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Leçon 241: Suites et séries de fonctions. Exemples, contre-exemples. Adrien Fontaine 14 novembre 2012 1

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Leçon 241: Suites et séries de fonctions.Exemples, contre-exemples.

Adrien Fontaine

14 novembre 2012

1

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Table des matières1 Modes de convergences, propriétés 3

1.1 Suites de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Continuité et dérivabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Séries de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Intégrabilité de suites et séries de fonctions 62.1 Convergences dans un espace mesuré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2 Théorèmes principaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.3 Interversion

∫et ∑ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3 Séries entières et fonctions holomorphes 83.1 Séries entières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.2 Fonctions holomorphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

4 Séries de Fourier 124.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124.2 Théorèmes principaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124.3 Théorie L2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

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1 MODES DE CONVERGENCES, PROPRIÉTÉS 3

On considère des fonctions à valeurs dans K = R ou C.

1 Modes de convergences, propriétés

1.1 Suites de fonctionsX désigne un ensemble quelconque, f une fonction de X dans K et (fn) une suite de fonctions

de X dans K.Définition 1

On dit que (fn) converge simplement (sur X) vers f si pour tout x ∈ X, la suite fn(x) convergevers f(x), en d’autres termes si

∀ε > 0,∃N ∈ N,∀n ≥ N, | fn(x)− f(x) |< ε

Définition 2On dit que (fn) converge uniformément sur X vers f si

∀ε > 0,∃N ∈ N, ∀n ≥ N, ∀x ∈ X, | fn(x)− f(x) |< ε

Proposition 1La convergence uniforme entraîne la convergence simple.

La réciproque est fausse comme le montre le contre-exemple suivant :Exemple 1

La suite de fonctions fn : [0, 1[→ R définie par fn(x) = xn converge simplement vers 0 sur[0, 1[, mais pas uniformément car pour tout n ∈ N, il existe x ∈ [0, 1[ tel que | fn(x)− 0 |≥ 1/2(la définition n’est plus vérifiée dès que ε < 1/2).

Proposition 2 (Critère de Cauchy uniforme)(fn) converge uniformément vers f sur X, si et seulement si,

∀ε > 0,∃N ∈ N,∀p, q ≥ N, ∀x ∈ X, | fp(x)− fq(x) |< ε

Démonstration : Gourdon, proposition 1p221

1.2 Continuité et dérivabilitéOn suppose désormais que X est muni d’une métrique d.

Théorème 1Si (fn) converge uniformément vers f sur X et si toutes les fonctions fn sont continues enx0 ∈ X, alors f est continue en x0.

Démonstration : Gourdon, théorème 2p222

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1 MODES DE CONVERGENCES, PROPRIÉTÉS 4

Corollaire 1Si (fn) est continue sur X et si (fn) converge uniformément vers f sur X, alors f est continuesur X.

Exemple 2 (Limite simple d’une suite de fonctions continues qui est discontinue)La suite de fonctions fn : [0, 1[→ R définie par fn(x) = xn est continue et converge simplementvers la fonction égale à 0 sur [0, 1[ et à 1 en 1, qui n’est pas continue.

Démonstration : Hauchecorne, 12.1p231

On a cependant, une réciproque partielle :Théorème 2 (Théorèmes de Dini)

1. Soit (fn) une suite croissante de fonctions réelles continues et définies sur un segmentI = [a, b] de R. Si (fn) converge simplement vers une fonction f continue sur I, alors laconvergence est en fait uniforme.

2. Soit (fn) une suite de fonctions croissantes réelles, continues et définies sur un segmentI = [a, b] de R. Si (fn) converge simplement vers une fonction f continue sur I, alors laconvergence est en fait uniforme.

Démonstration : Gourdon, exercice5p228

Exemple 3La suite de fonctions (fn) définie sur [0, 1] par fn(x) = (1 + x

n)n est continue sur [0, 1], et

converge simplement vers ex sur [0, 1] qui est une fonction continue, donc la convergence esten fait uniforme.

