Mathematiques discre`tesSuites et sommes

Cours 12, MATH/COSC 1056F

Julien Dompierre

Departement de mathematiques et dinformatiqueUniversite Laurentienne

2 octobre 2007, Sudbury

Definition : suite

DefinitionUne suite est une fonction definie sur un sous-ensemble delensemble des entiers (habituellement lensemble {0, 1, 2, ...} oulensemble {1, 2, 3, ...}) dans lensemble S . On utilisera la notationan pour representer limage du nombre entier n. On appelle an unelement de la suite.

On utilise la notation {an} pour designer une suite, ce qui est encontradiction avec la notation dun ensemble.

Quelques suites classiques

n 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10n2 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100n3 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000n4 1, 16, 81, 256, 625, 1296, 2401, 4096, 6561, 100002n 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 10243n 3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187, 6561, 19683, 59049n! 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320, 362880, 3628800

Une extraordinaire base de donnees de plus de 100000 suitesentie`res differentes se trouve sur lOnline Encyclopedia of IntegerSequences. www.research.att.com/~njas/sequences

Definition : progression geometrique

DefinitionUne progression geometrique est une suite de la forme

a, ar , ar2, ar3, ..., arn, ...

ou` a (lelement initial) et r (la raison) sont des nombres reels.

Definition : progression arithmetique

DefinitionUne progression arithmetique est une suite de la forme

a, a+ d , a + 2d , ..., a + nd , ...

ou` a (lelement initial) et d (la difference commune) sont desnombres reels.

Definition : somme

DefinitionLa notation servant a` exprimer la somme des termesam, am+1, , an de la suite {an} est

nj=m

aj

qui signifieam + am+1 + ...+ an.

Ici, la variable j est appelee lindice de la sommation et le choixde la lettre j est arbitraire. Notez que lindice de la somme incluttous les nombres entiers commencant par la limite inferieur m etse terminant par la limite superieure n.

Somme et arithmetique

Les re`gles habituelles de larithmetique sappliquent auxsommations :

nj=1

axj = an

j=1

xj

nj=1

(xj + yj) =n

j=1

xj +n

j=1

yj

nj=1

(axj + byj) = an

j=1

xj + bn

j=1

yj

Notez cependant quen general

nj=1

xjyj 6= n

j=1

xj

nj=1

yj

Somme des n premiers entiers

La somme S des n premiers entiers est donnee par

S =n

i=1

i = 1 + 2 + 3 + + (n 1) + n = n(n+ 1)2

Somme dune progression arithmetique

La somme S des n+ 1 premiers termes dune suite arithmetiqueest donnee par

S =n

i=0

(a + id) = a + (a + d) + (a + 2d) + + (a + nd)

=n

i=0

a +n

i=0

id = (n + 1)a + dn

i=0

i

= (n + 1)a + dn

i=1

i = (n + 1)a + dn(n + 1)/2

=(n + 1)(2a + dn)

2

Somme dune progression geometriqueLa somme S des n+ 1 premiers elements de la progressiongeometrique est donnee par

S =n

j=0

ar j =

a(n + 1) si r = 1

a

(rn+1 1r 1

)si r 6= 1.

Demonstration.

rS = rn

j=0

ar j =n

j=0

rar j =n

j=0

ar j+1

rS =n+1j=1

ar j = arn+1 +n

j=1

ar j = arn+1 a +n

j=0

ar j

rS = a(rn+1 1) + S

Quelques formules de sommation

nk=1

k2 =n(n + 1)(2n + 1)

6

nk=1

k3 =n2(n + 1)2

4

k=0

xk =1

1 x , |x | < 1k=1

kxk1 =1

(1 x)2 , |x | < 1

Definition : produit

DefinitionLa notation servant a` exprimer la produit des elements de lasuite {an} est

nj=m

aj

qui signifieam am+1 ... an.

Ici, la variable j est appelee lindice du produit et le choix de lalettre j est arbitraire. Notez que lindice du produit inclut tous lesnombres entiers commencant par la limite inferieur m et seterminant par la limite superieure n.

Definition : Cardinalite

DefinitionDeux ensembles A et B sont de meme cardinalite si et seulementsi il existe une bijection de A vers B .

DefinitionUn ensemble qui est fini ou qui a la meme cardinalite quelensemble des nombres naturel N est appele un ensembledenombrable. Un ensemble qui nest pas denombrable est appeleun ensemble non denombrable. Quand lensemble S est infini etdenombrable, on note la cardinalite de S par 0 (ou` est aleph, lapremie`re lettre de lalphabet hebreu). On ecrit |S | = 0 et on ditque la cardinalite de S est aleph zero.