td suites series fonct
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8/2/2019 TD Suites Series Fonct
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Analyse I CPI/2011-2012/S1
TD : Suites et Series de Fonctions
Exercice 1.
Etudier la convergence simple et uniforme des suites de fonctions suivantes :
a) fn(x) =nx
1 + n|x|sur R
b) fn(x) =nex + 1
n + xsur R+
c) fn(x) =x2n
1 + x2nsur R
d) fn(x) = enx sin(nx) sur R+ et sur [a, +[, a > 0
e) fn(x) =
x2 sin
1
nx
si x R
0 si x = 0
Exercice 2.
Soit la suite de fonctions
fn(x) =n
(x n)2 + n2sur [0, +[.
2.1 - Montrer que (fn)n converge uniformement sur [0, +[ vers une fonction f adeterminer.
2.2 - Montrer que fn ( n IN) et f sont integrables sur [0, +[.
2.3 - Comparer limn+
+
0
fn(x) dx et
+
0
limn+
fn(x) dx. Expliquer.
Exercice 3.
Soit R et fn(x) = nxenx, x [0, +[.
3.1 - Montrer que (fn)n converge simplement vers 0 sur [0, +[.
3.2 - Determiner supx0
|fn(x)|.
3.3 - En deduire les valeurs de pour les quelles (fn)n converge uniformement sur[0, +[.
M. Laaraj 1 UH2M. ENSAM Casablanca
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3.4 - Montrer que pour tout R, (fn)n converge uniformement sur [a, +[ pour touta > 0.
Exercice 4.
Montrer que la suite de fonctions (fn)n definies sur R par fn(x) =
x2 + 1n2
est une suite
de fonctions derivables qui converge uniformement vers x |x| sur R. Conclure.
Exercice 5. Facultatif
Soit fn(x) = n(cos x)n sin x, x [0,
2].
5.1 - Montrer que (fn)n converge simplement sur [0,2
] vers une fonction f que londeterminera.
5.2 - Calculer In =/20
fn(x) dx et I =/20
f(x) dx. Conclusion ?
Exercice 6.
Etudier la convergence (simple, uniforme et normale) les series de fonctions de termesgeneraux :
a) fn(x) = nx2exn sur R+.
b) fn(x) =1
n + n3x2sur R
+.
c) fn(x) = (1)n x
(1 + x2)n.
Exercice 7.
Soit (fn)n la suite definies sur R par
fn(x) = xn
sin(nx)n
, n IN.
7.1 - Montrer quen1
fn est absolument convergente sur ] 1, 1[. On pose f(x) sa
somme.
7.2 - Montrer que f est de lasse C1 sur ] 1, 1[.
M. Laaraj 2 UH2M. ENSAM Casablanca
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Analyse I CPI/2011-2012/S1
7.3 - Calculer f(x) en deduire que f(x) = arctan
x sin x
1 x cos x
Exercice 8.
Soit (fn)n la suite de fonctions definies sur R par fn(x) =x
(1 + x)n.
8.1 - Montrer que la serien1
fn converge simplement sur R+, on note S sa somme.
8.2 - Montrer que la serie
n
1
fn converge normalement sur [a, +[, pour tout a > 0.
8.3 - Calculer S(x) pour tout x R. La fonction S est-elle continue sur R ?
M. Laaraj 3 UH2M. ENSAM Casablanca