CNA

CANCalculateur

Systèmes Asservis Echantillonnés

CorrecteurCorrecteur ActionneurActionneur SystèmeSystème

CapteurCapteur

Consigne Sortie

Commande

-

+

temps

y(t) Signal continu

temps

y*(t)

Te 2Te 3Te 4Te nTe

Signal échantillonné

Résultat de l’échantillonnage : y(0), y(Te), ….y(nTe)

y*(t)={y(0), y(Te), ….y(nTe)}

Te : Période d’échantillonnage

p(t)

Te 3Te 4Te nTe2Te

)nTt()nT(y)t(*y e0n

e

0n

snTe

ee)nT(y)s(*Y

)z(Fz)nT(y)s(*Y0n

ne

sTeez

u

Te 2Te 3Te 4Te nTe

Signal échantillonné u

Te 2Te 3Te 4Te nTe

Signal continu avec bloqueur d’ordre 0

Le bloqueur permet de maintenir la valeur de l’échantillonnage jusqu’à l’arrivée de l’échantillon suivant (u(nTe +) u(nTe) pour 0<<Te)

b0(t)

Te t

1b0(t)=(t)-(t-Te)

se1)s(B

sT

0

e

C(z)C(z) B0(s)B0(s) G(s)G(s)Consigne Sortie

-

+

Passage de la FT en s à la fonction de transfert en z sans bloqueur

)s(D)s(N

)s(G

pôlesp pv1vT

i i

e ze11

)v(D)v(N

sRe)z(F

Calcul de Résidus

ii

e

i

e

pv

1vTipv

1vT ze11

)v(D)v(N

)pv(ze1

1)v(D)v(N

sRe

a) pi est un pôle simple de G(s)

i

e

i

epv

1vTr

i1r

1r

pv1vT ze1

1)v(D)v(N

)pv(dvd

)!1r(1

ze11

)v(D)v(N

sRe

b) pi est un pôle multiple de G(s)

Passage de la FT en s à la fonction de transfert en z avec bloqueur

)s(D)s(N

)s(G

s)s(G

Z)z1()s(Gsz1Z)s(G

se1Z))s(G)s(B(Z)z(F 1

1sT

0

E

Exemple

)1s(s1)s(G

)ze1)(z1(z)e1(

)z(G 1T1

1T

e

e

Exemple

)5s)(4s(1)s(G

)5s)(4s(s1Z)z1(

s)s(G

Z)z1()z(G 11

1T51T41

1321

1

ze11

51

ze11

41

z11

201)z1()rrr)(z1()z(G

ee

Ts1K)s(G

1TT

1TT

1

ze1

z)e1(TK

)Ts1(sKZ)z1()z(G

e

e

Influence du bloqueur d’ordre zéro sur la Rép. Indicielle du 1er ordre

B0(s)B0(s) 1TsK

Influence du bloqueur d’ordre zéro sur la Rép. Impulsionnelle du 1er ordre

B0(s)B0(s) 1TsKTe

T

TK63,0)e1(

TK)e1(

TK)T(y 1T

T

e

e Si T=Te

SystèmeSystème

PCPCCNA

CAN

C(z)C(z) B0(s)B0(s) G(s)G(s)-

+

C(z)C(z) H(z)H(z)-

+

s)s(G

Z)z1()z(H 1

FTBO = C(z)H(z)

FTBF =C(z)H(z)1+C(z)H(z)

