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Analyse Microéconomique

Francesco Quatraro

L1 AES – 2010/2011


Francesco Quatraro – 2010/20111



L’utilité

• En origine, les économistes parlaient de l’utilité comme d’un indicateur du bien-être général d’un individu

• Il était une mesure numérique du bonheur individuel

• Il semblait naturel d’imaginer que les consommateurs effectuaient leur choix de façon à maximiser leur utilité

• Toutefois, ces économistes n’ont jamais réellement expliqué comment mesurer l’utilité

L’utilité

• Les économistes ont ensuite abandonné le

concept d’une utilité correspondant à une

mesure de bonheur

• La théorie du comportent du consommateur a

été reformulée entièrement en termes de

préférences du consommateur

• L’utilité est désormais conçue comme une façon

de décrire le préférences



L’utilité

• Dans la théorie économique actuelle la seule chose qui compte c’est qu’un panier procure une utilité supérieure à une autre

• Auparavant, dire qu’un panier (x1,x2) était préféré à un panier (y1,y2) signifiait que le panier X procurait un niveau d’utilité supérieur au panier Y

• Maintenant on inverse la relation: les préférences du consommateur sont la base fondamentale de l’analyse de choix, et la théorie de l’utilité n’est qu’une manière de représenter les préférences



L’utilité

• Une fonction d’utilité est une façon d’attribuer une valeur aux différents paniers de consommation

• Le paniers plus désirables reçoivent des valeurs supérieurs à ceux qui le sont moins

• En d’autre termes, un panier (x1,x2) est préféré à un panier (y1,y2)si et seulement si le niveau d’utilité de (x1,x2) est supérieur a celui de (y1,y2)

• (x1,x2) ≻ (y1, y2) iff u(x1,x2) u(y1, y2)



L’utilité

• La seul chose qu’importe est le classement des

paniers de biens

• La valeur de la fonction d’utilité n’est pas

intéressante que dans la mesure où elle classe le

différents paniers

• La grandeur de l’écart entre les niveaux d’utilité

de deux paniers n’a aucune importance

• L’utilité est un concept ordinal



L’utilité

• Une transformation monotone d’une fonction d’utilité quelconque modifie un ensemble de nombres en un autre ensemble de nombres tout en respectant leur classement

• Une transformation monotone est représentée habituellement par une fonction f(u) qui transforme chaque nombre u en une autre nombre f(u).

• u1 u2 f(u1) f(u2)



L’utilité

• Comme exemple d’une transformation

monotone citons la multiplication par un

nombre positif, ou l’addition d’un nombre

quelconque

– f(u)=3u; f(u)=u+15

• Le taux de variation de f(u) suite à une variation

de u peut être mesuré par la variation de f divisée

par la variation de u



L’utilité

• Si f(u) est une transformation monotone

quelconque d’une fonction d’utilité, alors

f(u(x1,x2)) est une fonction d’utilité qui

représente les mêmes préférences que la

fonction u.

• Toute transformation monotone d’une fonction

d’utilité représente les mêmes préférences que la

fonction d’utilité initiale



L’utilité

• Toute les types de préférences ne peuvent pas être représentés par une fonction d’utilité

• C’est le cas par exemple des préférences non transitives

• Mais si nous éliminons le cas anormaux, nous pouvons généralement trouver une fonction d’utilité qui représente les préférences

• On peut partir d’une ensemble de courbes d’indifférence



L’utilité



Distance mesurée à

Partir de l’origine

x2

x1

L’utilité

• Une fonction d’utilité permet d’attribuer des valeurs aux courbes d’indifférences de telle sorte que les courbes d’indifférence supérieures correspondent à des valeurs plus élevées

• On peut tracer la ligne diagonale à partir de l’origine des axes et attribuer à chaque courbe d’indifférence une valeur égale à la distance mesurée le long de cette ligne

• Si le préférences sont monotones, chaque courbe d’indifférence n’est coupée qu’une seule fois par la diagonale

• Les paniers situés sur des courbes d’indifférences supérieures se voient attribuer des valeurs plus élevée



L’utilité

• À partir d’une fonction d’utilité u(x1,x2), il est relativement facile de tracer les courbes d’indifférence

• Il suffit d’indiquer tous le points (x1,x2) tels que u(x1,x2) est égal à une constante

• Cette ensemble des points s’appelle courbe de niveau

• Pour des valeurs différentes de la constante, on obtient des courbes d’indifférence différentes



