1Universite Antonine Semestre-2Annee 2012-2013

TD chapitre 5 : Valeurs & Vecteurs Propres

Reduction des Matrices

1. Donner les valeurs propres et les vecteurs propres de chacune des matrices suivantes :(0 11 0

) (3 42 3

) 1 1 22 1 11 2 1

5 2 22 5 22 2 5

2. Soit A =

1/2 1/2 01/4 1/4 1/21/4 1/4 1/2

.(a) Verifier que lequation caracteristique de A est donnee par : ( 1)( 1

4) = 0.

(b) Donner une matrice non singulie`re P telle que P1AP = diag(1, 0, 14).

3. Soit A =

a 1 11 a 11 1 a

.Montrer que A est diagonalisable a R.

4. Soit A =

a 1 a+ 20 1 05 1 3

.Trouver les valeurs de a pour lesquelles A est diagonalisable.

5. Diagonaliser les matrices suivantes :

A =

(1 42 3

)B =

4 1 12 5 21 1 2

C =

1 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 1

D =1 4 2 24 1 2 22 2 1 42 2 4 1

6. Donner une matrice triangulaire semblable a` chacune des matrices suivantes.

A =

(3 11 1

)B =

4 0 20 1 05 1 3

C =

2 1 2 11 0 3 12 1 0 11 0 0 3

D =

2 1 0 11 1 1 10 1 1 01 1 1 0

E =

1 0 1 10 0 1 00 1 0 00 1 0 1

7. Soit T une application lineaire dans R3 definie par sa matrice A dans la base canonique

(e1, e2, e3) :

A =

1 2 01 3 11 1 3

(a) Donner des bases de KerT et ImT .

(b) i. Trouver le polynome caracteristique de T .

2ii. Deduire les valeurs propres de T .

iii. Justifier que A soit diagonalisable, et ecrire une matrice diagonale semblable a` A.

iv. Donner une base de R3 formee par les vecteurs propres de T .(c) Soient f1 = 2e1 + e2 + e3, f2 = e1 + e2 + e3 et f3 = 2e1 + 3e2 e3 trois vecteurs R3.

i. Justifier que (f1, f2, f3) forme une base de R3.ii. Ecrire P , la matrice de passage de (e1, e2, e3) a` (f1, f2, f3).

iii. Calculer P1.

iv. Ecrire D, la matrice associee a` T dans la base (f1, f2, f3).

(d) Quelle est la relation entre A3, D3, P et P1 ? Deduire A3.

8. Soit A =

1 2 01 3 11 1 3

.(a) Justifier que A est diagonalisable, et donner D, la matrice diagonale semblable a` A.

(b) Donner les matrices P et P1 telles que D = P1AP .

(c) Calculer D2, D3, et D4.

(d) Trouver une relation liant A4 a` D4, P et P1.

(e) Deduire A4.

9. Soit A =

1 1 11 1 11 1 1

.(a) Determiner les valeurs propres de A.

(b) Pour chacune des valeurs propres de A, on precisera lespace propre correspondant en ledecrivant a` laide dune base.

(c) A est-elle diagonalisable ?