Théorème 3 (Dérivabilité et dérivée de la fonction limite)Soit (fn) une suite de fonctions de classe C1 d’un segment [a, b] de R dans K. On suppose que

– il existe x0 ∈ [a, b] tel que la suite (fn(x0)) converge.– la suite de fonctions (f ′n) converge uniformément sur [a, b] vers une fonction g.

Alors, fn converge uniformément sur [a, b] vers une fonction f de classe C1 et vérifiant f ′ = g.

Démonstration : Gourdon, théorème 4p223

Corollaire 2Soit p ∈ N∗ et (fn) une suite de fonctions de classe Cp d’un segment [a, b] de R à valeurs dansK. On suppose que pour tout k ∈ 0, ..., p, la suite de fonctions (fn)(k) converge uniformémentvers une fonction gk sur [a, b]. Alors la limite uniforme f = g0 de (fn) est de classe Cp et vérifief (k) = gk pour tout k ∈ 0, ..., p.

Exemple 4IL existe une suite de fonctions (fn) de classe C1 sur R ayant pour limite uniforme une fonctiondérivable, alors que la suite f ′n) des fonctions dérivée ne converge pas.On considère la suite de fonctions (fn)n≥1 de R dans R définie par fn(x) = sin(nx)√

n.

Démonstration : Hauchecorne, 12.14p240

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1 MODES DE CONVERGENCES, PROPRIÉTÉS 5

1.3 Séries de fonctionsComme pour les séries numériques, une série de fonctions ∑ gn est définie comme étant la

suite de fonctions (fn) avec fn = g0 + ...+ gn. On définit donc de manière analogue aux suites defonctions, la notion de série de fonctions simplement convergente et uniformément convergente.Ondispose par ailleurs du théorème suivant, pour caractériser la convergence uniforme des séries defonction :Théorème 4

Si la série de fonctions ∑ fn converge simplement sur X et si sa somme est la fonction S, lasérie ∑ fn converge uniformément sur X, si et seulement si, la suite de fonctions ∑p≥n+1 fpconverge uniformément sur X vers la fonction nulle de X dans R.

Démonstration : Hauchecorne, théorème 13.1p251

Définition 3On dit qu’une série de fonctions ∑ fn converge normalement si ∑ ‖fn‖∞ converge.

Exemple 5La série de fonction ∑ fn définie sur [0, 1] par fn(x) = xn

n2 converge normalement sur [0, 1] car‖fn‖∞ = 1

n2 donc ∑ ‖fn‖∞ converge.

Théorème 5Une série de fonctions ∑ fn qui converge normalement sur X converge uniformément sur X.

Démonstration : Gourdon, théorème 1p222

Exemple 6La série de fonctions ∑ fn où fn est définie sur R+ par fn(x) = (−1)n x

n2+x2 , converge unifor-mément sur R+ tout entier mais la convergence n’est pas normale sur R+.

Théorème 6Si (fn) est une suite de fonctions définies et continues sur une partie X de R et si la série ∑ fnconverge uniformément sur X, sa somme est une fonction continue sur X.

Démonstration : Hauchecorne, théorème 13.3p256

Exemple 7Le résultat est faux si l’on remplace l’hypothèse de convergence uniforme par de la convergencesimple, comme le montre le contre-exemple suivant :Soit (fn) une suite d’applications continues de [0, 1] dans R, de terme général fn(x) = (1−x)xn.Alors ∑ fn converge simplement vers une fonction qui n’est pas continue.

Démonstration : Hauchecorne, 13.9p257

Théorème 7Soit une série de fonctions ∑ fn définie sur [a, b] un intervalle compact de R. On suppose queles fn sont de classe C1 sur [a, b] et qu’il existe x0 ∈ [a, b] tel que ∑ fn(x0) converge. Si la série

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2 INTÉGRABILITÉ DE SUITES ET SÉRIES DE FONCTIONS 6

de fonction ∑ f ′n converge normalement sur [a, b], alors ∑ fn converge normalement sur [a, b]vers une fonction C1 sur [a, b] et on a (∑ fn)′ = ∑

f ′n.

Les séries de fonctions s’avèrent aussi extrêmement utiles pour fournir des exemples "patholo-giques" de fonctions, comme par exemple une fonction continue partout dérivable nulle part 1

Exemple 8On note ∆ la fonction définie sur R 1-périodique, dont la restriction à [−1/2, 1/2] vérifie∆(x) =| x |. Alors la fonction ∑p≥0

∆(2px)2p est continue partout dérivable nulle part.