L’utilité

• On peut déterminer les courbes d’indifférence à

partir d’une fonction d’utilité

• Considérons le cas:

• La courbe d’indifférence est représentée par

l’eu(x1,x2)= x1x2nsemble des valeurs x1 et x2 tels

que u(.) est égale à la constante k = x1x2

• En exprimant x2 en fonction de x1 on obtient la

relation suivante: x2 = k / x1



L’utilité



x2

x1

k=3

k=2

k=1

L’utilité

• On peut maintenant représenter les différentes types des courbes d’indifférences en utilisant des fonctions d’utilités

• Les courbes d’indifférences pour des biens substituts parfaits sont représentées par des droits avec pente négative

• Nous pouvons proposer à titre provisoire la fonction: u(x1,x2)= ax1+bx2

• Les paramètres a et b mesurent la valeur que le consommateur attribue aux biens 1 et 2.

• x2= u – (a/b)x1



L’utilité

• Le cas des compléments parfaits concernes deux biens qui sont utilisés dans proportions fixes (mais pas nécessairement dans la même proportion).

• u(x1,x2)=min{x1,x2}

• Naturellement, les agents économiques peuvent décider de consommer les biens dans des rapports différents de 1 pour 1: min{2x1,x2}

• Evidemment, toute transformation monotone cette fonction d’utilité décrira les mêmes préférences

• En général: u(x1,x2)=min{ax1,bx2},où a et b indiquent le proportions dans lesquelles les biens sont consommés



L’utilité

• Préférences quasi-linéaires

• u(x1,x2)=k= v(x1)+x2

• Il s’agit du déplacement parallèle d’une seule

courbe d’indifférence

• Ces courbes d’indifférence ne sont pas très

réalistes, mais elles sont faciles à utiliser



L’utilité

• Une fonction d’utilité couramment employée est la fonction Cobb-Douglas:

• u(x1,x2) = x1c x2

d

• Où c et d sont des nombres positifs qui décrivent les préférences du consommateur

• c> 0, d > 0, c + d = 1.

• c et d représentent l’élasticité de l’utilité par rapport à la variation soit du bien x1 soit du bien x2



L’utilité



x1

x2

c=1/2

d= 1/2

x2

c=1/5

d= 4/5

L’utilité

• Le courbes Cobb-Douglas correspondent

exactement aux courbes d’indifférences

monotones et convexes que nous avons déjà vu

et qualifiées de ‘normales’

• Une transformation monotone de la fonction

Cobb-Douglas représente les mêmes préférences

• Deux cas de transformation monotone sont

particulièrement intéressants



L’utilité

• v(x1,x2) = ln(x1c x2

d)=c ln x1 + d ln x2

• Les courbes pour cette fonction d’utilité sont

totalement identiques à celles correspondants à

la fonction Cobb-Douglas

• Cette transformation est utile pour simplifier la

solution du problème de choix optimal du

consommateur



L’utilité

• Comme second exemple on prende

• u(x1,x2) = x1c x2

d

• Et porte cette fonction à la puissance 1/(c+d)

• u(x1,x2) = x1c/(c+d) x2

d/(c+d)

• En définissant a = c / (c + d), nous pouvons écrire la fonction d’utilité comme suit:

• u(x1,x2) = x1a x2

(1-a)

• Cela signifie que nous pouvons toujours prendre une transformation monotone de la fonction d’utilité qui rende la somme des exposant égale à l’unité



L’utilité

• Considérons un individu qui consomme un panier

de biens (x1,x2). On peut définir l’utilité marginale

du bien 1 comme la variation d’utilité de cet

individu lorsque il reçoit un peu plus du bien 1

• Cette définition implique que on peut calculer la

variation d’utilité consécutive à une petit variation

de la consommation du bien 1:

• U = Um1 x1



L’utilité

• L’utilité marginale du bien 2 et donc définie de façon suivante:

• Encore, on peut évaluer la variation de l’utilité totale qui suit un changement de la consommation du bien 2:

• U = Um2 x2

• La valeur de l’utilité marginale dépend de l’unité de mesure



L’utilité

• L’utilité marginale n’a aucun contenu comportemental

• Les comportements des consommateur fournissent des informations seulement sur le classement de différent biens

• L’utilité marginale dépend de la forme de la fonction adoptée pour traduire le classement des préférences

• L’utilité marginale peut être toutefois utilisée pour calculer une grandeur qui a un contenu comportemental



