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Travaux dirigs de Traitement du Signal

Alain Rakotomamonjy, Komi Gasso et Clment Chatelain

17 septembre 2007

Table des matires

1 Introduction aux signaux temporels 1

1.1 Reprsentations de signaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Energie et Puissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.3 Corrlation et Intercorrlation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.4 Distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2 Transforme de Fourier 3

2.1 Reprsentation frquentielle des signaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.2 Dcomposition en Srie de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.3 Transforme de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.4 Transforme de Fourier, Distributions et autres proprits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3 Systmes Linaires 5

3.1 Proprits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3.2 Convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3.3 Systme et Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3.4 Systme et Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

4 Filtrage Analogique 7

5 Echantillonnage 8

6 Transforme de Fourier Discrte 10

7 Systme numriques et Transforme enz 117.1 Transforme enz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117.2 Transforme enz inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127.3 Systmes Numriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

8 Filtres Numriques 15

1


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1 Introduction aux signaux temporels

1.1 Reprsentations de signaux

1. Reprsenter les signaux suivants en fonction du tempst

(a) T(t 1)

(b) t(t)

(c) (t 2)(t 3)

(d) (t + 3)(t 2)(t + 3)

(e) eat(t 1)

1.2 Energie et Puissance

1. Montrer que pour un signal priodique, la puissance moyenne est gale la puissance du signal sur

une priode.

Rappel : puissance moyenne :

P = limT0

1

T0

T02

T0

2

|x(t)|2dt

puissance du signal sur une priode :

1T

T2

T2

|x(t)|2dt

2. Calculer lenergie et la puissance des signaux suivants :

(a) x(t) = (t)eat a > 0

(b) x(t) =A cos(2fot) a >0, fo> o

(c) x(t) =t(t)

(d) x(t) = T(t)

3. Soit un signal priodique de priode 2T contamin par un bruit additif de type sinusodal b(t) =A cos (2fot)avecAquelconque etfo= 50Hz. Donner le rapport signal sur bruit de lensemble si :

s(t) = T(t) Tt T

avec

T(t) =

O |t|> Tt + T Tt Ot + T 0 t T

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1.3 Corrlation et Intercorrlation

1. Montrer que si x(t)est priodique de priodeTalors la fonction dautocorrlation Cxxest galementpriodique de priodeT.

2. Dmontrer que pour les signaux rels nergie finie, la relation suivante est vrifie :

|Cxy(t)|2 Cxx(0)Cyy(0)

Indication : utiliser les proprits du polynome en

I() =

+

(x(t) + y(t ))2dt

3. Le principe dun radar consiste mettre un signal de courte dureu(t) qui, rflchi par la cible ,revient lmetteur aprs une dure t1proportionnelle la distance de lmetteur la cible . Le signalreu par le radarx(t), tant affaibli et bruit, on utilise le maximum de la fonction de corrlation pourestimer la valeur det1. soitx(t) =A.u(t t1), montrer queCxu()est maximum ent1

4. Calculer les fonctions dautocorrlation des fonctions suivantes :

(a) x(t) = (t)eat

(b) y(t) =cos( t2)2(t)

1.4 Distributions

Exercices

1. Montrer que la drive dun chelon est une impulsion de Dirac.

2. Soit la fonctionfa(t) telle que :

fa(t) =

0 |t|> a21a

a2 t a2

on associe fa(t)la distributionfa(t), dont lexpression est :

fa(t), =

+

fa(t)(t)dt

Montrer que :

fa(t), ,

quandatend vers 0.

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2 Transforme de Fourier

2.1 Reprsentation frquentielle des signaux

(a) Donner lallure du spectre frquentiel des signaux suivants :

a)x(t) = 2sin(2f0t) b)x(t) =sin(4f0t + /3) c)x(t) = 2cos(2f0t) + sin(6f0t) d)x(t) = 1 e)x(t) =sin(2f0t) + b(t),b(t)tant un bruit blanc.

2.2 Dcomposition en Srie de Fourier

(a) Dmontrer les liens entre les coefficient anet bnde la dcomposition en srie de Fourier partirde des coefficientscn.

