systemes d’equations

1

SYSTEMESD’EQUATIONS

Type d ’activité : leçon illustrée

2

Sommaire

Enoncé d ’un exercice

Traduction du problème

Méthode de résolution par substitution

Méthode de résolution par addition

Méthode de résolution graphique

3

Position du problème :

certains exercices nécessitent l ’emploi de plusieurs variables inconnues. Celles-ci apparaissent alors dans plusieurs équations qui composent le

système.

Exercice :

550 personnes ont assisté à un spectacle. Le prix d ’entrée est de 16€ pour les adultes.

Les enfants paient demi tarif. Sachant que la recette est de 6960€, on demande de trouver le nombre

d ’enfants et le nombre d’adultes qui ont assisté au spectacle.

4

Exercice :550 personnes ont assisté à un spectacle. Le prix d ’entrée est de 16€ pour les adultes.



Exemple de rédaction :

J ’appelle x le nombre d ’adultes et y le nombre d ’enfants qui ont assisté au spectacle. Je traduis l ’énoncé :

550 personnes ont assisté à un spectacle x + y =550

Les enfants paient demi tarif : donc 8€ par enfant,

l ’ensemble des y enfants a payé 8y €l ’ensemble des x adultes a payé 16x €

16x + 8y = 6960€

5

550 personnes ont assisté à un spectacle. Le prix d ’entrée est de 16€ pour les adultes.



x + y =55016x + 8y = 6960

Ces équations traduisent ce problème. Pour indiquer qu’elles forment un système on place une accolade.

Il existe trois méthodes de résolution :- par substitution, - par addition- en utilisant un graphique.

6

Exercice : 550 personnes ont assisté à un spectacle. Le prix d ’entrée est de 16€ pour les adultes. Les enfants paient demi tarif.

Sachant que la recette est de 6960€, on demande de trouver le nombre d ’enfants et le nombre d’adultes qui ont assisté au spectacle .

x + y =55016x + 8y = 6960

Méthode par substitution principe : on exprime l ’une des inconnues en fonction de l’autre. x = 550 - y

Puis on remplace l ’inconnue ainsi exprimée dans l ’autre équation.

16x + 8y = 6960

16(550 - y) + 8y = 6960

D ’où y = 230

x = 550 -230 =320

320 adultes et 230 enfants ont assisté au spectacle.

Finalement

7

x + y =55016x + 8y = 6960

x = 550 - y

2x + y = 870

2(550 - y) + y = 870

D ’où y = 230

Astuce de calcul...On divise tous les termes de cette équation par 8.

Vérifie que le résultat est identique si on remplace la deuxième équation par 2x + y =870

x = 550 -230 =320

320 adultes et 230 enfants ont assisté au spectacle .

x + y =5502x + y = 870

Exercice : 550 personnes ont assisté à un spectacle. Le prix d ’entrée est de 16€ pour les adultes. Les enfants paient demi tarif.

Sachant que la recette est de 6960€, on demande de trouver le nombre d ’enfants et le nombre d’adultes qui ont assisté au spectacle .

8

x + y =55016x + 8y = 6960

Méthode par addition principe : on transforme une ou deux équations de manière à éliminer par addition membre à membre une des deux inconnues.

Pour éliminer x je multiplie la première équation à gauche et à droite par –16:

550 personnes ont assisté à un spectacle. Le prix d ’entrée est de 16€ pour les adultes. Les enfants paient demi tarif.

Sachant que la recette est de 6960€, on demande de trouver le nombre d ’enfants et le nombre d’adultes qui ont assisté au spectacle.

-16x -16 y = -880016x + 8y= 6960

Les deux coefficients sont opposés.





-16x -16 y = -880016x + 8y= 6960

On additionne membre à membre

-8 y = - 1840

y = 230

-16 x - 16 y + 16 x + 8 y = - 8800 + 6960

x + y = 550 donc x = 550 - 230 = 320

10

Pour éliminer y je multiplie l’une des deux équations par -1

x + y =5502x + y = 870


Astuce de calcul...On divise tous les termes de la deuxième équation par 8. Vérifie que le

résultat est identique si on remplace la deuxième équation par 2x + y =870

x + y =55016x + 8y = 6960

550 personnes ont assisté à un spectacle. Le prix d ’entrée est de 16€ pour les adultes.Les enfants paient demi tarif.

Sachant que la recette est de 6960€, on demande de trouver le nombre d ’enfants et le nombre d’adultes qui ont assisté au spectacle.

- x – y = - 550

2x + y = 870

-x- y+2 x+ y= -550+870

x= 320

y = 230

On additionne membre à membre

11

x + y =55016x + 8y = 6960

Nous allons donc rechercher graphiquement les coordonnées du point d ’intersection des droites qui ont pour équations :

y = 870 - 2x et y = 550 - x




16 x + 8y =6960 est une équation dont on peut diviser tous les termes par 8 !

Elle s ’écrit alors2x + y = 870 ou encore y = 870 - 2x

Par ailleurs x + y = 550 peut s’écrire y = 550 - x

Résolution graphique

12

Nous allons rechercher graphiquement les coordonnées du point d ’intersection des droites qui ont pour équations

y = 870 - 2x et y = 550 - x

Conseils : si l ’énoncé n’impose pas d’unité, il faut réfléchir !Comment choisir des unités adaptées dans un repère bien placé ?

Dans cet exercice x et y désignent un nombre d ’entrées.Ce sont donc des nombres positifs et les axes seront disposés en bas à gauche d ’une feuille de papier ( millimétré de préférence. )Les valeurs possibles de y sont comprises entre 0 et 550 .Les valeurs possibles de x sont comprises entre 0 et 435. ( 870 / 2 = 435 )

13

Tracer ces deux droites dans un repère placé en bas, à gauche d ’une feuille de papier millimétré, prendre 1 cm pour 50 entrées.

y = 870 - 2x et y = 550 - x sont les équations de deux droites

Conseils : aucune méthode n ’est imposée, MAIS à titre de révision

vous pouvez tracer la première droite à l ’aide d’un tableau de valeurs pour 3 points.

Et la seconde en utilisant la méthode du coefficient directeur et de l ’ordonnée à l ’origine.

14

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450

650

600

550

500

450

350

300

250

200

150

100

50

400

La droite d ’équation y = 550 – x a pour coefficient directeur -1 et pour ordonnée à l ’origine 550.

y nombre d ’entrées enfant

x nombre d ’entrées adulte

La droite d ’équation y = 870 - 2x passe par les points :si x =200 alors y =470

Si le graphique est bien fait on trouve :320 adultes et 230 enfants ont assisté au spectacle.

si x =300 alors y =270

si x =100 alors y =670donc

systemes d’equations

Documents