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Introduction loptique de Fourier

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Notion de frquences spatiales Frquences spatiales dune fonction g(x,y) :

Une fonction g(x,y) est reprsente par une combinaison linaire defonctions exp() avec un poids G :

La phase de exp() est nulle ou n2 lorsque :

Or un front donde est dfini par le lieu des points de phase 0, n2 !

( )[ ] yxyxyx dfdfyfxfjffGyxg

+= 2exp),(),(

yy

x

f

nx

f

fy +=

=

x

y

f

farctan

Les fonctions lmentaires sontdes ondes planes inclines de

La priode est donne par :

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yx ff

L

+

=

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Rappels :

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Rappels :

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Systmes linaires Systmes linaires et superposition :

Dfinition dun systme linaire S :

Dcomposition dune fonction g1 en pics de Dirac :

Rponse du systme S au signal dentre g1 : S(g1)

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En vertu de la proprit de linarit de S :

Dfinition de la rponse impulsionnelle du systme : (Ray-tracing : PSF)

Lintgrale de superposition : systme entirement caractris par

la connaissance de sa rponse des impulsions unitaires

(Ray-tracing : connaissance de la PSF en tous les points du FoV)

Systmes linaires

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Dfinition dun systme invariant (spatialement) :

Nouvelle formulation de lintgrale de superposition :

Fct de transfert : H = TF(h)

Avec

Systmes linaires

hgg *12 =

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Transforme de Fourier et proprit

dimagerie des lentilles

Limitation de dpart : - rayonnement monochromatique

- lentille mince ( faible translation du rayon au travers de la lentille) La lentille retarde simplement le front donde incident dune quantit

proportionnelle lpaisseur de la lentille : Lentille transformation de phase

Transformateur de phase :

Champ complexe derrire la lentille :

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Transforme de Fourier et proprit

dimagerie des lentilles

Approximation paraxiale et fonction paisseur :

x et y petit (proche de laxe)

les surface de la lentille ont une courbure parabolique :

Nouvelle formulation du transformateur de phase :

Distance focale f :

Lentille =

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Transforme de Fourier 2 dimensions

effectue par une lentille

3 configurations possibles:

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Si lobjet est plac contre la lentille Lobjet plan de transmittance t0(x,y) est clair

par une onde plane damplitude A

La perturbation incidente sur la lentille est :

On associe une fonction pupillaire P, pour tenir compte de louverturefinie de la lentille :

Le champ juste derrire la lentille vaut :

t0 (x,y)

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Pour trouver la distribution de lamplitude dans le plan focal, onutilise la formule de diffraction de Fresnel :

En substituant :

Si lobjet est plac contre la lentille

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Conclusions :

Lamplitude et la phase de la lumire en (xf ,yf) sont fonction delamplitude et la phase des composantes de Fourier de lobjet defrquences

Ce nest pas une transforme de Fourier exacte, car il y a un terme

quadratique de phase devant lintgrale Courbure de phase

Cependant, lorsquon sintresse uniquement lintensit,

ceci annule le terme de phase

Si ltendue de londe est limite par la pupille P(x,y) :Il sagit de la TF limite louverture (TF[P(x,y).t0]

Si lobjet est plac contre la lentille

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Si lobjet est plac devant la lentille

Rsolution :

Transmittance de lobjet t0

diffraction de Fresnel jusqu la lentille (distance d0) Transformation de phase par la lentille : cas prcdent

Rsultat :

Si d0= f, on obtient une TF exacte de t0

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Rsum Rle dune lentille :

On ramne au foyer le figure de diffraction de Fraunhofer :TF (onde incidente x pupille) x terme de phase quadratique

Si londe objet est au foyer objet, le foyer image contient

exactement la TF (onde incidente x pupille)

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Formation des images

Thorie dAbbe : la diffraction par lobjet engendre un largissementdu faisceau

Les hautes frquences ne seront pas collectes par la lentille

Elles ne participeront pas la formation de limage :lentille = filtre passe bas

A la base de la limite de diffraction (1.22 f/D) :perte dinformation : perte de rsolution

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Formation des images

Trouver les conditions sous lesquelles Ui peut raisonnablementtre appel limage de Uo

Vu la linarit du phnomne de propagation donde :

h est le champ damplitude produit aux coordonnes (xi, yi) par unpoint source damplitude unitaire appliqu aux coordonns de lobjet(x

o

, yo

).

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Une image sobtient par convolution de limage idale (gom.) avec larponse impulsionnelle h du systme :

Celle-ci est la figure de diffraction de Fraunhofer de la pupille (de sortie)du systme : (zi = dist pupille sortie plan focal)

Lumire incohrente :

Les termes de phase sannulent en moyenne : on parle tjs en intensit La rponse impulsionnelle en intensit vaut |h| et

Formation des images : rsultats

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Analyse frquentielle de la formation des images

Fonction de transfert (en amplitude) H : cas cohrent

Par dfinition, cest la TF(h)

Dans le domaine frquentiel, limage vaut donc :

Comme h est la figure de diff Fraunhofer de la pupille (=TF (P(x,y))et H=TF(h), la Fct transfert est donne par la pupille, un facteurdchelle prs!

Donne la rponse frquentiel du filtre :Les frquences sont transfres au travers du systmes jusquune limite suprieure.Ensuite, elles sont compltement coupes.