(b) Dcomposerf(t)en srie de Fourier (T tant la priode du signal)

f(t) =

A |t|< T40 ailleurs

(c) Ttant la priode des diffrents signaux considrs,

i. calculer la dcomposition en Srie de Fourier dex(t)

x(t) =

A 0 t < T2A T2 t < T

ii. en dduire la dcomposition en Srie de Fourier dey(t)

y(t) =

At 0 t < T2At + AT T2 t < T

2.3 Transforme de Fourier

(a) Calculer les transformes de Fourier des signaux suivants

i. x1(t) =eat(t) a >0

ii. x2((t) =ea|t| a >0

iii. x3(t) = 11+t2

iv. x4(t) = 1

22t+t2

(b) Le moment dordrendune fonctiong(t)est dfinie par lequation suivante :

Mn=

+

tng(t)dt

4


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Montrer que, si chaque membre de lgalit existe, alors on a :

Mn = 1

(i2)nG(n)(f)

f=0

oG(n) est la driven-ime de la Transforme de Fourier de g(t)

(c) Montrer que six(t)est rel alors|X(f)|est pair etargX(f)est impaire.

2.4 Transforme de Fourier, Distributions et autres proprits

(a) La modulation en amplitude dun signal est bas sur la relation suivante, qui est demontrer :

x(t)cos2f0t 12X(f f0) +12

X(f+ f0)

(b) Calculer la transforme de Fourier au sens des distributions de la fonction gnralise

x(t) =tn

et en dduire que la transforme de Fourier de1 est une impulsion de Dirac.

(c) Calculer lnergie des signaux suivants :

i. x1(t) = 11+t2

ii. x2(t) =F0sinc(F0t)cos(2f0t)

(d) Calculer la fonction dautocorrlation du signal suivant :

x(t) = 1

1 + t2

et en dduire son nergie.

(e) Montrer que :

+

sin3 (t)

t3 dt=

3

4

et

+

sin4 (t)

t4 dt=

2

3

3 Systmes Linaires

3.1 Proprits

(a) La relation dentre-sortie dun systme est y(t) = x2(t). Montrer que ce systme nest paslinaire.

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(b) Soit le systme dcrit par la relation dentre-sortiey(t) = x(t)cos(t). Dterminer si ce sys-

tme est stable, causal, linaire et invariant.

(c) On considre un systme S, linaire, causal et invariant, dentre x(t)et de sortie y(t). La figure(1) montre x1(t) et la sortie y1(t) correspondante. Dterminer la rponse impulsionnelle dusystme et tracer la sortiey2(t)associe x2(t).

INSERERFIGURE

3.2 Convolution

(a) Evaluez graphiquement le produit de convolution entre deux signaux rectangulaires damplitude

1 et de largeur T.

(b) Soity(t) =x(t) h(t). Montrer quex(t t1) h(t t2) =y(t t1 t2).

(c) Soitx(t)et y(t)deux signaux causaux ( nul pourt 0.

ii. x(t) =et(t)eth(t) =et(t)avec >0.

(e) Soit h(t) un signal triangulaire 2(t) et x(t) un peigne de Dirac de priode T, calculer etreprsentery(t) =x(t) h(t)si T = 3,T = 2 et T = 1, 5.

(f) Soit un systme linaire et invariant dfini par :

y(t) =

t

e(t)x()d

Donner la rponse impulsionnelle du systme et montrer que les fonctions exponentielles com-

plexesest os C sont les fonctions propres du systme.

(g) On dfinit la fonction rectangleR(t)par lquation suivante :

R(t) =

1 12 t

12

0 ailleurs

Tracer la fonctionh(t) = 1TR( tT), et calculer le produit de convolution deh(t)avec un signalquelconquex(t).

3.3 Systme et Fourier

(a) Soit la fonction porteT(t), montrer que la fonctionT(t)scrit :

T(t) = T(t)T(t)

en dduire lexpression de la Transforme de Fourier de T(t)

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FIG . 1 Rprsentation des diffrentes relations entres-sorties dun systme.

