~I.Ix,1958 161

S u r u n e c l a s s e d e s i n g u l a r i t 6 s i m p r o p r e s

A Monsieur H. K~ESER, on respectueux hommage

Par P~Em~E LELONG ~ Paris

1. Ii est bien connu que, pour les fonctions an~lyt iques de n > 2 var iables com- ])le:tes / ( z l . . . . , Zn), ]es ensembles analyt iques complexes de dimension p ~ n - - 2 ~e P,euvent 6tre que des singularit~s impropres , uu sens su ivant : si D est un domaine ]~ I espace C n des z z et E un ensemble unalyt ique dSfini duns D, et de ~UOension complexe l ; < 'n n, 2, route fouetion [, ho lomorphe duns G = D - E,

l~rolonge (d 'une nmni6re unique) ell une fonction ] ho-lomorphe dun~ D Cet 6nonce Q. lque a 6t6 r6cemment 1) ~tendu aux fonctions p lur isousharmoniques par H. ~.~II~I~I~T et R. REMMEgT. On remurqueru que, dans les deux cas, il est inutile de ~lre 1' a hypoth~se que la fbnct ion "s prolonger est umforme dans G. E n ef[et on a la ~r~

~ D est s implement connexe et E u~ ensemble analyt ique de d imens ion p < n - - '~ D ~ E e8t u n domaine connexe et s implement connexe.

~. truvail , ie mont re ra i ~ui certaines classes d ensembles (classes Ln, An~ es et de capacitd nulle duns C n = _R2% possbdent lu m~me propridtd topologique

' e tels ens . . . . . . . . . e $;~ embles ont ere rencontres de.ls duns un m e m m r e precedent ). Ils sour des a,~U!arit6s impropres des fonctions analyt iques et des fonctions plur isousharmoniques , -" Seas ruppel~ plus haut .

Je Suis heureux d 'offrir /~ Monsieur le Professeur H. K~ESEIr ce modes te truvail , le pr iant de l ' aecepter en t~moignage de respectueuse amitid.

atl~' Nous pr6ciserons d ' abo rd quelques nota t ions : dans l 'espuce C n, identifid s son ~flPort euclidien r~el R 2n, un ensemble seru dit polaire (ou R2n-polaire), s'il est, i~n.~ Uateau dans l ' ensemble des infinis ndgatifs d 'une fonct ion sousharmonique a) duns, i~ , pour qu ' un sous-ensemble E d ' un donmine D de C n soi t /~2n-polaire il fuut et ~stlffit qu'il existe un r ecouvremen t de D par des sous-domaines D~, l'es E ~ Dt ~laas!l~P~rtenant~ _ ~ l ' ensemble des infinis nSgutifs d 'une fonction V~ soushannonmue" '_ , ~l . Si E est une ourt ie fermSe et R~n-poluire de D, G = D - - E est un ouver t ~otp.- -

,~exe (reals n ' es t pas s implement connexe, en gdndral, mSme si D l 'est). Un tel emble est une singularit6 impropre des fonctions analyt iques / et des fonctions

oush~rmomques V, u m / o r m e s dans G, pour lesquelles on suppose l / I , (respeeti-

~! ~urisubharmonische Funktionen in komplexen R~umen. Math. Z. 6~, 175--194 (1956). ~ ) ~ . LELO~G, Ensembles singuliers impropres des fonctions plurisousharmoniques. J. Math. �9 a)' aPPl' IX. S6r. 36, 263--303 (1957). ~, ~Cf. M. ~a~LO~, Sur la th6orie autonomc des fonctions sousharmoniques. Bull. Se. math.

" ~ 9 8 (1941). Archly der Mathomatlk IX 11

162 P. LEt, o~,a anc,. u,r~.

vemen t V) born5 sup6rieurement sur G au voisinage de cheque point de E. Les pro-

longements uniques, ], V s 'ob t iennent au voisinage d 'un point P e E pal" les proo6d~s topologiques

(I) / ( P ) = lim j ( M ) , M -+ P , M e G .

(II) V(P) = l i m s u p V ( M ) , M - ~ P , M ~ ( ; .

Rappelons ma in tenan t la ddfinition su ivante (ef. le mdmoire eit62), p. 298):

D6finition 1. Une partie /erm~e E d'un domaine D de C nes t dite de classe Ln si elle pos6'~de le~ proprigt&, suivantes."

Pour n : - 1, E est vide. Pour n ~- '2, E c D c C2(zt, z2) se pro]ette sur le sous.espace C 1 (Zl) , 'don un ensen~ble

R2.polaire e" la ,section de E par une plan parall~le h C 1 (zu) est soit vide, soit un e~ ,se~ble R2-polaire.

