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Projet Bachelor Génie Civil Ecole Polytechnique Fédérale de Lausanne

PROBLEMES DE STABILITE DANS LA METHODE DES ELEMENTS FINIS

MODES A ENERGIE NULLE, EN SABLIER ET VEROUILLAGE

VOLUMETRIQUE

Hugo N. RIBET

Etudiant Génie Civil, 3e année Ecole Polytechnique Fédérale de Lausanne

Lausanne 2015

Problèmes de stabilité dans méthode des éléments finis 1

Table des matières I- Introduction ..................................................................................................................................... 2

II- Modes à énergie nulle- Mode en sablier ......................................................................................... 2

i- Introduction ................................................................................................................................. 2

ii- Théorie......................................................................................................................................... 2

a) Rappels théoriques .............................................................................................................. 2

b) L’avantage de l’intégration réduite ..................................................................................... 5

iii- Illustration numérique ................................................................................................................. 7

a) Manipulation de programmation ........................................................................................ 9

b) Illustration des méthodes d’intégration ............................................................................ 10

c) Etude des valeurs propres et singularités de matrice ....................................................... 11

iv- Conclusion sur mode à énergie nulle ........................................................................................ 15

III- Verrouillage Volumétrique ........................................................................................................ 16

i- Introduction ............................................................................................................................... 16

ii- Théorie....................................................................................................................................... 16

a) Rappels mathématiques .................................................................................................... 16

b) Le multiplicateur de Lagrange ........................................................................................... 18

c) Méthode de pénalité ......................................................................................................... 18

d) Théorème d’équivalence ................................................................................................... 19

e) Difficultés avec la méthode mixte, illustration de double encastrement ........................ 21

iii- Application numérique .............................................................................................................. 22

a) Illustration intégration sélective ........................................................................................ 22

b) Interprétation des résultats, intégration sélective ............................................................ 24

c) Etude de convergence : intégration sélective ................................................................... 26

d) Etude de convergence, approche « B-Bar » ...................................................................... 28

iv- Conclusion sur le verrouillage volumétrique............................................................................. 32

IV- Conclusion générale .................................................................................................................. 34


I- Introduction

Le but de ce rapport est de pouvoir illustrer des problèmes dit de stabilité que l’on peut

rencontrer dans un calcul d’éléments finis. De tels problèmes engendrent des résultats

faux et des comportements anormaux. Connus pour la plupart depuis plusieurs années,

leur résolution reste toutefois délicate et les résultats doivent être maniés avec

précaution. Nous étudierons dans un premier temps les modes à énergie nulle et dans

un deuxième temps le verrouillage volumétrique.

II- Modes à énergie nulle- Mode en sablier

i- Introduction

Les modes à énergie nulle est un problème de stabilité provoquant des déplacements

faux, et dans certains cas, des déformations atypiques. Ce problème ne se limite pas un

certain élément fini et est indépendant des caractéristiques du matériau constituant le

milieu. L’erreur de calcul provient notamment de l’intégration réduite, pratique

couramment employé dans un calcul d’éléments finis.

Afin de mieux illustrer ce problème, nous effectuons un vrai faux calcul, en d’autres mots

nous allons faire apparaitre un résultat faux de manière contrôlée et voulue. Avant de se

lancer dans l’illustration numérique, il est impératif de revoir quelques bases théoriques

pour mieux comprendre notre problème de stabilité.

ii- Théorie

a) Rappels théoriques

Il faut notamment revoir un peu de vocabulaire. Qu’est-ce qu’un mécanisme ?

Un mécanisme, ou mode à énergie nulle est le résultat de certaines valeurs de

déplacement d qui entrainent l’annulation de l’énergie emmagasinée de déformation U

(énergie de Clapeyron). D’un point de vue mathématique, si nous faisons le

rapprochement entre la formule de Clapeyron, et la démarche pour retrouver les valeurs

propres de la matrice de rigidité élémentaire, nous pouvons établir le fait suivant : à

chaque valeur propre nulle de la matrice est associée une énergie de déformation nulle.

𝑈 = (1

2) 𝑣𝑇 (∫ 𝐵𝑇𝐷𝐵𝑑𝛺

𝛺

)𝑣 = (1

2) 𝑣𝑡𝑘𝑣


𝑣𝑡(𝑘 − 𝜆𝐼𝑑)𝑣 = 𝑣𝑡𝑘𝑣 − 𝜆 = 0

𝜆=2U

Etant donné que le mode à énergie nulle est bien visible dans une maille composée

d’éléments bilinéaires, nous nous concentrons dessus. L’élément bilinéaire possède trois

modes propres. Deux translations et une rotation. Ce sont des déplacements inhérents à

cet élément. Ceci n’est pas toujours le cas, le nombre de modes peut augmenter.

Figure 1 – Modes inhérents à élément bilinéaire

Dans l’élément bilinéaire, des modes dits en sablier peuvent apparaitre. Ces nouveaux

modes seront associés à des nouvelles valeurs propres nulles. Les choix d’intégration

sont à l’origine de ce phénomène.

Un calcul d’élément fini fait intervenir plusieurs intégrations, notamment pour le calcul

des matrices élémentaires de rigidité. De ce fait, quel est l’ordre d’intégration numérique

à respecter ? Comme nous le savons, les outils d’intégration numérique nous permettent

d’intégrer de manière exacte des polynômes dont le degré est limité par plusieurs

facteurs. Si nous le voulons, il est possible d’intégrer de manière exacte tous les

éléments de calcul. Mais cela est plus couteux en temps de calcul. Il est possible de

maintenir une certaine précision de calcul, et de conserver la même qualité de

convergence avec des intégrations réduites.