3.4 Systme et Laplace

(a) Calculer les transformes de Laplace des fonctions suivantes :

i. x(t) =e2t(t)

ii. x(t) =e2t(t)

(b) Soit un systme dentrex(t)et de sortiey(t), on sait que

dy

dt =

1

T[y(t) x(t)

calculery(t)pourx(t) =(t),(t)ett(t)en sachant quey(0) = 0.

x(t) =(t) x(t) =t(t)

(c) Soit un systme dcrit par lquation diffrentielle suivante :

d2y

dt2 + 3

dy

dt + 2y(t) = 2x(t)

Dterminer les autres modles mathmatiques de ce sytme :

i. sa transmittance (avec ses ples et ses zros).

ii. sa rponse impulsionnelle.

(d) Discuter suivant les valeurs de et de a lallure des rponses dun systme de transmittance 1p+a

(systme du premier ordre) au signal et(t).

(e) Calculer les rponses indicielles (x(t) = (t))et les rponses impulsionnellesx(t) = (t) dessystme du second ordre suivant :

i. S(p) = 1(1+pT)2

ii. S(p) = 1(1+pT1)(1+pT2)

iii. S(p) = 2n

p2+2np+2n]0, 1[

4 Filtrage Analogique

(a) On utilise un filtre passe-bas idal pour filtrer le signalx(t)suivant :

x(t) = sin(at)

t

Dterminer la rponse du filtrey(t)en fonction deaet en dduire dans quelle condition ce filtrene modifie pas le signal dentre.

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(b) Lors de lenregistrement dun signal sonores(t) en studio, un cho sajoute gnralement

celui-ci et le signal rellement enregistr est en fait :

x(t) =s(t) + s(t ) [0, 1] >0

On cherche alors construire un filtre analogique prenant en entre x(t) et traitant lcho demanire ce que la sortie du filtre soit exactement s(t). Dterminer la transmittance et lquationde ce filtre et vrifier que le rsultat est correct.

(c) Considrons un filtre passe-bas idal de frquence de coupurefc = 2. Lentre de ce filtre estun signal carr priodique damplitude 10 et de priode 2. Calculer la sortie du filtre.

Sur lintervalle[0, 2],x(t)scrit :

xT(t) = 10 0< t 1

0 1< t 2

(d) Soit un filtre passe-bas idal et un signal dentrex(t) =e2t(t). Dterminer la frquence decoupure pour que le filtre passe exactement la moiti de lnergie de ce signal.

(e) Soit le filtre RC classique avec en entrex(t)et en sortiey(t):

i. donner sa rponse frquentielle

ii. dterminer sa bande passante -3 dB

iii. dterminer sa bande passante quivalente dfinie par :

Weq = 1

|H(f)max|2

+

0

|H(f)|2df

(f) Soit un filtreH(f)passe-bas idal de frquence de coupure fc = 1T

Soit le signal porte dfini

par :

T(t) =

1 T2 t

T2

0 ailleurs

TracezH(f),X(f)(la TF deT(t)) etY(f)(TF de la sortie du filtre). A laide de la transfor-me inverse, calculer puis tracery(t).

Mmes questions avec un filtre de frquence de coupurefc = 2T

. Conclusion ?

(g) Dterminer lordre minimale et la frquence de coupure dun filtre ayant une rponse plate dans

la bande passante ayant une frquence de coupure de 1dB1kHz et une attnuation minimalede40dB 5 kHz.

(h) Dterminer lordre du filtre de Tchebychev de type I ayant les mme caractristiques.