Correcteurs numériques

Correcteur P continu

)t(eK)t(u p

Correcteur P numérique

)kT(eK)kT(u epe

pK)s(E)s(U

pK)z(E)z(U

)k(eK)k(u pT=kTe

Correcteur PI continu Correcteur PI numérique

)dt)t(eT1)t(e(K)t(u

ip

)sT

11(K)s(E)s(U

)s(Ci

p

1

i

ep z1

1TT

1K)z(E)z(U

)z(C

))1k(e)1TT

()k(e(K)1k(u)k(ui

ep

Correcteur PID continu Correcteur PID numérique

)dt

)t(deTdt)t(e

T1)t(e(K)t(u d

ip

)sTsT

11(K)s(E)s(U

)s(C di

p

)z1(TT

z11

TT

1K)z(E)z(U

)z(C 1

e

d1

i

ep

)2k(e

TT

)1k(e)1TT

2()k(eTT

TT

1K)1k(u)k(ue

d

e

d

e

d

i

ep

Stabilité des systèmes échantillonnés

C(z)C(z) H(z)H(z)-

+

1.zaza

b.zbzb)z(D)z(N

)z(H)z(C1)z(H)z(C

FTBF 1n1n

nn

01m

1mm

m

Le système asservi est stable SSI sa réponse impulsionnelle tend vers zéro quand k tend vers l’infini.

1n

n1

2

21

1

1

n

n

2

2

1

1

zz1A

zz1A

zz1A

zzzA

zzzA

zzzA

FTBF

r(k) y(k)

knn

k22

k11 zAzAzA)k(y

Condition de stabilité :y(k)0 quand k ssi zi < 1 i=1…n

Re

Im

Domaine stabilité

Critère de Jury

01n

1nn

n

01m

1mm

m

a.zaza

b.zbzb)z(D)z(N

)z(F

01n

1nn

n a.zaza)z(D

1 a0 a1 a2 … an-1 an

2 an an-1 an-2 … a1 a0

3 c0 c1 c2 … cn-1

4 cn-1 cn-2 cn-3 … c0

5 d0 d1 d2 …

6 dn-2 dn-3 dn-4 …

: : : : : : :

2n-5 p0 p1 p2 p3

2n-4 p3 p2 p1 p0

2n-3 q0 q1 q2

kn

kn0k aa

aac

k1n

k1n0k cc

ccd

03

30

0pp

ppq

13

20

1pp

ppq

23

10

2pp

ppq

Enoncé du critère

Toutes les racines de D(z) sont situées à l’intérieur du cercle unitéSsi les (n+1) conditions sont satisfaites :

- D(1)>0 et D(-1)>0 pour n pair- D(1) >0 et D(-1)<0 pour n impair- |a0|<an avec an >0- |c0|>|cn-1|-|d0|>|dn-2| ….-|q0|>|q2|

Cas particuliers

D(z)=a2z2+a1z+a0Système de 2ème ordre :

|a0|<a2, a2+a1+a0>0 et a2-a1+a0>0

D(z)=a3z3+ a2z2+a1z+a0Système de 3ème ordre :

|a0|<a3, a3+ a2+a1+a0>0 , -a3 +a2-a1+a0<0 |a0

2- a32|> |a0a2- a1a3|

Exemple :kk 2

0

)1z(

zz

20

)1z(

zz

Quelle est la condition de stabilité sur k du système asservi ?

-|1-kz0|<1-1+(k-2)+k-kz0>0- 1-(k-2)+k-kz0>0

- 0< z0 <1- k <2/z0

- k<4/(1+z0)

Précision des systèmes asservis échantillonnés

C(z)C(z) H(z)H(z)-

+r(k) y(k)

FTBO =C(z)H(z)= )z(D)z(N

)1z(K

mAvec N(1)=1 et D(1)=1, 0<m<n

Erreur en position (r(k)=1)Ep=lim(r(k)-y(k))=lim(z-1)(R(z)-Y(z))=lim(1-z-1)(R(z)-Y(z))

z1z1k

FTBO11lim

1z

)z(D)z(N

)1z(K1

1lim

m

1z

0

1K1 si m=0

si m>0

Erreur en vitesse (r(k)=kTe)

Ev=lim(r(k)-y(k))=lim(z-1)(R(z)-Y(z))=lim(1-z-1)(R(z)-Y(z))z1z1k

FTBO11

1zT

lim e

1z

)z(D)z(N

)1z(K1)1z(

Tlim

m

e

1z

0KTe

si m=0

si m=1

si m>1

Nombre d’intégrateurs

Erreur en position

Erreur en vitesse

m=0

m=1 0

m=2 0 0

1K1

KTe