RAPPEL DE QUELQUES NOTIONS ESSENTIELLES DE MATHEMATIQUES

LES SUITES NUMERIQUES

I- gnralits

Une suite est dfinie comme tant une collection (infinie) dobjets mis dans un ordre donn . Au cas o ces objets sont des nombres, on parle d une suite numrique. La suite numrique peut donc, tre dfinie comme tant une liste ordonne de nombres.

La notation habituelle est, au cas o la suite sappelle (U): ( Un )qui se lit: U indice n ou terme dindice n de la suite U

Si la suite (U ) a pour ensemble dindices lensemble des entiers naturels N, on a la suite: U1, U2 , U3 , Un, .. et chacun de ces derniers ( U1, U2 , U3 , Un, ..) est dit terme ou lment de la suite: U1 est le premier terme ou le premier lment de la suite U2 est le second terme ou le second lment de la suite U3 est le troisime terme ou le troisime lment de la suite U4 est le quatrime terme ou le quatrime lment de la suite . . . Un est le nime terme ou le nime lment de la suite . .etc Il faut faire attention que la notation ( Un ) correspond lensemble des termes de la suite alors que la notation Un correspond au terme dindice n de la suite. Ceci tant, signalons que les suites qui seront vues dans ce cours seront des suites du type numrique dont la caractristique principale est lexistence dune relation entre chaque terme et celui qui le prcde. Au cas o chaque terme de la suite ( sauf le premier) est gal celui qui le prcde plus un nombre toujours constant pour toute la suite, on dit quon est en prsence dune suite arithmtique et le nombre constant est appel la raison de la suite ( la raison dans le cadre dune suite arithmtique est souvent note r ) . Par contre, si chaque terme est gal celui qui le prcde multipli par une constante ( la mme pour toute la suite), on dit quon a une suite gomtrique et la constante est appele la raison de la suite ( souvent la raison dune suite gomtrique est note q ).

II- Suites arithmtiques: a) dfinition: Une suite arithmtique ( ou parfois appele progression arithmtique ) est une suite de nombres ordonns tel que chacun dentre eux ( sauf le premier) est gal au prcdent augment dun nombre constant non nul appel raison (r ) exemple: 4, 7, 10, 13, 16, 19, et la raison r est gale 3 Une suite arithmtique peut tre dfinie par son premier terme, et par sa raisoncest dire quon peut calculer tous les termes dune suite arithmtique en connaissant un terme quelconque (on donne souvent le premier) et la raison.

b) sens de variation: La suite arithmtique peut tre croissante, dcroissante, ou constante: Au cas o la raison est positive ( un nombre positif) la suite est croissante: chaque terme est suprieure au terme qui le prcde. Au cas o la raison est ngative (un nombre ngatif) la suite est dcroissante: chaque terme est infrieure au terme qui le prcde. Au cas o la raison est nulle ( un nombre gal zro ) la suite est constante: chaque terme est gal celui qui le prcde.

c) expression du nime terme en fonction du premier: Soit U1 le premier terme dune suite arithmtique de raison r On a: U2 = U1 + r U3 = U2 + r or U2 = U1 + r donc U3 = U1 + r + r = U1 + 2 r U4 = U3 + r or U3 = U1 + 2 r donc U4 = U1 + 2 r + r = U1 + 3 r U5 = U4 + r or U4 = U1 + 3 r donc U5 = U1 + 3 r + r = U1 + 4 r . . . Un = Un-1 + r = U1 + ( n - 1 ) rexemple: soit une suite arithmtique dfinie par U1 = 2 et r = 3 . Dterminer Un au cas o n = 142.On a: Un = U1 + ( n - 1) r = 2 + ( 142 1) x 3 = 2 + 141 x 3 = 425 d) calcul de la somme des termes: Avant de calculer la somme de lensemble des termes dune suite arithmtique, il faut remarquer que la somme des termes quidistants ( termes gale distance par rapport au milieu de la suite) est toujours la mme, cest dire que si on calcule la somme du premier et du dernier termes on trouve quelle est gale celle du deuxime et de lavant dernier termes etc Ou aussi: U1 + Un = U2 + Un-1 = U3 + Un-2 = U4 + Un-3 = Donc: S = U1 + U2 + U3 + U4 + U5 + U6 +Un-1 + Un S = Un + Un-1 + Un-2 + Un-3 + Un-4 + Un-5 +U2 + U1________________________________________________________

2 S = ( U1 + Un ) nS = ( U1 + Un ) n 2exemple: Soit une suite arithmtique dfinie par son premier terme U1= 2 et par sa raison r = 3Calculer U100 ainsi que la somme des 100 premiers termes de cette suite. U100 = 2 + (100 1) 3 = 2 + 99* 3 = 299 car Un = U1 + ( n - 1) r S = ( 2 + 299) 100 = 15 050 2III- Suites gomtriques: a) dfinition: Une suite gomtrique ( ou parfois appele progression gomtrique ) est une suite de nombres ordonns tel que chacun dentre eux ( sauf le premier) est gal au prcdent multipli par un nombre positif constant non nul appel raison (q) exemple: 4, 8, 16, 32, 64, 128, et la raison q est gale 2 Une suite gomtrique peut tre dfinie par son premier terme, et par sa raisoncest dire quon peut calculer tous les termes dune suite gomtrique en connaissant un terme quelconque (on donne souvent le premier) et la raison.

b) sens de variation: La suite gomtrique peut tre croissante, dcroissante, ou constante: Au cas o la raison est strictement suprieure 1 ( q > 1) la suite est croissante: chaque terme est suprieure au terme qui le prcde. Au cas o la raison est strictement suprieure 0 et strictement infrieure 1 ( 0 < q < 1) la suite est dcroissante: chaque terme est infrieure au terme qui le prcde. Au cas o la raison est gale 1 ( q = 1 ) la suite est constante: chaque terme est gal celui qui le prcde.

c) expression du nime terme en fonction du premier: Soit U1 le premier terme dune suite gomtrique de raison q On a: U2 = U1 . q U3 = U2 . q or U2 = U1 . q donc U3 = U1 . q . q = U1 .q2 U4 = U3 . q or U3 = U1 . q2 donc U4 = U1 . q2. q = U1 .q3 U5 = U4 .q or U4 = U1 .q3 donc U5 = U1 . q3. q = U1 .q4 . Un = U1 . qn-1exemple: soit une suite gomtrique dfinie par U1 = 2 et r = 3 . Dterminer Un au cas o n = 10.On a: Un = U1 . qn-1 = 2 39 = 2 19 683 = 39 366 d) calcul de la somme des termes:

cas o la raison q > 1: S = U1 + U1 q + U1 q2 + U1 q3 + U1 qn-1q S = U1 q + U1 q2 + U1 q3 +U1 qn-1 + U1 q nq S S = - U1 + U1 q n S ( q 1) = U1 ( q n 1) donc: S = U1 ( q n 1) q 1 cas o la raison 0 < q < 1 dans ce cas on a: q S < SS = U1 + U1 q + U1 q2 + U1 q3 + U1 qn-1q S = U1 q + U1 q2 + U1 q3 +U1 qn-1 + U1 q nS q S = U1 U1 q n S ( 1 q ) = U1 ( 1 q n ) donc: S = U1 ( 1 q n ) 1 q cas o la raison q = 1 dans ce cas on a: U1 = U2 = U3 = U4 = U5 =Un-1 = Un donc S = U1 + U1 + U1 + U1 +U1 n fois et S = n U1

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