5 Echantillonnage

(a) Donner la frquence dchantillonnage minimale satisfaisant la condition de Shannon pour le

signal :

x(t) =sin t

t

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(b) En montrant que T(t) = T(t) T(t), dduire la frquence minimale dchantillonage

permettant de respecter le thorme de Shannon du signal :

x(t) =sin2(Fot)

2t2

(c) Soit un signal rel x(t) support spectral born dont la frquence maximale est de Fmax. Quelleest la frquence maximale des signaux suivants :

i. dx(t)

dt

ii. x(t) cos(2f0t)

iii. x(2t)

iv. x2

(t)(d) Soit un signal x(t) compos dune combinaison linaire de signal cosinusoidal de frquence

300 Hz, 400 Hz, 1.3 kHz, 3.6 KHz. Ce signal est echantillonn une frquenceFe puis, pass travers un filtre passe-bas idal de frquence de coupure Fcgnrant ainsi un signaly(t). Quellesont les composantes prsentes dansy(t)si :

i. Fe = 2kH zet Fc = 900Hz

ii. Fe = 2kH zet Fc = 1500Hz

iii. Fe = 4kH zet Fc = 500Hz

(e) Soit le signalx(t)dfinie comme :

x(t) = cos(2f0t) + T1(t) + T2(t)

Donner lexpression mathmatique de la condition que doit respecter la frquence dchantillon-

nage pour satisfaire le thorme de Shannon. (on considrera que les spectres support non

born seront ngligeable partir de 1% de leur valeur maximale.)

(f) Soit le signalx(t)de transforme de FourierX(f). On considre le signaly(t)dont la transfor-me de Fourier est :

Y(f) = 1

TX(f)

k=+k=

(f k

T)

i. en dduire la formule sommatoire de Poisson :

1

T

k=

X(f k

T) =

k=

x(kT)ej2kfT

ii. Supposons que lon ait :

z(t) =

n=

x(nT)h(t nT)

donner lexpression deZ(f)en fonction deX(f)etH(f).

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iii. Montrer que si X(f) est support born sur [B, B] et si 1T

> 2B, alorsx(t) peut tre

reconstruit exactement partir des chantillons{x(nT)}nZ.iv. Montrer alors que :

x(t) =

n=

x(nT)h(t nT) avech(t) =sinc(2Bt)

(g) Soitx(t)un signal connu sur une dure Tde support frquentiel born sur[B, B]

i. On chantillonnex(t) la frquenceFe. Sachant quil y aNchantillons sur la dureT demesure, quelle relation doit on avoir entreN,T etB pour ne pas perdre dinformation surle signal ?

ii. Le fait de ne conserver queN chantillons quivaut tronquer le signal chantillonn parune fentre rectangulaireh(t) telle que :

h(t) =

1 0 t < N Te0 ailleurs

Donner lexpression du signal chantillonn tronqu xet(t)et de son spectre Xef(f)(T e=1Fe

). On montrera galement que :

Xet(f) = 1

Te

n=

Xh

f

n

Te

avecXh(f) =X(f) H(f)

iii. Dans le cas pratique, on ne peut pas valuer analytiqueXet(f) en tout point f. On chan-tillonne Xet(f) la frquence f0, et on obtient un ensemble de points dvaluation de{Xet(nf0)}nZ. Quelle relation doit on avoir entre f0 et T pour ne pas perdre dinforma-tion sur le spectre deXet(f) ?

(h) Soit un signalx(t) chantillonn une frquence F e donne. Le signal chantillonne passeensuite travers un filtre de rponse impulsionnelle h(t). On appelle y(t) la sortie du filtre.Donner une expression analytique de y(t)dans les cas suivants :

i. x(t) =sinct

Fe=

1

H(f) = F(f)

ii. x(t) =sinc t Fe=

1

H(f) = 2F(f)

6 Transforme de Fourier Discrte

(a) Dmontrer que siy[n] =nx[n]alors la Transforme de Fourier Temps Discrets de y[n]scrit

Y(f) = i

2

dX(f)

df

(b) Calculer la transforme de Fourier temps discret de

i. [n] + 6[n 1] + 3[n 2]

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ii. an[n]avec|a|< 1

iii. an[n 1]avec|a|> 1

iv. (n + 1)an[n]

Pour calculer ces TF temps discrets, on peut utiliser la transforme en z et poser ensuitez = ei2f si le cercle unit appartient la rgion de convergence.

