PanaMaths [1-6] Août 2008

Synthèse de cours (Terminale S) Dérivation : rappels et compléments

Rappels de 1ère Nombre dérivé Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a un élément de I.

Si la limite ( ) ( )0, 0

limh h

f a h f ah→ ≠

+ − existe, on la note « ( )'f a » et on l’appelle « nombre

dérivé de la fonction f en a ». Dans ce cas, on dit que « la fonction f est dérivable en a ». Interprétation géométrique Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a un élément de I. Soit Cf la courbe représentative de f dans un repère. Si f est dérivable en a alors Cf admet une tangente au point ( )( );a f a et une équation de cette tangente est :

( )( ) ( )'y f a x a f a= − +

On en tire l’équation réduite de la tangente :

( ) ( ) ( )' . ' .y f a x f a f a a= + −

a

( )f a

Cf

x

y ( )( ) ( )'y f a x a f a= − +

PanaMaths [2-6] Août 2008

Remarque :

L’écriture ( ) ( ) ( )0, 0

lim 'h h

f a h f af a

h→ ≠

+ −= équivaut à :

( ) ( ) ( ) ( )'f a h f a f a h h hε+ = + × + × Avec : ( )

0, 0lim 0

h hhε

→ ≠= .

Pour h petit, on pourra alors écrire : ( ) ( ) ( )'f a h f a f a h+ + × , la quantité

( ) ( )'f a f a h+ × étant appelée « approximation affine de ( )f a h+ au voisinage de ( )f a ». Dérivabilité et continuité On a le théorème fondamental suivant : Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a un élément de I. Si f est dérivable en a (sur I) alors f est continue en a (sur I). Remarque : la réciproque est fausse (pour s’en convaincre, on pourra considérer la fonction valeur absolue en 0). Fonction dérivée Soit f une fonction définie sur un intervalle I. Si f est dérivable pour tout x de I, alors on dit que « la fonction f est dérivable sur I » et on note « f’ » la fonction définie par :

( )I

'x f x→

La fonction f’ est appelée « fonction dérivée de la fonction f ». Remarque (peut être laissée de côté en première lecture) : La notation « 'f » est due à Newton (1642-1727) et est couramment utilisée en mathématiques (en particulier dans le secondaire). Il en existe une autre, cette fois due à Leibniz (1646-1616), qui est elle fréquemment utilisée en physique, en économie … Il s’agit

de « dydx

».

PanaMaths [3-6] Août 2008

Cette notation, dite « différentielle », exprime l’idée d’un rapport entre deux quantités

(différences) infinitésimales et doit donc être rapprochée de ( ) ( )0, 0

limh h

f a h f ah→ ≠

+ − puisque

cette limite peut être écrite : ( ) ( )( )0, 0

limh h

f a h f aa h a→ ≠

+ −+ −

.

En toute rigueur, on écrirait pour le nombre dérivé : ( )'x a

dyf adx =

= .

La notation de Leibniz présente de nombreux avantages. Si, au lieu de considérer des quantités infinitésimales, nous considérons de petites différences (nous les notons alors xΔ et yΔ en lieu et place, respectivement, de dx et dy ), nous pouvons

écrire : ( )'a

y f ax

ΔΔ

(ou, plus généralement ( )'y f xx

ΔΔ

), soit encore : ( )'a a

y f a xΔ Δ× .

On retrouve ainsi l’idée fondamentale de l’approximation affine : une petite variation sur les abscisses entraînera, en première approximation, une petite variation sur les ordonnées qui lui est proportionnelle, le coefficient de proportionnalité n’étant rien d’autre que le nombre dérivé. En posant alors : ( ) ( )a

y f a h f aΔ = + − et ( )ax a h a hΔ = + − = , on retrouve :

( ) ( ) ( )f a h f a f a h+ − × , soit : ( ) ( ) ( )'f a h f a f a h+ + × . Fonctions dérivées des fonctions usuelles Les fonctions rationnelles (dont les fonctions polynômes et la fonction inverse), la fonction racine carrée et les fonctions trigonométriques sont dérivables sur tout intervalle inclus dans leur ensemble de définition (ATTENTION ! Ce résultat n’est pas valable pour la fonction racine carrée en 0).