Pour préserver la qualité de convergence, nous devons être capables d’intégrer de

manière exacte les fonctions polynomiales de degré p + p − 2m, ou :

p ≡ degré maximal d′un monome

p ≡ degré maximal des fonctions d′interpolation

m ≡ nombre d′intégrations par parties pour passer de la forme 𝐟𝐨𝐫𝐭𝐞 à la forme 𝐟𝐚𝐢𝐛𝐥𝐞

Regardons le produit BTDB, il sert à calculer la matrice de rigidité en intégrant chaque

terme. Ce produit génère des polynômes de degré minimal 2p. On admet que D (tenseur


de Hooke) est composé d’éléments constants. Le produit BTB génère des polynômes

dont le degré minimal vaut 2p.

Regardons cela de plus près. Dans un déplacement typique d’élément bilinéaire, nous

avons :

𝑢(𝑥, 𝑦) = 𝑎1 + 𝑎2𝑥 + 𝑎3𝑦 + 𝑎4𝑥𝑦

𝑝 = 1 = 2𝑚 = 1

Les dérivées quant à eux nous donnent :

𝑢(𝑥, 𝑦) = 𝑎1 + 𝑎2𝑥 + 𝑎3𝑦 + 𝑎4𝑥𝑦

𝑑𝑢

𝑑𝑥= 𝑎2 + 𝑎4𝑦

𝑑𝑢

𝑑𝑦= 𝑎3 + 𝑎4𝑥

Si nous regardons dans les détails le calcul de BTDB, le degré minimal des polynômes 2p

peut être mieux visualisé. Pour cela nous admettons l’hypothèse suivante : le tenseur de

Hooke est composé d’éléments constants (module de Young, coefficient de Poisson

constants dans l’élément) et nous nous trouvons dans un milieu isotrope.

Le degré polynomial à intégrer exactement, selon le critère de convergence, est 1. Le

produit BTDB quant à lui possède des polynômes de degré 2. Ce degré est l’ordre de

l’intégration exacte.

Avec ces notions d’intégration définies, on peut maintenant s’intéresser aux méthodes

employées. Souvent, il est intéressant d’intégrer avec la règle de quadrature de Gauss.

Avec Gauss, et en utilisant ng points d’intégration, nous pouvons intégrer des polynômes

de degré 2𝑛𝑔 − 1.

0 + 0 + 𝑁1,𝑥𝑁1,𝑦 (𝑶𝒓𝒅𝒓𝒆 𝟐𝒑 = 𝟐)

0 + 𝑁1,𝑥2 + 𝑁1,𝑦

2 (𝑶𝒓𝒅𝒓𝒆 𝟐𝒑 = 𝟐)

𝑁1,𝑥2 + 0 + 𝑁1,𝑦

2 (𝑶𝒓𝒅𝒓𝒆 𝟐𝒑 = 𝟐)

0 + 0 + 𝑁1,𝑥2 + 𝑁1,𝑦

2 (𝑶𝒓𝒅𝒓𝒆 𝟐𝒑 = 𝟐)


b) L’avantage de l’intégration réduite

Il est maintenant intéressant de comprendre pourquoi nous effectuons une intégration

réduite.

1. Nous allégeons la charge calculatoire, ceci est trivial. Un ordre d’intégration

trop élevé n’améliore pas forcement la précision.

2. Nous assouplissons la réponse de l’élément issue de la méthode des

déplacements.

3. Nous évitons les problèmes de verrouillage (cf. deuxième partie du rapport)

Le degré polynomial à intégrer exactement, selon le critère de convergence, est 1. Donc

nous choisissons 1 point d’intégration. Pour pouvoir intégrer de manière exacte notre

problème, il aurait fallu 2 points de Gauss. Malgré le fait que l’intégration réduite

possède de nombreux avantages, il est la cause inévitable d’une réduction de rang de

notre matrice de rigidité élémentaire. Nous nous trouvons au cœur même du problème :

la déficience de rang.

Qu’est-ce qu’implique une réduction de rang ? Le rang d’une matrice est égal à sa

dimension (nd=8), réduit du nombre de modes rigides possibles. En théorie notre

élément à un rang de r=5, car il existe 3 modes rigides de base. Dans le cas d’une

intégration réduite, le rang est lui aussi réduit. Pourquoi?

L’explication est assez intuitive. La formule de Clapeyron est une transformation linéaire

(T). Son noyau, le ker, est le sous ensemble de l’espace de départ V, qui engendrent des

énergies de déformation nulles. A la base, il est de dimension 3, il est composé d’une

rotation et de deux rotations.

𝑘𝑒𝑟(𝑇) = 𝑥 ∈ 𝑉 , 𝑇(𝑥) = 0

𝑇(𝑥) = 0 ↔ 𝑈 = 0

Le nombre de mécanismes nous donne la dimension du noyau. En prenant la formule du

rang, nous voyons que l’ajout de nouveaux mécanismes augmente la dimension du

noyau, donc au bout du compte, le rang diminue.

𝑟𝑔(𝑇) = 𝑑𝑖𝑚(𝑉) − 𝑑𝑖𝑚 (𝑘𝑒𝑟(𝑇))

Dans l’élément bilinéaire, les deux modes de flexion peuvent générer des mécanismes,

notamment des mécanismes en sablier. Ce sont ces deux nouveaux mécanismes qui

augmentent la dimension de notre noyau.


Figure 2 – Modes en sablier

Les deux mécanismes en sablier, sont donc responsables de la réduction du rang. Le

rang passe 5 à 3.

Si nous voulons visualiser cette réduction de rang après calcul, nous devons tout

simplement calculer les valeurs propres de notre matrice de rigidité élémentaire.

Comme nous l’avons vu précédemment, les nouveaux mécanismes réduisent le rang et

produisent des énergies nulles de déformation. Etant donné que λ= 2𝑈, des nouvelles

valeurs propres nulles se traduisent en une réduction de rang.

Il est intéressant de comprendre l’origine de ces valeurs propres nulles. Une valeur

propre nulle implique que l’énergie de déformation interne associée est elle aussi nulle.

Sous certaines valeurs de déplacements, et avec les fonctions d’interpolation choisies,

les valeurs des déformations et/ou des contraintes sont nulles aux points de

l’intégration réduite de Gauss. Le point choisit sera donc représentatif de tout l’élément.

