table de fourier

Leon VI: INTRODUCTION L'ANALYSE DE FOURIER Page 1 de 18

file://C:\Public\Www2001a\c3iwww.epfl.ch\teaching\physiciens\lecon06\lec6.html 03/11/01

______________________________________________________

Leon VI : INTRODUCTION A L'ANALYSE DE FOURIER(pleine page / avec sommaire)

Le but de cette leon est d'introduire l'analyse de Fourier dans le cadre des systmes lectroniques linaires. Cette analyse est une analyse de type frquentielle, tendue des rgimes qui ne sont pas forcment sinusodaux. L'analyse de Fourier est trs utilise en lectricit comme en physique.

Dans cette leon, on introduit les sries de Fourier complexes et relles. On se reportera, pour ce formalisme, au cours d'analyse de deuxime anne.

Les termes des sries de Fourier sont des fonctions sinusodales et cosinusodales. A nouveau, on aperoit l'importance de l'analyse harmonique des systmes, puisque la pertinence de ces dcompositions est garantie pour tout systme linaire (principe de superposition).

La transformation de Fourier a dj t signale comme un cas particulier mathmatique de la transformation de Laplace. Elle est trs employe dans toutes les branches techniques avec des implications vastes et diverses : des relations d'incertitudes en physique aux espaces rciproques en cristallographie, en passant bien sr par l'lectricit. Pour cette seconde partie du chapitre, nous nous bornons la dfinition de la transformation de Fourier o l'on aborde la notion de spectre d'un signal. Pour plus vaste information, nous conseillons au lecteur de se reporter une introduction au traitement de signal, domaine o cet outil mathmatique est indispensable. Voir par exemple : "Thorie et traitement de signaux", [12].

______________________________________________________

PLAN DE LA LEON VI

_________________________________________________________________

____________________________________

1. Les sries de Fourier1.1. Srie de Fourier complexe1.2. Spectre frquentiel1.3. Exemple : dcomposition d'un train d'impulsions1.4. Sries de Fourier relles1.5. Taux de distorsion harmonique

2. La transformation de Fourier2.1. Transformation de Fourier : dfinition2.2. Spectre d'amplitude et spectre de phase2.3. Exemple2.4. Remarques2.5. Fonction de transfert2.6. Exemple : cellule RC excite par un chelon unit2.6. Table illustre, transformes de Fourier2.6. Oprations dans les domaines temporel et frquentiel

3. Exercices / 4. Corriges3.1. Spectre unilatral3.2. Dveloppement de Fourier d'un signal carr3.3. Distorsion harmonique



______________________________________________________

1. LES SERIES DE FOURIER

_____________

1.1. Srie de Fourier complexe1.2. Spectre frquentiel1.3. Exemple : dcomposition d'un train d'impulsions1.4. Sries de Fourier relles1.5. Taux de distorsion harmonique

Nous avons dj signal que la linarit du systme rendait pertinente l'analyse harmonique et ses diagrammes de Bode ; ici on voit qu'effectivement, un signal priodique quelconque se dcompose en une somme de signaux sinusodaux, c'est une proprit remarquable.

1.1. Srie de Fourier complexe

La fonction , dfinie sur l'intervalle , peut tre exprime comme une srie de fonctions :

L'ensemble des fonctions :

constitue une base de l'espace vectoriel contenant la fonction x, et les coefficients constituent les projections de la fonction x sur cette base.

On utilise le produit scalaire usuel et on obtient, pour le calcul de ces coefficients :

1.2. Spectre frquentiel

Les diffrentes frquences de la dcomposition en srie de Fourier sont donnes par :

Le spectre frquentiel et donn par le graphe :

soit physiquement : les amplitudes associes aux diffrentes frquences.

Ce spectre frquentiel est donc une manire de reprsenter un signal priodique, et cela reste valable dans le cas gnral d'un signal non priodique (d'nergie finie), ce que nous verrons avec la transforme de Fourier.



Le spectre frquentiel est ici discret, il contient :

le niveau continu : valeur moyenne du signal

la composante fondamentale, de la frquence du signal

les harmoniques, de frquences multiples de celle de la fondamentale

les frquences ngatives, qui n'ont pas de signification physique directe ; on doit mathmatiquement leur prsence, au dveloppement de la fonction relle en srie complexe. Ces frquences ngatives disparaissent avec l'utilisation de sries de Fourier relles.

1.3. Exemple : dcomposition d'un train d'impulsions

L'impulsion suivante est dcompose en srie de Fourier complexe, en choisissant une priode T :

Tous calculs effectus on obtient pour les coefficients :

En prenant comme variable la frquence discrte :

on obtient l'expression suivante :

On obtient, pour la reprsentation du spectre de cette impulsion :



Il convient de remarquer que si on examine la somme de la srie de Fourier sur tout l'axe des temps, on obtient un signal priodique :

Il a donc deux approches possibles : soit on ne s'intresse qu' une portion de signal (impulsion sur un intervalle de temps T) et alors la srie ne prend de sens que sur cet intervalle, soit on dveloppe sur tout l'axe rel un signal priodique grce cette dcomposition de Fourier. C'est ce dernier cas qui intresse en gnral, car les signaux non priodiques sont traits l'aide de la transformation de Fourier qui gnre un spectre continu (voir plus loin).

