td elements finis canal

8/11/2019 TD Elements Finis Canal

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TD 6, UE Elts Finis, Master M1, UCB Lyon 1 Pr. Marc BUFFAT

T.D. 6

Elments finis en 2D

6.1 ProblmeOn considre lcoulement incompressible potentiel dans un canal bidimensionnel obtur

partiellement par un obstacle carr. Les dimensions du problme sont indiques sur la figure

(6.1).

Lquation dquilibre rgissant la fonction de courant (x,y)nest autre que lquation deLaplace

=2

x2+

2

y2 =0

o(x,y)est la fonction de courant telle que :

u=

y, v=

x

uet v tant les composantes de la vitesse.

0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1

4H2H

10H

U0

C

B

D

F E

A

FIG . 6.1 coulement potentiel dans un canal

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1. Ecrire les conditions aux limites en vitesse pour ce problme sont :

2. En dduire les conditions aux limites pour la fonction de courant (en choisissant une ori-

gine pouren y=0)3. Par raison de symtrie du domaine, des conditions aux limites et de lquation du pro-

blme, on peut limiter le domaine dtude au domaine de frontire ABCDEF (soit 1/4du domaine initial). Quelles sont les conditions aux limites sur ce domaine

6.2 Formulation faible

1. Ecrire la formulation faible du problme sur le domaine.

2. Dans la suite, pour effectuer les calculs, nous choisirons comme valeurs numriquesH= 1et U0=

1

2

, ce qui impose un dbit unit en entre.

3. Lcoulement tudi est un coulement potentiel, donc le champ de vitesse est le gradient

dun potentiel(x,y):

u=

x,v=

y

Lquation de continuitdivu = 0 impose ce potentiel de vrifier lquation de Laplace :

=0

Le potentiel et la fonction de courantvrifient donc la mme quation, mais avec desconditions aux limites diffrentes.

Montrez que ce sont deux familles de fonctions orthogonales, i.e. les courbes potentiel

=cste sont perpendiculaires aux lignes de courant.En dduire la formulation variationnelle associe au potentiel.

6.3 Interpolation par lments finis P1

Pour rsoudre numriquement le problme (??), on cherche une solution approche h(x,y).En lments finis cette solution est dfinie par la donne :

1. dun maillageMh du domaine de calcul,

2. dune interpolation sur chaque lment du maillage.

Pour des lments finis P1, le maillage est un maillage triangulaire et linterpolation est une

interpolation polynmial de degr 1 sur chaque lment, et continue globalement. Pour le pro-

blme considr, nous choisissons le maillage de la figure (6.2) qui contient ne=12 lments etnn=11 sommets.

La description dun maillage comprend deux informations principales :

2


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1

2 3 4

567

8 9

10 111

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

FIG . 6.2 maillage du canal de 11 noeuds et 12 lments

X 1 2

1 -3.0 1.0

2 -1.0 1.5

3 -0.5 1.5

4 0.0 1.5

5 0.0 2.0

6 -1.0 2.0

7 -5.0 2.0

8 -5.0 0.0

9 -1.0 0.0

10 -1.0 1.0

11 0 .0 1.0

Tbc 1 2 3

1 1 7 82 8 9 1

3 9 10 1

4 1 6 7

5 2 6 1

6 1 10 2

7 6 2 3

8 2 10 3

9 10 11 3

10 11 4 3

11 3 5 6

12 3 4 5

TAB . 6.1 Coordonnes et Table de connection pour le maillage (6.2)

1. une information gomtrique : les coordonnes de chacun des noeuds du maillage,

2. une information topologique : le numro des 3 sommets de chacun des lments du maillage,

appel table de connection.

Ces informations sont donnes par 2 tableaux : un tableauX de nombres rels de dimension 2nn

pour les coordonnes, et un tableau Tbc de nombres entiers de dimension 3nepour la table deconnection. Pour le maillage de la figure (6.2), ces valeurs des deux tableaux sont donnes ci

dessous (table 6.1 ).