Pour n > 2 on exige que pour tout polycercle P d'adhhrenee compacte dans D, deft '# par le6' indgalit~s:

p = ~ [ l ~ - z " I<~.~, J < k < ~ ] la projection e sur C n-1 (zl . . . . . zn-1) de E r~ P soit un ensemble R2n-2.pola ire' l~ section de E r~ P par un plan Cl (zn) qui rencontre E n P dtant un ensemble tl2-P ~

o ou le disque I z ~ - Zn[ < rn entier: cette seconde ~ventualit~ n'a lieu que pour # ensemble de plans Cl(zn) projeld sur Cn-l(Zl . . . . Zn 1) scion un ensemble el ce'

' lJ, el dtant une partie de cla~'se Ln-1 du polyeevele p = (~ [[zj - - z~ < rj 1 --< ] < n projection de P.

La ddfinition donn~e pour n = "2 est la par t icular isa t ion de l~ d6finition gdndrale' On notera Ln (D), l ' ensemble des par t ies de D, de classe Ln. Si D ' c D , et si E c L n ( D ) , alors E c L n ( D ' ) ; Si D ' c D , on a E c L n ( D ' ) siet

seulement si E est encore une par t ie ferm6e de D . Pore" qu une par t ie ferm6e E de/) appar t ienne s Ln(D), il fau t et il suffit que pout' tou t r eeouvrement de D par des domaines Dt c D, E~ = E (~ D~ appar t i enne s Ln(Dd. De la d6finition d ~ r~sulte encore: si E app~r t ien t h Ln(D) , E est R~n-polaire et G : D - - E est u~ domaine. On a 6t~bli d ' au t r e p a r t qu 'un ensemble analy t ique de dimension p ~ n ~ dans D et, plus g6ndralemeut, tou t ensemble t~rm6 rdunion ddnombrable de tels ensembles analy t iques d6finis dans D appar t i en t g Ln(D).

Pout' obtenir une classe d 'ensembles d6finie sur une v~ri6t6 anMytique colnP loge W n, nous ~noneerons:

D~flnition 2. Une pattie /ermde E d'un domaine D de C n e s t dite de classe zl~t si, ('tant donnd un recouvrement quelconque de D par des domaines D~ c D, les ense~nbleS E~ = E ~ Di sont de classe Ln (Dt) et si pour route image analytique biunivoq ~e ~'~' l'ensemble T~(E d est darts la classe Ln [T(D~)].

Les classes An se t r anspor ten t sur les varidt6s analyt iques complexes, dit D6flnition 3. Un ensemble /erm~ E sur une varidtd analytique complexe W a est

"es q~ti de classe An si pour tout domaine D de W n possddant des eoordonndes loeat , ~ (;tablissent une application F de D dans C n, F (E ~ D) est de elasse An darts zt ~ ~'(1)1'

La ddfinition pos6e est coh~rente sur W n, la classe An 6rant invar iante p~r le~ clmngements de coordonn6es complexes locales admissibles sur W n.

VoI.IX, 1958 Sur une classe de singularit6s impropres 163

l)e cos d6finitions et des r6sultats rappel~s plus hau t d@oule:

Th6or~nle 1. Un ensemble analytique A, de dimension p ~_ n -- 2 sur une varigtg analytique complexe W n eat de la classe A n ( W n ) . I En effet, soit D~ c W n un domaine assez pe t i t pour qu'il existe des coordonn6es 0C~les et une appl icat ion analy t ique biunivoque A~ = F(Dt) de D~ sin" At c Cn;

soit e' i ~ / P ( A n Dt): e~ eat un ensemble analy t ique de dimension p __< n - - 2 dans

.~, done appar t ien t h Ln(A~). De plus si l 'on consid~re un domaine ~ c/]~ et une lr~age analytique biunivoque [ de 5 dans C n, on a

/(e~ ~ 5) = / o F [ A n F - : ( 5 ) ] .

La transformation / o F 6rant ana ly t ique biunivoque, on obt ient encore un ensemble aaalytique de dimension p ~ n - - 2 dans ](5), e 'est-s un ensemble de Ln [/(5)] ce qui 6tablit l '6nonc~.

]:)ans le t ravai l cit6, on a montr6 encore: un ensemble ferm6 dans D, r6union deaoa~brable d 'ensemble Et c Ln (D), appar t i en t s Ln (D). I1 en rdsulte

Th6or~me 2. Un ensemble /ermd E = S p E v , rFunion ddnombrable d'ensembles ~ c An(Wn) sur une vari4t~ analytique complexe W nes t encore de la classe An ( Wn).