1.4. Sries de Fourier relles

Comme le signal lectrique est reprsent par une fonction relle valeurs relles, on peut aussi traiter ce cas sans passer par les nombres complexes.

On a le dveloppement suivant, pour les sries de Fourier relles :

Les signaux impairs se dveloppent en srie de sinus, et les signaux pairs en srie de cosinus, ce qui simplifie d'autant les calculs. Le spectre obtenu est unilatral, d'o l'appellation de sries de Fourier unilatrales.

Dans l'exemple prcdant du train d'impulsions rectangulaires :



on obtient, comme dveloppement de Fourier unilatral :

Et pour la reprsentation graphique du spectre discret (unilatral) :

Remarquons que le spectre unilatral n'est pas la version tronque du spectre bilatral : les harmoniques ont le double d'amplitude par rapport ce dernier. Il faut voir que le spectre bilatral d'un signal sinusodal est donn par les deux frquences : la positive et la ngative, et leur amplitude est la moiti de celle de la frquence du spectre unilatral.

( Cf. Ex. 3.1 : SPECTRE UNILATRAL )( Cf. Ex. 3.2 : DVELOPPEMENT DE FOURIER D'UN SIGNAL CARR )

1.5. Taux de distorsion harmonique

On peut vouloir qualifier la linarit de la caractristique statique d'un quadriple. Si cette caractristique est linaire, le systme rpond une sinusode par une sinusode, sinon il introduit une distorsion et le signal de sortie n'est plus sinusodal, mais a acquis des harmoniques. Le taux de distorsion harmonique est dfini ainsi :

Pour un signal sinusodal de frquence f0, le systme non-linaire a cre des harmoniques de frquences :

Dfinition du taux global de distorsion harmonique :



Pour plus de dtails : "Thorie et traitement de signal", [12] page 261.

( Cf. Ex. 3.3 : DISTORSION HARMONIQUE )

______________________________________________________

2. LA TRANSFORMATION DE FOURIER

_____________

2.1. Transformation de Fourier : dfinition2.2. Spectre d'amplitude et spectre de phase2.3. Exemple2.4. Remarques2.5. Fonction de transfert2.6. Exemple : cellule RC excite par un chelon unit2.7. Table illustre, transformes de Fourier2.8. Oprations dans les domaines temporel et frquentiel

En lectronique et en traitement de signal, les signaux ne sont pas tous priodiques, cela reprsente mme l'exception. Le dveloppement en sries de Fourier ne reprsente donc pas forcment l'outil d'analyse privilgi, puisqu'il est ncessaire pour cela d'avoir des signaux priodiques.

2.1. Transformation de Fourier : dfinition

La transformation de Fourier peut tre vue mathmatiquement comme un cas particulier de celle de Laplace, en posant

pour la variable frquentielle. On dfinit :

La fonction est la transforme de Fourier de la fonction . En traitement de signal, on

utilise plus volontiers la variable frquence que la pulsation , habituellement utilise en transforme de Fourier.

2.2. Spectre d'amplitude et spectre de phase

Dans le cas gnral, la transforme de Fourier d'une fonction produit une fonction valeurs complexes.



. Ainsi, on peut obtenir deux informations de la fonction transforme de Fourier :

Le spectre d'amplitude :

Le spectre de phase :

2.3. Exemple :

On reprend l'impulsion prcdante avec la transforme de Fourier :

Equation de l'impulsion :

Tous calculs faits, on obtient pour sa transforme de Fourier :

On constate que dans ce cas, est une fonction relle. On peut la reprsenter graphiquement :

Comme X(f) est rel, son spectre de phase est nul, et son spectre d'amplitude a l'allure suivante :



2.4. Remarques

Comme pour le dveloppement en sries de Fourier, on assiste l'apparition de frquences ngatives, qui ne s'interprtent pas directement, mais qui sont nanmoins porteuses d'nergie.

La transforme de Fourier ici correspond l'enveloppe du spectre discret du dveloppement de Fourier. Dans cette transformation de Fourier, toutes les frquences sont mises contribution pour la reprsentation frquentielle du signal temporel : le spectre est continu.

Contrairement au dveloppement en sries de Fourier qui gnre une fonction priodique sur tout l'axe rel quelles que soient les valeurs prises par cette fonction en dehors de la priode considre, la transformation de Fourier est applique la fonction agissant sur tout l'axe rel. Il est ainsi cr ainsi une correspondance entre l'espace temporel o le signal volue, et l'espace frquentiel un peu plus abstrait. Les lectriciens appellent cela la dualit temps-frquence. Les cristallographes parlent d'espace direct et d'espace rciproque, etc...