Il s’agit donc d’un problème d’emplacement de points en quelques sortes.

Figure 3 – Points d’intégration de Gauss


Nous procédons à un récapitulatif théorique avant de se lancer dans l’illustration

numérique.

1. L’intégration réduite à la particularité de faire apparaitre des mécanismes, même

pour des degrés plus élevés d’interpolations, car notre matrice élémentaire

“perd” de la rigidité avec les points choisis (le calcul est faux)

2. Sous certains déplacements, ces mécanismes peuvent être atteints.

3. La réduction de rang provient du calcul diffèrent de la matrice de rigidité. On

peut le remarquer même avant de calculer les valeurs propres, à partir de la

réduction du nombre de points de Gauss

4. Une intégration réduite implique forcement une déficience de rang, ce qui fait

perdre de la rigidité à l’élément. Il est possible de réinjecter cette rigidité de

manière artificielle (Frazlier), mais nous n’aborderons pas ce principe ici.

Avec ces notions théoriques définies nous pouvons dorénavant aborder l’illustration

numérique des modes en sablier.

iii- Illustration numérique

Nous prenons les valeurs suivantes, que nous rentrons dans un fichier texte «Input» qui

sera lu par notre code Matlab.

𝑬 = 𝟏𝟎𝟎 [𝑵

𝒎𝟐]

𝒒𝒚 = −𝟐[𝑵

𝒎′]

𝝑 = 𝟎. 𝟑

Le cas étudié est un bloc carré, comprimé sur deux de ces côtés.


Figure 4 – Milieu continu étudié

En exploitant la symétrie du problème, nous discrétisons notre élément de la manière

suivante, en 25 éléments :

Figure 5 – Quart de milieu discrétisé


a) Manipulation de programmation

Figure 6 – Extrait code Matlab, création des matrices « coord » et

« connect »

Nous créons une fonction capable de générer un maillage à éléments rectangulaires, ou

l’on précise les dimensions globales et locales, ainsi que le nombre d’éléments. Ceci nous

permet de générer une matrice précisant les coordonnées de chaque nœud ainsi qu’une

matrice de connectivité, qui seront par la suite lus par notre code d’éléments finis. Nous

visualisons le maillage non déformé pour faire une inspection visuelle de notre

maillage.

Figure 7 – Visualisation du maillage non déformé


Nous générons notre fonction déterminant la matrice élémentaire, à partir d’éléments

isoparamétriques. Au passage, faisons une parenthèse sur l’utilisation des éléments

isoparamétriques.

Nous déterminons les fonctions d’interpolation de notre élément linéaire dans les

coordonnées naturelle ξ et η afin de pouvoir être en accord avec les schémas

d’intégration de Gauss. En effet, les abaques d’intégration de Gauss sont valables pour

une intégration bornée sur [-1,1] en abscisse, ce qui est le cas de notre élément en

coordonnées naturelles. Il s’agit d’une transformation qui nous rend la tâche plus facile,

à défaut d’avoir à effectuer une transformation au niveau de l’intégration de Gauss pour

une intervalle quelconque en abscisse.

b) Illustration des méthodes d’intégration

Nous effectuons ensuite la partie vitale de cet exercice: l’intégration Gaussienne. Le

problème est d’une part intégré pleinement et d’autre part intégré de manière réduite.

Figure 8 – Déformation par intégration réduite


Figure 9– Déformation par intégration pleine

Dans le cas de l’intégration réduite, nous calculons les énergies de déformation associées

aux éléments et les répertorions dans une matrice, en fonction de leur localisation dans

l’espace.

Selon les résultats, tous les éléments ont une énergie nulle, sauf pour un élément

(troisième ligne, deuxième colonne).

c) Etude des valeurs propres et singularités de matrice

Nous créons une fonction permettant de stocker les valeurs propres de chaque élément

dans une matrice. L’impression de cette matrice nous permettra de vérifier les nouvelles

valeurs propres nulles.


Figure 10 - Valeurs propres dans intégration réduite

Figure 11 - Valeurs propres dans intégration pleine

Dans une intégration réduite, il y a 5 valeurs propres donc 2 qui sont nulles. Ce sont

les deux mécanismes en sablier. Dans le cas d’une intégration pleine, il y a 5 valeurs

propres, toutes non nulles.


Certains éléments sont plus aptes que d’autres pour générer des nouveaux mécanismes,

en sablier ou pas. Une vérification peut être faite de manière préalable avec le single-

element test. Il permet notamment de vérifier la singularité de la matrice

élémentaire de rigidité. Nous isolons un élément, chargé uniformément sur une face et

isostatique dans ses appuis. On modifie notre fichier Input pour cela.

Figure 12 – Single-element test

Nous obtenons les résultats suivants :

Etant donné que certaines valeurs propres sont nulles dans le cas d’une intégration

réduite, la matrice devient singulière, donc le déterminant est nul, et la résolution est

impossible d’un point de vue algébrique.

Dans le cas d’une intégration pleine, nous obtenons une déformée conforme à la

théorie, la résolution a été possible :


Figure 13 – Déplacements single-element, intégration pleine

La matrice de rigidité quant à elle n’est pas singulière, et son déterminant est non nul.

Dans le cas du single-element test, il est important d’étudier les valeurs propres et le

déterminant de la matrice de rigidité élémentaire pour confirmer la déficience de rang

et l’apparition de nouveaux modes à énergie nulle. Une matrice carrée est dite

singulière lorsque son déterminant est nul. Ce dernier est lié aux valeurs propres de

notre matrice est peut être obtenue de la manière suivante :

det=∏𝜆𝑖

Afin de déterminer de manière exacte le nombre de valeurs propres nulles et non nulles,

nous utilisons la propriété algébrique suivante :

Nombre valeurs propres non-nulles≤ 𝒓𝒂𝒏𝒈

De manière récapitulative, l’élément bilinéaire produit les valeurs suivantes :

1. Intégration réduite: Le rang est de 3, il y a 2 valeurs propres nulles et 3 valeurs

propres non nulles. 5 valeurs propres en tout. Le déterminant est nul.