Les classes An sont 6v idemment invar iantes pa r les t rans format ions ana ly t iques e~ biunivoques.

NOus 6tablirons m a i n t e n a n t l '6nonc6 principal de ce travail .

~h~0rc~n~e 3. Si D est un domaine simplement connexe de Cn et si E appartient Ln (D), le domaine G = D -- E eat simplement eonnexe.

I1 suffira d '6tabl i r que localement le compldmentai re de E est s implement connexe, ce qn'exprime l%nonc6 suivant , qui est un cas part icul ier du th6or~me 3.

l~!h~or~me 3'. Soint P = (~ [ ~ e de p , de classe Ln(P) . [z~[ =< ~k, 1 < k ~ n] un polycercle et E une partie Alors le compl~mentaire G = P -- E est simplement

u~'~e~e" diI~aPpelons Que l 'on est assur5 ~ue G est un domaine, car E ~tant R2n-polaire lm

lse pas localement l 'espace. On appel lera ligne polygonale dans G l a somme d ' un ~~ fini de t ra je ts reetilignes dans G; un tel compac t est appel6 lacet si la ligne !~176 est fermde. Une ligne polygonale 7 (en part icul ier un laeet) sera dire ~ ~Valente dans G (par homotopie) s la lignc polygonale "~ ~' 7' s 'il existe une famille y (t), e ligne s pol onales dans G d~ endant con t inument de t pour 0 < t < 1, avec Yg P - - _

~n~'~ Y!0), y ' = y(1). La d6format ion 2:ty(t), 0 ~ t ~ 1, est un compac t dans G. '~Otera y ,~ v ' l '6~uivalence de deux lignes polygonales 7 et v ' , par d6ibrmat ion

~ D l 2 1 ~ -- ~ ~ - - t~, "~ope dans G; v ~ 0 signifie que y peu t 6tre r6duit s un point de G par une ~,~ed4formation. -

none6 3 entraine le th6or~me 3; en effet y 6 tant un lacet dans D -- E, est un %~Pact darts D - - E ; il existe alors un recouvrement de y pa r des polycerclcs P~, en nOrabre fini, d 'adh6renee compaete dana D - - E ; dans l ' in tersect ion D,~ = P~ r Pi , suPP~ non vide, G~ = D ~ 1 - E n Dq est un domaine connexe et, deux quel- %11 l i e Pe q s de ses points peuven t 5tre joints par une ligne polygonale. Le lacet y c D -- E ~ t alors par addi t ion de lacets ~quivalents "s zO'o dans ]es Gel ~tre remplaed par

e somme de lacets y~, y~ 4rant situ~ d~ns G~ = P~ -- E, de mani~re qu 'on ait

11"

] 64 P. LELONG ARCtt. MAI'Ii'

y ~ 2:Wl dans G ~ D - - E. Si alors le th6orbme 3' est 6tabli , on au ra ),,i ~ 0, d'0fi 7 ~ 0 dans G, ce qui en t ra ine le th6or~me 3.

Pour 5tabl i r l '5nonc5 3', nous considdrons la pro jec t ion

de P sur C n-1 (z l . . . . . zn-1) , l a p r o j e c t i o n e c p de E, e t ]a p r o j e c t i o n e l c e c p des

disques t z,z[ < rn eontenus dans E, sur le m~me sous-espace C n-1. Nous appellero~S re spec t ivemen t E l ' et E ' les ensembles de plans C - t (zn) project6s sur C n-1 selon el et e : (El ' ~ P) c (E (~ P) et (E' (h P) ~ (E n P) sont des ensembles fermds relative" ment h P. Nous d6mont re rons d ' a b o r d :

Lemme 1. Une ligne polygonale (~ fl) c G --- P -- E, dont les extrgmitds :~, fl n'aPPa~ tiennent pas h E' peut dtre remplac~e par une ligne polygonale (or fl)' ~quivalenle dans et ne rencontrant plus E'.