(c) On cherche tirer profit des proprits de la Transforme de Fourier pour le calcul

i. Calculer la Transforme de Fourier temps discrets deN[n]avecNpair.

ii. En dduire le signalx[n]dont la TFtdX(f)scrit :

X(f) = 1 18 |f|

38

0 ailleurs

(d) Trouver le signal x[n] dont la transforme estcos2 (2f)

(e) Calculer la transforme de Fourier Discrte de ces signaux :

i. an avec0 n < N

ii. [n][n n0]avec0< n0< N

(f) Calculer la TFD du signal

x[n] = cos(2f0n) avec0 n < N

Comparer le resultat sif0= k0N

et sif0 = k0N

aveck0 N etk0< N. Expliquer la diffrence.

(g) On veut numriser un signal temporelx(t)dont la bande spectrale est [20 10000] Hz .

i. quelle frquence faut il lchantillonner pour ne pas perdre dinformation ?

ii. Si on lchantillonne la frquence minimale pendant 0.1 secondes, de combien dchan-

tillons est constitu le signal discret ?

iii. On effectue la TFD de ce signal et on obtient un signal discret{X[k]}k=0...N1. A quellefrquence correspond lindicek = 150. Etk = 800 ?

iv. Quelle est la rsolution entre deux chantillons spectrales ?

(h) A lentre dun systme discret de rponse impulsionelle discret h[n] ={1, 2, 3, 4}, on appliquele signalx[n] ={1, 0, 1, 1, 1, 1, 2, 1}

i. Dterminer la sortie du systme au moyen dune convolution linaire

ii. Dterminer la sortie du systme au moyen dune convolution circulaire

iii. Comparer et conclure

(i) On considre un signalm(t), temps continu, de spectreM(f). On note

x(t) = (1 + k m(t))cos (2f0t))

le signal modul en amplitude parm(t)avec porteuse etX(f)sa transforme de Fourier.

i. Donner lexpression deX(f)en fonction dek,f0 et M(f)

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ii. On suppose quef0= 50kH zet que le signalm(t)est de la forme :

m(t) = cos(2f1t) + 1.8cos(2f2t) + 0.9cos(2f3t)

avecf1= 2310Hz,f2= 3750Hzet f3= 4960Hz. DterminerX(f)

iii. En dduire la dure minimale dobservation du signal qui permet de distinguer, par analyse

de Fourier les frquences prsentes dans le spectre dex(t).

iv. Quelle est la longueur de transforme de Fourier rapide faut -il prendre afin de lire le spectre

avec une prcision de100Hz

v. Ecrire un programme qui trace le spectre du signal modul.

(j) Montrer que le calcul dune transforme de Fourier discrte dordreL= 2M peut tre rduit au

calcul de 2 TFD dordre N2. Tracer le diagramme correspondant aux termes de la transforme deFourier rapide surL = 8points frquentiels.

7 Systme numriques et Transforme en z

7.1 Transforme en z

(a) Donner la transforme enz et la rgion de convergence des signaux suivants :

i. x1[n] =12

n[n] +

13

n[n]

ii. x2[n] = 13

n[n] +

12

n[n 1]

iii. x3[n] =12

n [n] +

13

n [n 1]

(b) Soit

x[n] =a|n| a C

calculerX(z)et donner sa rgion de convergence.

(c) Calculer la TZ des signaux suivants :

i. x1[n] =[n] + 2[n 1]

ii. x2=

1 n [N, N]0 sinon

iii. x3= [n] n[n] + 13n [n 2]

iv. x4= (0.5)nn[n]

(d) Soit X(z) la transforme en z du signal discret x[n]. Exprimer la transforme en z du signaldiscrety[n] = n2x[n]enfonctiondeX(z).