2. Intégration pleine: Le rang est de 5, il y a 5 valeurs propres non nulles et 0

valeurs propres nulles. 5 valeurs propres en tout. Le déterminant est non nul.


iv- Conclusion sur mode à énergie nulle

Les modes à énergie nulle font apparition lorsque nous réduisons notre degré

d’intégration dans le calcul de notre matrice de rigidité. Ce phénomène n’est en aucun

cas lié à la forme de notre élément, mais plutôt à la déficience de rang résultant d’une

intégration réduite. Ces modes ou « spurious modes », dans la littérature anglophone,

sont également présents si nous décidons d’effectuer une intégration réduite dans des

éléments bidimensionnels d’ordre supérieur ou tridimensionnels. Ils présentent

l’avantage d’assouplir considérablement la réponse de notre élément, dont les

déplacements sont en quelques sortes dictés par les fonctions d’interpolation issues de

la méthode des déplacements. D’autant plus, une intégration réduite allège notre charge

calculatoire, c’est d’ailleurs la raison qui justifie ce choix. Dans le cadre de ce projet, nous

nous sommes intéressés à un mode en particulier, que l’on retrouve dans l’élément

bilinéaire rectangulaire : le mode en sablier. Les résultats numériques ont porté leur

fruit, et nous ont permis d’illustrer l’imprécision résultant d’une intégration réduite.


III- Verrouillage Volumétrique

i- Introduction

Le verrouillage volumétrique est un problème de stabilité que l’on retrouve lorsqu’on

effectue des calculs d’éléments finis, en employant la méthode des déplacements, avec

des matériaux dits incompressibles. Il a la particularité de verrouiller notre maillage

(déplacements infiniment petits) lorsque celui-ci est chargé de manière quelconque, ce

qui engendre bien évidemment des résultats faux. C’est une instabilité qui est liée, avant

tout, à la formulation mathématique de notre problème.

ii- Théorie

a) Rappels mathématiques

En mécanique, un matériau est dit incompressible lorsque son coefficient de Poisson 𝜗

vaut 0.5. Lorsqu’un tel matériau est déformé, il ne subit pas de variation de volume.

휀𝑣 = 휀𝐼 + 휀𝐼𝐼 + 휀𝐼𝐼𝐼 = 0

𝑑𝑖𝑣(휀) = 0

En éléments finis, de tels matériaux peuvent provoquer une sur-rigidité de notre matrice

élémentaire de rigidité et induire un verrouillage de notre maillage. Comme rappel, la loi

constitutive de Hooke pour des matériaux/milieux continus compressibles est la

suivante :

𝜎𝑖𝑗 = 𝜆𝑢𝑘,𝑘𝛿𝑖𝑗 + 2𝜇𝑢𝑖,𝑗

𝜆 = (2𝜗𝜇

1 − 2𝜗)

Lorsque 𝜗 → 0.5 , le coefficient de Lamé et la constante affectant la matrice d’élasticité

𝐸

(1+𝜗)(1−2𝜗) convergent vers l’infini. La matrice d’élasticité D, dans le produit 𝐵𝑇𝐷𝐵, est

composée d’éléments tendant vers l’infini. Ainsi, la matrice de rigidité résultante devient

infiniment large et la résolution 𝐾𝑑 = 𝐹 nous fournira des valeurs de déplacements

infiniment petites. La résolution est fausse.

Cette erreur est en grande partie due au fait que nous nous rapprochons de

l’incompressibilité, théorie qui est dictée par une loi différente de la loi constitutive

« classique ». En effet, notre loi constitutive doit pouvoir prendre une nouvelle

contrainte (d’un point de vue algébrique bien sûr) :


𝜎𝑖𝑗 = −𝑝𝛿𝑖𝑗 + 2𝜇𝑢𝑖,𝑗𝒅𝒊𝒗(𝜺) = 𝒖𝒊,𝒊 = 𝟎

Ou p est la pression hydrostatique, il est lié aux déformations volumiques de la façon

suivante :

𝑝 = 𝜆𝑢𝑖,𝑖

On nomme cette nouvelle contrainte la contrainte cinématique d’incompressibilité.

Il est peut être intéressant de formuler une forme du problème qui est applicable dans

un cas compressible et incompressible (limite de l’incompressibilité pour être exact).

𝜎𝑖𝑗 = −𝑝𝛿𝑖𝑗 + 2𝜇𝑢𝑖,𝑗 (𝑖)

𝑢𝑖,𝑖 + (𝑝

𝜆) = 0 (𝑖𝑖)

Pour 𝜗 < (1

2) l’injection de la condition (ii) dans (i) nous permet de retomber sur

la formulation classique de la loi constitutive, et d’éliminer l’inconnu p

Pour 𝜗 = (1

2) , 𝑝 devient un inconnu (nous verrons plus tard pourquoi la

résolution de système fait intervenir ce nouveau inconnu).

Etant donné que nous reformulons la loi constitutive pour des cas incompressibles, il est

en vient de soi que la forme forte et la forme faible du problème sont affectées.

Nous avons déjà vu précédemment les nouvelles formes fortes du problème. La nouvelle

forme faible du problème est la suivante :

∫ 𝑤𝑖,𝑗𝜎𝑖,𝑗𝑑𝛺𝛺

−∫ 𝑞(𝑢𝑖,𝑖 +𝑝

𝜆𝛺

)𝑑𝛺 = ∫ 𝑤𝑖𝑓𝑖𝑑𝛺𝛺

+∑∫ 𝑤𝑖ℎ𝑖𝑑ГГℎ𝑖

𝑛𝑠𝑑

𝑖=1

Cette nouvelle formulation fait tout simplement intervenir la contrainte

d’incompressibilité avec le terme ∫ 𝑞(𝑢𝑖,𝑖 +𝑝

𝜆𝛺)𝑑𝛺 qui vient s’ajouter à la forme faible

originale du problème.

La nouvelle formulation matricielle du problème quant à elle est modifiée de manière un

peu plus complexe, et la résolution de notre système est fondamentalement différente.