Comme dj voqu prcdemment, l'utilit de cette transformation est d'obtenir une autre reprsentation d'un signal. Cette reprsentation frquentielle est essentielle en traitement de signal. Voir ce sujet "Thorie et traitement des signaux", [12]. La situation est analogue celle prvalant pour la transformation de Laplace, mais ici l'espace donn par la transformation de Fourier est bien repr: c'est un espace de frquences :

2.5. Fonction de transfert



Ici nous prsentons un exemple, o l'on emploie la transforme de Fourier, pour rsoudre une quation diffrentielle, comme nous l'avons fait avec la transformation de Laplace. Ce n'est pas l'utilit principale de cet outil, mais cela permet de faire une remarque concernant les fonctions de transfert.

Si on rduit la transformation de Laplace celle de Fourier, on prend comme variable : . Ainsi, la fonction de transfert de Laplace se transforme en celle de Fourier avec cette substitution. Et cette fonction de transfert de Fourier n'est rien d'autre que celle obtenue avec les nombres complexes et qui correspond en fait la fonction de transfert en rgime harmonique (voir 4.3.5, 10.3.5 et 9.2).

Schma-bloc du systme :

Dans l'espace temporel, on a :

Dans l'espace frquentiel, on obtient :

2.6. Exemple : cellule RC excite par un chelon unit

Soit une cellule RC, laquelle on applique un chelon unit :

Par le diviseur de tension dans le domaine des p, on obtient la fonction de transfert de Laplace :

Fonction de transfert de Fourier :



Signal d'entre :

Signal de sortie :

Transforme inverse du signal de sortie :

(voir plus loin, les tables illustres des transformations de Fourier)

2.7. Table illustre, transformes de Fourier (1/3)



Table illustre de transformes de Fourier (2/3)



Table illustre de transformes de Fourier (3/3)

2.8. Oprations dans les domaines temporel et frquentiel



______________________________________________________

3. EXERCICES

_____________

3.1. Spectre unilatral3.2. Dveloppement de Fourier d'un signal carr3.3. Distorsion harmonique

3.1. Spectre unilatral

NONC---Corrig---Retour au paragraphe correspondant du cours

Dans l'exemple du train d'impulsions rectangulaires :



Dans l'exemple du train d'impulsions rectangulaires :

on obtient la reprsentation graphique du spectre discret (unilatral) :

Nous avons remarqu que le spectre unilatral n'est pas la version tronque du spectre bilatral : les harmoniques ont le double d'amplitude par rapport ce dernier. Il faut voir que le spectre bilatral d'un signal sinusodal est donn par les deux frquences: la positive et la ngative, et leur amplitude est la moiti de celle de la frquence du spectre unilatral.

Interprtez l'objet de la remarque prcdante en termes nergtiques.

3.2. Dveloppement de Fourier d'un signal carr


Calculez de dveloppement de Fourier d'un signal priodique carr.

Reprsentez son spectre frquentiel et voyez les contributions des premires harmoniques.

3.3. Distorsion harmonique


Un signal sinusodal est appliqu l'entre d'un systme caractristique statique cubique :

Reprsentez la caractristique statique du systme non-linaire.

Calculez, reprsentez le signal de sortie pour des amplitudes de 1V, 2V, 3V. Concluez.

Comment calculer le taux de distorsion harmonique correspondant ?



Comment calculer le taux de distorsion harmonique correspondant ?

______________________________________________________

4. CORRIGS

_____________

Ex. 3.1. Spectre unilatralEx. 3.2. Dveloppement de Fourier d'un signal carrEx. 3.3. Distorsion harmonique

Exercice 3.1 : Discussion

CORRIG---nonc---Retour au paragraphe correspondant du cours

Dans le spectre bilatral, chaque frquence est reprsente par une raie aux frquences positives et une autre aux frquences ngatives. On peut donc dire que l'nergie d'une frquence physique est porte par les deux harmoniques: la positive et la ngative.

Il apparat donc intuitivement normal dans un spectre unilatral les harmoniques portent plus dnergie.

Exercice 3.2 : dveloppement de Fourier d'un signal carr


Le signal carr se dcompose en sinusodes :

On obtient le spectre suivant:



Sur le graphique suivant, on peut visualiser un peu les contributions des harmoniques la constitution du signal:

Par cette dcomposition on comprend bien quun flanc dans le domaine temporel correspond des trs hautes frquences dans le domaine frquentiel.

Exercice 3.3 : distorsion harmonique


La caractristique a l'allure suivante:

Des entres de trois amplitudes diffrentes donnent des formes de sortie diffrentes, c'est une caractristique d'un systme non-linaire. A basse amplitude, la forme sinusodale semble conserve; on peut considrer le systme comme linaire.



Pour calculer le taux de distorsion harmonique, il faut choisir une amplitude de signal sinusodal, calculer le spectre du signal de sortie et en dduire la grandeur cherche.

Note: Comparez la tension de sortie pour une entre de 3V avec le dveloppement du signal carr: fondamentale + premire harmonique

Pour le calcule du taux de distorsion harmonique on considre :

ui = u sin( t)

et uo = u3 sin3 ( t)

On dcompose selon Fourier :

Cf.. cours (1.4)

Le taux de distorsion donne : Cf. cours (1.5)

_________________________________________________________________

FIN DE LA LECON Numro VI

table de fourier

Documents