Le domaine de calculest donc discrtis en ne lments triangulairesek:

= Mh =ne[

k=1

ek avec ek triangle de sommets {T bc(k,1),T bc(k,2),T bc(k,3)}

3


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6.3.1 Interpolation sur un lment finisP1

Sur chaque lmentekdu maillage, lapproximation fh par lment finis P1 dune fonction

f(x,y)est un polynme de degr 1 en x et y, qui scrit :

fh|ek =ax + by + c

1. Comment dterminer ce polynme ?

2. Considrons par exemple la fonction f(x,y) = (1 + x10

)(y2

)4 sur le maillage (6.2). Elle estdfinie par le tableau de valeurs nodales Fsuivants :

F= [0.0437,0.2848,0.306,0.3164,1.0,0.9,0.5,0.0,0.0,0.0563,0.0625]

3. Quel est son interpolation sur llment 5 ?

4. En notant n1,n2,n3 les 3 sommets dun lment ek, montrer que linterpolation P1 de

f(x,y) sur llment ek( fh|ek

) est une combinaison linaire des valeurs nodales {Fn1,Fn2,Fn3},

qui scrit :

fh|ek(x,y) =Fn1p1(x,y) + Fn2p2(x,y) + Fn3p3(x,y) (6.1)

5. Donner lexpression des fonctions{p1(x,y), p2(x,y),p3(x,y)}et leurs proprits

6. Dans le cas dune interpolationP1, ces polynmes ont une interprtation gomtrique. Ce

sont les coordonnes barycentriques. Ces coordonnes sont dfinies de la faon suivante :

pour chaque pointMde coordonnes(x,y), le vecteurOMscrit en fonction des sommets

du triangle, comme combinaison des vecteursOS1,

OS2,

OS3. Les coefficients sont les

coordonnes barycentriques par rapport au triangle considr, i.e.

OM= 1

OS1+2

OS2+3

OS3O avec 1+2+3=1 (6.2)

7. Donner la relation entre1,2,3 et les polynmes{p1,p2,p3}.

6.4 Approximation par lments finisP1

Lapproximation par lments finis est donc dfinie de faon locale sur chaque lment, en

calculant des formules dinterpolation du type (6.1) et (??). De faon a obtenir une expression g-

nrique pour linterpolation, on vaintroduire une transformation dun lment ekvers un lment

de rfrence. Cet lment de rfrence est le triangle rectangle unit dans le plan de rfrence

(,)(figure 6.3).

4


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x

y

0

1

10

ke e

S1

S3

S 2

T

k

S1

S2

S3

FIG . 6.3 transformationTk: (x,y) (,)vers llment de rfrence P1

6.4.1 interpolation sur llment de rfrence et fonctions de forme

1. Donner mexpression de cette transformationT k :

Tk

ek e x

y

(6.3)

2. Donner lexpression(x,y)et de(x,y)en fonction des coordonnes barycentriques

3. Calculer la matrice jacobienne Jk= D(x,y)D(,) de cette transformation, ainsi que la matrice

jacobienne de la transformation inverse D(,)D(x,y)

4. Donner lexpression de f(x,y)et de sa drive

x,yfsur llment de rfrence.

6.4.2 fonctions de base

Nous avons montr que lapproximation fh(x,y)par lments finis P1 dune fonction f(x,y)sur le maillage (6.2) tait dtermine par les valeurs nodales{Fi}de f auxnn=11 noeuds{Mi}du maillage. Sur chaque lment, fh est un polynme de degr 1 donne par lexpression (??),

qui est une fonction linaire des 3 valeurs aux sommets de llment.