Nous devons introduire la notion de la formulation mixte. Dans une formulation mixte,

les inconnus ne sont plus limités à uniquement les déplacements. En intégrant le critère

d’incompressibilité dans notre forme forte du problème, nous devons résoudre pour les

déplacements ainsi que pour le champ de pression p.

Prenons un exemple pour essayer de faire le rapprochement avec notre cas.


b) Le multiplicateur de Lagrange

Imaginons que nous souhaitons modifier une structure existante en introduisant un

nouvel appui élastique très rigide. Nous imposons une nouvelle contrainte à notre

système :

𝐾𝑑 = 𝐹𝑑𝑖 = 𝑔

Grace à la méthode du multiplicateur de Lagrange, notre nouveau problème prend la

forme matricielle suivante :

[𝐾 𝑙𝑖𝑙𝑖 0

] (𝑑𝑚)=(𝐹

𝑔)

Ou 𝑙𝑖 = (0, 0, … , 1, … ,0 , 0 )𝑇 . 𝐿𝑒 𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎𝑖𝑟𝑒 1 𝑠𝑒 𝑡𝑟𝑜𝑢𝑣𝑒 à 𝑙𝑎 𝑖𝑒𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛.

Ou 𝑚 est le multiplicateur de Lagrange, c’est un nouvel inconnu à résoudre. Il peut

être rapproché à l’inconnue p vu précédemment.

Dans ce cas-ci, le problème initial est modifié pour inclure cette nouvelle contrainte : il

s’agit de la formulation mixte.

c) Méthode de pénalité

La méthode de pénalité est une approximation de la méthode du multiplicateur de

Lagrange. Il l’avantage de préserver la formulation originale du problème, et d’intégrer

une nouvelle contrainte, telle que l’incompressibilité. Le multiplicateur de Lagrange est

approximée par 𝑚 ≅ 𝑘(𝑙𝑖𝑇𝑑 − 𝑔) où k est connu (m n’est plus un inconnue, donc nous

nous trouvons plus dans une formulation mixte du problème). Le coefficient k est un

chiffre de grande taille, représentant un ressort/appui de grande rigidité.

La formulation du problème devient la suivante :

(𝐾 + 𝑘𝑙𝑖𝑙𝑖𝑇)𝑑 = 𝐹 + 𝑘𝑔𝑙𝑖

(𝐾 + (0 ⋯ 0⋮ 𝑘 ⋮0 ⋯ 0

))𝑑 = 𝐹 +

(

0…𝑘𝑔…0 )

Pour des valeurs élevées de k, l’approximation de la méthode de pénalité converge vers

la solution du multiplicateur de Lagrange. C’est une propriété très intéressante, que

nous allons utiliser pour résoudre notre problème d’incompressibilité.


Faisons le rapprochement avec notre cas. Notre nouvelle contrainte est la suivante :

notre milieu continu est quasiment incompressible, notre coefficient de Poisson est très

proche de (1

2). Nous souhaitons introduire une légère compressibilité dans notre

système. Elle doit être assez élevée pour éviter des erreurs due à la compressibilité et

suffisamment petite pour éviter que nos matrices issues de ce calcul soient mal

conditionnées .

Cette contrainte se traduit par le fait suivant :

𝜆

𝜇≫ 1

Cette contrainte est notre pénalité, c’est une approximation du multiplicateur de

Lagrange (cf. pénalité k dans exemple précédent). On doit pouvoir garantir que le

coefficient de Lamé est suffisamment grand par rapport au module de cisaillement. Pour

un rapport 𝜆

𝜇 élevé, nous convergeons vers la solution fournie par le multiplicateur de

Lagrange.

Par expérience, nous savons que cette pénalité doit être bornée de la manière suivante

(afin de pouvoir garantie un comportement incompressible sans pour autant être

confrontée à des problèmes de résolution) :

107 <𝜆

𝜇< 109

d) Théorème d’équivalence

Selon la théorie développée par Malkus and Hughues, la matrice de rigidité élémentaire

obtenus dans une formulation mixte est identique à la matrice de rigidité élémentaire

obtenue dans une formulation « déplacements » obtenue avec une intégration sélective.

Qu’est-ce que l’intégration sélective ? Dans le cas des calculs incompressibles, c’est un

outil qui nous permet, en utilisant les principes de la méthode de pénalité, d’obtenir une

équivalence entre la méthode des déplacements usuelle et la méthode mixte.

Afin de mieux comprendre le principe de l’équivalence, nous intéressons au mécanisme

de l’intégration sélective.

Tout d’abord, nous distinguons l’intégration du produit 𝐵𝑇𝐷𝐵 en deux cas différents.

- = ∫ 𝐵𝑇𝐵𝑑𝛺𝛺

- = ∫ 𝐵𝑇𝐵𝑑𝛺𝛺

Où :

- = 𝜇 2 0 00 1 00 0 1


- = 𝜆 1 1 01 1 00 0 0

Le terme est intégré de manière exacte.

Le terme est intégré de manière réduite.

L’intégration sélective fait intervenir deux types d’intégration différente :

1. Pleine pour la partie cisaillement (dite déviatorique)

2. Réduite pour la partie de « Lamé » (dite hydrostatique)

Le coefficient de cisaillement est obtenu grâce à la formule suivante :

𝜇 =𝐸

2(1 + 𝜗)

En liant 𝜇 avec 𝜆 grâce à la condition

107 <𝜆

𝜇< 109

notre coefficient de Lamé prend une valeur réelle et non-infinie (introduction de légère

compressibilité). La partie de « Lamé » est intégrée de manière réduite afin de limiter sa

tendance à verrouiller l’élément. Cette influence vient du fait suivant :

= 𝜇𝐾1

= 𝜆𝐾2

𝐹 = 𝐾𝑑

𝐹 = ( + )𝑑

𝐹 = (𝜇𝐾1 + 𝜆𝐾2)𝑑

Pour des valeurs de

𝜆

𝜇≫ 1

La matrice λ ∙ K2 n’est pas singulière et possède un rang « trop grand ». On obtient la

simplification suivante :

𝑑 = ( + )−1𝐹

𝑑 ≅ (1

𝜆𝐾2−1) 𝐹

Pour 𝜆 → 0.5, d→ ∞. Il faut donc pouvoir intégrer le terme « Lamé » de manière réduite

afin d’obtenir la singularité (déficience de rang) et réduire son influence sur le

verrouillage du maillage.