Démonstration : Gourdon, exercice 9p84

2 Intégrabilité de suites et séries de fonctionsCadre : (X,A, µ) désigne un espace mesuré.

2.1 Convergences dans un espace mesuréSoient f : X → K et (fn) une suite de fonctions de X dans K.

Définition 4On dit que fn converge µ-presque partout (µ-pp) vers f sur X si il existe Y ⊂ X tel queµ(X \ Y ) = 0 et fn converge simplement vers f sur Y .

Définition 5On dit que (fn) ∈ (Lp)N converge vers f dans LP si ‖fn − f‖p → 0 quand n tend vers +∞.

Exemple 9La convergence Lp n’implique pas la convergence µ-pp.En effet, la suite de fonctions définie par

∀n ≥ 1, fn(x) = 1[ k

2N, k+1

2N(x) avec

2N ≤ n+ 1 ≤ 2N+1

k = n− 2N + 1

converge vers 0 dans Lp mais pas presque surement.

Exemple 10La convergence µ-pp n’implique pas la convergence dans LP pour p < +∞.En effet, la suite de fonctions définie par fn = n1/p1[0, 1

n] converge µ-pp vers 0 mais ‖fn‖p = 1

pour tout n.

1. En fait, ce n’est pas si pathologique que ça puisque l’on peut montrer que l’ensemble des fonctions continuespartout dérivables nulle part, est dense dans l’ensemble des fonctions continues

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2 INTÉGRABILITÉ DE SUITES ET SÉRIES DE FONCTIONS 7

2.2 Théorèmes principauxThéorème 8 (Théorème de Beppo-Levi)

On suppose que la suite fn de fonctions est mesurable croissante, i.e ∀n ∈ Nfn ≤ fn+1. Alors

lim fn est mesurable et∫X

limnfndµ = lim

n

∫Xfndµ

Démonstration : Briane et Pagès, théorème 8.1p131

Lemme 1 (Lemme de Fatou)On suppose que les fn sont mesurables et positives. Alors :

0 ≤∫X

lim infn

fndµ ≤ lim infn

∫fndµ ≤ +∞

Démonstration : Briane et Pagès, théorème 8.2p132

Théorème 9 (Théorème de convergence dominée)On suppose que (fn) vérifie :

1. Pour tout n, fn ∈ L1.2. fn converge µ-pp vers f .3. Il existe g ∈ L1 telle que pour tout n ≥ 1, | fn(x) |≤ g(x) µ-pp.

Alors f ∈ L1 etlimn

∫Xfndµ =

∫Xfdµ et lim

n

∫X| fn − f | dµ = 0

Démonstration : Briane et Pagès, théorème 8.3p134

Application : Intégration d’une dérivéeSoit f une fonction partout dérivable sur [0, 1] de dérivée f ′ bornée. Alors f est l’intégrale de sadérivée au sens où ∫ 1

0f ′(x)dx = f(1)− f(0)

Démonstration : Briane et Pagès, application 8.2p136

On a vu que la convergence, dans Lp n’entraînait pas la convergence µ-pp. On dispose cependantd’une réciproque partielle :Théorème 10

Soient (fn) une suite de fonctions dans Lp et f ∈ Lp tels que ‖fn − f‖p → 0. Alors il existeune sous-suite extraite fnk telle que

1. fnk → f µ-pp2. µ-pp, on a pour tout k, | fnk |≤ h avec h ∈ Lp.

Démonstration : Brezis, théorème IV.9p58

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3 SÉRIES ENTIÈRES ET FONCTIONS HOLOMORPHES 8

De même, bien que l’on ne dispose pas de l’implication, convergence µ-pp ⇒ convergence dansLp, on dispose d’une réciproque partielle :Théorème 11 (Théorème de Brezis-Lieb)

Soit 1 ≤ p < +∞ et (fn) ∈ (Lp)N. On suppose que :1. supn ‖fn‖p < +∞2. fn converge vers f sur µ-pp

Alors f ∈ Lp et limn

(‖fn‖pp − ‖fn − f‖pp

)= ‖f‖pp.