La limite est fixe par le diamtre de la pupille

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Fct de transfert dun systme imageant cohrent

Pupille Fct de transfert

On dfinit f0 = frquence de coupure :

Si w = 1 cm, zi = 10 cm et = 1 m : f0 = 100 lp/mm

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Fonction de transfert (en intensit) H : cas incohrent

Fonction de transfert optique H= TF(|h|) normalise = FTO|H| = FTM = Fonction de Transfert de Modulation (cf. opt. Gom.)

H est galement la fonction dautocorrlation de la fonction de

transfert cohrente H (normalise)

Analyse frquentielle de la formation des images

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Fonction de transfert (en intensit) : cas incohrent

Interprtation : surface de recouvrement (normalise) entre 2pupilles dcales centro-symtriquement :

Analyse frquentielle de la formation des images

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Calcul de la FTO duneouverture circulaire :

Cf. Ray-tracing / FTM

Analyse frquentielle de la formation des images

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Applications de Fourier Exemple des fentes de Young

Position dfinie par 2 pics () = h(x)

Largeur de fentes dfinie par rect() = f(x)g(x) =f(x) * h(x)

G(k) =F(k) . H(k)

Champ lointain= TF

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Application de Fourier Exemple du rseau de diffraction

Champ lointain: TF : Sinc provenant de la fct Rect qui est translats en -1/p,0, +1/p par la convolution avec 3 pics delta (TF(1) et TF(cos)) dintensitsrespectives ,1,

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Filtrage Filtrage 4f : filtrage optique cohrent

On modifie le spectre dans le plan de Fourier via un diaphragme ouautre (p.ex., fonction damplitude OU de phase!)

Limage filtre (inverse) est obtenue dans le plan image par doubleTF

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Filtrage Filtre spatial = filtre passe-bas

Coupe les hautes frquences lies au bruit du faisceau laser(diffraction par les poussires sur le trajet lumineux et rugosit/griffessur les miroirs)

Le faisceau est pur et largi (large zone de cohrence spatiale)

Ncessaire en holographie, notamment

Taille typique du trou = 10-20 m

coupure=u/f~10-5/(5.10-7 x 10)=2 cycles/mm

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Filtrage Mthode du champ sombre (strioscopie)

Une structure de phase est invisible car on dtecte lintensit = ||

Pour un objet de phase pure et damplitude = 1, on aE(x,y) = exp(i(x,y)) ~ 1+i(x,y)

Dans le plan de Fourier, on obtient: (x)(Y) + i TF((x,y))

Un filtre = disque opaque centr lorigine supprime lordre 0 :le spectre filtr vaut : i TF((x,y))

Limage filtre vaut : TF (i TF((x,y)))= i(-x,-y)

Lintensit dtecte est : I=(-x,-y)

On visualise la structure de phase

Comme I=0 si phase cte (=0), la phase apparat sur un fond sombre

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Filtrage Contraste de phase de Zernike

A partir du cas prcdent, E(x,y) = exp(i(x,y))~1+i(x,y)

Avec, dans le plan de Fourier, (x)(Y) + i TF((x,y))

Cette fois, le filtre = disque lame quart donde (=/2) centr lorigine : on introduit exp(i/2) = i sur le terme ordre 0

le spectre filtr vaut : i [(x)(Y) + TF((x,y))] Limage filtre vaut : i[1+(-x,-y)]

Lintensit dtecte est : I=1+2(-x,-y) + (-x,-y) ~1+2(-x,-y)

Pour une modulation de phase faible, mthode plus sensible etlinaire en

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Filtrage Dtramage

Image originale : g(x,y)

Image trame : o

Spectre de gS :TF

Rpliques de la TF(g)=G sur un rseau 2D de priode 1/a, 1/b

On retrouve le thorme dchantillonnage!!!

On isole une rplique par un diaphragme A : on a A Gs Dans le plan image, on obtient : g(x,y) * TF(A)

On retrouve toute linformation sur g(x,y) convolue par la TF de lapupille utilise comme filtre (enveloppe sinc ou Bessel)

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Filtrage

Dtramage

gs

TF(gs)

FiltrageImage filtre

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Filtrage Filtre holographique (VanderLugt)

On cherche enregistrer un filtre

complexe. Son spectre est unefonction de transfert O

On enregistre lhologramme de Oen faisant interfrer une onde derfrence R (porteuse) et O = TF

de la rponse impulsionnelle f(x,y)

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Filtrage Filtre holographique (VanderLugt)

Si on relit lhologramme en se plaant dans le plan

focal dune lentille (plan de Fourier), outre lordre 0,on obtient la rponse impulsionnelle f et saconjugue f*

Hologramme (=fct de transfert)et sa TF (=rponse impulsionnelle+ )

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Filtrage Reconnaissance de forme

Le filtre holographique est clair avec G(u,v), la TF de lobjet g(x,y)

quon dsire tudier Termes intressants dans le plan de Fourier : F.G et F*.G

Dans le plan image: TF(F.G) = convolution entre f et g :et TF(F*.G) =corrlation entre f et g :

Lintensit du signal de corrlation renseigne sur le degr deressemblance entre f et g

gf

gf

*

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Filtrage

Reconnaissance de forme

Rponse impulsionnelleenregistre dans le filtreholographique

Rponse obtenue dans leplan image pour un objet analyser Q W P

Convolution

Ordre 0

Corrlation