La méthode d’intégration réduite, selon le théorème d’équivalence, nous permet

d’obtenir la même matrice de rigidité, et donc les mêmes déplacements, que dans

une formulation mixte. C’est une méthode pratique qui nous permet d’atteindre les

performances de la formulation mixte, sans pour autant avoir à reformuler le problème.

e) Difficultés avec la méthode mixte, illustration de double

encastrement :

Figure 14 – Difficulté fondamentale, méthode mixte

Malgré la robustesse mathématique de la formulation mixte, nous pouvons toutefois

rencontrer des erreurs importantes. Prenons l’exemple ci-dessus, en s’intéressant aux

déplacements du nœud A, dans un maillage composé d’éléments triangulaires. La

contrainte d’incompressibilité stipule que les déformations de volume de chaque

élément doivent être nulles. Dans cette optique, le déplacement du nœud A dans

l’élément II peut être uniquement verticaux, car les deux autres nœuds du même

élément sont encastrés. Les déplacements du même nœud dans l’élément I peuvent être

uniquement horizontaux, car les deux autres nœuds sont encastrés. De ce fait, le nœud A

reste immobile. En poursuivant cette analyse, le nœud B devient lui aussi immobile. En

partant du bord encastrés, les nœuds « libres » deviennent eux même encastrés et

affectent le comportement des prochains éléments, qui a leur tour, verrouillent ! Ce

genre de phénomène peut être évité en étudiant la condition de stabilité ou la

condition de Babu𝐬ka-Brezzi de l’élément employé, théorie complexe que nous

n’aborderons pas dans le cadre de ce projet.


iii- Application numérique

a) Illustration intégration sélective

Nous reprenons le même milieu continu, discrétisé en 25 éléments bilinéaires carrés,

mais dont les conditions de bord ont été modifiées. Dans ce cas d’incompressibilité, le

coté latéral gauche et la face inférieure sont encastrés. La force que nous appliquons sur la face supérieure est de 𝑞𝑦 = -10[N/m’].

Figure 15 – Milieu continu étudié

Figure 16 – Milieu continu discretisé


Notre première application numérique se fait dans un cas très proche de

l’incompressibilité, c.-à-d. 𝜗 = 0.499

La première chose que nous étudions est le comportement de notre milieu lorsque notre

coefficient de Poisson est très proche de la limite d’incompressibilité, dans un cas

d’intégration pleine, uniforme (1 point d’intégration).

La deuxième chose que nous étudions est le comportement lorsqu’on emploie une

intégration réduite, uniforme (2x2 points d’intégration).

La troisième chose que nous étudions est le comportement lorsqu’on emploie une

intégration sélective sur nos éléments.

Nous obtenons les résultats suivants :

Figure 17 – Déformation par intégration pleine

Figure 18 – Déformation par intégration réduite


Figure 19 – Déformation par intégration pleine

b) Interprétation des résultats, intégration sélective

L’intégration pleine illustre la trop grande rigidité de notre matrice de rigidité

élémentaire qui a pour effet de verrouiller notre maillage. Les déplacements sont très

petits.

L’intégration sélective quant à elle a un comportement beaucoup plus souple que le

cas 1, ce qui nous rapproche de la réalité.

Dans le cas de l’intégration réduite, la réponse est souple comme on le souhaite mais la

déficience de rang fait apparaitre des déformations en sablier assez importantes. Pour

établir un lien avec la première partie, un calcul d’énergie a été faite pour chaque

élément dont les valeurs ont été stockées dans une matrice en fonction de son

emplacement géométrique. Nous remarquons au final qu’uniquement un élément

(première ligne, deuxième colonne) possède une énergie de déformation non nulle.

L’énergie nulle est générée soit par les mécanismes inhérents ou par les modes en

sablier.

Malgré le fait que cette déformation est souple, le comportement observé est non

souhaitable. Certains éléments ont tendance à avoir des déformations volumétriques

trop importantes. Ceci peut être constaté davantage lorsque nous augmentons notre

charge appliquée à 30[N/m’]. Nous remarquons que certains éléments ont tendances à

se refermer sur eux-mêmes, ce qui est non souhaitable :


Figure 20 – Déformation par intégration réduite, avec

augmentation de charge

A partir de ces visualisations et constats, il peut être intéressant d’étudier l’évolution des

déplacements d’un nœud en valeur absolue (nœud supérieure, à l’extrémité droite),

dans les deux directions, en fonction du schéma d’intégration et du coefficient de

Poisson. Pour cela nous comparons le cas d’intégration pleine avec le cas d’intégration

sélective, en partant d’un coefficient de Poisson de 𝜗 =0.45, en augmentant par

incrément de 0.001 jusqu’à 𝜗 = 0.5, et pour un maillage composé de 25 éléments.

On obtient les résultats suivants :

Figure 21 - Evolution : intégration pleine


Figure 22 - Evolution : intégration sélective

Il est intéressant de constater que dans un cas d’intégration pleine, le comportement

rigide est visible à partir d’un coefficient de Poisson de 0.48. A partir de cette valeur,

l’évolution de nos déplacements converge vers 0 assez rapidement, et le calcul cesse

de fonctionner à partir de coefficients de Poisson d’environ 0.498.

Dans le cas d’une intégration sélective, les déplacements sont plus ou moins constants

pour n’importe quel coefficient de Poisson.

c) Etude de convergence : intégration sélective

Nous approfondissons ce calcul en raffinant le maillage du cas de l’intégration

sélective, afin de pouvoir étudier sa convergence, pour un cas où 𝜗 =0.499(limite de

l’incompressibilité). Le nombre d’éléments qui seront présentés seront dans cet ordre

croissant : 16, 25, 49, 100,121 et 144 éléments. L’étude de la convergence est faite en

examinant les déplacements du nœud du coin supérieur droit.