Démonstration : Willem, Analysé fonctionnelle élémentaire

Corollaire 3Si (fn) converge µ-pp vers f ∈ Lp et si ‖fn‖p → ‖f‖p alors fn → f dans Lp.

Remarque 1On dispose ainsi d’une CNS pour que la convergence µ-pp implique la convergence dans Lp.

2.3 Interversion ∫ et ∑Théorème 12 (Théorème de Fubini)

Soit (fn) une suite de fonctions mesurables à valeurs R ou C.1. Si les fonctions fn sont positives pour tout n ≥ 1, alors :

∫X

∑n≥1

fn

dµ =∑n≥1

∫Xfndµ

2. Si ∑n≥1∫X | fn | dµ < +∞, alors les fonctions fn,

∑n≥1 | fn | et la fonction définie µ-pp∑

n≥1 fn sont intégrables. En outre,

∫X

∑n≥1

fn

dµ =∑n≥1

∫Xfndµ

Démonstration : Briane et Pagès, théorème 8.4p137

3 Séries entières et fonctions holomorphesSoit Ω un ouvert de C.

3.1 Séries entièresThéorème 13 (Lemme d’Abel)

Soient ∑ anzn une série entière et z0 ∈ C. On suppose que la suite anzn0 est bornée. Alors, la

série ∑ anzn est normalement convergente dans le disque D(0, r) pour r <| z0 |.

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3 SÉRIES ENTIÈRES ET FONCTIONS HOLOMORPHES 9

Démonstration : Tauvel, théorème 3.2.1p36

Définition 6Soit f une fonction définie dans un voisinage de z0 ∈ C. On dit que f est développable en sérieentière en z0 s’il existe une série entière ∑ anz

n et une voisinage V de z0 dans C tels que, pourtout z ∈ V ,

f(z) =+∞∑n+0

an(z − z0)n

Proposition 3Soit f une fonction définie dans un voisinage de 0 et admettant un développement en sérieentière à l’origine. Alors :

1. Il existe un voisinage de 0 sur lequel f est indéfiniment dérivable.2. Le développement en série entière de f à l’origine est donné par son développement de

Taylor, i.e an = f (n)(0)n!

Démonstration : Tauvel, théorème 3.5.3p40

Exemple 11Attention ! Le résultat est faux si l’on considère des fonctions de la variable réelle. Par exemple,la fonction définie sur R par f(x) = 1R+e−1/x est une fonction C∞ de la variable réelle maisn’est pas développable en série entière.

Développement :Théorème 14 (Théorème Taubérien fort de Hardy-Littlewood)

Soit (an) une suite de réels vérifiant an = ©( 1n) en +∞, telle que la série entière ∑ anz

n aitun rayon de convergence ≥ 1 et que sa somme F (x) vérifie limx→1− F (x) = s. Alors la série∑an converge et vaut s.

Démonstration : Quitte à considérer a0 − s comme premier terme de la suite, on peut toujourssupposer que s = 0.On note :

Φ = ϕ : [0, 1]→ R tel que∑

anϕ(xn) convergelimx→1−

∑+∞n=0 anϕ(xn) = 0

Soit g la fonction définie par :

g : [0, 1] → R

x 7→

0 si 0 ≤ x < 12

1 si 12 ≤ x ≤ 1

Posons Nx = b− ln(2)ln(x) c. Alors pour x ∈ [0, 1[,

∑n≥0

ang(xn) =Nx∑n=0

an

De plus, Nx → +∞ quand x→ 1−, donc si on arrive à montrer que q ∈ Φ, alors on aura montréle théorème.

