie de Fourier - tude dun cas

1. Dterminer le dveloppement en srie de Fourier de la fonction f paire, 2pi-priodique et dfinie

par f(x) = x sur [0, pi]. En dduire les valeurs des sries 1

(2n+ 1)2, 1

(2n+ 1)4, 1

n2et 1

n4.

2. Dterminer la srie de Fourier de la fonction g impaire, 2pi-priodique, dfinie par g(x) = x sur [0;pi[.

tudier sa convergence. Retrouver la valeur de la somme+n=1

1

n2.

Exercice VIII : Srie de Fourier - tude dun casDterminer la srie de Fourier de la fonction 2pi-priodique dfinie sur lintervalle ] pi, pi] par f(x) = ex.Etudier la convergence de cette srie. Retrouver la valeur de

+n=0

1

n2 + 1(voir exercice 1).

Exercice IX : Examen Janvier 2011Soit f : R R lapplication 2pi-priodique dfinie par f(x) = x2 pour tout x ] pi, pi].

1. Faire un graphe reprsentant la fonction f sur lintervalle ] 4pi, 4pi].2. La fonction f est-elle gale la somme de sa srie de Fourier ? Justifier la rponse.3. a. Dterminer la srie de Fourier de f en formulation relle.

b. En dduire la valeur de+n=1

(1)nn2

.

4. Soit g : R R lapplication dfinie par

g(x) =

+n=1

(1)n cos2(nx)n2

.

a. Montrer que la srie de fonctions de terme gnral

gn(x) =(1)n cos2(nx)

n2.

est normalement convergente sur R.b. En dduire que g est continue sur R.

5. a. Dduire de question 3. que pour tout x [pi, pi] nous avons+n=1

(1)n cos(nx)n2

=x2

4 pi

2

12.

b. En se servant dune formule trigonomtrique connue, exprimer cos2(nx) en fonction de cos(2nx).En dduire une expression de g(x) pour tout x [pi, pi].

2

c. Trouver alors une expression simple de g(x) pour tout x [pi/2, pi/2] en fonction de x2 et pi2,puis pour tout x dans [0, pi] en fonction de (x pi)2 et pi2.

Exercice X : Examen Janvier 2010

Soit la fonction f paire, 2pi-priodique dfinie pour tout x [0, pi] par f(x) = pi x.1. Faire un rapide dessin de la fonction.2. Est-ce que f est partout gale la somme de sa srie de Fourier ?3. Dterminer sa srie de Fourier en formulation relle puis en dduire sa srie de Fourier en formulation

complexe.4. En dduire la valeur des sommes suivantes

S1 =+k=0

1

(2k + 1)2et S2 =

+k=0

1

(2k + 1)4.

Indication : pour la dernire somme, on pourra utiliser lgalit de Parseval.5. En remarquant que

+k=1

1

n2=

+k=1

1

(2k)2+

+k=1

1

(2k 1)2 ,

trouver la valeur de+k=1

1

n2.

Exercice XI : Examen Janvier 2009On considre la fonction 2pi-priodique f : R R dfinie par f(x) = |x|(pi |x|) si x ] pi, pi].

1. Dessiner la fonction sur lintervalle [3pi, 3pi].2. La fonction f est elle gale la somme de sa srie de Fourier ? Justifier.3. Dterminer sa srie de Fourier en formulation relle.4. Dterminer sa srie de Fourier en formulation complexe.5. En dduire la somme

+n=1

1

n4.

6. Calculer+n=1

1

n2.

Exercice XII : Examen Dcembre 2007

Soit f : R R la fonction 2pi-priodique dfinie par f(x) = | sin(x)| si x ] pi, pi].1. Faire un dessin rapide de la fonction.2. Montrer que f est partout gale la somme de sa srie de Fourier.3. Dterminer sa srie de Fourier en formulation relle .

N.B. : On rappelle que sin(a) cos(b) = 12 [sin(a+ b) + sin(a b)].4. laide de la formule de Parseval, valuer

+n=1

1

(4n2 1)2 .

3

Exercice XIIISoit f : R R 2pi-priodique, impaire, constante gale 1 sur ]0;pi[.

1. Calculer les coefficients de Fourier trigonomtriques de f .

2. tudier la convergence simple et uniforme de la srie de Fourier de f .

3. En dduire les valeurs des deux sommes suivantes :

+p=0

(1)p2p+ 1

et+p=0

1

(2p+ 1)2.

4. Calculer+n=1

1

n2et

+n=1

(1)n1n2

.

Exercice XIVDterminer la srie de Fourier de la fonction sin.

4