L’utilité

• La fonction d’utilité peut être utilisée pour mesurer

le taux marginal de substitution qu’on a déjà défini

• Le TmS est la pente d’une courbe d’indifférence en

un panier donné

• C’est le taux auquel le consommateur est disposé à

substituer une petite quantité du bien 2 au bien 1

• Ça nous donne un façon simple pour calculer le

TmS à partir de la fonction d’utilité



L’utilité

• Considérons une variation de la consommation

de chaque bien ( x1, x2) qui maintienne l’utilité

constante, c.à.d. un changement dans la

consommation qui corresponde à un

déplacement le long de la courbe d’indifférence:

• Um1 x1 +Um2 x2 = U =0

• La solution de cette expression pour la pente de

la courbe est:



Le choix optimal



x2

x1

u1

u2

u3x*1

x*2

A•

r’

Le choix optimal

• La figure précédente présente un exemple classique

• Sur une même figure il y a l’ensemble budgétaire et plusieurs courbes d’indifférence d’un consommateur

• Nous désirons identifier dans l’ensemble budgétaire, le panier situé sur la courbe d’indifférence la plus élevée

• Avec des preférences normales, nous pouvons limiter notre attention à les paniers situés sur la droite de budget



Le choix optimal

• Partons du coin inferieur de la droite de budget

et déplaçons-nous vers la gauche

• Nous atteignons des courbes d’indifférence de

plus en plus élevées

• Nous nous arrêtons quand nous atteignons la

courbe d’indifférence la plus élevée, qui ne fait

que toucher la droite

• Sur notre figure ce panier est noté (x1*,x2*)



Le choix optimal

• Le panier (x1*,x2*) constitue le choix optimal

du consommateur

• L’ensemble des paniers qu’il préfère à (x1*,x2*),

n’a pas intersections avec l’ensemble des paniers

qui lui sont accessibles (les paniers en dessous de

la droite de budget)

• Le panier (x1*,x2*) est donc le meilleur panier

que le consommateur puisse acquérir



Le choix optimal

• Le panier optimal se situe au point de tangence

entre la courbe d’indifférence et la droite de budget

• Toutefois, cette condition ne s’applique pas à tout

choix optimal

• Il y a des situations où la solution optimale ne peut

pas être identifié au travers de la condition de

tangence

• Par contre, la courbe d’indifférence ne peut jamais

couper la droite de budget



Le choix optimal

• Dans le cas des biens substituts parfaits on a une solution de coin



x1

x2

r’

A•

Le choix optimal

• Si deux biens sont des compléments parfaits, les quantités demandées se situeront toujours sur la diagonale



x1

x2

A

B

C

u1

u2

u3

•

Le choix optimal

• La condition de tangence n’est pas suffisante

• Dans la figure on a plusieurs points de tangence

• Il faut que les courbes d’indifférence soient strictement convexes



x2

r’

A•

u1

u2

u3

•

•

B

C

x1

Le choix optimal

• Le choix optimal est en correspondance du point de tangence

• Le choix optimal de x1 et x2, pour des prix donnés p1 et p2, est le panier demandé par le consommateur

• La fonction de demande mette en relation le choix optimal, les prix et le revenu



x2

x1

u1

u2

u3

x*1A

•

•C

x*2

Le choix optimal

• Lorsque les prix ou le revenu changent (c’est le cas dans la figure), le choix optimal changera aussi, c.à.d. les quantités demandées de deux biens



x2

x1

u1

u2

u3x*1

x*2

A•

r”

•B

Le choix optimal

• Lorsque les prix change, la pente de la droite de budget se modifiera

• Dans la figure, c’est le prix du bien 2 qui est augmenté



x2

x1

u1

u2

u3

B

r’

•

r

•A

x’2 x2

Le choix optimal

• On peut maintenant considérer les effets de l’introduction de deux types de taxes

• La taxe à l’unité est une taxe sur la quantité consommée d’un bien

• Un impôt sur le revenu est simplement une taxe sur le revenu

• On peut utiliser les rudiments de la théorie du consommateur pour identifier la meilleur stratégie pour le gouvernement



Le choix optimal



x2

x1

u1

u2

u3

r’

•

r

•

•Choix intial

Choix avec impôt

sur le revenu

Choix avec

taxe à l’unité

Le choix optimal

• Le choix optimal avec des preférences Cobb-

Douglas est un exemple intéressante

• On peut calculer les quantités demandés des

biens

• Il sera partie de l’examen



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