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3 SÉRIES ENTIÈRES ET FONCTIONS HOLOMORPHES 10

Montrons que tout polynôme nul en 0 est un élément de Φ, i.e XR[X] ⊂ Φ.Il est clair que Φ est stable par combinaison linéaire, donc il suffit de montrer que Xk ∈ Φ pourtout k ≥ 1. Soit k ≥ 1, on a

∑n≥0 anx

kn qui converge car si x < 1 alors xk < x < 1.De plus,

∀x ∈ [0, 1[,∑n≥0

anxkn = F (xk)→ 0 quand x→ 1−

Donc, XR[X] ⊂ Φ.On a maintenant besoin d’un lemmeLemme 2

∀P ∈ R[X], (1− x)∑n≥0

xnP (xn)→∫ 1

0P (t)dt quand x→ 1−

Là encore, par linéarité, il suffit de démontrer le résultat pour tous les monômes Xk, k ≥ 0. Ona :

(1− x)∑n≥0

xnxkn = (1− x)∑n≥0

(xk+1)n

= 1− x1− xk+1

= 11 + x+ ...+ xk

donc, limx→1−(1− x)∑n≥0 x

n(xk)n = 1k+1 =

∫ 10 t

kdt. D’où le résultat pour tout polynôme P .On va maintenant essayer de d’approcher g par des polynômes. Pour cela, on écrit g sous la formeq(x) = x+ x(1− x)h(x). Ce qui revient à considérer la fonction

h(x) = g(x)− xx(1− x)

Ainsi,

h(x) = 1x−1 si 0 ≤ x < 1

21x si 1

2 ≤ x ≤ 1

Soit ε > 0. Il existe deux fonctions s1 et s2 continues telles que s1 ≤ h ≤ s2 et∫ 1

0 s2 − s1 < ε(faire un dessin pour s’en convaincre : prendre deux fonctions égales à h sur [0, 1]sauf sur un petitvoisinage de la discontinuité en x = 1/2, et joindre les extrémités dans la partie manquante parune ligne continue qui reste toujours du même côté du graphe de h et qui reste bornée). Comme s1et s2 sont continues, on peut trouver deux polynômes t1 et t2 tels que | t1−s1 |< ε et | t2−s2 |< εsur [0, 1] (théorème de Weierstrass). On pose alors U1 = t1 − ε et U2 = t2 + ε. On a U1 ≤ h ≤ U2(vu qu’on s’est suffisamment éloigné de t1 et t2) et∫ 1

0U2 − U1 =

∫ 1

0t2 − t1 + 2ε

≤∫ 1

0t2 − s2 + s2 − s1 + s1 − t1 + 2ε

≤ ε+∫ 1

0s2 − s1 + 3ε

< 5ε

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3 SÉRIES ENTIÈRES ET FONCTIONS HOLOMORPHES 11

Compte tenu de ce qui vient d’être fait, il est naturel de poser

P1(x) = x+ x(1− x)U1(x)P2(x) = x+ x(1− x)U2(x)

Q(x) = U2(x)− U1(x) = P2(x)− P1(x)x(1− x)

On a alors : P1(0) = P2(0) = 0P1(1) = P2(1) = 1P1 ≤ g ≤ P2∫ 1

0 Q ≤ 5ε

Il ne nous reste plus qu’à conclure.Par hypothèse, il existe M > 0 tel que an ≤ M

n pour tout n. Soit x ∈ [0, 1[. On a :

|∑n≥0

ang(xn)−∑n≥0

anP1(xn) |

≤∑n≥0| an | (P2 − P1)(xn)

≤M∑n≥0

xn(1− xn)n

Q(xn)

Or,1− xn = (1− x)(1 + x+ ...+ xn−1) ≤ n(1− x)

D’où,|∑n≥0

ang(xn)−∑n≥0

anP1(xn) |≤M(1− x)∑n≥0

xnQ(xn)

donc,| ang(xn) |≤|

∑n≥0

anP1(xn) | +M(1− x)∑n≥0

xnQ(xn)

D’après le lemme, le deuxième terme de cette inégalité tend vers M∫ 1

0 Q(t)dt ≤ 5Mε quandx→ 1−. Et le premier terme tend vers 0 car P1 ∈ Φ d’après la première étape de la démonstration.D’où le résultat.

3.2 Fonctions holomorphesDéfinition 7

Une fonction f : Ω→ C est dite holomorphe sur Ω si elle est C-dérivable en tout point de Ω.