7.2 Transforme en zinverse

(a) Trouver la TZ inverse de :

X(z) =z2(10.5z1)(1 z1)(1 + 2z1)

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(b) En utilisant la mthode de dcomposition en lements simples, calculer la TZ inverse de :

i. X1(z) = z2z23z+1 |z|< 0.5

ii. X2(z) = z

2z23z+1 |z|> 1

iii. X3(z) = z

(z1)(z2)2 |z|> 2

iv. X4(z) = 2z35z2+z+3

(z1)(z2) |z|< 1

v. X5(z) = 3z2 |z|> 2

7.3 Systmes Numriques

(a) Un systme discret est dcrit par lquation :

y[n]0.75y[n 1] +1

8y[n 2] =x[n]

i. Dterminer la rponse en frquence du systme

ii. Calculer la rponse impulsionelleh[n]du systme

(b) Soit le systme discret :

y[n] =x[n] + x[n 1]

i. Dterminer la rponse en frquence du systme

ii. Calculer la rponse impulsionelleh[n]du systme

iii. Tracer le diagramme de Bode deh[n]iv. Donner la bande passante 3dB du systme

(c) Si un systme linaire a pour signal dentre :

x[n] =

1

2

n[n] + 2n[n 1]

et pour signal de sortie :

y[n] = 6

1

2

n[n]6

3

4

n[n]

calculer la fonction de transfert H(z)du systme et dterminer si le systme est stable et causal.(d) Considrons le systme linaire et invariant dfini par :

H(z) = z1 a

1 az1 |a|< 1

i. Proposer lquation au diffrence dfinissant ce systme

ii. Montrer que ce filtre est un filtre passe-tout (i.e son spectre frquentiel est constante et vaut

1)

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iii. On met un filtre de fonction de transfertG(z) en cascade avec H(z) de telle sorte que la

fonction de transfert de lensemble est gale 1. Si G(z) est stable, calculer sa rponseimpulsionelle.

(e) Soit un systme de fonction de transfert :

H(z) =(12z2)(1 + 0.4z1)

10.85z1

Montrer que H(z)peut scrire comme le produit de deux systmes lun tant phase minimale,lautre passe-tout.

(f) Soit un systme de fonction de transfert :

H(z) =(3 + z1)(23z1)10.5z1

Montrer que H(z)peut scrire comme le produit de deux systmes lun tant phase minimale,lautre phase linaire.

(g) Suite au surchantillonnage dun signal discretx[k]ralis en intercalant un zro entre chacunde ses chantillons, on obtient le signal discrety[n]:

y[n] =

x[n/2] sin= 2k (npair)0 sin= 2k+ 1 (nimpair)

En remplaant les chantillons nuls du signal discret par une valeur obtenue par interpolationlinaire, on obtient le signal discret z[n]:

z[n] =

y[n] (sin pair)y[n1]+y[n+1]

2 (sin impair)

i. Montrer que linterpolation linaire nest rien dautre quun filtrage du signaly[n]. En d-duire la rponse impulsionelle h[n] du filtre correspondant et dterminer sa rponse fr-quentielleH(ej)puis tracer son spectre en amplitude.

ii. Exprimery[n]en fonction dex[n2 ]et en dduire lexpression de la transforme de FourierY(f)de y[n]en fonction deX(f).

iii. six[k]est un signal discret tel que X(f) = rect(2f), tracer|Z(f)|et en dduire le rle dufiltre interpolateur.

(h) On considre un systme discret rgit par lquation aux diffrences suivante :

y[n] =1

3(x[n + m] + x[n + m 1] + x[n + m 2]) m Z

i. Montrer quil sagit dun systme linaire invariant et discret

ii. Etudier les proprits de causalit et de stabililit du systme selon le paramtrem

iii. Calculer la rponse frquentielle du systme pourm= 0et m= 1

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iv. Tracer le spectre damplitude pourm = 1. Quelle est la fonction de ce systme ?

(i) Soit un systme discret dfini par lquation aux diffrences suivante :

y[n] y[n 1] =1

2(x[n] + x[n 1] x[n 2]) x[n 3])

i. Calculer les premiers lements de la rponse impulsionelle causale du systme (jusqu

n= 8et en dduire son expression en fonction de limpulsion de Dirac[n]

ii. Calculer la rponse frquentielle du systme et tracer son spectre en amplitude. Quel est le

rle de ce systme ?

iii. Montrer que lon peut rcrire lquation aux diffrences sous une forme qui permet diden-

tifier le systme un filtre rponse impulsionelle finie.