16 éléments 25 éléments



Figure 23 – déformations obtenues par intégration sélective


Nous pouvons résumer ces déplacements dans un graphique, afin d’inspecter le résultat

numériquement :

Figure 24– évolution déplacement du nœud (sélective)

Nous constatons qu’à partir de 100 éléments, les déplacements semblent bel et bien

converger vers une certaine valeur, notamment pour les déplacements dans la direction

x. La méthode d’intégration sélective nous permet d’obtenir des bonnes performances

dans la limite de l’incompressibilité.

Il peut être intéressant, dans un dernier temps, d’aborder une méthode plus

performante pour la résolution de problèmes d’incompressibilité. La méthode

d’intégration sélective est connue pour être limité à des cas isotropes et non

axisymétriques (attention axisymétrie≠asymétrie !).

Afin de pouvoir généraliser cette méthode, il faut être capable de résoudre des cas

anisotropes et étant axisymétriques. Entre autre, nous aborderons l’approche « B-

bar ».

d) Etude de convergence, approche « B-Bar »

L’approche « B bar » est une généralisation de la méthode d’intégration sélective, qui

reprend le même principe de division de notre problème en parties volumétriques et

déviatoriques. Dans notre cas, c’est la matrice B qui est divisée en une partie

déviatorique et une partie volumétrique/dilatationelle améliorée.


𝐵𝑎 = 𝐵𝑎𝑑𝑒𝑣 + 𝐵𝑎

𝑑𝑖𝑙

𝐵𝑎𝑑𝑒𝑣 = Ba − Ba

dil

𝐵𝑎 =

𝐵1 0 00 𝐵2 00000

0000

𝐵3000

𝐵𝑑𝑖𝑙 =1

3

𝐵1 𝐵2 𝐵3𝐵1 𝐵2 𝐵3𝐵1000

𝐵2000

𝐵3000

𝐵𝑎𝑑𝑖𝑙 =

1

3

𝐵1 𝐵2 𝐵3

𝐵1 𝐵2 𝐵3

𝐵1000

𝐵2000

𝐵3000

𝐵 = 𝐵𝑎

𝑑𝑒𝑣 + 𝐵𝑎𝑑𝑖𝑙 ≡ 𝑐𝑎𝑠 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙

= 𝑩𝒂𝒅𝒆𝒗 + 𝑩𝒂

𝒅𝒊𝒍 ≡ 𝒄𝒂𝒔 𝒂𝒎é𝒍𝒊𝒐𝒓é

Fondamentalement, nous reformulons le rapport déplacement /contrainte. Il est

important d’indiquer le rôle de cette transformation : elle permet d’obtenir la valeur

moyenne de la déformation hydrostatique dans tout l’élément, sans pour autant affecter

la déformation déviatorique. Cette reformulation des déformations a pour cause de

corriger les valeurs des déformations volumétriques et d’obtenir des résultats plus

proches d’un calcul analytique.

Il a l’avantage notable de maintenir la même qualité d’intégration sur tout l’élément, car

une fois que la matrice B est réassemblée, la matrice de rigidité élémentaire est calculée

avec le même nombre de points de Gauss. Il nécessite toutefois le calcul de fonctions

d’interpolations 𝑁𝑎 pour trouver nos nouveaux facteurs de la matrice . Ces fonctions

interpolent « l’élément » créé par les points d’intégrations (réduits, pleins, ou plus).

𝐵(𝜉) = ∑𝑁𝑎 (𝜉)𝐵𝑖

𝑛𝑖𝑛

Dans le cas de l’intégration sélective, les nouvelles fonctions d’interpolation sont définies

vis-à-vis du nombre de points de Gauss utilisées dans une intégration réduite.


Le terme 𝐵𝑖 correspond au facteur 𝐵𝑖 (matrice originale) évalué aux points

d’intégration réduite, si l’on souhaite faire un rapprochement avec la méthode

d’intégration sélective.

Bia = Bi(ξa)

De manière plus générale, les facteurs de la matrice sont calculés de la manière

suivante (formule de la dilatation moyenne) :

𝐵𝑖 =∑(𝑚−1)∫ 𝐵𝑖𝑑ΩΩ𝑒

𝑛𝑖𝑛

=1

𝑚 = ∫ Ω𝑒

𝑑Ω

Cette formule n’est pas limitée par le nombre de points d’intégration. Il a l’avantage de

mieux représenter la moyenne des déformations volumétriques de notre élément si

nous choisissons suffisamment de points. La formulation la plus générale reste toutefois

la suivante :

Bi(ξ) =∫ BidΩΩe

∫ dΩΩe

C’est la formulation dite de projection de déformation. Les déformations

volumétriques et les incréments de déformations volumétriques sont projetées sur un

champ de pression approprié, grâce à la méthode des moindres carrées. La valeur

moyenne de Bi est utilisée pour calculer la contribution volumétrique des déformations.

A partir de cette nouvelle méthode, et après l’avoir appliqué à notre cas, nous re-

effectuons le même calcul de convergence pour les six types de maillages que nous

avons générés.





Figure 25– déformations obtenues avec la méthode B-Bar


Figure 26– Evolution déplacement nœud (B-Bar)

En observant les déformées, nous remarquons que la convergence vers la « bonne »

solution est croissante, contrairement à ce que nous avons pu voir dans la convergence

de la méthode d’intégration sélective. La convergence semble s’établir dans ce cas à

partir de 121 éléments. Les valeurs de déformations quant à elles sont

fondamentalement différentes de celles obtenues précédemment. Cette erreur peut

entre autre provenir de l’axisymétrie de notre problème, c’est d’ailleurs pour cette

raison que nous avons choisis ces conditions de bord particulières : elles permettent

d’illustrer les limites de la méthode d’intégration sélective.