Fonction Dérivée Intervalle I (maximal) x k

( k∈ ) 0x

x x 1x 2x x 2x x

1xx

2

1xx

− *− ou *+

x x 1

2x

x *+

nx x ( *n∈ )

1nx nx − (si 0n > )

*− ou *+ (si 0n < ) sin cos cos sin−

tan 22

11 tancos

+ = ( )\ 2 1 , 2

k kπ⎧ ⎫+ ∈⎨ ⎬⎩ ⎭

PanaMaths [4-6] Août 2008

Opérations et dérivation Si f et g sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I, la fonction g ne s’annulant pas sur I, et si k est un réel alors : • La fonction f g+ est dérivable sur I et on a : ( ) ' ' 'f g f g+ = + ;

• La fonction kf est dérivable sur I et on a : ( ) ' 'kf kf= ;

• La fonction fg est dérivable sur I et on a : ( ) ' ' 'fg f g fg= + ;

• La fonction 1g

est dérivable sur I et on a : '

2

1 'gg g

⎛ ⎞= −⎜ ⎟

⎝ ⎠ ;

• La fonction fg

est dérivable sur I et on a : '

2

' 'f f g fgg g

⎛ ⎞ −=⎜ ⎟

⎝ ⎠.

Remarque : à partir de la formule donnant la dérivée de fg

, on retrouve rapidement

l’expression de la dérivée de 1g

…

Fonctions dérivables et sens de variation On suppose que f est une fonction dérivable sur un intervalle I. • Si f est croissante sur I alors 'f est positive sur I ( ( )I , ' 0x f x∀ ∈ ≥ ) ;

• Si f est décroissante sur I alors 'f est négative sur I ( ( )I , ' 0x f x∀ ∈ ≤ ) ;

• Si f est constante sur I alors 'f est nulle sur I ( ( )I , ' 0x f x∀ ∈ = ) ; Remarque : une fonction f peut être strictement croissante sur un intervalle et sa dérivée s’y annuler … On considèrera, par exemple, la fonction 3x x . Elle est strictement croissante sur et sa dérivée s’annule en 0 … On suppose que f est une fonction dérivable sur un intervalle I. • Si 'f est (strictement) positive sur I ( ( )I , ' 0x f x∀ ∈ ≥ ) alors f est (strictement)

croissante sur I ; • Si 'f est (strictement) négative sur I ( ( )I , ' 0x f x∀ ∈ ≤ ) alors f est (strictement)

décroissante sur I ; • Si 'f est nulle sur I ( ( )I , ' 0x f x∀ ∈ = ) alors f est constante sur I ;

PanaMaths [5-6] Août 2008

Dérivée d’une fonction composée Propriété Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I et prenant ses valeurs dans un ensemble inclus dans un intervalle J. Soit g une fonction dérivable sur l’intervalle J. Dans ces conditions, la fonction gof est dérivable sur l’intervalle I et on a :

( ) ( )' ' 'gof f g of= × Soit :

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )' ' ' ' 'gof x f x g of x f x g f x= × = ×

On a en particulier : Soit a et b deux réels, a étant non nul. Soit f définie et dérivable sur I et soit g la fonction définie par ( ):g x f ax b+ (elle est donc définie pour tout x tel que ax b+ appartient à I). Dans ces conditions, la fonction g est dérivable et on a :

( ) ( )' 'g x af ax b= + (la fonction g est la composée des fonctions x ax b+ et f). Formulaire Pour toute fonction u définie et dérivable sur un intervalle I (et, éventuellement, ne s’annulant pas sur I), on a :

Fonction Dérivée ( )nx u x ( ) ( )1. ' . nx n u x u x−

( )x u x ( )( )

'

2

u xx

u x

Remarques : dans le deuxième cas, la fonction u est à valeurs strictement positives.

PanaMaths [6-6] Août 2008

Utilisation de la dérivée pour la recherche d’un extremum local Notion d’extremum local Soit f définie sur un intervalle I et soit a un élément de I. On dira que « f admet un maximum (minimum) en a » s’il existe un intervalle ouvert Ia contenant a et inclus dans I tel que : ( ) ( )I , ax f x f a∀ ∈ ≤ ( ( ) ( ) f x f a≥ ). On appelle « extremum local de f » tout minimum local ou maximum local pour la fonction f. Théorème Soit f définie et dérivable sur un intervalle I et soit a un élément de I. Si f admet un extremum local en a alors ( )' 0f a = . La réciproque est fausse et la fonction 3x x nous donne encore un contre-exemple : sa dérivée s’annule en 0 mais elle n’y admet pas un extremum local ! On a cependant : Soit f définie et dérivable sur un intervalle I et soit a un élément de I. Si ( )' 0f a = et si 'f change de signe en a alors f admet un extremum local en a.

a b

( )' 0f a =

( )' 0f b =

( )' 0f x > ( )' 0f x < ( )' 0f x >

Cf