(j) Soit un circuit RLC srie (AN : R= 100 , L=1H, C=1F). Supposons que lon applique unetension dentrex(t)au borne de ce systme et que lon recueille la sortiey(t)aux bornes de lacapacit C.

i. Ecrire lquation diffrentielle associe ce systme.

ii. Si lon considre la priode dchantillonnageTe = 104, tablir par la mthode dquiva-

lence de la drivation lquation aux diffrences du systme discret quivalent.

iii. Donner lexpression de la rponse impulsionelle obtenue comme solution causale de lqua-

tion aux diffrences

iv. Discuter de la stabilit du systme en utilisant la transforme enz.

(k) Soit un systme discret dfini par lquation aux diffrences suivante :

y[n] =x[n] + ay[n 1] a >0

i. Calculer la rponse impulsionelle causale du systme

ii. Quelle est la condition de stabilit du systme ?

iii. Calculer la rponse du systme au signal x[n] = [n]ej0n sachant que la condition initialeesty[n] = 0 pourn 1, N N

i. Donner lexpression de la rponse impulsionelle du systme. En dduire si le systme est

un filtre rponse impulsionelle finie ou rponse impulsionelle infinie.

ii. Calculer la rponse frquentielle du systme en fonction du paramtre N.

iii. Tracer le spectre en amplitude du systme pourN= 4.

iv. Pourquoi appelle-t-on ce systme filtre en peigne ? Quelle est linfluence deN

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8 Filtres Numriques

(a) Soit un filtre dont la rponse relation entre sortie esty[n] ay[n 1] =x[n]

i. Donner une expression de la rponse frquentielle de ce filtre.

ii. Calculer sa rponse impulsionnelle et en dduire si cest un filtre RIF ou RII .Tracer le

module de H(f) poura= 0.9eta = 0.5

(b) Soit un filtre passe-bas discret dont la rponse impulsionnelle est h[n]. Montrer que le filtre dontla rponse impulsionnelle est donne par :

g[n] = (1)nh[n]

est un filtre passe haut.

(c) Un systme a pour rponse enz :

H(z) = b + z1

1 az1

o a est un rel de strictement infrieur 1. Trouver b pour que le systme dfinisse un filtrepasse-tout.

(d) Un systme numrique est dcrit par sa rponse impulsionnelle :

h[n] ={2, 2, 2, 2}

la premire valeur tanth[0]. Calculer la rponse frquentielle de ce filtre et tracer son moduleet sa phase. En dduire son type.

(e) Considrons le systme continu dfini par H(p) = p. Donner la rponse impulsionnelle etfrquentielle du filtre numrique obtenu par transformation bilinaire et tracer son module.

(f) Montrer que la transformation bilinaire dun systme continu dfini par une fonction rationnelle

H(p)permet de conserver la stabilit.

(g) La rponse impulsionelle dun filtre est :

h[0] =a h[1] =b h(2) =b h(3) =a eth[n] = 0n {0, 1, 2, 3}

i. Montrer que la phase de ce filtre est linaire en fonction de la frquence.ii. Pour quelle valeur deaetb, ce filtre est il un filtre passe-haut ?

(h) On cherche raliser un filtre numrique quivalent au filtre analogique de transmittance :

HA(p) = 1

1 + 0.2p

i. Reprsenter le module de ce filtre en fonction de la frquence.

ii. Calculer la rponse en z de ce filtre obtenue par transformation bilinaire pour une fr-

quence dchantillonnageTe = 0.2. quelle est sa frquence de coupure ?

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iii. Calculer la rponse en z dun filtre similaire de mme frquence de coupure que le filtre

analogique.

On rappelle que la correspondance entre frquence analogique et frquence numrique est :

2fA= 2

Tetan

2fNTe

2

(i) Utiliser la mthode des fentres pour calculer la rponse impulsionnelle dun filtre rel FIR

causal dordre 24 approchant le filtre idal suivant :

|H(f)|=

1 |f| 1100 110 < f

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