On peut donc crire lapproximation fh(x,y) comme une combinaison linaire des valeursnodales{Fi= f

h(Mi)}i=1,nn :

fh

(x,y) =

nn

i=1 Fii(x,y)

1. Donner lexpression des fonctions de basei(x,y)

6.5 Formulation faible discrte

La solution approcheh du problme (??) est donc dfinie partir de ces nn =11 valeursnodales{i}i=1,nn aux sommets du maillage de la figure (6.2).

5


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h(x,y) =nn

i=1ii(x,y)

1. Ecrire la forme de la solution approcheh , en tenant compte des conditions imposes

2. Quel est le nombre de degr de libert

3. En dduire la formulation faible discrte

4. Montrer que cette formulation conduit un systme linaire AX= B dont on donneralexpression

6.5.1 assemblage de la matrice

Le calcul des coefficients de A se fait lment par lment, en notant que lintgrale sur le

domaineest la somme dintgrales lmentaires sur chacun des triangles ekdu maillage :

Ai j=ne

k=1

Zek

j

x

ix

+j

y

iy

dxdy=

ne

l=1

Aki j

1. En utilisant la proprit des fonctions de baseNi , montrez que ce calcul ne ncssite que

la dtermination dune matrice lmentaire de 9 intgrales lmentaires par lment ek

2. En notant{n1,n2,n3}les numros des 3 sommets de llment k, donner lexpression dela matrice lmentaireAkpq :

3. Donner lassemblage complet de la matriceA

4. Pour calculer les intgrales lmentaires (??), on effectue la transformation vers llment

de rfrence. Montrer que :

Akpq=det(Jk)

2

Np

Np

(J1k ).(J

1k )

t

NqNq

(6.4)

5. Calculer le dterminant du Jacobien. Un calcul directe le produit matriciel (J1k ).(J1k )

t

scrit :

(J1k ).(J1k )

t = 1

(2airek)2

(xk3xk1)2 + (yk3yk1)2 (xk3xk1)(xk1xk2)+

(yk3yk1)(y

k1y

k2)

(xk3xk1)(x

k1x

k2)+ (x

k1x

k2)

2 + (yk1yk2)

2

(yk3yk1)(y

k1y

k2)

6. En dduire lexpression deAk

7. Retrouver ce rsultat en utilisant lexpression des fonctions dinterpolation dans le plan

physique (x,y).

6


7/8


8. Pour calculer la matrice de notre systme, il suffit donc de calculer les 11 matrices lmen-

taires correspondants auxNe =11 lments du maillage en utilisant les relations (??) et(??), et de reporter les coefficients dans la matrice globale (??).

On obtiens ainsi les valeurs des coefficients de la matrice du systme :

A=

0.5938 0.25 0.0 0.00.25 36.5 16.0 0.0

0.0 16.0 40.0 16.00.0 0.0 16.0 32.0

(6.5)

qui est bien entendu symtrique.

6.5.2 assemblage du second membre

Le calcul du second membre (??) procde de la mme dmarche. On remarque aussi que,dans notre cas, le second membre ne contient que des termes provenant des conditions aux li-

mites. Lintgrale calculer est exactement la mme que pour la matrice A, et on crit donc le

second membre sous la forme :

Bi= 7

j=5

e

ne

k=1

Zek

jx

ix

+jy

iy

dxdy

1. Montrez queB se calcule partir de coefficients de matrices lmentaires Akpq (??)

2. En dduire le second memebreB

Le calcul prcdent nous a fournit les matrices lmentaires, et on obtiens comme valeurs de B :

B=

0.015610.25

4.08.0

(6.6)

compte tenue de la valeur dee=1.0

6.5.3 rsolution

La rsolution du systme linaire avec la matrice (6.5) et le second membre (6.6), nous fournit

la valeur de la solution approche pour les 4 degrs de libert du systme :

X=

0.23770.50210.50100.5005

Compte tenu des conditions aux limites, on obtiens la solution approche sur tous les noeuds

du maillage :

7


8/8


e= 0.2377 0.5021 0.5010 0.5005 1.0 1.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0

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