Soit # le p remier po in t do E ' reneontr6 qu~nd on va de 0r h / J en su ivan t l e t rajet

(~fl). Soit ~ la d i s tance du t r~ je t (~/~) h E et ~', ~" les d is tances des po in ts :r /~/~ ~'; posons

51 = i n f ( 5 , 6', 5") > 0 ,

et choisissons un nombre 0 s~t isfa isant ~ 0 < ~ < ~ . Alors le polveercle comp act' 2 l/n

P,, = (~[[zk - - zi'. [ G e]

ne cont ien t aueun po in t de E ; dans le polycercle ouve r t P~,, E' n P~, est un ensenable

ferm6 Ren-polaire; done le eont inu, sect ion de (~r pa r P,,, et con tenan t k t, soit (ar ty) peu t 6tre remplae6 pa r une ligne polygonale ( a t ) ' ne con tenan t aucun pol de E ' et 6quivalente ~ ( a # v ) dans P , -- E' n P~,, done dans G. On a fair disp~rni~.re de (zcfi) un arc (aktv) de longueur au moins 2~ at subs t i tu6 au t r a j e t (~r un tr~jet (~.v)' ne eon tenan t plus de po in t de E ' . F ina lement , apr~s au plus N ~ Ls - t rno~.'~ cat ions de cet te sorte, L d6s ignant l~ longueur finie de (~ fl), on ob t i end ra un t r~]e~ (~r 6quivalent & (aft) dans G e t proje t6 sur C n-1 dans p - - e ce qui 6 tabl i t le lemnae l,

Lemme 2. Soit 7 un lacet darts G = P -- E; il existe un lacet 71 "~ ~ situs c la~$ ~ el situ~ darts [Zn = 0, (zl . . . . . zn-~) ~ p - - e].

En effet, soit M un po in t de T et B une boule de centre M eontenue dans G; roe" pla~ons y pa r une lacet ( : r p a r t a n t d ' u n po in t a non pro je t6 sur C n-~ s~r l ' ensemble e ; il suffit pour cela de choisir cr dans B - - E ' n B e t d ' a j o u t e r ~ 7 le laCO~ tbrm6 des deux segments rect i l ignes ~r et M~. Au lacet (~r162 on peu t ~Pl ~ quer le l emme 1 : il existe donc un l~eet 7~ "~ V dans G, avee 7t ~ P - - E ' . Soit ~ l a p r o j e c t i o n d e y t s u r z n = 0; e 'es t u n l a c e t d ~ n s p - - e . D ' a u t r e p a r t o n a ~,z ,~ ~ I - = d~format ion qui consiste & mul t ip l ie r la coordonn6e zn d ' u n po in t de y t pa r un n oUW"

rdel t v a r i a n t de ] ~, zdro 6rant une ddformat ion dans G. On a donc 7 ~ y2, ee qOl 6 tabl i t le lemme 2.

Lemme 3. Si M (~k) e P n'appartient pas ~ Ez' , M poss~de un voisinage

q = ~ [ I z ~ - ~~[ < e~, ~ < ~ - < n]

da,m lequel GO - - Q - E tq Q est s implement eonnexe.

V01.IX, 1958 Sur une classe de singularitfs impropres 165

/ ~ n effet le p lan [ z l - - ~ 1 . . . . . zn-1 = ~n-1] coupe E ~ P selon un ensemble "polaire et ferm6 dans lc cercle zn ~ rn; il existe done u n e circonf6renee dans de nla~ - ' I I . . . .

d ~ u,.ae centre ~n soi t I Zn - - ~n I = e~, ne con tenan t aucun po in t de E et contenue f~ns le eerele I Zn I < rn. L ' ensemble E 6rant ferm6, il existe alors un hombre 0 > 0, ~162 que l 'ensemblg

S = @[IV - - ~11 < .o, 1 ~ ] =< , n . - 1, Iz,, - - ~,,1 = 0,,]

appartienne g G - - P - - E. Soit Q le polycerc le :

Q = ~[Iz j - .~ j l < e , 1 < J - < , , - J, I~.,-~,~1 < e . 3 . Ua lacet later y, y dans G O ~ @ - - E ~ Q est, d ' ap rbs le lemme 2, dquiva len t dans G o s n n

situ~ daus le polycerc le de C" 1:

z , , = 5 , , q--~[[~J-~J[<e, 1 ~ / ~ . . . - 1 ]

no eontenant aucun po in t de la projec t io , ;eQ de E n Q sur le sous-espace zn = Sn. ar t ranslat ion para l lb lement "s l ' axe des z n , _ peu t 6tre amen5 sur un lacet

7" = ~ [z~ = 5 , + &,, (zl . . . . . z . - a ) z y ' c q - er ;

. . e s t lui-m~me r6duct ib le an po in t z n = ~ n + ~ n , z1 ~', 1 = < ] < n , - - 1 p a r elorraation dans le polycere le compac t h n - - 1 d imensions ddfini p a r

~ . = ~ , , + o , , ; [~J-~Jl--<e, ~ < j < n - ~ .

Ce Polycerele ne cont ien t en effet aucun po in t de E. Le lemme 3 est ainsi dtabli .