Théorème 15 (Formule de Cauchy)Soit f : Ω→ C une fonction holomorphe sur Ω, z0 ∈ Ω et r > 0 tel que D(z0, r) ⊂ Ω. Alors

∀z ∈ Ω \ C(z0, r), f(z) = 12iπ

∫C(z0,r)

f(ξ)ξ − z

Démonstration : Tauvel, théorème 6.4.7p77

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4 SÉRIES DE FOURIER 12

Corollaire 4Si f est holomorphe sur Ω alors f est développable en série entière en tout point de Ω.

Démonstration : Tauvel, théorème 6.5.2p77

Théorème 16Soit f : Ω → C et fn : Ω → C une suite de fonctions holomorphes. On suppose que fn → funiformément sur tout compact de Ω. Alors f est holomorphe et f ′n → f ′ sur tout compact deΩ.

Démonstration : Rudin, théorème 10.28p256

4 Séries de Fourier

4.1 DéfinitionsDéfinition 8

Si 1 ≤ p ≤ ∞, Lp désigne l’espace vectoriel des (classes de) fonctions f : R→ C, 2π-périodiqueset Lebesgue-mesurables, telles que ‖f‖p <∞ avec

‖f‖p =( 1

∫ 2π

0| f(t) |p dt

)psi 1 ≤ p <∞

et ‖f‖∞ est la borne supérieure essentielle de f .

Définition 9Si f ∈ L1 et n ∈ Z, on définit le n− ième coefficient de Fourier de f par la formule :

f(n) = 12π

∫ 2π

0f(t)e−intdt

Théorème 17 (Lemme de Riemann-Lebesgue)

Si f ∈ L1 alors f(n)→ 0 quand | n |→ +∞.

Démonstration : Zuily-Queffelec, proposition I.6p73

4.2 Théorèmes principauxOn pose pour tout N ∈ N,

SN(f) =N∑−N

f(n)eint et σN(f) =∑N−1k=0 Sk(f)N

Théorème 18 (Théorème de Dirichlet)Soit f : R → C, 2π-périodique, mesurable, et intégrable sur [0, 2π]. Soit x0 ∈ R, on suppose

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4 SÉRIES DE FOURIER 13

que les limites à gauche et à droite de f en x0 existent. Alors,

limN→+∞

SN(f)(x0) = f(x+0 ) + f(x−0 )

2

Démonstration : Zuily-Queffelec, théorème III.6p89

En particulier, si f est continue, SN(f) converge simplement vers f . Application : Calcul de∑ 1n2 à partir du développement en série de Fourier de f(x) = 1−x2

π.

Théorème 19 (Théorème de Féjer)

1. Si f est continue et 2π-périodique, alors ∀N ≥ 1, ‖σN(f)‖∞ ≤ ‖f‖∞ et lim ‖σN(f)f‖∞ =0.

2. Si f ∈ Lp (1 ≤ p <∞), alors ∀N ≥ 1, ‖σN(f)‖p ≤ ‖f‖p et lim ‖σN(f)f‖p = 0.

Démonstration : Zuily-Queffelec, théorème III.2p84

Corollaire 5 (Théorème de Weierstrass)Toute fonction continue sur un intervalle compact [a, b] est limite uniforme d’une suite depolynômes algébriques.

Démonstration : Zuily-Queffelec, théorème III.3p86

Si f ∈ L1, on pose γ(f) = (cn(f))n∈Z. On a alors la proposition suivante :Proposition 4

Si f, g ∈ L1, alors γ(f) = γ(g)Rightarrowf = g presque partout.

Démonstration : Zuily-Queffelec, théorème III.3p86

Proposition 5

Si f ∈ L1 et est telle que ∑ | f(n) | converge, alors f est égale à sa série de Fourier et estcontinue.

Développement : Formule sommatoire de PoissonSi f ∈ L1(R), on définit sa transformée de Fourier par la formule

f(x) =∫ +∞

−∞e−2iπxtf(t)dt

La formule sommatoire de Poisson est une formule qui relie sous certaines hypothèses la sommedes valeurs prises par f aux points entiers, à la somme des valeurs prises par f aux points entiers.De façon plus précise, on a l’énoncé suivant :Théorème 20 (Formule sommatoire de Poisson)

Soit f ∈ L1(R) ∩ C(R). On suppose qu’il existe M > 0 et α > 1 tels que ∀x ∈ R, | f(x) |≤M(1+ | x |)−α. On suppose également que ∑n∈Z | f(n) |< +∞. Alors :∑

n∈Zf(n) =

∑n∈Z

f(n)

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4 SÉRIES DE FOURIER 14

Démonstration : Définissons la fonction F (x) =∑n∈Z f(x+ n).