Figure 27– axisymétrie du milieu continu


iv- Conclusion sur le verrouillage volumétrique

Le verrouillage volumétrique est un problème rencontré facilement dans un calcul

d’éléments finis dont les matériaux sont proches de l’incompressibilité, notamment pour

les caoutchoucs, certains polymères, ou certains métaux ayant atteint leur limite

d’écoulement. Fondamentalement, ce problème peut être évité de manière « radicale »

en adaptant notre loi constitutive pour intégrer cette nouvelle contrainte et ainsi obtenir

la formulation mixte, plus correcte d’un point de vue mathématique. Etant donné que la

plupart des codes d’éléments finis se basent sur la formulation de la méthode des

déplacements, ceci est un inconvénient. Il existe toutefois des méthodes pour pouvoir

contourner l’addition de cette nouvelle condition, nous permettant ainsi de maintenir la

même forme faible de notre problème issue de la loi constitutive pour matériaux

compressibles. Entre autre, nous faisons appel à des méthodes de pénalités (intégration

sélective) et à des reformulations de déplacements (B-Bar). Il s’avère que certaines de

ces méthodes convergent vers la solution fournie par la formulation mixte, fait démontré

par Malkus et Hughes dans leur théorème d’équivalence.


IV- Conclusion générale

Dans le cadre de ce projet, nous avons eu l’occasion d’étudier deux problèmes de

stabilité rencontrés régulièrement dans un calcul numérique d’éléments finis. Ils ont

tous les deux la particularité de fournir des valeurs de déplacements erronées. Les

modes à énergie nulle (plus particulièrement les modes en sablier ou hourglassing

modes dans le cas d’un élément bilinéaire), est un problème lié au choix d’intégration et

est indépendant du choix de l’élément. C’est un phénomène capable de se produire sous

certaines valeurs de déplacements, et dont la cause, l’intégration réduite, est souvent vu

comme un avantage. L’utilisateur d’un programme d’éléments finis doit toutefois se

munir de précaution lorsqu’il emploie une intégration réduite : des modes à énergie

nulle sont parfois « invisibles » visuellement mais produisent tout de même des résultats

faux. Le calcul d’énergie de déformation peut s’avérer être un outil de vérification

judicieux.

Le verrouillage volumétrique quant à lui est un phénomène qui se manifeste lorsque

nous nous trouvons proche de la limite de l’incompressibilité. C’est un problème lié aux

caractéristiques de notre matériau ainsi qu’à la formulation de notre problème. Proche

de l’incompressibilité, les lois constitutives doivent être modifiées pour intégrer cette

nouvelle contrainte. Ainsi, le programme de calcul peut être soit modifié complétement

pour une formulation mixte, ou peut être adapté, notamment grâce à des méthodes de

pénalité et de reformulation de déplacements, pour maintenir sa structure originale,

basé sur la méthode des déplacements.

Etant donné la récurrence de ces deux d’instabilités et les lourdes conséquences qu’elles

peuvent entrainer, il est intéressant d’établir un lien entre les deux problèmes. Si nous

décidons d’employer une méthode de pénalité dans le problème de verrouillage, les

deux instabilités peuvent être réduites à un choix d’intégration. De ce fait, un choix dans

un problème entrainera une conséquence positive ou négative dans l’autre problème de

stabilité. Si nous choisissons, par exemple, d’intégrer pleinement un milieu

incompressible, nous évitons des modes à énergie nulle, mais notre maillage subit, d’un

excès de rigidité, des déplacements infiniment petits. Il est un important de trouver un

bon compromis pour empêcher d’occasionner les deux phénomènes parallèlement.

Ainsi, nous pouvons envisager les scénarios suivants (matériau incompressible) :

- Calculer la matrice de rigidité avec une intégration réduite uniforme, en

réinjectant la rigidité flexionnelle, grâce à la méthode de Frazlier. Les modes en

sablier sont évités et la réponse est souple .Le cout de calcul subit une très légère

augmentation par rapport au cas de l’intégration réduite simple.

- Calculer la matrice de rigidité avec une intégration pleine uniforme, en

reformulant la matrice de différenciation B pour redéfinir les déformations. On

évite les modes en sablier et de la souplesse dans l’élément est réintroduite.

- Calculer la matrice de rigidité avec une intégration sélective, en décomposant la

matrice de différenciation en partie déviatorique et volumétrique. Les modes en

sabliers sont évités, et le verrouillage est contrôlé par déficience de rang

(intégration réduite).


De manière très simplificatrice, nous avons restreint nos deux problèmes de stabilités à

un choix d’intégration. Ceci est dans le but de rendre plus clair les conséquences du

choix effectué, qui peut être notamment proposé dans un programme d’éléments finis.

Parmi les trois scénarios proposés, le choix de l’utilisateur sera bien sur motivé par le

temps de calcul engendré par chaque méthode, la qualité de ses résultats, et sa vitesse

de convergence.


Références:

THOMAS J.R. HUGHES, The Finite Element Method- Linear Static and Dynamic Finite

Element Analysis, Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs New Jersey, 1987

FRANCOIS FREY & JAROSLAV, Méthode des Eléments Finis- Analyse des structures et

milieux continus, Lausanne, 2001

FRANCOIS FREY, Mécanique des Solides- Analyse des structures et milieux continus,

Lausanne, 2006

DAVID S. MALKUS & THOMAS J.R. HUGHES, “Mixed finite element methods-Reduced and

selective Integration Techniques: A unification of concepts”, Computer Methods in

Applied Mechanics and Engineering, 15, 1978

Remerciements :

Assistant doctorant Jaehyun Cho, merci de m’avoir suivi tout au long de ce projet, de

m’avoir fournie les clés pour le rendre aussi complet.

Professeur Jean-François Molinari, merci de m’avoir encadré pour ce projet et d’avoir

consacré votre temps pour préparer ma présentation en cours de modélisation

numérique des solides.

Le laboratoire LSMS, à tous les collaborateurs, merci pour l’encadrement.

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