~qOus ach~verons alors la ddmons t r a t ion de l 'dnonc6 3' en p rocddan t p a r rdeurrenee sUr le hombre n de d imensions ; la p ropos i t ion est 6vidente pour n = 1 ; on peu t aussi re, raarquer que pour n = 2, elle rdsulte d i r ec t emen t du l emme 3. Soit donc n > 3: d S, prh s le lemlne 2, un lace t y e G = P - - E est r6duct ib le g un lace t y l dans lc Polycerel e

z , ,=o , p = ~ [ I v [ < ~ , l _ < j < ~ - l ] D~ de P sur C n q , le l~cet y , ne con tenan t aucun po in t de e, et p a r suite,

c. ~n point de e] c e. L ' ensemble e~ est de la classe L n - 1 (p); le thdor~me 3' suppos4 bli pour n - - 1, en t ra ine alors que y] soit rdduct ib le A zdro dmas

Jan = O, (z~ . . . . . z , , - ] ) e 1o - e~] .

r~ ~ormation cor respondan te K const i tue un compac t dans p - - e~ et dans P - - E~'. ~ Point M de K poss~de alors, d ' apr~s le lemme 3, un vois inage dans C n, pour lequel : t Peut p rendre un polycerc le (2 du t y p e indiqu6, de centre M (~1 . . . . . Sn-~, ~n = 0) , re POur lequel G o = Q - E c~ Q est s implement connexe. Consid6rons alors un

~UVreraent de ] ( pa r un nombre fini de tels polycereles Q(o. La r6duct ion de y~ ~,.ero dans p _ ex, zn = 0, peu t ~tre fai te en r empiagan t d ' a b o r d 7~ pa r une somme t~ ue de laeets vs, chaaue vs 6rant da.ns un des polvcercles pr6c6dents, soit Q(s); le

* ' ~ e f i - ^ - . - ' . ' " '

~;~. de Ys peu t e t re f ~ t dans les dom~mes G(s) : Q { * ) - E ~ Q ( s ) c G , les G{s) aslS ' '

a ~ que leurs in tersec t ions deux g deux, 6rant connexes. On au ra alors 7s "~ 0 u~qs G(s) d 'apr~s le lemme 3. F ina lmnent , on aura, l '6quivalence 6 tan t prise dans G:

y ~ yl ~ Z#yS "~ 0

] 66 P. LL'LO~r AaC~[, ~l~Tl~,

ee qui achgve Is dgmonst ra t ion du th6orgme 3. 3. Ind iquons pour terminor quelques consdquences du thdorbme 3 : dans le m@~a0ire

cit62), nous avons 5tabli que les ensembles E de Ln (D), dans tou t domaine D c C ' ' sour des singularitds impropres des fonctions analyt iques et des fonetions plurisOus" harmoniques supposdes uni]ormes dans G = D - - E. Cette restr ict ion est inutile et n o u s ~ n o n c ~ r o n s :

Th6or~me 4. Soit V une /onctiou plurisousharmonique, non ndcessairement u~i" /orme daws le domaine G ~ D - - E de C n, obtenu en enlevant de D u n e partie E c Ln {D)' Alors dans tout voisinage d'un point M ~ E, on peut trouver un domaine PM c 1) tel que PM -- E soit un domaine simplement connexe et que chacune des d~terminatlOnS de V puisse y dtre dgfinie comme ]onction uni/orme bornde supSrieurement au vo isinage des point6' de E et prolongeable selon (II) h tout le domaine PM"

Le mSme 5none~ est valable pour une fonction / suppos~e analyt ique danS G, ~ ddterminations holomorI~hes en tou t point de G: les dgterminations se pro longe~ par continuit~ selon (I) sur E au voisinage de tou t point M E E. variSt ~

ConsidSrons main tenant une fonction V plurisousharmonique sur une analyt ique complexe. Nous obtenons:

Th6or~me 5. Soit V une /onction plurisousharmo~ique, non ndcessaireme~d u~i" ]orme sur la vari~t~ analytique complexe G = W n - - E , obtenue en enlevant d'~t~g varidtd W n une pattie E c An (Wn). Alors darts tout voisinaae d 'un ~oint M e E s~r

n �9 ~ - - �9 " ~ e ~ W , on peut trouver un doma~ne U M sur W n tel que U M -- E c W n smt s~mple connexe; ehacune des dgterminations de V y est une /onetion uni/orme, bornde s~C rieurement, el se prolongs sur E (~ U M par semi-continuitd selon (I).

L'duoncd vau t ggalement pour les fonctions analyt iques s d@terminations holO: morphes dans G sur la vari~t(~ W n, le prolongement de ch,~que d@termination se fa isa~ par continuit~ sur E.

Eingegangen am 22. t. 1958