Alors F est bien définie et est continue sur R. En effet, montrons que cette série converge norma-lement sur tout compact de R.Soit A > 0 et soit x ∈ [−A,A]. Alors, | x + n |≥ n− | x |≥ n − A. Pour tout n ≥ 2A, on a donc| x+ n |≥ n

2 . Ainsi,

| f(x+ n) |≤ 1(1 + n

2 )α

majoration indépendante de x et dont la série converge puisque α > 1.On remarque par ailleurs que F est clairement 1-périodique. On peut alors calculer son n-èmecoefficient de Fourier 2.

F (n) =∫ 1

0F (x)e−2iπnxdx =

∫ 1

0

∑k∈Z

f(x+ k)e−2iπnxdx

Or, la convergence de la série étant normale sur le compact [0, 1], on peut intervertir somme etintégrale :

F (n) =∑k∈Z

∫ 1

0f(x+ k)e−2iπnxdx =

∑k∈Z

∫ k+1

kf(u)e−2iπnue2iπnkdu =

∫Rf(u)e−2iπnudu = f(n)

Enfin, comme F ∈ C(R) ∩ L1(R), et que∑n∈Z | F (n) |=

∑n∈Z | f(n) |< ∞, la série de Fourier∑

n∈Z F (n)e2iπnx converge normalement sur R, et F est égale à sa série de Fourier (par injectivitéde Fourier). On a alors :

F (x) =∑n∈Z

F (n)e2iπnx ==∑n∈Z

f(n)e2iπnx

D’où le résultat en évaluant en x = 0.

Voyons maintenant une application de la formule sommatoire de Poisson. On définit les fonc-tions Θ(z, τ) = ∑

n∈Z eiπn2τe2iπnz (solutions de l’équation de la chaleur 3), où z, τ ∈ C avec

Im(z), Im(τ) > 0.On s’intéresse ici à la fonction θ définie par θ(t) = Θ(0, it) = ∑

n∈Z e−πn2t, pour tout t > 0.

Proposition 6Pour tout t > 0, la fonction θ vérifie :

θ(t) = 1√tθ(1t)

Démonstration : Fixons t > 0. On considère la fonction G définie par G(x) = e−πtx2 . Calculons la

transformée de Fourier de G. Ce résultat est classique. Si Ga(x) = e−ax2 (a > 0), alors :

Ga(ξ) =∫Re−ax

2−2iπxξdx =√π

ae

−π2ξ2a

Ce résultat peut se retrouver d’au moins deux façons. Soit on trouve une équation différentielled’ordre 1 vérifiée par Ga à l’aide du théorème de dérivation sous le signe intégrale. Soit on intègre

2. Attention ! La fonction F est 1-périodique et non 2π-périodique, comme on en a l’habitude. Il faut doncadapter la formule pour les coefficient de Fourier

3. voir paragraphe 3 page 105 du Zuily-Queffelec

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4 SÉRIES DE FOURIER 15

sur le plan complexe sur des rectangles de plus en plus grands, et on utilise la formule de Cauchy.La forme sommatoire de Poissons permet maintenant d’écrire :

θ(t) =∑n∈Z

e−πn2t =

∑n∈Z

G(n) =∑n∈Z

1√te

−πn2t = 1√

tθ(1t)

ce qui achève la démonstration.

4.3 Théorie L2

Soit f ∈ L2.Théorème 21

(eint)n∈Z est une base hilbertienne de L2.

Démonstration : Zuily-Queffelc, théorème III.3p86

Corollaire 6

Si f ∈ L2, alors ∑n∈Z | f(n) |2= ‖f‖22 et limN→∞ ‖SN(f)− f‖2 = 0.

Démonstration : Zuily-Queffelec, théorème III.3p86