suites geometriques. activite preparatoire : tapis de sierpinski on peut créer des figures...
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SUITESGEOMETRIQUES
ACTIVITE PREPARATOIRE : TAPIS DE SIERPINSKI
On peut créer des figures géométriques par la répétition de règles simples.
Etape 1 : soit un triangle
Etape 2 : on trace dans celui-ci le triangle construit sur les milieux des côtés.On colorie le triangle central.
ACTIVITE PREPARATOIRE : TAPIS DE SIERPINSKI
On peut créer des figures géométriques par la répétition de règles simples.
Etape 1 : soit un triangle
Etape 2 : on trace dans celui-ci le triangle construit sur les milieux des côtés.On colorie le triangle central.
Etape 3 : pour chacun des triangles non coloriés repartir à l’étape 1.
ACTIVITE PREPARATOIRE : TAPIS DE SIERPINSKI
On peut créer des figures géométriques par la répétition de règles simples.
Etape 1 : soit un triangle
Etape 2 : on trace dans celui-ci le triangle construit sur les milieux des côtés.On colorie le triangle central.
Etape 3 : pour chacun des triangles non coloriés repartir à l’étape 1.
ACTIVITE PREPARATOIRE : TAPIS DE SIERPINSKI
On peut créer des figures géométriques par la répétition de règles simples.
Etape 1 : soit un triangle
Etape 2 : on trace dans celui-ci le triangle construit sur les milieux des côtés.On colorie le triangle central.
Etape 3 : pour chacun des triangles non coloriés repartir à l’étape 1.
ACTIVITE PREPARATOIRE : TAPIS DE SIERPINSKI
On peut créer des figures géométriques par la répétition de règles simples.
Etape 1 : soit un triangle
Etape 2 : on trace dans celui-ci le triangle construit sur les milieux des côtés.On colorie le triangle central.
Etape 3 : pour chacun des triangles non coloriés repartir à l’étape 1.
ACTIVITE PREPARATOIRE : TAPIS DE SIERPINSKI
Déterminer le nombre de triangles non coloriés pour chaque génération.
ACTIVITE PREPARATOIRE : TAPIS DE SIERPINSKI
U1 = 1
Génération 1 :
Génération 2 :
ACTIVITE PREPARATOIRE : TAPIS DE SIERPINSKI
U1 = 1
U2 = 3
Génération 1 :
Génération 2 :
Génération 3 :
ACTIVITE PREPARATOIRE : TAPIS DE SIERPINSKI
U1 = 1
U2 = 3
U3 = 9
Génération 1 :
Génération 2 :
Génération 3 :
Génération 4 :
ACTIVITE PREPARATOIRE : TAPIS DE SIERPINSKI
U1 = 1
U2 = 3
U3 = 9
U4 = 27
Génération 1 :
Génération 2 :
Génération 3 :
Génération 4 :
Génération 5 :
ACTIVITE PREPARATOIRE : TAPIS DE SIERPINSKI
U1 = 1
U2 = 3
U3 = 9
U4 = 27
U5 = 81
Génération 1 :
Génération 2 :
Génération 3 :
Génération 4 :
Génération 5 :
ACTIVITE PREPARATOIRE : TAPIS DE SIERPINSKI
Quelle est la relation permettant de calculer U2 à partir de U1?U3 à partir de U2? …
ACTIVITE PREPARATOIRE : TAPIS DE SIERPINSKI
U1 = 1
U2 = 3
U3 = 9
U4 = 27
× 3
× 3
× 3
31U2U
32U3U
33U4U
U5 = 81
× 3 34U5U
Génération 1 :
Génération 2 :
Génération 3 :
Génération 4 :
Génération 5 :
ACTIVITE PREPARATOIRE : TAPIS DE SIERPINSKI
Exprimer le nombre de triangles non coloriés Un à la génération n en fonction de Un-1 .
31U2U
31nUnU
32U3U
33U4U 34U5U
32U3U
ACTIVITE PREPARATOIRE : TAPIS DE SIERPINSKI
Exprimer U2 en fonction de U1 ; U3 en fonction de U1 ; Un en fonction de U1 …
31U2U 331U
31nUnU 1n31U
33U4U
34U5U
231U
3231U
3331U
331U 431U
32U3U
ACTIVITE PREPARATOIRE : TAPIS DE SIERPINSKI
Exprimer U2 en fonction de U1 ; U3 en fonction de U1 ; Un en fonction de U1 …
31U2U 331U
31nUnU 1n31U
33U4U
34U5U
231U
3231U
3331U
331U 431U
A RETENIR
Une suite géométrique est une suite de nombresdont chaque terme est obtenu à partir du précédent en multipliant par un nombre constant appelé raisonet noté q.
Chacun des termes est désigné par Un ,n indiquant le rang dans la suite.
q1nUnU 1nq1U
EXEMPLELes premiers termes d’une suite de nombres sont :2 ; 8 ; 32 ; 128 ; 512 ;...
• Montrer que cette suite est géométrique.
• Déterminer U1 et la raison q.
• Calculer U6.
42
8 4
8
32 4
32
128 4
128
512
Le rapport entre les termes consécutifs est constant et égal à 4donc la suite est géométrique.
U1= 2 et q = 4
U6 = U5 × q = 512 × 4 =2 048
• Calculer U20.
U20 = U1 q19 = 2 419 = 549 755 813 888
APPLICATION
1) Combien avez-vous d’ancêtres à la quatrième génération ?
ARBRE GENEALOGIQUE
moi
GENERATION :
1
père mère
moi
GENERATION :
1
2
père mère
père mère père mère
moi
GENERATION :
1
3
2
père mère père mère père mère père mère
père mère
père mère père mère
moi
GENERATION :
1
4
3
2
Nous avons huit ancêtres à la quatrième génération.
ARBRE GENEALOGIQUE
2) Combien avez-vous d’ancêtres à la quarantième génération ?
Il n’est pas concevable de compter le nombre d’ancêtres de chaquegénération.
Que proposez-vous comme méthode ?
Le nombre d’ancêtres forme-t-il une suite arithmétique ou géométrique?
père mère père mère père mère père mère
père mère
père mère père mère
moi 1
8
4
2
Nombre d’ancêtres :
ARBRE GENEALOGIQUE
2) Combien avez-vous d’ancêtres à la quarantième génération ?
Le nombre d’ancêtres de chaque génération forme une suite géométrique de premier terme U1 = 1 et de raison q = 2.
Le rapport entre les termes consécutifs est constant et égal à 2 donc la suite est géométrique.
21
2
1U2U 2
2
4
2U3U 2
4
8
3U4U
11U 22U 43U 84U
U40 = U1 q39 = 1 239 = 549 755 813 888
Calculons U40 :